POLIEDROS

Etimologicamente, a palavra Poliedro deriva dos termos gregos: Poli (Muitos) e hedro (plano).

SUGESTO DE AULA PARA CLASSES DO ENSINO MDIOPROF. ILYDIO P. DE S

Atividadea. Cite uma caracterstica comum a todos os slidos geomtricos vistos acima.b. D trs exemplos de objetos do mundo real que podem ser considerados poliedros.POLIEDROS

DEFINIODe forma simplificada, podemos dizer que poliedros so slidos geomtricos limitados por faces que so polgonos planos.

Atividade Observe os seguintes poliedrosImagine que os poliedros acima esto sobre um mesmo plano. Quais deles no conseguem ficar apoiados sobre alguma de suas faces?

DefinioAos poliedros que ficarem totalmente contidos num mesmo semi-plano dos definidos por qualquer de suas faces, denominamos CONVEXO. Nos casos contrrios o chamamos de poliedro CNCAVO.Salvo qualquer meno em contrrio, estaremos sempre nos referindo a poliedros convexos.

Atividade Na figura a seguir temos representado um poliedro e alguns de seus elementos esto indicados.a. Como podemos definir cada um desses elementos?O nmero de faces que concorrem num mesmo vrtice denominado de ordem desse vrtice. b. Quantas faces, arestas e vrtices tem esse poliedro?c. Qual a quantidade mnima de faces que devem concorrer num mesmo vrtice?

FRMULA DE EULER (1750)Conte o nmero de vrtices, faces e arestas dos poliedros ao lado e indique na tabela abaixo:Consegue perceber alguma relao entre esses elementos?

PoliedroN de vrtices (V)N de faces (F)N de arestas (A)1234

55810715101220131122

CONCLUSOEm todos os poliedros convexos se verifica a relao:V + F = A + 2Esta a relao de Euler

Existem ainda outros elementos importantes dos poliedros, como: Como voc define a diagonal do poliedro?E plano diagonal?

POLIEDROS REGULARESOs poliedros ditos Platnicos, em homenagem a Plato (sc. IV a. C.) so os que apresentam faces de mesmo tipo e vrtices de mesma ordem.

Os poliedros ditos regulares, alm de serem Platnicos, possuem faces que so polgonos regulares.

TETRAEDRO REGULAR formado por 4 tringulos eqilteros. Possui 4 faces, 4 vrtices e 6 arestas.

OCTAEDRO REGULARFormado por oito tringulos eqilteros. compostos por 8 faces, 12 arestas e 6 vrtices.

ICOSAEDRO REGULARFormado por vinte tringulos eqilteros. Possui 20 faces, 30 arestas e 12 vrtices.

HEXAEDRO REGULAR Formado por seis quadrados. composto por 6 faces, 12 arestas e 8 vrtices.

DODECAEDRO REGULAR formado por doze pentgonos regulares. Possui 12 faces, 30 arestas e 20 vrtices.

Planificaes dos poliedros regulares

Por que s existem CINCO poliedros regulares?J os gregos reconheciam que s podem existir 5 slidos platnicos, logo s existem tambm 5 poliedros regulares. Vamos tentar verificar que isso verdade.

Cada ngulo polidrico (constitudo por todas as faces que convergem num vrtice) ter de ter menos de 360 graus. Por outro lado, cada um desses ngulos ter de ter pelo menos 3 faces . Logo as faces s podem ser tringulos (ng. interno 60), quadrados (ng. internos 90) epentgonos (ng. interno 108).

Repare-se que com Hexgonos regulares tal seria um absurdo: a amplitude dos seus ngulos internos 120 e... 3 vezes 120 d 360!!!

Analisemos, individualmente, cada um dos casos:

Tringulos eqilteros:

Como cada ngulo interno de 60 pode existir em cada vrtice 3, 4 ou 5 tringulos. Logo:

3 tringulos em cada vrtice obtm-se um Tetraedro (1) 4 tringulos em cada vrtice obtm-se um Octaedro (2) 5 tringulos em cada vrtice obtm-se um Icosaedro (3) Quadrados:

Como cada ngulo interno mede 90 s pode existir em cada vrtice ter 3 quadrados. Logo, tem-se um cubo (4)

Pentgonos:

Como cada ngulo interno mede 108 s podem ter 3 em cada vrtice, temos o Dodecaedro (5)

Contagem dos elementos dos poliedros regulares (Platnicos)

Poliedro N. de Faces N. de Arestas N. de VrticesTetraedroCuboOctaedroDodecaedroIcosaedro

464

6128

8126

123020

203012

Poliedros no cotidianoEm ornamentaes, luminrias, prdios, telhados, etc. As bolas de futebol que so poliedros formados por pentgonos e hexgonos.Formas naturais de minerais e pedras preciosas.Alguns vrus (verrugas e poliomielite) tm a forma de um icosaedro.As colmias das abelhas so prismas hexagonais.

ESTUDANDO AS BOLAS DE FUTEBOL

No lugar de cada pirmide retirada fica sua base pentagonal. Como o icosaedro tem 12 vrtices, o poliedro resultante tem 12 faces pentagonais.

RESUMINDO E CONTANDO: BOLAS DE FUTEBOL (ELEMENTOS)As bolas de futebol so poliedros Arquimedianos (inflados), construdos a partir de inveno de Leonardo da Vinci. Elas so formadas por 12 pentgonos (polgonos pretos na figura) e 20 hexgonos (polgonos brancos na figura). Os demais elementos voc j sabe calcular. Vejamos:

Em obras de arte, como essa, de Salvador Dali.

Referncias:

Lima, E. L., Carvalho, P. C. P., Wagner, E. e Morgado, A. C., A Matemtica do Ensino Mdio. Coleo do Professor de Matemtica, Sociedade Brasileira de Matemtica. Rio de Janeiro, 1998.

http://webs.adam.es/rllorens/picuad/exapenta/exapentas.htm

http://www.dm.ufscar.br/hp/hp153/hp153001/hp153001.html

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