Superfícies de Revolução e Outras Aplicações Aula...

Aplicacoes da Integral - Continuacao

Superfıcies de Revolucao e Outras AplicacoesAula 32

Alexandre Nolasco de CarvalhoUniversidade de Sao Paulo

Sao Carlos SP, Brazil

29 de Maio de 2014

Primeiro Semestre de 2014

Turma 2014106 - Engenharia Mecanica

Alexandre Nolasco de Carvalho ICMC - USP SMA 301 Calculo I


Cascas CilındricasComprimento de ArcoArea de Superfıcie de RevolucaoArea de superfıcie de Revolucao - Teorema de Papus

Cascas Cilındricas

Considere um solido S obtido pela rotacao, em torno do eixo y , daregiao limitada por y = f (x), onde f (x) ≥ 0, e pelas retasy = 0, x = a e x = b. Seja P = (xi ) uma particao do intervalo[a, b] e seja ci ∈ [xi−1, xi ] o ponto medio do i-esimo intervalo,ci = (xi + xi−1)/2. Se o retangulo com base ∆xi = (xi − xi−1) ealtura f (ci ) e girado ao redor do eixo y , entao o resultado e umacasca cilındrica cujo volume e

Vi = (2πci )f (ci )∆xi = [circunferencia][altura][espessura].




Portanto uma aproximacao para o volume V de S e dada pelasoma dos volumes dessas secoes:

V ≈n

∑

i=1

Vi =

n∑

i=1

(2πci )f (ci )∆xi .

Esta aproximacao torna-se melhor quando ‖P‖ = max1≤i≤n

∆xi → 0.

Entao definimos o volume do solido S obtido pela rotacao, em

torno do eixo y , da regiao limitada por y = f (x), ondef (x) ≥ 0, y = 0, x = a e x = b por

V = 2π lim‖P‖→0

n∑

i=1

ci f (ci )∆xi = 2π

∫ b

a

xf (x) dx .




Exemplo

Determine o volume do solido obtido pela rotacao, em torno do

eixo y , da regiao limitada por y = 2x2 − x3 e y = 0.

V = 2π

∫ 2

0xf (x) dx = 2π

∫ 2

0x(2x2 − x3) dx

= 2π

∫ 2

0(2x3 − x4) dx = 2π(8− 32

5) =

16

5π.




Comprimento de Arco

Queremos definir o comprimento de uma curva. Se a curva e umapoligonal, podemos facilmente encontrar seu comprimentosomando os comprimentos dos segmentos de reta que formam apoligonal. Agora suponhamos que a curva C seja o grafico dafuncao y = f (x), onde f e derivavel e a ≤ x ≤ b. Seja P = (xi )uma particao de [a, b]. Entao a poligonal com vertices (xi , f (xi )) euma aproximacao para C . O comprimento da curva C eaproximadamente o comprimento da poligonal, e a aproximacaotorna-se melhor quando ‖P‖ → 0.




O comprimento da poligonal e

L(P) =n

∑

i=1

√

(xi − xi−1)2 + (f (xi )− f (xi−1))2.

Aplicando o Teorema do Valor Medio em cada intervalo [xi−1, xi ],existe um ci ∈ (xi−1, xi ) tal que

f (xi)− f (xi−1) = f ′(ci )(xi − xi−1) = f ′(ci )∆xi .




Segue

L(P) =

n∑

i=1

√

(∆xi )2 + (f ′(ci )∆xi)2 =

n∑

i=1

√

(1 + (f ′(ci ))2∆xi .

Entao, definimos o comprimento da curva C por

L = lim‖P‖→0

n∑

i=1

√

(1 + (f ′(ci ))2∆xi =

∫ b

a

√

1 + [f ′(x)]2 dx .




Exemplo

Calcule o comprimento de arco de y = x3/2, 1 ≤ x ≤ 4.

Como y = f (x), temos f ′(x) =3

2x1/2, e assim,

L =

∫ 4

1

√

1 +9

4x dx .

Fazendo, u = 1 +9

4x , entao du =

9

4dx . Quando x = 1, u =

13

4;

quando x = 4, u = 10. Portanto,

L =4

9

∫ 10

13/4

√u du =

4

9

2

3u3/2

∣

∣

∣

∣

10

13/4

=8

27

[

103/2 −(

13

4

)3/2]

.




Exercıcio: Calcule o comprimento da curva

y =√1− x2, 0 ≤ x ≤

√2

2. [R : π/4].




Area de Superfıcie de Revolucao

Uma superfıcie de revolucao e formada quando uma curva e giradaao redor de uma reta. Tal superfıcie e a fronteira lateral de umsolido de revolucao ja discutido anteriormente.




Considere um tronco de cone circular reto, de geratriz g , raio dabase maior r1 e raio da base menor r2. Esta e a superfıcie derevolucao obtida pela revolucao de um segmento em torno de umeixo.

g

r1

r2

m

✻




A area lateral, AT , do tronco de cone e dada por

AT = π(r1 + r2)g = 2πrg ,

onde r =1

2(r1 + r2).




Podemos entao calcular a area de uma superfıcie gerada pelarevolucao de uma poligonal plana em torno de um eixo deste planopois a area desta superfıcie e a soma das areas laterais de troncosde cones.Seja A a area lateral da superfıcie gerada pela rotacao da poligonalda figura abaixo. Entao temos




rn

r2

r1 ℓ1

ℓ2

ℓnq

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

✻

A = 2π r1ℓ1 + · · ·+ 2π rnℓn

✻




Agora vamos deduzir a area lateral de um solido de revolucaoqualquer em torno do eixo x pela aproximacao da soma das areaslaterais de varios troncos de cone.




Consideremos f definida e positiva em [a, b] com derivada contınuaem (a, b). Seja P = (xi ) uma particao de [a, b]. Consideremos apoligonal com vertices (xi , f (xi )) e girando-a ao redor do eixo x

obtemos uma aproximacao para a superfıcie. A area de cadatronco de cone e

Ai = 2πf (xi ) + f (xi−1)

2

√

1 + [f ′(ci )]2∆xi ,

onde ci ∈ [xi−1 , xi ], como foi feito anteriormente. Quando ∆xi epequeno temos que f (xi ) ≈ f (ci ) e tambem f (xi−1) ≈ f (ci ) pois fe contınua.




Portanto,

Ai ≈ 2πf (ci )√

1 + [f ′(ci )]2∆xi ,

e entao uma aproximacao para a area da superfıcie e

n∑

i=1

2πf (ci )√

1 + [f ′(ci )]2∆xi .

Esta aproximacao torna-se melhor quando ‖P‖ → 0. Entaodefinimos a area da superfıcie obtida por rotacao, ao redor do

eixo x, da curva y = f (x), f (x) ≥ 0, a ≤ x ≤ b, como

S= lim∆P→ 0

n∑

i=1

2πf (ci )√

1+[f ′(ci )]2 ∆xi =2π

∫ b

a

f (x)√

1+[f ′(x)]2dx .




Exemplo

Encontre a area da superfıcie obtida pela rotacao da curva

y =√R2 − x2, −R ≤ x ≤ R , ao redor do eixo x .

Temos f ′(x) =−x√

R2 − x2, e assim,

S = 2π

∫ R

−R

√

R2 − x2

√

1 +x2

R2 − x2dx

= 2π

∫ R

−R

√

R2 − x22√

R2 − x2dx = 2Rπ

∫ R

−R

1 dx = 4πR2.




O Centro de massa de uma curva e o Teorema de Pappus

Inicialmente definimos o ponto medio de um segmento como o seucentro de massa. Assim o centro de massa de uma poligonal edado por:




✻

✲x

y

ℓn

(xn,yn)

(xc ,yc)

(x1,y1)

ℓ1

q

q

q

q

q

q

q

q

xc =c · ℓ1 · x1 + · · · + c · ℓn · xn

c · ℓ1 + · · ·+ c · ℓn

=ℓ1 · x1 + · · ·+ ℓn · xn

ℓ1 + · · ·+ ℓn

yc =c · ℓ1 · y1 + · · · + c · ℓn · yn

c · ℓ1 + · · ·+ c · ℓn

=ℓ1 · y1 + · · ·+ ℓn · yn

ℓ1 + · · ·+ ℓn




xn

x2

x1ℓ1

ℓ2

ℓnr

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

A = 2π x1 · ℓ1 + · · ·+ 2π xn · ℓn

= 2π(x1ℓ1 + x2ℓ2 + · · · + xnℓn)

ℓ1 + · · ·+ ℓn· L

= 2π xc · L , L = ℓ1 + · · ·+ ℓn

Semelhantemente, para a rotacaoem torno do eixo x

A = 2π yc · L




Um processo de passagem ao limite (tomando mais e mais pontossobre a curva) resulta no seguinte resultado

Theorem (Teorema de Pappus)

Se uma linha plana gira em torno de um eixo de seu plano a area

da superfıcie gerada e igual ao comprimento dessa linha

multiplicado pelo comprimento da circunferencia descrita por seu

centro de massa. Isto e

A = 2πycL = 2π

∫ b

af (x)

√

1 + f ′(x)2dx∫ b

a

√

1 + f ′(x)2dx

∫ b

a

√

1 + f ′(x)2dx

para a rotacao em torno do eixo x ou

A = 2πxcL = 2π

∫ b

ax√

1 + f ′(x)2dx∫ b

a

√

1 + f ′(x)2dx

∫ b

a

√

1 + f ′(x)2dx

para a rotacao em torno do eixo y .




Area do Toro

��✒✲✛

✒R

✶ rAc = 2πr · 2πR

= 4π2 Rr


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