T Magali L D ’U É T A ’Ile2i.cnrs.fr/IMG/publications/lemaitre_these.pdf · 2 Simulation des...

UNIVERSITÉ DE BOURGOGNE

U.F.R. SCIENCES ETTECHNIQUES

THÈSE

présentée par

Magali L EMAITRE

pour obtenir le grade de

DOCTEUR DE L ’U NIVERSITÉ

discipline Instrumentation et Informatique de l’Image

ÉTUDE DE LA TURBULENCE ATMOSPHÉRIQUE

EN V ISION HORIZONTALE L OINTAINE

ET RESTAURATION DE SÉQUENCES DÉGRADÉES

DANS LE V ISIBLE ET L ’I NFRAROUGE

Soutenue le 6 Juillet 2007

JURY

Atilla B ASKURT Professeur LIRIS Rapporteur

Laurent BIGUÉ Professeur MIPS Rapporteur

Philippe CARRÉ Maître de Conférences SIC Examinateur

Alain DIOU Professeur LE2I Président

Jacques BLANC-TALON Responsable Scientifique DGA Encadrant

Olivier LALIGANT Professeur LE2I Encadrant

Fabrice MÉRIAUDEAU Professeur LE2I Directeur de thèse

Remerciements

Ces travaux de thèse ont été réalisés simultanément au département Géographie, Imagerie et

Perception (GIP) du Centre d’Expertise Parisien (CEP) à Arcueil, appartenant à la Délégation

Générale pour l’Armement (DGA), et au sein du Laboratoire d’Électronique, Informatique et

Image (Le2i) à l’IUT du Creusot de l’Université de Bourgogne.

Je souhaite tout d’abord remercier mon directeur de thèse, Monsieur Fabrice Mériaudeau, pour

toute l’aide qu’il m’a apportée en DEA et au cours de cette thèse. Ses vastes connaissances et

ses idées de recherche m’ont permis d’avancer dans les moments d’immobilisme, et ses compé-

tences de direction m’ont beaucoup aidée au cours de ces années. Je remercie ensuite Monsieur

Olivier Laligant qui a encadré mes travaux de thèse. Son regard critique et ses explications en

optique m’ont été très utiles pour la rédaction de ce rapport. Je tiens aussi à remercier Monsieur

Jacques Blanc-Talon, mon responsable au CEP, pour sa bonne humeur permanente, pour ses

idées intéressantes et pour ses conseils.

Je remercie Messieurs Atilla Baskurt et Laurent Bigué pour l’honneur qu’ils m’ont fait d’être

les rapporteurs de cette thèse malgré leurs emplois du tempssurchargés, et pour l’intérêt qu’ils

portent à mes travaux de recherche. Je remercie aussi Messieurs Philippe Carré et Alain Diou

d’avoir accepté de participer au jury de soutenance.

Un grand merci à tous les membres de GIP : Jérôme, Steph et ses gâteaux au chocolat, Laurent,

Fred « Le Laplazien », Loïc, Franck, Fred et ses processus Markoviens. . . Merci aussi aux an-

ciens thésards, maintenant Docteurs, Fabrice et Cédric avec qui j’ai partagé certains moments

de stress.

Un autre grand merci aux membres du Le2i Creusotin et plus particulièrement aux thésards et

au post-doc ! Merci à Olivier, Doudou, Thomas et Youssef pourles allers-retours à la gare TGV.

Merci à Ben pour mon étagère Confo ! Merci à Nathalie et Alexandra pour leur solidarité fémi-

nine dans cet univers masculin. . .

iii

Je remercie chaleureusement ma maman, ma sœur, mes grands-parents et tous les autres membres

de ma famille pour leur soutien inconditionnel durant ces années de thèse, et pour la confiance

qu’ils ont en moi, même s’ils se demandent la plupart du tempsà quoi mes travaux peuvent bien

servir. . .

Enfin, je tiens à remercier tout particulièrement Tristan. .. pour TOUT ! ! !

iv

Table des matières

Introduction 1

1 Imagerie et atmosphère 3

1.1 Systèmes d’acquisitions dans le visible et l’infrarouge . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.2 Caméras visibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.3 Imagerie infrarouge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

1.1.3.1 Généralités sur le spectre infrarouge . . . . . . . . . . .. . 6

1.1.3.2 Imageur laser ELVISS (bandes I et II) . . . . . . . . . . . . 6

1.1.3.3 Imagerie thermique (bande II) . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.4 Conclusion sur les systèmes d’observation . . . . . . . . .. . . . . . . 12

1.2 Turbulence atmosphérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 13

1.2.1 La turbulence en mécanique des fluides . . . . . . . . . . . . . .. . . 13

1.2.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.1.2 Représentation de la turbulence en dynamique des fluides . . 14

1.2.1.3 Les deux types de transport de la quantité de mouvement . . 16

1.2.1.4 Nombre de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.2.1.5 Les origines de la turbulence . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.2.1.6 La couche limite et le phénomène de décollement . . . .. . 20

1.2.1.7 Transitions vers la turbulence . . . . . . . . . . . . . . . . .21

1.2.2 Théorie de Kolmogorov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.2.2.1 Production d’une gamme d’échelles . . . . . . . . . . . . . 24

1.2.2.2 Cascade d’énergie de Richardson . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.2.2.3 Modèle de Kolmogorov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.2.3 Perturbations par l’atmosphère . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 29

1.2.3.1 Perturbation d’une onde lumineuse . . . . . . . . . . . . . .29

1.2.3.2 Paramètre de Fried et image observée . . . . . . . . . . . . .31

1.2.3.3 Statistiques de la turbulence atmosphérique . . . . .. . . . . 33

1.2.3.4 Statistiques du champ perturbé . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.2.3.5 Image longue pose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

v

1.2.3.6 Image courte pose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.2.3.7 Anisoplanétisme / Isoplanétisme . . . . . . . . . . . . . . .40

1.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2 Simulation des effets de la turbulence atmosphérique sur des acquisitions d’images 43

2.1 État de l’art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.2 Simulation d’une image dégradée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 45

2.2.1 Description globale de l’algorithme de simulation utilisé . . . . . . . . 45

2.2.2 Simulation d’image courte pose . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 51

2.2.2.1 Isoplanétisme total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.2.2.2 Anisoplanétisme total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.2.2.3 Isoplanétisme local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.2.3 Influence de la distance turbulence - système d’acquisition . . . . . . . 62

2.2.4 Influence de la taille de la pupille . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 64

2.2.5 Simulations de séquences d’images dégradées : prise en compte de

l’évolution temporelle de la turbulence . . . . . . . . . . . . . . . .. 67

2.2.6 Simulations d’images longue pose . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 74

2.2.7 Temps de calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

2.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3 Restauration de séquences dégradées par la turbulence atmosphérique 79

3.1 État de l’art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.1.1 Restauration de séquences d’images quelconques . . . .. . . . . . . . 80

3.1.2 Suppression des effets de l’atmosphère . . . . . . . . . . . .. . . . . 80

3.1.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3.2 Méthodes de restauration testées . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 82

3.2.1 Modèle de dégradation utilisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 82

3.2.2 Le filtre inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.2.3 Deux méthodes de régularisation . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 83

3.2.3.1 Généralités sur la régularisation . . . . . . . . . . . . . .. . 83

3.2.3.2 Régularisation de Tikhonov (ou filtrage pseudo-inverse) . . . 84

3.2.3.3 Régularisation par le Laplacien (ou Tikhonov-Laplacien) . . 84

3.2.3.4 Sélection du paramètre de régularisation . . . . . . . .. . . 85

3.2.3.5 Implémentation itérative de la régularisation . . .. . . . . . 85

3.2.4 Le filtre de Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.2.5 La méthode de Fraser et Lambert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .88

3.2.5.1 Algorithme d’estimation de la PSF . . . . . . . . . . . . . . 88

3.2.5.2 Algorithme de traitement de la séquence . . . . . . . . . .. 89

3.2.6 Résultats obtenus sur des images simulées . . . . . . . . . .. . . . . . 90

vi

3.2.7 Résultats obtenus sur des séquences simulées . . . . . . .. . . . . . . 93

3.2.8 Résultats obtenus sur des images réelles . . . . . . . . . . .. . . . . . 94

3.2.9 Résultats obtenus sur des séquences réelles . . . . . . . .. . . . . . . 103

3.2.10 Origines des bruits sur les séquences réelles . . . . . .. . . . . . . . . 107

3.2.11 Conclusion sur les méthodes de restauration testées. . . . . . . . . . . 110

3.3 Généralisation de la méthode de Fraser et Lambert . . . . . .. . . . . . . . . 111

3.3.1 Algorithme général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

3.3.2 Laplacien local et analyse des résultats . . . . . . . . . . .. . . . . . 111

3.4 Un nouvel algorithme hybride de restauration . . . . . . . . .. . . . . . . . . 115

3.4.1 Image de segmentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

3.4.2 Algorithme de Fusion du Wiener et du Laplacien (FWL) . .. . . . . . 119

3.4.3 Analyse des résultats du FWL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .121

3.4.4 Conclusion sur l’algorithme FWL . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 123

3.5 Temps de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

3.6 Conclusion sur la restauration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 125

Conclusion générale 127

Bibliographie 129

Publications 137

vii

Table des figures

1.1 Spectre des longueurs d’onde.Adapté de http ://www.solarproducts.com.. . . . 4

1.2 Exemple de spectre émis par une cible. Une caméra n’est engénéral sensible

qu’à une portion de ce spectre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4

1.3 Transmittance atmosphérique.Source : http ://www.univ-paris-diderot.fr/Led/cies.4

1.4 Exemple de système de reconnaissance acuellement utilisé, composé du missile

CL 289et d’un système de préparation et d’interprétation des volsdes engins

de reconnaissance (PIVER).Source : Sirpa Terre. Droits : Copyright Ministère

de la Défense.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.5 Evolution de l’imageur ELVISS. (a) Ancien système ALBEDOS. (b) Réglage

de l’imageur ELVISS. (c) Illuminateur à réseau de diodes laser.Droits : Copy-

right DRDC Valcartier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.6 Principe de l’imagerie active. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 7

1.7 Exemple d’image thermique. (a) Visualisation en niveaux de gris. En un point de

la scène, plus la température est élevée, plus le pixel correspondant sur l’image

tend vers le blanc. (b) Visualisation en fausses couleurs. Les sources de chaleur

sont représentées en rouge alors que les objets froids sont représentés en bleu. . 8

1.8 Déplacement du maximum d’émission des corps de plus en plus chauds vers les

courtes longueurs d’onde.Adapté de FLIR Systems.. . . . . . . . . . . . . . . 9

1.9 Lunette thermique (MIRA) permettant le tir de nuit ou par mauvaise visibilité.

Source : Sirpa Terre. Droits : Copyright Ministère de la Défense. . . . . . . . . 11

1.10 Exemple d’image dégradée par la turbulence atmosphérique : les lignes droites

de la piste apparaissent gondolées. Un effet de mirage est aussi présent au bas

de la voiture. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.11 Échelles caractéristiques dans un sillage laminaire et un sillage turbulent (cas

d’un cylindre à section circulaire placé dans un écoulement). (a) Écoulement

laminaire ou visqueux : une seule échelle de mouvement. (b) Écoulement tur-

bulent : une multitude d’échelles de mouvement. . . . . . . . . . .. . . . . . 14

ix

1.12 Visualisation d’un écoulement de gauche à droite derrière un cylindre à sec-

tion circulaire, à différents nombres de Reynolds. (a)Re = 1.54 : écoulement

symétrique entre amont et aval. (b)Re = 26 : apparition de deux zones de re-

circulation fixes en arrière du cylindre. (c)Re = 200 : émission périodique de

tourbillons formant une allée de Karman. (d)Re = 0.8×104 : sillage turbulent.

Sources : S. Taneda et H. Werié.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.13 Évolution d’un système stable et d’un système instableen fonction du temps.

(a) Système stable. (b) Système instable. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 18

1.14 Diagrammes de bifurcations. Les branches correspondant aux solutions stables

sont en trait continu, les branches instables en pointillés. A représente l’ampli-

tude du mode périodique qui devient instable pourRe ≥ Recritique. QuandA est

constante, le système est stationnaire, sinon il est instationnaire. (a) Bifurcation

super-critique. (b) Bifurcation sous-critique.Source : O. Cadot.. . . . . . . . . 19

1.15 Représentation d’une couche limite dans le cas où le fluxreste laminaire et où

le flux devient turbulent.Adapté de National Aeronautics and Space Adminis-

tration (NASA), http ://www.grc.nasa.gov.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.16 Décollement de couche limite dans un divergent : le gradient de pression ad-

verse freine et renverse l’écoulement dans la couche limite. Source : O. Cadot.. 21

1.17 Exemple de spot turbulent. Autour du spot, l’écoulement est parfaitement lami-

naire.Source : O. Cadot.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.18 Transition d’un écoulement passant d’un état laminaire à turbulent (de gauche

à droite) dans la couche limite. (a) Visualisation d’une telle transition. (b) Scé-

nario d’une telle transition : 1. flux laminaire stable ; 2. ondes instables ; 3. for-

mation d’ondes 3D et de vortex ; 4. affaiblissement des vortex ; 5. flux complè-

tement turbulent.Sources : O. Cadot.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.19 Différentes échelles de la turbulence .Source : O. Cadot.. . . . . . . . . . . . 27

1.20 Propagation d’une onde lumineuse à travers la turbulence atmosphérique.Adapté

de C. Bondeau.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.21 Représentation de la propagation des ondes : ondes planes (approximation) ou

ondes sphériques (cas réel). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 30

1.22 Les différentes couches de l’atmosphère.Source : Fédération Française de la

Montagne et de l’Escalade. http ://www.ffme.fr. . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.23 Image d’une source ponctuelle observée en courte pose selon le rapportD/r0,

oùD varie etr0 est constant. Les ordres de grandeur des disques obtenus sont

donnés pour information.Adapté de C. Bondeau.. . . . . . . . . . . . . . . . 33

x

1.24 Origine des différentes perturbations atmosphériques. θ est l’angle formé par

les deux faisceaux,L est la distance entre la couche turbulente et la pupille, et

D est la diamètre de la pupille.Source : F. Roddier. . . . . . . . . . . . . . . . 41

1.25 Lien entre le paramètre de Friedr0 et l’angle d’isoplanétismeθ0. Source : C.

Bondeau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.1 Allure des 21 premiers polynômes de Zernike simulés sur une pupille circulaire

de 32 pixels de diamètre, sans obturation centrale. . . . . . . .. . . . . . . . . 47

2.2 Représentation 3D des polynômes de Zernike correspondant à des aberrations

optiques classiques. (a)Z1 : mode piston. (b)Z2 etZ3 : tip-tilt (ou inclinaison).

(c)Z4 : défocalisation. (d)Z5 etZ6 : astigmatisme. (e)Z7 etZ8 : coma. (f)Z11 :

aberration sphérique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48

2.3 Matrice des covariances des coefficients de Zernike d’une phase turbulente pour

D/r0 = 1 respectant la statistique de Kolmogorov. Les couleurs foncées in-

diquent une forte corrélation, et inversement. Au fur et à mesure qu’on s’éloigne

de la diagonale, les coefficients sont de plus en plus faibleset forment des pa-

quets (ouclusters) de même ordre de grandeur.Source : M. Nicolle. . . . . . . 50

2.4 Exemples de phases turbulentes simulées pour différents rapportsD/r0. Le tip-

tilt est fortement présent. Plus le rapportD/r0 augmente, plus les déformations

de la phase sont importantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 53

2.5 Allure des fonctions de structure de phase. (a) Théorie.(b) Simulation. . . . . . 54

2.6 Comparaison des fonctions de structure de phase (coupe verticale selon une di-

rection dans le plan tangent au minimum des deux courbes). (a) Échelle linéaire.

(b) Échelle logarithmique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 54

2.7 Résultats de simulation d’isoplanétisme total avec unepupille de64×64 pixels.

Certains effets de bord sont dus aux décalages globaux induits par le tip-tilt. . . 55

2.8 Résultats de simulation d’anisoplanétisme total avec une pupille de64×64 pixels. 58

2.9 Quadrillage utilisé pour la représentation des zones isoplanétiques. . . . . . . . 59

2.10 Résultats de simulation d’isoplanétisme local avec une pupille de64×64 pixels,

des zones isoplanétiques de13 × 13 pixels et un recouvrement de 3 pixels. . . . 61

2.11 Les différents cas de turbulence suivant le paramètrel. Source : C. Bondeau. . . 63

2.12 (a) Représentation de la tache d’Airy en 2D. (b) Représentation de la tache

d’Airy en 3D. (c) Schéma de la réponse impulsionnelle d’un système parfait

limité par la diffraction.R est le rayon du premier anneau noir. . . . . . . . . . 65

2.13 Schéma optique de la pupille et du détecteur.D est le diamètre de la pupille et

F est la distance focale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

xi

2.14 Exemples d’images simulées obtenues avec une pupille de 8 × 8 pixels, pour

une intenité de turbulenceD/r0 = 1. (a) Isoplanétisme total. (b) Isoplanétisme

local. (c) Anisoplanétisme total. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 65

2.15 Exemples d’images simulées obtenues avec un front d’onde plan, sur une pu-

pille de64× 64 pixels. (a) Isoplanétisme total. (b) Isoplanétisme local.(c) Ani-

soplanétisme total. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2.16 Schéma d’évolution temporelle des coefficients de la décomposition.Source :

C. Bondeau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2.17 Exemples de séquences de 500 coefficients de Zernike décorrélés temporelle-

ment, simulés par la méthode de N. Roddier, assimilables à des bruits blancs

gaussiens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2.18 Exemples de séquences de 500 coefficients corrélés temporellement, obtenus à

partir des coefficients de la figure 2.17. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 71

2.19 Extrait d’une séquence simulée dans le visible en anisoplanétisme total pour

D/r0 = 3 (images256 × 256 et pupille64 × 64). . . . . . . . . . . . . . . . 72

2.20 Comparaison des premières valeurs propres deCA et des premières valeurs sur

la diagonale deCZ . Moyenne sur 1000 séquences de 200 coefficients. . . . . . 73

2.21 Allure des fonctions de structure de phase. (a) Théorie. (b) Simulation. . . . . . 74

2.22 Comparaison des fonctions de structure de phase (coupeverticale selon une di-

rection dans le plan tangent au minimum des deux courbes). (a) Échelle linéaire.

(b) Échelle logarithmique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 74

2.23 Exemples d’images longue pose (moyennes de 100 images courte pose), obte-

nues à partir de séquences simulées avec un temps de pose de5 ms. Le temps

de pose de l’image longue pose est donc de500 ms. . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.1 Exemple de courbe en L obtenue. À chaque point correspondun paramètreγ. . 86

3.2 Exemples de résultats obtenus avec le filtre du Wiener local de Fraser et Lam-

bert. (a) PSF utilisée pour rendre floue une zone de15×15 pixels sur une image

nette (PSF Gaussienne avecσ2 = 1.2). (b) PSF estimée sur la zone correspon-

dante de l’image floue. (c) PSF estimée sur la zone correspondante de l’image

floue et bruitée (bruit Gaussien de moyenne nulle et de variance = 0.001). . . . 89

3.3 Images simulées utilisées pour tester les différentes méthodes de restauration et

images originales respectives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 91

3.4 Résultats de restauration obtenus à partir d’images dégradées simulées. Certains

effets de blocs dus à la méthode de simulation de l’isoplanétisme local, sont

réhaussés par les restaurations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 92

xii

3.5 Résultats de restauration obtenus à partir de séquencesdégradées simulées.

Chaque séquence comprend 100 images. Le temps de pose était fixé à5 ms

et la vitesse du vent à6 m.s−1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3.6 Schémas des cibles observées. (a) Damier et mires : la taille de l’objet est

de 3 m × 1, 5 m. (b) Trois panneaux de réflectivités différentes, de taille

1 m × 1 m. (c) Lettres de différentes tailles : la taille du panneau est de

0, 91 m × 1, 22 m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

3.7 Approximation de l’IFOV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 95

3.8 Exemple de propagation à travers la turbulence en cas de vent latéral variant

entre une vitesse minimaleVmin et une vitesse maximaleVmax. . . . . . . . . . 97

3.9 Image correspondante au schéma de la figure 3.8. En cas de vent latéral, un

rayon lumineux pointe horizontalement sur la pupille d’uneposition minimale

Pmin à une position maximalePmax. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

3.10 Résultats de restauration obtenus à partir d’images dégradées réelles de taille

256 × 256 pixels (1ère partie). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

3.11 Résultats de restauration obtenus à partir d’images dégradées réelles de taille

256 × 256 pixels (2èmepartie). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

3.12 Exemples de zones analysées sur les résultats correspondant à l’image n°5.

(a) Zones uniformes. (b) Zones de contours. (c) Zoom sur une transition étu-

diée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3.13 Transitions moyennes entre deux zones uniformes noireet blanche sur les résul-

tats de restauration correspondant à l’image n°5 (tid : transition idéale,tmoy_i :

transition moyenne du résultat du filtre inverse,tmoy_T : transition moyenne du

résultat de la régularisation de Tikhonov,tmoy_L : transition moyenne du résultat

de la régularisation par le Laplacien ettmoy_W : transition moyenne du résultat

du filtre de Wiener). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

3.14 Pics de corrélation entre les transitions moyennes desdifférents résultats de

restauration correspondant à l’image n°5 et la transition idéale (mêmes notations

que sur la figure précédente). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 102

3.15 Résultats de restauration obtenus à partir de séquences dégradées réelles de

100 images de taille256 × 256 pixels (1ère partie). . . . . . . . . . . . . . . . 103

3.16 Résultats de restauration obtenus à partir de séquences dégradées réelles de

100 images de taille256 × 256 pixels (2èmepartie). . . . . . . . . . . . . . . . 104

3.17 Exemples de zones analysées sur les résultats de la séquence n°5. (a) Zones

uniformes. (b) Zones de contours. (c) Zoom sur une transition étudiée. . . . . . 105

xiii

3.18 Transitions moyennes entre deux zones uniformes noireet blanche sur les ré-

sultats de restauration correspondant à la séquence n°5 (tid : transition idéale,

tmoy_m : transition moyenne de l’image moyenne,tmoy_FL : transition moyenne

du résultat de restauration de Fraser et Lambert ettmoy_W : transition moyenne

du résultat du filtre de Wiener sur une seule image). . . . . . . . .. . . . . . . 106


restauration correspondant à la séquence n°5 et la transition idéale (mêmes no-

tations que sur la figure précédente). . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 106

3.20 Principe de création des speckles : la lumière est réfléchie de manière aléatoire

à cause de la microrugosité de la surface (M : point d’observation,P : point de

la surface microrugueuse). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 108

3.21 Schéma général de traitement d’une séquence, issu des travaux de Fraser et

Lambert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

3.22 Résultats du Laplacien local sur les séquences réelles. . . . . . . . . . . . . . . 112

3.23 Transitions moyennes entre deux zones uniformes noireet blanche sur les résul-

tats de restauration correspondant à la séquence n°5 (tmoy_m : transition moyenne

de l’image moyenne,tmoy_LL : transition moyenne du résultat du Laplacien local

et tmoy_WL : transition moyenne du résultat du Wiener local). . . . . . . . .. . 113


restauration correspondant à la séquence n°5 et la transition idéale (mêmes no-

tations que sur la figure précédente). . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 114

3.25 Courbes de FTMs des transitions moyennes des différents résultats de restau-

ration correspondant à la séquence n°5 (mêmes notations quesur les figures

précédentes). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

3.26 Résultats utilisés pour tester ce nouvel algorithme. Séquence n°5 : images256×256, séquence n°7 : images128 × 128 (la taille est doublée seulement pour

l’affichage). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

3.27 Forme générale de la réponse impulsionnelleh(u). . . . . . . . . . . . . . . . 117

3.28 Choix automatique des seuils hauts pour les images moyennes. (a) Séquence

n°5. (b) Séquence n°7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

3.29 (a) Segmentation de l’image moyenne de la séquence n°5 obtenue avec un

filtre de Canny-Deriche local prenant en compte les PSFs moyennes locales. (b)

Image de segmentation finale pour la séquence n°5. (c) Image de segmentation

finale pour la séquence n°7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .118

3.30 Exemple de contour (transition entre deux zones uniformes). . . . . . . . . . . 119

3.31 Gradation dans le cas d’un nombre impair de pixels. . . . .. . . . . . . . . . . 120

xiv

3.32 Résultats de l’algorithme FWL. (a) Séquence n°5. (b) Séquence n°7. Les images

résultats sont à la fois moins bruitées, moins floues et plus contrastées. . . . . . 120

3.33 Analyse des résultats de restauration de l’algorithmeFWL. (a)-(b) FTMs des

transitions moyennes pour la séquence n°5 et la séquence n°7, respectivement.

(c)-(d) Pics de corrélation des transitions moyennes avec la transition idéale

pour la séquence n°5 et la séquence n°7, respectivement. . . .. . . . . . . . . 122

3.34 Coupes horizontales sur les résultats du FWL. (a) Sur laséquence n°5 le long

des barres verticales : les barres à droite sont mieux détectées sur le résultat

de l’algorithme FWL. (b) Sur la séquence n°5 le long des rondsblancs : les

ronds sont détectés sur un plus grand nombre de pixels sur le résultat du FWL.

(c) Sur la séquence n°7 sur les lettres les plus grandes : l’amélioration apportée

par l’algorithme FWL est faible à cause de la médiocre qualité de l’image de

segmentation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

xv

Liste des tableaux

2.1 Temps de calcul moyens observés avec un processeur de 1.66 GHz. . . . . . . 77

3.1 Valeurs duθ0 et de l’IFOV pour les images ou séquences étudiées. . . . . . . . 96

3.2 Méthodes classiques : valeurs des variances et des niveaux de gris minimum

(min) et maximum (Max) concernant l’image n°5.σ2cn représente la variance

moyenne des 3 carrés noirs etσ2cb celle des 3 carrés blancs. Une estimation du

contraste est donnée pour une meilleure comparaison. . . . . .. . . . . . . . . 100

3.3 Méthode de Fraser et Lambert : valeurs des variances et des niveaux de gris mi-

nimum (min) et maximum (Max) concernant la séquence n°5.σ2cn représente

la variance moyenne des 3 carrés noirs etσ2cb celle des 3 carrés blancs. Une

estimation du contraste est donnée pour une meilleure comparaison. . . . . . . 105

3.4 Laplacien local : valeurs des variances et des niveaux degris minimum (min)

et maximum (Max) concernant la séquence n°5.σ2cn représente la variance

moyenne des 3 carrés noirs etσ2cb celle des 3 carrés blancs. Une estimation

du contraste est donnée pour une meilleure comparaison. . . .. . . . . . . . . 113

3.5 FWL : variances moyennes dans les zones uniformes sur lesrésultats de restau-

ration des séquences n°5 et n°7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 121

3.6 Temps de calcul moyens observés avec un processeur de 1.66 GHz. . . . . . . 124

xvii

Liste des algorithmes

2.1 Algorithme de simulation des effets de l’isoplanétismetotal sur une image courte

pose. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.2 Algorithme de simulation des effets de l’anisoplanétisme total sur une image

courte pose. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.3 Algorithme de simulation des effets de l’isoplanétismelocal sur une image courte

pose. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.1 Algorithme de restauration de séquence de Fraser et Lambert. . . . . . . . . . . 90

3.2 Algorithme du Laplacien local. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 112

3.3 Algorithme de Fusion du Wiener et du Laplacien (FWL). . . .. . . . . . . . . . 120

xix

À mon Père. . .

xxi

Introduction

Cette thèse a été financée par une bourse DGA (Délégation Générale pour l’Armement) / CNRS

(Centre National de la Recherche Scientifique). Elle a pour sujet l’étude de la turbulence atmo-

sphérique et la restauration de séquences vidéo acquises enpropagation horizontale sur une

longue distance dans les domaines du visible et de l’infrarouge.

La turbulence atmosphérique est un phénomène bien connu et facilement observable au-dessus

d’une route surchauffée. Physiquement, les rayons lumineux sont déviés par cette turbulence

due à la rencontre de masses d’air de températures différentes, produisant un changement local

de l’indice de réfraction de l’air. Plusieurs dégradationspeuvent se produire sur les images, les

plus importantes étant des déformations, du flou et parfois de la scintillation.

Cette turbulence est d’autant plus gênante qu’elle dégradefortement les acquisitions d’images

sur de longues distances de propagation. Grâce à la performance actuelle du matériel militaire,

les opérations de surveillance ou de cartographie de zones sensibles peuvent être réalisées à

plusieurs kilomètres de distance. Les militaires sont doncsouvent confrontés à ce type de dé-

gradation.

Un point délicat en traitement d’image est l’évaluation qualitative des résultats. Les critères de

qualité d’une image ne sont pas les mêmes pour la visualisation d’une scène et pour une applica-

tion numérique postérieure (en robotique, par exemple). Eneffet, l’œil humain est très sensible

au contraste et à la forme des objets. De plus, le bruit n’est pas forcément pénalisant pour la

visualisation. En revanche, il l’est en ce qui concerne n’importe quelle application numérique.

En outre, pour un traitement numérique, on ne demandera pas àce que l’image traitée soit très

contrastée et on préférera des contours avec le moins de bruit possible, quitte à ce qu’ils soient

plus étalés.

Le but de cette thèse est de proposer un algorithme de restauration de séquence d’images don-

nant une image restaurée utilisable à la fois pour la visualisation et un traitement numérique.

1

Le plan de ce manuscrit est le suivant. Le premier chapitre rassemble les principales connais-

sances relatives aux systèmes d’acquistion utilisées dansle visible et l’infrarouge dans le do-

maine de la Défense, aux propriétés physiques de la turbulence atmosphérique, à sa modélisa-

tion mathématique et à ses effets sur les images acquises.

Le deuxième chapitre est dédié à la simulation des effets de la turbulence. Plusieurs algorithmes

de simulation sont détaillés. Ils nous permettent de générer des images courte pose dégradées

par le type de turbulence souhaité. De plus, une méthode de génération de séquence dégradée

est fournie, prenant en compte l’évolution temporelle de laturbulence. Nous vérifions que nos

résultats correspondent au modèle mathématique défini dansle chapitre 1.

Dans le chapitre 3, nous nous intéressons à la restauration d’images et de séquences d’images

perturbées par la turbulence atmosphérique. Plusieurs méthodes classiques de restauration sont

testées sur des images simulées et des images réelles. Les résultats sont présentés et analysés.

Une méthode spatio-temporelle de traitement de séquence est ensuite testée sur des séquences

simulées ainsi que sur des séquences réelles, puis adaptée àune méthode de régularisation lo-

cale. Ces deux algorithmes sont donnés et leurs résultats sont analysés : ils sont prometteurs,

mais chacun est adapté à une utilisation précise. L’approche finale de restauration proposée

consiste à fusionner les deux résultats de traitement de séquence, afin d’obtenir une image res-

taurée utilisable à la fois pour la visualisation et une application numérique postérieure. Cette

méthode hybride de restauration est détaillée et de nouveaux résultats sont présentés puis ana-

lysés.

Les conclusions et perspectives sont rassemblées dans la dernière partie.

2

Chapitre 1

Imagerie et atmosphère

Dans ce premier chapitre, nous allons tout d’abord passer enrevue différents systèmes d’acqui-

sition de séquences d’images dans les bandes du visible et del’infrarouge, couramment utilisés

dans le domaine de la Défense. Ces notions nous aideront à introduire la problématique de la

restauration des images dégradées dans le chapitre 3. Dans un deuxième temps, nous détaille-

rons quelques équations générales sur la turbulence, ce quinous permettra ensuite d’expliquer la

théorie de Kolmogorov qui nous servira dans le chapitre 2. Enfin, nous expliquerons le proces-

sus de dégradation des séquences acquises par la turbulenceatmosphérique. Dans cette partie,

nous définirons quelques paramètres et variables qui serontutilisés au cours de cette thèse.

1.1 Systèmes d’acquisitions dans le visible et l’infrarouge

1.1.1 Généralités

Les caméras et autres systèmes d’acquisition d’images se distinguent par de nombreuses carac-

téristiques dont les principales, d’un point de vue militaire, sont la bande de longueurs d’onde

d’acquisition, la vitesse d’acquisition (nombre d’imagespar seconde, temps de pose), la résolu-

tion et le zoom optique (distance maximale de détection de cible).

L’atmosphère terrestre possède un facteur de transmissionsélectif des radiations électromagné-

tiques en fonction de la longueur d’onde. Une caméra ne peut capter que les rayonnements lu-

mineux non-absorbés par l’atmosphère, dans une gamme donnée de longueurs d’onde (Figs. 1.1

et 1.2). Certains gaz de l’atmosphère absorbent et réémettent le rayonnement infrarouge : la va-

peur d’eau (H2O), le dioxyde de carbone (CO2), le méthane (CH4). . . Ce sont les gaz à effet

de serre, responsables entre autre de la baisse importante de transmittance1 atmosphérique dans

1La transmittanceest le rapport de l’intensité lumineuse sortante sur l’intensité lumineuse incidente.

3

Chapitre 1 Imagerie et atmosphère

certaines bandes de longueurs d’onde (Fig. 1.3) dans lesquelles il est donc difficile de réaliser

des acquisitions d’images.

Figure 1.1– Spectre des longueurs d’onde.Adapté de http ://www.solarproducts.com.

émis

sion

spe

ctra

lede

la c

ible

bande spectralede la sensibilité

de la caméra

longueurd’onde

Figure 1.2 – Exemple de spectre émis par une cible. Une caméra n’est en général sensible qu’à uneportion de ce spectre.

Figure 1.3– Transmittance atmosphérique.Source : http ://www.univ-paris-diderot.fr/Led/cies.

4


1.1.2 Caméras visibles

Le domaine du rayonnement visible s’étend d’environ 400 à 700 nm. De nos jours, les caméras

matricielles numériques rapides et haute résolution dans le domaine visible sont couramment

utilisées. En général, d’un point de vue Défense, on concédera une perte de rapidité au bénéfice

de la résolution. Les hautes cadences d’acquisition sont plutôt réservées aux applications indus-

trielles (par exemple : besoin de diagnostic sur une ligne deproduction).

La résolution désirée dépend du niveau souhaité de classification des cibles. Actuellement, par

temps clair et pour une cible d’environ la taille d’un homme,les caméras visibles militaires

permettent de :

– détecterla cible jusqu’à une dizaine de kilomètres (présence ou non de cible),

– reconnaîtrela cible jusqu’à environ 5km(ex : homme / char / jeep / ...),

– et identifier la cible jusqu’à environ 1km(ex : militaire / civil / enfant / ...).

Ces caméras sont par exemple utilisées sur des systèmes de reconnaissance destinés à la récolte

de renseignements (Fig. 1.4).

Figure 1.4– Exemple de système de reconnaissance acuellement utilisé, composé du missileCL 289etd’un système de préparation et d’interprétation des vols des engins de reconnaissance (PIVER).Source :Sirpa Terre. Droits : Copyright Ministère de la Défense.

Avantages des caméras visibles :

– Elles permettent de détecter des cibles à très grande distance.

– Elles permettent la visualisation des textures, des couleurs ou niveaux de gris des cibles.

Limitation des caméras visibles :

– Elles ne sont utilisables que de jour.

5


1.1.3 Imagerie infrarouge

Après avoir décrit le spectre infrarouge, nous allons détailler le fonctionnement de l’imageur

ELVISS qui a été utilisé pour certaines acquisitions d’images que nous restaurerons dans le

chapitre 3. Enfin, nous nous intéresserons au principe de l’imagerie thermique.

1.1.3.1 Généralités sur le spectre infrarouge

L’infrarouge s’étend approximativement de 0.7 à 100µm, ce qui est un intervalle environ

100 fois plus large que le spectre visible. L’infrarouge (IR) se divise en deux catégories : IR

réfléchi et IR émis ou thermique. Le rayonnement dans la région de l’infrarouge réfléchi est uti-

lisé en télédétection de la même façon que le rayonnement visible. L’infrarouge réfléchi s’étend

approximativement de 0.7 à 3µm. D’un autre côté, l’infrarouge thermique est très différent du

spectre visible et de celui de l’infrarouge réfléchi. Il correspond essentiellement au rayonnement

énergétique émis par la surface de la Terre (donc sous forme de chaleur) et s’étend approxima-

tivement de 3 à 100µm.

Il existe principalement trois bandes spectrales dans l’infrarouge. La bande I s’étend approxi-

mativement de 700 nm à 2µm et correspond à de l’infrarouge réfléchi. La bande II couvreles

longueurs d’onde d’environ 3 à 5µm et correspond principalement à de l’infrarouge thermique.

Enfin, la bande III s’étend d’environ 8 à 12µm et correspond aussi principalement à de l’infra-

rouge thermique.

Remarque :Dans les bandes II et III, l’infrarouge peut aussi être réfléchi en présence d’un objet

chaud.

1.1.3.2 Imageur laser ELVISS (bandes I et II)

Un imageur est un terme générique pour désigner un système d’acquisition d’image à plusieurs

composantes. Certaines séquences d’images sur lesquellesnous avons travaillé au cours de cette

thèse, ont été acquises avec l’imageur ELVISS (Enhanced Low-light Visible and Infrared Sur-

veillance System) deDRDC Valcartier, Canada, pendant la campagne OTAN appelée RTG40.

ELVISS est un système d’imagerie multi-capteurs qui peut être aéroporté (Fig. 1.5). La première

composante du système ELVISS repose sur son prédécesseur ALBEDOS (Airborne Laser-

Based Enhanced Detection and Observation System) qui est un imageuractif : il utilise un

faisceau laser qui éclaire la scène et se réfléchit sur la cible (Fig. 1.6). ALBEDOS comprend

donc un puissant illuminateur laser à impulsions dans le proche infrarouge (810nmà 855nm)

et un système de visualisation à intensificateur d’image infrarouge commandé.

6


(a)

(b) (c)

Figure 1.5– Evolution de l’imageur ELVISS. (a) Ancien système ALBEDOS. (b) Réglage de l’imageurELVISS. (c) Illuminateur à réseau de diodes laser.Droits : Copyright DRDC Valcartier.

��

��laser

caméra

cible

Figure 1.6– Principe de l’imagerie active.

L’imageur actif d’ELVISS est un produit de deuxième génération d’ALBEDOS qui est com-

plété par un système d’imagerie thermique (3µm à 5µm) et un télémètre laser qui mesure la

distance entre les objets détectés et le véhicule de recherche. D’autres moyens de localisation

(l’altimètre radio et le système GPS) peuvent convertir lespositions relatives obtenues en coor-

données au sol absolues.

Avantages de l’imagerie en IR réfléchi :

– Elle permet de visualiser les textures et les niveaux de gris des cibles.

– Couplée à un laser, elle permet la visualisation de nuit.

7


Limitations de l’imagerie en IR réfléchi :

– L’utilisation d’un laser (imagerie active) fait apparaître du bruit despeckle(cf. §1.2.3.2).

– La distance maximale de détection de cibles est moindre quecelle des caméras visibles.

1.1.3.3 Imagerie thermique (bande II)

L’utilité des caméras thermiques pour l’observation nocturne n’est plus à démontrer. Ces ca-

méras permettent de visualiser les rayonnements infrarouges émis par les objets d’une scène.

Le niveau de rayonnement dépend de la température des objetsobservés, d’où le terme « ther-

mique ». L’information portée par le flux thermique incidentvis-à-vis du détecteur permet de

constituer une image ayant une distribution spatiale de luminance dépendante de la distribution

spatiale des températures apparentes de la scène visualisée (Fig. 1.7).

(a) (b)

Figure 1.7– Exemple d’image thermique. (a) Visualisation en niveaux de gris. En un point de la scène,plus la température est élevée, plus le pixel correspondantsur l’image tend vers le blanc. (b) Visualisationen fausses couleurs. Les sources de chaleur sont représentées en rouge alors que les objets froids sontreprésentés en bleu.

Principe de l’imagerie thermique :

La loi de Planck (Éq. 1.1) fournit le fondement de la mesure des températures par rayonnement

infrarouge. Elle décrit la luminance émise par un corps noir2 (blackbody) en fonction de la

longueur d’onde et de la température :

Lλb =2hc2

λ5(

ehc

λkT − 1) , (1.1)

où :

– Lλb représente la radiation du corps noir (b) à la longueur d’ondeλ (W.m−2.sr−1.m−1),

– c est la vitesse de la lumière :3 × 108 m.s−1,

– h est la constante de Planck :6.63 × 10−34 J.s,

2Un corps noirest un objet idéal qui absorbe tous les rayonnements incidents, quels que soient la longueurd’onde et l’angle d’incidence.

8


– k est la constante de Boltzmann :1.38 × 10−23 J.K−1,

– T est la température absolue du corps noir (K),

– λ est la longueur d’onde (m).

La loi de déplacement de Wien (Éq. 1.2) est obtenue par la dérivation de la loi de Planck. Elle

donne la longueur d’onde maximale correspondant au maximumde rayonnement d’un corps

noir en fonction de sa température :

λmax =2897.9

T, (1.2)

oùλmax est la longueur d’onde du maximum d’émission du corps noir (µm), etT est la tempé-

rature du corps noir (K).

En supposant que la peau humaine se conduise thermiquement comme un corps noir et sachant

que sa température est d’environ 305°K, son maximum de rayonnement se situe donc dans l’in-

frarouge thermique (λmax ≈ 9.5 µm). De même, la température du soleil avoisinant 5770°K,

sa longueur d’onde maximale d’émission se situe donc dans levisible (λmax ≈ 502 nm). La

loi de déplacement de Wien explique ainsi le déplacement d’émission des corps de plus en plus

chauds vers les courtes longueurs d’onde (Fig. 1.8).

Figure 1.8 – Déplacement du maximum d’émission des corps de plus en pluschauds vers les courteslongueurs d’onde.Adapté de FLIR Systems.

La loi de Stefan-Boltzmann (Éq. 1.3) est l’intégration sur l’ensemble des longueurs d’onde de

la loi de Planck. Elle exprime l’énergie totale irradiée parun corps noir pour une températureT

donnée :

9


Mb = σT 4 , (1.3)

où :

– Mb est l’exitance3 du corps noir (W.m−2),

– σ est la constante de Stefan-Boltzmann :5.67032 × 10−8 W.m−2.K−4,

– T est la température absolue du corps noir (K).

En pratique, un corps réel n’est pas un corps noir. Il n’émet qu’une fraction de ce qu’émettrait

un corps noir porté à la même température. Cette fraction estappeléeémissivité(Éq. 1.4). Elle

varie en fonction de la longueur d’onde et est comprise entre0 et 1.

ǫ =M

Mb, (1.4)

où :

– ǫ est l’émissivité du corps réel (sans dimension),

– M est l’exitance du corps réel (W.m−2),

– Mb est l’exitance du corps noir équivalent (W.m−2).

Pour ces corps réels, la loi de Stefan-Boltzmann est alors modifiée :

M = ǫσT 4 . (1.5)

Williams a modélisé la radiation mesurée (S) par la caméra de thermographie infrarouge selon

trois sources d’émission influençant la mesure [Williams etal., 1988] :

S = Sc + Sr + Satm , (1.6)

où :

– Sc représente la radiation provenant de la cible,

– Sr représente la radiation réfléchie,

– Satm représente la radiation atmosphérique.

L’interaction avec l’atmosphère se situe à trois niveaux [Caniou and Vuillermoz, 1991] :

1. L’absorption et la diffusion par les particules atmosphériques provoquent une atténuation

du flux transmis par dissipation de l’énergie.

3L’ exitance(ouémittance énergétique) désigne le flux lumineux émis par unité de surface.

10


2. La réflexion diffuse sur les particules entraîne un flux émis qui vient se superposer à celui

de la cible.

3. Les mouvements de l’air entraînent des variations locales de température, de pression et

d’humidité, provoquant des fluctuations de l’indice de réfraction de l’atmosphère. Cette

turbulence atmosphérique déforme le front d’onde et infléchit la trajectoire des rayons

énergétiques. Ce troisième effet de l’atmosphère est celuique nous allons étudier en dé-

tail et essayer de corriger dans le chapitre 3.

Avantage de la technologie thermique :

– L’intérêt majeur d’un système d’acquisition dans l’infrarouge thermique est que l’image peut

être acquise indifféremment de jour ou de nuit. Un exemple desystème utilisé sur le terrain

est donné sur la figure 1.9.

– Les images obtenues permettent de visualiser des différences de température qui demeurent

inaperçues dans le domaine visible.

Figure 1.9 – Lunette thermique (MIRA) permettant le tir de nuit ou par mauvaise visibilité.Source :Sirpa Terre. Droits : Copyright Ministère de la Défense.

Limitations de la technologie thermique :

– L’image constituée ne donne que des informations sur la forme de la cible observée. Aucune

indication n’est disponible sur sa texture ou ses couleurs.

– La distance maximale de détection de cibles est moindre quecelle des caméras visibles.

– La détection par thermographie devient difficile lorsque la température de la cible est très

proche de celle du milieu ambiant.

– De même, pour des surfaces très réfléchissantes, la réflexion devient prédominante devant

l’émission propre et aucune mesure par thermographie n’estalors possible [Gaussorgues,

1999].

11


1.1.4 Conclusion sur les systèmes d’observation

Nous venons d’aborder les systèmes d’imagerie utilisés dans les bandes visible et infrarouge

dans le domaine de la Défense. Il existe encore d’autres types d’imagerie couramment utili-

sés. Par exemple, l’imagerie SAR (Synthetic Aperture Radarou RSO pour Radar à Synthèse

d’Ouverture) est une technique radar qui exploite le déplacement d’une antenne pour obtenir

une résolution angulaire bien supérieure à celle d’une antenne immobile. Un autre exemple

est fourni par les systèmes qualifiés demultispectrauxou d’hyperspectrauxqui permettent de

visualiser une scène dans différentes bandes de longueurs d’onde, chacune apportant des infor-

mations complémentaires et en partie redondantes sur la cible.

Dans la suite de cette thèse, des séquences d’images provenant de caméras visible et infrarouge

(bandes I et II) seront traitées. Cependant, aucun modèle decaméra n’est nécessaire, le bruit

d’acquisition étant supposé négligeable devant les effetsde l’atmosphère. Dans la partie simu-

lation (chapitre 2), seule l’influence de la taille de la pupille sur l’image obtenue sera étudiée.

Dans la partie restauration (chapitre 3), nous verrons que l’utilisation de certains matériels (la-

ser, intensificateur de lumière) aura un effet néfaste sur l’image acquise.

Nous allons maintenant nous intéresser aux turbulences de l’atmosphère. Nous allons détailler

leur modélisation physique et mathématique afin d’expliquer la théorie de Kolmogorov qui sera

utilisée dans nos simulations. Enfin, nous verrons leurs effets sur les acquisitions de séquences

d’images.

12


1.2 Turbulence atmosphérique

La turbulence atmosphérique trouve son origine dans les fluctuations de l’indice de réfraction

de l’atmosphère, induites par des variations locales de température, de pression et d’humidité.

Cette turbulence atmosphérique a pour effet principal de modifier la trajectoire des rayons lumi-

neux. Une image acquise en présence de turbulence atmosphérique va donc souffrir de dégrada-

tions, et en particulier les objets visualisés seront plus ou moins déformés selon l’intensité de la

turbulence. Un exemple d’image acquise en présence de turbulence est donné sur la figure 1.10.

Figure 1.10– Exemple d’image dégradée par la turbulence atmosphérique: les lignes droites de la pisteapparaissent gondolées. Un effet de mirage est aussi présent au bas de la voiture.

Dans un premier temps, nous allons détailler quelques équations générales de mécanique des

fluides sur la turbulence qui nous permettront dans un deuxième temps d’expliquer la théorie de

Kolmogorov que nous utiliserons dans le chapitre 2. En effet, la théorie de Kolmogorov est à ce

jour la seule qui fasse l’objet d’un consensus dans la communauté de la turbulence malgré ses

limitations (cf. §1.2.2). Enfin, à partir du §1.2.3, nous expliquerons le processus de dégradation

des images par la turbulence atmosphérique et nous définirons certaines variables qui seront

utilisées dans les chapitres suivants.

1.2.1 La turbulence en mécanique des fluides

1.2.1.1 Définition

La turbulence est l’état d’un fluide dont l’écoulement est irrégulier tel qu’en tout point de l’es-

pace, la vitesse varie aléatoirement. Les écoulements sontturbulents et imprédictibles par na-

ture. À l’inverse de l’écoulement ditlaminaire qui a lieu à une échelle précise (Fig. 1.11(a)),

la turbulenceest essentiellement caractérisée par l’existence de mouvements de toutes tailles

13


(Fig. 1.11(b)). Ces mouvements correspondent entre autresà des tourbillons de tailles diffé-

rentes dont les plus petits sont transportés par les plus grands.

(a) (b)

Figure 1.11– Échelles caractéristiques dans un sillage laminaire et unsillage turbulent (cas d’un cylindreà section circulaire placé dans un écoulement). (a) Écoulement laminaire ou visqueux : une seule échellede mouvement. (b) Écoulement turbulent : une multitude d’échelles de mouvement.

1.2.1.2 Représentation de la turbulence en dynamique des fluides

Les équations de cette section sont tirées des références suivantes : [Batchelor, 1970], [Lesieur,

1994] et [Pope, 2000]. En mécanique des fluides, les équations de Navier-Stokes sont des équa-

tions aux dérivées partielles non-linéaires qui décriventle mouvement des fluides. Elles gou-

vernent par exemple les mouvements de l’air de l’atmosphère, les courants océaniques, l’écou-

lement de l’eau dans un tuyau, et de nombreux autres phénomènes d’écoulements de fluides. Il

existe plusieurs formes équivalentes des équations de Navier-Stokes. Voici l’équation obtenue à

partir d’un bilan de quantité de mouvement :

∂ (ρ−→v )

∂t+−→∇ · (ρ−→v ⊗−→v ) = −−→∇p+

−→∇ ·−→−→τ + ρ

−→f , (1.7)

où :

– t représente le temps (s),

– ρ désigne la masse volumique du fluide (kg.m−3),

– −→v est la vitesse d’une particule du fluide (m.s−1),

– p désigne la pression (Pa),

–−→−→τ est le tenseur des contraintes visqueuses (Pa),

–−→f désigne la résultante des forces massiques s’exerçant dansle fluide (N.kg−1).

Remarque : L’opérateur−→∇ (nabla) est un opérateur de dérivation spatiale du premier ordre.

Les opérateurs suivants peuvent s’écrire à l’aide de−→∇ :

14


– le gradient :−−→grad A =

−→∇A,

– la divergence :div−→a =−→∇ · −→a ,

– le Laplacien :∆A =−→∇ ·

(−→∇A)

= ∇2A.

L’équation de Navier-Stokes se démontre à partir d’un bilande quantité de mouvement par unité

de volume pour un fluide incompressible4 :

−→∇ · −→v = 0 , (1.8)

et ρ∂−→v∂t

+ ρ(−→v · −→∇

)−→v = −−→∇p+ ρ−→f ext + µ∆−→v . (1.9)

L’équation 1.8 de divergence nulle du champ de vitesse−→v (m.s−1) assure l’incompressibilité du

fluide. Chaque terme de l’équation 1.9 est une force par unitéde volume. La variableρ (kg.m−3)

désigne la densité du fluide etp (Pa) désigne la pression, qui par définition est la partie isotrope

du tenseur des contraintes. Le terme−−→∇p représente donc des contraintes normales liées aux

forces de pression.

La force par unité de masse−→f ext (N.kg−1) regroupe l’ensemble des forces appliquées dans

le volume du fluide. Souvent, seules les forces de pesanteur−→f ext = −→g sont présentes. Dans

ce cas, on appellep0 la valeur que prend la pression en absence d’écoulement,−→v =−→0 et

−→∇p0 = ρ−→g (pression hydrostatique). Pour ces écoulements, la mise enmouvement du fluide

est assurée par un forçage lié à la vitesse imposée par les conditions aux limites. Enfin,µ (Po)5

est la viscosité dynamique du fluide.

En divisant l’équation 1.9 par la densitéρ, on obtient le bilan de forces par unité de masse, qui

s’interprète aussi comme une équation de transport de la vitesse :

∂−→v∂t

+(−→v · −→∇

)−→v = −1

ρ

−→∇(p− p0) + ν∆−→v . (1.10)

Cette forme de l’équation fait apparaître la viscosité cinématique du fluide :ν = µ/ρ (m2.s−1).

Le dernier terme du membre de droiteν∆−→v qui est un terme linéaire, représente le transport

de quantité de mouvement (par unité de masse) par diffusion moléculaire. Le second terme du

membre de gauche(−→v · −→∇

)−→v se déduit de la dérivée Lagrangienne de la vitesse. Il correspond

au transport convectif de la vitesse et contrairement au transport diffusif, il est non-linéaire car

il s’agit une forme quadratique de la vitesse.

4Un fluide est ditincompressiblelorsqu’on peut négliger ses variations de masse volumique au cours du temps.5Po est l’unité Poiseuille :1 Po = 1 Pa.s

15


1.2.1.3 Les deux types de transport de la quantité de mouvement

La diffusion moléculaire est un processus aléatoire d’événements indépendants. Chaque molé-

cule du fluide est en interaction avec les autres (par chocs pour les gaz) de telle sorte que les

molécules soient des vecteurs d’échanges de grandeurs physiques (énergie ou chaleur, quan-

tité de mouvement, masse). C’est l’agitation thermique de l’ensemble des molécules qui assure

l’incohérence à l’échelle moléculaire. En ce qui concerne le transportdiffusif, le temps caracté-

ristique pour transporter la quantité de mouvement sur une longueurL est :

τν =L2

ν, (1.11)

oùν est la viscosité cinématique.

Dans le cas du transportconvectif, c’est la vitesse elle-même qui transporte la quantité de mou-

vement. Contrairement au cas du transport diffusif, on assiste à la formation de tourbillon(s). Le

temps caractéristique pour transporter la quantité de mouvement sur une longueurL est donc :

τC =L

U, (1.12)

oùU est la vitesse périphérique du tourbillon.

1.2.1.4 Nombre de Reynolds

Le nombre de ReynoldsRe est un nombre sans dimension défini par :

Re =UL

ν=τντC

, (1.13)

où :

– U représente l’échelle de la vitesse de l’écoulement,

– L représente l’échelle de la longueur de l’écoulement,

– ν est la viscosité cinématique.

Au temps le plus court parmi les deux temps caractéristiquesτν etτC , correspondra le transport

dominant. Le nombre de Reynolds est donc aussi défini par le rapport entre effets convectifs et

diffusifs :

Re =effets convectifseffets diffusifs

. (1.14)

16


Il est aussi souvent utile de comprendre le nombre de Reynolds comme le rapport entre les

termes de forces d’inertie et de forces visqueuses de l’équation de Navier-Stokes (Éq. 1.9) :

Re =ρ(−→v · −→∇

)−→vµ∆−→v =

forces inertiellesforces visqueuses

. (1.15)

On distingue trois principaux régimes :

– Si Re ≪ 1, les phénomènes diffusifs dominent car les forces de viscosité sont prépondé-

rantes. L’écoulement est laminaire : des éléments de fluide voisins demeurent voisins. De

plus, comme l’inertie est négligeable, l’écoulement du fluide est réversible : si les forces

extérieures sont soudainement stoppées, le fluide s’arrêteimmédiatement, et si elles sont in-

versées, le fluide repart en sens inverse.

– Si 1 . Re . 2000, les forces d’inertie sont prépondérantes, mais l’écoulement reste lami-

naire. Cependant, il n’est plus réversible : si les forces extérieures sont stoppées, le fluide

continue partiellement sur sa lancée. Les phénomènes diffusifs et convectifs sont de même

importance.

– SiRe≫ 2000, les phénomènes convectifs dominent et les forces d’inertie sont si importantes

que l’écoulement devient turbulent.

Remarque : Entre les régimes laminaire et turbulent, on parle de régimetransitoire. Le terme

Re est alors proche de sa valeur critique qui dépend de la géométrie de l’écoulement et des arbi-

traires liés au choix des échelles caractéristiques. Par exemple, dans une conduite, l’écoulement

est laminaire lorsqueRe est inférieur à environ 2300. Sur un cylindre à section circulaire placé

dans un écoulement (Fig. 1.12), on obtient un écoulement proprement laminaire qui s’ajuste à

l’obstacle jusqu’àRe ≈ 1, puis un sillage turbulent apparaît aux environs de104 ; entre ces deux

valeurs, la transition se fait à travers différentes formesde sillages tourbillonnaires.

1.2.1.5 Les origines de la turbulence

Dans cette partie, on s’intéresse à la manière dont les écoulements deviennent instationnaires et

désordonnés à grand nombre de Reynolds. Ce désordre est dû auterme non-linéaire de l’équa-

tion de Navier-Stokes qui représente le terme inertiel de transport par convection. Ainsi, plus

le nombre de Reynolds sera grand, plus ce terme aura de poids dans la dynamique et plus les

écoulements seront complexes et turbulents.

17


(a) (b)

(c) (d)

Figure 1.12– Visualisation d’un écoulement de gauche à droite derrièreun cylindre à section circulaire,à différents nombres de Reynolds. (a)Re = 1.54 : écoulement symétrique entre amont et aval. (b)Re = 26 : apparition de deux zones de recirculation fixes en arrière du cylindre. (c)Re = 200 : émissionpériodique de tourbillons formant une allée de Karman. (d)Re = 0.8× 104 : sillage turbulent.Sources :S. Taneda et H. Werié.

Stationnarité et stabilité

Par définition, un régimestationnaireest un régime tel que si le système s’y trouve, il n’en

bouge pas. Mais lorsqu’on fait subir au système une petite perturbation, deux situations peuvent

se produire : soit le système revient vers son régime stationnaire, soit il le quitte pour rejoindre

un autre régime. Dans le premier cas le régime stationnaire est dit stable, dans le second cas

on dit qu’il estinstable(Fig. 1.13). En d’autres termes, la stabilité est la capacité du système à

amortir de petites perturbations.

petite perturbation

amortissement

amplification

petite perturbation

(a) (b)

Figure 1.13– Évolution d’un système stable et d’un système instable en fonction du temps. (a) Systèmestable. (b) Système instable.

18


Les instabilités

Les instabilités sont directement associées au terme non-linéaire inertiel de l’équation de Navier-

Stokes, et sont les ingrédients essentiels de la turbulence. Une instabilité est unebifurcationdans

la solution d’une équation non-linéaire, qui s’opère à partir d’une certaine valeur d’un paramètre

d’ordre. Ce paramètre est un rapport entre les termes linéaire et non-linéaire de l’équation. Pour

l’équation de Navier-Stokes, le paramètre d’ordre est le nombre de Reynolds.

(a) (b)

Figure 1.14– Diagrammes de bifurcations. Les branches correspondant aux solutions stables sont en traitcontinu, les branches instables en pointillés.A représente l’amplitude du mode périodique qui devient in-stable pourRe ≥ Recritique. QuandA est constante, le système est stationnaire, sinon il est instationnaire.(a) Bifurcation super-critique. (b) Bifurcation sous-critique.Source : O. Cadot.

Il existe deux familles de bifurcations d’une grande importance pour les écoulements : les bifur-

cationssuper-critiqueetsous-critique(Fig. 1.14). Pour la bifurcation super-critique, la solution

stable de l’équation passe de stationnaire à instationnaire àRecritique. La branche stationnaire

existe toujours au-dessus deRecritique, mais elle est instable et donc non-observable. La solution

instationnaire est caractérisée par la croissance d’une perturbation qui sature périodiquement.

La bifurcation sous-critique est très brutale car elle esthystérétique(elle contient un cycle en

forme de S appelécycle d’hystérésis). Le système peut passer de stationnaire à instationnaire

en sautant d’une branche à l’autre. L’amplitudeA du mode périodique passe alors de manière

discontinue de zéro à une valeur finie.La solution stationnaire existe au-delà deRecritique mais

est instable, et donc non-observable.

Remarque : Dans le cas sous-critique, le nombre de Reynolds dépend des perturbations exté-

rieures.

19


1.2.1.6 La couche limite et le phénomène de décollement

La couche limiteest une couche au voisinage immédiat d’une paroi solide, finepar rapport au

volume du fluide et à la taille de la paroi, dans laquelle les effets visqueux sont confinés et en

dehors de laquelle les effets visqueux sont négligeables. Dans cette couche limite, la vitesse

de l’écoulement devient progressivement nulle lorsqu’on se rapproche de la paroi du corps im-

mergé dans le fluide en mouvement (Fig. 1.15).

Remarque : La couche limite est de l’ordre du millimètre au voisinage dela paroi d’un cy-

lindre de quelques centimètres de diamètre placé dans un écoulement. En ce qui concerne l’at-

mosphère, elle se situe près du sol et varie entre quelques centaines de mètres et quelques kilo-

mètres en fonction des conditions météorologiques et du type de sol [Stull, 1988; Mahé, 2000].

��

surface d’un objet

flux instable

laminaire turbulent

flux libre

limitecouche

Figure 1.15 – Représentation d’une couche limite dans le cas où le flux reste laminaire etoù le flux devient turbulent.Adapté de National Aeronautics and Space Administration (NASA),http ://www.grc.nasa.gov.

Le décollementde couche limite laminaire est souvent à l’origine de la turbulence car il produit

des zones potentiellement instables. En dehors de la couchelimite, les effets de la viscosité sont

négligeables et on peut appliquer l’équation de Bernoulli :

p+1

2ρ U2(x) = constante, (1.16)

oùU représente la vitesse de l’écoulement.

Ainsi le gradient de pression vérifie l’équation :

∂p

∂x= −ρ U(x)

∂U(x)

∂x. (1.17)

20


Par ailleurs, les variations de pression dans la couche transverse sont négligeables (théorie de

la couche limite laminaire de Prandtl). On retrouve donc le même gradient de pression dans la

couche limite que dans le volume.

Dans les zones de faibles vitesses proches de la paroi, la dynamique des éléments fluides résulte

donc de deux influences : la force de volume égale à l’opposé dugradient de pression et la force

d’entraînement imposée par la contrainte visqueuse qui estdans la même direction que l’écoule-

ment principal. Si la résultante des forces de pression et deviscosité se trouve être dans le même

sens que l’écoulement principal (cas d’un écoulement dans un convergent), alors le fluide proche

de la paroi est accéléré et la couche limite va s’amincir. Si la résultante des forces est opposée

à l’écoulement principal (cas d’un écoulement dans un divergent), le fluide en proche paroi su-

bira une accélération en sens inverse à l’écoulement, il y aura freinage et épaississement de la

couche limite et éventuellement un écoulement en sens contraire (Fig. 1.16).

Figure 1.16– Décollement de couche limite dans un divergent : le gradient de pression adverse freine etrenverse l’écoulement dans la couche limite.Source : O. Cadot.

Pour des nombres de Reynolds suffisamment grands, le décollement apparaîtra inévitablement

dans des conduites divergentes et à l’aval d’obstacles (Fig. 1.12(b)). Cependant, ce phénomène

n’est pas une instabilité car il ne résulte pas de l’amplification exponentielle d’un bruit, il s’agit

d’un changement de la topologie de l’écoulement. Le décollement est souvent à l’origine de la

turbulence car une couche limite décollée présente des profils de vitesse avec point d’inflexion

(Fig. 1.16) rendant l’écoulement potentiellement instable.

1.2.1.7 Transitions vers la turbulence

La transition d’un écoulement vers la turbulence est étudiée pour une géométrie d’écoulement

donnée en augmentant le nombre de Reynolds. Au fur et à mesureque ce nombre augmente, le

terme non-linéaire prend de plus en plus d’importance et lesbifurcations changent totalement

la topologie de l’écoulement. À des nombres de Reynolds suffisamment grands, il n’y a plus de

bifurcation, l’écoulement atteint alors un régime pleinement développé.

21


On peut regrouper les transitions en deux classes :

– celles qui se font brutalement (cas des écoulements dans les conduites, couche limite) appe-

lées transitions à caractère sous-critique,

– et celles qui se font par suite de bifurcations appelées transitions à caractère super-critique.

Transitions à caractère sous-critique :Il existe des écoulements où la géométrie et les condi-

tions aux limites imposent la stabilité de l’écoulement. Cesera par exemple le cas des écou-

lements dans les conduites droites ou des écoulements de couche limite sur parois droites et

convexes.

Pour les écoulements dans les conduites, la transition est brutale et imprévisible car elle a un

caractère sous-critique. On passe brusquement d’un état laminaire à un état turbulent par inter-

mittence. La turbulence ne se déclare pas dans tout l’écoulement, mais dans des zones appelées

spots turbulents(Fig. 1.17). Ensuite, plus le nombre de Reynolds augmente etplus la taille des

zones de turbulence croît, jusqu’à ce que la turbulence envahisse l’écoulement tout entier. Dans

ces spots turbulents, on voit la formation de petites structures de vorticité, semblables à des

tubes orientés dans le sens de l’écoulement. C’est la dynamique de ces structures qui va ensuite

modifier les effets entre la paroi et le volume de l’écoulement, et changer la force de traînée.

Figure 1.17 – Exemple de spot turbulent. Autour du spot, l’écoulement est parfaitement laminaire.Source : O. Cadot.

La transition vers la turbulence dans le cas de la couche limite est un peu différente de celle d’un

écoulement dans une conduite car l’écoulement n’est pas parfaitement parallèle, il est donc pos-

sible d’observer un passage indirect vers la turbulence parune succession de bifurcations de

l’état laminaire à l’état turbulent (Figs. 1.18(a) et 1.18(b)). Cette observation reste cependant

difficile, certaines étapes du scénario de transition (Fig.1.18(b)) étant souvent sautées : l’écou-

lement initialement 2D devient rapidement 3D.

22


(a) (b)

Figure 1.18– Transition d’un écoulement passant d’un état laminaire à turbulent (de gauche à droite)dans la couche limite. (a) Visualisation d’une telle transition. (b) Scénario d’une telle transition : 1. fluxlaminaire stable ; 2. ondes instables ; 3. formation d’ondes3D et de vortex ; 4. affaiblissement des vortex ;5. flux complètement turbulent.Sources : O. Cadot.

Transitions à caractère super-critique : Il existe des écoulements qui présentent dans leur

état laminaire des zones potentiellement instables. Parmiles plus étudiés, il y a le sillage de

cylindre (Fig. 1.12). Cet écoulement a pour particularité de transiter de l’écoulement laminaire

vers la turbulence par succession de bifurcations bien déterminées (souvent super-critiques) où

à chaque fois, une symétrie de l’écoulement est brisée.

Le nombre de Reynolds est défini à partir de la vitesse amontU , du diamètre du cylindred, et

de la viscosité du fluideν, soitRe = Ud/ν. À très bas nombre de Reynolds, l’écoulement est

complétement piloté par la viscosité, il est stationnaire,symétrique en amont et en aval avec

une couche limite beaucoup plus grande que la taille du cylindre (Fig. 1.12(a)). À partir d’un

certain nombre de Reynolds, un premier effet inertiel se fait ressentir dans la couche limite :

il y a décollement et présence de deux zones de recirculationfixes (Fig. 1.12(b)). Ces décol-

lements vont présenter des profils avec points d’inflexion etdonc des zones potentiellements

instables. On assiste alors à une première bifurcation versun état instationnaire correspondant

à une émission périodique de tourbillons (Fig. 1.12(c)). Enaugmentant encore le nombre de

Reynolds, on assiste à d’autres bifurcations rendant l’écoulement, jusqu’ici 2D instationnaire,

3D instationnaire (Fig. 1.12(d)).

23


1.2.2 Théorie de Kolmogorov

Cette partie détaille les propriétés statistiques spatiales de la turbulence. Nous allons voir que

dans un écoulement turbulent, les zones très turbulentes présentent une grande gamme d’échelles

spatiales du mouvement du fluide. Nous verrons ensuite que laturbulence peut se concevoir sous

la forme de cascade d’énergie permettant une hiérarchie en terme d’énergie entre les échelles

du mouvement. Enfin, nous expliquerons le modèle de Kolmogorov qui reproduit la statistique

des principales échelles du mouvement.

1.2.2.1 Production d’une gamme d’échelles

Un écoulement turbulent est un écoulement à grand nombre de Reynolds, donc un écoulement

pour lequel le terme non-linéaire de l’équation de Navier-Stokes est prépondérant, ce qui est

la cause de tous ces mouvements de tailles différentes. À l’opposé, pour un écoulement très

visqueux, le terme non-linéaire est négligeable et il n’y a qu’une seule taille caractéristique du

mouvement.

Prenons l’exemple d’un sillage visqueux à bas nombre de Reynolds (Fig. 1.11(a)). L’échelle de

l’écoulement est donnée par l’épaisseur de la couche limiteδ ∝ d/√Re oùd est le diamètre de

l’obstacle etRe le nombre de Reynolds. Pour l’écoulement turbulent (Fig. 1.11(b)), le champ

de vitesse va fluctuer spatialement, sur des tailles caractéristiques allant de la taille de l’obstacle

à des échelles beaucoup plus petites. Les mécanismes de production des petites échelles sont

très nombreux, et les instabilités en sont responsables. À grand nombre de Reynolds, les écou-

lements turbulents atteignent des régimes tellement développés que la turbulence va présenter

un caractère « universel ».

Remarque : Le mécanisme d’étirement de la vorticité (qui concentre la vorticité sous l’action

d’un champ de déformation) joue un rôle important dans le processus de formation de petites

échelles de mouvement dans l’écoulement.

1.2.2.2 Cascade d’énergie de Richardson

Sir Owen Willans Richardson a été le premier physicien-météorologue à concevoir la turbulence

en cascade d’énergie. Son idée était que la turbulence est composée detourbillonsde tailles dif-

férentes. Des tourbillons de taillel ont une vitesse caractéristiqueul et un temps caractéristique

τl = l/ul. Partourbillon, Richardson entend mouvement turbulent de cohérence spatiale l et

de cohérence temporelleτl. Les tourbillons de plus grandes tailles sont caractériséspar une

échelle de longueurL (typiquement l’échelle de l’écoulement), et une vitesse caractéristique

U (typiquement de l’ordre de la vitesse fluctuante). Le nombrede Reynolds de ces tourbillons

24


Re = ULν

est donc très grand, de sorte que la viscosité n’a pas d’effetet que ces tourbillons

sont incapables de dissiper leur énergie cinétique. Pour Richardson, ces gros tourbillons sont

instables et secassenten tourbillons plus petits récupérant l’énergie des plus gros, et ainsi de

suite jusqu’à ce que les effets de la viscosité se fassent ressentir.

Dans cette description de la turbulence, la dissipation estplacée à la fin de la cascade de trans-

ferts d’énergie. Ainsi ce qui sera dissipé par la turbulenceest entièrement déterminé par les

première étapes qui sont totalement indépendantes de la viscosité. La puissance dissipée par la

turbulence dans les écoulements libres (sillages) ou dans les écoulements de paroi avec rugosité

suffisament grande, est indépendante de la viscosité. Dans l’esprit de la cascade, le taux moyen

de dissipation< ǫ > (puissance dissipée par unité de temps et de masse) se détermine par le

transfert de l’énergie cinétiqueU2 des plus gros tourbillons. Ce transfert doit se faire sur un

tempsτL = L/U , d’où< ǫ > ∝ U3/L. Bien que la viscosité soit responsable de la dissipation,

la puissance dissipée dans un écoulement turbulent ne dépend pas de la viscosité !

Remarque : Dans le cas d’un écoulement de paroi lisse, on trouve une dépendance de la puis-

sance dissipée avec la viscosité. Ce n’est pas contradictoire avec la notion de cascade, car sans

rugosité il y a une ambiguïté sur la tailleL à prendre pour les plus gros tourbillons. Il suffit

queL dépende de la viscosité pour avoir une dissipation qui dépend de la viscosité. Dans le

cas des parois lisses, l’injection d’énergie dans l’écoulement se fait par l’intermédiaire des forts

gradients de vitesse sur les parois, produits par la viscosité, ce qui suppose queL doit dépendre

deν.

Cette vision de cascade n’est valable qu’en valeur moyenne :le flux d’énergie cinétique global

se propage des grandes échelles vers les petites échelles, mais cela n’exclut pas localement

d’autres flux dans le sens inverse. La notion de cascade étapepar étape est donc mal appropriée

à la réalité qui est beaucoup plus compliquée. La théorie de Kolmogorov développée dans la

partie suivante se prête facilement à une telle interprétation, bien que Kolmogorov n’ait jamais

évoqué de processus dynamique entre les échelles.

1.2.2.3 Modèle de Kolmogorov

Le mathématicien Andreï Kolmogorov a publié en 1941 une série d’articles qui sont à la base

de la compréhension actuelle de la turbulence [Kolmogorov,1941; Kolmogorov, 1991].

Isotropie des échelles :La théorie de Kolmogorov se place dans un contexte de turbulence iso-

trope6. Il est clair que tous les écoulements réels ne sont pas isotropes, au moins au niveau de la

6isotrope :dont les propriétés physiques sont identiques dans toutes les directions.

25


géométrie et des conditions aux limites. Cependant, une notion importante est que les échelles

suffisament petites devant la grande échelle caractéristique de l’écoulementL, deviennent sta-

tistiquement isotropes. En d’autres termes, il existera toujours, pour de grands nombres de Rey-

nolds, une échelle à partir de laquelle les mouvements ont oublié le contexte inhomogène et ani-

sotrope par lequel la turbulence a été engendrée. Dans ce quisuit, on s’intéresse à des échelles

l ≪ L pour lesquelles les mouvements turbulents sont isotropes.

Forme universelle et échelle dissipative : Hypothèse H1 de la théorie de KolmogorovH1.Pour un nombre de ReynoldsRe ≫ 1, la statistique des mouvements turbulents est unique-

ment déterminée à partir deν et< ǫ >.

On peut alors construire une échelleη dite de Kolmogorov telle que :

η =

(ν3

< ǫ >

) 1

4

, uη = (ν < ǫ >)1

4 , et τη =

√ν

< ǫ >. (1.18)

On peut voir qu’à cette échelleη, le nombre de ReynoldsReη = η uη

ν= 1. Les effets visqueux

sont donc comparables aux effets inertiels, et les mouvements de tailles plus petites que cette

taille sont responsables de la dissipation de l’énergie cinétique de l’écoulement sous forme de

chaleur. L’échelle de Kolmogorovη est aussi appelée échelle de dissipation.

La gamme d’échelles inertielles : Hypothèse H2 de la théoriede KolmogorovH2. Siη ≪ l ≪ L alors la statistique des mouvements turbulents est universelle et uniquement

déterminée par< ǫ >.

Pour une échelle intermédiaire appartenant à la gamme d’échelles inertielles, le taux de transfert

d’énergie par unité de masse transitant par cette échelle nepeut que s’exprimer comme :

< ǫ > =u3

l

l, (1.19)

ce qui s’interprète comme un transfert d’énergie cinétiqueu2l par l’échellel pendant une durée

τl = l/ul, soit< ǫ > = u2l /τl.

Le flux d’énergie cinétique au travers des échelles est conservé de l’échelle où l’énergie est

injectéelEI ≪ L (terme de production sur la figure 1.19) jusqu’à une échellelDI ≫ η où la

dissipation commencera à être effective. En général, on confond les échelleslDI etη car l’hypo-

thèse d’isotropie n’est pas nécessaire. On confond aussiL et lEI pour la même raison, de sorte

que souvent on place la gamme d’échelles inertielles entreL etη, avec< ǫ > = U3

L=

u3l

l=

u3η

η.

26


Figure 1.19– Différentes échelles de la turbulence .Source : O. Cadot.

Différence de vitesse :Pour définir une vitesse caractéristique d’une échelle donnée, on construit

la différence de vitesse entre deux points séparés d’une distance−→l :

∆l−→u = −→u (−→x +

−→l ) −−→u (−→x ) . (1.20)

Cette différence de vitesse se décompose en trois composantes. La première est une différence

longitudinale notée∆lu// (c’est la projection sur le vecteur unitaire−→ll

). Les deux autres com-

posantes sont des composantes transverses (ce sont les projections sur les vecteurs perpendicu-

laires à−→ll

) qui par raison de symétrie, présenteront des statistiquesidentiques. On ne parle donc

que d’une seule composante transverse∆lu⊥.

Les moments statistiques d’ordrep des différences de vitesses s’appellentfonctions de struc-

turesd’ordrep. Les fonctions de structure longitudinales et transversesdes différences de vitesse

d’ordrep sont donc par définition :

<(∆lu//

)p> =

1

N

N∑

i

(

∆lu(i)//

)p

et < (∆lu⊥)p > =1

N

N∑

i

(

∆lu(i)⊥

)p

, (1.21)

où la variable aléatoire indicéei est une réalisation au point représenté par le vecteur−→x parmi

l’ensemble desN réalisations. Les fonctions de structures peuvent aussi dépendre du temps en

plus del.

27


L’hypothèse H1 implique que la statistique des mouvements turbulents ne doit dépendre que de

η et< ǫ > (Éq. 1.22). Selon l’hypothèse H2, cette statistique ne doitdépendre que de< ǫ >,

les fonctions génériquesFp de l’équation 1.22 doivent donc tendre vers des constantes notées

Cp dans la gamme d’échelles inertielles :

<(∆lu//

)p> = Fp (η) × Gp (< ǫ >) = Cp (< ǫ > l)p/3 . (1.22)

La relation 1.22 constitue la généralisation de la théorie de Kolmogorov nommée K41. Elle pré-

dit les relations autosimilaires en lois de puissances entre les échelles de mouvements turbulents.

Énergie cinétique des fluctuations :À une échelle donnéel, l’énergie cinétique (longitudi-

nale) est en valeur moyenne donnée par le moment d’ordre 2 de la fonction de structure des

différences de vitesse :

<(∆lu//

)2> = C2 (< ǫ > l)2/3 . (1.23)

Cette relation porte le nom deloi en 2/3 de Kolmogorov. Son équivalence dans le domaine

spectral est laloi en -5/3. On la retrouve à partir de l’équation 1.23 par la correspondance qu’il

y a entre le nombre d’onde7 k et l’échellel = 2π/k. Le spectre de l’énergie cinétique est la

densité d’énergie cinétique par bandes de nombres d’ondes comprises entrek etk + dk :

E//(k) = C1 < ǫ >2/3 k−5/3 . (1.24)

La constanteC2 se déduit de la constanteC1 par un calcul exact (non détaillé ici). On a une

bonne approximation avec la relation suivante :

C2 ≈ 4 C1 ≈ 2 . (1.25)

Remarque : Limitations du modèle de Kolmogorov

Plusieurs modèles ont été proposés pour caractériser les propriétés statistiques de la turbulence

atmosphérique. Dans le modèle de Kolmogorov, la turbulenceatmosphérique est supposée plei-

nement développée, c’est-à-dire que le transfert de l’énergie cinétique a lieu à toutes les échelles

spatiales. Autrement dit, ce modèle ne tient pas compte des échelles interne et externe caractéri-

sant les dimensions extrémales des tourbillons. Pour cetteraison, il ne rend pas compte de tous

les phénomènes observés. Ce modèle sera cependant largement suffisant dans notre étude de la

turbulence atmosphérique. Si la prise en compte des échelles externe et interne était nécessaire,

nous utiliserions le modèle de Von Karman [VonKarman, 1948].

7Le nombre d’ondek est défini par2π

λoùλ est la longueur d’onde.

28


1.2.3 Perturbations par l’atmosphère

La théorie de Kolmogorov est à la base des travaux de Tatarskisur la propagation des ondes

lumineuses en milieu turbulent [Tatarski, 1961]. Plus tard, Fried a poursuivi ces travaux sur

la propagation dans l’atmosphère [Fried, 1966] : il a établiune expression de la fonction de

transfert de l’atmosphère en fonction du temps de pose, et surtout a déterminé un paramètre

permettant de caractériser la qualité de l’observation en fonction de l’intensité de la turbulence

et de la résolution du système optique employé. F. Roddier a réalisé une synthèse de ces travaux

dans son étude sur les effets de la turbulence atmosphériqueen astronomie [Roddier, 1981].

Les équations de cette section sont tirées de cette dernièreréférence. D’autres auteurs se sont

intéressés à l’astrophysique comme Léna [Léna et al., 1996].

Nous allons tout d’abord détailler les perturbations de la turbulence atmosphérique sur la pro-

pagation des ondes, puis sur les acquisitions d’images, ce qui nous mènera enfin à différencier

plusieurs cas de turbulence.

1.2.3.1 Perturbation d’une onde lumineuse

Une perturbation d’un rayonnement monochromatique de longueur d’ondeλ, produit un dépha-

sage∆ϕ défini par :

∆ϕ =2π

λ∆δ , (1.26)

où ∆δ est la variation du chemin optique produite par la perturbation. Le chemin optiqueδ

parcouru par l’onde est le produit du trajet géométriquel par l’indice de réfractionn du milieu

de propagation :

δ = l × n . (1.27)

L’indice de réfraction dépend essentiellement de la longueur d’onde et de la température du mi-

lieu. Cependant,n n’étant dépendant deλ qu’à partir du deuxième ordre, on peut considérer en

première approximation que∆δ est achromatique. Des variations locales de température vont

donc induire des variations locales de l’indice de réfraction. La turbulence atmosphérique va

alors perturber la propagation d’un rayon lumineux en lui faisant subir des fluctuations aléa-

toires de phase, spatiales et temporelles.

Remarque : À très grande échelle, on fait souvent l’hypothèse qu’une onde est plane alors

qu’en réalité elle est sphérique (Fig. 1.21).

Les variations de l’indice de réfraction produisent également des variations d’intensité par un

effet de diffraction de la lumière. Cela se traduit par un phénomène de scintillation facilement

29


��

��

ponctuelle éloignéesource lumineuse

planeonde

turbulence atmosphérique

perturbéeonde

d’observationsystème

Figure 1.20 – Propagation d’une onde lumineuse à travers la turbulence atmosphérique.Adapté deC. Bondeau.

source

source

fronts d’onde sphériques

fronts d’onde plans

Figure 1.21 – Représentation de la propagation des ondes : ondes planes (approximation) ou ondessphériques (cas réel).

observable dans le cas d’une étoile. Comme la phase, l’intensité varie spatialement et temporel-

lement, de manière aléatoire [Jakeman et al., 1978].

Le champ électromagnétique émis par une source ponctuelle et se propageant dans la direction

~z, s’écrit sous une forme complexe. À un instant donné, en toutpointr d’un plan perpendiculaire

à~z, on a pour une onde plane :

ψ(r) = |ψ(r)| eiφ(r) , (1.28)

oùφ(r) représente la phase de l’onde plane.

La turbulence introduit un déphasage complexeϕ(r) − iχ(r) sur le signal. L’onde perturbée

ψp(r) s’écrit alors :

ψp(r) = |ψ(r)| ei[φ(r)+ϕ(r)−iχ(r)] . (1.29)

χ(r) représente les variations du logarithme de l’amplitude et correspond à la mesure des scin-

tillations [Fried, 1982]. Cela rend le signal augmenté ou amoindri aléatoirement en fonction du

temps. Ces effets sont souvent faibles par rapport à ceux dusau déphasage-même (ϕ(r)), qui

30


affecte la direction de propagation de l’onde au pointr, et se traduit donc par un « bougé » dans

l’image. En observation astronomique, pour la correction des dégradations, on ne tient compte

que des variations deϕ(r) la plupart du temps.

1.2.3.2 Paramètre de Fried et image observée

Le paramètre de Fried notér0 caractérise les conditions d’observation pour un état donné de

la turbulence, pour une certaine longueur d’ondeλ et pour une longueur de propagationL. Le

paramètrer0 représente le diamètre de l’aire de cohérence de l’onde, c’est-à-dire le diamètre

maximal de la surface de la pupille pour laquelle l’onde perturbée peut être considérée comme

plane. Dans l’hypothèse d’une onde plane, ce paramètre est défini par :

r0 =

[

0.423 k2

∫ L

0

C2N(z) dz

]− 3

5

, (1.30)

oùk est le nombre d’onde etC2N est la constante de structure d’indice de l’atmosphère (m−2/3).

Ce paramètre traduit l’influence de la turbulence sur la propagation optique. Il dépend de l’alti-

tude et des conditions atmosphériques locales (température, pression, taux d’humidité...). Près

du sol, les valeurs deC2N se situent en général entre10−16 m−2/3 pour une faible turbulence et

10−12 m−2/3 pour une forte turbulence [Hutt, 1999].

Dans l’hypothèse d’une onde sphérique (cas réel), le paramètre de Fried s’écrit :

r0 =

[

0.423 k2

∫ L

0

C2N(z)

(

1 − z

L

) 5

3

dz

]− 3

5

, (1.31)

avecz = 0 dans le plan de la pupille etz = L dans le plan de la source. Dans le cas d’une

propagation verticale, l’atmosphère étant divisée en plusieurs couches (Fig. 1.22), les couches

les plus proches du système d’observation sont celles qui ont le plus d’influence surr0, puisque

le coefficient de pondération(1 − z

L

) 5

3 est alors proche de 1. Au contraire, les couches les plus

proches de la source sont celles qui ont le moins d’influence sur r0, puisque le coefficient de

pondération tend alors vers 0.

Dans le cas d’une propagation horizontale, la constante de structureC2N varie très peu le long

du chemin de propagation. On peut donc la considérer comme constante, et on a alors :

r0 = 3.02 k−6/5 L−3/5 (C2N)−3/5 . (1.32)

Remarque :Commeλ = 2πk

, on a :

r0 ∝ λ6/5 . (1.33)

31


Figure 1.22– Les différentes couches de l’atmosphère.Source : Fédération Française de la Montagneet de l’Escalade. http ://www.ffme.fr.

Le paramètrer0 croît donc assez rapidement avec la longueur d’onde, ce qui signifie que les ef-

fets optiques de la turbulence se font moins sentir aux fortes longueurs d’onde. Pour une même

intensité de turbulence, la dégradation sera donc plus faible sur une image infrarouge que sur

l’image visible correspondante.

L’intensité de la turbulence est donnée par le rapportD/r0 oùD est le diamètre de la pupille

utilisée. Si on observe une source lumineuse ponctuelle avec un temps de pose court, trois cas

peuvent se présenter :

– SiD < r0, le système optique est seulement limité par la diffraction, on obtient alors une

tache d’Airy8 (Fig. 1.23(a)).

– SiD & r0, la surface de l’onde incidente sur l’optique de réception est encore assimilée à un

plan, mais celui-ci n’est pas forcément perpendiculaire à la direction de propagation. L’image

de la source lumineuse ponctuelle est alors décalée par rapport à sa position sans turbulence

(Fig. 1.23(b)).

– SiD ≫ r0, on ne peut plus considérer la surface de l’onde comme plane.Elle présente des

déformations qui produisent des vibrations lumineuses. Onvoit alors apparaître une structure

éclatée en petits grains lumineux ou sombres appeléstaveluresouspeckles(Fig. 1.23(c)).

8La tache d’Airyest l’image de diffraction obtenue après le passage de la lumière à travers un trou parfaitementcirculaire.

32


λD

(a)D < r0

λD

(b)D & r0

λD

λr0

(c)D ≫ r0

Figure 1.23– Image d’une source ponctuelle observée en courte pose selon le rapportD/r0, oùD varieet r0 est constant. Les ordres de grandeur des disques obtenus sont donnés pour information.Adapté deC. Bondeau.

1.2.3.3 Statistiques de la turbulence atmosphérique

Nous avons vu précédemment (cf. §1.2.2) que la structure de la turbulence est décrite par la

théorie de Kolmogorov. On peut en déduire les propriétés statistiques liées aux variations lo-

cales de l’atmosphère, en particulier celles de la température et de l’indice de réfraction.

L’atmosphère est presque toujours turbulente : pour l’air,la viscosité cinématique est d’environ

15 × 10−6 m2.s−1, et en prenant une vitesse moyenne du ventV ≈ 1 m.s−1 et une longueur

de fluideL ≈ 15 m, on obtient un nombre de ReynoldsRe ≈ 106, ce qui correspond à une

turbulence pleinement dévelopée.

L’indice de réfraction de l’air est principalement fonction de la température et du taux d’humi-

dité, dont les fluctuations suivent également la loi de Kolmogorov (Éq. 1.24). Pour la tempéra-

ture, la fonction de structure< ∆ρT > représente la variance des fluctuations de température

T entre deux points distants deρ. Elle est définie par :

< ∆ρT > = < |T (r + ρ) − T (r)|2 > . (1.34)

Elle suit la loi suivante, appelée loi d’Obukhov, dans le domaine inertiel :

< ∆ρT > = C2T ρ

2/3 , (1.35)

oùρ = ‖ρ‖ etC2T est la constante de structure des fluctuations de température (K2.m−2/3).

De même, la fonction de structure d’indice de réfraction< ∆ρN > suit la loi d’Obukhov :

< ∆ρN > = C2N ρ2/3 , (1.36)

33


oùC2N est la constante de structure d’indice de l’atmosphère (m−2/3) déjà vue précédemment

(cf. §1.2.3.2).

1.2.3.4 Statistiques du champ perturbé

Les perturbations du front d’onde peuvent être décrites pardes fonctions de structure de phase

et d’amplitude. La fonction de structure de phase< ∆ρϕ > est la variance des fluctuations de

phase entre deux points distants deρ :

< ∆ρϕ > = < |ϕ(r + ρ) − ϕ(r)|2 > . (1.37)

La fonction de structure d’amplitude< ∆ρχ > est la variance des fluctuations du logarithme

de l’amplitude entre deux points distants deρ :

< ∆ρχ > = < |χ(r + ρ) − χ(r)|2 > . (1.38)

La fonction de structure de l’onde est alors définie par :

< ∆ρ > = < ∆ρχ > + < ∆ρϕ > . (1.39)

Cas d’une couche turbulente fine :En supposant que l’atmosphère est partout homogène et

non turbulente, sauf à l’intérieur d’une couche horizontale fine comprise entre les altitudesh et

h+ δh, alors à l’entrée de la couche, l’onde n’est pas perturbée eton a :

ψh+δh(r) = 1 . (1.40)

L’épaisseur de la couche est choisie assez faible pour que les effets de diffraction soient négli-

geables devantδh, on peut donc négliger les fluctuations d’amplitude. On a donc à la sortie de

la couche :

ψh(r) = eiϕ(r) , (1.41)

oùϕ(r) est le déphasage introduit par les fluctuations d’indice à l’intérieur de la couche :

ϕ(r) = k

∫ h+δh

h

n(r, z) dz , (1.42)

oùk est le nombre d’onde,n est l’indice de réfraction,z est l’altitude, etr représente un point

du plan perpendiculaire à l’axe de propagation enz.

34


Le moment d’ordre 2 du champ aléatoireψh(r) à la sortie de la couche est lafonction de

cohérence(ou covariance) deψh(r) entre deux points séparés d’une distanceρ :

Bh(ρ) = < ψh(r)ψ∗h(r + ρ) > = < ei[ϕ(r)−ϕ(r+ρ)] > , (1.43)

oùψ∗h(r) est le conjugué complexe deψh(r). La phaseϕ(r) est la somme d’un grand nombre

de variables indépendantes, ses statistiques sont donc gaussiennes d’après le théorême central

limite. La fonction de cohérenceBh(ρ) est la fonction caractéristique d’une variable gaussienne,

et on aboutit à une relation entre la fonction de cohérence etla fonction de structure de phase

< ∆ρϕ > :

Bh(ρ) = e−1

2<|ϕ(r)−ϕ(r+ρ)|2> = e−

1

2<∆ρϕ> . (1.44)

Comme nous avons fait l’hypothèse que l’atmosphère est non turbulente de la sortie de la couche

jusqu’au sol, la fonction de cohérence au solB0(ρ) est égale àBh(ρ) :

B0(ρ) = e−1

2<∆ρϕ> . (1.45)

Remarque : Dans la réalité, le champ au solψ0(r) fluctue à la fois en phase et en amplitude.

Cependant, les fluctuations d’amplitude sont souvent négligées car en général, elles sont faibles

devant les fluctuations de phase. Il s’agit de l’approximation dechamp procheoù la turbulence

est supposée être localisée près du système d’observation.

Cas d’une turbulence continue :La fonction de structure de phase< ∆ρϕ > est reliée aux

statistiques de fluctuations d’indice par la relation suivante [Tatarski, 1961] :

< ∆ρϕ > = 2.91 k2 C2N δh ρ5/3 . (1.46)

En généralisant le raisonnement précédent à une distribution continue de turbulence sur un

chemin de propagation de longueurL, la fonction de cohérence du champ au solψ0(r) s’écrit :

B0(ρ) = e−1

2 [2.91 k2 ρ5/3R L0

C2N (z) dz] . (1.47)

1.2.3.5 Image longue pose

L’image d’un objet fixe observé à travers la turbulence fluctue au cours du temps. Pour « ge-

ler » l’image dans une configuration aléatoire isolée, le temps de pose ne doit pas dépasser le

temps de cohérencequi est le temps caractéristique d’évolution de la turbulence, généralement

de l’ordre de quelques millisecondes. Lorque le temps de pose est plus grand, on obtient une

moyenne de ces configurations appelée imagelongue pose.

35


En supposant qu’aucun bruit n’est ajouté pendant l’acquisition, la relation entre la distribution

lumineuse d’un objet observéo(α) et celle de son image longue pose< i(α) > se traduit par

le produit de convolution suivant :

< i(α) > = o(α) ∗ < h(α) > =

∫

< h(α − β) > o(β) dβ , (1.48)

oùα etβ désignent des distances angulaires dans l’espace objet, l’opérateur< . > désigne une

moyenne d’ensemble, et< h(α) > est laréponse impulsionnellede l’ensemble constitué par le

système d’observation et par l’atmosphère, oupoint spread function(PSF).

Dans le domaine fréquentiel, on a la relation correspondante :

< I(f) > = O(f) < H(f) > , (1.49)

où< I(f) >,O(f) et< H(f) > sont respectivement les transformées de Fourier de< i(α) >,

o(α) et< h(α) >, etf représente un point du domaine fréquentiel. La composante< H(f) >

est lafonction de transfert optique(FTO) de l’ensemble constitué par le système d’observation

et par l’atmosphère en longue pose, ouoptical transfer function(OTF). Par la suite, cette fonc-

tion de transfert optique longue pose sera notéeHLP (f ).

En considérant un système optique composé de l’atmosphère et d’une lentille mince conver-

gente, et une onde plane incidenteψ0(r) perturbée en phase et en amplitude par son passage à

travers la turbulence, l’amplitude complexeA(α) décrivant l’image formée dans le plan focal

par cette onde s’écrit [Fried, 1966] :

A(α) = a

∫

P0(r) eχ(r)+iϕ(r) e−i 2πλ

r·α dr , (1.50)

où a est une constante de normalisation etP0(r) est la fonction d’ouverture de la lentille, qui

vaut 1 à l’intérieur de la lentille et 0 en dehors.

La réponse impulsionnelle est l’irradiance diffractée dans la directionα :

< h(α) > = |A(α)|2 . (1.51)

La fonction de transfert optique longue poseHLP (f ) peut s’écrire comme le produit de la

fonction de transfert atmosphérique (notéeHatm(f )) par la fonction de transfert du système

optique (notéeHobs(f )) :

HLP (f ) = Hatm(f ) Hobs(f) , (1.52)

36


où la FTO atmosphérique est définie par :

Hatm(f ) = < ψ(r

λ

)

ψ∗(r

λ+ f

)

> = < ψ0(r)ψ∗0(r + λf ) > = B0(λf ) , (1.53)

et la FTO du système d’observation est définie par l’autocorrélation de la fonction d’ouverture

de la pupilleP0 :

Hobs(f ) = δ−1

∫

P0(r) P0(r − λf) dr , (1.54)

où δ représente l’aire de la pupille.

Selon le critère de Strehl, lepouvoir de résolutionR est défini par l’intégrale de la FTO. D’où,

en longue pose :

R =

∫

HLP (f) df =

∫

Hatm(f ) Hobs(f ) df . (1.55)

Ce pouvoir de résolution peut être limité soit par le systèmed’observation (diffraction), soit

par l’atmosphère, selon les valeurs relatives deHatm(f ) etHobs(f ). Par exemple, pour un petit

télescope de diamètreD, les effets de la turbulence sont négligeables (Hatm(f ) ≈ 1) et le

pouvoir de résolution s’écrit alors :

R ≃∫

Hobs(f ) df =π

4

(D

λ

)2

. (1.56)

Au contraire, pour un télescope de gros diamètre, le pouvoirde résolution ne dépend plus que

de la turbulence :

R ≃∫

Hatm(f) df . (1.57)

Le paramètre de Friedr0 défini précédemment (cf. §1.2.3.2) permet de mesurer la qualité de

l’observation (ouseeing). Ce paramètre correspond aussi au diamètre critique d’un télescope tel

que : ∫

Hatm(f ) df =

∫

Hobs(f ) df =π

4

(r0λ

)2

. (1.58)

Le paramètre de Fried est alors relié à la fonction de cohérence de l’onde par la relation suivante :

B0(f) = e−3.44

“

fr0

”5/3

, (1.59)

et la fonction de tranfert optique longue poseHLP (f ) s’écrit :

HLP (f) = Hobs(f ) e−3.44

“

λfr0

”5/3

. (1.60)

37


Pour une intensité de turbulence à laquelle correspond unr0 fixé, le pouvoir de résolutionR est

donc limité par le système d’observation quandD < r0, et par l’atmosphère quandD > r0.

1.2.3.6 Image courte pose

L’image instantanée formée dans le plan focal du système d’observation, après propagation à

travers la turbulence, est une fonction aléatoire. L’étudedes images en pose longue est basée

sur le calcul de son moment du premier ordre, c’est-à-dire savaleur moyenne. En pose courte,

l’étude se fait avec ses statistiques du second ordre, c’est-à-dire son spectre d’énergie.

L’image i(α) est reliée à l’objeto(α) par le produit de convolution suivant :

i(α) = o(α) ∗ h(α) , (1.61)

où i(α) eth(α) sont deux fonctions aléatoires. Cette relation n’est vraieque si à n’importe quel

instant, la réponse impulsionnelleh(α) est la même pour tous les points de l’image, ce qui n’est

possible que dans le cas où la turbulence est localisée près du système d’observation. Ce n’est

pratiquement jamais le cas. La relation 1.61 n’est valable que dans un champ de vision limité

appelédomaine d’isoplanétisme(cf. §1.2.3.7) : on peut alors considérer que les rayons venant

de n’importe quel point de la scène observée et arrivant sur la pupille, ont traversé à peu de

chose près les mêmes régions turbulentes, et subissent doncles mêmes effets.

Le spectre d’énergie de l’image est défini par :

< |I(f)|2 > = |O(f)|2 < |H(f)|2 > , (1.62)

où |O(f)|2 est le spectre d’énergie de l’objet et< |H(f)|2 > est le spectre d’énergie de l’image

d’une source ponctuelle. Contrairement à la fonction de transfert longue pose,< |H(f)|2 > a

une composante haute-fréquence s’étendant jusqu’à la fréquence de coupure du système d’ob-

servation, correspondant à une structurespeckleobservée en courte pose dans le cas d’une onde

monochromatique (cf. §1.2.3.2).

Pour une onde monochromatique, pour un système d’observation de grand diamètre (D ≫ r0),

et pour des fréquences spatiales élevées (f ≫ r0

λoù f = ‖f‖), une approximation du spectre

d’énergie de l’image d’une source ponctuelle est donnée parla relation suivante :

< |H(f)|2 > ≈ σ

δHobs_0(f) , (1.63)

38


oùσ est une mesure de l’aire de cohérence des perturbations des fronts d’onde :

σ =

∫

B2(f) df = 0.342(r0λ

)2

, (1.64)

etHobs_0(f) est la fonction de transfert d’un système d’observation idéal, seulement limité par

la diffraction et de même ouverture que le système d’observation utilisé.

Remarque sur les speckles(introduits au §1.2.3.2)

La taille des speckles est de l’ordre deλ/D (Fig. 1.23(c)), la dimension de l’objet sur l’image

est de l’ordre deλ/r0, donc le nombre de speckles notéN0 est environ(D/r0)2. Comme

δ ≈ (D/λ)2, le nombre de speckles est également de l’ordre deδ/σ. On peut alors inter-

préterN0 comme le nombre d’aires de cohérence sur la pupille. Le facteur d’atténuationσ/δ

dans l’équation 1.63 est donc approximativement l’inversedu nombre de speckles dans l’image,

d’où :

< |H(f)|2 > ≈ 1

N0Hobs_0(f ) . (1.65)

La durée de vie des speckles est liée à la durée de vie des fluctuations d’indice dans le champ

d’observation, qui dépend principalement de la vitesse de déplacement des couches turbulentes

traversées par l’onde. Si l’onde traverse une seule couche se déplaçant à une vitesse moyenne

v, alors le temps d’évolution des speckles est estimé àτ0 = r0/v. Et dans le cas de plusieurs

couches :τ0 = r0/∆v où∆v est une mesure de la dispersion en vitesse des couches turbulentes.

Si on suppose que le champ perturbéψ(

rλ

)suit des statistiques gaussiennes circulaires, on a

une expression analytique pour< |H(f)|2 > :

< |H(f)|2 > = HLP2(f ) +

σ

δHobs_0(f ) . (1.66)

Le spectre d’énergie de l’image d’une source ponctuelle peut donc s’écrire comme la somme

d’une composante basse fréquence (HLP2(f)) et d’une composante haute fréquence (Éq. 1.63).

Dans le cas des fluctuations atmosphériques, même si les statistiques gaussiennes donnent

une bonne approximation de la réalité, le champ perturbéψ(

rλ

)est le plus fidèlement décrit

par des statistiques log-normales. Il n’existe alors pas d’expression analytique simple pour

< |H(f)|2 >. Selon [Fried, 1966], on peut considérer que ce spectre correspond au spectre

d’énergie d’une image longue pose où « l’agitation » de l’image aurait été corrigée, c’est-à-dire

où on aurait éliminé les effets dutilt des fronts d’onde (cf. Chapitre 2). Ceci est justifié par

le fait que letilt n’affecte pas la qualité de l’image courte pose, mais ne faitque déplacer son

centre de gravité.

39


Un tel spectre est décrit par Fried par l’expression suivante :

< |H(f)|2 > = |Hobs(f)|2 e−6.88“

λfr0

”5/3»

1−α( λfD )

1/3–

, (1.67)

avecf = ‖f‖, α = ‖α‖, α = 1 en champ proche (quand la turbulence est localisée près

du système d’observation), etα = 0.5 en champ lointain (quand la turbulence est près de la

source). Cette expression de Fried est cependant à différencier des expressions précédentes car

cette fonction a une partie basses fréquences légèrement plus large que les autres.

L’intérêt de la courte pose apparaît particulièrement en champ proche où elle conserve une

bonne partie des hautes fréquences. Il est donc possible de collecter plus d’informations avec

plusieurs images courte pose, qu’avec une seule image longue pose correspondante.

1.2.3.7 Anisoplanétisme / Isoplanétisme

Les rayons lumineux sont dégradés différemment selon les zones de turbulence qu’ils ren-

contrent. La figure 1.24 présente un exemple où deux faisceaux lumineux provenant du même

objet traversent une fine couche de turbulence.

Trois cas peuvent alors se présenter :

1. Si l’angle apparent de l’objet observéθ est assez grand (|θL| > D), les zones de la

couche turbulente rencontrées par les deux faisceaux n’ontpas d’intersection, de telle

sorte que les faisceaux seront perturbés par des dégradations atmophériques aléatoires

complètement différentes. Cela se traduit dans la relationobjet-image par une convolu-

tion avec une réponse impulsionnelle (ou PSF) différente. Quand chaque pixel de l’image

est le produit d’une convolution de l’objet observé par une PSF différente, on parle alors

d’anisoplanétisme totalou anisoplanétisme fort. L’image résultat a alors un aspect gra-

nuleux dû aux flous différents concentrés en chaque pixel.

2. Si les dimensions angulairesθ de l’objet observé sont suffisamment petites, ou si la couche

de turbulence est localisée près de la pupille, alors on considère que les faiceaux prove-

nant de l’objet et arrivant sur la pupille ont traversé des régions pratiquement identiques.

Ils seront donc dégradés par la même perturbation atmosphérique. Tous les faisceaux dé-

gradés par une même perturbation forment une zone d’isoplanétisme(cf. 1.2.3.6) : dans

cette zone, l’objet observé est convolué par la même PSF. On parle alors d’isoplanétisme

local ou anisoplanétisme faible. La dégradation sur l’image résultat prend la forme de

différentes zones de flou qui se chevauchent et qui peuvent être légèrement décalées, dé-

formant ainsi la cible observée.

40


3. Par extrapolation, siθ ≈ 0, tous les faisceaux provenant de la scène traversent la même

zone de la couche turbulente et sont donc tous dégradés de la même manière. Toute la

scène est donc convoluée par la même PSF. Il s’agit de l’isoplanétisme total, très rarement

observable. L’image résultat souffre alors d’un flou globalet peut être légèrement décalée.

imageplan

pupilleplan

turbulentecouche

des faisceaux lumineuxsens de déplacement

θ

L

θ LD

Figure 1.24 – Origine des différentes perturbations atmosphériques.θ est l’angle formé par les deuxfaisceaux,L est la distance entre la couche turbulente et la pupille, etD est la diamètre de la pupille.Source : F. Roddier.

L’ angle d’isoplanétismenotéθ0 est l’angle maximal dans lequel on se trouve dans le cas d’iso-

planétisme. C’est aussi l’angle critique à partir duquel ladégradation atmosphérique va changer.

Il est défini par la relation suivante :

θ0 =

[

2.905 k2

∫ L

0

C2N(z) z5/3 dz

]−3/5

, (1.68)

avecz = 0 dans le plan de la pupille etz = L dans le plan de la source.

Contrairement au paramètre de Friedr0, dans le cas d’une propagation verticale, ce sont les

couches les plus proches de la source qui ont le plus d’influence surθ0.

Dans le cas d’une propagation horizontale, nous avons déjà vu que la constante de structureC2N

varie peu le long du chemin de propagation (cf. 1.2.3.2), et qu’elle peut donc être considérée

comme constante. On a alors :

θ0 = 0.95 k−6/5 L−8/5(C2

N

)−3/5, (1.69)

41


ce qui donne la relation suivante entrer0 et θ0 (Fig. 1.25) :

r0 = 3.18 L θ0 . (1.70)

zoned’isoplanétisme

aire de cohérenceau niveau du système

d’observation

L

r0θ03.18 θ0L θ0

Figure 1.25– Lien entre le paramètre de Friedr0 et l’angle d’isoplanétismeθ0. Source : C. Bondeau.

1.3 Conclusion

Dans ce premier chapitre, nous avons tout d’abord détaillé différents systèmes d’observation,

notamment ceux utilisés dans un contexte de surveillance militaire ou de détection dans les

domaines visible et infrarouge. Nous nous sommes aussi intéressés à leur mode de capture d’in-

formation, c’est-à-dire à leur lien avec la physique des ondes dans l’atmosphère terrestre.

Ensuite, nous avons décrit le processus de formation de turbulence dans un fluide quelconque

pour expliquer la théorie de Kolmogorov applicable à la turbulence atmosphérique et que nous

allons utiliser dans le chapitre suivant. Enfin, nous nous sommes concentrés plus particuliè-

rement sur les effets de la turbulence atmosphérique sur la propagation des ondes et sur les

acquisitions d’images.

Pour des raisons évidentes de sécurité et de coût de matériel, il est très difficile d’obtenir des

séquences d’images typiques dégradées par la turbulence atmosphérique, comme celles visuali-

sées par les militaires pendant une opération de surveillance. Nous avons donc choisi de simuler

certaines images et séquences, dont nous allons détailler le processus dans le chapitre 2.

42

Chapitre 2

Simulation des effets de la turbulence

atmosphérique sur des acquisitions

d’images

L’acquisition de séquences d’images dégradées par la turbulence atmosphérique exige du maté-

riel de haute technologie très coûteux et des conditions d’acquisition semblables à celles d’une

opération de surveillance, qu’il s’agisse des conditions météorologiques ou de la scène obser-

vée. Toutes ces conditions étant difficilement réunies, nous nous sommes donc tout naturelle-

ment tournés vers la simulation numérique de telles images.

Nous allons tout d’abord brièvement rappeler la chronologie des travaux de simulation de tur-

bulence menés jusqu’à aujourd’hui. Nous nous intéresserons ensuite à la simulation d’images

dégradées par différents types de turbulence. Enfin, nous prendrons en compte le caractère tem-

porel de l’évolution de la turbulence afin de créer des séquences d’images dégradées. Nous

déterminerons les limitations pratiques du modèle de Kolmogorov utilisé dans nos simulations.

2.1 État de l’art

Certains auteurs se sont intéressés à la simulation de la turbulence en laboratoire afin d’obtenir

des images qui permettent de visualiser cette turbulence, d’étudier son comportement et d’étu-

dier la propagation des faisceaux optiques qui la traversent [Billard et al., 1982; Obukhov, 1983;

Fuchs et al., 1996].

D’autres auteurs se sont intéressés à la simulation numérique de la turbulence. Les astronomes

ayant été les premiers à être confrontés à ce problème de turbulence, de nombreux travaux

de simulation s’appliquent à l’observation astronomique [McGlamery, 1976; Roddier, 1990;

43

Chapitre 2 Simulation des effets de la turbulence atmosphérique sur des acquisitions d’images

Lane et al., 1992; Glindemann et al., 1993; Dai, 1994]. Ces approches consistent globalement à

simuler un front d’onde, initialement plan, perturbé par les différentes couches de l’atmosphère

qu’il traverse. Les variations d’amplitude étant souvant considérées comme négligeables par

rapport aux variations de phase (cf. chapitre 1), les simulations décrites dans les références

précédemment citées, se limitent au calcul de la phase. Il existe cependant des méthodes de

simulation prenant aussi en compte les fluctuations d’amplitude [Kouznetsov et al., 1997].

Une autre conséquence des simulations appliquées à l’astronomie est la limitation au casiso-

planétique. En effet, au vu de la petite taille des objets observés par rapport à la longueur du

chemin de propagation, on condidère qu’à un instant donné, la perturbation est la même dans

tout le champ d’observation qui est relativement restreint. Les auteurs qui s’intéressent à la si-

mulation de l’anisoplanétisme(faible ou fort) étudient en général la propagation horizontale

au-dessus de l’océan [Beaumont, 1996; Voisekhovich et al.,1999; Robert et al., 2005], car les

échanges thermiques y sont décuplés et les fluctuations de l’indice de réfraction de l’air sont

donc beaucoup plus importantes. De plus, ils travaillent avec des sources étendues, ce qui limite

la précision du système d’observation par des effets d’anisoplanétisme.

Les travaux de simulation numérique les plus récents portent sur la génération d’écrans de phase

[Tofsted, 2001; Moradi et al., 2005; Hippler et al., 2006], ce qui permet un gain en précision,

et/ou sur l’évolution temporelle de la turbulence atmosphérique, prenant en compte à la fois

la fréquence d’acquisition du système d’observation et le temps d’évolution de la turbulence

atmosphérique [Conan et al., 1995; Wang, 2006].

Dans cette thèse, nous nous intéressons plus particulièrement à la propagation horizontale sur

une grande distance (de 500m à plusieurs kilomètres), dans le visible et en infrarouge, au-

dessus d’un sol de type désertique (sol sec avec peu de végétation), et nous travaillons sur

des images d’objets étendus. Les images que nous devrions obtenir en de telles conditions,

sont donc perturbées soit par de l’anisoplanétisme total(ou anisoplanétisme fort), soit par de

l’ isoplanétisme local(ou anisoplanétisme faible). Pour la simulation d’images “uniques” dé-

gradées par la turbulence atmosphérique, que nous allons développer dans la section 2.2, nous

avons repris l’algorithme de Nicolas Roddier [Roddier, 1990]. En ce qui concerne la simula-

tion temporelle de la turbulence, qui sera développée dans la section 2.2.5, nous sommes partis

de certains travaux conduits à l’ONERA [Conan et al., 1995] et à l’Université de Bourgogne

[Bondeau, 1999].

44


2.2 Simulation d’une image dégradée

Dans cette partie, nous allons tout d’abord décrire l’algorithme général utilisé pour nos simu-

lations sur une seule image. Ensuite, nous appliquerons cetalgorithme aux différents cas de

perturbation (isoplanétisme total / anisoplanétisme total / isoplanétisme local), et nous donne-

rons quelques exemples d’images simulées.

2.2.1 Description globale de l’algorithme de simulation utilisé

L’algorithme de Nicolas Roddier [Roddier, 1990] apporte une solution simple à mettre en œuvre

au problème de la simulation des effets de la turbulence atmosphérique sur une image. En effet,

il est basé sur une décomposition modale de la phase d’un front d’onde turbulent.

De façon générale, on peut décomposer la phase d’un front d’onde turbulent sur une base dis-

crète de fonctions limitées par un support fini (support du système d’observation). Il suffit que

cette base soit complète. Comme fonctions de bases (aussi appeléesmodes), on choisit en gé-

néral lespolynômes de Zernike, introduits à l’origine pour l’étude des aberrations des systèmes

optiques. Fried les a utilisés pour décrire la forme géométrique d’un front d’onde distordu aléa-

toirement [Fried, 1965]. Noll a ensuite développé une représentation du spectre des fluctuations

de phase dues à une turbulence de type Kolmogorov, grâce aux polynômes de Zernike [Noll,

1976]. Cette représentation permet d’estimer analytiquement les erreurs résiduelles sur le front

d’onde après correction des aberrations des ordres les plusbas. Elle a souvent été utilisée, en

particulier par certains membres de l’ONERA pour la reconstruction ou la simulation de fronts

d’onde [Primot, 1989; Conan, 1994].

Nous allons décrire les polynômes de Zernike qui seront ensuite utilisés pour représenter la

phase turbulente sur une base polynômiale, puis nous étudierons les statistiques des coefficients

aléatoires et nous présenterons enfin une méthode pour les générer.

Polynômes de Zernike

Les polynômes de Zernike sont définis sur un disque de rayon unité, en chaque pointr de

coordonnées polaires(r, θ) par les expressions suivantes [Noll, 1976] :

m 6= 0 et j impair : Zj =√n+ 1 Rm

n (r)√

2 cos(mθ) ,

m 6= 0 et j pair : Zj =√n+ 1 Rm

n (r)√

2 sin(mθ) , (2.1)

m = 0 : Zj =√n+ 1 R0

n(r) ,

45


avec :

Rmn (r) =

(n−m)/2∑

s=0

(−1)s (n− s)!

s! [(n +m)/2 − s]! [(n−m)/2 − s]!rn−2s . (2.2)

Chaque polynôme de Zernike est le produit d’une fonction angulaire par un polynôme radial

Rmn (r). On le repère soit par son numéro d’ordrej, soit par les indices{m,n}, oùm etn sont

des entiers satisfaisant les conditionsm 6 n et n − |m| pair, et sont respectivement appelés

fréquence azimutaleet ordre radial.m etn sont reliés au numéro d’ordrej par les relations :

∀n : n = ⌊(√

8j − 7 − 1)

/2⌋ ,n impair : m = 1 + 2 ⌊(j − 1 − ⌊n(n+ 1)/2⌋) /2⌋ , (2.3)

n pair : m = 2 ⌊(j − ⌊n(n + 1)/2⌋) /2⌋ .

La numérotation des polynômes par l’indicej s’effectue ligne après ligne. Pour une valeur don-

née de l’ordre radialn, les modes de fréquences azimutalesm les plus faibles sont placés en

premier. Quand deux polynômes ont les mêmes indices{m,n}, on affecte unj pair au mode

symétrique encos(mθ), et unj impair au mode antisymétrique ensin(mθ).

Sur la figure 2.1 sont représentés les premiers polynômes de Zernike (deZ1 àZ21). Les images

de certains polynômes de bas ordres radiauxn, correspondent à des aberrations optiques clas-

siques (Fig. 2.2). De plus, on peut observer que le classement par ordre radialn correspond

approximativement à un classement par fréquence spatiale :les ordres élevés évoluent rapide-

ment [Conan, 1994].

La base des polynômes de Zernike est orthonormée. En effet, soit P0(r) la fonction d’ouverture

d’une pupille de rayonR :

P0(r) =

1πR2 si r

R6 1

0 sinon, (2.4)

oùr = ‖r‖. On a alors : ∫

P0(r) Zj(r) Zj′(r) dr = δjj′ , (2.5)

où δjj′ est le symbole de Kronecker défini par :

δij =

1 si i = j

0 sinon. (2.6)

46


piston

tip−tilt

astigmatisme

défocalisation

coma

aberrationsphérique

0

1

2

3

4

5

n

0 1 2 3 4 5

m

Z1

Z2

Z3

Z4

Z5

Z6

Z7

Z8

Z9

Z10

Z11

Z12

Z13

Z14

Z15

Z16

Z17

Z18

Z19

Z20

Z21

Figure 2.1– Allure des 21 premiers polynômes de Zernike simulés sur unepupille circulaire de 32 pixelsde diamètre, sans obturation centrale.

Transformée de Fourier des polynômes de Zernike

Chaque polynôme de Zernike admet une transformée de Fourierdéfinie par :

FZj(f) =

∫

P0(r) Zj(r) e2ifr dr . (2.7)

Cette équation peut encore s’écrire :

m 6= 0 et j impair : FZj(f) =

√n + 1 Jn+1(2πf)

πf(−1)

n−m2 im

√2 cos(mθ) ,

m 6= 0 et j pair : FZj(f ) =

√n+ 1 Jn+1(2πf)

πf(−1)

n−m2 im

√2 sin(mθ) , (2.8)

m = 0 : FZj(f) =

√n + 1 Jn+1(2πf)

πf(−1)

n2 ,

47


(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

Figure 2.2 – Représentation 3D des polynômes de Zernike correspondantà des aberrations optiquesclassiques. (a)Z1 : mode piston. (b)Z2 et Z3 : tip-tilt (ou inclinaison). (c)Z4 : défocalisation. (d)Z5 etZ6 : astigmatisme. (e)Z7 etZ8 : coma. (f)Z11 : aberration sphérique.

oùF représente la transformée de Fourier,r = (r, θ) représente un point du domaine spatial,

f = (f1, f2) représente le point correspondant dans le domaine fréquentiel, f = ‖f‖ etJn(x)

est la fonction de Bessel de première espèce d’ordren :

Jn(x) =(x

2

)n+∞∑

s=0

(−1)s

22s s! (n + s)!x2s . (2.9)

Décomposition de la phase turbulente

La phase d’un front d’onde turbulent sur la pupille d’un système d’observation de rayonR, peut

donc s’écrire sous la forme suivante :

ϕ(r, θ) =∑

j

aj Zj

( r

R, θ)

. (2.10)

Les coefficientsaj de la décomposition sont les projections de la phaseϕ sur les fonctions de

base :

aj =

∫

P0(r) ϕ(r) Zj

( r

R

)

dr , (2.11)

P0(r) étant la fonction d’ouverture de la pupille de rayonR.

48


Statistiques des coefficients aléatoires

En règle générale, on exclut les perturbations dues au mode piston qui correspond à la phase

moyenne. En effet, pour un système mono-pupille, il n’y a aucun moyen de le connaître. Dans la

pratique, les phases turbulentes ne sont donc décrites qu’àpartir des polynômes d’indicej > 2.

Sans le mode piston, la phase moyenne est nulle (< ϕ(r) >turb = 0), et on a :

σ2ϕ =

⟨∫

(P0(r) ϕ(r))2dr

⟩

turb

=+∞∑

j=2

< a2j >turb . (2.12)

En supposant que la turbulence suit une loi de type Kolmogorov, Noll a calculé les covariances

des coefficients de Zernikeaj de la phase turbulente [Noll, 1976] :

< aj aj′ > = 3.895√

(nj + 1)(nj′ + 1) (−1)nj+n

j′−2mj

2 δmj mj′

(Dr0

) 5

3

×∫ +∞0

f− 14

3 Jnj+1(f) Jnj′+1

(f) df (2.13)

= 3.895√

(nj + 1)(nj′ + 1) (−1)nj+n

j′−2mj

2 δmj mj′

(Dr0

) 5

3

×2−

143 Γ( 14

3 ) Γ

nj+nj′

−143

+3

2

!

Γ

−nj+nj′

+143

+1

2

!

× Γ

nj−nj′

+ 143

+1

2

!

× Γ

nj+nj′

+ 143

+3

2

! ,

la fonctionΓ (gamma) étant définie par :

∀z ∈ C tel queRe(z) > 0, Γ(z) =

∫ +∞

0

tz−1 e−t dt . (2.14)

On peut en déduire une expression de la variance de la phase turbulente en fonction du rapport

D/r0, oùD est le diamètre de la pupille etr0 est le paramètre de Fried défini au chapitre 1 :

σ2ϕ =

+∞∑

j=2

< a2j >turb ≈ 1.03

(D

r0

) 5

3

. (2.15)

Remarque : Le modèle de turbulence de Kolmogorov ne tient pas compte de la grande échelle

L0 (cf. chapitre 1). Or celle-ci peut avoir une influence non négligeable sur les premiers modes

de Zernike (en optique adaptative, par exemple). Ainsi, pour le tip-tilt (n = 1), il peut être

nécessaire d’introduire des coefficients de correction à larelation 2.15. Des corrections du même

type peuvent être appliquées pour les autres modes, dont on pourra trouver le calcul exact dans

[Conan, 2000].

σ2n=1 ≈ σ2

n=1 Noll

(

1 − 0.77

(2πD

L0

) 1

3

+ 0.09

(2πD

L0

)2

− 0.054

(2πD

L0

) 7

3

+ ...

)

. (2.16)

49


Génération des coefficients aléatoires

La matrice de covariance des coefficientsaj est représentée sur la figure 2.3. La diagonale de

cette matrice donne la variance des modes de la phase. Les premiers modes sont les plus énergé-

tiques, et la variance des coefficients de Zernike décroît enfonction de l’ordre radial en suivant

une loi en(nj + 1)−11/3.

La matrice de covariance des coefficients de Zernikeaj n’est pas diagonale : certains modes sont

statistiquement corrélés. On ne peut donc pas obtenir des variables aléatoires indépendantes en

générant simplement ces coefficients. La solution proposéepar N. Roddier est de passer dans

la base de Karhunen-Loève, qui est une base de modes statistiquement indépendants [Roddier,

1990]. Pour cela, il faut diagonaliser la matrice de covarianceC, c’est-à-dire qu’on va chercher

une matrice unitaireU (U−1 = UT ) telle queU · C · UT est diagonale.

Figure 2.3– Matrice des covariances des coefficients de Zernike d’une phase turbulente pourD/r0 = 1respectant la statistique de Kolmogorov. Les couleurs foncées indiquent une forte corrélation, et inverse-ment. Au fur et à mesure qu’on s’éloigne de la diagonale, les coefficients sont de plus en plus faibles etforment des paquets (ouclusters) de même ordre de grandeur.Source : M. Nicolle.

La matriceU peut être obtenue en calculant la décomposition en valeurs singulières (SVD pour

singular value decomposition) de la matrice de covarianceC. On obtient alors une matrice

unitaireX et une matrice diagonaleS telles queC = X · S · XT . On a donc :

XT · C · X = XT · X · S · XT · X = S . (2.17)

50


La matrice désiréeU est donc égale àXT . Une fois que les matricesS et X sont connues, on

peut alors générer des coefficients aléatoires dans la base de Karhunen-Loève. Ils suivent une loi

Gaussienne de moyenne nulle et de varianceσ2ϕ (Éq. 2.15). Les coefficients de Zernike sont ob-

tenus par retour dans la base de départ. Il faut ensuite les multiplier par (D/r0)5/6 pour obtenir

une évaluation correcte de la phase du front d’onde turbulent selon l’intensité de la turbulence.

Remarque 1 :Les modes qui ont le même degré radialn ont des valeurs propres identiques.

Cependant, cette corrélation n’existe qu’à l’intérieur declustersqui sont décorrélés les uns des

autres (Fig. 2.3). La solution la plus simple est donc de réordonner les termes de Zernike à

l’intérieur de la matrice de covarianceC afin de la rendre diagonale par blocs. Pour obtenir les

matricesSet X correctes, il suffit alors d’appliquer la SVD sur un cluster àla fois.

Remarque 2 :Dans la simulation, on ne fait intervenir qu’un nombre finiJ de polynômes de

Zernike. PourJ > 10, une approximation de l’erreur résiduelle aux moindres carrés est donnée

par [Noll, 1976] :

∆J ≈ 0.2944 J−√

3/2

(D

r0

)5/3

. (2.18)

QuandJ augmente, l’erreur diminue. Pour unJ fixé, l’erreur augmente proportionnellement à

D/r0 : la fonction de structure simulée s’écarte de la fonction destructure théorique et la turbu-

lence simulée s’éloigne du modèle de Kolmogorov.

Remarque 3 : Lorsqu’on travaille sur un volume de turbulence, le domained’intérêt pour la

description de la phase turbulente est la projection de la pupille d’entrée du système d’obser-

vation à l’altitude et dans la direction voulues. En pratique, on va donc définir un front d’onde

sur une pupille discrétisée sur une grille de tailleNP0× NP0

pixels. On doublera sa dimension

en ajoutant des zéros avant de calculer sa transformée de Fourier. On travaillera ainsi avec des

réponses impulsionnelles de taille2NP0× 2NP0

pixels.

2.2.2 Simulation d’image courte pose

Cette partie est consacrée à l’étude de la simulation des effets de la turbulence atmosphérique

sur une image “unique” obtenue avec un temps de pose court. Les trois cas de turbulence sont

détaillés.

51


2.2.2.1 Isoplanétisme total

Ce cas de turbulence est très rarement observable (en général, la turbulence doit être localisée

près du système d’observation), mais il est le plus simple à simuler. En effet, vu que la pertur-

bation est la même dans tout le champ d’observation, tous lespixels de l’image obtenue seront

dégradés par la même réponse impulsionnelle (ou PSF). Celle-ci va donc pouvoir être calculée

indépendamment des pixels de l’image de départ (Alg. 2.1).

Algorithme 2.1 : Algorithme de simulation des effets de l’isoplanétisme total sur une imagecourte pose.Données: Image de départObj, Intensité de la turbulenceD/r0, Dimensions de la pupille

NP0×NP0

// 1 - Calcul de l’unique front d’onde turbulent– génération des coefficientsaj

– calcul des polynômes de ZernikeZj

– recomposition de la phase du front d’onde turbulentϕ =∑ajZj

– calcul du front d’onde turbulent :ψ = eiϕ

// 2 - Calcul de la PSF de dégradation atmosphérique– PSF =|TF−1(ψ ∧ P0)|2 où TF−1 représente la transformée de Fourier inverse,P0 est la

fonction d’ouverture de la pupille et∧ est le ET logique (ou une multiplication point à point)

// 3 - Construction de l’image perturbéeImturb

– Imturb = image nulle de même taille queObj– pour chaque ligne sx de Objfaire

pour chaquecolonne sy de Objfairesi Obj(sx,sy) est non nulalors

– recalage de la PSF sur le pixel courant– Imturb = Imturb +Obj(sx, sy) × PSFrecalée

finsifinprch

finprch

// 4 - Renormalisation de l’image résultatImturb

– chaque pixel de l’image résultatImturb est divisé par le nombre de fois où il a été traité– enfin, l’image résultatImturb est renormalisée sur 8 bits (entre 0 et 255)

Résultat : ImageImturb dégradée par de l’isoplanétisme total à une intensitéD/r0, pour unepupille de dimensionNP0

×NP0.

Quelques exemples de phases turbulentes simulées sont montrées en 2D et en 3D, pour diffé-

rentes intensités de turbulenceD/r0, sur la figure 2.4.

52


Représentation 2D Représentation 3D

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

020

4060

80

0

20

40

60

80−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

(a)D/r0 = 0.1

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

020

4060

80

0

20

40

60

80−2

−1

0

1

2

(b)D/r0 = 0.5

−1

−0.5

0

0.5

1

020

4060

80

0

20

40

60

80−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

(c)D/r0 = 1

−3

−2

−1

0

1

2

020

4060

80

0

20

40

60

80−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

(d)D/r0 = 3

Figure 2.4 – Exemples de phases turbulentes simulées pour différents rapportsD/r0. Le tip-tilt estfortement présent. Plus le rapportD/r0 augmente, plus les déformations de la phase sont importantes.

Limitations pratiques de la phase obtenue avec la loi de Kolmogorov

Nous avons vu dans le chapitre 1 que la fonction de structure de la phaseϕ est définie par :

< ∆ρϕ > = < ϕ(r) − ϕ(r + ρ)|2 > , (2.19)

53


et dans le cas d’une turbulence de type Kolmogorov, elle s’écrit :

< ∆ρϕ > = 6.88 (ρ/r0)5/3 , (2.20)

oùρ = ‖ρ‖. Grâce à ces deux équations, on peut comparer les phases simulées avec la théorie.

La figure 2.5 montre l’allure de la fonction de structure de phase théorique et celle d’une phase

simulée. Quand on compare ces fonctions de structure à l’échelle linéaire (Fig. 2.6(a)), on voit

que la fonction de structure de la phase simulée est assez proche de la théorie jusqu’àρ ≈ 0.2D.

Au-delà, la quantité de données devient assez faible et donne une valeur imprécise de la fonction

de structure (on rappelle que les polynômes de Zernike sont définis à l’intérieur d’un cercle de

rayon unité). De plus, la comparaison à l’échelle logarithmique (Fig. 2.6(b)) montre une petite

divergence pour de faibles valeurs deρ, due au fait que le nombre de polynômes utilisés pour

le calcul de la phase est limité àJ = 136. Notons que ces résultats sont similaires à ceux de

N. Roddier [Roddier, 1990].

(a) (b)

Figure 2.5– Allure des fonctions de structure de phase. (a) Théorie. (b) Simulation.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.80

1

2

3

4

5

6

7

2ρ/D

Fon

ctio

ns d

e st

ruct

ure

de p

hase

théorie

simulations

0.0 0.2 0.4 0.6 0.80

1

2

3

2ρ/D

Fon

ctio

ns d

e st

ruct

ure

de p

hase

théorie

simulations

(a) (b)

Figure 2.6– Comparaison des fonctions de structure de phase (coupe verticale selon une direction dansle plan tangent au minimum des deux courbes). (a) Échelle linéaire. (b) Échelle logarithmique.

54


Imag

esn

ette

s25

6×

256

Imag

esd

égra

dée

sav

ecD/r

0=

0.1

Imag

esd

égra

dée

sav

ecD/r

0=

0.5

Imag

esd

égra

dée

sav

ecD/r

0=

1Im

ages

dég

rad

ées

avecD/r

0=

3

Figure 2.7 – Résultats de simulation d’isoplanétisme total avec une pupille de64 × 64 pixels. Certainseffets de bord sont dus aux décalages globaux induits par le tip-tilt.

55


Plusieurs résultats de simulation d’isoplanétisme total sont montrés sur la figure 2.7 où diffé-

rentes images et différents rapportsD/r0 ont été utilisés. PlusD/r0 augmente, plus l’image

résultat est floue. De plus, le résultat souffre d’un léger décalage global dû aux modesZ2 etZ3

qui sont assimilés autip-tilt .

Remarque : On rappelle que dans le cas de la propagation horizontale à travers l’atmosphère,

le paramètre de Friedr0 est défini par :

r0 = 3.02

(2π

λ

)−6/5

L−3/5 (C2N)−3/5 . (2.21)

Donc pour un même diamètre de pupilleD, plus la longueur d’onde est grande, plus le para-

mètre de Fried est grand, et plus le rapportD/r0 est petit. Ceci explique le fait qu’en utilisant la

même taille de pupille, les effets de la turbulence sont beaucoup moins importants dans l’infra-

rouge que dans le visible.

Pour une longueur d’onde de550 nm dans le visible, on a(1/λ)−6/5 ≈ 3.08 × 10−8, alors

que pour une longueur d’onde de4 µm dans l’infrarouge, on a(1/λ)−6/5 ≈ 3.33 × 10−7. Le

paramètre de Fried varie donc d’environ un facteur 10 entre ces deux longueurs d’onde.

Afin de pouvoir comparer deux séquences simulées à ces deux longueurs d’onde, mais sur

lesquelles la turbulence a la même intensité réelle, il fautdonc choisir un rapportD/r0 environ

10 fois plus grand dans le visible que dans l’infrarouge bande II (par exemple :D/r0 = 3 dans

le visible etD/r0 = 0.3 dans l’infrarouge).

2.2.2.2 Anisoplanétisme total

Ce cas de turbulence est très courant et il est généralement observable sur des images d’objets

étendus. Cette fois, la perturbation est différente dans tout le champ d’observation, chaque pixel

de l’image obtenue sera dégradé par une PSF différente. Celle-ci va donc être calculée pour

chaque pixel de l’image de départ. Contrairement à l’isoplanétisme total, il va falloir générer un

front d’onde turbulent différent pour chaque pixel (Alg. 2.2).

Plusieurs résultats de simulation d’anisoplanétisme total sont montrés sur la figure 2.8 où dif-

férentes images et différents rapportsD/r0 ont été utilisés. Les résultats présentent un aspect

granuleux et des intensités locales (au niveau du pixel) surélevées ou affaiblies. Ceci est inhé-

rent à la nature de la turbulence : en effet, comme chaque rayon lumineux est dévié par un front

d’onde turbulent différent, cela conduit à des zones sur la pupille où plusieurs rayons déviés

viennent se projeter (sur-intensité), et d’autres zones où il y a comme un “trou” (sous-intensité).

56


Algorithme 2.2 : Algorithme de simulation des effets de l’anisoplanétismetotal sur une imagecourte pose.Données: Image de départObj, Intensité de la turbulenceD/r0, Dimensions de la pupille

NP0×NP0

// 1 - Polynômes de Zernike– calcul des polynômes de ZernikeZj


– Imturb = image nulle de même taille queObj– pour chaque ligne sx de Objfaire

pour chaquecolonne sy de Objfairesi Obj(sx,sy) est non nulalors

– génération des coefficientsaj

– recomposition de la phase du front d’onde turbulentϕ =∑ajZj

– calcul du front d’onde turbulent :ψ = eiϕ

– calcul de la PSF de dégradation atmosphérique : PSF =|TF−1(ψ ∧ P0)|2– recalage de la PSF sur le pixel courant– Imturb = Imturb +Obj(sx, sy) × PSFrecalée

finsifinprch

finprch



Résultat : ImageImturb dégradée par de l’anisoplanétisme total à une intensitéD/r0, pour unepupille de dimensionNP0

×NP0.

57


Imag

esn

ette

s25

6×

256

Imag

esd

égra

dée

sav

ecD/r

0=

0.1

Imag

esd

égra

dée

sav

ecD/r

0=

0.5

Imag

esd

égra

dée

sav

ecD/r

0=

1Im

ages

dég

rad

ées

avecD/r

0=

3

Figure 2.8– Résultats de simulation d’anisoplanétisme total avec unepupille de64 × 64 pixels.

58


2.2.2.3 Isoplanétisme local

Ce cas de turbulence est facilement observable sur des images d’objets étendus quand la lon-

gueur du chemin de propagation n’est pas trop grande (cf. §2.2.3). Dans le cas de l’isoplanétisme

local, la perturbation est la même dans certaines zones du champ d’observation. Dans chacune

des zones correspondantes sur l’image obtenue, tous les pixels seront dégradés par la même PSF.

La première chose à faire est donc de déterminer les zones isoplanétiques. Dans la réalité, ces

zones sont plutôt circulaires ou elliptiques, de diamètresde même ordre de grandeur, et locali-

sées de façon irrégulière. Dans le cas de nos simulations, nous simplifierons le problème et nous

considèrerons des zones carrées de même taille, régulièrement espacées, et qui se chevauchent.

Nous allons allons donc faire un quadrillage arbitraire de l’image en considérant des zones de

recouvrements (Fig. 2.9). Notre algorithme de simulation de l’isoplanétisme local est présenté

ci-après (Alg. 2.3).

...

Figure 2.9– Quadrillage utilisé pour la représentation des zones isoplanétiques.

Remarque 1 : Si la taille des zones isoplanétiques et le nombre de pixels de recouvrements

choisis font qu’il est impossible de découper l’image en un nombre entier de zones, alors dans

ce cas, on ajoute des valeurs à droite et en bas de l’image (soit des 0, soit les mêmes valeurs que

les colonnes ou lignes précédentes) jusqu’à obtenir des zones entières. Une fois que les calculs

sont faits, il suffit de tronquer l’image résultat.

Remarque 2 :Une autre méthode que celle présentée dans l’algorithme 2.3est de considérer un

seul grand front d’onde perturbéψ(r) et en sélectionner une partie différente pour le calcul de

chaque pixel en déplaçant la pupilleP0(r) par rapport à ce front d’onde. Il s’agit de la méthode

desécrans de phaseutilisée par bon nombre d’auteurs [Beaumont, 1996; Tofsted, 2001; Mo-

radi et al., 2005; Hippler et al., 2006; Wang, 2006]. Cette méthode a l’avantage d’être valable à

la fois pour l’isoplanétisme local où les parties sélectionnées du front d’onde auront des zones

59


Algorithme 2.3 : Algorithme de simulation des effets de l’isoplanétisme local sur une imagecourte pose.Données: Image de départObj, Intensité de la turbulenceD/r0, Dimensions de la pupille

NP0×NP0

, Dimensions des zones isoplanétiquesNiso ×Niso, Nombre de pixels derecouvrementprec

// 1 - Polynômes de Zernike– calcul des polynômes de ZernikeZj


– Imturb = image nulle de même taille queObj– pour sx=1 :Niso − prec :nb_lignes(Obj)faire

pour sy=1 :Niso − prec :nb_colonnes(Obj)fairegénération des coefficientsaj

recomposition de la phase du front d’onde turbulentϕ =∑ajZj

calcul du front d’onde turbulent :ψ = eiϕ

calcul de la PSF de dégradation atmosphérique : PSF =|TF−1(ψ ∧ P0)|2pour i=1 :Niso faire

pour j=1 :Niso faire– recalage de la PSF sur le pixel courant– Zoneturb = Obj(sx+ i− 1, sy + j − 1) × PSFrecalée

finpourfinpourImturb(sx : sx+Niso − 1, sy : sy +Niso − 1) = Zoneturb

finpourfinpour



Résultat : ImageImturb dégradée par de l’isoplanétisme local à une intensitéD/r0, pour unepupille de dimensionNP0

×NP0, pour des zones isoplanétiques de tailleNiso×Niso,

et pour des recouvrements deprec pixels.

60


Imag

esn

ette

s25

6×

256

Imag

esd

égra

dée

sav

ecD/r

0=

0.1

Imag

esd

égra

dée

sav

ecD/r

0=

0.5

Imag

esd

égra

dée

sav

ecD/r

0=

1Im

ages

dég

rad

ées

avecD/r

0=

3

Figure 2.10– Résultats de simulation d’isoplanétisme local avec une pupille de64×64 pixels, des zonesisoplanétiques de13 × 13 pixels et un recouvrement de 3 pixels.

61


communes, et pour l’anisoplanétisme total où les parties sélectionnées seront complètement dif-

férentes. Elle a cependant l’inconvénient de nécessiter beaucoup de ressources pour le calcul de

l’unique front d’onde.

Plusieurs résultats de simulation d’isoplanétisme local sont montrés sur la figure 2.10 où diffé-

rentes images et différents rapportsD/r0 ont été utilisés. Les simulations ont été réalisées avec

des zones isoplanétiques de13 × 13 pixels et un recouvrement de 3 pixels (choix arbitraire).

PlusD/r0 augmente, plus l’image résultat est floue. De plus, chaque zone de l’image résultat

peut souffrir d’un léger décalage dû aux modesZ2 etZ3 assimilés autip-tilt , ce qui a tendance à

déformer les contours : un effet d’ondulation est alors observable. Certains effets de quadrillage

peuvent être visibles sur les déformations à cause du procédé de simulation. Cependant, la qua-

lité des images obtenues est largement suffisante pour notreétude, même si ces effets devraient

disparaître en utilisant des zones circulaires ou elliptiques, et/ou en utilisant un écran de phase.

2.2.3 Influence de la distance turbulence - système d’acquisition

La réponse impulsionnelle atmosphériquehatm est donnée par le module carré de la transformée

de Fourier de la partie du front d’onde reçue par le système d’observation. Quand la dégradation

atmosphérique n’est pas identique en tout point de l’image (en anisoplanétisme total ou en

isoplanétisme local),hatm qui dépend de la direction d’observation peut s’écrire sousla forme

suivante [Beaumont, 1996] :

hatm(β,β′) = A2

∣∣∣∣

∫

P0(r − lβ′) ψ(r) eifkr·β dr

∣∣∣∣

2

, (2.22)

où :

– β etβ′ désignent des distances angulaires dans l’espace objet formant un angle de visée,

– r représente un point de la pupille,

– A est une constante de normalisation permettant de traduire la conservation de l’énergie lu-

mineuse (i.e. telle que∫∫

hatm(β,β′) dβ dβ′ = 1),

– P0(r) est la fonction d’ouverture de la pupille,

– ψ(r) est le front d’onde turbulent,

– k est le nombre d’onde,

– et l est un paramètre homogène à une longueur, permettant de contrôler le degré de corréla-

tion de la réponse impulsionnelle entre deux points adjacents.

L’image i est alors reliée à l’objeto par la relation suivante sur le champ d’observationΘ :

i(α) =

∫

Θ

hatm(α − β,β) o(β) dβ . (2.23)

62


En posantr′ = r − lβ′, on peut réécrire l’équation 2.22 :

hatm(β,β′) = A2

∣∣∣∣

∫

P0(r′) ψ(r′ + lβ′) eikr′ ·β dr′

∣∣∣∣

2

. (2.24)

Grâce à cette équation, on voit que pour chaque directionβ′, on peut considérer le même front

d’ondeψ translaté de la quantitélβ′. Si on suppose que la moyenne du front d’onde turbulent

sur la longueur du chemin de propagation peut se représentersous la forme d’une seule couche

turbulente, alors on se retrouve dans le cas de la fine couche turbulente unique étudiée dans le

chapitre 1, oùl est la distance qui sépare cette couche du système d’observation.

1.

2.

3.

sources couche turbulenteéquivalente

systèmeoptique

D

l

l

l = 0

θ

lθ

D/θ

s1

s1

s1

s2

s2

s2

Figure 2.11– Les différents cas de turbulence suivant le paramètrel. Source : C. Bondeau.

Pour étudier le rôle du paramètrel, on va considérer deux sources ponctuelless1 ets2 éloignées

du système d’observation et séparées d’un angleθ fixe. Trois cas peuvent alors se présenter

(Fig. 2.11) :

1. Si l est grand (l > D/θ), alors les parties du front d’onde turbulentψ contribuant au

calcul des images des sources ponctuelles sont distinctes.Les réponses impulsionnelles

associées às1 et s2 sont complètement décorrélées, ce qui correspond au cas de l’aniso-

planétisme total.

63


2. Si 0 < l < D/θ, alors les zones du front d’onde turbulent qui interviennent dans le

calcul des images des sources ponctuelles ont une partie commune. Cela se traduit par une

certaine corrélation entre ces deux images, qui dépend de lataille de la partie commune

du front d’onde, donc del. On se trouve alors dans le cas de l’isoplanétisme local.

3. Si l = 0, alors la même partie du front d’onde turbulent est utiliséepour le calcul des

images des sources ponctuelles, ce qui correspond au cas de l’isoplanétisme total.

Soit θ0 l’angle d’isoplanétisme pour certaines conditions atmosphériques d’observation don-

nées.θ0 définit l’angle limite entre l’isoplanétisme local et l’anisoplanétisme total. En simula-

tion, cette limite sera donc donnée pour une distancel = D/θ0.

2.2.4 Influence de la taille de la pupille

Rappel : Le calcul d’un front d’onde turbulent se fait au niveau de la pupille (cf. §2.2.1).

La taille de la pupille utilisée a donc un rôle déterminant sur l’image résultat. En effet, en

optique, l’utilisation d’une petite pupille implique que les effets de diffraction seront prépondé-

rants et que les effets atmosphériques seront négligeables. À l’inverse, l’utilisation d’une pupille

de grande taille implique que les effets atmosphériques seront prédominants et que les effets de

diffraction seront négligeables.

La diffraction est un phénomène optique qui s’observe quanddes rayons lumineux passent à

travers un trou de très petite dimension. Par exemple, pour un trou circulaire et une source

ponctuelle monochromatique, l’image obtenue est une tached’Airy (Figs. 2.12(a) et 2.12(b)).

Une coupe de cette tache montre l’emplacement exact des anneaux multiples, difficilement vi-

sible à l’oeil nu (Fig. 2.12(c)).

Remarque : Sur la figure 2.12, l’amplitude des anneaux secondaires a étéamplifiée pour une

meilleure visualisation. Normalement, 84% de l’intensitélumineuse est comprise dans le disque

central.

Le rayon du premier anneau noir est donné par :

R = 1.22 N λ , (2.25)

oùN est le nombre d’ouverture, défini par le rapport de la distance focaleF sur le diamètre de

la pupilleD (Fig. 2.13).

64


R

(a) (b) (c)

Figure 2.12– (a) Représentation de la tache d’Airy en 2D. (b) Représentation de la tache d’Airy en 3D.(c) Schéma de la réponse impulsionnelle d’un système parfait limité par la diffraction.R est le rayon dupremier anneau noir.

pupilledétecteur

D

F

Figure 2.13– Schéma optique de la pupille et du détecteur.D est le diamètre de la pupille etF est ladistance focale.

Quel que soit le cas de turbulence considéré (isoplanétismetotal, isoplanétisme local ou aniso-

planétisme total), les résultats de simulation obtenus avec une petite pupille sont toujours limités

par la diffraction : toutes les images résultats sont floues (Fig. 2.14).

(a) (b) (c)

Figure 2.14– Exemples d’images simulées obtenues avec une pupille de8 × 8 pixels, pour une intenitéde turbulenceD/r0 = 1. (a) Isoplanétisme total. (b) Isoplanétisme local. (c) Anisoplanétisme total.

65


Quand le front d’onde est plan, on obtient quand même une image légèrement floue (Fig. 2.15),

car dans ce cas, le front d’onde limité par le support de la pupille est une fonction porte, donc

la PSF atmosphérique qui est la transformée de Fourier inverse de ce front d’onde est un sinus

cardinal. Notre algorithme de simulation tient donc bien compte de la diffraction dans tous

les cas de figure. De plus, nos résultats suivent bien la théorie : l’importance du flou dû à la

diffraction est inversement proportionnelle à la taille dela pupille utilisée.

(a) (b) (c)

Figure 2.15– Exemples d’images simulées obtenues avec un front d’onde plan, sur une pupille de64×64pixels. (a) Isoplanétisme total. (b) Isoplanétisme local.(c) Anisoplanétisme total.

Discussion sur le choix de la taille de la pupille

Dans nos simulations, pour chaque cas de turbulence, nous avons utilisé une pupille de64 × 64

pixels alors que les images résultats sur le détecteur sont de taille256× 256 pixels. Nous avons

choisi une taille de pupille assez grande de façon à ce que leseffets de diffraction soient négli-

geables pour un front d’onde non constant, et assez petite pour éliminer les pertes en temps de

calcul. En effet, nous verrons plus loin que les processus desimulation qui ont été décrits sont

très gourmands en temps, et qu’une pupille plus petite permet de gagner en temps de calcul sans

altérer la qualité des simulations (cf. §2.2.7).

De plus, nous nous sommes limités à 135 polynômes de Zernike pour le calcul de la phase du

front d’onde turbulent (deZ2 à Z136). Le dernier polynômeZ136 correspond à l’ordre radial

n = 15 et à la fréquence azimutalem = 15. Ce polynôme est donc égal à4√

2r15 cos(15θ).

Il a au maximum 14 minima et 14 maxima. Donc pour respecter le critère de Shannon, il faut

utiliser une pupille de diamètre au moins égal à2 × (14 + 14) = 56 pixels. En pratique, on a

utilisé une pupille circulaire de 64 pixels de diamètre, inscrite dans un carré de 64 pixels de côté.

Conclusion sur les simulations d’images uniques

Nous avons donné les algorithmes utilisés pour la dégradation d’images “instantanées” par la

turbulence atmosphérique et nous nous sommes assurés que les résultats sont suffisamment

conformes à la théorie pour notre étude. Visuellement, les résultats semblent aussi conformes à

66


la réalité. Le cas de turbulence le plus couramment observable en propagation horizontale est

l’isoplanétisme local où l’image résultat est floue et subitdes déformations. Nous allons main-

tenant nous intéresser à l’évolution temporelle de la turbulence atmosphérique et à la génération

de séquences dégradées.

2.2.5 Simulations de séquences d’images dégradées : prise en compte de

l’évolution temporelle de la turbulence

Dans cette partie, nous avons repris certains travaux de C. Bondeau-Zimmer [Bondeau, 1999]

basés sur une étude du spectre temporel d’un front d’onde à travers la turbulence, conduite à

l’ONERA [Conan et al., 1995].

Pour simuler une séquence d’images dégradées par la perturbation atmosphérique, nous allons

générer une séquence de fronts d’onde turbulents. Une fois encore, nous négligeons les fluc-

tuations d’amplitude. La phase est toujours décomposée surla base des polynômes de Zernike,

mais cette fois, les coefficients de Zernike vont dépendre dutemps :

ϕ(r, t) =

J∑

j=2

aj(t)Zj(r) . (2.26)

Pour chaque indicej, on veut obtenir une séquence deS coefficients corrélés temporellement

(Fig. 2.16). LesJ −1 séquences deS coefficients permettront de former une suite deN ′ phases

turbulentes.

temps−→j = 2 : a2(t) a2(t+ ∆t) a2(t+ 2∆t) · · · a2(t+ (N ′ − 1)∆t)j = 3 : a3(t) a3(t+ ∆t) a3(t+ 2∆t) · · · a3(t+ (N ′ − 1)∆t)

......

......

...j = J : aJ(t) aJ (t+ ∆t) aJ(t+ 2∆t) · · · aJ(t+ (N ′ − 1)∆t)

Figure 2.16– Schéma d’évolution temporelle des coefficients de la décomposition.Source : C. Bondeau.

∆t est l’intervalle de temps entre deux acquisitions d’imagesetN ′ est le nombre d’images de la

séquence. Chaque lignej de la matrice de la figure 2.16 doit suivre la statistique de l’évolution

temporelle théorique du coefficientaj(t), et chaque colonne deJ−1 coefficients doit permettre

de définir une phase turbulente qui obéit à la loi de Kolmogorov.

Dans [Conan et al., 1995], il est montré qu’on peut passer du spectre spatial des coefficients

aj à leur spectre temporel, par un calcul d’intégrale pour chaque fréquence temporelleν. Ce

67


calcul fait intervenir le module et la direction du vent dansla turbulence traversée. On notera

f = (fx, fy) la fréquence spatiale etf sa norme. SoitV la vitesse du vent orientée selon l’axe

desx. La densité spectrale de puissance temporelle du coefficient aj à l’ordrej s’écrit :

ωj(ν) =1

V

∫ +∞

−∞

∣∣∣FZj

( ν

V, fy

)∣∣∣

2

Wϕ

( ν

V

)

dfy . (2.27)

Wϕ représente le spectre de puissance spatial de phase. Pour une turbulence de type Kolmogo-

rov, il est donné par :

Wϕ(f) = 0.023 r−5/30 f−11/3 , (2.28)

d’où :

ωj(ν) =0.023 r

−5/30

V

∫ +∞

−∞

∣∣∣FZj

( ν

V, fy

)∣∣∣

2(∣∣∣ν

V

∣∣∣

2

+ f 2y

)−11/6

dfy . (2.29)

FZj(f) est la transformée de Fourier du polynôme de Zernike d’indice j, défini par l’équa-

tion 2.8. Son module s’écrit :

∣∣FZj

(f)∣∣ =

√n+ 1

2|Jn+1(πDf)|πDf

√2 | cos(mθ)| si j pair etm 6= 0

√2 | sin(mθ)| si j impair etm 6= 0 .

1 si m = 0

(2.30)

Pendant la simulation d’une séquence d’images courte pose,les fluctuations temporelles de la

turbulence doivent être prises en compte, même si leur duréede vie n’est que de quelques mil-

lisecondes. Si le temps de pose est inférieur à ce temps d’évolution, les images acquises seront

corrélées temporellement.

Avec la méthode de N. Roddier, on peut générerN phasesϕn, oùn = 1, 2, ..., N , chaque phase

étant représentée par sesJ − 1 coefficients de la décomposition placés dans un vecteur :

a2,n

a3,n

...

aJ,n

. (2.31)

Les phases ainsi obtenues sont temporellement indépendantes les unes des autres. La succession

des fronts d’onde ne suit aucune loi d’évolution temporelle. Le but de la simulation va être de

les rendre corrélés temporellement.

68


On place lesN vecteurs colonnes les uns à côté des autres aléatoirement dans une matriceA de

dimension(J − 1) ×N :

A =

a2,1 a2,2 · · · a2,n · · · a2,N

a3,1 a3,2 · · · a3,n · · · a3,N

......

......

aj,1 aj,2 · · · aj,n · · · aj,N

......

......

aJ,1 aJ,2 · · · aJ,n · · · aJ,N

, (2.32)

où aj,n est le coefficient d’ordrej de la phaseϕn. Chaque vecteur ligne deA est constitué de

N coefficients de Zernike d’un certain ordrej et forme un bruit blanc dont on peut assimiler la

statistique à une loi gaussienne (Fig. 2.17) :

< aj,p aj,q > = < a2j > δ(p, q) , (2.33)

oùp et q sont des entiers compris entre 1 etN et< . > est l’opérateur de moyenne statistique.

0 100 200 300 400 500−2

0

2

(a) Coefficientsa2,n correspondant au modeZ2.

0 100 200 300 400 500

−2

0

2

(b) Coefficientsa3,n correspondant au modeZ3.

0 100 200 300 400 500−0.5

0

0.5

(c) Coefficientsa4,n correspondant au modeZ4.

Figure 2.17– Exemples de séquences de 500 coefficients de Zernike décorrélés temporellement, simuléspar la méthode de N. Roddier, assimilables à des bruits blancs gaussiens.

69


Les données de la matriceA sont temporellement indépendantes et vont constituer la base du

processus de construction d’une séquence temporelle.

Construction d’une séquence de phases corrélées temporellement

On veut construire un ensemble de coefficients de Zernike dont la densité spectrale de puissance

obéit à l’équation 2.29, à chaque ordrej. Le principe est de « filtrer »J −1 signaux numériques

à bruit blanc gaussienxj(t). Ces signaux sont en fait les coefficientsaj temporellement indé-

pendants, générés par la méthode de N. Roddier. Pour chaquej, le spectre fréquentielFxj(ν)

des signauxxj(t) est filtré, de façon à obtenir des signaux aléatoiresFyj(ν) ayant la densité

spectrale de puissanceωj(ν) désirée. Les spectresFyj(ν) sont donnés par la relation :

Fyj(ν) = Fxj

(ν) ·√

ωj(ν) , (2.34)

oùF représente la transformée de Fourier etωj(ν) est à densité normalisée.

Soit Y la matrice de taille(J − 1) ×N ′ contenant les signauxyj(t) obtenus par la transformée

de Fourier inverse des signauxFyj(ν) :

Y =

y2(t0) y2(t0 + ∆t) y2(t0 + 2∆t) · · · y2(t0 + (N ′ − 1)∆t)

y3(t0) y3(t0 + ∆t) y3(t0 + 2∆t) · · · y3(t0 + (N ′ − 1)∆t)...

......

...

yJ(t0) yJ(t0 + ∆t) yJ(t0 + 2∆t) · · · yJ(t0 + (N ′ − 1)∆t)

. (2.35)

Chaque ligne deY est une évolution temporelle possible du coefficient de Zernike correspon-

dant. La figure 2.18 montre une évolution calculée pour les coefficients correspondant aux

modesZ2, Z3 et Z4 à partir des coefficients non corrélés de la figure 2.17. On y remarque

une évolution beaucoup plus lente et plus lisse, les coefficients temporels présentent une nette

corrélation. On peut cependant noter que plus on avance dansles ordresj, plus la corrélation

temporelle s’affaiblit. Ceci est dû au fait que le temps de corrélation décroît avec l’élévation

de l’ordre radial des polynômes [Conan et al., 1995]. Mais cela a peu de conséquences sur les

résultats car ce sont les premiers modes les plus importants.

Chaque colonne deY permet de construire une phase de l’évolution temporelle, donc un front

d’onde à un instant donné. On peut ainsi créer une séquence perturbée par un des trois cas de

turbulence atmosphérique. La figure 2.19 montre un extrait de séquence simulée dans le vi-

sible, perturbée par de l’anisoplanétisme total, pour un rapportD/r0 = 3, avec une fréquence

d’acquisition de 200 images par secondes (temps de pose de5ms) et un vent de vitesse6m.s−1.

70


0 100 200 300 400 500−2

0

2

(a) Coefficientsy2,n correspondant au modeZ2.

0 100 200 300 400 500

−2

0

2

(b) Coefficientsy3,n correspondant au modeZ3.

0 100 200 300 400 500−0.5

0

0.5

(c) Coefficientsy4,n correspondant au modeZ4.

Figure 2.18– Exemples de séquences de 500 coefficients corrélés temporellement, obtenus à partir descoefficients de la figure 2.17.

Vérification que les coefficients simulés suivent le modèle de Kolmogorov

Si les séquences de coefficients de la matriceY sont conformes au modèle de turbulence de

Kolmogorov, alors elles doivent avoir la même matrice de covariance que les données initiales

de la matriceA.

Chaque vecteur colonne deA permet de calculer une phase indépendamment du temps. Tous

les vecteurs colonnes ont la même matrice de covarianceCA donnée par :

CA =A AT

N, (2.36)

où chaque élément deCA est défini par :

CA(i, j) = < ai aj > . (2.37)

La décomposition en valeurs singulières deCA donne une matrice diagonaleS, matrice des

valeurs propres deCA, et une matrice unitaireX, matrice des vecteurs propres correspondants,

telles que :

CA = X S XT . (2.38)

71


−→

. . .

Figure 2.19– Extrait d’une séquence simulée dans le visible en anisoplanétisme total pourD/r0 = 3(images256 × 256 et pupille64 × 64).

Les vecteurs propres sont aussi appelésaxes principauxdes données. Les premiers d’entre eux

indiquent les directions de variance les plus élevées. SoitZ la matrice de projection deY sur

ces axes :

Z = XT Y . (2.39)

La matrice de covariance deZ est donnée par :

CZ =Z ZT

N ′ =XT Y YT X

N ′ = XT CY X , (2.40)

oùCY est la matrice de covariance deY.

Les séquences de coefficients deY doivent avoir la même matrice de covariance que celles de

A. On doit donc avoir :

CY = CA , (2.41)

d’où :

CZ = XT CA X = S . (2.42)

72


CZ doit donc être diagonale, et les éléments de sa diagonale doivent être égaux aux valeurs

propres deCA. Pour vérifier que les séquences de coefficients simulés correspondent au modèle

de Kolmogorov, on va donc regarder si la norme suivante est proche de 0 :

d = ‖CZ − S‖ . (2.43)

La moyenne de cette norme est d’environ 0.15 pour un ensemblede 1000 séquences de 200 co-

efficients. De plus, la figure 2.20 confirme la proximité des valeurs propres deCA et des valeurs

sur la diagonale deCZ . Sur cette figure, nous nous sommes limités aux premiers coefficients,

ceux les plus énergétiques. On peut donc considérer que nos séquences de coefficients corres-

pondent bien aux statistiques de la turbulence atmosphérique.

0 5 10 15 20 25 300

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

Indices

Val

eurs

Valeurs propres de CA

Valeurs de la diagonale de CZ

Figure 2.20– Comparaison des premières valeurs propres deCA et des premières valeurs sur la diagonaledeCZ. Moyenne sur 1000 séquences de 200 coefficients.

Limitations pratiques du front d’onde simulé avec le modèlede Kolmogorov

Comme au §2.2.2.1, nous comparons la fonction de structure de phase théorique avec celle issue

de nos simulations (Figs. 2.21 et 2.22). On remarque les mêmes divergences que précedemment

sur les figures 2.22(a) et 2.22(b), pour les mêmes raisons.

Conclusion sur la simulation d’images en courte pose

Nous avons détaillé les processus de simulation des trois cas de turbulence sur des acquisitions

d’images avec un temps de pose court, ainsi que la prise en compte de l’évolution temporelle.

Nous avons regardé les limites de nos simulations obtenues avec la loi de Kolmogorov. Nous

allons maintenant nous intéresser à la simulation d’imagesdégradées en pose longue.

73


(a) (b)

Figure 2.21– Allure des fonctions de structure de phase. (a) Théorie. (b) Simulation.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.80

1

2

3

4

5

6

7

2ρ/D

Fon

ctio

ns d

e st

ruct

ure

de p

hase

théorie

simulations

0.0 0.2 0.4 0.6 0.80

1

2

3

2ρ/D

Fon

ctio

ns d

e st

ruct

ure

de p

hase

théorie

simulations

(a) (b)

Figure 2.22– Comparaison des fonctions de structure de phase (coupe verticale selon une direction dansle plan tangent au minimum des deux courbes). (a) Échelle linéaire. (b) Échelle logarithmique.

2.2.6 Simulations d’images longue pose

Pour geler les effets de la turbulence atmosphérique sur uneimage, le temps de pose doit être

inférieur ou égal au temps d’évolution de cette turbulence (quelques millisecondes). Au-delà

de cette valeur, l’image obtenue est une moyenne d’images courte pose, appeléeimage longue

pose.

Pour calculer une image longue pose :

– si une séquence d’images courte pose est déjà à notre disposition, alors dans ce cas, il suffit

de moyenner des paquets d’images qui se suivent,

– sinon il faut reprendre tout le processus de simulation en moyennant temporellement des

groupes de PSFs (globales en isoplanétisme total / locales en isoplanétisme local ou en ani-

soplanétisme).

74


Iso

pla

nét

ism

eto

tal

D/r

0=

1Is

op

lan

étis

me

loca

lD/r

0=

0.5

Iso

pla

nét

ism

elo

cal

D/r

0=

3A

nis

op

lan

étis

me

tota

lD/r

0=

0.5

An

iso

pla

nét

ism

eto

tal

D/r

0=

3

Figure 2.23– Exemples d’images longue pose (moyennes de 100 images courte pose), obtenues à partirde séquences simulées avec un temps de pose de5 ms. Le temps de pose de l’image longue pose estdonc de500 ms.

75


La figure 2.23 montre quelques exemples d’images longue poseobtenues à partir de séquences

d’images courte pose déjà simulées. Tous les résultats sontflous car les coefficients aléatoires

générés sont à moyenne nulle, donc plus le nombre d’images courte pose composant l’image

longue pose est élevé, plus la moyenne des coefficients tend vers 0. La suite des fronts d’onde

turbulents en courte pose est donc équivalente à un front d’onde presque plan en longue pose.

On perd alors l’aspect granuleux en anisoplanétisme, et lesdéformations de contours en isopla-

nétisme local.

Remarque :Les résultats obtenus en longue pose dépendent fortement dutemps de pose consi-

déré. En effet, si celui-ci n’est pas assez long pour que les effets de la turbulence s’annulent par

moyennage, alors ces effets sont amoindris mais encore visibles sur les images résultats.

2.2.7 Temps de calculs

Toutes nos simulations ont été réalisées avec le logiciel MATLAB pour des raisons de portabi-

lité. La table 2.1 récapitule les temps de calcul observés avec un processeur de 1.66 GHz, pour

les différents processus de simulation évoqués.

L’utilisation d’une pupille de64 × 64 pixels permet de gagner considérablement en temps de

calcul par rapport à une pupille de128×128 pixels et le critère de Shannon est toujours respecté

(cf. §2.2.4).

2.3 Conclusion

Nous avons présenté nos algorithmes de simulation des effets de la turbulence atmosphérique

sur des acquisitions d’images courte pose, dans chacun des trois cas de turbulence : en isopla-

nétisme total, en isoplanétisme local et en anisoplanétisme total.

Nous avons ensuite pris en compte l’évolution temporelle dela turbulence, afin de simuler des

séquences d’images dégradées corrélées temporellement.

Enfin, nous nous sommes intéressés aux divergences de nos résultats par rapport au modèle de

Kolmogorov. Il s’avère que nos résultats sont suffisamment précis pour notre étude sur la res-

tauration d’images perturbées par la turbulence atmosphérique, que nous allons détailler dans le

chapitre suivant.

76


Calcul Taille de la pupille64 × 64 128 × 128

135 polynômes de ZernikeZj 2 s 7 s135 coefficients de Zernikeaj 5 s 5 sImage256 × 256 dégradée par de l’isoplanétisme total 9 s 15 sImage256 × 256 dégradée par de l’isoplanétisme local 2 min 30 10 min(Fenêtres13 × 13 et recouvrement de 3 pixels)Image256 × 256 dégradée par de l’anisoplanétisme total 14 min 1 h

100 évolutions temporelles de 135 coefficients de Zernikeyj,t 8 min 8 minSéquence de 100 images256 × 256 dégradées 15 min 25 minpar de l’isoplanétisme totalSéquence de 100 images256 × 256 dégradéespar de l’isoplanétisme local 42 min �

(Fenêtres13 × 13 et recouvrement de 3 pixels)Séquence de 100 images256 × 256 dégradées 2 h 30 min �

par de l’anisoplanétisme total

Image longue pose256 × 256 dégradéepar de l’isoplanétisme total 14 min 25 min(équivalente à 100 images courte pose)Image longue pose256 × 256 dégradéepar de l’isoplanétisme local 41 min �

(équivalente à 100 images courte pose)Image longue pose256 × 256 dégradéepar de l’anisoplanétisme total 2 h 30 min �

(équivalente à 100 images courte pose)

Table 2.1 – Temps de calcul moyens observés avec un processeur de 1.66 GHz.

77


78

Chapitre 3

Restauration de séquences dégradées par

la turbulence atmosphérique

Ce chapitre est consacré à la restauration d’images et en particulier de séquences d’images

perturbées par la turbulence atmosphérique. Dans un premier temps, différentes méthodes clas-

siques de restauration sont testées sur des images que nous avons nous-même simulées, ainsi que

sur des images réelles. Les résultats obtenus dans le visible et dans l’infrarouge sont comparés

et analysés. Ensuite, une méthode de traitement de séquenceest testée puis généralisée. Cette

méthode permet de prendre en compte le caractère local et temporel de la turbulence atmosphé-

rique. Nous verrons que de bons résultats sont obtenus avec ces deux algorithmes de restauration

spatio-temporelle (la méthode initiale et sa généralisation). Enfin, une méthode hybride de res-

tauration de séquence est proposée à partir des deux résultats précédents de restauration locale.

Plusieurs résultats sont montrés et analysés.

3.1 État de l’art

Les noyaux de perturbations dus à la turbulence atmosphérique étant aléatoires, chaque image

de la séquence à traiter apporte une information différentesur l’image originale de la scène

observée. En fusionnant les apports de chaque image, il est possible d’améliorer la qualité de

l’image restaurée. De plus, le bruit d’acquisition (souvent négligé mais tout de même présent)

peut être supprimé par moyennage. Ces avantages nous ont conduit à nous intéresser aux mé-

thodes existantes de traitement de séquences quelconques,outre celles restaurant les images ou

séquences dégradées par la turbulence atmosphérique.

79

Chapitre 3 Restauration de séquences dégradées par la turbulence atmosphérique

3.1.1 Restauration de séquences d’images quelconques

De nombreux auteurs se sont intéressés à la restauration de séquence basse résolution, soit pour

obtenir une image haute résolution [Elad and Feuer, 1997], soit pour obtenir une séquence de

résolution supérieure [Borman and Stevenson, 1999], en utilisant la redondance d’informations

entre les images successives de la séquence.

Un grand nombre de travaux concernent la suppression du mouvement apparent. Pour cela, les

auteurs utilisent différentes méthodes. Un des algorithmes de super-résolution les plus simples

en calculs est proposé par Irani et Peleg [Irani and Peleg, 1993], mais il ne tient pas compte

de la présence de bruit dans la séquence. Pour réduire le bruit, plusieurs schémas de filtrages

temporels et spatio-temporels ont été proposés. Le filtre deWiener spatio-temporel se présente

comme un bon compromis entre l’efficacité et le temps de calcul. Samy l’a utilisé en se ba-

sant sur des statistiques locales [Samy, 1985]. Özkan et al.ont présenté un filtre de Wiener qui

calcule la corrélation entre les images de la séquence [Ozkan et al., 1992]. Kokaram a proposé

une simplification de cette méthode en utilisant une transformée de Fourier discrète 3D [Koka-

ram, 1998]. Boo et Bose, en utilisant une transformée orthogonale, réduisent le problème 3D

en un ensemble de problèmes 2D [Boo and Bose, 1998]. Outre le filtre de Wiener, d’autres

méthodes ont été développées en filtrage spatio-temporel, comme la méthode de moyennage

pondéré adaptatif proposée par Özkan et al., qui permet d’éviter le flou sur les zones en mouve-

ment [Ozkan et al., 1993]. Ces méthodes ont été testées par Dekeyser et al. pour filtrer le bruit

de la séquence avant l’application de leur processus de super-résolution [Dekeyser et al., 2000;

Dekeyser, 2001].

D’autres méthodes ont été développées pour le traitement deséquences dans le cas de probléma-

tiques différentes. Par exemple, Van Roosmalen et al. utilisent des ondelettes pour le débruitage

de la séquence [VanRossmalen et al., 1996], alors que Kornprobst et al. utilisent une méthode

variationnelle pour segmenter l’objet en mouvement et restaurer le fond de l’image de manière

simultanée [Kornprobst et al., 1997; Kornprobst et al., 1999].

Dans notre cas d’étude, aucun mouvement de l’objet observé ou de la caméra n’est présent. Un

filtrage spatio-temporel simple semble donc le mieux adapté.

3.1.2 Suppression des effets de l’atmosphère

Comme pour la simulation de la turbulence atmosphérique, denombreux travaux de restaura-

tion concernent le domaine de l’astronomie. McGlamery est un des premiers auteurs à s’être

80


intéressé à la suppression des effets de l’atmosphère sur les images par simple filtrage [McGla-

mery, 1967]. Quelques techniques ont ensuite été développées pour augmenter la résolution du

système d’observation à travers la turbulence : l’interférométrie [Hajian and Armstrong, 2001;

Tubbs, 2005], l’analyse de front d’onde [Primot, 1989; Primot et al., 1990], l’optique adapta-

tive [Roddier, 1998; Fusco et al., 2000; Tokovinin, 2004], la déconvolutiona posteriori[Conan,

1994; Conan et al., 1998; Flicker and Rigaut, 2005]... Cependant, ces méthodes ne sont pas

adaptées à notre cas d’étude qui concerne la propagation horizontale sur un ou deux kilomètres.

D’autres auteurs ont travaillé sur des séquences similaires à celles que nous allons restaurer.

Granier et al. utilisent une technique de régularisation couplée à un processus markovien pour

restaurer leurs séquences où les effets de la turbulence ontété ajoutés par simulation numé-

rique [Granier, 1996; Granier et al., 1996]. Kopeika et al. calculent les différentes fonctions de

transfert de modulation (FTMs) des effets atmosphériques àpartir de données météorologiques

et restaurent leurs images par un simple filtre de Wiener [Yitzhaky et al., 1997]. Sheppard et

al. utilisent à la fois l’analyse de front d’onde et la déconvolution aveugle pour obtenir des

images de résolution supérieure [Sheppard et al., 1998]. Bondeau et al. distinguent la restaura-

tion d’images longue pose de la restauration d’images courte pose, pour lesquelles ils proposent

un algorithme de restauration de la forme de l’objet observégrâce à des contours actifs [Bon-

deau, 1999; Bondeau et al., 2000]. Fraser et Lambert détaillent une méthode pour détecter une

réponse impulsionnelle (ou PSF) locale à travers un filtre deWiener par régions d’intérêt, puis

comparent leur nouvelle méthode de recalage et de restauration de séquence avec la corrélation

croisée fenêtrée qu’ils utilisaient précédemment [Fraseret al., 1998; Fraser and Lambert, 2004].

Une méthode pour améliorer la qualité de l’image restaurée est de pré-sélectionner les images

ou les zones d’images les moins dégradées de la séquence, aussi appeléeslucky images. En

effet, comme la turbulence atmosphérique varie aléatoirement au cours du temps, il arrive que

quelques zones d’images soient pratiquement nettes à certains moments. Cette méthode est de

plus en plus utilisée [Carhart and Vorontsov, 1998; Wen et al., 2006] bien qu’elle nécessite un

grand nombre de données pour avoir le maximum de zones nettespossibles.

Parmi les autres méthodes de restauration de la turbulence atmosphérique existe la détection

d’un champ de vecteur atmosphérique ensuite utilisé dans unprocessus de compensation de la

distortion [Frakes et al., 2001; Li et al., 2005; Li et al., 2007]. Il est aussi possible de traiter puis

de fusionner la même séquence à des longueurs d’onde différentes afin d’obtenir de meilleurs

résultats [Yaroslavsky et al., 2004]. Gepshtein et al. utilisent un filtre médian pour obtenir une

image non-déformée qui sert ensuite à détecter les objets enmouvement [Gepshtein et al., 2004].

81


Enfin, certains auteurs se sont intéressés à d’autres effetsde l’atmosphère tels que les effets des

aérosols [Hutt et al., 1994] ou la scintillation quand la scène est éclairée avec un laser [Andrews

et al., 1999; Al-Habash et al., 2001], ou aux effets de la turbulence à des longueurs d’onde moins

couramment utilisées que le visible ou l’infrarouge [Hutt and Tofsted, 2000].

3.1.3 Conclusion

Cet état de l’art nous a permis de nous rendre compte de l’importance du filtrage spatio-temporel

pour la restauration de séquences d’images, et de l’utilisation de certaines méthodes classiques

comme le filtre de Wiener ou la régularisation pour supprimerles effets de la turbulence. La mé-

thode de Fraser et Lambert utilisant un filtre de Wiener spatio-temporel, semble donc être toute

indiquée pour la restauration de séquences dégradées par laturbulence. Nous allons donc com-

mencer par tester quelques méthodes classiques de restauration, puis nous testerons la méthode

de Fraser et Lambert et nous proposerons une adaptation de celle-ci.

3.2 Méthodes de restauration testées

Après avoir défini le modèle de dégradation que nous utiliserons, nous rappellerons les ex-

pressions ou algorithmes des méthodes que nous testerons ensuite sur des images et séquences

simulées puis réelles.

3.2.1 Modèle de dégradation utilisé

Pour un opérateur de dégradation linéaire et spatialement invariant, auquel vient s’ajouter un

bruit additif, le modèle de dégradation utilisé est le suivant :

i = h ∗ o+ b , (3.1)

où i est l’image observée,h est le noyau de convolution,o est l’image nette etb représente le

bruit. Le symbole∗ dénote le produit de convolution.

Dans le cas d’une image discrète de tailleM ×N pixels, la relation précédente peut s’écrire de

manière équivalente sous forme matricielle :

i = Ho + b , (3.2)

où i, o et b sont des vecteurs colonnes de longueurMN formés en prenant successivement les

colonnes dei, o et b, respectivement, etH est une matrice de tailleMN ×MN qui représente

l’opérateur de dégradation [Andrews and Hunt, 1977].

82


3.2.2 Le filtre inverse

On cherche une estimation deo, notéeo, telle queh ∗ o approchei au sens des moindres carrés,

en supposant que la norme du bruit est la plus faible possible[Gonzalez and Woods, 1977] :

o = arg mino

(‖b‖2) = arg mino

(‖i− h ∗ o‖2) . (3.3)

Dans le domaine de Fourier, l’expression du filtrage inverseest la suivante :

O(fx, fy) =I(fx, fy)

H(fx, fy), (3.4)

où O, I etH symbolisent respectivement les transformées de Fourier deo, i eth, et(fx, fy) re-

présentent les coordonnées d’un point de l’espace fréquentiel.H(fx, fy) représente ici les effets

conjugués de la turbulence atmosphérique et du système optique.

L’inconvénient majeur de cette approche est l’amplification du bruit. Ceci est dû au fait que les

propriétés spectrales du bruit ne sont pas prises en compte.H(fx, fy) est un filtre de type passe-

bas, donc son inverse est passe-haut. Les hautes fréquencesde l’image dégradée qui corres-

pondent essentiellement à du bruit, sont donc davantage réhaussées que les basses fréquences.

En pratique, pour ne pas se retrouver avec une image résultatplus bruitée que l’image dégradée

qu’on souhaite restaurer, on peut ne prendre comme filtre quela région oùH(fx, fy) n’est pas

trop faible, par exemple :

O(fx, fy) =

I(fx,fy)H(fx,fy)

si H(fx, fy) > ε (ε > 0)

0 si H(fx, fy) < ε. (3.5)

L’expression matricielle équivalente est :

ô = H−1i , (3.6)

oùH−1 est la matrice inverse deH.

3.2.3 Deux méthodes de régularisation

3.2.3.1 Généralités sur la régularisation

Lorsqu’une image a subi des dégradations, la déconvolutionpermet de la restaurer. Cependant,

la déconvolution est un problème mal posé au sens de Hadamard: la solution n’est pas unique

et n’est pas stable vis-à-vis des perturbations. Pour pallier cette difficulté, on introduit des mé-

thodes régulatrices qui stabilisent la solution et définissent une solution approchée satisfaisante.

83


On régularise le problème en introduisant des informationssupplémentaires sur la solution.

Celles-ci jouent un rôle essentiel car elles définissent un critère de choix d’une solution parmi

toutes les solutions possibles. Elles peuvent s’exprimer sous différentes formes :

– Introduction de contraintes :On utilise des informations a priori sur la solution, celles-ci

provenant en général de considérations physiques.

– Modification de la fonctionnelle à minimiser :On ajoute un terme stabilisant qui sert en

général à pénaliser une solution non désirée (c’est l’objetde la régularisation de Tikhonov)

[Andrews and Hunt, 1977].

3.2.3.2 Régularisation de Tikhonov (ou filtrage pseudo-inverse)

L’idée clé consiste à accepter une norme résiduelle‖h ∗ o− i‖2 non nulle, et en contrepartie à

pénaliser la solution. En reprenant les mêmes notations quedans le paragraphe 3.2.2, on cherche

une estimationo telle que [Tikhonov and Arsenin, 1977] :

o = arg mino

(‖h ∗ o− i‖2 + γ‖Co‖2) , (3.7)

oùC est un opérateur imposant une contrainte suro. Dans la régularisation de Tikhonov clas-

sique,C est l’opérateuridentitéqui correspond à l’hypothèse minimale d’une intensité finie.

Cet opérateur permet surtout de se rapprocher plus ou moins de la solution désirée. On a donc :

o = arg mino

(‖h ∗ o− i‖2 + γ‖o‖2) . (3.8)

L’expression équivalente de ce filtrage dans l’espace fréquentiel est :

O(fx, fy) =H∗(fx, fy)

|H(fx, fy)|2 + γI(fx, fy) . (3.9)

oùH∗ représente le conjugué complexe deH, et sous forme matricielle :

ô = (HT H + γI)−1HT i , (3.10)

oùHT est la transposée de la matriceH.

3.2.3.3 Régularisation par le Laplacien (ou Tikhonov-Laplacien)

Dans la régularisation de Tikhonov-Laplacien, on impose une contrainte de lissage suro en

choisissant leLaplacien discret(∆) comme opérateurC [Golub et al., 1999] :

o = arg mino

(‖h ∗ o− i‖2 + γ‖∆o‖2) . (3.11)

84


Il n’existe pas d’expression usuelle équivalente dans l’espace fréquentiel. Cependant, l’utilisa-

tion du Laplacien discret revient en fait à une convolution par une matrice du type :

0 −1 0

−1 4 −1

0 −1 0

.

L’expression équivalente sous forme matricielle est :

ô = (HT H + γLT L)−1HT i , (3.12)

oùL sera l’opérateur Laplacien discret.

Remarque :D’autres opérateurs différentiels peuvent être utilisés dans la régularisation, comme

par exemple le gradient. Ces opérateurs sont cependant moins couramment utilisés que l’identité

et le Laplacien.

3.2.3.4 Sélection du paramètre de régularisation

La régularisation du problème inverse dépend du choix du paramètre de régularisationγ. Ce

choix est assez délicat : si on donne un poids trop important àla fonctionnelle stabilisatrice

‖Co‖2, la solution peut être altérée de façon très importante, et si le poids est trop faible, on se

rapproche de la solution « naïve » au sens des moindres carrés. Le choix deγ va donc corres-

pondre à un compromis entre la stabilité et la vraisemblancede la solution obtenue.

Plusieurs méthodes systématiques existent pour choisir leparamètreγ de façon optimale. Nous

avons choisi le critère de lacourbe en L[Hansen and O’Leary, 1993]. Il s’agit de tracer la

courbe représentant l’évolution de la norme de la solution régularisée‖Co‖ en fonction de

la norme du résidu‖h ∗ o − i‖ pour différentes valeurs deγ. Cette courbe tracée en échelle

logarithmique sur les deux axes est une sorte d’hyperbole enforme de L (Fig. 3.1). Leγ optimal

qui minimise simultanément les deux normes, sera alors choisi comme celui correspondant au

point de courbure maximale sur le graphe.

3.2.3.5 Implémentation itérative de la régularisation

Comme il n’existe aucune expression analytique pour la régularisation par le Laplacien dans le

domaine de Fourier, nous avons implémenté itérativement les deux méthodes de régularisation

citées précédemment, à partir de l’algorithme de Van-Cittert qui est à la base de nombreuses

méthodes itératives de déconvolution [Thomas, 1981]. Danssa forme d’origine, il s’exprime

ainsi :

85


Figure 3.1– Exemple de courbe en L obtenue. À chaque point correspond unparamètreγ.

ô0 = i

ôn+1 = ôn + (i − Hôn). (3.13)

Le vecteurôn est une solution intermédiaire entre la solution initialeô0 et la solution finaleô∞.

Comme dans les méthodes non-itératives, l’algorithme de Van-Cittert original conduit à une

solution instable si le problème est mal conditionné. Il faut donc introduire une régularisa-

tion pour obtenir une solution bornée. On remplace la résolution itérative dei = Ho par

HT i = (HT H + γLT L )o. L’algorithme de Van-Cittert avec régularisation de Tikhonov s’écrit

alors [Hansen, 1994; Mancina, 2001] :

ô0 = HT i

ôn+1 = ôn + (HT i − (HT H + γLT L )ôn). (3.14)

La régularisation de l’algorithme de base n’est pas toujours suffisante pour obtenir une solution

physiquement acceptable. En particulier, la solution peutne pas être positive, ce qui est gênant

pour une image numérique. Il faut alors introduire une contrainte de positivité du signal. SoitP

l’opérateur de positivité sur un vecteurx quelconque.P peut être défini de deux façons :

Px =x + |x|

2, (3.15)

86


auquel cas les composantes positives dex restent inchangées alors que ses composantes néga-

tives sont réduites à 0, ou alors :

Px = |x| , (3.16)

si l’on souhaite effectuer un repliement des composantes négatives. Dans ce cas, la norme dex

est conservée.

Remarque : D’autres contraintes peuvent être ajoutées (contrainte d’amplitude, contrainte de

support...). Mais en pratique, la contrainte de positivitéest la plus utilisée car elle est la plus

puissante.

Pour introduire la contrainte de positivité dans l’algorithme de Van-Cittert, il suffit de remplacer

ôn parPôn avant de calculerôn+1 :

ô0 = i

ôn+1 = Pôn + (i − HPôn), (3.17)

ce qui donne avec la régularisation de Tikhonov [Gautier et al., 1996; Mancina, 2001] :

ô0 = HT i

ôn+1 = Pôn + µn(HT i − (HT H + γLT L )Pôn), (3.18)

oùµn est un scalaire ajusté à chaque itération de façon à optimiser la rapidité de la convergence.

3.2.4 Le filtre de Wiener

Ce filtre est réputé pour être le meilleur compromis entre l’élimination du flou et la suppression

du bruit. Il consiste à minimiser un critère du type‖Qô‖ sous la contrainte‖i − Hô‖2 = ‖b‖2

[Andrews and Hunt, 1977]. On a donc :

ô = arg mino

(‖Qô‖2 + α(‖i − Hô‖2 − ‖b‖2)) . (3.19)

On choisit la solution qui maximise le rapport signal-sur-bruit (RSB) :

QT Q = R−1o Rb , (3.20)

oùRo etRb sont les matrices de corrélation respectives deo et deb. La solution de minimisation

s’écrit alors :

87


ô = (HT H + βR−1o Rb)

−1HT i , (3.21)

avecβ = 1/α.

Dans le domaine de Fourier, l’expression équivalente est lasuivante :

O(fx, fy) =H∗(fx, fy)

|H(fx, fy)|2 + β Sb(fx,fy)So(fx,fy)

I(fx, fy) , (3.22)

oùH∗ représente le conjugué complexe deH, etSo et Sb sont les densités spectrales de puis-

sance respectives deo et b. Le termeSb/So peut être interprété comme l’inverse du rapport

signal-sur-bruit.

L’équation 3.22 est l’expression du filtre de Wiener paramétré. Quandβ = 1, on retrouve le

filtre de Wiener classique. Lorsqueb = 0, alorsSb = 0 et on retrouve l’expression du filtre

inverse.

Remarque :Le passage dans le domaine de Fourier n’est possible que si laréponse impulsion-

nelle est supposée spatialement invariante.

3.2.5 La méthode de Fraser et Lambert

Fraser et Lambert ont proposé une méthode intéressante pourrestaurer une séquence d’images

déformée par la turbulence atmosphérique [Fraser and Lambert, 2004]. Cette méthode permet

le traitement local et temporel de la séquence entière. Elles’appuie sur une estimation de la

réponse impulsionnelle (ou PSF) locale, ensuite utilisée pour restaurer localement les images

de la séquence.

3.2.5.1 Algorithme d’estimation de la PSF

Pour deux régions d’intérêtw1 etw2 de même taille et à la même position respectivement sur

une image nette et sur sa version dégradée, une PSF locale notéeh est estimée par un filtre de

Wiener local :

h = F−1

( F(w1)∗

|F(w1)|2 + φ2F(w2)

)

, (3.23)

où F et F−1 sont respectivement les transformées de Fourier directe etinverse,∗ indique le

conjugué complexe etφ est l’inverse du rapport signal-sur-bruit.

88


02

46

8

0

2

4

6

80

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

02

46

8

0

2

4

6

80

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

02

46

8

0

2

4

6

80

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

(a) (b) (c)

Figure 3.2 – Exemples de résultats obtenus avec le filtre du Wiener localde Fraser et Lambert. (a) PSFutilisée pour rendre floue une zone de15×15 pixels sur une image nette (PSF Gaussienne avecσ2 = 1.2).(b) PSF estimée sur la zone correspondante de l’image floue. (c) PSF estimée sur la zone correspondantede l’image floue et bruitée (bruit Gaussien de moyenne nulle et de variance = 0.001).

À partir de la figure 3.2, on peut observer que la PSF Gaussienne utilisée pour rendre floue

l’image originale est bien estimée quand aucun bruit n’est présent. Dans le cas contraire, la

PSF estimée est plus ou moins perturbée selon l’intensité dubruit. De plus, plusieurs tests ont

montré que la taille de la fenêtre étudiée influence la qualité de l’image résultat : plus la fenêtre

d’intérêt est grande, meilleure est la PSF estimée et meilleur est le résultat. Nous avons utilisé

des fenêtres de15 × 15 pixels concernant les résultats de la figure 3.2 et nous recommandons

d’utiliser des fenêtres d’au moins11× 11 pixels (de préférence un nombre impair) pour obtenir

une estimation correcte, spécialement en présence de bruit. En pratique, dans les processus de

restauration, on utilisera si possible des fenêtres de la même taille que la zone isoplanétique

traitée.

3.2.5.2 Algorithme de traitement de la séquence

Chaque image dégradée de la séquence et une image de référence sont balayées par deux fe-

nêtres glissantes correspondantes (Alg. 3.1). Une PSF locale est alors estimée par la méthode

décrite ci-dessus, puis la fenêtre dégradée est restaurée par un filtre de Wiener. Initialement,

l’image de référence est la moyenne de la séquence brute (donc l’image longue pose corres-

pondante qui est floue) et elle est mise à jour après chaque tour complet de déconvolution de la

séquence. Le processus est répété jusqu’à ce que la différence entre les deux dernières images

moyennes correspondant aux deux dernières itérations de boucle, soit minimale. Le résultat final

est l’image moyenne convergente. En pratique, une ou deux itérations de boucle sont souvent

suffisantes pour obtenir l’image résultat.

Remarque : L’utilisation de fenêtres glissantes « sur-restaure » la séquence dégradée. Cepen-

dant, en isoplanétisme local, il est impossible de connaître l’emplacement exact des zones iso-

planétiques. Une autre solution est de les choisir arbitrairement comme dans le cas de la simu-

lation.

89


Algorithme 3.1 : Algorithme de restauration de séquence de Fraser et Lambert.Données: Séquence dégradéeSeq, Taille des fenêtres utiliséesws, Critère d’arrêtǫ

Immoy = moyenne temporelle de la séquenceSeqrépéter

// 1 - Calcul de l’image de référenceImrefImref = Immoy ;// 2 - Restauration de chaque image de la séquencepour chaque image im de la séquencefaire

pour chaque zonezim de taillews× ws de l’image imfaire– estimation de la PSF locale entrezim et zref , la zone correspondante deImref– restauration locale par un filtre de Wiener classique

finpourfinpour// 3 - Calcul de l’image moyenne de la nouvelle séquenceImmoy = moyenne temporelle de la nouvelle séquence

jusqu’à |Imref − Immoy| < ǫ ;

Résultat : Image restauréeImmoy

3.2.6 Résultats obtenus sur des images simulées

Dans le cas des images simulées, nous connaissons les imagesde départ et les PSFs utilisées

pour dégrader ces images. Nous pouvons donc quantifier l’amélioration apportée par un PSNR

(Peak Signal-to-Noise Ratio) qui est défini pour deux imagesim1 et im2 de tailleM ×N par la

relation :

PSNR= 20 log10

(255√MSE

)

, (3.24)

où le MSE (Mean Square Error) est défini par :

MSE =

∑

i

∑

j[im1(i, j) − im2(i, j)]2

MN. (3.25)

Le PSNR étant un critère objectif de quantification d’amélioration qui ne correspond pas tout-à-

fait aux critères visuels de l’œil humain, nous essaierons de donner également des appréciations

subjectives de qualité visuelle.

90


La figure 3.3 nous présente les images simulées utilisées pour tester les méthodes de restaura-

tion ainsi que leurs images originales correspondantes, etla figure 3.4 nous montre les différents

résultats de restauration obtenus. D’après les valeurs desPSNRs, le filtre de Wiener classique

donne les meilleurs résultats en isoplanétisme total et local, ce qui est aussi vrai visuellement. En

anisoplanétisme, nous avons dû supposer localement que l’opérateur de dégradation était spatia-

lement invariant pour pouvoir utiliser les méthodes de restauration classiques. Nous avons donc

moyenné localement les PSFs, ce qui contribue à la médiocrité des résultats du filtre inverse et

du filtre de Wiener. On s’attendait à ce que le filtre inverse nedonne pas de bons résultats en

anisoplanétisme, car ce filtre ne prend pas le bruit en compte. En revanche, le résultat du Wiener

classique en anisoplanétisme donne un résultat qui semble plus contrasté à l’œil, malgré l’aspect

granuleux de l’image assimilé à du bruit despeckle. Les deux méthodes de régularisation, quant

à elles, donnent les meilleurs PSNRs en anisoplanétisme. Ceci vient du fait que la régularisation

minimise l’écart quadratique moyen (ou MSE) entre l’image restaurée et l’image nette, et que

l’utilisation du Laplacien discret permet de préserver lescontours. On peut enfin remarquer que

les méthodes classiques permettent de diminuer le flou sur les images, voire le bruit, mais pas

les déformations.

(1) Isoplanétisme total (2) Isoplanétisme local (3) Anisoplanétisme

Cas

D/r0 = 3 D/r0 = 3 D/r0 = 3

Imag

ed

égra

dée

Imag

eo

rigin

ale

Figure 3.3 – Images simulées utilisées pour tester les différentes méthodes de restauration et imagesoriginales respectives.

91


(1) Isoplanétisme total (2) Isoplanétisme local (3) Anisoplanétisme

Cas

D/r0 = 3 D/r0 = 3 D/r0 = 3

Filt

rein

vers

e

PSNR = 29.4 dB PSNR = 27.3 dB PSNR = 23.2 dB

Rég

ula

risat

ion

de

Tik

ho

nov


Rég

ula

risat

ion

par

leLa

pla

cien


Filt

red

eW

ien

ercl

assi

qu

e


Figure 3.4 – Résultats de restauration obtenus à partir d’images dégradées simulées. Certains effets deblocs dus à la méthode de simulation de l’isoplanétisme local, sont réhaussés par les restaurations.

92


3.2.7 Résultats obtenus sur des séquences simulées

La méthode de restauration de Fraser et Lambert est testée sur des séquences simulées en isopla-

nétisme local et en anisoplanétisme (Fig. 3.5). On peut immédiatement remarquer que l’image

moyenne de la séquence en anisoplanétisme constitue un meilleur résultat que les méthodes

classiques sur une seule image, que ce soit visuellement ou au niveau du PSNR. Ceci est dû à

l’annulation locale des coefficients de Zernike pour un grand nombre d’images (cf. chapitre 2).

En isoplanétisme local, l’image moyenne donne un PSNR plus faible que le filtre de Wiener

classique : les contours sont plus réguliers qu’avec le filtre de Wiener, mais plus flous. Les ré-

sultats de la méthode de Fraser et Lambert, quant à eux, sont de meilleure qualité que ceux des

méthodes classiques qui ne prennent pas en compte l’aspect local et temporel de la turbulence.

(4) Isoplanétisme local (5) Anisoplanétisme (6) Anisoplanétisme

Cas

D/r0 = 3 D/r0 = 3 D/r0 = 3

Un

eim

age

dég

rad

éed

ela

séq

uen

ceIm

age

moy

enn

ed

ela

séq

uen

ce


Mét

ho

de

de

Fra

ser

etLa

mb

ert


Figure 3.5 – Résultats de restauration obtenus à partir de séquences dégradées simulées. Chaque sé-quence comprend 100 images. Le temps de pose était fixé à5 ms et la vitesse du vent à6 m.s−1.

93


3.2.8 Résultats obtenus sur des images réelles

En ce qui concerne les images réelles, nous ne connaissons niles images de départ, ni les PSFs

de dégradation. Nous choisissons donc d’estimer les PSFs avec le filtre du Wiener local de Fra-

ser et Lambert. Malgré tout, aucun critère usuel ne peut quantifier l’amélioration apportée. Nous

analyserons donc nos résultats grâce à différents calculs sur les zones uniformes et les contours.

Après avoir décrit les images que nous allons essayer de restaurer, nous déterminerons le cas

de turbulence dans lequel nous nous trouvons, ainsi que la taille de la fenêtre de traitement

que nous utiliserons. Enfin, nous analyserons les résultatsobtenus avec les différentes méthodes

classiques testées.

Description des images

Les images et séquences sur lesquelles nous testons les méthodes de restauration précédemment

citées, ont été fournies parDRDC Valcartier(Canada) et ont été acquises pendant la campagne

OTAN appelée RTG40, menée au Nouveau Mexique (USA) fin 2005. Les cibles sont des da-

miers, des mires, des panneaux réfléchissants uniformes ou avec des lettres de différentes tailles

(Fig. 3.6). Elles sont observées sur un sol de type désertique (sec et chaud), en infrarouge réfléchi

(bande I) ou en infrarouge thermique (bande II) avec l’imageur ELVISS détaillé au chapitre 1.

La distance de propagation varie entre500 m et2 km.

(a) (b) (c)

Figure 3.6– Schémas des cibles observées. (a) Damier et mires : la taille de l’objet est de3 m × 1, 5 m.(b) Trois panneaux de réflectivités différentes, de taille1 m × 1 m. (c) Lettres de différentes tailles : lataille du panneau est de0, 91 m × 1, 22 m.

Isoplanétisme local ou anisoplanétisme ?

Pour savoir dans quel cas de turbulence nous nous trouvons, nous allons calculer puis comparer,

pour chaque image ou séquence, l’angle isoplanétique et l’IFOV (Instantaneous Field Of View).

On rappelle que dans le cas d’une propagation horizontale à travers la turbulence sur une lon-

gueurL, l’angle isoplanétiqueθ0 qui représente l’angle maximal dans lequel la perturbationest

identique, est défini par :

94


θ0 = 0.95

(2π

λ

)−6/5

L−8/5 (C2N)−3/5 . (3.26)

Les valeurs deθ0 calculées pour chaque image ou séquence, sont récapituléessur la table 3.1.

Les valeurs de la constante de structureC2N sont interpolées à partir des fichiers de données

fournis par le scintillomètre deDRDC Valcartierutilisé pendant les acquisitions.

L’IFOV ( Instantaneous Field Of View), aussi appelé résolution pixel, représente l’angle couvert

par un unique élément du détecteur dans le plan image. Il peutêtre estimé en utilisant la trigo-

nométrie (Fig. 3.7). Soitα l’angle de champ de vision. Alors pour une distance de propagation

L très grande et une hauteur de cibleH, on a :

tan(α/2) ≈ α/2

tan(α/2) = H2L

⇒ α ≈ H

L. (3.27)

��

��

détecteurcible

α

L

H

Figure 3.7– Approximation de l’IFOV.

L’angle α représente ici le champ d’observation vertical pour toute la matrice du détecteur.

L’IFOV est calculé pour un seul pixel du détecteur, il peut donc être estimé verticalement par la

relation suivante :

IFOV ≈ H

NL, (3.28)

oùN est le nombre de pixels nécessaires pour représenterH sur la matrice du détecteur.

Les valeurs de l’IFOV estimées pour chaque image ou séquence, sont récapitulées sur la table 3.1.

En comparant les valeurs deθO et de l’IFOV, on conclut que l’IFOV couvre un angle plus large

queθ0 de telle sorte que toutes les images devraient être dégradées par de l’anisoplanétisme

en courte pose. Cependant, la fréquence d’acquisition était de 30 Hz, donc le temps de pose

était d’environ33 ms, ce qui n’est pas assez faible pour geler les effets de la turbulence sur les

images acquises. En effet, le temps d’évolution de la turbulence atmosphérique est typiquement

de5ms, voire moins. Les images acquises peuvent donc être considérées comme des moyennes

95


N° Image / Séquence 1 2 3 4 5 6

Longueur d’onde (µm) 0.81 0.86 4 0.86 0.86 0.86Distance cible-détecteur (m) 1000 1000 500 1000 1000 2000C2

N estimé (m−2/3) 3.10−13 1.10−12 2.10−12 1.10−12 1.10−12 1.10−13

θ0 estimé (µrd) 2.65 1.38 17.51 1.38 1.38 0.46Hauteur de la cible (m) 1.5 1.5 0.61 1.5 1.5 1.5Pixels correspondants 57 109 42 106 107 52IFOV estimé (µrd) 26.3 13.8 29.0 14.2 14.0 14.4

Table 3.1 – Valeurs duθ0 et de l’IFOV pour les images ou séquences étudiées.

de plusieurs images courte pose. Comme la turbulence est déplacée dans une même direction

par le vent, chaque image acquise est finalement composée de différentes zones avec la même

perturbation atmosphérique, ce qui coïncide avec les effets de l’isoplanétisme local.

Principe physique admis

Quand aucun vent n’est présent pendant l’acquisition, alors la turbulence entre la cible et le

système d’observation n’est pas déplacée. De plus, sur une acquisition d’environ 3 secondes, la

turbulence évolue, les gros tourbillons passent leur énergie aux plus petits, mais sans avoir le

temps d’arriver au stade de la dissipation de l’énergie cinétique. On suppose donc que durant

une courte acquisition et sans vent, les zones isoplanétiques ne changent pas et ne sont pas dé-

placées.

Taille optimale de la fenêtre de traitement

Sur nos images ou séquences, sans vent, la zone isoplanétique serait réduite à un seul et même

pixel (puisque IFOV> θ0). Pendant l’acquisition de nos données, un vent latéral était présent et

variait entre une valeur minimaleVmin et une valeur maximaleVmax (Fig. 3.8). La position des

rayons lumineux arrivant sur la pupille variait donc horizontalement entre une position mini-

malePmin et une position maximalePmax (Fig. 3.9). Le déplacement vertical est généralement

plus faible car le vent a souvent tendance à se déplacer horizontalement, ce qui conduit à une

zone elliptique du déplacement du rayon lumineux.

La connaissance de la vitesse du vent pendant les acquisitions grâce à l’utilisation d’un anémo-

mètre, nous permet de calculer la taille de la zone isoplanétique, donc la taille optimale de la

fenêtre de traitement à utiliser.

96


��

��

��

��

��

��

sens de propagation

ciblesystèmevent latéral

fluctuant d’acquisition

Vmin

Vmax

Figure 3.8 – Exemple de propagation à travers la turbulence en cas de vent latéral variant entre unevitesse minimaleVmin et une vitesse maximaleVmax.

PminPmax

Figure 3.9– Image correspondante au schéma de la figure 3.8. En cas de vent latéral, un rayon lumineuxpointe horizontalement sur la pupille d’une position minimalePmin à une position maximalePmax.

Exemple : Image / Séquence N°5

La vitesse du vent variait entre 0 et5 m.s−1 pendant l’acquisition, la longueur de l’objet ob-

servé (un panneau regroupant un damier et des mires) est de3 m et cela représente 236 pixels

sur l’image. Le décalage horizontal maximal d’un rayon lumineux est donc d’environ 13 pixels

sur la pupille pendant le temps de pose de33 ms. Des fenêtres de13 × 13 pixels seront donc

utilisées pour les traitements de cette image ou séquence. Même si le décalage vertical est moins

important, on utilise des fenêtres carrées pour des raisonsde simplifications algorithmiques.

Analyse des résultats

Les figures 3.10 et 3.11 nous montrent les résultats de restauration obtenus sur les 6 différentes

images considérées. Pour analyser ces résultats, nous allons définir quelques critères simples

qui vont nous permettre d’apprécier les améliorations apportées par les méthodes testées. En ce

qui concerne la visualisation d’une scène, on peut définir une bonne image restaurée comme une

image contrastée où les contours sont nets. Pour un traitement postérieur, comme par exemple

une application en robotique, on préférera un résultat moins contrasté, plus proche de la réalité,

mais avec une variance aussi faible que possible dans les zones uniformes.

97


Image N°1 Image N°2 Image N°3

Cas

λ = 810 nm (passif) λ = 860 nm (passif) λ = 4 µm (thermique)

Imag

ed

égra

dée

Filt

rein

vers

eR

égu

laris

atio

nd

eT

ikh

on

ovR

égu

laris

atio

np

arle

Lap

laci

enF

iltre

de

Wie

ner

clas

siq

ue

Figure 3.10 – Résultats de restauration obtenus à partir d’images dégradées réelles de taille256 × 256 pixels (1ère partie).

98


Image N°4 Image N°5 Image N°6

Cas

λ = 860 nm (passif) λ = 860 nm (actif) λ = 860 nm (actif)

Imag

ed

égra

dée

Filt

rein

vers

eR

égu

laris

atio

nd

eT

ikh

on

ovR

égu

laris

atio

np

arle

Lap

laci

enF

iltre

de

Wie

ner

clas

siq

ue

Figure 3.11 – Résultats de restauration obtenus à partir d’images dégradées réelles de taille256 × 256 pixels (2èmepartie).

99


Pour chaque image et pour chaque résultat de restauration, nous avons calculé la variance dans

différentes zones uniformes (Fig. 3.12(a)). Notons que cesvaleurs peuvent être perturbées par la

grille en alvéoles de l’intensificateur de lumière intégré àl’imageur ELVISS. La table 3.2 réca-

pitule les valeurs calculées pour l’image n°5. Selon cette table, la régularisation par le Laplacien

permet d’obtenir les zones les plus uniformes (variances les plus faibles). Ce résultat est cepen-

dant à nuancer car la régularisation atténue les contrastes. Pour une meilleure comparaison, le

contrastec des différentes images est estimé par la relation suivante :

c =Max−min

Max+min, (3.29)

où Max et min sont respectivement les niveaux de gris maximum et minimum de l’image

considérée. Notons que tous les filtres utilisés sont normalisés.

(a) (b) (c)

Figure 3.12 – Exemples de zones analysées sur les résultats correspondant à l’image n°5. (a) Zonesuniformes. (b) Zones de contours. (c) Zoom sur une transition étudiée.

ImageCarrés noirs Carrés blancs

Contrasteσ2

cn min Max σ2cb min Max

Image dégradée 102.1 28 117 540.9 32 255 0.80Filtre inverse 98.8 27 115 521.0 34 255 0.81Régularisation de Tikhonov 53.5 36 83 168.2 39 220 0.72Régularisation par le Laplacien 52.1 34 82 157.0 41 217 0.73Filtre de Wiener 56.0 26 94 256.3 38 244 0.81

Table 3.2 – Méthodes classiques : valeurs des variances et des niveaux de gris minimum (min)et maximum (Max) concernant l’image n°5.σ2

cn représente la variance moyenne des 3 carrésnoirs etσ2

cb celle des 3 carrés blancs. Une estimation du contraste est donnée pour une meilleurecomparaison.

100


En ce qui concerne les contours, nous avons étudié les transitions entre les zones uniformes

(Figs. 3.12(b) et 3.12(c)). Grâce à la géométrie simple des objets observés, on peut déduire

une transition moyenne à partir de chaque zone de transitions étudiée. La pente des transitions

moyennes pour chaque résultat nous informe déjà sur la qualité des restaurations : on cherche à

obtenir la plus forte pente possible.

La figure 3.13 nous montre une comparaison des transitions moyennes obtenues pour chaque

résultat de l’image n°5 avec la transition idéaletid entre deux zones uniformes noire et blanche.

Les niveaux de gris des images ont été renormalisés sur 8 bits(entre 0 et 255) avant l’étude des

transitions moyennes locales pour que la superposition de ces différentes transitions moyennes

ait un sens. La plus forte pente est obtenue avec le résultat du filtre de Wiener dont la transition

moyenne correspondante est cependant beaucoup moins régulière que celle du résultat de la

régularisation par le Laplacien.

La figure 3.14 nous montre les pics de corrélation entre chaque transition moyenne et la transi-

tion idéaletid. Là encore, la transition moyenne du résultat du filtre de Wiener est la plus proche

de la transition idéale, suivie de près par celle du résultatde la régularisation par le Laplacien.

En conclusion, les zones uniformes sont mieux restaurées avec la régularisation par le Laplacien

alors que les contours sont plus nets avec le filtre de Wiener.

101


2 4 6 8 10 120

50

100

150

200

250

Pixels

Niv

eaux

de

gris

tid

tmoy_i

tmoy_T

tmoy_L

tmoy_W

Figure 3.13 – Transitions moyennes entre deux zones uniformes noire et blanche sur les résultats derestauration correspondant à l’image n°5 (tid : transition idéale,tmoy_i : transition moyenne du résultat dufiltre inverse,tmoy_T : transition moyenne du résultat de la régularisation de Tikhonov,tmoy_L : transitionmoyenne du résultat de la régularisation par le Laplacien ettmoy_W : transition moyenne du résultat dufiltre de Wiener).

1 2 3 4 5 6 72

2.2

2.4

2.6

2.8

3

3.2

3.4

3.6

3.8

4x 10

5

Pixels

Pic

s de

cor

réla

tion

avec

tid

tmoy_i

tmoy_T

tmoy_L

tmoy_W

Figure 3.14– Pics de corrélation entre les transitions moyennes des différents résultats de restaurationcorrespondant à l’image n°5 et la transition idéale (mêmes notations que sur la figure précédente).

102


3.2.9 Résultats obtenus sur des séquences réelles

La méthode de restauration de Fraser et Lambert est testée sur les séquences réelles associées

aux images réelles du §3.2.8. Ces séquences sont donc aussi dégradées par de l’isoplanétisme

local et pour chaque séquence, la taille de la fenêtre de traitement utilisée est la même que celle

calculée pour l’image réelle associée.

Les résultats obtenus avec le filtre de Fraser et Lambert sontmontrés sur les figures 3.15 et 3.16.

Comme pour les séquences simulées, l’image moyenne des séquences réelles constitue visuel-

lement un bon résultat par rapport aux restaurations par lesméthodes classiques : elle permet

d’annuler temporellement les déformations de la cible en contrepartie de contours plus flous,

ainsi que certains bruits dont nous détaillerons les origines possibles dans le paragraphe suivant.

Séquence N°1 Séquence N°2 Séquence N°3

Cas

λ = 810 nm (passif) λ = 860 nm (passif) λ = 4 µm (thermique)

Un

eim

age

dég

rad

éed

ela

séq

uen

ceIm

age

moy

enn

ed

ela

séq

uen

ceM

éth

od

ed

eF

rase

ret

Lam

ber

t

Figure 3.15– Résultats de restauration obtenus à partir de séquences dégradées réelles de 100 images detaille 256 × 256 pixels (1ère partie).

103



Cas

λ = 860 nm (passif) λ = 860 nm (actif) λ = 860 nm (actif)

Un

eim

age

dég

rad

éed

ela

séq

uen

ceIm

age

moy

enn

ed

ela

séq

uen

ceM

éth

od

ed

eF

rase

ret

Lam

ber

t

Figure 3.16– Résultats de restauration obtenus à partir de séquences dégradées réelles de 100 images detaille 256 × 256 pixels (2èmepartie).

Analyse des résultats

Comme sur les images réelles, pour chaque résultat, nous définissons des zones uniformes où

nous allons comparer les variances (Fig. 3.17(a)) et des zones de contours où nous examinerons

les propriétés des transitions moyennes (Figs. 3.17(b) et 3.17(c)).

La table 3.3 donne la liste des variances calculées à l’intérieur des zones uniformes sur les résul-

tats correspondant à la séquence n°5. En comparant ces valeurs avec celles de la table précédente

de variances (Fig. 3.2), on peut observer que le moyennage dela séquence et la méthode de Fra-

ser et Lambert sur la séquence donnent des variances beaucoup plus faibles que les méthodes

classiques sur une seule image. Les variances obtenues sur le résultat de Fraser et Lambert sont

cependant plus élevées que sur l’image moyenne. Ceci est dû en grande partie au réhaussement

du contraste ayant pour effet d’augmenter le bruit.

104


(a) (b) (c)

Figure 3.17– Exemples de zones analysées sur les résultats de la séquence n°5. (a) Zones uniformes.(b) Zones de contours. (c) Zoom sur une transition étudiée.


Contrasteσ2


Une image dégradée 102.1 28 117 540.9 32 255 0.80Image moyenne 11.6 26 94 84.1 38 244 0.81Filtre de Fraser et Lambert 15.3 0 97 91.4 28 255 1.00

Table 3.3 – Méthode de Fraser et Lambert : valeurs des variances et des niveaux de gris mi-nimum (min) et maximum (Max) concernant la séquence n°5.σ2

cn représente la variancemoyenne des 3 carrés noirs etσ2

cb celle des 3 carrés blancs. Une estimation du contraste estdonnée pour une meilleure comparaison.

De la même façon que sur les restaurations des images réelles, nous étudions les transitions

moyennes entre les zones uniformes sur les restaurations des séquences réelles. La figure 3.18

nous montre une comparaison des transitions moyennes obtenues pour chaque résultat de la sé-

quence n°5 avec la transition idéaletid entre deux zones uniformes noire et blanche. Là encore,

les images ont été renormalisées sur 8 bits (entre 0 et 255) pour que la superposition de ces

différentes transitions moyennes ait un sens. Le résultat du filtre de Fraser et Lambert donne

la transition moyenne de plus forte pente. Notons que la pente de la transition moyenne cor-

respondant au filtre de Wiener classique sur une seule image,n’est pas très éloignée grâce à la

renormalisation effectuée, mais cette transition est beaucoup moins régulière que celle du ré-

sultat de la méthode de Fraser et Lambert. L’image moyenne, quant à elle, donne une transition

très régulière mais beaucoup trop étalée pour être précise.

La figure 3.19 nous montre les pics de corrélation entre chaque transition moyenne et la tran-

sition idéaletid. Là encore, la transition moyenne du résultat du filtre de Fraser et Lambert

est la plus proche de la transition idéale, suivie de près parcelle du résultat du filtre de Wie-

ner classique à cause de la renormalisation. Tous les résultats concordent donc pour désigner

la méthode de traitement de séquence de Fraser et Lambert comme la meilleure méthode de

restauration testée.

105


2 4 6 8 10 120

50

100

150

200

250

Pixels

Niv

eaux

de

gris

tid

tmoy_m

tmoy_FL

tmoy_W

Figure 3.18– Transitions moyennes entre deux zones uniformes noire et blanche sur les résultats de res-tauration correspondant à la séquence n°5 (tid : transition idéale,tmoy_m : transition moyenne de l’imagemoyenne,tmoy_FL : transition moyenne du résultat de restauration de Fraser et Lambert ettmoy_W :transition moyenne du résultat du filtre de Wiener sur une seule image).

1 2 3 4 5 6 72

2.2

2.4

2.6

2.8

3

3.2

3.4

3.6

3.8

4x 10

5

Pixels

Pic

s de

cor

réla

tion

avec

tid

tmoy_m

tmoy_FL

tmoy_W

Figure 3.19– Pics de corrélation entre les transitions moyennes des différents résultats de restaurationcorrespondant à la séquence n°5 et la transition idéale (mêmes notations que sur la figure précédente).

106


3.2.10 Origines des bruits sur les séquences réelles

Additionnellement au flou et aux déformations dus à la turbulence atmosphérique, les séquences

réelles peuvent être dégradées par des bruits de différentes origines :

1. Un aspect granuleux peut être présent (séquences n°5 et n°6) : il s’agit d’un effet conjoint

de la turbulence et du bruit de speckle .

2. Une diffusion peut donner une impression de brouillard (séquences n°1, n°3 et n°4). Plu-

sieurs sortes de diffusion peuvent être prises en compte selon la taille des molécules dif-

fusantes par rapport à la longueur d’onde d’acquisition.

3. Enfin, un effet de scintillation peut apparaître à cause des variations d’amplitude du front

d’onde turbulent (séquences n°5 et n°6).

Le bruit d’acquisition du système d’observation est largement négligeable devant tous les effets

de l’atmosphère.

1. Bruit de speckle

Ce bruit est présent dans l’intensité lumineuse d’une surface d’onde aléatoire. Il se manifeste le

plus souvent par un aspect granuleux comme celui pris par unesurface microrugueuse quand

elle est éclairée par de la lumière laser. En effet, au niveaumicroscopique, une surface peut

présenter des irrégularités d’amplitude supérieure ou égale à la longueur d’onde d’acquisition.

Quand une telle surface est éclairée par de la lumière laser (parfaitement monochromatique),

les rayons réfléchis subissent un déphasage aléatoire à cause de la différence de chemin optique

liée à la microrugosité (Fig. 3.20). En un point quelconque d’observationM , les amplitudes

des contributions venant de tous les pointsP de la surface sont supposées pratiquement égales,

c’est-à-dire que l’on néglige la décroissance de l’amplitude inversement proportionnelle à la

distance au carré de la source. L’amplitude complexe du champ observé enM sera la superpo-

sition des contributions de toutes les sources réfléchissantes élémentaires sur la surface.

Sans turbulence, le faiceau laser illuminant la scène observée a toujours le même angle d’inci-

dence par rapport à la cible et les rayons lumineux sont toujours réfléchis de la même façon.

Le bruit de speckle est alors fixe sur l’image résultat. En revanche, la présence de turbulence

fait varier les angles d’incidence des rayons lumineux par rapport à la cible, ainsi que les angles

des rayons réfléchis. L’évolution temporelle de la turbulence provoque donc un déplacement

desspecklessur les différentes images de la séquence acquise. Le bruit de speckle peut donc

s’atténuer par moyennage temporel, comme on peut le remarquer sur les images moyennes cor-

respondant aux séquences n°5 et n°6 (Fig. 3.16).

107


Figure 3.20– Principe de création des speckles : la lumière est réfléchiede manière aléatoire à cause dela microrugosité de la surface (M : point d’observation,P : point de la surface microrugueuse).

Remarque :D’autres techniques existent pour réduire le bruit de speckle [Hillion et al., 1989] :

– le moyennage spatial,

– le filtre médian préservant les contours,

– le filtrage homomorphique (transformation logarithmiquerendant le bruit additif, filtrage puis

exponentiation pour retrouver le signal d’entrée),

– le filtre de Lee (filtre adaptatif minimisant le bruit aléatoire),

– le filtre de Frost (filtre de Wiener avec un modèle de bruit multiplicatif) . . .

2. Bruit de diffusion

La diffusion se produit lors de l’interaction entre un rayonnement et les particules ou molécules

de gaz présentes dans l’atmosphère. Celles-ci ont plusieurs effets sur le rayonnement qui leur

est incident : elles dévient une partie de ce rayonnement de sa trajectoire initiale, elles peuvent

en absorber une autre partie et elles diffusent la partie restante. Le niveau de diffusion dépend

de plusieurs facteurs comme la longueur d’onde, la densité de particules et de molécules, et

l’épaisseur de l’atmosphère que le rayonnement doit franchir. Il existe trois types de diffusion :

– Ladiffusion de Rayleighse produit lorsque la taille des particules est inférieure àla longueur

d’onde du rayonnement. Celles-ci peuvent être des particules de poussière, des molécules

d’azote ou d’oxygène. La diffusion de Rayleigh disperse et dévie de façon plus importante

les courtes longueurs d’onde que les grandes. Cette forme dediffusion est prédominante dans

les couches supérieures de l’atmosphère.

108


– On parle dediffusion de Mielorsque les particules sont presque aussi grandes que la longueur

d’onde du rayonnement. Cette diffusion est souvent produite par les aérosols, la poussière,

le pollen, la fumée et les gouttes d’eau. Elle affecte les plus grandes longueurs d’onde et se

produit surtout dans les couches inférieures de l’atmosphère où les particules de cette taille

sont plus abondantes. Ce processus domine quand le ciel est ennuagé.

– Le troisième type de diffusion est ladiffusion non-sélective. Elle se produit lorsque les parti-

cules sont beaucoup plus grosses que la longueur d’onde du rayonnement (les grosses gouttes

d’eau et les grosses particules de poussière). Cette diffusion est appelée « non-sélective » car

toutes les longueurs d’onde sont dispersées.

Les images dégradées par la diffusion atmosphérique peuvent être corrigées en appliquant des

algorithmes basés sur des modèles mathématiques de cette dégradation. Cette correction peut

être améliorée en sélectionnant des zones dans la scène qui ont des caractéristiques connues de

réflectance, comme une surface d’eau claire ou une végétation dense, afin d’étalonner le modèle

utilisé. Le degré de correction obtenu dépend de la sévéritéde la diffusion atmosphérique, du

type d’algorithme utilisé et du niveau de connaissance de laréflectance des cibles sélectionnées.

Le principal effet de diffusion pris en compte est en généralcelui dû aux aérosols. La réduc-

tion de cet effet n’est possible que si l’on connaît le contenu local des aérosols présents le long

du chemin de propagation, ainsi que leur concentration. L’utilisation de données moyennes sur

les aérosols ne revêt que peu de signification. Kopeika et al.ont travaillé sur la restauration

d’images dégradées par l’atmosphère avec des modèles de prédiction pour la turbulence et les

aérosols [Sadot et al., 1995; Yitzhaky et al., 1997]. Ils ontnoté le caractère critique de l’utilisa-

tion d’une seule forme de fonction de transfert de modulation (FTM) pour les aérosols.

D’un autre côté, comme pour les speckles, l’évolution temporelle de la turbulence permet d’ob-

tenir des diffusions différentes sur chaque image d’une séquence acquise. Le moyennage tem-

porel de la séquence permet alors d’éliminer le bruit au détriment d’une augmentation du flou,

comme on peut le remarquer sur les images moyennes correspondant aux séquences n°1, n°3 et

n°4 (Figs. 3.15 et 3.16).

3. Bruit de scintillation

Une onde optique se propageant dans l’atmosphère turbulente subit des fluctuations d’inten-

sité I de varianceσ2I autour d’une moyenne< I > . Ces fluctuations de l’éclairement sont

essentiellement caractérisées par l’indice de scintillation notéβ2 . Cet indice est défini par :

109


β2 =σ2

I

< I >2=< I2 > − < I >2

< I >2. (3.30)

Plusieurs modèles permettent d’estimer l’indice de scintillation, mais certains d’entre eux ont

un domaine de validité très restreint, comme le modèle de Rytov qui est limité au régime des

faibles scintillations (i.e. quandr0 >√λL, où r0 est le paramètre de Fried,λ est la longueur

d’onde d’acquisition etL est la longueur du chemin de propagation) [Beland, 1993]. Enre-

vanche, le modèle développé par Andrews est valable dans tous les régimes de scintillation

[Andrews et al., 1999]. L’indice de scintillation représente un bon indicateur de la force de la

turbulence.

La réduction des effets de scintillation peut être entreprise par intégration spatiale et/ou tempo-

relle, comme c’est le cas concernant les images moyennes desséquences n°5 et n°6 (Fig. 3.16).

4. Conclusion

Tous les bruits décrits ci-dessus sont des effets de l’atmosphère. Chacun d’entre eux apparaît

dans différentes configurations d’acquisition (météorologiques et/ou matérielles). Ils sont géné-

ralement considérés comme indépendants. La variance totale du bruit peut alors s’écrire comme

la somme des variances des différents bruits, pondérées pardes coefficients modélisant l’im-

portance relative de chaque bruit. La connaissance de la variance du bruit global peut intervenir

favorablement pour une meilleure détection de PSF locale.

Ces bruits sont atténués par des effets d’intégration spatiale et temporelle en présence de tur-

bulence. Ce résultat est confirmé par la réduction des bruitsdans les images moyennes des

séquences traitées. L’image moyenne étant utilisée comme première image de référence dans la

méthode de restauration de Fraser et Lambert, il nous paraîtinutile de débruiter les séquences

en pré-traitement, ce qui conduirait à des pertes d’informations notamment sur la netteté et la

précision de localisation des contours.

3.2.11 Conclusion sur les méthodes de restauration testées

Les résultats des méthodes classiques sur une seule image dégradée par la turbulence montrent

la supériorité du filtre de Wiener, suivi de près par la régularisation par l’opérateur Laplacien.

De plus, la méthode de restauration de séquence de Fraser et Lambert a été testée et donne

d’excellents résultats par rapport aux méthodes classiques sur une seule image, réduisant consi-

dérablement le bruit dû à l’atmosphère et augmentant les contrastes.

110


Cette méthode peut se résumer par un filtre de Wiener local et temporel. La régularisation clas-

sique par le Laplacien donnant de bons résultats, nous nous sommes tout naturellement penchés

sur son adaptation spatio-temporelle inspirée par les travaux de Fraser et Lambert. Ceci fait

l’objet de la section suivante.

3.3 Généralisation de la méthode de Fraser et Lambert

Notre idée est d’adapter l’algorithme de traitement de séquence de Fraser et Lambert en rem-

plaçant le filtre de Wiener local par une régularisation locale par le Laplacien. Désormais, nous

désignerons la méthode de restauration de séquence de Fraser et Lambert par « Wiener local »

et son adaptation à la régularisation par le Laplacien par « Laplacien local ».

3.3.1 Algorithme général

Le schéma de la figure 3.21 reprend l’algorithme général du traitement de séquence proposé

par Fraser et Lambert. La restauration locale d’une image dela séquence consiste pour chaque

zone isoplanétique à détecter la PSF locale grâce au filtre par régions d’intérêt développé par

Fraser et Lambert, puis à appliquer une méthode de restauration utilisant cette PSF locale. La

régularisation par le Laplacien permettant à la fois de diminuer le bruit et de préserver les

contours, cette méthode nous paraît intéressante à adapterlocalement.

mis

e à

jour

restauration locale

moyenne

min

imis

atio

n

mis

e à

jour

moyenneséquence d’origineS image de référenceI

chaque image dégradéeSi

une image localement restauréeS′

i

séquence restauréeS′ image résultatI ′

Figure 3.21– Schéma général de traitement d’une séquence, issu des travaux de Fraser et Lambert.

3.3.2 Laplacien local et analyse des résultats

L’algorithme 3.2 reprend le processus de restauration du Laplacien local. La seule différence

avec l’algorithme 3.1 réside en l’application d’une méthode différente de restauration locale, à

savoir une régularisation par le Laplacien remplaçant le filtre de Wiener.

111


Algorithme 3.2 : Algorithme du Laplacien local.Données: Séquence dégradéeSeq, Taille des fenêtres utiliséesws, Critère d’arrêtǫ

Immoy = moyenne temporelle de la séquenceSeqrépéter

// 1 - Calcul de l’image de référenceImrefImref = Immoy ;// 2 - Restauration de chaque image de la séquencepour chaque image im de la séquencefaire

pour chaque zonezim de taillews× ws de l’image imfaire– estimation de la PSF locale entrezim et zref , la zone correspondante deImref– restauration locale par une régularisation par le Laplacien

finpourfinpour// 3 - Calcul de l’image moyenne de la nouvelle séquenceImmoy = moyenne temporelle de la nouvelle séquence

jusqu’à |Imref − Immoy| < ǫ ;

Résultat : Image restauréeImmoy

Les résultats du Laplacien local sur les séquences réelles précédemment utilisées sont montrés

sur la figure 3.22. Ils sont certes moins contrastés que les résultats du Wiener local, mais ils sont

moins bruités. De plus, la régularité des contours semble respectée.



Figure 3.22– Résultats du Laplacien local sur les séquences réelles.

112


Nous allons confirmer ces analyses visuelles par l’étude de zones uniformes et de zones de

contours comme celles utilisées pour l’analyse des résultats du Wiener local. D’après les va-

leurs de variances correspondant à la séquence n°5 et résumées dans la table 3.4, le Laplacien

local permet de diminuer fortement le bruit dans les zones uniformes.


Contrasteσ2


Image moyenne 11.6 26 94 84.1 38 244 0.81Wiener local 15.3 0 97 91.4 28 255 1.00Laplacien local 11.1 34 76 64.0 52 201 0.71

Table 3.4 – Laplacien local : valeurs des variances et des niveaux de gris minimum (min) etmaximum (Max) concernant la séquence n°5.σ2

cn représente la variance moyenne des 3 carrésnoirs etσ2

cb celle des 3 carrés blancs. Une estimation du contraste est donnée pour une meilleurecomparaison.

Concernant les zones de contours, la figure 3.23 nous montre que la transition moyenne du

Laplacien local est plus étalée que celle du Wiener local. Cependant, la corrélation avec la tran-

sition idéale (Fig. 3.24) est beaucoup plus importante pourle Laplacien local que pour le Wiener

local. Ceci peut s’expliquer par le fait que le résultat du Wiener local étant plus contrasté, un

effet d’oscillation est visible avant et après chaque transition.

0 2 4 6 8 10 12 140

50

100

150

200

250

Pixels

Niv

eaux

de

gris

tmoy_m

tmoy_LL

tmoy_WL

Figure 3.23– Transitions moyennes entre deux zones uniformes noire et blanche sur les résultats de res-tauration correspondant à la séquence n°5 (tmoy_m : transition moyenne de l’image moyenne,tmoy_LL :transition moyenne du résultat du Laplacien local ettmoy_WL : transition moyenne du résultat du Wienerlocal).

113


1 3 5 7 9 111000

1200

1400

1600

1800

2000

2200

2400

Pixels

Pic

s de

cor

réla

tion

avec

tid

tmoy_LL

tmoy_m

tmoy_WL

Figure 3.24– Pics de corrélation entre les transitions moyennes des différents résultats de restaurationcorrespondant à la séquence n°5 et la transition idéale (mêmes notations que sur la figure précédente).

Les trois résultats comparés (l’image moyenne, le résultatdu Wiener local et le résultat du

Laplacien local) étant beaucoup moins bruités que la séquence d’origine, on peut déduire une

fonction de transfert de modulation (FTM) à partir de chaquetransition moyenne : il suffit de

calculer le module de la transformée de Fourier de la dérivéede la transition moyenne, puis de

normaliser le résultat entre 0 et 1. La courbe de FTM ainsi obtenue fournit une représentation à

la fois graphique et quantitative des qualités de contrasteet de netteté du résultat correspondant.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Fréquence

FT

M

tmoy_WL

tmoy_LL

tmoy_m

Figure 3.25– Courbes de FTMs des transitions moyennes des différents résultats de restauration corres-pondant à la séquence n°5 (mêmes notations que sur les figuresprécédentes).

114


Les FTMs représentées sur la figure 3.25 confirment que le Wiener local donne les contours les

plus nets même s’ils sont un peu bruités.

Conclusion : Le Wiener local donne un résultat contrasté et des contours nets, ce qui constitue

en général une bonne image pour la visualisation, alors que le Laplacien local donne des zones

uniformes très peu bruitées et des contours assez proches dela transition idéale (sans oscillation

autour), ce qui est un résultat intéressant pour une application en robotique. Nous proposons

de fusionner ces deux résultats afin d’obtenir une image qui soit utilisable à la fois pour la

visualisation et une application postérieure.

3.4 Un nouvel algorithme hybride de restauration

Ce nouvel algorithme hybride de restauration va moduler soneffet sur l’image dégradée brute

selon la distance des pixels par rapport au point de contour le plus proche : près des contours,

on utilisera principalement le résultat du Wiener local, alors que dans les zones uniformes, on

préférera le résultat du Laplacien local. L’algorithme entier est décrit un peu plus loin (Alg. 3.3).

3.4.1 Image de segmentation

Le filtre de Canny-Deriche [Canny, 1986; Deriche, 1987] est utilisé pour limiter les fausses

détections de contours. Les trois images disponibles sont segmentées : l’image moyenne de la

séquence brute, l’image résultat du Wiener local sur la séquence et l’image résultat du Lapla-

cien local sur la séquence. Sur l’image de segmentation finale fusionnée, un point de contour

est gardé seulement s’il est présent sur au moins deux des trois images de segmentation.

Les images utilisées pour tester ce nouvel algorithme sont récapitulées sur la figure 3.26 : nous

reprenons les résultats de la séquence n°5 et nous utilisonsles résultats de restauration d’une

nouvelle séquence n°7, composée de 100 images de taille128 × 128 pixels et aussi dégradée

par de l’isoplanétisme local. Notons que la taille des images relatives à la séquence n°7 est mul-

tipliée par 2 uniquement pour l’affichage.

Le filtre de Canny-Deriche peut s’écrire de la façon suivante[Laligant et al., 2005] :

fj(x) = −s2j x e

−sj |x| , (3.31)

où sj est un facteur d’échelle lié à l’écart-typeσc de la réponse impulsionnelle du filtre passe-

bas (Fig. 3.27) qui a été utilisé pour rendre flou le contour étudié.

115


Séquence N°5 Séquence N°7

Cas

λ = 860 nm (actif) λ = 860 nm (passif)

Un

eim

age

dég

rad

éeIm

age

moy

enn

eR

ésu

ltatd

uW

ien

erlo

cal

Rés

ulta

tdu

Lap

laci

enlo

cal

Figure 3.26 – Résultats utilisés pour tester ce nouvel algorithme. Séquence n°5 : images256 × 256,séquence n°7 : images128 × 128 (la taille est doublée seulement pour l’affichage).

Parmi les trois images disponibles (la moyenne temporelle de la séquence, le résultat du Wiener

local et le résultat du Laplacien local), la moyenne de la séquence est celle qui contient des

informations sur le flou local dû à la moyenne temporelle des PSFs locales détectées. L’image

moyenne peut donc être segmentée localement en appliquant un filtre de Canny-Deriche local.

116


Le paramètresj varie en fonction de l’écart-typeσc de la moyenne temporelle des PSFs lo-

cales, dont la forme générale peut être représentée en 1D parla réponse impulsionnelle suivante

(Fig. 3.27) :

h(u) =sc

2e−sc|u| , (3.32)

où sc est un facteur d’échelle lié au contour flou.σc est calculé à partir de chaque moyenne

temporelle des PSFs locales, etsc est dérivé deσc :

σ2c =

∫ +∞−∞ u2 h(u) du = 2

∫ +∞0

u2 h(u) du = sc

∫ +∞0

u2 e−scu du

σ2c = sc

limn→+∞

[

−u e−scu

sc

]n

0︸︷︷︸

A

+ 2sc

∫ +∞

0

u e−scu du

︸︷︷︸

B

A = 0 et B = limn→+∞

[

−u2 e−scu

sc

]n

0︸︷︷︸

C

+ 1sc

∫ +∞

0

e−scu du

︸︷︷︸

D

C = 0 et D = 1sc

⇒ B = 1s2c

σ2c = 2

s2c

⇒ σc =

√2

sc

(3.33)

sj est lié àsc par la relation suivante [Laligant et al., 2005] pour optimiser le critère de localisa-

tion avec le filtre de Canny-Deriche :

sj =sc

3. (3.34)

Figure 3.27– Forme générale de la réponse impulsionnelleh(u).

Pour les deux autres images,sj est fixé de telle sorte queσc = 1, ce qui est en général un bon

compromis entre les critères de détection et de localisation.

Le seuillage est réalisé parhystérésis. Le seuil basthrl est défini par0.4 × thrh où thrh re-

présente le seuil haut. Différents seuils hauts sont appliqués aux résultats du filtre de Canny-

Deriche. La courbe du pourcentage de points de contour détectés en fonction des seuils hauts a

une forme en L. L’utilisation d’un seuil haut trop faible donne des résultats avec trop de faux

117


contours, alors qu’un seuil haut trop grand ne garde que les contours forts. Les images de seg-

mentation les plus intéressantes sont celles dont les points sur la courbe en L sont les plus près

de l’origine. Le seuil hautthrh est alors choisi automatiquement afin de minimiser la distance

Euclidienne entre la courbe en L et l’origine (Fig. 3.28).

0 0.05 0.10 0.15 0.20 0.251

2

3

4

5

6

7

8

9Image moyenne (séquence n°5)

Seuil haut

Poi

nts

deco

ntou

r(e

n%

)

0 0.05 0.10 0.15 0.20 0.251

2

3

4

5

6

7

8

9Image moyenne (séquence n°7)

Seuil haut

Poi

nts

deco

ntou

r(e

n%

)(a) (b)

Figure 3.28– Choix automatique des seuils hauts pour les images moyennes. (a) Séquence n°5. (b) Sé-quence n°7.

Les faux contours détectés avec le filtre de Canny-Deriche local (Fig. 3.29(a)) sont éliminés dans

l’image finale de segmentation (Fig. 3.29(b)) grâce à la fusion avec les segmentations des résul-

tats du Wiener local et du Laplacien local. De plus, les contours détectés trop petits pour être

significatifs sont éliminés. Pour chaque séquence, l’imagede segmentation finale (Figs. 3.29(b)

et 3.29(c)) contient alors beaucoup moins de bruit tout en gardant l’information importante.

(a) (b) (c)

Figure 3.29– (a) Segmentation de l’image moyenne de la séquence n°5 obtenue avec un filtre de Canny-Deriche local prenant en compte les PSFs moyennes locales. (b) Image de segmentation finale pour laséquence n°5. (c) Image de segmentation finale pour la séquence n°7.

118


3.4.2 Algorithme de Fusion du Wiener et du Laplacien (FWL)

Dans ce nouvel algorithme de fusion du Wiener et du Laplacien, le résultat de restauration est

adapté selon la distance entre le pixel courant et le point decontour le plus proche : le résultat

du Wiener local dominera près des contours alors que dans leszones uniformes, le résultat du

Laplacien local sera mieux adapté. Entre ces deux cas, certains pixels peuvent être considérés

comme appartenant à la fois à une aire de contours et une zone uniforme. Une gradation est donc

utilisée pour passer du résultat du Wiener local au résultatdu Laplacien local, ce qui permet une

atténuation simultanée de la petite différence de niveaux de gris entre ces deux résultats. Des

coefficients de pondération (α1 et α2) sont ajoutés et ils varient selon la proximité du pixel

courant par rapport au point de contour le plus proche. Pour chaque pixel, la formule suivante

et utilisée :

∀i, j, FWL(i, j) = α1(c) RWL(i, j) + α2(c) RLL(i, j) , (3.35)

oùFWLest le résultat de notre algorithme,RWLest le résultat du Wiener local,RLLest le résul-

tat du Laplacien local etc est la carte des distances obtenue à partir de l’image de segmentation

calculée précédemment, et représentant la distance entre chaque pixel et le point de contour le

plus proche.α1 etα2 sont définies selon les trois conditions suivantes :

α1(c) + α2(c) = 1

0 ≤ α1(c) ≤ 1

0 ≤ α2(c) ≤ 1

. (3.36)

Plus le pixel courant est proche d’un point de contour, plusα1 est haut et plusα2 est bas. La

gradation (Fig. 3.31) est réalisée sur plusieurs pixels à partir du centre de la transition moyenne

du résultat du Wiener local, selon le nombre de pixels nécessaires à cette transition moyenne

(Fig. 3.30). Quand le nombre de pixels de la transition est pair, la gradation est réalisée à partir

des deux pixels centraux. Les résultats de l’algorithme du FWL sont montrés sur la figure 3.32.

N pixels

Figure 3.30– Exemple de contour (transition entre deux zones uniformes).

119


Algorithme 3.3 : Algorithme de Fusion du Wiener et du Laplacien (FWL).Données: Image moyenneImmoy, Résultat du Wiener localImwl, Résultat du Laplacien

local Imll

// 1 - Calcul de l’image de segmentationImseg– segmentation locale deImmoy + seuillage par hystérésis– segmentation globale deImwl + seuillage par hystérésis– segmentation globale deImll + seuillage par hystérésis– fusion des 3 images de segmentation avec le principe du 2/3

// 2 - Calcul de l’image restauréeImres– calcul de la carte des distancesc à partir deImseg– pour chaque ligne i de Imresfaire

pour chaquecolonne j de Imresfaire– calcul deα1 etα2 en fonction dec(i, j)– Imres(i, j) = α1Imwl(i, j) + α2Imll(i, j)

finprchfinprch

Résultat : Image restauréeImres

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

......

...

.........

2 3 ... ... N ... ... 3 2 11

...

.........

... ...

α1(c) = 0 α1(c) = 0α1(c) = 0.5α1(c) = 0.5 α1(c) = 1α2(c) = 0 α2(c) = 0.5α2(c) = 0.5α2(c) = 1 α2(c) = 1

Wiener localLaplacien local Laplacien local

Figure 3.31– Gradation dans le cas d’un nombre impair de pixels.

(a) (b)

Figure 3.32– Résultats de l’algorithme FWL. (a) Séquence n°5. (b) Séquence n°7. Les images résultatssont à la fois moins bruitées, moins floues et plus contrastées.

120


3.4.3 Analyse des résultats du FWL

En utilisant les mêmes critères que précédemment, l’analyse des figures 3.33 et 3.34 montre

la qualité des nouveaux résultats obtenus. Les variances sont faibles dans les zones uniformes

(Tab. 3.5). Les transitions moyennes des résultats du FWL fournissent des FTMs presque aussi

bonnes que celles obtenues avec le Wiener local (Figs. 3.33(a) et 3.33(b)). Les pics de corréla-

tion avec la transition idéale sont largement améliorés parrapport aux résultats du Wiener local

(Figs. 3.33(c) et 3.33(d)), ce qui se traduit sur nos images résultats par l’annulation des oscilla-

tions autour des contours pour la séquence n°5 et beaucoup mois de bruit en ce qui concerne la

séquence n°7.

ImageSéquence N°5 Séquence N°7

Carrés noirs Carrés blancs Zones grises Zones blanchesImage moyenne 11.6 84.1 46.4 72.3Résultat du Wiener local 15.3 91.4 54.9 96.6Résultat du Laplacien local 11.1 64.0 38.1 58.7Résultat du FWL 12.2 65.3 38.4 59.2

Table 3.5 – FWL : variances moyennes dans les zones uniformessur les résultats de restaurationdes séquences n°5 et n°7.

En outre, des coupes horizontales ont été réalisées le long des barres verticales et des ronds

blancs pour la séquence n°5 (Figs. 3.34(a) et 3.34(b)), et sur les lettres les plus grandes pour la

séquence n°7 (Fig. 3.34(c)). L’algorithme FWL donne de bonsrésultats en moyenne : les formes

géométriques (barres verticales, ronds ou lettres) sont mieux détectées que sur les résultats du

Wiener local et du Laplacien local. La différence de niveauxde gris entre les formes géomé-

triques et le fond de l’objet observé est plus importante. Deplus, les formes géométriques sont

détectées sur un plus grand nombre de pixels, là où ils étaient essentiellement détectés comme

des pics sur les résultats du Wiener local et du Laplacien local. On peut aussi remarquer que

sur les coupes de la figure 3.34(a), les barres verticales à droite sont mieux séparées que sur les

résultats précédents.

L’inconvénient principal de cette méthode de restaurationest la dépendance du résultat obtenu

vis-à-vis de l’image de segmentation. Par exemple, quand les ronds blancs ne sont pas détectés

sur l’image de segmentation, ils sont régularisés dans le résultat du FWL et donc moins bien

reconnus sur les coupes horizontales (Fig. 3.34(b)). De la même façon, les coupes sur les lettres

(Fig. 3.34(c)) ne montrent pas beaucoup d’amélioration parrapport aux résultats antérieurs.

Ceci vient de l’utilisation d’une image de segmentation de qualité médiocre, obtenue à partir

d’une séquence bruitée et texturée.

121


1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

FT

M

Fréquence

Wiener local

Laplacien local

FWL

1 2 3 4 5 6 7 80

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

FT

M

Fréquence

Wiener local

Laplacien local

FWL

(a) (b)

35 37 39 41 43 451000

1200

1400

1600

1800

2000

2200

2400

Pic

sde

corr

élat

ion

avec

t id

Pixels

Wiener local

Laplacien local

FWL

36 38 40 42 441300

1400

1500

1600

1700

1800

1900

2000

2100

Pic

sde

corr

élat

ion

avec

t id

Pixels

Wiener local

Laplacien local

FWL

(c) (d)

Figure 3.33– Analyse des résultats de restauration de l’algorithme FWL. (a)-(b) FTMs des transitionsmoyennes pour la séquence n°5 et la séquence n°7, respectivement. (c)-(d) Pics de corrélation des tran-sitions moyennes avec la transition idéale pour la séquencen°5 et la séquence n°7, respectivement.

122


0 20 40 60 80 100 12020

40

60

80

100

120

140

160

180

200

Pixels

Niv

eaux

degr

is

Wiener local

Laplacien localFWL

0 20 40 60 80 100 12040

45

50

55

60

65

70

75

80

85

Pixels

Niv

eaux

degr

is

Wiener local

Laplacien localFWL

(a) (b)

0 10 20 30 40 50 60 70 8040

60

80

100

120

140

160

180

200

220

240

Pixels

Niv

eaux

degr

is

Wiener local

Laplacien local

FWL

(c)

Figure 3.34– Coupes horizontales sur les résultats du FWL. (a) Sur la séquence n°5 le long des barresverticales : les barres à droite sont mieux détectées sur le résultat de l’algorithme FWL. (b) Sur la sé-quence n°5 le long des ronds blancs : les ronds sont détectés sur un plus grand nombre de pixels sur lerésultat du FWL. (c) Sur la séquence n°7 sur les lettres les plus grandes : l’amélioration apportée parl’algorithme FWL est faible à cause de la médiocre qualité del’image de segmentation.

3.4.4 Conclusion sur l’algorithme FWL

Nous avons présenté un algorithme adaptatif de restauration de séquences perturbées par des

distortions locales dues à la turbulence atmosphérique. Cet algorithme hybride est basé sur un

filtre de Wiener local et une régularisation locale par le Laplacien. Les résultats obtenus af-

fichent une certaine dépendance par rapport à l’image de segmentation trouvée avec le filtre de

Canny-Deriche. Nous avons proposé une méthode pour choisirautomatiquement le paramètre

global de Deriche, ainsi que le seuil haut. Pour la segmentation de l’image moyenne de la sé-

quence brute, qui est équivalente à une image longue pose, unparamètre local de Deriche est

lié à l’écart-type de la moyenne temporelle des PSFs détectées localement.

123


Les résultats de restauration satisfont simultanément lescritères de netteté autour des contours et

de suppression du bruit dans les zones uniformes, ce qui donne en pratique une image adaptée

à la fois pour la visualisation et une application numériquepostérieure. De plus, les formes

géométriques sont, dans la plupart des cas, moins bruitées et plus facilement détectées. Des

améliorations pourraient être faites au niveau du calcul del’image de segmentation, notamment

en prenant en compte le bruit et les textures de la scène visualisée. Ceci pourrait être réalisé par

exemple en traitant les textures pendant les fermetures de contours [Milgram and Cocquerez,

1986; Philipp and Zamperoni, 1996], ou alors en séparant lestextures avant la segmentation

[Gilles, 2006; Aujol et al., 2006].

3.5 Temps de calcul

Les différentes méthodes de restauration ont été implémentées avec le logiciel MATLAB. Le

traitement pour obtenir le résultat de l’algorithme FWL ne prend que quelques minutes une fois

que les résultats du Wiener local et du Laplacien local sont connus. L’implémentation itérative

de la régularisation par l’opérateur Laplacien est responsable de la plus grande partie du temps

de calcul global. La table 3.6 récapitule les temps de calculs observés pour chaque algorithme

de restauration.

Calcul sur une unique image 256× 256 Temps moyen observéEstimation d’une PSF 1 sFiltre inverse 3 sRégularisation de Tikhonov 3 sRégularisation par le Laplacien 2 min 30Filtre de Wiener 2 s

Calcul sur une séquence de 100 images 256× 256 Temps moyen observé(Isoplanétisme local, zones 13× 13)

Méthode de restauration de Fraser et Lambert 8 min(Wiener local)Laplacien local 50 minAlgorithme FWL global 53 min

Table 3.6 – Temps de calcul moyens observés avec un processeur de 1.66 GHz.

124


3.6 Conclusion sur la restauration

Après avoir décrit différentes méthodes existantes pour larestauration de séquences d’images

dégradées par la turbulence atmosphériques, nous avons testé quelques méthodes classiques sur

des images que nous avons simulées, ainsi que sur des images réelles. Les meilleurs résultats

sont obtenus par le filtre de Wiener et la régularisation par le Laplacien.

Nous avons ensuite détaillé et testé la méthode de restauration de Fraser et Lambert (le Wie-

ner local) sur des séquences simulées, puis sur des séquences réelles. Les images résultats sont

moins bruitées et moins déformées grâce aux informations redondantes et complémentaires ap-

portées par chaque image de la séquence. Elles sont aussi plus contrastées, ce qui est un avantage

pour l’observation lointaine d’une scène.

Nous avons alors adapté cette méthode de traitement spatio-temporel à la régularisation par le

Laplacien. Les résultats obtenus sont certes moins contrastés, mais aussi moins bruités. De plus,

les contours sont réguliers et sans oscillation autour. Lesrésultats constituent de bonnes images

pour une application numérique postérieure.

L’idée de notre algorithme de restauration est de fusionnerces deux résultats (celui du Wiener

local et celui du Laplacien local) afin d’obtenir une image qui soit utilisable à la fois pour la

visualisation et un post-traitement numérique. La fusion se fait en fonction de la distance du

pixel courant par rapport aux contours : on privilégie le résultat du Wiener local sur et autour

des contours, et le résultat du Laplacien local dans les zones uniformes. La qualité des résultats

obtenus montre l’efficacité de notre algorithme hybride. Cette efficacité est cependant dépen-

dante de l’image de segmentation calculée. D’autres traitements pourraient être envisagés afin

d’améliorer cette image de segmentation, notamment la prise en compte des textures et du bruit.

125

Conclusion générale

Au cours de cette thèse, nous avons étudié les effets de la turbulence atmosphérique sur les ac-

quisitions d’images en vision horizontale lointaine.

Dans le premier chapitre, nous avons commencé par détaillerles systèmes d’acquisition utilisés

par les militaires dans les domaines visible et infrarouge.Nous avons ensuite décrit les modèles

physiques de la turbulence atmosphérique, notamment la théorie de Kolmogorov. Enfin, nous

nous sommes intéressés aux perturbations de l’atmosphère sur la propagation des ondes et à

leur modélisation mathématique.

Le deuxième chapitre est dédié à la simulation d’images et deséquences dégradées par la turbu-

lence atmosphérique. L’étude physique de la turbulence réalisée dans le chapitre 1 nous a permis

d’élaborer des algorithmes de simulation des effets de la turbulence sur les images pour chaque

type de turbulence : l’isoplanétisme total, l’isoplanétisme local et l’anisoplanétisme. Nous avons

adapté certains algorithmes de simulation existants. Ces algorithmes de simulation sont exposés

et illustrés par plusieurs résultats. Nous nous sommes assurés de la concordance de nos résultats

avec le modèle de Kolmogorov et nous avons observé leurs limitations pratiques par rapport

à ce modèle. Le but de ces simulations n’était pas d’obtenir des images reflétant parfaitement

la réalité, mais plutôt des images assez proches de ce qui estgénéralement observé en vision

horizontale lointaine afin de pouvoir travailler sur la restauration de telles images.

Dans le chapitre 3, nous avons dans un premier temps mené une étude bibliographique sur la

restauration de séquences d’images et sur la diminution deseffets de la turbulence. Ensuite, plu-

sieurs méthodes classiques de restauration ont été testéessur des images simulées et réelles. Les

résultats ne sont satisfaisants que pour une faible perturbation. L’étude bibliographique nous

a orienté vers une approche spatio-temporelle. Une telle méthode de traitement de séquence a

ensuite été testée sur des séquences simulées et réelles. Les résultats de restauration sont alors

nettement meilleurs. Ils satisfont les critères de qualitérequis pour la visualisation. En revanche,

ils ne satisfont pas ceux nécessaires à un traitement numérique postérieur. L’algorithme de res-

tauration spatio-temporelle a alors été adapté à une méthode de régularisation locale, afin que

127

les résultats obtenus soient satisfaisants pour une post-application numérique. L’approche finale

de restauration proposée consiste à fusionner les deux résultats de traitement de séquence, afin

d’obtenir une image restaurée utilisable à la fois pour la visualisation et une application numé-

rique postérieure. Nos résultats montrent une nette amélioration au niveau de la résolution et du

débruitage. Le seul inconvénient est une certaine dépendance par rapport à l’image de segmen-

tation utilisée pour réaliser la fusion.

Les principales contributions de ces travaux sont :

– l’adaptation d’un algorithme de simulation d’images dégradées à chaque cas de turbulence,

– l’adaptation d’un algorithme de simulation de séquences dégradées à chaque cas de turbu-

lence,

– la généralisation de la méthode de restauration de Fraser et Lambert et son application à la

régularisation par le Laplacien,

– un nouvel algorithme hybride de restauration de séquence satisfaisant différents critères de

qualité.

En perspectives, nous envisageons d’améliorer l’image de segmentation utilisée dans notre al-

gorithme de fusion. En effet, la prise en compte des textureset du bruit global permettrait de

diminuer la détection de faux contours avec le filtre de Canny-Deriche. Nous avons d’ailleurs

souligné l’existence de certains travaux sur la séparationdes structures, des textures et du bruit

dans une image.

Enfin, l’utilisation d’un algorithme de fermeture de contours devrait permettre une certaine

amélioration aussi bien pour la visualisation que pour un traitement numérique.

128

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Novembre 2005

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AbstractResearch activities presented in this thesis deal with a study of atmospheric turbulence in hori-

zontal observation at a long distance and restoration of degraded video sequences in the visible

and infrared domains. Atmospheric turbulence is a well-known phenomena, particularly by as-

tronomers in the case of vertical propagation. Concerning ground-to-ground propagation, turbu-

lence is easily observable above an over-heated road. This turbulence is all the more awkward

as it strongly degrades image acquisitions on long distances. Soldiers are then often confronted

with this kind of degradation during their monitoring operations.

In the first part, military acquisition systems in the visible and infrared domains are detailed and

the physical properties of turbulence and their effects in imagery are recalled. In the second part,

several algorithms of simulation are exposed, enabling us to generate short exposure degraded

images and video sequences, according to the desired type ofturbulence. The last part concerns

restoration. Some classical restoration methods are tested on simulated images as well as on

real ones. The best restoration results are satisfactory only for weak turbulence. A space-time

method of sequence processing is then tested on simulated sequences and on real ones. The

obtained results are largely better. They satisfy the quality standards necessary for visualization.

On the other hand, they do not satisfy those necessary for a posterior digital application. This

restoration method is then adapted to a regularization, so that the obtained results are satisfac-

tory for a post-application. The final suggested restoration approach consists in amalgamating

the two last restoration results in order to obtain a restored image usable at the same time for

visualization and a digital post-application. Our resultsshow a clear improvement on resolution

and denoising. The only disadvantage is a certain dependence on the segmentation image used

to carry out fusion.

Keywords : Atmospheric turbulence, horizontal propagation, local degradations, turbulence

effects simulation, space-time restoration.

RésuméLes travaux présentés dans cette thèse concernent l’étude de la turbulence atmosphérique en

vision horizontale lointaine et la restauration de séquences d’images dégradées par cette turbu-

lence dans les domaines visible et infrarouge. La turbulence atmosphérique est un phénomène

bien connu, notamment par les astronomes dans le cas de la propagation verticale. En ce qui

concerne la propagation horizontale au sol, elle est facilement observable au-dessus d’une route

surchauffée. Cette turbulence est d’autant plus gênante qu’elle dégrade fortement les acquisi-

tions d’images sur de longues distances. Les militaires sont donc souvent confrontés à ce type

de dégradation lors de leurs opérations de surveillance.

Après avoir détaillé les systèmes d’acquisition militaires dans le visible et l’infrarouge, les

propriétés physiques de la turbulence sont rappelées, ainsi que leurs effets en imagerie. Plu-

sieurs algorithmes de simulation sont ensuite exposés, nous permettant de générer des images

courte pose dégradées ainsi que des séquences dégradées, selon le type de turbulence sou-

haité. Quelques méthodes classiques de restauration sont testées sur des images simulées et

des images réelles. Les meilleurs résultats de restauration ne sont satisfaisants que pour une

faible perturbation. Une méthode spatio-temporelle de traitement de séquence est ensuite testée

sur des séquences simulées ainsi que sur des séquences réelles. Les résultats sont alors nette-

ment meilleurs. Ils satisfont les critères de qualité requis pour la visualisation. En revanche,

ils ne satisfont pas ceux requis pour une application numérique postérieure. Cette méthode de

restauration est alors adaptée à une régularisation, afin que les résultats obtenus soient satisfai-

sants pour une post-application. L’approche finale de restauration proposée consiste à fusionner

les deux résultats de traitement de séquence, afin d’obtenirune image restaurée utilisable à la

fois pour la visualisation et une post-application numérique. Nos résultats montrent une nette

amélioration au niveau de la résolution et du débruitage. Leseul inconvénient est une certaine

dépendance par rapport à l’image de segmentation utilisée pour réaliser la fusion.

Mots-Clefs : Turbulence atmosphérique, propagation horizontale, dégradations locales, simu-

lation des effets de la turbulence, restauration spatio-temporelle.

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