SUMÁRIO

1 – IDENTIFICAÇÃO 01

2 – TÍTULO 01

3 – INTRODUÇÃO 01

4 – ATIVIDADES 03

4.1 – HABILIDADES ALGÉBRICAS 04

4.2 – CONVENÇÕES 06

4.3 – PROBLEMAS DE GENERALIZAÇÃO 07

4.4 – ATIVIDADES COM PALITOS DE PICOLÉ 08

4.5 – OUTROS PROBLEMAS DE GENERALIZAÇÃO 11

4.6 – NÚMEROS INTEIROS COM FICHAS 14

4.7 – EQUAÇÕES DO 1º GRAU COM FICHAS 16

5 – MÉTODOS PARA RESOLVER UMA EQUAÇÃO DO 1º GRAU 18

6 – PROBLEMAS 22

7 – TÉCNICAS DE RESOLUÇÃO DE EQUAÇÃO DO 1º GRAU 24

8 – REFERÊNCIAS 28

2

1 – IDENTIFICAÇÃO

Área: Matemática

Professora PDE: Rejane Melara

NRE: Dois Vizinhos

Professor Orientador: Osmar Ambrósio de Souza

IES: UNICENTRO

Escola de Implementação: Colégio Estadual Leonardo da Vinci

Público: Alunos da 6ª série

2 – TÍTULO

Equações do 1º Grau Com Significação

3 – INTRODUÇÃO

Vivemos na era tecnológica e as mudanças são rápidas. A tecnologia da

computação transformou nossa maneira de viver, de trabalhar, de receber

informações; teve influência sobre esferas da atividade humana, como a da indústria,

do comércio, do setor de serviços, entretanto teve pouco impacto sobre como e o

que os professores ensinam e nem sobre o que e como os alunos aprendem.

Com raras exceções, os alunos continuam sendo treinados para armazenar

informações e para desenvolver a competência no desenvolvimento de

manipulações algorítmicas, de regras e de técnicas. Sabemos que o domínio de

regras e técnicas é importante para o programa de álgebra, contudo dever-se-ia

priorizar a compreensão dos conceitos algébricos e a capacidade de usar esse

conhecimento nas mais diversas situações; dever-se-ia conceber habilidade

algébrica como algo que vai além da manipulação de símbolos e técnicas.

O modo como se ensina deveria levar em conta os processos de pensamento

dos alunos e da percepção que eles têm do que seja a atividade algébrica e só

depois lhes propor a tarefa de resolver equações. Para Ausubel apud Barbosa

3

(1982), o fator isolado mais importante que influência a aprendizagem é aquilo que o

aprendiz já sabe.

O primeiro contato do aluno com álgebra, ocorre na 6ª série, com o estudo de

equações. Isto é o que se encontra em, praticamente, todos os livros didáticos

usados nas escolas e a forma como o professor trabalha, haja vista que este é,

quase sempre, seu único instrumento de trabalho.

Mudanças geram resistências e na educação não é diferente: muitos

educadores não conseguem imaginar a exclusão de alguns tópicos, ou que estes

não se baseiem nos métodos tradicionais de ensino.

Outro problema são os resultados desejados. Na ânsia de se atingir o que

espera de uma “melhor educação”, sendo isto interpretado, na maioria das vezes,

como notas altas, ocorre o perigo de enfraquecer o processo de avaliação e ainda de

ensinar apenas habilidades mecânicas, que são fáceis de medir, em detrimento de

novos instrumentos que avaliem o raciocínio e habilidades de resolver situações

novas e inesperadas.

Provavelmente, muitas das dificuldades que os alunos encontram na

aprendizagem da Álgebra seja resultado de um ensino que prioriza regras e técnicas,

procedimentos sem significação, limitando sua capacidade de compreender os

conceitos que permitem o domínio do conhecimento. Um projeto de educação

algébrica, para Lins e Gimenes (1997) “deve compreender dois objetivos centrais: 1)

permitir que os alunos sejam capazes de produzir significados... para a álgebra; e, 2)

permitir que os alunos desenvolvam a capacidade de pensar algebricamente”.

O uso de situações significativas para o ensino da álgebra, é de fundamental

importância, principalmente para quem está entrando em contato pela primeira vez

com este assunto. Apesar de algumas pesquisas mostrarem que melhor resultado

tem sido alcançado quando alunos iniciam a educação algébrica desde as séries

iniciais da escola básica a álgebra começa a ser trabalhada, oficialmente (no

currículo) a partir da 6ª série. E sendo uma parte da matemática que envolve

simbologia e possui uma linguagem específica é importante que o aluno aprenda

primeiro a dar significado àquilo que aprende, se alfabetize algebricamente.

Confirma-se isso na fala de Lins e Gimenes:

4

... tornar possível que os alunos venham a dominar certo tipo de pensamento, certas formas de produzir significado. ... significados que os alunos estão efetivamente produzindo. ... Para uma mesma afirmação é possível produzir distintos significados, o que implica que não basta que os alunos anunciem as mesmas afirmações que nós: continua sendo necessário investigar os significados produzidos. (LINS e GIMENES, 1997, p.121)

As equações desempenham um papel tão importante na matemática e em

muitas de suas aplicações de forma que o aprendizado da resolução de equações

seja um elemento essencial no estudo da álgebra. Para que o aluno compreenda o

significado de equações acredita-se que primeiro deva construir significado para

expressões algébricas, que compreenda o que é uma atividade algébrica e tenha em

sua formação uma base cognitiva que o alicerce. Ausubel apud Barbosa (1982)

chama isso de Técnica dos Organizadores Prévios. Organizador é uma idéia geral

que precede o conteúdo. Sua função é construir uma ligação entre o que o aluno já

sabe em sua estrutura cognitiva e aquilo que ele precisa ter, para que possa

aprender significativamente um novo conteúdo. O uso de organizadores prévios, do

ponto de vista cognitivista, é vantajoso por: 1º) proporcionar ao aluno ter, na sua

estrutura cognitiva, idéia já disponível, que possam vir a ser relacionadas com as

idéias do conteúdo a ser aprendido; 2º) por usar idéias gerais e inclusivas de uma

disciplina como idéias “âncoras” e 3º) por identificar o conteúdo já existente na

estrutura cognitiva e indicar sua relevância para o novo material.

O aluno que chega à 6ª série, geralmente, só trabalhou com aritmética, cujo

foco principal é encontrar respostas numéricas particulares e dificilmente são feitas

generalizações. O foco da atividade na álgebra é estabelecer procedimentos e

relações e expressá-los numa forma simplificada geral. Apesar de essas afirmações

gerais serem usadas para se chegar a respostas numéricas, deve-se mostrar que o

principal é o estabelecimento da expressão algébrica e a manipulação da própria

afirmação geral, tornando-se necessário que sejam produzidos significados para

essas afirmações.

4 – ATIVIDADES

4.1 – ATIVIDADE – HABILIDADES ALGÉBRICAS

5

As atividades a seguir propiciam a formação de habilidades algébricas e

fazem com que os alunos não sintam rupturas com o que já aprenderam em

aritmética.

Para Chalouh e Herscovics apud Coxford e Shulte (1995), “Introduz-se o

emprego de letras prudentemente, primeiro fazendo com que representem

quantidades ocultas e só depois as utilizando para representar quantidades

incógnitas específicas.”

Determinação do número total de pontos de um quadro retangular do qual se

mostra apenas uma dimensão.

(O aluno deve conhecer o processo multiplicativo. Se necessário, fazer uma revisão.

Usando o x como sinal de multiplicação.)

1) Neste exercício você esta vendo uma linha de 7 pontos.

As outras linhas estão escondidas, cada uma com sete pontos. Como eu poderia

escrever o número total de pontos se não sei o número exato de linhas? Eu poderia

escrever assim: número de pontos = 7 x □. Como eu não sei o número de linhas

usei um quadradinho para representá-las. Agora vou deixar você ver todos os pontos

e pedir que preencha o quadradinho com o número certo.

2) Inventar mais exercícios desta natureza. Depois pedir aos alunos (pode ser em

grupos) que também inventem problemas semelhantes.

3) Agora você está vendo que eu tenho uma linha com 6 pontos, mas, novamente,

não está vendo o número exato de linhas.

6

Desta vez queremos que você use uma letra em vez de um quadradinho para o

número de linhas. Escolha qualquer letra. Pense assim: número de linhas = a (ou

qualquer outra letra). Como ficou sua equação? Espera-se: número de pontos = 6 x

a?

4) Este segmento está dividido em várias partes. Você só pode ver uma delas. Como

você representaria o comprimento dele?

5) Este retângulo está parcialmente coberto e dividido em partes iguais. Represente

a área dele, usando letras.

6) Invente mais problemas desta natureza. Peça aos alunos para inventarem

também.

Segundo, Chalout e Herscovics apud Coxford e Shulte (1995), estes tipos de

atividades servem para superação de um obstáculo cognitivo sobre a aprendizagem

de expressões algébricas, que é a falta de um referencial numérico no uso de letras

pelo aluno. “Se o aluno não vê as letras como representações dos números, efetuar

operações aritméticas com essas letras torna-se uma tarefa sem sentido.”

(CHALOUH e HERSCOVICS apud COXFORD E SHULTE, 1995, p.38)

Após problemas que, como estes, representem quantidades ocultas,

passemos a problemas que representem uma letra de uma quantidade incógnita.

Segundo Chalout e Herscovics apud Coxford e Shulte (1995), nestes tipos de

problemas, observa-se a dificuldade dos alunos em aceitarem a falta de fechamento:

não aceitam a expressão como resposta; sentem necessidade de dar uma resposta

numérica. O professor deve conversar muito com os alunos nesse momento.

Constatou-se que os alunos aceitam mais facilmente a resposta quando

completavam a afirmação “A = .......” . A aceitação da expressão, sendo

representada por uma equação, pode ser explicada pelo dilema nome-processo.

7

Assim, o primeiro membro expressa o nome (no caso A para área) e o segundo

membro o processo, o que se deve fazer.

5) Qual a área desses retângulos? Como você as representaria?

Respostas: 5 x a 6 x x

OBS.: O professor deve observar o momento de trocar o sinal multiplicativo x pelo .

(ponto). Fale da inconveniência de alguém escolher a letra x e se confundir.

6) Pedir para escrever uma expressão algébrica que expresse a área de um

retângulo. (exemplos que poderão fazer: 3 x a (3 . a); 4 x b (4 . b); 7 x c (7 . c) )

7) Pedir que desenhem o retângulo que representaram no exercício anterior.

(cuidar para que não representem quantidades conhecidas, como, por exemplo, a

figura abaixo para representar a primeira situação).

Após trabalhar com alguns problemas desta natureza, pode-se pedir aos

alunos que meçam o comprimento do retângulo (valor de a, por exemplo, da

atividade 5) e substituir o valor na expressão algébrica encontrada.

4.2 – CONVENÇÕES

Acreditamos que já se pode falar sobre algumas convenções importantes para

o estudo da álgebra.

Na álgebra podemos usar todas as letras do alfabeto, maiúsculas e

minúsculas. Para não nos confundirmos quando usamos, por exemplo, o x em 5 x x

(5 vezes x) , podemos suprimir o sinal e escrever somente 5x . Isso se chama

8

justaposição. Sempre que vir um número ligado a uma letra ou letras juntas

(justapostas), em álgebra, significa uma multiplicação.

Comentar sobre a importância do sinal de multiplicação na aritmética. Para

escrevermos, por exemplo, 5 vezes 3, escrevemos 5 x 3 ou 5 . 3, pois se fizermos

53, teremos o número cinqüenta e três.

Quando multiplicamos 1 . 3 = 3, 1 . 7 = 7, 1 . 9 = 9, os resultados são os

próprios números. Em álgebra 1c = c, 1b = b, 1x = x, 1y = y. Quando é o número um

que está multiplicando a letra sabemos que o resultado é a própria letra; não é

necessário escrevê-lo. Então, letra sozinha em álgebra significa que está sendo

multiplicada pelo número um.

Como 3 . 2 = 2 . 3 e 3 . a = 3a, então quando ocorrer a . 2, posso escrever 2a,

pois a . 2 = 2 . a = 2 a.

Podem-se fazer algumas atividades com as convenções.

4.3 – PROBLEMAS DE GENERALIZAÇÃO

Esses problemas demandam de tempo e muita conversa para que possam ser

bem assimilados.

1) Um andarilho faz 35 km por dia.

a) Quantos quilômetros ele percorre em 5 dias?

b) E em 10 dias?

c) E em y dias?

d) O que o y representa nesta situação?

2) O que poderia escrever sobre o perímetro desta figura? Observe que parte dela

não está desenhada. São n lados ao todo, cada um com comprimento 2.

3) Parte desta figura ficou escondida. Todos os lados tem comprimento 5. Ao todo

são x lados. O que você pode dizer sobre o perímetro dela?

9

4)O esporte clube Dois Vizinhos jogou contra Francisco Beltrão. Dois Vizinhos

marcou 3 gols e Francisco Beltrão 2 gols. Qual o total de gols da partida?

5) No jogo Brasil e Argentina, o Brasil fez x gols e a Argentina Y gols. Qual o total de

gols da partida?

4.4 – ATIVIDADE COM PALITOS DE PICOLÉ

Esta atividade foi baseada na atividade dos “tanques” de Lins e Gimenes

(1997). Segundo os autores a atividade permite que sejam produzidos significados

para as afirmações feitas em relação ao núcleo (no caso ao modelo dos suportes de

palitos de picolé), pois é possível justificar cada afirmação.

Temos dois suportes iguais para palitos de picolé, P1 e P2. Os dois possuem

uma quantidade indefinida de palitos, X e Y, respectivamente. Sabemos que para

completar P1 faltam 6 palitos e, para completar P2, faltam 10 palitos.

A partir dessa situação os alunos deverão ser estimulados, depois de alguns

exemplos do professor, a fazer afirmações a respeito do assunto e justificá-las.

10

Combinar o uso da letra p para palitos. (Pode-se fazer um suporte maior e usar um

papelão, em tiras, no lugar dos palitos de picolé.)

Exemplos:

a) Afirmação: P1 = P2

Justificação: os dois suportes comportam a mesma quantidade de palitos (são

iguais).

b) Afirmação: X + 6 p = Y + 10 p

Justificação: se acrescentarmos 6 palitos de picolé em P1 ele ficará completo e se

acrescentarmos 10 palitos de picolé em P2, também ficará completo, e P1 = P2

c) Afirmação: X = Y + 4 p

Justificação: se acrescentar 4 palitos de picolé em P2, faltarão 6 palitos para

completá-lo, que é o mesmo que falta em P1.

d) Afirmação: X + 2 p = Y + 6 p

Justificação: acrescentando 2 palitos a X faltarão 4 palitos para completar P1 e 6

palitos a Y, também faltarão 4 palitos para completar P2.

e) Afirmação: X – 2p = Y + 2p

Justificação: se retirarmos 2 palitos de X, faltarão 8 palitos para completar P1 e se

acrescentarmos 2 palitos a Y, também faltarão 8 palitos para completar P2.

f) Afirmação: Y = X – 4p

Justificação: se retirarmos 4 palitos de X, em P1 faltarão 10 palitos para completa-

lo como em P2.

g) Afirmação: X – Y = 4b

Como justificar essa afirmação?

Para Lins e Gimenes (1997) apesar dessa afirmação perecer muito natural

para o professor, pode não sê-lo para o aluno. Como tirar de X uma quantidade Y

que não se conhece? É possível fazer isso na prática? Uma situação como essa

deve ser considerada com muito cuidado e promover um longo diálogo com os

alunos. Podemos aproveitar para comentar que a diferença nem sempre está

associada à subtração; não iremos retirar uma quantidade diretamente da outra.

Podemos retirar um palito de cada suporte e repetir a operação até que P2 ficar

vazio. O que sobrar no suporte P1 (4p) é a diferença entre eles.

Até o momento todas as justificações foram relativas ao (modelo) dos

suportes. Depois que os alunos compreenderam essa atividade, manuseando os

11

palitos, devem ser estimulados a justificar afirmações para transformações diretas,

sem recorrer ao modelo dos suportes. Por exemplo:

a) X + 2 p = Y + 6 p → X + 2 b – 2p = Y + 6 b – 2p e ficamos com X = Y + 4 p (retira-

se 2p de cada lado).

b) X – 2p = Y + 2p → X – 2b – 2p = Y + 2b – 2p e ficamos com X – 4p = Y, (retira-

se 2p de cada lado).

c) Y + 3p = X – p → Y + 3b + 3p = X – b + 3p e ficamos com Y + 6p = X + 2p

(acrescenta-se 3p de cada lado).

Essa atividade explica com facilidade à mesma operação nos dois membros:

X + 6p = Y + 10p; X + 6b – 1p = Y + 10b – 1p; X + 5p = Y + 9p; nos dois suportes

faltará um palito de picolé.

Podemos propor outras atividades, como:

a) dar frases incompletas e pedir que a completem.

Por exemplo: X + 5p = .....; Y – 3b = ......; X – p = ........

b) atribuir valores para X e Y e pedir que achem o valor de p.

c) dar expressões fora do modelo dos suportes de palitos e ver se conseguem fazer

transformações diretas. Por exemplo: 2m + a = w ; a = .........; 2m = .........; m = ........ .

Esperamos que fiquem claros os dois momentos das afirmações: quando nos

referimos ao modelo dos suportes de picolé e quando as transformações ocorrem

diretamente, sem passar pelos suportes. A expressão X + 5p = Y + 9p, pode ser

explicada pelos suportes, mas X + 105p = Y + 109p não, apesar de estar correta.

Não cabe toda essa quantidade de palitos nos suportes.

Muitos outros contextos (atividades de generalização) podem servir para este

tipo de atividade, no entanto o principal é que segundo Lins e Gimenes (1997) as

frases (expressões) a serem transformadas devem ter significado, devem ser objetos

para os alunos; em geral há mais de um modo de produzir significado para novas

frases e diferentes modos de produzir justificações; que as situações devem ser

genéricas (como no exemplo dado: as quantidades X e Y não são conhecidas) para

que os alunos se concentrem no método e não em resultados.

Para Lins e Gimenes (1997), “significado é o conjunto de coisas que se diz a

respeito de um objeto. Não é o conjunto do que se poderia dizer, e, sim, o que

efetivamente se diz no interior de uma atividade. Produzir significado é, então, falar a

respeito de um objeto”. Na atividade dos suportes para palitos de picolé, primeiro

12

falamos de suportes e de palitos – e esses são os objetos; depois passamos a falar

das expressões – e então os objetos são as expressões.

Observamos que, em nenhuma atividade, a resposta correta precisa ser

alcançada nos primeiros problemas ou situações. Mesmo porque, a resposta correta

não indica necessariamente que o aluno pensou mais corretamente que do outro

que deu uma resposta errada. Nesse ponto o trabalho do professor é fundamental e

insubstituível, seja no planejamento de muitos problemas e situações que permitam

ao aluno fazer afirmações algébricas (construir representações matemáticas), seja

no momento de permitir que construa ou de dar oportunidades para construir

argumentos matemáticos que justifiquem tais afirmações. No momento que idéias

erradas do ponto de vista matemático aparecem será uma ótima oportunidade para o

professor fazer perguntas sobre o seu significado, no sentido de legitimar e dar

significado à atividade, não simplesmente descarta-la. Isto pode ajudar no

desenvolvimento da capacidade de construir argumentos para defender sua idéia.

4.5 – OUTROS PROBLEMAS DE GENERALIZAÇÃO

Não esquecer que nestes problemas tão importante quanto o resultado, ou

mais, é como se chega a ele. Cada resposta deverá ser justificada.

1) Construa e desenhe uma seqüência de triângulos eqüiláteros (triângulo de lados

com a mesma medida) de modo que o primeiro tenha um palito de medida de lado, o

segundo dois palitos, o terceiro três e assim por diante... .

a)Complete a tabela que relacione o lado do triângulo com o número de palitos

necessário para construí-lo.

Nº palitos do lado do ▲ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 27

Total de palitos do ▲

b) Responda: Quantos palitos são necessários para construir um triângulo de 10

palitos de lado? E de 19 palitos de lado? E de 50?

c) E de um número infinito de palitos?

d) Se foram gastos 300 palitos quantos tem em cada lado do triângulo?

13

e) É possível construir um triângulo eqüilátero com 304 palitos? E com 305? E com

306? Diga o porquê em cada caso.

2) Um restaurante possui mesas quadradas iguais de quatro lugares. Entretanto se

juntarmos duas mesas teremos lugar para seis pessoas (perdem-se dois lugares).

Responda:

a) Se juntarmos três mesas (linearmente) teremos quantos lugares?

b) Complete a tabela que relaciona número de mesas juntadas linearmente e número

de lugares disponíveis.

Nº. de mesas juntadas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Nº. de lugares disponíveis 4 6

c) Se juntarmos 50 mesas, quantos lugares disponíveis teríamos?

d) Se juntarmos n (nº. qualquer de) mesas como representaríamos o número de

lugares disponíveis?

d) Se todos os lugares estiverem ocupados é possível que estejam sentadas 63

pessoas nas mesas justapostas? Justifique.

3) Um comerciante compra roupas em São Paulo para revender em Dois Vizinhos,

acrescentando 50% (metade do seu valor) ao preço que pagou (custo).

a) Por quanto ele vende uma calça que custou R$ 80,00?

b) Quanto ele pagou numa camisa que pôs a venda por R$ 60,00?

c) Escreva uma fórmula que dá o preço de venda em relação ao custo.

4) Veja a seqüência de figuras:

a) Desenhe as figuras (5), (6) e (7).

b)Complete a tabela:

14

Figura 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 ... x

Nº. de bolas 2 4 6

c) Alguma figura terá 101 bolas? Justifique. Se sim, qual?

5)Agora observe estas duas seqüências e complete as tabelas:

a)

Figura 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 ... x

Nº. de bolas 3 5 7

Alguma figura terá 101 bolas? Justifique. Se sim, qual?

b)

Figura 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 ... x

Nº. de bolas 1 3 5

Alguma figura terá 101 bolas? Justifique. Se sim, qual?

6) Em Dois Vizinhos os taxistas cobram a corrida assim: R$ 5,00 de bandeirada mais

R$ 1,10 por quilômetro rodado.

a) Qual é o preço de uma corrida de 5 km? E de 20 km?

b) Quantos quilômetros foram rodados para que alguém pagasse R$ 16,00? E R$

36,90?

c) Qual é a fórmula que dá o preço P para uma corrida de x quilômetros? Se achar

necessário encontre mais alguns valores para depois encontrar a fórmula.

7) Você já deve ter ouvido pessoas se expressarem dessa maneira:

a) O “x” da questão é descobrir quem é o culpado.

b) Já avisei “n” vezes para você não fazer mais isso.

15

c) Seja a pessoa “a” ou a pessoa “b” eu falo com a mesma consideração.

d) No meu governo eu construí “n” casas populares. Atividade extraída de

SILVA (2001).

Se nunca ouviu não, faz mal; está ouvindo agora: explique o que você entende

quando ouve essas falas. Caso tenham ouvido outras, reproduzam-nas.

e) O que pensa quando vê esse tipo de expressão:

e.1) 3.x ou 3x

e.2) x + 5

e.3) 5 – x

e.4) 2x + 1

e.5) 2(x + 1)

e.6) 3

x

e.7) 3

1 . x

e.8) 2

4+x

e.9) 2x + 3Y

e.10) 2

yx −

4.6 – NÚMEROS INTEIROS COM FICHAS

Sugere-se que, em uma aula (ou menos que isso, depende da turma) se

trabalhe com essa atividade de números inteiros, para que o aluno aprenda a utilizar

as fichas que servirão de auxílio para a atividade de resolução de equações.

Produz-se fichas (de papel cartão) vermelhas e azuis, quadradas de 3 cm, e a

azul com um x (marca as diagonais – isto serve para o momento que as

representarão no caderno). Cada aluno (ou grupo) recebe um pacote de fichas

vermelhas e azuis. As fichas são apresentadas como mágicas, sendo que uma

vermelha e uma azul se emparelham elas ‘desaparecem’, se anulam – a combinação

atua como o zero.

16

Uma ficha vermelha sozinha e chamada de um e representada por 1. Uma ficha azul

sozinha e chamada de ‘oposto de um’, ‘oposto de uma ficha vermelha’, e

representada por ‘1 ’ ou, como iremos trabalhar na 6ª série, por (– 1). Assim, 4 ,

representa ‘quatro uns negativos’, ‘quatro negativo (– 4)’ ou ‘oposto de quatro’.

(Atividade proposta por Thompson apud Coxford e Shulte, 1995, p.79)

ATIVIDADES

1) Colocam-se vários exemplos de formação de pares nulos com o uso do oposto.

Por exemplo: a)3V e 3A, b) 5V e 5A , c) 7V e 7A

Sempre registrar no caderno. Assim: , e 3 + 3 = 0(ou 3 + (– 3) = 0)

2) Atividades com quantidades diferentes de vermelhos e azuis.

a) 4V e 3A ; ou 4 + 3 = 1; ou 4 + (– 3) = 1 (pedir para fazer

oralmente, também).

b) 3V e 4A ; ou 3 + 4 = 1 ; ou 3 + (– 4) = – 1

Outras atividades como estas que sugerem a adição de inteiros podem ser

desenvolvidas. Pode-se optar só por representações pictóricas (no caderno),

dependendo do entendimento dos alunos.

3) Atividades que envolvem a subtração de números inteiros.

a) Se eu tiver 5V e tirar 2V? 5 – 2 = 3

b) Se eu tiver 3A e tirar 1A? 3 – 1 = 2 ou – 3 – (– 1) = – 2

c) Mas se eu tiver 3V e quiser tirar 2A? 3 – 2 ? Os alunos devem ser capazes de

sugerir que se acrescente 2A e 2V, pois formam pares nulos, não alteram o

resultado, ficando assim: , agora posso tirar as 2A.

Então 3 – 2 = 5 (três menos dois oposto é igual a cinco) ou 3 – (– 2) = 5. Se os

alunos não perceberem, comenta-se que tirar de 3 o oposto de 2 é o mesmo que

somar 3 com 2.

d) 3A – 2V (acrescenta-se 2V e 2A). , agora tenho 2V para tirar,

então 3 – 2 = 5 ou – 3 – 2 = – 5.

17

e) 2V – 3A (acrescenta-se 3A e 3V) 2 – (– 3) = 5

Fazer mais atividades como as sugeridas.

4.7 – EQUAÇÕES DO 1º GRAU COM FICHAS

Podemos usar o mesmo material (as fichas vermelhas e azuis) para introduzir

a resolução de equações de 1º grau bem elementares.

Para representar uma equação ou igualar duas expressões algébricas de

maneira concreta, usa-se um isopor retangular (ou um flanelógrafo) dividido ao meio

por uma fita ou fio, que representará o sinal de igualdade. Os alunos podem dividir a

carteira.

Colocam-se algumas peças vermelhas ou azuis à direita do fio e, à esquerda um

conjunto idêntico de fichas escondidas embaixo de uma cartolina. Os alunos serão

solicitados a adivinhar o valor das fichas ocultas.

Essa abordagem de “fichas ocultas”, embora muito simples, é eficaz para introduzir o

papel de variável. (Atividade proposta por Thompson apud Coxford e Shulte, 1995,

p.84).

Por exemplo:

1) O que está representado pela faixa preta (ou o que tem embaixo da cartolina)?

Lembrar também que embaixo de cada faixa sempre tem a mesma quantidade de

fichas iguais e que um par Vermelho-Azul ‘desaparece’, ou seja, é zero.

P = 3 P = – 4 P = – 2 + 4 = 2

Após mais algumas atividades como essas, podemos montar pequenas

equações do 1º grau, colocando uma faixa menor (que será a incógnita) e peças

vermelhas ou azuis, tanto à direita como à esquerda do fio. Comentar com os alunos

o que é uma equação (equa = igualdade). Cuidar para que tudo o que for feito seja

registrado no caderno de cada aluno.

18

2) O que a faixa (cartolina) representa? Ou o que está escondido embaixo dela?

(OBS.: não pode sobrar par nulo (VA) em nenhum dos lados, ou seja, devemos

deixar o mais simplificado possível).

P = 3 + 1 ou P = – 3 +1 P + 1 = 3 + 1 ou P – 1 = – 3 +1

P = 2 ou P = – 2 P = 1 ou P = – 1

P – 2 = 1 P = 3 P + 2 = – 2 P = – 4

(OBS.: embaixo de cada faixa tem sempre a mesma quantidade de fichas iguais).

2 P – 2 = 1 – 5 P = – 1 4 – 2 = 2 – 1 + P P = 1

3P = 6 4P = 1 + (– 9)

Apesar de parecer muito com a balança de dois pratos, é muito mais fácil para

dar significado a equações que envolvem valores negativos. A balança de dois

pratos é adequada para trabalhar com equações do tipo 2x + 14 = 34, por exemplo,

mas não é apropriada para a equação 2x + 34 = 14. Com a utilização das fichas

teremos a seguinte situação:

19

2x + 34 = 14 + (20 + 20), ou seja, acrescenta-se 20 positivo (V) e

20 negativo (A) que é igual a zero, e agora podemos tirar as 34 fichas de cada lado

sem desequilibrar, ficando com 2x = – 20 e embaixo de cada faixa deve ter 10 (–

10).

5 – MÉTODOS PARA SE RESOLVER UMA EQUAÇÃO DO 1º GRAU

Depois que o aluno já tem alguma habilidade com álgebra e saiba o que é raiz

de uma equação, como se deve proceder para achar uma raiz incógnita?

Raiz é o valor que torna a equação verdadeira. Resolução é o processo ou

método pelo qual se acham esses valores.

Saber a definição de raiz é um conhecimento básico de que um aluno

necessita para início a um estudo significativo de equações. Esse estudo deve

pressupor um conhecimento de números e variáveis, facilidade em substituir e

facilidade para julgar se o primeiro e o segundo membros de uma equação são

iguais ou não. O sinal de igual como símbolo da relação de igualdade entre o

primeiro e o segundo membros da equação e, não como sinal indicativo de um

resultado como se usa em aritmética. Manter sempre clara a noção de equivalência.

a) O que acontece se eu somar 10 ao primeiro membro da equação x + 2 = 7?

b) Qual é o valor para x em x + 2 + 10 = 7 + 10? (pode-se usar as fichas nesse

exemplo)

c) Após o aluno ter noção de equivalência, que método deve usar para resolver uma

equação?

Para Bernard e Cohen apud Coxford e Shulte (1995), existem métodos

diferentes de resolução de equação que devem construir uma seqüência de ensino

evolutiva, em que cada método subseqüente de resolução deriva de seu antecessor.

a) MÉTODO DE GERAR E AVALIAR – necessita da compreensão do que é uma

raiz e da idéia do que é uma equação. A partir de uma equação os alunos são

orientados a pensar no seu conceito de número e gerar diferentes valores

para serem testados. Apesar de no inicio o processo de gerar valores possa

ser aleatório, conduzir os alunos para que com o tempo eles possam verificar

20

um limite para os valores gerados. Por exemplo: Dada à equação 22 – 2x = 13

e geram 1 e 5 obtendo 20 e 12, devem perceber (avaliar) que a raiz esta mais

próxima do 5.

b) O MÉTODO DE ESCONDER – consiste em esconder a incógnita ou a

expressão que a contém. Apesar das limitações desse método, ele pode ser

considerado como um próximo nível natural do método de gerar e avaliar.

Comece com equações simples: a) 60 + x = 69; b) x – 7 = 10; 3x = 24; d)

15 – x = 2; e depois equações que envolvam a incógnita numa expressão

algébrica; e) 60 + ( x – 2) = 69; f) 60 + ( x + 2) = 69 g) 1072

=−x

h) 2x – 7 = 10; i) 3.( x + 6) = 24; j) 3. ( x – 3) = 24 l) 15 – (x + 1) = 2;

m) 15 – (x – 1) = 2. Com essas equações e utilizando o método de esconder,

pode-se quebrar o estereotipo de que uma incógnita é uma letra única e

chegar a uma conceituação mais ampla de que uma expressão que contém

uma variável também pode ser tratada como uma variável. Observa-se que o

método pode ser usado mais de uma vez na mesma equação. Por exemplo,

na letra e, primeiro esconde-se x – 2, ficando 60 + *** = 69 e depois x – 2 = 9,

aí se esconde o x.

Uma das limitações deste método é quando a incógnita aparece nos dois

membros (4x – 5 = 7 – 2x).

c) O MÉTODO DE DESFAZER – baseia-se nas noções dos inversos

operacionais e na reversababilidade de um processo envolvendo um ou mais

passos invertíveis. Por exemplo, 3(2x – 4) = 12; operações: multiplica por

dois, subtrai 4, multiplica por 3 e tem como resultado 12; inversas: divide12

por 3, soma 4 e divide por dois. Pode ser muito limitado e estimular erros de

transposição primeiro membro-segundo membro.

d) CONCEITUAÇÃO DE EQUAÇÕES EQUIVALENTES – gangorras e balanças

de dois pratos (apesar das limitações já comentadas) têm sido usadas para

justificar a soma ou subtração do mesmo valor nos dois membros e outras

operações de equilíbrio. Propõe-se que sejam realizadas atividades

intermediárias antes de começar a resolver equações através de operações

de equilíbrio.

21

1) Complete as sentenças corretamente, escrevendo <, = ou >, no espaço que as

separa:

a) 45 – 6 ........ 45 – 7 b)9

36........

6

24 c) 13 + 6 ........ 13 + 7

d) 17 + 2 ........ 20 – 1 e) 4.5 + 3 – 3 ........ 4.5 + 3

2) Substitua os □ por números ou operações de modo que se obtenham

igualdades:

a) 6 + 2 = 6 + □ b) 9 – 5 = □ – 5 c) 50 – 6 = 50 □ 6

d) 3. 9 = 3.(5 + □) e) 40 – 7 = 5.(2 + 6) – □ f) 2. (□ + 4) = 9 + 1

g) □ .4 – 1 = 4 – 1

TRANSPOSIÇÃO OU MESMA OPERAÇÃO NOS DOIS MEMBROS?

Que ênfase se deveria dar a utilização da transposição dos termos como

procedimento para resolução?

Segundo Kieran apud Coxford e Shulte (1995), embora a transposição seja

frequentemente considerada como uma versão abreviada do procedimento de

efetuar a mesma operação nos dois membros, o método de efetuar nos dois

membros de uma equação uma operação que é a inversa das operações dadas

explicita o equilíbrio dos dois membros da equação. Além disso, a justificação para

se efetuar a mesma operação nos dois membros é precisamente manter a equação

em equilíbrio e a solução inalterada ao longo de todo o processo de resolução, pois

esse procedimento envolve também a simplificação do primeiro e do segundo

membros da equação, e não apenas um dos membros, o que ocorre quando se

transpõem termos para outro membro. Essa ênfase no equilíbrio dos membros está

ausente no procedimento da transposição.

Os métodos mais eficientes são, com freqüência, aqueles menos

significativos, que devem, portanto, ser evitados nas fases iniciais de ensino.

Checar o resultado é uma parte natural da resolução de equações. A

checagem (verificar se o valor encontrado torna os dois membros iguais) deveria

lhes dar a satisfação de concluir o trabalho sem depender do professor.

Lembramos aqui que o conteúdo é o mesmo: EQUAÇÕES; muda-se a ênfase

e o ponto de vista na forma de ensinar.

22

EQUAÇÃO é uma sentença matemática contendo uma ou mais incógnitas expressa

por uma igualdade. À esquerda do sinal de igualdade temos o primeiro membro e à

direita o segundo membro.

primeiro membro = segundo membro

Equação do 1º grau – o grau da(s) incógnita(s) é um.

Equações que tem a mesma solução (raiz) são chamadas de equações

equivalentes. O prefixo latim equa da palavra equação significa igualdade.

O que acontece quando somamos ou subtriamos o mesmo número, diferente

de zero, a ambos os membros de uma equação? E quando multiplicamos (ou

dividimos)?

Lembrar que inverter os membros não se altera a igualdade: a = c ou c = a é a

mesma coisa.

1) Verificar quais das equações tem o número um (1) como solução (raiz):

a) 8x – 3 = 5 b) 4x + 1 = x + 4 c) x2 – 3 = x + 1 d) 5 – 2(x + 4) = – 1

2)Verificar quais das equações tem o número – 1 como raiz:

a) 8x + 3 = 5 b) 3 – 2x = 1 c) 6x + 7 = 2 + x d) 5 – 2(x + 4) = – 1

3) Verificar quais das equações tem o número ½ como raiz:

a) 6x + 1 = 4 b) 3 – 2x = 2 c) 5x + 3 = 5 + x d) 12

14 +=

− xx

4) Circule as equações que não são equivalentes a 2 – 8x = – (4 + 6x) cuja raiz é 3.

a) 8x – 2 = 4 + 6x b) 6x – 2 = 4 + 8x c) 2 – 2x = – 4

d) – 2x = 6 e) 2 – 8x = – 4 – 6 x

5) A raiz da equação 3x + 7 = 22 é 5. Circule as que não são equivalentes a ela.

a) 3x + 7 – 7 = 22 – 7 b) 3

22

3

73=

+x c) 3x + 9 = 24

d) 3

1. (3x + 7) =

3

1. 22 e) 5 = x

23

6 – PROBLEMAS

É importante que os problemas se integrem com o conteúdo algébrico

proposto e possam ajudar os alunos a desenvolverem as aptidões necessárias para

resolvê-los e não apenas dominar técnicas algébricas.

Para Lochhead e Mestre apud Coxford e Shulte (1995), geralmente ocorre

tradução errada do problema para a linguagem algébrica, não por interpretação

errada do problema, mas em concepções erradas quanto à estrutura e à

interpretação de afirmações algébricas e nos processos pelos quais se faz a

tradução da linguagem escrita para a linguagem algébrica.

Propomos primeiro, alguns problemas, não para serem resolvidos, mas

simplesmente para que sejam escritos em linguagem algébrica.

1) Escreva uma equação usando as variáveis A (para alunos) e P (para professores)

para representar a seguinte afirmação: Há dez vezes mais alunos do que

professores neste colégio.

Use as letras que quiser para representar as situações seguintes:

2) Bruno é quatro vezes mais velho que seu filho Felipe.

3) Carlos tem o dobro de figurinhas de Gabriel.

4) Um homem trabalha 20 horas ganhando R$ 8,00 à hora e mais algumas horas

ganhando R$ 12,00 a hora, recebendo um total de R$ 280,00.

5) Um homem trabalhou certo numero de horas a R$ 10,00 a hora e o mesmo

número de horas mais 20 horas a R$ 11,00 a hora, recebendo R$ 430,00.

6) Quatro mais que o quíntuplo de um número é igual a um menos que seis vezes

esse número. Cuidado! Não é 1 – 6n.

7) O dobro de um número mais três é igual a 25.

8) A metade de um número mais sete é igual a esse número mais doze.

24

Agora, resolva os problemas a seguir, primeiro “traduzindo-o” para a

linguagem algébrica, ou seja, escrevendo a equação que traduz o problema.

Lembre-se que sempre há mais de um modo de resolver um problema. O

interessante é tentar de mais de um.

1) Um jogo, com 4 tempos de mesma duração e 3 intervalos: dois de 2 minutos cada

e um de 16 minutos, leva 1 hora. Quantos minutos têm cada tempo?

2) Quinze maçãs, cada uma com 180 g, mais 10 laranjas, de mesmo peso, juntas

pesam 4,6 kg. Quanto pesa cada laranja?

3) A soma das idades de André e Carlos é 26 anos. Descubra as idades de cada um

deles, sabendo que André é 4 anos mais novo do que Carlos.

4) A população de Dois Vizinhos é o quádruplo da população de São Jorge. Se as

duas cidades juntas têm uma população de 45 000 habitantes, quantos habitantes

têm cada uma? (obs.: os dados foram arredondados para facilitar o problema)

5) Uma casa com 260 m2 de área construída possui três quartos de mesmo

tamanho. Qual é a área de cada quarto, se as outras dependências da casa ocupam

140 m2 ?

6)Comprei três camisas de mesmo valor e duas calças, também de mesmo valor, e

gastei R$ 201,60. Quero vender uma camisa e uma calça, mas não lembro o preço

de cada peça. Só lembro que o preço da cada calça é o triplo de cada camisa.

Descubra quanto custa cada peça de roupa.

7) Descubra três números consecutivos que somados dêem 153.

8) Numa corrida, os três primeiros colocados receberiam prêmios distribuídos dessa

forma: o 3º colocado recebe a menor parte; o 2º recebe R$ 200,00 reais a mais que

o 3º; o 1º recebe o dobro do 2º colocado. Sabendo que receberam ao todo R$

3000,00, descubra quanto recebeu cada um.

25

9) Numa apresentação de circo compareceram 1350 pessoas. Havia 150 crianças a

mais que o dobro da quantidade de adultos. Quantas crianças assistiram essa

apresentação?

10) Num passeio organizado pelo colégio participaram 38 pessoas que pagaram R$

870,00 pelo ônibus. Os adultos pagaram R$ 30,00 cada um e as crianças 50% desse

valor. Descubra quantas crianças e quantos adultos foram nesse passeio.

11) Um carteiro entregou 100 telegramas em cinco dias. A cada dia, a partir do

primeiro, entregou sete telegramas a mais que no dia anterior. Qual a expressão que

representa esta situação?

7 – TÉCNICAS DE RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES

1) Resolva as equações usando a mesma operação nos dois membros.

Obs.: Um dos objetivos (quando se resolve equações) é reunir as variáveis

(incógnitas) em um dos membros, ou seja, tornar um dos membros livre de variáveis

ou incógnitas.

a) 5x – 4 = 11 b) 3x + 9 = 24 c) 15 + 5 = 4x + 8 d) 5x + 4 = 2x + 5

e) 2

116

2

13 −=+x f) 5x + 3 = 4x + 9 g) 6x + 4 = 8x + 2

2) E quando a equação tem parênteses?

Retiram-se os parênteses, aplicando a propriedade distributiva da

multiplicação.

Você já sabe efetuar expressões numéricas como esta: 3.(4 + 5) = 3 . 9 = 27 e

sabe também que se fizer 3.(4 + 5) = 3.4 + 3.5 = 12 + 15 obtém o mesmo resultado.

Se tivermos 2.6 + 9.6 podemos fazer 11.6, pois temos (2 + 9).6. Obtém-se o

mesmo resultado.

Se um número estiver ‘colado’ (justaposto) em um parêntese, sem nenhum

sinal, significa uma multiplicação.

Assim: 5(4 + 3) ou (4 + 3)5 é o mesmo que 5.(4 + 3) ou (4 + 3).5.

26

Esta propriedade (distributiva da multiplicação) justifica a soma dos termos

semelhantes. 4x + 5x = 9x, pois (4 + 5).x = 4x + 5x.

Voltando a pergunta inicial: como se resolve as equações:

a) 3(x + 5) – 2 = 10?

Aplica-se a propriedade distributiva da multiplicação:

3x + 15 – 2 = 10; depois se resolve como as anteriores:

3x + 13 = 10 ;

3x + 13 – 13 = 10 – 13 ;

3x = – 3 ; (três vezes quanto dá menos três?)

3

1. 3x =

3

1. (– 3);

x = – 1 .

Não esquecer de verificar se a resposta está certa: 3.(– 1 + 5) – 2 = 10.

Tem outras formas de resolver esta equação: utilizando operações inversas ou

também pelo processo de esconder. Tente resolver.

b) 2(x + 4) – 3(2x – 3) = – 3 Aplicamos duas vezes a propriedade distributiva:

2x + 8 – 6x + 9 = – 3 ( observe que – 3.(– 3) = 9)

– 4x + 17 = – 3

– 4x + 17 – 17 = – 3 – 17

– 4x = – 20 (menos quatro vezes quanto dá menos vinte?)

– 4

1. (– 4x) = –

4

1.( – 20)

X = 5 Verifique se 2(5 + 4) – 3(2.5 – 3) = – 3.

c) 2 – (x + 3) = – 2(3x + 1) Menos na frente do parêntese significa o mesmo que

multiplicar por menos um (–1).

2 – x – 3 = – 6x – 2

– 1 – x = – 6x – 2

– 1 – x + 6x = – 6x – 2 + 6x

– 1 + 5x = – 2

– 1 + 5x + 1 = – 2 + 1

5x = – 1 (cinco vezes quanto dá menos um?)

5

1 . 5x =

5

1 . ( – 1)

27

x = – 5

1 Verifique se 2 – (–

5

1 + 3) = – 2(3. (–

5

1) + 1).

Agora você resolve essas:

d) ( ) ( )521100523 −−=+ xx e) ( )534 +−= xx

f) ( ) xxx +=−+ 7216 g) ( ) ( )7215 +=−− xx

3) E quando a equação possui denominadores?

Para eliminar os denominadores multiplicamos todos os termos (dos dois

membros, não esqueça) pelo m.m.c. dos denominadores.

Exemplo: 43

32

5

13−=

+−

+x

xx m.m.c.(5,3) = 15

15. 5

13 +x – 15.

3

32 +x= 15. ( 4−x )

3. (3x + 1) – 5. (2x + 3) = 15. ( 4−x ) e resolve-se como as anteriores.

9x + 3 – 10x – 15 = 15x – 60

– 1x – 12 = 15x – 60

– 1x – 12 – 15x = 15x – 60 – 15x

– 16x – 12 = – 60

– 16x – 12 + 12 = – 60 + 12

– 16x = – 48 (menos dezesseis vezes quanto dá menos quarenta e oito?)

– 16

1. (– 16x) = –

16

1. (– 48);

x = 3 ; verifique se 5

13.3 + –

3

33.2 + = 3 – 4

Resolva essas:

a) 52

3=

+ xx b) 874

5

2−=− x

x

c) ( )5

1235

5

24=++

−x

x d)

( )01

3

12

2

3=+

−−

xx

4) Toda equação tem solução?

Veja essa:

a) O dobro de um número é igual ao dobro desse número mais um.

Traduzindo para a linguagem algébrica: 2x = 2(x + 1).

28

2x = 2x + 2

2x – 2x = 2x + 2 – 2x

0x = 2 ??? Qual é o número que multiplicado por zero vai dar dois? Sabemos que

qualquer número vezes zero é sempre zero. Essa equação não tem solução.

Então, nem todas as equações tem solução.

b) Observe essa: seis vezes um número subtraído de um é igual ao dobro desse

número subtraído de seis. Traduzindo: 6(x – 1) = 2x – 6.

6x – 6 = 2x – 6

6x – 6 – 2x = 2x – 6 – 2x

4x – 6 = – 6

4x – 6 + 6 = – 6 + 6

4x = 0 ??? Qual é o número que multiplicado por quatro dá zero? É o zero.

Essa equação tem solução. Observe atentamente as duas equações e

explique a diferença entre as duas situações.

Resolva essas:

c) O triplo de um número somado com um é igual a esse número adicionado a um.

d) O quíntuplo de um número subtraído de três é igual a quatro adicionado ao

quíntuplo desse número.

e) O sêxtuplo negativo de um número é igual ao quádruplo desse número.

f) O dobro de um número subtraído de cinco é igual a três somado com esse número

adicionado de dois.

29

8 – REFERÊNCIAS

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BOYER, Carl B. História da Matemática; tradução Elza f. Gomide, SP: Edgard

Blücher, 1974. BRITO Márcia R. F. (org). Psicologia da Educação Matemática, Florianópolis, SC:

Insular, 2005. CARAÇA, Bento de J. Conceitos Fundamentais da Matemática, 6ª Ed. Lisboa:

Gradativa, 2005. COXFORD, Arthur F.; SHULTE, Alberto P.. As Idéias da Álgebra, SP: atual, 1995. FIORENTINI, D.; MIORIM, M. A.; MIGUEL, A. Contribuições para Um Repensar ...

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30

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31

Secretaria do Estado de Educação – SEED

Superintendência da Educação – SUED

Diretoria da Política e Programas Educacionais – DPPE

Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE

Equações de 1º Grau com Significação

Dois Vizinhos - PR 2008

32

UNIVERSIDADE CENTRO- OESTE DO PARANÁ – UNICENTRO

PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE

GUARAPUAVA – PARANÁ

Equações do 1º Grau com Significação Unidade Didática para o Colégio Estadual Leonardo da Vinci, realizado pela professora Rejane Melara, como requisito previsto pelo Programa PDE – 2008. Orientador: Prof. Dr. Osmar Ambrosio de Souza

Dois Vizinhos - PR

2008