S UMRIO

APRESENTAO ............................................................................................................... 13 PREFCIO ........................................................................................................................... 15 1 1.1 1.2 1.3 1.3.1 1.3.2 1.3.3 INTRODUO E DEFINIES GERAIS ........................................................ 19 Aplicaes da Simulao Dinmica ................................................................... 20 Tipos de Modelos para Sistemas Dinmicos .................................................... 21 Modelos Matemticos......................................................................................... 22 Classificao de Modelos Matemticos ............................................................. 22 Modos de Obteno de Modelos Matemticos ................................................ 26 Comparao das Caractersticas de Modelos Obtidos Terica e Empiricamente ................................................................................................... 27 Referncias Bibliogrficas .................................................................................. 29 2 2.1 2.2 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5 2.2.6 2.3 FORMA TERICA DE OBTENO DE MODELOS MATEMTICOS ....... 31 Etapas no Estudo da Dinmica de Sistemas ..................................................... 31 Mtodo Terico de Obteno de Modelos Matemticos de Sistemas ........... 32 Estgio A: Modelagem Fsica do Sistema Real ao Modelo Fsico................ 33 Exemplos de Obteno de Modelos Fsicos ..................................................... 35 Estgio B: Equaes de Movimento do Modelo Fsico ao Modelo Matemtico .......................................................................................................... 36 Exemplos de Obteno de Equaes de Movimento ...................................... 39 Estgio C: Comportamento Dinmico Simulao do Modelo Matemtico ... 42 Exemplos de Simulao de Sistemas ............................................................... 43 Exemplo da Multiplicidade de Modelos para Representar um Sistema ....... 46 Referncias Bibliogrficas .................................................................................. 49

3 3.1 3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 3.2 3.3 3.3.1 3.4 3.4.1 3.4.2 3.5 3.5.1 3.5.2

REPRESENTAO DE MODELOS ATRAVS DE FUNES DE TRANSFERNCIA E DE EQUAES EM ESPAO DE ESTADOS ............. 51 Linearizao de Equaes .................................................................................. 51 Variveis de Perturbao, de Desvio ou Incrementais .................................... 52 Exemplo de Aplicao de Variveis Incrementais ........................................... 54 Linearizao por Expanso em Srie de Taylor ............................................. 55 Exemplos de Aplicao de Linearizao em Modelos de Processos ............. 56 Formas Usuais de Representao de Modelos Matemticos .......................... 56 Conceitos Bsicos sobre Funes de Transferncia ........................................ 57 Exemplos de Aplicao de Funo de Transferncia para Representar Modelos ......................................................................................... 58 Conceitos Bsicos sobre Equaes em Espao de Estados ............................. 66 Exemplo de Aplicao de Equaes de Estado para Representar Modelo Linear .................................................................................................... 68 Exemplo de Aplicao de Equaes de Estado para Representar Modelo No-linear ............................................................................................. 68 Relao entre Equaes de Movimento com Funes de Transferncia e com Equaes em Espao de Estados ............................................................... 69 Exemplo l de Relao entre Equaes de Movimento com Funes de Transferncia c com Equaes em Espao de Estados .................................... 69 Exemplo 2 de Relao entre Equaes de Movimento com Funes de Transferncia e com Equaes em Espao de Estados .................................... 75 Referncias Bibliogrficas .................................................................................. 79

4 4.1 4.2 4.2.1 4.2.2 4.3 4.3.1 4.4 4.4.1 4.4.2 4.4.3 4.4.4 4.4.5 4.4.6 4.4.7

SOLUO ANALTICA DE SISTEMAS DINMICOS LINEARES ............... 81 Formas de Soluo de Equaes Diferenciais Ordinrias .............................. 81 Caractersticas Bsicas dos Sistemas Lineares de l e 2 Ordem ..................... 82 Sistemas de l Ordem ......................................................................................... 83 Sistemas de 2 Ordem ........................................................................................ 83 Caractersticas da Resposta Temporal de Sistemas Lineares .......................... 84 Funes de Excitao Usualmente Empregadas.............................................. 85 Resposta Total (Natural + Forada) de Sistemas de 1 e 2 Ordem ............... 85 Resposta (Movimento) Natural de Sistemas de l Ordem .............................. 85 Resposta (Movimento) Total de Sistemas de l Ordem ................................... 87 Exemplos de Resposta Temporal de Sistemas de l Ordem............................ 91 Resposta (Movimento) Natural de Sistemas de 2 Ordem ............................. 98 Resposta (Movimento) Forado de Sistemas de 2 Ordem ........................... 103 Resposta Total de Sistemas de 2 Ordem ......................................................... 105 Exemplos de Resposta Temporal de Sistemas de 2 Ordem .......................... 107 Referncias Bibliogrficas ................................................................................. 126

5 5.1 5.1.1 5.1.2 5.1.3 5.1.4 5.1.5 5.1.6 5.1.7 5.1.8 5.1.9 5.1.10 5.2 5.2.1 5.2.2 5.3 5.3.1 5.3.2 5.3.3 5.3.4

INTEGRAO NUMRICA DE EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS E LINGUAGENS DE SIMULAO........................................ 127 Soluo de Equaes Diferenciais Ordinrias por Mtodos Numricos...... 127 Tipos de Mtodos Numricos para Resolver Equaes Diferenciais Ordinrias .......................................................................................................... 128 Mtodos Numricos de Integrao de Passo Simples para Resolver Problemas de Valor Inicial ................................................................................ 129 Mtodo de Euler ................................................................................................ 130 Mtodo de Runge-Kutta .................................................................................... 131 Exemplo de Aplicao do Mtodo de Runge-Kutta de 2 Ordem ................ 135 Sistemas de Equaes ........................................................................................ 136 Exemplos de Aplicao do Mtodo de Runge-Kutta para Sistema de Equaes ............................................................................................................. 136 Equaes Diferenciais de Ordem Superior a l................................................ 138 Exemplos de Aplicao do Mtodo de Runge-Kutta para Equaes de Ordem Superior a l ........................................................................................... 138 Exemplos de Preparao de Problemas para Integrao Numrica ............ 141 Utilizao de Pacotes de Simulao ................................................................. 146 Linguagens de Simulao Orientadas a Equaes ......................................... 146 Pacotes de Simulao Orientados a Mdulos ................................................. 148 Seleo da Ferramenta de Simulao Empregada neste Livro ..................... 148 Formas Possveis de Representao de Modelos no Simulink/Matlab ..... 149 Representao de Modelos atravs de Funo de Transferncia no Simulink/Matlab ............................................................................................ 150 Representao de Modelo Linear em Espao de Estados no Simulink/Matlab ............................................................................................ 150 Representao de Modelos No-lineares em Espao de Estados no Simulink/Matlab ............................................................................................ 151 Referncias Bibliogrficas ................................................................................. 152

6 6. l 6.1.1 6.1.2 6.1.3 6.1.4 6.1.5 6.2 6.2.1 6.2.2 6.2.3

MODELAGEM ANALTICA DE SISTEMAS MECNICOS .......................... 153 Sistemas Mecnicos Translacionais .................................................................. 153 Movimento e Fora............................................................................................ 153 Potncia, Trabalho e Energia ........................................................................... 154 Elementos Ideais de Sistemas Mecnicos ........................................................ 155 Equaes de Lagrange ...................................................................................... 157 Exemplos de Modelagem de Sistemas Mecnicos Translacionais................. 159 Sistemas Mecnicos Rotacionais ....................................................................... 165 Movimento Angular e Torque .......................................................................... 165 Potncia, Trabalho e Energia ........................................................................... 166 Elementos Mecnicos Rotacionais Ideais ........................................................ 167

6.2.4 6.3 6.3.1 6.3.2 6.3.3

Exemplos de Modelagem de Sistemas Mecnicos Rotacionais ..................... 168 Transformadores Mecnicos Ideais .................................................................. 177 Alavanca Ideal .................................................................................................... 177 Jogo Ideal de Engrenagens ............................................................................... 178 Exemplos de Modelagem de Sistemas com Transformadores Mecnicos Ideais ................................................................................................ 179 Referncias Bibliogrficas................................................................................. 184

7 7.1 7.1.1 7.1.2 7.1.3 7.1.4 7.2 7.2.1 7.2.2 7.3 7.3.1 7.3.2 7.3.3 7.3.4

MODELAGEM ANALTICA DE SISTEMAS ELTRICOS ............................ 185 Sistemas Eltricos .............................................................................................. 185 Tenso e Corrente ............................................................................................. 185 Trabalho, Potncia e Energia......................................................................... 186 Elementos Eltricos Ideais............................................................................. 186 Exemplos de Modelagem de Sistemas Eltricos............................................ 187 Analogias entre Sistemas Mecnicos e Eltricos ............................................. 191 Procedimento para Gerao de Anlogo Eltrico de Sistema Mecnico ..... 191 Exemplos de Analogia entre Sistemas Mecnicos e Eltricos ....................... 193 Transformadores Eltricos Ideais .................................................................. 197 Introduo a Circuitos Magnticos ................................................................. 197 Equaes Descritoras de Um Transformador Eltrico Ideal ......................... 199 Impedncias Referidas ao Primrio ou Secundrio do Transformador ....... 201 Exemplo de Modelagem de Sistema com Transformador Eltrico Ideal .... 202 Referncias Bibliogrficas ................................................................................. 205

8 8.1 8.2 8.3 8.4

MODELAGEM ANALTICA DE SISTEMAS ELETROMECNICOS ........... 207 Princpio de Funcionamento dos Sistemas Eletromecnicos Acoplados por Campo Magntico ...................................................................................... 207 Mquinas Eltricas Rotativas............................................................................. 209 Equaes Descritoras de um Sistema Eletromecnico Ideal ......................... 210 Exemplos de Modelagem de Sistemas Eletromecnicos ............................... 211 Referncias Bibliogrficas ................................................................................. 238

9 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7

MODELAGEM ANALTICA DE NO-LINEARIDADES EM SISTEMAS MECNICOS, ELTRICOS E ELETROMECNICOS .................................. 241 Saturao ............................................................................................................ 242 Zona Morta ou Zona de Insensibilidade ......................................................... 244 Atrito de Coulomb e Atrito Seco ..................................................................... 245 Folga em Engrenagens (Backlash) .................................................................... 245 Histerese ............................................................................................................. 246 Rels .................................................................................................................... 248 Exemplos da Aplicao de Elementos No-lineares....................................... 249 Referncias Bibliogrficas ................................................................................. 265

10 10.1 10.1.1 10.1.2 10.1.3 10.1.1 10.1.5 10.1.6 10.2 10.3

MODELAGEM ANALTICA DE SISTEMAS FLUDICOS............................. 267 Sistemas Fludicos (Hidrulicos e Pneumticos) ............................................ 267 Presso e Vazo (Fluxo) .................................................................................... 267 Potncia e Energia............................................................................................. 268 Elementos Ideais de Sistemas Fludicos ........................................................... 269 Analogias entre Sistemas Eltricos e Sistemas Fludicos ................................ 284 Gerao das Equaes de Movimento para Sistemas Fludicos..................... 285 Exemplos de Modelagem de Sistemas Fludicos ............................................ 289 Transformador Fludico .................................................................................... 325 Transdutor Mecnico/Fludico ........................................................................ 325 Referncias Bibliogrficas ................................................................................. 326

11 11.1 11.1.1 11.l.2 11.l.3 11.l.4 11.1.5 11.2 11.2.1 11.2.2 11.2.3 11.3 11.4 11.5 11.5.1 11.5.2 11.5.3 11.5.4 11.5.5 11.5.6

MODELAGEM ANALTICA DE SISTEMAS TRMICOS ............................. 329 Sistemas Trmicos ............................................................................................. 329 Temperatura e Fluxo de Calor ......................................................................... 329 Potncia Trmica e Energia ............................................................................. 330 Elementos Ideais de Sistemas Trmicos .......................................................... 330 Gerao das Equaes de Movimento para Sistemas Trmicos .................... 345 Exemplos de Modelagem de Sistemas Trmicos ............................................ 346 Sistemas com Fontes Internas de Calor ........................................................... 364 Placas Planas com Fontes de Calor Distribudas Uniformemente ................ 365 Cilindros Macios Longos com Frontes de Calor Distribudas Uniformemente ................................................................................................ 366 Exemplos de Sistemas com Fontes Internas de Calor .................................... 368 Transformador Trmico Ideal .......................................................................... 369 Transdutor Trmico .......................................................................................... 370 Resumo das Normas de Obteno das Equaes de Movimento ................. 370 Sistemas Mecnicos (Rotacionais e Translacionais) ....................................... 370 Sistemas Eltricos .............................................................................................. 370 Sistemas Eletromecnicos ................................................................................. 371 Sistemas Fludicos .............................................................................................. 371 Sistemas Trmicos ............................................................................................. 372 Resumo das Analogias entre Sistemas ............................................................. 372 Referncias Bibliogrficas ................................................................................. 373

12 12.1 12.1.1 12.1.2 12.1.3 12.2

MODELAGEM ANALTICA DE SISTEMAS TERMO-HIDRULICOS ....... 375 Conservao de Energia ................................................................................... 375 Formas de Energia ............................................................................................. 376 Formas de Trabalho .......................................................................................... 377 Equao para Conservao da Energia ........................................................... 377 Equaes de Estado ........................................................................................... 380

12.2.1 12.2.2 12.2.3 12.2.4 12.2.5 12.2.6 12.2.7 12.2.8 12.3 12.3.1 12.3.2 12.3.3 12.3.4 12.3.5 12.3.6 12.4 12.4.1 12.4.2 12.4.3 12.5 12.5.1 12.6 12.7

Equao de Estado do Gs Ideal ...................................................................... 380 Equaes de Estado para Fluidos No-ideais .................................................. 382 Equaes de Estado Viriais ............................................................................... 383 Equaes de Estado Analticas (Cbicas) com Dois Parmetros .................. 384 Estados Correspondentes ...............................................................................386 Equaes de Estado Analticas (Cbicas) com Trs Parmetros ................... 387 Equaes de Estado No-analticas .................................................................. 390 Equaes de Estado Aplicadas a Misturas........................................................ 391 Aproximaes Normalmente Usadas para Estimar Variaes de Entalpia h

e Entalpia de Vaporizao hvap .................................................... 393

Aproximaes Usadas para Estimar Variaes de Entalpia h de Gases Perfeitos, Lquidos e Slidos ............................................................................ 393 Exemplo de Clculo de Variao de Entalpia h da gua nos Estados Vapor e Lquido ................................................................................................. 395 Aproximaes Usadas para Estimar Variaes de Entalpia h em Gases Reais com Base em Equaes de Estado .......................................................... 398 Exemplo de Clculo de Variao de Entalpia h do Propano ...................... 400 Aproximaes Usadas para Estimar a Entalpia de Vaporizao hvap .......... 403 Aproximaes Normalmente Usadas para Estimar a Massa Especfica .... 406 Exemplo de Clculo da Entalpia de Vaporizao hvap da gua .................. 405

Aproximaes Usadas para Estimar a Massa Especfica de Lquidos ........ 406 Exemplo de Clculo da Massa Especfica da gua no Estado Lquido .... 407 Aproximaes Usadas para Estimar a Massa Especfica de Gases com Base em Equaes de Estado ............................................................................ 407 Presso de Vapor................................................................................................ 410 Exemplo de Clculo da Presso de Vapor da gua ........................................ 412 Coeficiente Global de Transferncia Trmica U ......................................... 413 Exemplos de Modelagem de Sistemas Termo-hidrulicos ............................ 417 Referncias Bibliogrficas ................................................................................. 436

13 13.1 13.1.1 13.2 13.3 13.4

MODELAGEM ANALTICA DE SISTEMAS QUMICOS ............................ 439 Relao de Continuidade dos Componentes de Uma Reao Qumica (Balano de Componentes).............................................................................. 439 Exemplos de Balano de Componentes .......................................................... 441 Cintica (Taxa de Reao) de Reaes Qumicas .......................................... 444 Conservao (Balano) de Energia ................................................................. 445 Exemplos de Modelagem de Sistemas Qumicos ........................................... 446 Referncias Bibliogrficas ................................................................................. 458

14 14.1

MODELAGEM DINMICA DE MEDIDORES E ATUADORES ................... 459 Comportamento de Sensores e Transmissores ............................................... 459

14.1.1 14.1.2 14.1.3 14.1.4 14.1.5 14.2 14.2.1 14.2.2 14.2.3 14.2.4 14.2.5 14.3 14.4

Medio cie Vazo ............................................................................................. 462 Medio de Presso e de Nvel ......................................................................... 462 Medio de Temperatura .................................................................................. 463 Medio de Composio................................................................................... 463 Medio de pH .................................................................................................. 463 Comportamento de Vlvulas e Amadores Pneumticos ................................ 463 Cavitao, Flashing e Vazo Crtica em Vlvulas ............................................465 Vazo de Lquidos com Escoamento Subcrtico atravs de Vlvulas ............ 468 Efeito de Redutores de Dimetro de Tubulao ............................................ 472 Efeito da Cavitao ou Flashing ................................................................... 473 Frmulas para Clculo do Escoamento de Fluidos Compressveis (Gases e Vapores) atravs de Vlvulas ............................................................................. 474 Comportamento de Linhas de Transmisso ................................................... 476 Exemplos de Modelagem de Sistemas Incluindo Medidores e Amadores... 477 Referncias Bibliogrficas ................................................................................. 488

15 15.1 15.2 16 16.1 16.2 16.3 16.4

EXEMPLOS DE SIMULAO DIGITAL DE SISTEMAS MECNICOS ..... 489 Sistema Massa-mola-amortecedor .................................................................... 489 Passagem de Automvel em Obstculo ........................................................... 493 EXEMPLOS DE SIMULAO DIGITAL DE SISTEMAS ELTRICOS E ELETROMECNICOS ...................................................................................... 517 Circuito Eltrico R-L Conectado a Bateria ...................................................... 517 Servomecanismo com No-linearidade do Tipo Atrito de Coulomb ........... 519 Sistema Eletromccnico com No-linearidade do Tipo Saturao ............... 523 Propulso de Submarino .................................................................................. 529 Referncias Bibliogrficas ................................................................................. 549

17 17. l 17.2 17.3 18 18.1 18.2 18.3 18.4

EXEMPLOS DE SIMULAO DIGITAL DE SISTEMAS HIDRULICOS ................................................................................................. 551 Enchimento de Tanques com Vlvula e Bomba Hidrulica na Sada .......... 551 Esvaziamento de Caminho atravs de Bomba Hidrulica ........................... 560 Controle de Nvel em Tanque Incluindo Instrumentao ........................... 566 EXEMPLOS DE SIMULAO DIGITAL DE SISTEMAS TRMICOS E TERMO-HIDRULICOS .................................................................................. 585 Sistema Trmico ................................................................................................ 585 Tanque com Sistema de Aquecimento por Vapor .......................................... 588 Aquecedor Eltrico Residencial de gua ........................................................ 601 Trocador de Calor Incluindo a Instrumentao e o Clculo Detalhado dos Coeficientes de Transferncia de Calor .......................................................... 613 Referncias Bibliogrficas ................................................................................. 645

19 19.1 19.2

EXEMPLOS DE SIMULAO DIGITAL DE SISTEMAS QUMICOS ........ 647 Reator de Batelada sem Controle .................................................................... 647 Reator de Batelada com Controle Incluindo Instrumentao e Ciclos de Aquecimento e Resfriamento .......................................................................... 654 Referncias Bibliogrficas ................................................................................. 678