Associação de resistores emedidas elétricas

1. Associação de resistoresNas decorações natalinas, por exemplo, é co-

mum encontrarmos cordões de pequenas lâmpadasinterligadas:

Cada lâmpada é um resistor, e seu conjunto in-terligado é um caso de associação de resistores.

Em circuitos, como os de receptores de rádio,também podemos encontrar resistores associados.

Como veremos a seguir, existem três tipos de as-sociação de resistores: em série, em paralelo e mista.Vamos concluir que o exemplo das lâmpadas decora-tivas apresentado acima é um caso de associação deresistores em série.

Associação em sériePodemos conceituar a associação de resistores em

série do seguinte modo:

Dois ou mais resistores estão associados em sériequando são interligados de modo a constituir um úni-co trajeto condutor, isto é, sem bifurcações. Assim, seeles forem percorridos por corrente elétrica, esta terá amesma intensidade em todos eles (continuidade dacorrente elétrica).

A figura a seguir representa três resistores, de re-sistências RI' ~ e R3, associados em série, sendo A eB os terminais da associação. Um gerador estabeleceuma diferença de potencial U entre esses terminais eos resistores são percorridos por uma corrente elétricaque tem a mesma intensidade i em todos eles.

u

Al~" -~e"""""-~ffi. """"""'8)

Esquematicamente, essa associação pode ser re-presentada assim:

A + ...l.B,, u, U, u3

,:. ..:u ,,

:. )~

Observe que UI' Uz e U3 são as diferenças de po-tencial nos resistores de resistências R!, ~ e R3, res-pectivamente. Como U significa a energia que cadacoulomb de carga entrega à associação, quando a per-corre de um terminal ao outro, podemos escrever:

U=UI +UZ+U3

em que, pela Primeira Lei de Ohm, U I = RI i, Uz = ~ ie U3 = R3 i.

Então:U = RI i + ~ i + R3 i (I)

Imagine, agora, que os três resistores da associa-ção dada fossem substituídos por um único resistor eque, submetendo-se esse resistor à mesma tensão U,nele fosse estabelecida a mesma corrente de intensida-de ida associação. A resistência elétrica desse resistoré a resistência equivalente (Req) à da associação ou àresistência equivalente entre os pontos A e B.

A+...l. Req

~B, #NNNM, , ---, u ,~II( )~

"'

Vamos ver, agora, como se calcula a resistênciaequivalente à de uma associação em série.

Para a resistência equivalente, temos:U=R i (II)eq

Substituindo (II) em (I):

Req i = RI i + ~ i + R3 i

Req = RI + R2 + R3Observe que a resistência equivalente é igual à soma

das resistências dos resistores associados em série.Generalizando, para uma quantidade qualquer (n)

de resistores em série, temos:i R,A+ ••.•

,,, u,: ...,:01(

i R.-. n _. .. ;---vwwv----; B, ,: U

n::... ...:,

J-:

Nota:• Se tivermos n resistores de mesma resistência R, em sé-

rie, a Req será, evidentemente:

I Req=nR IAssociação em paraLeLo

Imagine uma pessoa que more em uma cidadeonde a tensão da rede elétrica seja de 220 V Sempreque ela resolver adquirir um eletrodoméstico para serligado à rede elétrica de sua casa, exigirá que ele te-nha sido fabricado para se submeter a 220 V

A figura a seguir representa dois fios, Fie F2' darede elétrica da casa dessa pessoa, com duas lâmpadase um ferro elétrico ligados neles.

Observe que tanto as lâmpadas quanto o ferro es-tão submetidos à mesma ddp de 220 V

A situação ilustrada é uma associação de resisto-res em paralelo.

Podemos dizer, então, que:

Dorsou mais resistores estão associados em parale-lo quando são interligados de tal maneira que fiquemtodos submetidos à mesma diferença de potencial.

Vamos agora analisar com mais detalhes essenovo tipo de associação, que também pode acontecerem outros circuitos, como em um receptor de rádio.

A figura a seguir representa três resistores, de re-sistências RI' ~ e R3' associados em paralelo, sendoA e B os terminais da associação, Um gerador estabe-lece uma ddp U entre esses terminais, que é igual paratodos os resistores. Com isso, a corrente no geradortem intensidade i.

+~ )A r. 1

----

Esquematicamente, essa associação pode ser re-presentada assim:

i, R,"""""+-

+ i i, R,A, - ~ B, i3 R3

,, ~ ,, ,, ,;11( u •.:

Observe que ii' i2 e i3 são as intensidades das cor-rentes nos resistores de resistências Ri' R2 e R3, res-pectivamente. Pela continuidade da corrente elétrica,a intensidade i da corrente total é igual à soma dasintensidades das correntes nos três resistores:

i = il + i2 + i3I P· . L' d Oh . V· Uem que, pe a nmelra el e m, 11= R' 12= R

,_V I ~~

e 13 -R'3

Então:i=lL+lL+lL (I)

RI ~ R3Imagine, agora, que os três resistores da associa-

ção fossem substituídos por um único resistor e que,submetendo esse resistor à mesma tensão U, se es-

tabelecesse nele uma corrente de intensidade i, igualà intensidade da corrente total da associação. Nova-mente, a resistência elétrica desse resistor é a resis-tência equivalente (Req) à da associação ou entre ospontos A e B.

+ i R--.. eqA. NWVv .B,,u ,

:. ..:Vamos ver, então, como se calcula a resistência

equivalente à de uma associação em paralelo.Para a resistência equivalente, temos:

i= -.!L- (lI)Req

Substituindo (lI) em (I), vem:-.!L-= JL +JL +JLReq RI R2 R3

_1_ = _1_ + _1_ + _1_Req RI ~ R3

Observe, então, que o inverso da resistência equi-valente é igual à soma dos inversos das resistênciasdos resistores associados em paralelo.

Generalizando para uma quantidade qualquer (n)de resistores em paralelo, temos:

iA + ----+-

,,,,,,,,,,,,,,:..

i, R,---+

i2 R2---+

i3 R3---+. .

~

-'-=-'-+-'-+-'-+Req R, R2 R3+-'-Rn

Notas:• Se tivermos apenas dois resistores associados em parale-

lo, então:

produto das resistênciassoma das resistências

• Se tivermos n resistores de resistências iguais a R, asso-ciados em paralelo, então:

_1_~.1+.1+ +.1 ~ I R ~ R IR R R ... R ->' eq neq

• Em uma associação de resistores em paralelo, as inten-sidades de corrente elétrica são inversamente proporcio-nais às suas resistências.

Associação mistaÀs vezes identificamos, em uma mesma associa-

ção, alguns resistores associados em série e outros,em paralelo. Nesse caso, a associação é mista.

Veja, a seguir, um exemplo de associação mista ea determinação de sua resistência equivalente.

A

L 30 n

70n~~J~ 110n--~

60n~

,-.----------IIII

IIIIII 60 n I Associação em

I paralelo: I equivalente a:- - - - - - - - - - - 30· 60n 30+60

02°:IJ,- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

I 70n 20n 100n

I

11On:III---------------------------Associação em série,

equivalente a:n 70 + 20 + 100 + 110 03:0 a

~~IExemplo de cálculo da resistência equivalente de uma associaçãomista de resistores, isto é, em que existem resistores associadosem paralelo e em série.

Nas ilustrações a seguir, como estão associadas as lâmpadas:a) A e B? b) C e O?

",_.I.JB

.; . J,•.

(Fuvest-SP) As duas lâmpadas L mostradas na figura funcionamnormalmente sob tensão de 12 V:

Represente uma maneira correta de ligar os terminais do quadro deligação, para que as duas lâmpadas funcionem em condições normaisde operação.

Em cada uma das associações a seguir, determine a resistênciaequivalente entre os pontos A e B:

a) 3 O 7 OA B

b) 360

A-1 :c) 60

A

60

=~B

A figura representa a associação de dois resistores emsérie, em que a ddp U1é igual a 12 V:

i, R, = 3 O i2 R2 = 7 O-~--NWVv---""""-NWVv---1 1 I1 1 1I"" U, Jo1"" U2 Jo1I 1I"" U JoI

Determine:a) as intensidades de corrente i, e i2;

b) a ddp U2 e a ddp U;c) a potência dissipada em cada resistor.

Resolução:a) Aplicando a Primeira Lei de Ohm ao resistor de resistência R"

temos:

U1=R, i,::::} 12=3i,::::} I i,=4A IComo os dois resistores estão associados em série, tem-se:

b) Aplicando a Primeira Lei de Ohm a R2, vem:

U2 = R2 i2 ::::} U2 = 7 . 4 ::::} I U2 = 28 V IA ddp U é dada por:

U=U1+U2=12+28::::} I U=40V INota:• A resistência equivalente da associação é igual a 10 Q. A aplica-

ção da Primeira Lei de Ohm à resistência equivalente tambémfornece a ddp U:

U = Req i= 10· 4 ::::} U = 40 V

c) Usando, por exemplo, Pot = U i nos resistores de resistências R1eR2, obtemos, respectivamente:

Pot, = U, i, = 12·4 ::::} I Pot, = 48 W

Pot2 = U2 i2 = 28 ·4 ::::} I Pot2 = 112 W

Observe que, em uma associação em série, a potência dissipada émaior no resistor de maior resistência.

Nota:• A melhor expressão para comparar as potências dissipadas em re-

sistores em série é Pot = R i2, pois i é uma constante. Assim, Potserá tanto maior quanto maior for R.

D Com relação à associação de resistores em série, indique a al-ternativa incorreta:a) A resistência equivalente à associação é sempre maior que a de

qualquer um dos resistores componentes.b) A intensidade de corrente elétrica é igual em todos os resistores.c) A soma das tensões nos terminais dos resistores componentes é

igual à tensão nos terminais da associação.d) A tensão é necessariamente a mesma em todos os resistores.e) A potência elétrica dissipada é maior no resistor de maior resistência.

,,, , ,:-+---U~:....--Ul_:. . .

•• (PUC-PR) Toma-se uma lâmpada incandescente onde está es-crito "130 V-60 W" e liga-se por meio de fios condutores a uma tomadaelétrica. O filamento da lâmpada fica incandescente, enquanto os fiosde ligação permanecem "frios".lsso ocorre porque:a) os fios de ligação têm maior resistência elétrica que o filamento.b) os fios de ligação têm menor resistência elétrica que o filamento.c) os fios de ligação são providos de capa isolante.d) o filamento é enrolado em espiral.e) a corrente que passa no filamento é maior que a dos fios de li-

gação.

•• 1]1IIPP;a~ra~ilu~m~i~n~ar~u~m~a~a~'rv~o;r;edd;eNN;at~a~I,são associadas em sé-rie lâmpadas iguais, especificadas por: 5 W-5 V. A associação é ligadaa uma tomada de 110 V. Determine:a) o número de lâmpadas que devem ser associadas, para que cada

uma opere de acordo com suas especificações;b) a resistência de cada lâmpada;c) o que acontecerá com as outras lâmpadas, se uma delas queimar,

abrindo o circuito.

Resolução:a) A intensidade de corrente é a mesma em todas as lâmpadas.

Como essas lâmpadas são iguais, elas têm a mesma resistênciaelétrica. Portanto, a ddp U também é igual em todas elas: u = 5 V.Sendo n o número de lâmpadas associadas e U = 110 V, temos:

U = n u ~ 11O = n . 5 ~ I n = 22 I2

b) Usando, por exemplo, Pot =t em uma das lâmpadas, vem:

52 ~5=R~~

c) Se uma lâmpada queimar-se, isto é, se seu filamento for destruidoou pelo menos se partir, as outras lâmpadas se apagarão.

D Um estudante resolveu iluminar seu boné com pequenas lâm-padas, especificadas por: 1,5 V-1,8 W, associadas em série. Para alimen-tar essa associação, ele usa uma pequena bateria, que oferece a ela9,0 V (nove volts).a) Quantas lâmpadas devem ser associadas para que elas operem

conforme suas especificações?b) Calcule a resistência elétrica de cada lâmpada.

Entre os terminais A e B da associação representada nafigura a seguir, a tensão é de 120 V.Sendo R1 = 16 Q, R2= 60 Q e R3= 40 Q, determine:a) a intensidade de corrente i1;

b) a ddp entre os pontos C e B;c) as intensidades de corrente 12e i3;d) a potência dissipada em cada um dos resistores em paralelo.

R,

Resolução:a) Entre os pontos C e B temos dois resistores em paralelo, que

equivalem a:R2R3 60·40

RCB= R2+ R3= 60 + 40 ~ RCB= 24 Q

Temos, assim, a seguinte situação equivalente à associação dada:

A 1---.1 i,II

---.i,

UAB = 120 V

Aplicando a Primeira Lei de Ohm entre A e B, temos:

UAB=RABi,~120=40i, ~ I i,=3A Ib) Aplicando a Primeira Lei de Ohm entre C e B, temos:

UCB= RCBi, ~ UCB= 24· 3 ~ I UCB= 72 V I

c) Retomemos à associação dada inicialmente. Tanto em R2 comoem R3,a tensão é UCBigual a 72 V, pois esses resistores estão liga-dos em paralelo entre os pontos C e B.Assim, temos em R2:

UCB=R2i2~72=60i2 ~ I i2=1,2A IE no resistor de resistência R3:

UCB=R3i3~72=40i3 ~ I i3=1,8A IObservemos que a soma de i2com i3é igual a i,:

1,2 A + 1,8 A = 3 A

d) Usando, por exemplo, Pot = U i nos resistores de resistências R2eR3obtemos, respectivamente:

Pot2 = U2i2 = UCBi2= 72 . 1,2 ~ I Pot2 = 86 W I

Pot3 = U3 i3 = UCBi3= 72 . 1,8 ~ I Pot3 = 130 W IObserve que, em uma associação em paralelo, a potência dissipa-da é maior no resistor de menor resistência.

Nota:• A melhor expressão para comparar as potências dissipadas em re-

sistores em paralelo é Pot = ~2, pois, nesse caso, U é uma cons-

tante. Assim, Pot será tanto maior quanto menor for R.

Com relação à associação de resistores em paralelo, indique aalternativa incorreta.a) A resistência equivalente à associação é sempre menor que a de

qualquer um dos resistores componentes.b) As intensidades de corrente elétrica nos resistores componentes

são inversamente proporcionais às resistências desses resistores.c) A tensão é necessariamente igual em todos os resistores compo-

nentes.d) A resistência equivalente à associação é sempre dada pelo quo-

ciente do produto de todas as resistências componentes pela somadelas.

e) A potência elétrica dissipada é maior no resistor de menor resistência.

m Calcule a intensidade de corrente ie a resistência R em cadaum dos trechos de circuito a seguir:a) 250 Q

1 A---.

m Sendo i = 8 A, calcule as intensidades de corrente i1 e i2 na asso-ciação de resistores a seguir:

i, 18 Q......•i =8A----.

Ia No trecho de circuito esquematizado a seguir, calcule as inten-sidades de corrente elétrica i, i,. i2, i3, i4, is e i6:

i, 4Q.....•4Q

i i2 20Q i.---. ~ ~A

i3 30Q~

l- U =40V ·1Deseja-se montar um aquecedor elétrico de imersão, que será

ligado em uma tomada em que a ddp U é constante. Para isso, dispõe-se de três resistores: um de 30 Q, um de 20 Q e outro de 10 Q. Para oaquecedor ter a máxima potência possível, deve-se usar:a) apenas o resistor de 10 Q;b) apenas o resistor de 30 Q;c) os três resistores associados em série;d) os três resistores associados em paralelo;e) apenas os resistores de 10 Q e 20 Q, associados em paralelo.

m (UFMG) Duas lâmpadas foram fabricadas para funcionar sobuma diferença de potencial de 127 V. Uma delas tem potência de40 W, resistência R1 e corrente i1• Para a outra lâmpada, esses valoressão, respectivamente, 100 W, R2 e i2•

Assim sendo, é correto afirmar que:a) R1 < R2 e i1 > i2. c) R1 < R2 e '1 < iTb) R1 > R2 e i1 > i2. d) R1 > R2 e i1 < i2.

m A figura representa esquematicamente a parte elétrica de umchuveiro, cuja chave oferece três opções: desligado, verão e inverno.Associe essas opções às possíveis posições (A, B ou C) da chave.

/Terminaisdo chuveiro

\ •

~]J[!I"IL:ãâ;m~p~adda~s~ig~u~a~is~,;es~p;e~ci~fic~a~d~as~pp;0;r~188VW~-~122~V~,s~ã~o~a~ss;o-ciadas em paralelo, e os terminais da associação são submetidos auma ddp U = 12 V, rigorosamente constante, como mostra a figura aseguir.a fusível indicado queima quando a intensidade Ida corrente que oatravessa ultrapassa 20 A.a) Calcule o máximo número de lâmpadas que podem ser asso-

ciadas sem queimar o fusível.b) a que acontece com as outras lâmpadas se uma delas se quei-

mar?I Fusívelr-C !; !; !'.,···Tf'];

CJIL...lIfJ

Resolução:a) Como as lâmpadas são iguais e se submetem à mesma ddp, a cor-

rente tem a mesma intensidade iem qualquer uma delas.Usando Pot = U i em uma das lâmpadas, vamos calcular i:

Pot = U i => 18 = 12 . i => i = 1,5 ASendo n o número de lâmpadas, temos:

1= n' = n ·1,5

Como Ideve ser menor ou igual a 20 A:

n· 1,5 :;;;20 => n:;;; 13,3 => I nmáx = 13 INota:• Podemos resolver o item a de outra maneira. Pensando na asso-

ciação como um todo, temos U = 12 V e 'máx = 20 A. Portanto, apotência máxima que pode ser dissipada é:

Potmáx = U Imáx = 12 . 20 => Potmáx = 240 WSendo n o número de lâmpadas, cada uma operando com potênciaPot = 18 W, temos:

n Pot :;;;Potmáx => n . 18:;;; 240

b) Nada. Continuam sendo percorridas pela mesma corrente de in-tensidade i, uma vez que permanecem submetidas à ddp U = 12 V.Assim, seus brilhos também não se alteram.

m Considere o circuito a seguir, em que L significa lâmpada, Fsignifica ferro de passar roupa e T significa televisor. Junto a cada ele-mento estão seus valores nominais:

400W200 V

a) Determine a corrente máxima que passará pelo fusível, em condi-ções normais de funcionamento.

b) Se todo o sistema funcionar durante 2 horas, qual será o consumode energia elétrica, em kWh?

EiI (UFMG) O circuito da rede elétrica de uma cozinha está repre-sentado, esquematicamente, nesta figura:

Nessa cozinha, há duas lâmpadas L, uma geladeira G e um fornoelétrico F.Considere que a diferença de potencial na rede é constante.Inicialmente, apenas as lâmpadas e o forno estão em funcionamento.Nessa situação, as correntes elétricas nos pontos P e Q, indicados nafigura, são, respectivamente, ip e iQ'Em certo instante, a geladeira entra em funcionamento.Considerando-se essa nova situação, é correto afirmar que:a) ip e ia se alteramb) apenas ipse altera.c) ip e iQnão se alteram.d) apenas ia se altera.

m (UFF-RJ) A figura abaixo mostra o esquema elétrico de um doscircuitos da cozinha de uma casa, no qual está ligada uma geladeira, depotência especificada na própria figura. Em cada uma das tomadas I e11pode ser ligado apenas um eletrodoméstico de cada vez. Os eletro-domésticos que podem ser usados são: um microondas (120 V-900 W),um liqüidificador (120 V-200 W), uma cafeteira (120 V-600 W) e umatorradeira (120 V-850 W).

Quanto maior a corrente elétrica suportada por um fio, maior é seu pre-ço. O fio, que representa a escolha mais econômica possível para essecircuito, deverá suportar, dentre as opções abaixo, uma corrente de:a) 5 Ab) 10Ac) 15 Ad) 20Ae) 25 A

Três lâmpadas iguais, Ll' L2 e L3, estão associadas comoindica a figura. Sendo Pl' P2 e P3 as potências com que operam as lâm-padas L" L2 e L3, respectivamente, compare P2 com P3 e Pj com P2•

Resolução:Sendo R a resistência elétrica de cada lâmpada, a associação pode serrepresentada esquematicamente assim:

l-i R (L,) .2.. R (L,)---+-

l...2.. R (L3)

m (UFMA) Na associação de lâmpadas abaixo, todas elas sãoiguais.

Podemos afirmar, corretamente, que:a) nenhuma das lâmpadas tem brilho igual.b) a lâmpada LI brilha mais que todas as outras.c) todas as lâmpadas têm o mesmo brilho.d) as lâmpadas L1, L2 e L3 têm o mesmo brilho.e) a lâmpada LI brilha mais que a L2•

, '- ~ ..,eX€RCICIOS ' -. :l,~ . ': . NIV€L 2

" .••.•":;,.: •••.•• 1'.. 'l .•, •m Calcule a resistência equivalente entre os terminais A e B, nos I (A)seguintes casos:a) 6 Q

b)A

m (UFC-CE) Os valores das resistências do circuito representadoabaixo são: R= 8 Q, r1 = 2 Q e r2 = OAQ. A resistência equivalente, entreos pontos M e N, vale:

a) 1 Q.b) 2Q.c) 4Q.

d) SQ.e) 16Q.

i/ R,

/V

VI ./ .....R/1 i ./

.••..i/ I VI ./

/1 I..................1L

~

.......1 I-- 7 I -r./

~ ..•.... I II

m Os terminais de um cordão de 20 lãmpadas iguais, associadasem série, estão ligados em uma tomada de 120 V, e cada lâmpada fun-ciona com potência igual a 5 W. Uma dessas lâmpadas queimou-se e,em seu lugar, será colocado um pedaço de fio de nicromo. Calcule a re-sistência desse fio para que as demais lâmpadas continuem operandosem alteração de potência e, portanto, de brilho.

Entre os terminais A e B da associação representada nafigura a seguir é mantida uma tensão U constante e igual a 12 V.

Calcule a ddp entre os pontos P e Q:a) com a chave aberta;b) com a chave fechada.

Resolução:a) Com a chave aberta, não passa corrente por R3. Portanto, R3 não

participa da associação. Assim, R, e R2 estão em série, equivalen-do a Reg = 1 Q + 3 Q = 4 Q. Veja as figuras a seguir.

Na figura (2): U = Reg i ~ 12 = 4 . i~ i = 3 A

Em R2, na figura (1): UpQ= R

2i = 3 . 3 ~ I-Up-Q-=-9-V~

(Vunesp-SP) Os gráficos na figura a seguir mostram o compor- . R = 1 Q iA~' P A --..

tamento da corrente em dois resistores, R, e R2, em função da tensão i i iaplicada.a) Considere uma associação em série desses dois resistores, ligada

U UpQ R2 = 3 Q ~U R =4Qa uma bateria. Se a tensão no resistor R, for igual a 4 V, qual será o

1eq

valor da tensão em R/ 1b) Considere, agora, uma associação em paralelo desses dois resisto-res, ligada a uma bateria. Se a corrente que passa pelo resistor R1 for B Q Bigual a 0,30 A, qual será o valor da corrente por R/ (1) (2)

b) Com a chave fechada, R2 e R3 estão em paralelo entre os pontos P

e Q, equivalendo a RpQ= i~~Q = 2 Q. Por sua vez, RpQestá em

série com Rl' o que equivale a Req = 2 Q + 1 Q = 3 Q:

1=>u

(1)

Na figura (2): U = Req i => 12 = 3 . i => i = 4 A

Em RpQ,na figura (1): UpQ= RpQi = 2 . 4 => I-U-PQ-=-s-v-I

(Ufa!) Considere o circuito representado no esquema abaixo.+

Determine a diferença de potencial U2 nos terminais do resistor R2:

a) com a chave C aberta;b) com a chave C fechada.

Três lâmpadas iguais (L1, L2 e L3) são associadas e os terminaisA e B da associação são submetidos a uma ddp constante U, suficientepara que as lâmpadas acendam. Inicialmente, a chave está aberta.Fechando-se a chave, o que acontece com o brilho das lâmpadasL1 e L2? LI

A

B

Na figura, F1, F2 e F3 são fusíveis de resistências iguais, que su-portam correntes máximas de 4 A, 10 A e 15 A, respectivamente:

F, 4A

Para que nenhum fusível se queime, a corrente i pode valer, no má-ximo:a) 29 A;b) 30A;

c) 45 A;d) 12A;

Na montagem esquematizada na figura, F1, F2 e F3 são fusíveisde resistências desprezíveis, que suportam, no máximo, as correntesneles indicadas: F2

Se os pontos A e B forem submetidos a uma diferença de potencial de120 V, que fusíveis deverão queimar-se?

A figura representa o resistor, de resistência R, de umaquecedor elétrico, projetado para funcionar sob tensão U igual a220V. R

UComo devemos ligar esse resistor, sem cortá-Io, para que funcionecom a mesma potência em 110 V? Dispõe-se apenas de fios de cobrepara ligações.

Resolução:A potência do aquecedor funcionando em 220 V pode ser expressa por:

Pot=~= 220·220 (I)R RPara operar com a mesma potência na tensão U' igual a 110 V, oaquecedor deverá ter uma resistência R' tal que:

P t=~= 110 ·110 (11)o R' R'

Igualando as expressões (1) e (2), temos:11O. 11O 220 . 220 => 1..:..1..- = 1....:1.. R' = R

R' R R' R=>4Portanto devemos fazer com que a resistência do resistor passe a serum quarto da resistência original.Note que, sendo R a resistência total do resistor, cada uma de suasmetades tem resistência ~. Se colocarmos ~ em paralelo com ~ ,

obteremos ~ , que é a resistência desejada.Uma maneira de se conseguir isso é a que está representada na próxi-ma figura, em que os fios de ligação têm resistência desprezível:

(Fuvest-SP) Um aquecedor elétrico é formado por duas resis-tências elétricas R iguais. Nesse aparelho, é possível escolher entreoperar em redes de 110 V (chaves B fechadas e chave A aberta) ouredes de 220 V (chave A fechada e chaves B abertas). Chamando aspotências dissipadas por esse aquecedor de P(220) e P(11O), quandooperando, respectivamente, em 220 V e 110 V, verifica-se que as po-tências dissipadas são tais que:

a) P(220) =+ P (1 10)

b) P(220) = P (110)

c) P(220) = t P (110)

d) P(220) = 2 P (110)e) P(220) = 4 P (110)

Três pedaços de fio de nieromo (A, B e C), que diferem apenasquanto à área da secção transversal- A é o mais fino e B é o mais gros-so -, são ligados em série e os terminais do conjunto são submetidos auma tensão U:

Em duas lãmpadas de incandescência A e B encontramos, res-pectivamente, as seguintes inscrições: 60 W- 115 V e 100 W- 115 V. Es-sas lãmpadas são associadas em série e os terminais da associação sãoligados a uma tomada de 115 V.a) Qual delas iluminará melhor, comparativamente?b) E se estivessem associadas em paralelo, qual iluminaria melhor?

1IJ~l!iI"IE~m~u~m~a~e~m~e~rg~ê~n~c~ia~,s~u~rg~i~u~a~n~e~ce~s;sidda~d~e~d~e~u~s;a~ru~m~alâmpada, especificada por 60 W- 12 V, em uma tomada de 127 V.Para não queimar a lãmpada, associou-se a ela um resistor de po-tência adequada, e os terminais dessa associação foram ligados em127 V. Calcule a resistência R desse resistor para que a lâmpada fun-cione conforme suas especificações. Ignore a influência da tempera-tura na resistividade.

Resolução:Para a lâmpada temos: PotL = 60 W e UL = 12 V. Vamos, então, calculara intensidade ida corrente na lâmpada:

PotL = UL i => 60 = 12 i => i = 5,0 AO resistor pedido precisa estar em série com a lâmpada, para termosI a seguinte situação, em que UR + UL é igual a 127 V:

i=5,OA---+

i = 5,0 A R---+ L

« U = 127 V

Note que: 115 V + 12 V= 127VEntão:

UR = R i=>11 5 = R· 5,0 => I R = 23 Q I

(Efoa-MG) A corrente que passa por um certo tipo de lâmpa-da de lanterna, fabricada para funcionar corretamente com 6,0 volts,é igual a 50 mA. Se quisermos ligá-Ia a uma bateria de 12 volts, serápreciso se lhe associar em série um resistor conveniente, para que alâmpada funcione corretamente, com seu brilho normal. Nessas condi-ções, determine:a) o valor da resistência desse resistor;b) a potência dissipada por esse resistor.

(Mack-SP) No trecho de circuito a seguir, L1 e L2 são lâmpadasde valores nominais (80 W, 20 V e 36 W, 12 V, respectivamente).

L, L2

A. • @ C:~I~BR

Determine o valor da resistência R que faz L2 ter brilho normal. Supo-nha L, operando conforme suas especificações .

• I No trecho de circuito esquematizado a seguir, determinea diferença de potencial Uxz entre os pontos X e Z (Uxz = Vx - Vz):

-+i, =4A

Resolução:É necessário lembrar que a corrente em um resistor tem sentido dopotencial maior para o menor. Assim, o potencial Vx é maior que opotencial vp:

Uxp = R, i, = 10 . 4 => Uxp = 40 Vvx-vp=40V (I)

Observe que a corrente em R2 tem intensidade i2 = 3 A e sentido de Zpara P. Portanto Vz é maior que vp:

Uzp = R2 i2 = 5 . 3 => Uzp = 15 V

vz-vp= 15 V (11)

Subtraindo membro a membro a expressão (11) da expressão (I), temos:

vx-vz=25V => I Uxz=25V I

m (Cesgranrio-RJ)

A

o esquema ao lado representa o trecho de um circuito elétrico. A seurespeito sabe-se que: R, = 300 n, R2 = 400 n, i, = O,, 2 A, e que a ddpentre A e B é nula. Assim, a intensidade da corrente elétrica que per-corre R3vale, em amperes:a) zero.b) 0,03.c) 0,04.d) 0,2l.e) 0,28.

Quando você gira o controle de volume (poten-ciômetro) do seu rádio, por exemplo, está alterando aresistência elétrica de um resistor "escondido" e, comisso, também a intensidade de uma corrente elétricano circuito do aparelho.

Veja, na ilustração a seguir, o aspecto desse con-trole de volume:

A e B são os terminais usados, E é o eixo que você gira e I é uminvólucro metálico.

Retirando o invólucro metálico do controle, pode-mos observar o seguinte:

Suporteisolante

Lâminade grafite

o cursor é uma haste metálica que gira junto doeixo E, deslizando ao longo da lâmina de grafite,sempre em contato com ela. A mudança de posição docursor altera o comprimento útil da lâmina de grafiteentre A e B. Com isso, a resistência se altera. O mes-mo ocorre com a intensidade i da corrente elétrica.

Note que, girando o cursor no sentido horário,diminui a resistência da lâmina de grafite percorridapela corrente. Assim, a intensidade dessa corrente au-menta, se aumentarmos também a intensidade ("volu-me") do som.

Um resistor de resistência variável como esse édenominado reostato. Existem outros tipos de reosta-to, como, por exemplo, o reostato de pontos:

Reostato de pontos. Para cada posição da chave C, temos umaresistência diferente entre A e B.

A •.•------wlvv~-----.B

t..--------. B

A-. ----W/VV'v-----

~7

7

A figura ilustra um sistema de alimentação de um carrinho de brinquedo cuja velocidade é controlada porum reostato:

:---P: carcaça plástica para alojar o sistema.c: cilindro isolante.F: fio de nicromo enrolado em C e ligado aos terminais TI e T2.

H: haste metálica que gira em torno do eixo E, quando acionamos o gatilho G. Apertando o gatilho, elegira em torno do eixo E' e empurra a haste, cuja extremidade desliza no fio de nicromo, diminuindo aresistência elétrica do circuito e, conseqüentemente, aumentando a intensidade da corrente no carrinho,que está em série com o reostato.

M: mola com uma extremidade fixa em A e a outra presa na haste. Ela faz a haste voltar quando soltamoso gatilho.

Fio 1: liga um dos pólos do gerador diretamente ao carrinho.Fio 2: primeiramente passa pelo reostato para depois alimentar o carrinho.

Antes de iniciarmos este assunto, é importanterever o exercício 42 do tópico anterior. Nele ficamossabendo que os fios de cobre das instalações elétricasresidenciais têm resistências desprezíveis.

Considere agora uma lâmpada especificada, porexemplo, pelos valores nominais 100 W-110 V. Emfuncionamento normal, a intensidade de corrente nes-sa lâmpada é aproximadamente igual a 1 A, e sua re-sistência elétrica é de 121 Q.

Na análise que faremos a seguir, é desnecessáriose preocupar com a influência da temperatura na resis-tência da lâmpada.

Vamos associar em série duas dessas lâmpadas, LIe L2, e aplicar uma ddp de 110 Ventre os terminaisda associação:

L1Q QL2kf,1t

A B~ - IA,: 11( 55V----.:+--55 V .::11( 110V .:

Evidentemente, nenhuma das duas lâmpadas terábrilho normal porque a ddp em cada uma delas seráde apenas 55 V.

Suponha, agora, que os terminais A e B da lâmpadaLI sejam interligados por meio de um fio de cobre F,cuja resistência RF, como já sabemos, é desprezível

(RF = O). Sendo também desprezível a ddp UF entreas pontas do fio F, sua introdução praticamente anu-lou a ddp entre os pontos A e B. E como a lâmpada LIestá ligada em A e B, a ddp UL entre seus terminaistambém se tornou praticamente hula. E o que aconte-ce com essa lâmpada?

=1A-.L'9\~(

:BU =ov---.:.",--uL =110V

L, 2

A intensidade de corrente iL1 em LI será:

. UL1 = O . OlL1 = R

L= 121 ~ lL =

1

Portanto a lâmpada LI se apaga e tudo se passacomo se ela fosse retirada da associação. A lâmpadaL2, por sua vez, passa a brilhar normalmente porqueos 110 V estão agora aplicados nela. A corrente em L2valerá, então, aproximadamente 1 A.

Note que essa corrente de 1 A também passa pelofio F. E não há nenhum problema nisso porque UF édesprezível, mas RF também é (lembre-se do exercí-cio 42 do Tópico 1).

Mas, afinal, o que é o curto-circuito?Na associação analisada, é o que fizemos com a

lâmpada Li' quando interligamos seus terminais pormeio do fio F.

Genericamente dois pontos estão em curto-cir-cuito (ou curto-circuitados) quando estão interligadospor um fio de resistência desprezível, praticamenteanulando a diferença de potencial entre eles.

Quando dois fios da rede elétrica de uma casa en-tram em contato elétrico, também dizemos que ocorreum curto-circuito. De fato, quando isso acontece, tudose passa como se esses dois fios fossem interligadospor um terceiro fio, de resistência desprezível.

Na análise de circuitos, freqüentemente associa-mos letras aos diversos pontos do circuito. Veja, porexemplo, os pontos A e B que associamos aos termi-nais da lâmpada LI'

Quando dois pontos estão curto-circuitados, po-demos associar a eles uma mesma letra, pois estão nomesmo potencial elétrico, ou seja, são pontos eletri-camente equivalentes. Isso facilita a análise de mui-tas situações, a princípio complicadas, como veremos.Fica mais fácil também perceber se dois resistores es-tão ou não em paralelo.

~ A~A

Traços como esses, em representações esquemáticas, simbolizamcondutores ideais ou de resistência desprezivel. Por não haverdiferença de potencial entre suas extremidades, associamos a elas amesma letra.

Associação de lâmpadas em série e curto-circuitoEm uma loja de materiais elétricos, adquira:

• 5 pequenas lâmpadas de lanterna, iguais e com rosca (cada uma delas deve ser apropriada para duas pilhas em série);• 5 soquetes para instalar as lâmpadas;• 2 pilhas pequenas comuns;• 1 suporte para acomodar as pilhas em série;• 2 m de fio de cobre com isolação plástica.

CA B

Interligue os terminais de três soquetes por meio depedaços de fio, instale lâmpadas nos soquetes e conecte osterminais da associação das lâmpadas aos terminais do su-porte que contém as pilhas, como mostramos ao lado.

Se as lâmpadas forem de boa qualidade, isto é, real-mente iguais, você notará que as três apresentarão o mes-mo brilho, sendo essa uma prova experimental de que aintensidade da corrente elétrica é igual em todas elas.

O brilho de cada lâmpada, entretanto, é bem menorque o normal, porque cada uma delas foi fabricada parafuncionar sob tensão U, mas está recebendo apenas ~ .

Usando outro pedaço de fio com as extremidades descascadas, interligue os terminais A e B da primeira lâmpada.• O que acontece com ela? Explique.• O que acontece com o brilho das outras duas lâmpadas? Explique.Em seguida, interligue com o fio os terminais A e D.• O que acontece com as lâmpadas que estão entre essesterminais? Explique.• O que acontece com a outra lâmpada? Elaapresenta, agora, seu brilho normal? Explique.Parafinalizar, interligue, durante um curtíssimo tempo, os terminais A e F.• O que acontece com as três lâmpadas?

Nota:• Você adquiriu 2 lâmpadas e 2 soquetes a mais porque serão necessários no próximo experimento, ainda neste tópico .

Na figura, AB é um fio de nicromo de resistência totaligual a 10 Q e 20 cm de comprimento, e L é uma lâmpada especifica-da por: 27 W-9 V. Os demais fios de ligação são de cobre. O cursor Cpode deslizar entre A e B.

tU = 12 V

1a) O que acontece com o brilho da lâmpada quando o cursor C é

deslocado no sentido de A para B?b) Qual deve ser a distância do ponto A ao cursor C para que a lâm-

pada funcione de acordo com suas especificações?

Resolução:a) A resistência do trecho AC (RAC) e a resistência da lâmpada (RL)

estão em série. Então, podemos escrever:

U = (RAC + RL)i~ i = R U RAC + L

Quando o cursor é deslocado no sentido de A para B, o compri-mento AC aumenta. Como a resistência RAC é proporcional a esse

comprimento (R = ~). ela também aumenta. Assim idiminui, o

mesmo ocorrendo com o brilho da lâmpada.

b) A lâmpada é especificada por PotL = 27 W e UL= 9 V.Portanto:

PotL = UL i ~ 27 = 9 . i ~ i = 3 A

UL= RLi ~ 9 = RL. 3 ~ RL= 3 Q

U = (RAC + RL)i ~ 12 = (RAC + 3) . 3 ~ RAC = 1 Q

Como a resistência elétrica do fio é proporcional ao seu compri-mento:

RAB = RAC ~ ~ = 1 Q ~ AC = 2 cm IAB AC 20cm AC .

•(Esal-MG) Na figura, R representa um reostato de 200 Q e L,uma lâmpada de 80 V-40 W. Entre os pontos 3 e 4 do circuito aplica-seuma ddp de 120 V:

a) Qual a resistência do filamento da lâmpada?b) Qual a posição do cursor do reostato para que a lâmpada acenda

normalmente (conforme especificação)?c) O que acontece com o brilho da lâmpada quando deslocamos o

cursor do reostato para a esquerda?

Determine a resistência equivalente entre os pontos P eQ nos seguintes casos:a)

Resolução:a) Os pontos do circuito onde três ou mais terminais estão juntos

denominam-se nós. Os nós localizados nas extremidades de umfio ideal estão no mesmo potencial. Por isso, podemos identificá-los com uma mesma letra:

Em seguida, posicionamos todos os nós eletricamente diferentesem diferentes pontos do papel e remontamos o circuito:

Concluímos, assim, que os três resistores estão associados em pa-ralelo. Portanto:

Nota:• No circuito original, todos os nós devem ser identificados com uma

letra, lembrando sempre que a letra é a mesma naqueles que estãointerligados por um fio ideal. Em seguida, reestruturamos o circuito,marcando no papel todos os nós eletricamente distintos, manten-do os mesmos terminais do circuito original.

b) Repetindo o procedimento anterior, temos:

Note que o nó identificado pela letra S está em um potencial dife-rente dos potenciais dos nós P e Q, porque nenhum fio ideal ligaSa P ou a Q.OS resistores que têm a mesma letra nos dois terminais devemser retirados da associação: eles não "funcionam" porque não sesubmetem a uma diferença de potencial.

Remontando o circuito, vem:2 R

R 5 R

Temos 2 R em paralelo com 2 R,o que equivale a R, e R em parale-lo com R, o que equivale a JLEntão: 2

R

L:JQli 5 R2

Agora temos li. em série com R, o que equivale a-ª..E.2 2

Finalmente, temos 32

Rem paralelo com R:

-ª..E. R ~_ 2 3 RReq--3-R-- ~ R =-

-+R eq 52

m Nos esquemas a seguir, calcule a resistência equivalente entreos pontos A e B:a)

rCh'"aberta

m Com relação à associação de resistores esquematizada na figu-ra, indique a alternativa correta:

a) R1 e R4 estão em série.b) RI e R7 estão em paralelo.c) R2, R3 e Rsestão em paralelo.d) R2 e R3 estão em paralelo.e) R4, Rse R6 não estão em série.

Entre os terminais A e B do circuito esquematizado a seguir háuma diferença de potencial constante e igual a U:

Indique a alternativa correta:a) Uma parte da corrente total passa por R4.

b) Não passa corrente em R1 e em R2, porque não há diferença de po-tencial entre A e D.

c) Não passa corrente em R2 e em R3, porque não há diferença de po-tencial entre C e E.

d) Entre A e C, C e D e D e E, a diferença de potencial é diferente dezero.

e) R1, R2 e R3 estão associados em série.

Tópico 2 - Associação de resistores e medidas elétricas 155

m (Cesgranrio-RJ)

• -(1)

: ~ra :• - Placa de

@ acetato

: ®~

Um aprendiz de eletrônica construiu o circuito esquematizado na figura,onde as partes escuras (linhas, quadrados e pequenos círculos) repre-sentam o material condutor depositado sobre uma placa retangular deacetato. Os cinco pares de quadrados numerados indicam pontos entreos quais deverão ser instalados interruptores no circuito. Qual desses in-terruptores será completamente inútil, independentemente das ligaçõesa serem feitas nos terminais do circuito (pequenos círculos escuros)?a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) S

No circuito representado na figura, F é um fusível que suportano máximo S A, R é um resistor de resistência igual a 10 Q e L é umcilindro feito de um material de resistividade igual aS, 10-s Q m, com2 mm2 de área de secção transversal, que funciona como um reostato.

F R::8 ~Determine o menor valor possível de x, para que o fusível não se quei-me, quando se aplica aos terminais A e B uma tensão de 100 V.

Determine a resistência equivalente entre A e B, sabendo quetodos os resistores têm resistência R.

Nos circuitos esquematizados a seguir, calcule a resistênciaequivalente entre os pontos A e B:a) 7 Q

•No circuito elétrico representado a seguir, os cinco resistores

apresentam a mesma resistência elétrica R. Quando, pelo resistor Rs'passar uma corrente elétrica de intensidade igual a 1,0 ampêre, qualserá o valor da corrente I, em ampêres?

(UFPI) No circuito abaixo R1 = 1- R2 = 2R3 = 20 ohms ei1 + i2 + i3 = 21 A, em que i1, i2 e i3 são as correntes que passam pelasresistências R1, R2 e R3, respectivamente.

A diferença de potencial VAB vale:a) SOVob) 60V.c) SOVo

d) 100V.e) 120V.

IntroduçãoJá temos informações teóricas suficientes para cal-

cular intensidades de corrente, diferenças de potenciale resistências elétricas em diversas situações.

Nos laboratórios e nas oficinas, porém, é muitoimportante conhecer e saber usar alguns instrumentosque medem essas grandezas.

Os medidores analógicos, isto é, aqueles em queum ponteiro se deflete ao longo de escalas gradua-das, consistem em um elemento básico denominadogalvanômetro, ao qual são convenientemente asso-ciados resistores adequados. Não é necessário, porenquanto, compreender o princípio de funcionamentodo galvanômetro, mesmo porque isso só será possívelquando estudarmos Eletromagnetismo, na Parte m.Basta saber que esse instrumento consegue detectarcorrentes elétricas de baixíssimas intensidades e que adeflexão de seu ponteiro é proporcional à intensidadeda corrente que passa por ele.

O valor máximo indicado na escala de um medi-dor (galvanômetro com resistores associados) deno-mina-se valor de fundo de escala.

A seguir vamos ver como os medidores devem serusados e as condições necessárias para que não provo-quem modificações significativas nas grandezas doscircuitos quando neles são introduzidos.

Medição de intensidade decorrente eLétrica

Nos esquemas de circuitos elétricos, o amperíme-tro é simbolizado assim:

-~0~--Para medir a intensidade da corrente elétrica em

um trecho de um circuito, é necessário que o amperí-metro "sinta" essa corrente, ou seja, é necessário quea corrente passe por ele. Portanto, o amperímetro deveser introduzido em série com o trecho considerado.

B D FO amperímetro A, em série com o trecho AC, o amperímetro A" emsérie com o trecho CD, e o amperímetro A2, em série com o trechoEF, medem as intensidades das correntes nesses trechos: i, i, e i2,

respectivamente.

Para medir a intensidade de uma corrente elétrica,usamos um instrumento denominado amperímetro. O amperímetro indica a intensidade da corrente no circuito.

Vamos ver agora que um amperímetro modificaa intensidade da corrente em um circuito quando éincluído nele, porque esse medidor, como todo condu-tor, possui uma resistência elétrica, que vamos chamarde resistência interna e simbolizar por Ri'

Veja a figura a seguir, em que um resistor de resis-tência R está submetido a uma diferença de potencialconstante U.

Para calcular a intensidade ida corrente nesse re-sistor, fazemos:

[]]u1=-R

Vamos, agora, medir a intensidade dessa corrente.Para isso, introduzimos o amperímetro em série com oresistor, de modo que a corrente passe por ele.

+1:.

A

i R,~i'

U R

1Pelo fato de ter uma resistência interna Ri' o ampe-

rímetro modifica a intensidade da corrente no resistor,que passa a ter um valor i' diferente de i e dado por:

., U1 = R+R.

1

Note, então, que o amperímetro registra um valori', e não o valor i que queríamos medir, ou seja, suainclusão no circuito acarreta um erro no resultado ex-perimental, que precisa ser minimizado.

Observe que, na expressão de i', esse valor tende-rá a i se Ri tender a zero, ou seja, quanto menor for aresistência interna do amperímetro, mais próxima dacorrente original estará a sua indicação. Assim, umbom amperímetro deve ter resistência interna baixa,isto é, desprezível em comparação com a resistênciado circuito em que foi introduzido.

Em termos teóricos, podemos falar em amperí-metro ideal:

Denomina-se amperímetro ideal um medidor hi-potético em que Ri é igual a zero. Um amperímetrocom essa característica mediria a intensidade de cor-rente original sem modificá-Ia.

Então, na resolução de exercícios, um amperíme-tro ideal pode ser substituído pelo símbolo de um con-dutor ideal:

8---~-···Q···_~ B-

Condutor ideal substituindoo amperímetro: os pontos Ae B estão curto-circuitados.

Medição de diferença de potenciaL(ddp) ou tensão eLétrica

Para medir a diferença de potencial, usamos uminstrumento denominado voltímetro.

A foto mostra um voltímetro. cujo valor defundo de escala é 15 V.

Nos esquemas de circuitos elétricos, o voltímetroé simbolizado assim:

Para medir a diferença de potencial entre dois pon-tos de um circuito, é necessário que os terminais dovoltímetro "sintam" os potenciais desses pontos. Paraisso, o voltímetro deve ser ligado em paralelo com otrecho do circuito compreendido entre os dois pontos.

A+

I' ,:"--u ----.: cI AS I

1u uco

11.

D

o voltímetro v, mede a ddp entre os pontos A e B. e o voltímetro V2mede a ddp entre os C e O.

Vamos ver agora que a inclusão do voltímetrotambém acarreta um erro no resultado experimental,ou seja, modifica a ddp entre os dois pontos em queé ligado.

Observe, na figura a seguir, uma associação dedois resistores de resistências R e r, submetidos a umaddp constante U:

B

A intensidade i da corrente nesse circuito édada por:

U = (R + r) i~i= R~ r

Para calcular a ddp entre os pontos A e B, porexemplo, fazemos:

UAB=Ri~UAB- l:1!rVamos, agora, medir a ddp entre A e B. Para isso,

ligamos o voltímetro, que possui uma resistência in-terna Ri' em paralelo com o trecho AB:

Fazendo essa ligação, a resistência total do circui-to se modifica e, conseqüentemente, a ddp entre A eB também. Assim, o voltímetro vai medir uma ddpdiferente daquela que queríamos medir.

O voltímetro só mediria corretamente a ddp origi-nal UAB se a sua inclusão não modificasse a resistên-cia entre os pontos A e B, que, com a presença dele,é dada por: R R-

RAB = R+R1

Vamos dividir por Ri o numerador e o denomina-dor dessa expressão:

RR-1

R-RAB= IR ~

R i-+-R- R-I I

Observe, nessa última expressão, que, se Ri formuito maior que R, o quociente ít será desprezível

I

e RAB será praticamente igual a R, que é o que quere-mos. Concluímos, então, que um bom voltímetro deveter resistência interna elevada, isto é, muito maior quea resistência que está em paralelo com ele.

Em termos teóricos, podemos falar em voltíme-tro ideal.

RRAB=-R--

-+1Ri

Denomina-se voltímetro ideal um medidor hipo-tético em que a resistência interna Ri é infinitamentegrande. Essemedidor verifica a tensão original entreos pontos considerados sem modificá-Ia.

Então, na resolução de exercícios, um voltímetroideal equivale a um circuito aberto:

~

.-,,..---< v,...--...... ..... -_..,v'···· _.--

...... ~ ... ~ ...

A B A B

Um voltímetro ideal equivale a um circuito aberto, ou seja, a correntenele tem intensidade nula porque sua resistência é infinitamente grande.

Note que esse voltímetro hipotético é ideal apenasno que se refere à perturbação provocada no circuito.Se existisse, esse instrumento não funcionaria, poisnenhuma corrente passaria por ele. E é justamenteessa corrente que provoca a deflexão do ponteiro,como veremos na Parte lH, Eletromagnetismo.

Medição de resistência eLétricaObserve a montagem a seguir e suponha que os

medidores usados sejam bons: em comparação com aresistência R do resistor, a resistência interna do ampe-rímetro é desprezível e a do voltímetro é muito maior.

Assim, a intensidade il da corrente que passa peloresistor é praticamente igual à intensidade ida corren-te no amperímetro.

Lendo, então, o valor de ino amperímetro e a ddpU no voltímetro, calculamos R:

R=l!INota:

• Existe um instrumento apropriado para medir resistên-cias, denominado ohmímetro. Existem, ainda, instru-mentos conhecidos por multímetros, que se prestam àmedição de corrente, tensão e resistência, bastando posi-cionar adequadamente uma chave seletora para o exercí-cio de cada função.

A associação de quatro resistores representada nafigura a seguir é denominada ponte de Wheatstone,e ela é útil na determinação experimental da resis-tência de um resistor. Recebe esse nome porque foiidealizada pelo físico inglês Charles Wheatstone(1802-1875).

Nesta montagem, RI e R4 são resistências co-nhecidas, R3 é uma resistência variável, porémconhecida, e R2 é uma resistência desconhecida, que

queremos determinar. Observe, também, a presençade um galvanômetro G com os terminais ligados nospontos C e D. c

Com a intenção de determinar ~, variamos R3até que o galvanômetro indique zero, ou seja, até quedeixe de passar corrente por ele. Quando isso acon-tecer, os potenciais em C e D serão iguais (vc = vD)

e diremos que a ponte está em equilíbrio. Note que,não havendo corrente no galvanômetro, RI e R2 sãopercorridas por uma mesma corrente de intensidade i,enquanto R4 e R3 são percorridas por uma mesma cor-rente de intensidade i' .

Então, podemos escrever:

{UAC:RII, => {VA-Vc:RI~,

UAD - R4 I VA - VD - R4 I

Como Vc = vD' temos:Rli=R4i' (1)

Além disso:

{

UCB =~ i

UDB =R3 i'Lembrando novamente que Vc = vD' obtemos:

~i=R3i' (lI)Dividindo membro a membro a expressão (1) pela

expressão (lI), obtemos:RI i _ R4 i'~ i - R3 i' => RI R3 = ~ R4

Em uma ponte de Wheatstone em equilíbrio, os pro-dutos das resistências de ramos opostos são iguais:

I R1 R3 = R2 R4 :

Veja, então, que, conhecendo RI' R3 e R4, pode-mos usar a expressão obtida para calcular~.

Normalmente a ponte de Wheatstone é colocadaem prática de uma maneira mais simples, substituin-do-se dois dos resistores por um fio homogêneo AB,de seção transversal uniforme. Veja isso na figura aseguir, em que os resistores de resistências R3 e R4foram substituídos pelo fio.

e

Usando o mesmo material adquirido para o ex-perimento da página 152, monte o circuito da foto aolado.

A lâmpada Lsnão acenderá porque as outras qua-tro lâmpadas constituem uma ponte de Wheatstoneequilibrada (lembre-se de que as resistências das lâm-padas são todas iguais). Assim, não há ddp entre ospontos C e D e, por isso, não há corrente em Ls'

Nesse circuito, RI é conhecida, Rz é desconheci-da, R3 é a resistência do trecho DB do fio e R4 é aresistência do trecho AD.

Para determinar Rz, deslizamos o cursor (contatomóvel) ao longo do fio até ser atingido o equilíbrio daponte: i

G= O.

No equilíbrio, sabemos que:

RI R3 =RzR4

Entretanto, pela Segunda Lei de Ohm, as resis-tências R3 e R4 são proporcionais aos comprimentosde fio DB e AD, respectivamente.

Então, podemos escrever:RIDB

RI DB = Rz AD ::::}Rz = AD

Portanto, conhecendo RI' basta medir DB e ADcom uma régua para calcular Rz.

Nos circuitos a seguir, determine as indicações forneci-das pelos medidores, supostos ideais:

P

UAB = 100 V 30Q

1 QA

B M N

•A 20Q

+rUAB = 6 V

1B

Resolução:a) Sendo o amperímetro ideal, sua resistência interna é nula. Assim,

o amperímetro estabelece um curto-circuito entre os pontos M

e N. O voltímetro, sendo ideal, tem resistência interna infinitae, por isso, nenhuma corrente passa por ele, comportando-secomo um ramo aberto do circuito. Temos, então, o seguinte cir-cuito equivalente:

m No esquema representado na figura, os amperímetros ideais A1e A2 registram, respectivamente, 10 A e 4 A:

A i 2012--.+

r p

i! Sendo R2 = 6 Q, calcule Rl'UAB 3012

1m No circuito representado na figura, os voltímetros V, V1' V2 e V3

i Q são digitais e considerados ideais......-

B M N

o amperímetro indica a intensidade da corrente que o atra-vessa, ou seja, 2 A.

o voltímetro mede a diferença de potencial entre os pontos P e Q,que vale:

b) Nesse caso, tanto o voltímetro como o amperímetro foram ligadosem série no circuito. Então, por ser infinita a resistência do voltíme-tro ideal, não há corrente no circuito: o circuito está aberto.Então:

I O amperímetro indica zero.

, UAD lt::""A: 2012 :D+ ----------

r rUAB = 6 V 412 UDC

1 i = o 1v ----------B: :c: UCB

,,""

... :

Sendo nula a corrente, temos:UAo=20 i =0

eUoc=4 i =0

Como UAB = UAO + Uoc + UCB:

6 = O + O + UCB ~ UCB = 6 V

O voltímetro indica UCB' ou seja, 6 V.

Sabendo que o voltímetro V indica 6,0 V e que as resistências R1, R2 eR3 dos três resistores são respectivamente iguais a 1 Q, 0,5 Q e 2,5 Q,determine as indicações dos voltímetros V1, V2 e V3.

m Uma bateria fornece uma ddp de 6,0 V à associação de resisto-res representada na figura.

6,0 V

Os amperímetros Al' A2 e A3 são digitais e supostos ideais. Determinesuas indicações, sabendo que Rj = 1 Q, R2 = 3 Q e R3 = 5 Q.

Na associação de resistores dada a seguir, calcule a resis-tência elétrica equivalente entre os pontos A e B:

Resolução:Como R, R3 = R2 R4, concluímos que R" R2, R3 e R4 constituem umaponte de Wheatstone equilibrada. Logo, não há diferença de poten-cial entre os pontos C e O e não há corrente elétrica em Rs' Assim, Rspode ser eliminada da montagem. Diante disso, temos:R1 em série com R2 => R,,2 = R1 + R2 => R1,2 = 8 OR4 em série com R3 => R4,3= R4 + R3 => R4,3 = 16 OAs resistências R,,2 e R4,3estão em paralelo:

R'2R438·16R - , , ---AB R1,2 + R4,3 8 + 16

I RAB = 5,3 O Im Os cinco resistores representados na figura têm a mesma resis-tência elétrica R: C

J.RA B

D

Estando com os pés sobre um piso isolante, vamos segurar um dospontos (A, B, C, O ou E) com uma mão e outro ponto com a outra mão.Em que par de pontos certamente não há perigo de "choque"?

m No circuito esquematizado abaixo, calcule a resistência R, sa-bendo que é nula a corrente indicada no galvanômetro G:

Um técnico possui um amperímetro de 0,9 O de resistên-cia interna e 5 A de fundo de escala. Então, esse amperímetro podemedir correntes de, no máximo, 5 A. Determine como um resistordeve ser associado a ele, bem como a resistência desse resistor, paraque se torne capaz de medir intensidades de corrente de até 50 A,

Resolução:Para que o fundo de escala desse medidor passe a valer 50 A, devemosassociar a ele um resistor de resistência R em paralelo. Desse modo,quando uma corrente de 50 A atingir a associação, 5 A deverão passarpelo amperímetro original e 45 A pelo resistor associado a ele:

R; = 0,9 Q

I = SOAA ----+-

i = SA-.~ j' = 45 A

Note que A e B passam a ser os terminais do amperímetro com fundode escala alterado para 50 A.Como Ri e R estão em paralelo, temos:

R i' = Ri i => R ' 45 = 0,9 . 5

I R=0,10 I

m Um medidor de intensidade de corrente, cuja resistência inter-na vale 0,18 O, pode medir, no máximo, 1 A. Calcule a resistência doresistor que deve ser associado a esse medidor, para que ele se tor-ne capaz de medir intensidades de corrente de até 10 A. Especifiquecomo deve ser feita a associação do resistor com o medidor.

Um voltímetro de resistência interna igual a 100 kO temfundo de escala de 10 V. Um resistor de resistência R deve ser asso-ciado a esse medidor, para que ele se torne capaz de medir até 100 V.Calcule R e diga como deve ser feita a associação.

Resolução:Para que o fundo de escala desse medidor passe para 100 V, devemosassociar a ele um resistor em série. Assim, quando aplicarmos 100 Ventre os terminais da associação, devemos ter 10 V no voltímetro ori-ginal e 90 V em R:

R. = 100 kQ'-O..·· :::'-.,0

A j V i R B-. -+ -{[..uJ]l-, , ,, , ,,U = 10V

,U' = 90 V

,, , ,l. .:... ..:, ,,

100V,, ,

o( .~Note que A e B passam a ser os terminais do voltímetro com fundo deescala alterado para 100 V.Como a intensidade ida corrente é igual em Ri e em R, temos:

i= ~, } ::::> .!L = jL ~ 90 = JQ.. U' R R, R 100I=R'

I R=900 kO IDI O fundo de escala de um voltímetro de 1 MO de resistênciainterna é igual a 50 V. Determine a resistência do resistor que deve serassociado a ele, de modo que se torne capaz de medir tensões de até1 000 V e especifique como deve ser feita a associação.

m (UFSCar-SP) O laboratório de controle de qualidade em umafábrica para aquecedores de água foi incumbido de analisar o compor-tamento resistivo de um novo material. Esse material, já em forma defio com secção transversal constante, foi conectado, por meio de fios deresistência desprezível, a um gerador de tensão contínua e a um amperí-metro com resistência interna muito pequena, conforme o esquema.

Fazendo variar gradativamente e uni-formemente a diferença de potencialaplicada aos terminais do fio resistivo,foram anotados simultaneamente osvalores da tensão elétrica e da cor-respondente corrente elétrica geradano fio. Os resultados desse monitora-mento permitiram a construção dosgráficos que seguem.

i (A)

3,0

2,0

1,0

u (V)1.5

1,0

0,5

Uma vez que a variação de tempera-tura foi irrelevante, pôde-se consta-tar que, para os intervalos conside-rados no experimento, o fio teve umcomportamento ôhmico. Justifiqueessa conclusão e determine o valorda resistência elétrica, em Q, do fioestudado.

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€X€ACICIOS .... ::. J NIV€L 2;:.-,,: -' .

m (UFBA) A figura abaixo representa um circuito elétrico constituí-do de um voltímetro (V) e um amperímetro (A) ideais, cinco resistorese uma bateria. A bateria fornece uma tensão de 12,0 V e o voltímetroregistra 6,0 V.

a) Qual a leitura no amperímetro?b) Qual a diferença de potencial no resistor de , ,5 Q?c) Qual a potência dissipada no resistor situado entre os pontos X e Y?

DI (Fuvest-SP) Considere a montagem abaixo, composta por 4 re-sistores iguais R, uma fonte de tensão F, um medidor de corrente A, ummedidor de tensão V e fios de ligação. O medidor de corrente indica8,0 A e o de tensão, 2,0 V.

Pode-se afirmar que a potência total dissipada nos 4 resistores é, apro-ximadamente, de:a) 8W.b) 16W.c) 32W.

d) 48W.e) 64W.

m (Cesgranrio-RJ) No circuito representado, a resistência do am-perímetro é desprezível e a diferença de potencial entre os terminaisda bateria é 12 V. A resistência máxima do reostato é de 6,0 Q. Quandoo contato móvel encosta em M (reostato fora do circuito), o amperíme-

••tro indica 1,0 A. A potência dissipada no resistor é, então, PM' Quandoo contato móvel encosta em N (reostato todo no circuito), a potência

Pdissipada no resistor é PN' Calcule-t.

N

m No circuito representado a seguir, calcule R1 para que a potên-cia dissipada no resistor de 10 Q seja nula.

m Na ponte esquematizada na figura, AB é um fio homogêneode secção transversal uniforme. Seu comprimento é de 120 cm e suaresistência elétrica é de 60 Q:

O equilíbrio da ponte é conseguido quando o cursor C encontra-se a20 cm de A. Calcule a resistência R.

(ITA-SP) Considere um arranjo em forma de tetraedro construí-do com 6 resistências de 100 Q, como mostrado na figura.

Pode-se afirmar que as resistências equivalentes RAB e RCD entre os vér-tices A e B e C e D, respectivamente, são:a) RAB = RCD = 33,3 Q. d) RAB = RCD = 83,3 Q.b) RAB = RCD = 50 Q. e) RAB = 66,7 Q e RCD = 83,3 Q.c) RAB = RCD = 66,7 Q.

(Vunesp-SP) A corrente que corresponde à deflexão máxima doponteiro de um galvanômetro é de 1,0 mA e sua resistência, de 0,5 Q.Qual deve ser o valor da resistência que precisa ser colocada nesse apa-relho para que ele se transforme em um voltímetro apto a medir até10 V? Como deve ser colocada essa resistência: em série ou em paralelocom o galvanômetro?

m A escala de um amperímetro apresenta 100 divisões e seu fun-do de escala é de 5 A. Sendo de 1,8 Q a resistência elétrica desse medi-dor, determine:a) o número de amperes por divisão;b) como deve ser associado um resistor e qual deve ser a sua resistên-

cia, para que o medidor possa medir correntes de até 20 A;c) o número de amperes por divisão na situação descrita no item b.

m (Vunesp-SP) Um estudante utiliza-se das medidas de um vol-tímetro Vede um amperímetro A para calcular a resistência elétricade um resistor e a potência dissipada nele. As medidas de corrente evoltagem foram realizadas utilizando o circuito da figura a seguir.

R

o amperímetro indicou 3 mA e o voltímetro, 10 V. Cuidadoso, ele lem-brou-se de que o voltímetro não é ideal e que é preciso considerar ovalor da resistência interna do medidor para se calcular o valor da re-sistência R.Se a especificação para a resistência interna do aparelho é 10 kQ,calcule:a) o valor da resistência R obtida pelo estudante;b) a potência dissipada no resistor.

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eXeACICIOS .:,~..,". ~;.._,," '. NIVEL 3.. 5," ,~ " ••

No circuito apresentado a seguir, um dos resistores tem resis-tência Ro' Determine R, em função de Ro' para que a resistência vistapelos terminais A e B seja igual aRo:

A

Na associação esquematizada a seguir, a ddp entre os pontos Ae B é igual a 30 V:

Determine a intensidade de corrente no fio CD, de resistênciadesprezível.

m No esquema a seguir, R= 10 Q e os fios de ligação têm resistên-cia desprezível. O potencial da Terra é considerado nulo e o potencialno ponto A é de 10 V.

A B

(10 V) R

Determine:a) a resistência equivalente ao sistema esquematizado;b) a intensidade de corrente em D;c) o potencial em B;d) a resistência equivalente ao sistema, se o circuito for aberto no

ponto C;e) a potência dissipada no sistema, com o circuito aberto em C.

m (UFJF-MG) Um disjuntor é um interruptor elétrico de proteçãoque desarma quando a corrente num circuito elétrico ultrapassa umcerto valor. A rede elétrica de 110 V de uma residência é protegida porum disjuntor de 40 amperes, com tolerância de ± 5%. Se a residênciadispõe de um chuveiro elétrico de 3 960 watts, um ferro de passar rou-pas de 880 watts e algumas lâmpadas de 40 watts:a) Determine o maior valor da corrente que passa pelo disjuntor, abai-

xo do qual ele não desarma, com certeza (o limite inferior da faixa

de tolerância). Determine também o menor valor da corrente, aci-ma do qual o disjuntor desarma, com certeza (o limite superior dafaixa de tolerância).

b) O chuveiro e o ferro de passar roupas podem ser ligados juntos semque o disjuntor desarme? Justifique por meio de cálculos.

c) Quando o chuveiro está ligado, quantas lâmpadas podem ser liga-das sem que o disjuntor desarme com certeza? Justifique por meiode cálculos.

m (ITA-SP) Na figura, AB representa um resistor filiforme, de resis-tência r e comprimento L. As distâncias AP e QB são II e 1.,respec-5 5tivamente. A resistência R vale 0,40 r. Quando a chave C está aberta, acorrente constante ia= 6,00 A passa por r. Quando a chave C for fecha-da, a corrente que entrará em A será:

a) 7,5A.b) 12,OA.c) 4,5A.d) 9,OA.e) indeterminada, pois o valor de r não foi fornecido.

m (PUC-SP) No circuito indicado, não há passagem de correntepelo galvanômetro. Determine as intensidades de corrente i1 e i2•

m (ITA-SP) O circuito da figura a seguir, conhecido como pontede Wheatstone, está sendo utilizado para determinar a temperaturado óleo de um reservatório, no qual está inserido um resistor de fio detungstênio RI' O resistor variável R é ajustado automaticamente demodo a manter a ponte sempre em equilíbrio, passando de 4,00 npara 2,00 n.

Sabendo que a resistência varia linearmente com a temperaturae que o coeficiente linear de temperatura para o tungstênio valea. = 4,00 . 10-3 0C-1, a variação da temperatura do óleo deve ser de:a) -125°C c) 25,0 °c e) 250°Cb) -35,7"C d) 41,7 °c

PARA RACIOCINAR UM POUCO MAISm Seis resistores de resistências iguais a R são associados comomostra a figura (tetraedro): A

cCalcule a resistência equivalente entre os pontos A e B.Sugestão: procure perceber alguma simetria que permita identificarpontos no mesmo potencial; um resistor entre esses pontos fica elimi-nado da associação.

m Doze resistores de resistências iguais a R são associados segun-do as arestas de um cubo, como mostra a figura:

C R B

A HDetermine a resistência equivalente entre A e B.

m No circuito esquematizado a seguir, determine a resistênciaelétrica R, para que o galvanômetro G, ligado a uma pilha de 1,5 V,indique zero:

m A rede resistiva esquematizada na figura estende-se à direita,indefinidamente (o número de resistores é infinito). Cada resistor temresistência R.