Surpresas Sobre a Lei da Gravitação Universal

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 Surpresas Sobre a Lei da Gravitação Universal Vitor Veneza Quimas Macedo *  Aluno do Quinto Período de Informática, UFRJ. Orientação: Bruno Costa, Matemática Aplicada – IM -UFRJ.

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Surpresas Sobre a Lei da Gravitação

Universal

Vitor Veneza Quimas Macedo* 

Aluno do Quinto Período de Informática, UFRJ. Orientação: Bruno Costa, Matemática Aplicada – IM -UFRJ.

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Resumo: Apresento neste texto fatos sobre a Lei da Gravitação Universal e como

Isaac Newton chegou aos resultados que levaram a uma revolução na ciência

moderna.

Também serão apresentados argumentos que mostrarão que opensamento que muitos tem sobre a forma da aplicação da Lei da Gravitação

Universal é errôneo, mas que para poucos e particulares casos essa aplicação é

válida, e que dentre eles está o mais importante dos casos, os corpos celestes.

Esta é uma foto de uma edição do Principia que pode ser encontrada na

Biblioteca de Obras Raras da UFRJ-Centro de Tecnologia.

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Introdução

Qual seria a magnitude da força de atração do conjunto abaixo, sendo R 

o raio e M a massa do anel e d a distância entre o centro de massa do anel e oponto P , sendo a massa deste m?

O que normalmente se supõe é que devemos concentrar a massa no

centro massa do corpo e simplesmente considerar o anel como sendo um

ponto e neste caso a magnitude da força seria2

GMmF = .

Porém, fazendo uma análise mais detalhada façamos da seguinte

maneira:

Separe a força F nas seguintes componentes, dividindo o aro em npartes, de modo que sejam criados Fi(s), no qual cada Fi representa a força de

atração entre P e cada ponto do aro:

Separe agora Fi em duas componentes, uma na direção do centro do aro

e a outra contida no plano do mesmo. Podemos verificar facilmente que as

componentes de todos Fi(s) que estão contidas no aro se anulam, veja a figura

abaixo:

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Basta então calcularmos qual será o valor da soma de todas as

componentes dos Fi(s) na direção do centro do aro, mas sabemos como

calcular a magnitude de cada Fi que é dada por θ cos22

×+ Rd 

GmMi , e

22cos

 Rd 

+=θ  , temos então que o resultado é dado por

( )2

322

 Rd 

GmMid 

+

. Falta

agora sabermos quanto vale Mi, como dividimos o aro em n partes, pudemossupor que cada parte do mesmo tinha massa

n

 M  Mi = , então se somarmos todos

os Fi(s) teremos( ) ( ) ( )2

322

1 1

2

3222

322

 Rd 

GmMd  Mi

 Rd 

Gmd 

 Rd 

GmMid n n

+

=

+

=

+

∑ ∑ , o que é diferente

da equação obtida quando se concentra a massa do aro no centro de massa domesmo e supõe que este é um ponto, mas se olharmos mais cuidadosamenteverificaremos que as duas equações serão exatamente iguais se tendermos R azero, o que ocorre quando trabalhamos com distâncias em que R é desprezível.

É possível mostrar que este método de concentração de massa no centrode massa é válido para certos casos particulares. Se supusermos que umacasca esférica é formada por uma infinidade de aros sucessivos de raios quevão desde zero, na extremidade da casca, até o valor do raio da mesma no seucentro, podemos usar um argumento geométrico aliado ao cálculo integral,que essa suposição é correta.

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Sendo a mesma correta, se pensarmos que planetas e os corpos celestes

em geral são basicamente cascas esféricas concêntricas cuja densidade é

proporcional à distância das mesmas ao centro de massa da esfera, podemos

concluir que este método também é válido para tais corpos celestes.(1)

Um pouco de história

A Lei da Gravitação Universal foi desenvolvida por Isaac Newton, quedurante o fechamento da Universidade de Cambridge na Inglaterra, devido à

peste que assolou Londres em 1665, deu início aos pensamentos que

mudariam os fundamentos da ciência.

Em 1672 foi publicado o primeiro trabalho científico de Newton que

tratava de suas descobertas sobre a natureza da luz, e devido a críticas de

alguns, dentre eles Robert Hooke, Newton relutou, a partir de então, a

apresentar novos trabalhos.

Mas em 1679, devido às correspondências que trocavam, na qual Hooke

sugeriu que os planetas eram atraídos por uma força central que diminuía com

o quadrado da distância, as idéias de Newton sobre essas questões reviveram.Edmund Halley se interessou pelo tema e ao visitar Newton em

Cambridge em 1684 perguntou especificamente qual seria a forma da órbita

de um planeta que fosse atraído por uma força da forma descrita por Hooke,

Newton imediatamente disse que era uma elipse dizendo que havia provado

este fato há tempo, mais tarde Halley recebeu duas provas sobre a questão, e

percebendo a importância deste trabalho decidiu com o apoio da Royal

Society a persuadir Newton a publicar suas descobertas, o que levou a

publicação, em 1687, de um dos mais importantes livros da ciência, o

Principia.

A Lei do Inverso do Quadrado

No ponto de partida da análise da magnitude de F Newton primeiro

separa o movimento de um corpo P em torno da fonte da força S.

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 Ele faz isso considerando a trajetória que P percorreria caso F deixasse

de atuar sobre o mesmo a partir de uma dada posição, ou seja, na direção dareta tangente, e então considera o movimento na direção na qual F atua em

toda a sua magnitude, na direção de SP, ficamos então com Q que é a posição

de P decorrido um tempo pequeno t ∆ , QR paralelo a SP e QT perpendicular a

RPZ.

Considere que em P a velocidade na direção de PS vale zero, neste caso

S deslocou P em sua direção uma distância QR, como t ∆ é pequeno Newton

considera que F não variou de P até Q, ou seja2

)(2t a

QR∆

= ,comom

F a = temos

que 2

2

mQR

Fp ∆= .

Agora precisamos verificar quanto vale2

1

t ∆, nesta parte Newton usa a

constante de Kepler κ   , pois ele já havia provado que basta assumirmos que se

P sofre atuação de uma força central então a linha que liga P a S percorre áreas

iguais em tempos iguais, sendo assim

QT SP

ngulo ÁreadoTriâ

 Área

×=

∆≈

∆=

2κ   , então

2

2

2)(

41

QT SPt  ×=

κ  , substituindo na

relação anterior temos 22

2

QTSP

mQR8ê

Fp ×=

. O que Newton precisa agora é tender Qa P e ver o que acontece, mas para isso ele precisa supor a órbita percorrida, e

neste instante ele assume que é uma elipse (2). Temos então o seguinte :

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22

2

limSP

m8k Fp

QT 

QR

PQ→×= , visto que somente QR e QT se alteram ao movermos Q à

P, e o que se segue é um dos argumentos mais famosos da ciência, e Newton

usa o seguinte diagrama para prová-lo:

Esta figura está na nota de uma libra que foi impressa em 1960. (Reparem na

figura e tentem ver o que está errado, a resposta está no final do artigo)

Aqui está uma foto do Principia com o mesmo diagrama.

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Temos que DK, HI e Qx são paralelos a tangente em P RPZ, S e H são

os focos da elipse, QT é perpendicular em SP e PF é perpendicular em DK.Para mostrar a sutileza da prova, Newton começa verificando que EP=AC e

faz uso da primeira das seguintes propriedades clássicas da elipse para prová-

la, sendo que as demais propriedades são usadas para demonstrar as relações

citadas logo abaixo:

1- Os ângulos <ZPH e <RPS são iguais para qualquer tangente da elipse.

2- Seja t a reta tangente à elipse num ponto P, V um ponto do segmento

que liga P passando pelo centro da elipse e chega em G e seja X um o

ponto na elipse que descreve o segmento paralelo a t. A razão2

VX 

VPGV ×é

constante não importando qual V é escolhido.

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 3- A área de qualquer paralelogramo no qual um lado passa pelo centro da

elipse, seu lado paralelo é tangente à elipse e os outros dois lados são

tangentes à elipse nos pontos mostrados abaixo, é igual.

As relações são as seguintes:

1-

PC 

 AC 

Pv

QR=  

2-PvGvCD

PC 

Qv ×

×=11

2

2

2( Propriedade 2)

3-22

2

2

11

QvPF 

 AC 

QT ×= Newton faz aqui sua primeira aproximação pois ele

supõe que como Q está muito perto de P então Qx=Qv o que implica em22

QvQx = o que já está alterado na relação acima.

4-2

2

2

2

CB

CD

PF 

 AC = ( Propriedade 3)

Utilizando as relações acima e as substituindo em2

QT QR L × ele chega ao

seguinte resultado:Gv

PC  L

QT 

QR 22

=× então LGv

PC 

QT 

QR 122

×= o que implica em

 LQT 

QR

PQ

1lim

2=

pois Gv se aproxima de 2PC quando Q tende a P.a

b L

22= e é

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chamado de latus rectum da elipse, Newton chega agora na lei do inverso do

quadrado.

Finalizando a relação inicial temos2

218

SP L

mFp ×=

κ  . Se substituirmos

κ   por T 

abπ 

, que nada mais é que a área da elipse dividida pelo período da

órbita, e L pora

b2

2temos uma outra forma de escrever a equação que só

depende de SP que chamaremos de R, então ficamos com a seguinte relação:

22

324

 RT 

maFp

π = .

O Teste da Lua

Newton agora precisa verificar se a relação que ele havia encontrado

condizia com os dados da natureza e ele parte para testá-la usando a Lua.

Para simplificar vamos considerar que a órbita da Lua seja circular e

que sua velocidade angular seja constante, sendo assim os dados numéricos

são os seguintes:

1- raio da terra ~ 4000 milhas.

2- distância da terra a Lua ~ 240000 milhas ou 60R.

3- período da Lua 27 dias 7 horas e 43 minutos ou 39343 minutos.

Veja o esquema abaixo:

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Observe que θ   vale39393

360pois estamos considerando um intervalo de um

minuto entre P e Q, deste modo é possível calcular x que vale 0.00000078R,

este comprimento está na direção na qual atua somente a força centrípeta,

então este é o valor no qual a terra deslocou a Lua no intervalo de um minuto,

vamos agora calcular a aceleração que a Lua sofre em direção à terra

teoricamente:  R R

m

Fp00000153.0

394343

604 2

==π 

, como a velocidade inicial em P

na direção QQ’ vale zero, temos que o espaço percorrido é dado por

p(t)= 22

000000765.02

)00000153.0( Rt 

t = , como nosso intervalo de tempo é um

minuto, t vale um, portanto o valor teórico de x é 0.000000765R, tendo em

consideração que uma milha vale 1609 metros concluímos que 4,92 metros é o

valor teórico e 5,02 metros é o valor verificado por observação, o que está em

concordância visto que a órbita da Lua não é circular e foram ignorados osefeitos da gravidade do sol e também devido as aproximações nas contas.

Newton havia confirmado sua teoria.

Para chegar a Lei da Gravitação Universal da maneira como a

conhecemos hoje basta verificarmos que pela terceira lei de Newton se S atrai

P então P atrai S na mesma proporção só que em sentido contrário, o que nos

leva a concluir que Fp deve ser proporcional também à massa de S, partindo

desse ponto de vista façamos o seguinte:

Seja

 L

Cp28κ 

= como Fp = Fs então mCp M Cs ×=× pois2

CsM Fs = .

Seja G a razãom

Cse M 

Cp, como CsmG =× e Cp M G =× e considerarmos que

F=Fs=Fp então chegamos a nossa conhecida relação que é2

GmM F = .

Mas essa relação, como já deve ter sido notado, vale somente para

massas pontuais, a relação que rege a magnitude da intensidade do campo

gravitacional de um corpo de volume V e um ponto P é dada por:

dv

r  R

r  RG

V ∫∫∫  −

−3

ρ 

 

ρ  é a densidade em cada ponto de um corpo cujo volume é V, essa relação

calcula a soma vetorial da força gravitacional entre cada ponto do corpo e um

outro corpo pontual cuja posição é r.

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 Incríveis Conseqüências da Lei da Gravitação Universal

O maior triunfo da teoria que acabamos de verificamos foi que, através

dela, planetas puderam ser descobertos pelas discrepâncias entre o que era

esperado e o que era observado.

Em 1781, o astrônomo William Hershel descobriu que o que se pensava

ser um cometa era na verdade um planeta, que então foi chamado de Urano e

passou a ser o sétimo planeta do sistema solar. Esforços foram feitos para

calcular a órbita do novo planeta mas discrepâncias ocorriam entre o que era

calculado e o que era observado. Vários cientistas começaram a supor que a

gravidade de um outro planeta poderia estar afetando a órbita de Urano. Em

1845, John Adams e, em 1846 o francês Leverrier calcularam a órbita do

teórico planeta, neste mesmo ano, no Observatório de Berlim foi encontrado

um planeta perto da posição que os dois haviam calculado, este planetaconhecemos hoje como Netuno. Uma seqüência de fatos semelhantes levou ao

descobrimento de Plutão.

Fora essas incríveis descobertas, podemos citar também, que todas as

três leis de Kepler são, na verdade, conseqüências das leis de Newton.

Vale por último, citar que o tão famoso cometa Halley, em homenagem

ao contemporâneo de Newton Edmund Halley o qual o “descobriu”, através

Lei da Gravitação Universal desenvolvida por Newton. Após perceber que o

que se pensava serem cometas diferentes, era na verdade o mesmo cometa,

Halley fez cuidadosos cálculos, tendo em conta a gravidade de Júpiter e

conclui que este alcançaria o periélio em 13 de abril de 1759, dando uma

margem de erro de mais ou menos um mês. Halley alcançou então, mesmo 15

anos após a sua morte, a fama que dura até hoje, pois o cometa alcançou tal

ponto em 12 de março de 1759 (o sol está no centro da elipse).

Notas:

1 - Caso você esteja querendo ver mais detalhadamente tal demonstração, leia

a partir da página 507 do livro dado logo abaixo.

2 - Foi somente a partir da segunda edição do Principia (houve também uma

terceira) que Newton provou que a lei do inverso do quadrado implicava em

seções cônicas, mas não na primeira, na qual ele somente mostra que se a

curva é uma elipse então a magnitude da força é dada por esta lei.

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Bibliografia:

 Basic Calculus – From Archimedes to Newton to its Role in Science – Hahn,

Alexander

 Philosophie Naturalis Principia Mathematica – Newton, Isaac

WebSite:

http://www-groups.dcs.st-andrews.ac.uk/~history/HistTopics/Orbits.html 

Este site contém a seqüência histórica dos fatos e das pessoas (incluindo suas

biografias) que contribuíram para o estudo da lei da gravitação do nosso

sistema solar.