Departamento de Física da Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa T4

FÍSICA EXPERIMENTAL I - 2009/2010

________________________________________________________________________________________________

OSCILAÇÕES MECÂNICAS LIVRES, AMORTECIDAS E FORÇADAS

1 Objectivo

Medir a frequência própria de um oscilador;

Determinar a constante de amortecimento;

Medir a amplitude das oscilações forçadas em função da frequência de excitação para várias

constantes de amortecimento.

2 Introdução

2.1 Movimento harmónico simples

Uma partícula descreve um movimento harmónico simples quando a sua posição x em

função do tempo t é descrita pela equação

sin (1)

onde A é a amplitude, ω a frequência angular e a fase inicial do movimento. O período T do

movimento é tal que a função tem o mesmo valor quando o argumento varia de 2

Figura 1: Na parte superior da figura está representado o movimento de uma partícula segundo o eixo dos x em torno do ponto O, entre os pontos x = -A e x = A. A partícula está representada na posição de coordenada x. Ao movimento de vai e vem da partícula no eixo dos x corresponde uma variação no tempo, expressa pela eq. (1), representada na figura para = 0.

Derivando (1) relativamente ao tempo obtemos a velocidade da partícula,

T/43T/4

T/2T

t

O-A Ax x

T4 - Oscilações ________________________________________________________________________________________________

2(7)

cos . (2)

Derivando de novo em relação ao tempo obtemos a aceleração da partícula,

sin (3)

que se pode exprimir na equação diferencial

0 (4)

Esta é a equação diferencial de um movimento harmónico simples. A variável x pode ser qualquer

uma das grandezas: deslocamento linear, deslocamento angular, carga de um condensador,

temperatura.

2.2 Oscilações livres

Consideremos uma massa m actuada pela força linear de uma mola em que k é a

constante da mola.

0 0 x

F

ux

m

Figura 2: À esquerda na figura está representada a massa m na extremidade de uma mola que está em equilíbrio na posição 0. À direita na figura, a mola foi afastada da sua posição de equilíbrio, a massa m encontra-se na posição x e

actua sobre ela uma força proporcional ao deslocamento e de sentido contrário.

Desprezando o amortecimento e a massa da mola, obtemos, utilizando a 2ª lei de Newton, a

equação do movimento:

, (5)

em que sen é solução desta equação1. A amplitude A do movimento e a fase inicial

são constantes a determinar a partir das condições iniciais 0, , . Substituindo a

expressão de x na equação do movimento (5) vem:

sin sin (6)

donde ; é designada por frequência própria do oscilador e é representada por .

Então, o período T de oscilação

1 Se quisermos descrever a situação em que a massa m está suspensa de uma mola, e portanto sujeita também à força

gravítica, a eq. (5) vem e a solução desta equação é sen , onde / .

A alteração consiste numa variação da posição de equilíbrio que deixa de ser no ponto 0 para ser no ponto x0.

T4 - Oscilações ________________________________________________________________________________________________

3(7)

2 (7)

depende das constantes m e k e é independente da amplitude. Uma massa na extremidade de uma

mola descreve no tempo uma sinusóide, tal como o faz qualquer objecto a vibrar com movimento

harmónico simples.

A vantagem de exprimir as oscilações em termos de uma equação diferencial é poder

estabelecer analogias entre sistemas físicos oscilantes completamente diferentes: mecânicos,

eléctricos, hidráulicos, …

2.3 Oscilações amortecidas

Em todos os problemas físicos existe sempre algum atrito e portanto a equação (5) não pode

representar com exactidão a situação física, devendo ser corrigida através da introdução de um

termo correspondente à força de atrito.

0 x

Fa

ux

F

Figura 3: Representação das forças elástica da mola, , e de atrito, , que actuam numa massa presa a uma mola.

Empiricamente essa força pode ser representada por , onde b é uma constante que

depende das características do corpo (forma geométrica e tamanho de sua superfície) e da

viscosidade do fluido no qual o corpo oscila. A equação do movimento vem agora

0 (8)

cuja solução tipo é

e sin . (9)

Substituindo em (8) vem

(10)

e

(11)

onde é a constante de amortecimento.

T4 - Oscilações ________________________________________________________________________________________________

4(7)

Figura 3: Oscilações amortecidas cuja amplitude decresce exponencialmente com o tempo, .

A frequência de oscilação ω afasta‐se tanto mais de ω₀ quanto mais importante for o termo

de amortecimento relativamente a essa frequência. Quando a frequência praticamente não

se altera e vem ω ω₀.

Nas oscilações amortecidas a amplitude de oscilação e diminui com o tempo e a

energia do oscilador também diminui devido ao trabalho da força de atrito. A representa agora a

amplitude inicial do movimento. O tempo necessário para que a amplitude se reduza a metade

obtém-se fazendo

(12)

2.4 Oscilações forçadas Como em geral existe dissipação de energia, a manutenção de um movimento oscilatório

exige o acoplamento do oscilador a um sistema que lhe forneça energia. Iremos aqui estudar o caso

de um oscilador acoplado a um sistema que é responsável por uma excitação sinusoidal, que se

traduz no aparecimento de uma força excitadora, sin , na equação do movimento:

sin (13)

0 x

Fa

Ff

ux

F

Figura 4: Para além da força elástica da mola, , estão representadas a força de atrito e uma força excitadora

sinusoidal, , de amplitude F0.

Exprimindo a equação de movimento (13) na forma diferencial vem:

3T2TT

-Ae-t

t

Ae- tx

T4 - Oscilações ________________________________________________________________________________________________

5(7)

sin (14)

A solução desta equação diferencial é a soma de uma solução geral da equação homogénea

com uma solução particular da equação não homogénea. A solução geral da equação homogénea

(F0 = 0) corresponde a um regime transitório que decresce exponencialmente e desaparece ao fim de

um certo tempo. Depois de algumas oscilações atinge-se um regime estacionário em que o oscilador

oscila com a frequência forçada, mas com uma amplitude que depende do afastamento entre a

frequência forçada e a frequência própria do oscilador.

A solução particular da equação não homogénea corresponde ao estado estacionário e é do

tipo

sin (15)

em que representa a diferença de fase entre as oscilações do excitador e do oscilador.

Substituindo a solução (15) na equação (14) obtemos após algumas transformações trigonométricas:

(16)

tg

(17)

A amplitude varia com a frequência e é máxima quando o denominador da equação (16)

for mínimo. Derivando o radicando do denominador em ordem e igualando a zero obtém-se o

valor da frequência da força excitadora, ωA, para a qual a amplitude é máxima

A 2 .

Quando a frequência da força aplicada for igual a A dizemos que há ressonância. A frequência

de ressonância varia com o amortecimento e, quando é nulo, a amplitude de ressonância é infinita

e isto ocorre quando A .

2.5 Pêndulo de torção Neste trabalho vai estudar as oscilações livres amortecidas e forçadas de um pêndulo de

torção designado por disco de Pohl. Neste caso a equação do oscilador livre é: , o que

significa que a coordenada do oscilador é e o momento de inércia I substitui a massa nas equações

anteriores.

T4 - Oscilações ________________________________________________________________________________________________

6(7)

3 Para resolver antes da aula de realização do trabalho

1) Escreva as expressões (5), (8), (9), (14) e (16) aplicadas ao pêndulo de torção.

2) Partindo da expressão que lhe dá a solução da equação das oscilações amortecidas para o

pêndulo de torção

a. deduza a expressão da velocidade do oscilador amortecido;

b. determine, na posição de elongação nula, a expressão da velocidade em função do tempo

do oscilador.

3) Determine os valores limite da amplitude de um oscilador forçado e amortecido nos casos

a. f muito menor que 0;

b. f muito maior que 0.

4 Realização experimental

4.1 Material Disco de Pohl, fonte de alimentação, 2 multímetros, cronómetro, sensor óptico ligado ao

computador.

4.2 Obtenção de Resultados e Análise de Resultados

Figura 5: Representação do pêndulo de torção:

1 – Escala;

2 – Pêndulo: 2a ponteiro da deflexão; 2b ponteiro da relação de fase, 2c mola helicoidal;

3 – Excitador: 3a ponteiro da relação de fase, 3b fenda, 3c parafuso, 3d biela, 3e roda impulsora e excêntrica;

4 – Travão electromagnético: 4a bornes de ligação de saída da fonte de corrente;

5 – Motor excitador: 5a controlo fino da tensão de excitação, 5b Controlo da tensão de excitação, 5c bornes para ligação do multímetro, 5d bornes de ligação de saída da fonte de tensão;

1. Efectue o ajuste do zero, rodando o disco que se encontra acoplado ao motor (fig. 5 - 3e) até

colocar o ponteiro do pêndulo (fig. 5 - 2a) no zero da escala de amplitude (fig. 5 - 1).

T4 - Oscilações ________________________________________________________________________________________________

7(7)

2. Desloque o ponteiro do pêndulo para a posição de oscilação máxima, obtendo assim

oscilações livres. Utilizando o sensor óptico e o sistema automático de registo, meça o período de

oscilação do pêndulo (programa DataStudio, opção fotoporta e pêndulo).

Observação: Preste atenção aos dados registados no computador. Para além do registo do período, o sistema regista a velocidade do movimento do pêndulo, na posição de equilíbrio. Comente os valores registados para a velocidade, nesse ponto, ao longo do tempo.

3. Determine a frequência natural de oscilação do pêndulo e a respectiva incerteza.

4. Ligue a saída de 2 A da fonte de alimentação aos bornes da bobina (fig.5 - 4a) (que vai

constituir um travão electromagnético) e introduza um multímetro para medir a intensidade de

corrente. O grau de amortecimento é controlado variando entre 0 e 100% o potenciómetro da fonte

de alimentação. Isto corresponde à introdução, na equação do movimento, de um termo de

amortecimento que é proporcional à velocidade.

5. Ajuste o valor da corrente para 0,2 A. Desloque de novo o ponteiro do pêndulo até à posição

de oscilação máxima, e utilizando o sistema automático de medida, meça o período de oscilação do

pêndulo. Registe os valores da velocidade no ponto de equilíbrio, até o pêndulo parar.

6. Determine, a partir da variação da velocidade com o tempo, a constante de amortecimento.

7. Repita os pontos 5. e 6. para um valor de corrente de 0,4 A.

8. Ligue a saída de 24V da fonte de alimentação aos bornes do motor (fig. 5 - 5d) o que lhe vai

permitir forçar o pêndulo de torção. O ajuste da tensão é realizado com os dois potenciómetros de

ajuste grosso e fino (fig.5 - 5b e 5a) junto ao motor, utilizando um multímetro para medir a tensão

(fig.5 – 5c).

9. Ajuste a corrente que alimenta a bobina para 0,4 A. Varie a frequência da oscilação forçada

e para cada valor meça a amplitude de oscilação, tendo o cuidado de esperar que se atinja o estado

estacionário. A frequência da oscilação forçada é determinada a partir da medição, com um

cronómetro manual, do intervalo de tempo que a roda impulsora (fig.5 - 3e) leva a fazer um certo

número de revoluções. Tenha o cuidado de varrer a gama de frequências que lhe interessa.

Represente graficamente a dependência entre a amplitude e a frequência da oscilação

forçada. Determine o valor da frequência de ressonância.

10. Repita o ponto anterior para outro valor da constante de amortecimento.

11. Na situação de atrito quase nulo observe o movimento de oscilação para diferentes valores

da frequência que força o sistema. Registe o que observa para a frequência de ressonância nesta

situação.

Trabalho de laboratório preparado por: Ana Maria Costa, Luísa Paramês