Tábua de Sobrevivência Bi-dimensional do Prof. Rio Nogueira
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Tábua de Sobrevivência Bi-dimensional do Prof. Rio Nogueira
Apresentação no IX Congresso Brasileiro e Oan-Americano de Atuária
22 de julho de 2011
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Objetivo• Apresentar as bases técnicas para a
construção de tábuas de mortalidade bi-dimensionais dependentes da idade x e da época e.
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Motivação
• “Não é de hoje que os atuários se preocupam com a involução da Taxa de Mortalidade Humana. É natural que, no curso dos anos, as pessoas ganhem mais tempo de vida, protegidas pelo desenvolvimento dos métodos de preservação da saúde.”
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Motivação (cont.)• “Embora auspiciosa, a evolução temporal da
expectativa de vida em cada idade ... hoje se torna a maior preocupação dos técnicos com o custo das aposentadorias e a necessidade urgente de reformulação da própria doutrina atuarial.”
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Motivação (cont.)
• “...qualquer avaliação atuarial fundamentada nos dados observados em períodos vencidos encerra necessariamente a sub-estimação de reservas – no caso das aposentadorias – e o consequente obscurecimento da situação econômica da entidade.”
![Page 6: Tábua de Sobrevivência Bi-dimensional do Prof. Rio Nogueira](https://reader035.fdocumentos.com/reader035/viewer/2022062408/56813306550346895d99c213/html5/thumbnails/6.jpg)
Motivação (cont.)
• “... Reconhecida a obsolescência das tábuas clássicas, forçoso é admitir que o seu uso nas avaliações oculta o déficit embrionário agora revelado para várias entidades; e a solução obrigaria a reformular planos de benefícios com a progressiva redução das aposentadorias precoces – que se tornam cada vez mais precoces – aprimorando a linha que inspirou a teoria do fator previdenciário (Lei 9876/99) para protelar a concessão da aposentadoria básica”.
• Prof. Rio Nogueira (2005)
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Motivação (cont.)
• “Os fundos de pensão estão um passo atrás das seguradoras, no que diz respeito à adoção de tábuas de longevidade. Além da maioria utilizar a AT-83, anterior a AT-2000, as entidades fechadas de previdência complementar não adotam o improvement (técnica que visa atualizar a tábua de sobrevivência automaticamente, considerando o aumento esperado da sobrevida).” SEGS(23/3)
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• O prof. Rio Nogueira vinha se debruçando sobre este problema já há bastante tempo, tendo inclusive alertado várias entidades, desde o século passado, da necessidade de incorporar nos cálculos atuariais as melhorias ocorridas na sobrevivência da população assistida.
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• O Professor não conseguiu ultimar a tábua de sobrevivência bi-dimensional, mas deixou o seu legado na forma de notas escritas e um primeiro exercício que foi apresentado a diretoria da Petros em abril de 2005.
• Este primeiro exercício contava com somente 5 anos de histórico de sinistralidade, não o suficiente para a determinação de um parâmetro crucial para descrever a evolução da sobrevivência no tempo, como propunha o Professor: o progresso da vitalidade humana.
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• O que nos propusemos é dar continuidade aos cálculos efetuados pelo Professor com um histórico mais longo 16 anos.
• O que se mostra a seguir é uma replicação dos passos seguidos (e anotados) pelo Professor, mas com este histórico mais alongado.
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Contextualização (teorias para a evolução da mortalidade)
• Compressão• Translação lateral• Translação vertical
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Metodologia
• Pela lei de Makeham:
Consequentemente a probabilidade de sobrevivência entre idades exatas é:
xcxx gksl
xcc
x
xx sg
l
lp )1(1
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Metodologia (cont.)
)ln(**)1()ln()ln( gccsp xx
xx cbap *)ln(
• Tirando-se o logaritmo:
e renomeando algumas variáveis, temos:
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Metodologia (cont.)
• A partir dos dados da entidade é possível estimar esta função px para diferentes períodos. No presente trabalho utilizamos os quinquênios: 2002/2004, 2005/2007 e 2008/2010, centrados nos anos 2003, 2006 e 2009 (que serão considerados os instantes 0, 3 e 6).
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Parâmetros do ajuste2002/2004 2005/2007 2008/2010
a
-0,000133389 -0,000020711 0,000090626b
-0,000016328 -0,000015190 -0,000014050c
1,107870051 1,107868384 1,107868153
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Metodologia (cont.)
x
(x)x
(x)
x +βε
+αΔε(εp
)
A representação da probabilidade de sobrevivência na idade x e na época e, é dada pela função hiperbólica (por hipótese):
Onde n(x) é o parâmetro de progresso da vitalidade humana e D é a assíntota da função sobrevivência evitando atingir-se a unidade.
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Metodologia (cont.)
2ln
033
606
ln
)(
) ()-p (p) (pΔ
) (pΔ) ()-p (p
(x)= xx
x
x
xx
Considerando esta equação para 3 instantes: e=0, 3 e 6, e os valores obtidos dos dados da entidade ajustados ao modelo de Makeham para os 3 triênios, podemos resolver e obter estimadores para todas as quantidades envolvidas , n(x), ax e bx.
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)0()6(
)6(6 )(
xx
xx
x pp
pΔ
xxx p )0(
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![Page 20: Tábua de Sobrevivência Bi-dimensional do Prof. Rio Nogueira](https://reader035.fdocumentos.com/reader035/viewer/2022062408/56813306550346895d99c213/html5/thumbnails/20.jpg)
![Page 21: Tábua de Sobrevivência Bi-dimensional do Prof. Rio Nogueira](https://reader035.fdocumentos.com/reader035/viewer/2022062408/56813306550346895d99c213/html5/thumbnails/21.jpg)
Improvement implícito na tábua
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Evolução da probabilidade de sobrevivência como função do tempo para idades selecionadas
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
tempo
p(.)
20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
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Evolução da probabilidade de sobrevivência como função do tempo para idades selecionadas
0,5
0,6
0,6
0,7
0,7
0,8
0,8
0,9
0,9
1,0
1,0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
tempo
p(.)
20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
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Evolução da probabilidade de sobrevivência como função do tempo para idades selecionadas
0,75
0,80
0,85
0,90
0,95
1,00
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
tempo
p(.)
20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
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Evolução da probabilidade de sobrevivência como função do tempo para idades selecionadas
0,95
0,96
0,97
0,98
0,99
1,00
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
tempo
p(.)
20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
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Evolução da probabilidade de sobrevivência como função do tempo para idades selecionadas
0,990
0,992
0,994
0,996
0,998
1,000
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
tempo
p(.)
20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
![Page 27: Tábua de Sobrevivência Bi-dimensional do Prof. Rio Nogueira](https://reader035.fdocumentos.com/reader035/viewer/2022062408/56813306550346895d99c213/html5/thumbnails/27.jpg)
![Page 28: Tábua de Sobrevivência Bi-dimensional do Prof. Rio Nogueira](https://reader035.fdocumentos.com/reader035/viewer/2022062408/56813306550346895d99c213/html5/thumbnails/28.jpg)
![Page 29: Tábua de Sobrevivência Bi-dimensional do Prof. Rio Nogueira](https://reader035.fdocumentos.com/reader035/viewer/2022062408/56813306550346895d99c213/html5/thumbnails/29.jpg)
![Page 30: Tábua de Sobrevivência Bi-dimensional do Prof. Rio Nogueira](https://reader035.fdocumentos.com/reader035/viewer/2022062408/56813306550346895d99c213/html5/thumbnails/30.jpg)
-
2,00
4,00
6,00
8,00
10,00
12,00
18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60 62 64 66 68 70 72 74 76 78 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 100
Idade
Impacto na anuidade atuarial ax decorrente da incorporação doprogresso da vitalidade humana nas tábuas - como função da idade
Juros de 6,0%
Juros de 5,5%
Juros de 5,0%
Juros de 4,5%
Juros de 4,0%
Juros de 3,5%
Juros de 3,0%
![Page 31: Tábua de Sobrevivência Bi-dimensional do Prof. Rio Nogueira](https://reader035.fdocumentos.com/reader035/viewer/2022062408/56813306550346895d99c213/html5/thumbnails/31.jpg)
Comentários e Conclusões• Existe um impacto significativo, porém não
assustador.• Entidades abertas já estão utilizando cálculos
com improvement (seja com a escala G ou fixando um percentual fixo de queda da mortalidade) para suas reservas.
![Page 32: Tábua de Sobrevivência Bi-dimensional do Prof. Rio Nogueira](https://reader035.fdocumentos.com/reader035/viewer/2022062408/56813306550346895d99c213/html5/thumbnails/32.jpg)
• A tábua de sobrevivência bi-dimensional do Professor Rio, está construída em cima de uma experiência nacional, de uma população expressiva (por oposição ao uso da escala G – construída a partir de uma experiência americana), e diferencia os ganhos por idade (diferentemente da suposição de uma taxa uniforme de improvement).
![Page 33: Tábua de Sobrevivência Bi-dimensional do Prof. Rio Nogueira](https://reader035.fdocumentos.com/reader035/viewer/2022062408/56813306550346895d99c213/html5/thumbnails/33.jpg)
• Comentários?• Perguntas?
![Page 34: Tábua de Sobrevivência Bi-dimensional do Prof. Rio Nogueira](https://reader035.fdocumentos.com/reader035/viewer/2022062408/56813306550346895d99c213/html5/thumbnails/34.jpg)
• Obrigado!
• Cálculos desenvolvidos por Kaizô Iwakami Beltrão e Antônio Carlos Cabral.