Superficie Poligonal 1

Prof Romulo Advincula da Rocha

b

B

h

A1

A2

Superfície poligonal

Superfície poligonal - È uma figura plana composta da união de um polígono com todos os pontos de seu interior Áreas de figuras planas Área de uma superfície é um numero real positivo tal que: Medir a área de uma superfície é compara-la

com uma superfície adotada como unidade. A unidade fundamental de área é o metro quadrado, simbolizado por m2 que é uma superfície quadrada com 1m de lado. Analogamente definem-se:

km2, hm2, dam2, dm2, cm2, mm2 como quadrados de lados de 1 km, 1hm, 1dam, 1dm, 1 cm, 1 mm respectivamente. Utilizando a escala abaixo percebemos que:

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 1km2 = 100 hm2 1hm2 = 100 dam2 1dam2 = 100 m2 1m2=100dm2 Na escala de unidade área cada unidade é 100 vezes a unidade imediatamente inferior

Áreas de alguns polígonos A partir do conceito de área vamos calcular a área de alguns polígonos Retângulo Consideremos um retângulo de base 5 cm e altura 3 cm e dividindo-o em quadrados de 1cm2 percebemos que a área é de 15 cm 2. Logo percebemos que área A do retângulo é o produto da base pela altura

A=bh

Obs: a altura representada por h é referente à altura no idioma inglês high Quadrado é um retângulo, logo sua área A é o produto da base pela altura. A=a2

Paralelogramo Note que por equivalência plana que a área do paralelogramo e a mesma de um retângulo.

A=bh Triângulo Perceba que a área do triangulo e metade da área de um paralelogramo.

2

bh

A

Trapézio Observe que a área trapézio pode ser decomposta em dois triângulos de bases b e B, logo por equivalência plana, sua área é igual a soma das áreas dos triângulos contíguos.

1 22 2

2

trapezio

trapezio

bh BhA A A

B b hA

a

a

b

h


a b

c

r

a

b

b

h

Expressões da área do triangulo

Área do triangulo em função dos lados.(Hieron) Sejam a, b e c os lados do triangulo e p o semiperimetro.

- - -A p p a p b p c

Área do triangulo em função dos lados e do raio da circunferência inscrita.

Área do triangulo em função dos lados e do raio da circunferência circunscrita.

abc

A =4r

Área do triangulo em função de dois dos lados e do seno do ângulo compreendido.

2

absenA

=

Área do triangulo eqüilátero

2 3

4A

l

. Losango Pode ser decomposto em quatro triângulos congruentes, logo por equivalência plana, sua área é igual a soma das áreas dos triângulos contíguos.

4 2 2 2 2

2

losango

losango

bh dA bh mas b D e h

DdA

Área de o polígono regular

Pode ser decomposto em n triângulos congruentes, logo por equivalência plana, sua área é igual a soma das áreas dos triângulos contíguos.

n

onde

a

n n naA n n semiperimetro

2 2

apotema

l l

A = p a

A área de um polígono regular de n lados é o produto da medida do semiperimetro (p) pela medida do seu apótema.

Apótemas e lados de polígonos notáveis inscritos em uma circunferência

polígono lado apótema r apótema l

3 3rl 2

r 3 3

63a

l=

4 2rl 2

2

r

44

2a

l

6 rl 3

2

r 6

6

3

2a

l

Obs: Podemos calcular os apótemas e os lados de um

polígono regular em função do raio da circunferência e do seno, cosseno ou tangente do ângulo interno deste polígono.

an

ln

B

A

C

M

r

a

c b

A=pr

D

d


A1 A2

l1

L2

O

r

A

O r

R

A B

C D

M

N

Razão entre as áreas de figuras planas semelhantes

2

1 1

2 2

A

A

l

l

Medida da circunferência e área do círculo

Comprimento da circunferência: Coloque um disco sobre uma mesa e com

um barbante dê uma volta completa no mesmo. A seguir, estique o barbante e meça o seu comprimento. Calculando a razão entre as medidas do barbante e do diâmetro do disco, vamos ter aproximadamente: 3,14 ,este número é

representado pela letra grega (pi).

Logo o comprimento dessa circunferência é igual a

2 vezes o raio da mesma.

Area do circulo ou disco e de suas partes

De maneira intuitiva observamos que o circulo de raio r é equivalente a um triangulo retângulo de

catetos r e 2r, então temos:

22

2 2

x xb h r rA r

Setor circular

Formando uma regra de três:

2 02 360

area arco angulo

r r

A

Segmento circular

2 2

0360 2

segmento setor triangulo

segmento

A A A

r r senA

Coroa circular

2 2

coroaA R r

1-(Covest-1987) Assinale entre as alternativas abaixo o valor da área região plana sombreada na figura, sabendo que o quadrado ABCD está inscrito numa circunferência cujo raio mede R,em cm2. p=π

a) 2 2R b)2 2R c)2 2R

d)2 2R e)2R R

2-(Covest-1987) Na figura abaixo, os triângulos ABN, BDN e DAN tem a mesma área, o triangulo BCM tem área CDM e o triangulo ABD tem a área BCD. Indique a fração da area do quadrilátero ABCD que representa a área do triangulo ACD .

a) 3

4 b)

5

12 c)

1

2 d)

3

8 e)

2

3

3- (Covest-1988) O quadrilátero abaixo é um trapézio isósceles com as dimensões indicadas.

r

2 r

Indicamos:

r raio comprimento do

arco A área do setor ângulo central

O

r

A

2

360 2o

r rA


Calcule a área, em cm2, da região sombreada da figura. a)70 b)75 c)80 d)84 e)90 4-(Covest-1990)- Na figura a seguir o quadro ABCD tem área total de 40m2. Sabe-se que E e F são os pontos médios dos lados AB e CD respectivamente , forma-se então o quadrilátero FGEH (sombreado) que possui área de :

a) 10 b)11 c)10 2 d)25 e)30

6- -(Covest-1990) A área do trapézio da figura é:

a) 2 21x y +

2z x

b) 2 21x y -

2z x

c) 1

2x z y

d) 1

2x y z

e) 1

2xy xz

7- (Covest-1991 MAT I) Qual a área, em centímetros quadrados, do triângulo AEF,sabendo-se que o quadrado ABDC tem lado medindo 12cm, ED = 9 cm e FD= 8 cm? ( Veja a figura ) 8-(Covest-1991 MAT II ) Determine o valor de a, de forma que a área do trapézio ABCD seja igual a 35 vezes a área do triângulo OAB.

9-Na figura abaixo aparecem triângulos retângulos isósceles,quadrados e um paralelogramo. Se a área do quadrado hachurado mede 1m2, quando mede a área do triângulo maior. 10- (Covest-1992 MAT II ) Considere um triângulo retângulo isósceles e uma circunferência inscrita, como na figura abaixo. Sabendo que o raio da circunferência mede 5cm, qual o inteiro mais próximo da medida em cm2 da área do triângulo?

Considere: 2 1,41

11-(Covest-2000) Dois círculos se tangenciam externamente e tangenciam internamente a um terceiro círculo (veja a ilustração). Se os centros dos três círculos são colineares, e a corda do terceiro círculo que é tangente aos outros dois em seu ponto de tangência, mede 20, qual a área da região interna ao terceiro círculo e externa aos outros dois? a) 49 b)50 c)51 d)52 e)55 12- (Covest-2000) Seja ABCD um paralelogramo de área 60, e o ponto médio de BC e F a interseção da diagonal BD com AE.

a

A E B

G H

C F D

X

y

z

14cm

30cm

10cm

14cm

30cm

10cm


Sobre as áreas das regiões em que fica dividido o paralelogramo, é incorreto afirmar que: a) A área de ABF é 12. b) A área de ABE é 15. c) A área de BEF é 5. d) A área de AED é 30. e) A área de FECD é 25. 13- (Covest-2002)- O paralelogramo ABCD está dividido em quatro paralelogramos, como ilustrado na figura abaixo. As áreas de EBFI, IFCG e HIGD são dadas por 15x, 10 x2 e 14x para algum real positivo x, respectivamente. Qual a área de AEIH? a)15 b)21 c)24 d)25 e)28 14-Na figura abaixo, cada um dos pontos A, B, C é o centro de um arco de circunferência de

raio20

cm. Indique o comprimento, em cm, da

curva composta pelos arcos AB,BC e CA. 15-Calcule a área destacada em cada figura:

2

2 2 2 2

2 2 2

A E B

F

C G D

H I

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