T E M A

 N G U L O S E

T R I Â N G U L O S

CONTEÚDOSCONTEÚDOS

• Ângulos

Complemento

Suplemento

Exemplos

• Triângulos

Classificações

Exemplos

Definição [ Ângulos ]

Chamamos ângulo à reunião de duas semi-retas de mesma origem.

O

A

B

b

a

AOB BOA aOb

O ponto O é o vértice do ângulo. Os lados do ângulo são as semi-retas

OA e OB.����������������������������

O

A

B

b

a

AOB BOA aOb

[ Ângulos Consecutivos ]

Dois ângulos são consecutivos se, e somente se, um lado de um deles coincide com um lado do outro.

O

A

B

C

consecBO utA sCOC ivoe

OC o lado comum��������������

[ Ângulos Adjacentes ]

Dois ângulos consecutivos são adjacentes se, e somente se, não têm pontos internos comuns.

O

A

B

C

e adjacBO eOB CA ntes

[ Ângulos Complementares]

Dois ângulos são ditos complementares quando a soma de suas medidas é 90°.

AOC BOC

90O

B

A

C

O

C

[ Exemplo ]

Qual o ângulo que excede o seu complemento em 76°?

[ Solução ]

Chamemos o ângulo procurado de x. Logo, seu complemento será (90° – x).

Como o ângulo excede o complemento em 76° temos x = (90° – x) + 76°,

encontrando 2x = 166° e logo x = 83°.

[ Ângulos Suplementares ]

Dois ângulos são ditos suplementares quando a soma de suas medidas é 180°.

A

CB O

AOC 180 BOC

[ Observação ]

O ângulo de medida 90° é chamado de

ângulo reto, e o de medida 180°, de

ângulo raso.

. x35

[ Exemplo ]

Obtenha o valor de x abaixo:

[ Solução ]

Basta ver que 35° + 90° + x = 180°, logo x = 180° - 125° = 55°.

[ Ângulos Opostos pelo vértice (o.p.v.) ]

Dois ângulos são o.p.v. se , e somente se, os lados de um deles são as respectivas semi-retas opostas aos lados do outro.

O

A

BC

D

AOB e DOC o.p.v.

[ Observação ]

Dois ângulos o.p.v. são congruentes.

[ Exemplo ]

Encontrar o valor de abaixo:

x y

A

BC

D

2x y

4 2x y

[ Solução ]

2x y x y

2 0x y x y

2 0x y

2x y i

Inicialmente temos que:

x y

A

BC

D

2x y

4 2x y

Ox y

A

BC

D

2x yO

Por outro lado, 4 2 2 180x y x y

6 3 180x y ii

Substituindo (i) em (ii), obtemos

6 2 3 180y y

9 180y

20y x y

A

BC

D

2x y

4 2x y

[ Solução ]

A

BC

D

2x y

4 2x y

Por último, 4 2x y

4 2 2y y

6y

6 20

120

[ Solução ]

A

BC

D 4 2x y

x y

A

BC

2x y

A

BC

D 4 2x yA

BC

Definição [ Bissetriz de um ângulo ]

Uma semi-reta Oc interna a um ângulo aÔb é chamada bissetriz desse ângulo se, e somente se,

aOc bOc

Oa

b

c

m aOc m bOc

[ Exemplo ]

Vamos obter x, sabendo que a semi-reta OP é bissetriz do ângulo AÔB:

30x 2y

10y

O A

P

B

[ Solução ]

Como OP é bissetriz temos

y – 10° = x + 30°, assim y – x = 40° (1)

Por outro lado sabemos que

2y + y –10° + x + 30° = 180°, assim

3y + x = 160° (2)

30x 2y

10y

O A

P

B

[ Solução ]

Por último resolvendo o sistema formado pelas equações (1) e (2)

y – x = 40°

3y + x = 160°

encontramos:

y = 50° e x = 10°.

[ Classificação de Um Ângulo Quanto à Medida]

• Agudo: quando mede menos que 90°

• Obtuso: quando mede mais que 90°

x

x

x < 90°

x > 90°

Definição [ Triângulos ]

Dados três pontos A, B e C, não colineares, chamamos triângulo ABC e indicamos por ▲ABC, à reunião dos segmentos AB, BC e AC.

A

CB

c

a

b

A

BB C

A

C

c

a

b

[ Triângulos ]

Identificando seus elementos temos:A

CB

• A, B e C são vértices;

• Os segmentos AB, BC e AC de medidas c, a, e b; são os lados;

• , e são os ângulos internos.A B C

[ Classificação dos triângulos ]

Essa classificação é feita observando-se dois critérios:

(1°) Lados: (2°) Ângulos:

* Escaleno * Retângulo

* Isósceles * Acutângulo

* Equilátero * Obtusângulo

[ Classificação dos triângulos ]

[ Escaleno ]

Todos os lados possuem medidas diferentes.

A

CB

x

y

z

, ,x y x z y z

[ Classificação dos triângulos ]

[ Isósceles ]

Possui dois lados com medidas iguais

(consequentemente, os ângulos da base

BC são iguais). A

CB

x

y

x

A

CB

2 40x y 45x

[ Exemplo ]

Se o ▲ABC é isósceles de base BC, determine x e y.

[ Solução ]

A

CB

2 40x 45x yy

Sabemos que os ângulos da base são iguais, logo,

Assim y + x + 45° = 180° e obtemos y + x = 135°(1)

Da mesma forma y + 2x - 40° = 180°, obtemos então y + 2x = 220°(2)

Resolvendo o sistema formado pelas equações (1) e (2) encontramos;

x = 85° e y = 50°

[ Solução ]

[ Classificação dos triângulos ]

[ Equilátero ]

Todos os lados possuem a mesma medida (consequentemente, os ângulos também):

A

CB

xx

x60 60

60

A

CB

xx

60

[ Classificação dos triângulos ]

[ Observação ]

No triângulo eqüilátero a altura divide a base BC em duas partes iguais:

2

x.

H

h

2

x

De fato observando o triângulo AHC e utilizando uma das relações trigonométricas temos:

y

A

CB

xx

.H

h

60

cos 60y

x

1

2

y

x

2

xy

Podemos deduzir também a fórmula da altura deste triângulo:

:No AHC2

2 2

2

xh x

A

CB

xx

.H

h

60

2

x2

x

3

2

xh

22 2

4

xh x

22 3

4

xh

[ Exemplo ]

Num triângulo isósceles, de perímetro 32 cm, a altura relativa à base vale 8 cm. Calcule as medidas dos lados congruentes.

A

CB.

H

8

[ Solução ]

Fazendo AB = AC = x, vem:

BC = 32 − 2x

Como H é o ponto médio de BC, temos:

BH = HC = 16 − x

xx

A

CB.

H

8

B

A

C

xx

.H

8

16 x 16 x

:No AHC

22 28 16 x x

Portanto, AB = AC = 10 cm.

32 320x

10x

[ Classificação dos triângulos ]

[ Retângulo ]

Possui um ângulo reto.

.

A

CB

[ Classificação dos triângulos ]

[ Acutângulo ]

Possui todos os ângulos agudos.

A

CB

0 , , 90

[ Classificação dos triângulos ]

[ Obtusângulo ]

Possui um ângulo obtuso.

A

CB

90 180

[ Definições Importantes ]

Mediana de um triângulo − é um segmento que une um vértice ao ponto médio do lado oposto.

A

CB1M

1AM mediana do lado BC

1AM mediana do vertice A

[ Definições Importantes ]

Bissetriz interna de um triângulo − é o segmento que une um vértice ao lado oposto e que divide o ângulo desse vértice em dois ângulos congruentes.

1AS bissetriz do lado BC

1AS bissetriz do vertice A

A

CB1S

11BAS CAS

[ Teorema Importante ]

Teorema do ângulo externo − Dado um ▲ABC um ângulo externo deste triângulo é sempre maior que qualquer um dos ângulos internos não adjacentes.

A

CB

Em particular temos que

A

CB

180

Agora como

180 180

[ Observação ]

(1) Ao maior lado opõe-se o maior ângulo,

(2) Em todo triângulo, cada lado é menor que a soma dos outros dois (desigualdade triangular), ou seja:

A

CB

c

a

b

c a b

a b c

b a c

[ Exemplo ]

Na figura abaixo, r é a bissetriz do ângulo AÔC. Se α = 40° e β = 30°, qual o valor de γ ?

rA C

O

.H

[ Solução ]

Como α + β = 70°, temos AÔC=110° e, como r é bissetriz, m(rÔC) = m(rÔA)=55°.

Por outro lado observando o ▲AOH temos que AÔH = 50°, mas como AÔH + γ = 55°, logo temos γ = 5°.

rA C

O

.H

[Congruência de Triângulos]

A idéia de congruência: duas figuras

planas são congruentes quando têm a

mesma forma e as mesmas dimensões

(isto é, o mesmo tamanho).

Para escrever que dois triângulos ABC e DEF são congruentes, usaremos a notação:

ABC DEF

Consideremos os triângulos abaixo:

A

C

B R

T

S

Existe congruência entre os lados:

AB e RS, BC e ST, CA e TR

e entre os ângulos:

A e R , B e S , C e T

Daí, o triângulo ABC é congruente ao

triângulo RST. Escrevemos:ABC RST

Dois triângulos são congruentes, se os

seus elementos correspondentes são

ordenadamente congruentes, isto é, os

lados correspondentes e os ângulos

correspondentes dos triângulos têm as

mesmas medidas.

Para verificar se dois triângulos são

congruentes, não é necessário conhecer a

medida de todos os elementos. Basta

conhecer três elementos, entre os quais

esteja presente pelo menos um lado.

[ LLL (Lado, Lado, Lado) ] Os três lados

são conhecidos.

Se dois triângulos têm, ordenadamente,

os três lados congruentes, então eles são

congruentes. Observe que os elementos

congruentes têm a mesma marca.

R S

T

A

C

B

[ LAL (Lado, Ângulo, Lado) ] Dados dois

lados e um ângulo.

Se dois triângulos têm ordenadamente

congruentes dois lados e o ângulo

compreendido, então eles são

congruentes.

BA

C

R S

T

[ ALA (Ângulo, Lado, Ângulo) ] Dados

dois ângulos e um lado.

Se dois triângulos têm ordenadamente

congruentes um lado e os dois ângulos a

ele adjacentes, então eles são

congruentes.

A

C

BR S

T

[ LAAo (Lado, Ângulo, Ângulo oposto) ]:

Conhecido um lado, um ângulo e um

ângulo oposto ao lado.

Se dois triângulos têm ordenadamente

congruentes um lado, um ângulo

adjacente e o ângulo oposto a esse lado

então eles são congruentes.

BA

C

R S

T

[ Exemplo 1 ]:

Na figura, o triângulo ABC é congruente

ao triângulo DEC. Determine o valor de x

e y. E

A DC

B

..3x

5y

y + 48°

2x + 10°

[Solução]:

3x

5y

y + 48°

E

A DC

B

..

2x + 10°

Como os triângulos ABC e DEC são congruentes (nessa ordem de elementos),

Temos que 3x = 2x + 10° e

5y = y + 48°, logo,

x = 10° e y = 12°.

[Proposição 1] A soma das medidas de

quaisquer dois ângulos internos de um

triângulo é menor que 180°.

[Demonstração]

Sabemos que a soma dos ângulos

internos de um triângulo é 180°, logo, a

soma de dois deles é menor que 180°.

[Corolário 1]

Todo triângulo possui pelo menos dois

ângulos internos agudos.

Dois triângulos que têm os mesmos ângulos NÃO são, necessariamente congruentes.

CONTEÚDOSCONTEÚDOS

• Triângulos

Definição

Critérios de semelhança

Exemplos

Definição [ Semelhança de Triângulos ]

Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem os três ângulos ordenadamente congruentes e os lados correspondentes (homólogos) proporcionais.

'A

'C'B

'c

'a

'b

A

CB

c

a

b

'A

'C'B

'c

'a

'b

A

CB

c

a

b

' ' 'ABC A B C

A A'

B B'' ' '

C C'

a b ce k

a b c

onde k é a razão de semelhança.

[ Exemplo 1 ]

Os triângulos ABC e A’B’C’ da figura abaixo são semelhantes. Se a razão de semelhança do 1° para o 2° é 3/2, determine:

(1) Os lados do ▲ABC,

(2) A razão entre seus perímetros. 'A

'C'B

10

14

12

A

CB

c

a

b

[ Solução ]

Utilizando a razão de semelhança temos

3

14 12 10 2

a b c

3

14 2

a 21a

3

12 2

b 18b

3

10 2

c 15c

[ Solução ]

Dessa forma o perímetro do ▲ABC é

54 u.c. Verificando a razão entre os

perímetros desses triângulos temos:

2 54 3

2 ' ' ' 36 2

p ABC

p A B C

A razão entre os perímetros é igual à razão de semelhança entre eles.

[ Teorema Fundamental ]

Se uma reta é paralela a um dos lados de um triângulo e intercepta os outros dois em pontos distintos, então o triângulo que ela determina é semelhante ao primeiro.

//DE BC ADE ABC ���������������������������������������� ���

A

CB

D E

[ Exemplo 2 ]

Se as retas DE e BC são paralelas, determine o valor de x.

A

CB

D E3

6

x

8

[ Solução ]

Já sabemos (pelo teorema anterior) que

os triângulos ABC e ADE são

semelhantes. Vamos então:

(1) separar as figuras

(2) escrever a proporção entre os lados

conhecidos.

A

CB

D E3

6

x

8

A

CB

9

x

A

D E

6

8

[ Solução ]

Escrevendo a proporção entre os lados correspondentes temos

6 8

9 x 6 72x 12x

A

CB

9

x

A

D E

6

8

[ Solução ]

[ Critérios de Semelhança ]

Em resposta à pergunta anterior temos:

[1º caso] Dois triângulos com dois ângulos ordenadamente congruentes são semelhantes.

B DA

CB

D E

A e angulo comum

ADE ABC

[ Critérios de Semelhança ]

[2º caso] Dois triângulos que possuem dois lados proporcionais e com ângulos compreendidos congruentes são semelhantes.

A

CB

c b

'A

'C'B

'c 'b

'A A

' '

b ck

b c

' ' 'ABC A B C

[ Critérios de Semelhança ]

[3º caso] Dois triângulos que possuem os lados correspondentes proporcionais são semelhantes.

' ' '

a b ck

a b c

' ' 'ABC A B C

A

C

Bc

ba

'A

'C

'B'c

'b'a

[ Exemplo 3 ]

Na figura abaixo, obtenha x:

.

x.5

815

17

A

CB D

E

[ Solução ]

Inicialmente separamos os triângulos e verificamos em qual caso de semelhança eles se enquadram

.815

17

A

CB B D

E

x5 .

[ Solução ]

Estão envolvidos dois triângulos retângulos com o ângulo do vértice B comum aos dois. Portanto se enquadram no 1° caso.

.815

17

A

CB B D

E

x5 .

[ Solução ]

Portanto

.815

17

A

CB B D

E

x

5.

8 15

5x 15 40x

40

15x

8

3x

[ Exemplo 4 ]

Determine a medida do lado do quadrado na figura abaixo:

6

.

.

.

.A

C

B

4DE

[ Solução ]

Observamos que os triângulos EDC e ABC são semelhantes pelo 1° caso.

Chamemos o lado do quadrado de x, assim

6

.

.

.

.A

C

B

4DE

xx

x

x

4 x

[ Solução ]

6

.

.

.

.A

C

B

4DE

xx

x

x

4 x

Portanto: 4

4 6

x x 4 24 6x x

10 24x 2,4x

[ Referências ]

• Iezzi, Gelson. Matemática: Ciência e

aplicações. São Paulo: Editora Atual, 2004.

• Giovanni, José Ruy. Matemática: Conjuntos,

Funções e Progressões. São Paulo:

FTD,1992.

Crescer é

Ser cada dia um pouco mais nós mesmos.

Dar espontaneamente sem cobrar inconscientemente. ...

Aprender a ser feliz de dentro para fora. ... Sentir a vida na natureza. ...

Reconhecer nossos erros e valorizar nossas virtudes. ...

Entender que temos o espaço de uma vida inteira para crescer. ...

Assumir que nunca seremos grandes, que o importante é estar sempre crescendo.