Taís de Alencar Lucato Santana Dependência paramétrica da...

Universidade Estadual de Campinas

Faculdade de Tecnologia

Taís de Alencar Lucato Santana

Dependência paramétrica da equação da difusão em

1+1 dimensões

Limeira, 2017


Dependência paramétrica da equação da difusão em 1+1

dimensões

Dissertação apresentada à Faculdade deTecnologia da Universidade Estadual deCampinas como parte dos requisitos para aobtenção do título de Mestra em Tecnologia, naárea de Ambiente .

Orientador: Prof. Dr. Varese Salvador Timóteo

Este exemplar corresponde à versão �nal daDissertação defendida por Taís de AlencarLucato Santana e orientada pelo Prof. Dr.Varese Salvador Timóteo.

Limeira, 2017

Agência(s) de fomento e nº(s) de processo(s): Não se aplica.

Ficha catalográficaUniversidade Estadual de Campinas

Biblioteca da Faculdade de TecnologiaFelipe de Souza Bueno - CRB 8/8577

Lucato, Taís de Alencar, 1990- L962d LucDependência paramétrica da equação da difusão em 1+1 dimensões / Taís

de Alencar Lucato Santana. – Limeira, SP : [s.n.], 2017.

LucOrientador: Varese Salvador Timoteo. LucDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Faculdade

de Tecnologia.

Luc1. Equação da difusão. 2. Poluentes. 3. Velocidade. 4. Coeficiente de

dispersão. 5. Heterogeneidade. I. Timoteo, Varese Salvador,1972-. II.Universidade Estadual de Campinas. Faculdade de Tecnologia. III. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: Parameter dependence of the advection-diffusion equation in 1+1dimensionsPalavras-chave em inglês:Advection-diffusion equationPollutantsSpeedDispersion coefficientHeterogeneityÁrea de concentração: AmbienteTitulação: Mestra em TecnologiaBanca examinadora:Varese Salvador Timoteo [Orientador]Peterson Bueno de MoraisEdilson Ferreira BatistaData de defesa: 12-09-2017Programa de Pós-Graduação: Tecnologia

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Universidade Estadual de Campinas

Faculdade de Tecnologia


Dependência paramétrica da equação da difusão em 1+1

dimensões

Banca Examinadora:

• Prof. Dr. Varese Salvador TimóteoFT/UNICAMP

• Prof. Dr. Peterson Bueno de MoraesFT/UNICAMP

• Prof. Dr. Edilson Ferreira BatistaUESB - Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia

A ata da defesa com as respectivas assinaturas dos membros da banca encontra-se noprocesso de vida acadêmica do aluno.

Limeira, 12 de setembro de 2017

Dedicatória

Dedico à minha família.

Agradecimentos

A Deus.

Ao meu amigo Me. Matheus Fernando Pereira por contribuir na minha formação,pelo incentivo e paciência.

Ao Prof. Dr. Varese Salvador Timóteo, pela sua orientação, total apoio e dispo-nibilidade.

À minha família, em especial ao meu marido Felipe, meu pai Adilson, minha mãeMarta e minha irmã Daniela pela hospitalidade, estímulo e paciência.

Aos examinadores, Prof. Dr. Peterson Bueno de Morais e Prof. Dr. Edilson Fer-reira Batista, pela avaliação do trabalho.

Aos docentes da Faculdade de Tecnologia (FT) e da UNICAMP que contribuírampara minha formação.

À secretaria da pós-graduação, pelos esclarecimentos das dúvidas e pelo apoio.

Aos amigos, colegas e colaboradores que conheci nas disciplinas cursadas duranteo mestrado.

Resumo

Foi empregado o método da diferença �nita explícita para resolução da equação dadifusão unidimensional em um cenário de dispersão espacialmente dependente ao longode um �uxo não uniforme em meio semi-in�nito heterogêneo com uma fonte emissora dotipo pulso, cenário abordado recentemente na literatura. O método foi validado por meioda comparação com solução analítica existente e foi empregado para análise da in�uênciada velocidade inicial do �uxo, do coe�ciente de dispersão e da heterogeneidade do meiona variação da concentração de um poluente em função do espaço e do tempo. De acordocom os resultados, observou-se que quando a fonte é ativada, a razão C/C0 é maior paravalores maiores da velocidade inicial do �uxo e do coe�ciente de dispersão inicial e queapenas para distâncias mais curtas da fonte de emissão, a proporção é maior para o meiocom menos heterogeneidade, uma vez que a distância da fonte aumenta, a concentraçãose torna maior para meios com maior heterogeneidade. Após a remoção da fonte, por suavez, foi veri�cada uma maior concentração para valores mais baixos de velocidade inicialdo �uxo, coe�ciente de dispersão e heterogeneidade do meio próximo à fonte emissora, evalores maiores dos três parâmetros, após o pico da concentração máxima. Os resultadosdemonstraram boa e�cácia quando comparados à solução analítica.

Palavras-chaves: Equação da Difusão; poluentes; velocidade do �uxo; coe�ciente dedispersão; heterogeneidade do meio.

Abstract

The explicit �nite di�erence method for solving the one-dimensional advection-di�usionequation was used in a spatially dependent dispersion scenario along a non-uniform �owin a heterogeneous semi-in�nite medium with a pulse-type emitting source, a scenariorecently discussed in the literature. The method was validated by comparison with exist-ing analytical solution and was used to analyze the in�uence of the initial velocity of thestream, the dispersion coe�cient and the heterogeneity of the medium in the variation ofthe concentration of a pollutant as a function of space and time. According to the results,it was observed that when the source is activated, the ratio C/C0 is higher for highervalues of the initial �ow velocity and the initial dispersion coe�cient and that only forshorter distances of the emission source, the proportion is higher for the medium with lessheterogeneity, since the distance of the source increases, the concentration becomes largerfor means with greater heterogeneity. After the source removal, a higher concentrationwas veri�ed for lower values of initial �ow velocity, dispersion coe�cient and heterogeneityof the medium near the emitting source, and higher values of the three parameters, afterthe maximum concentration peak. The results showed good e�cacy when compared tothe analytical solution.

Keywords: Advection-di�usion equation; pollutants; �ow velocity; dispersion coe�cient; heterogeneity of the environment.

Lista de Figuras

2.1 Principais etapas para o desenvolvimento do projeto . . . . . . . . . . . . . 20

3.1 Efeito do parâmetro velocidade inicial do �uxo no transporte do poluenteem uma fonte do tipo pulso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2 Efeito da velocidade inicial do �uxo na variação da concentração de polu-ente em função da distância e do tempo - comparação das soluções analítica(pontos) e numérica (curvas). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.3 Distribuição da concentração em função da distância e do tempo, com-parando diferentes valores de velocidade inicial do �uxo para uma fonteemissora tipo pulso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.4 Efeito do coe�ciente de dispersão na variação da concentração de poluenteem função da distância e do tempo - comparação das soluções analítica(pontos) e numérica (curvas). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.5 Distribuição da concentração em função da distância e do tempo, compa-rando diferentes valores de coe�ciente de dispersão para uma fonte emissoratipo pulso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.6 Efeito do parâmetro de heterogeneidade do meio na variação da concen-tração de poluente em função da distância e do tempo - comparação dassoluções analítica (pontos) e numérica (curvas). . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.7 Distribuição da concentração em função da distância e do tempo, compa-rando diferentes valores do parâmetro de heterogeneidade do meio parauma fonte emissora tipo pulso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Sumário

1 Introdução 11

1.1 Poluição atmosférica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2 Estudos e aplicações da Equação da difusão . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Metodologia 17

2.1 Cenário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2 Método numérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3 Validação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3 Resultados e Discussões 21

3.1 Validação do método . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2 In�uência da velocidade inicial do �uxo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.3 In�uência do coe�ciente de dispersão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.4 In�uência do parâmetro de heterogeneidade do meio . . . . . . . . . . . . . 23

4 Conclusões 37

Referências Bibliográ�cas 38

Capítulo 1

Introdução

No presente trabalho é realizada uma abordagem da equação da difusão unidimensionalpara um cenário de dispersão de soluto com fonte emissora do tipo pulso em um meiosemi-in�nito heterogêneo abordado por Jaiswall et al. (2009) e por Savovic e Djordjevich(2013). O intuito do estudo é avaliar a dependência da variação da concentração dopoluente em função dos parâmetros de heterogeneidade do meio (a), velocidade inicial do�uxo em que o poluente é carreado (u0) e coe�ciente de dispersão (D0).

1.1 Poluição atmosférica

Qualquer substância encontrada no ar que tenha uma concentração que a torna impró-pria, nociva, ou ofensiva à saúde é considerada um poluente. A quantidade de poluentesno ar determina o nível de poluição atmosférica, sendo que podem ser encontradas umavariedade muito grande de substâncias na atmosfera (CETESB, 2017).

Os poluentes são classi�cados como primários quando emitidos pelas fontes de emissãoe secundários quando formados por reação química entre os poluentes primários e com-ponentes naturais da atmosfera. As condições meteorológicas interferem na concentraçãodos poluentes, onde um dos parâmetros que favorecem o aumento da poluição são osventos fracos (CETESB, 2017).

Os efeitos à saúde causados pela poluição do ar são maiores que os efeitos causadospor uma longa lista de fatores ambientais (BRUNEKREEF; HOLGATE, 2002).

O acelerado desenvolvimento da urbanização acarretou algumas questões ambientaisem países desenvolvidos (ZHANG et al., 2015). Chen et al. (2013) descobrem que aspoluições atmosféricas por partículas suspensas podem diminuir a expectativa de vida dehabitantes do norte da China.

No estudo de Tan et al. (2017) identi�cou-se que a poluição atmosférica elevada podeinduzir danos cumulativos ao DNA quando há exposição a longo prazo, levando a umrisco maior de câncer.

Costa et al. ( 2016) estimaram o impacto da exposição a curto prazo à poluição do arna saúde pública do estado de São Paulo avaliando a antecipação da morte, por exposiçãoà poluição do ar de uma população frágil com alto risco de morte, devido às suas condições

11

CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 12

de saúde precárias. Foram evidenciadas a mortalidade antecipada dentro de 30 dias paramortes não acidentais e circulatórias em idosos.

Em um estudo executado por Becker, Linden e Schmitt (2017) foi avaliada a coberturae concentração de metais pesados em epí�tas vasculares analisadas em árvores isoladas aolongo da urbanização no sul do Brasil, onde observaram que as epí�tas diminuem à medidaque a urbanização aumenta, ou seja que a poluição ambiental inclusive a atmosférica éacentuada, sendo que os fatores antrópicos são as principais causas dessa redução.

1.2 Estudos e aplicações da Equação da difusão

Uma equação diferencial parcial de tipo parabólico, conhecida como equação da difusãodescreve o transporte de uma solução através de um meio, que é derivado das leis dedifusão de Fick e do princípio da conservação da massa (Eq.1.1). A equação linear podeser descrita quando em dimensão espacial como (JAISWAL et al., 2009):

∂

∂tC(x, t) =

∂

∂x

[D(x, t)

∂

∂x− u(x, t) C(x, t)

]; (1.1)

Em que:C(x, t) = Concentração do soluto na posição x e no tempo t;D(x, t) = Coe�ciente de dispersão;u(x, t) = Velocidade do �uxo em que um poluente é carreado.

O transporte de poluentes descrito por uma equação da difusão resulta na concentraçãovolumétrica de um poluente em um �uido móvel e turbulento que na forma vetorial podeser escrita conforme equação 1.2 (THONGMOON; MCKIBBIN, 2006).

∂c

∂t+∇ · (~V C) = ∇ · ( ~K ⊗∇c) (1.2)

Em que:C = Concentração (massa por unidade de volume) de poluente no ponto no tempo t;(~V ) = Vetor de velocidade do �uido;( ~K) = Tensor de dispersão-difusividade ou dispersão;D(x, t) = Coe�ciente de dispersão.

De acordo com Dvorak, Zboril e Simek (2009) a difusão para moléculas em estadolíquido ou gasoso está ligada a um processo natural. A convecção representa o transportedo poluente através do vento quando estudado na atmosfera, ou por um �uxo, quandoanalisado em ambientas aquáticos. Os parâmetros de difusão e convecção são variáveisno espaço e no tempo onde dependendo das condições os mesmos são adequados.

Utiliza-se a equação da difusão na descrição de fenômenos da biofísica e ciências bi-omédicas e no comportamento da distribuição de poluentes no ar, rios, petróleos entreoutros (JAISWAL et al., 2009).


A equação da difusão unidimensional é reescrita (Eqs. 1.3 e 1.4) por Savovic e Djord-jevich, (2013) considerando que D e u são constantes e que cujas dimensões dependemdas expressões f1(x, t) e f2(x, t) que consideram a in�uência da homogeneidade do meio(a) na equação do soluto.

∂ C(x, t)

∂t= [D0

∂f1(x, t)

∂x− u0 f2(x, t)]

∂ C(x, t)

∂x(1.3)

+ D0 f1(x, t)∂2 C(x, t)

∂x2− u0

∂f2(x, t)

∂xC(x, t) (1.4)

De acordo com Savovic e Djordjevich (2013) o método das diferenças �nitas explícitaé obtido para soluções de dispersão através de um meio semi-in�nito horizontal hetero-gêneo (Eq. 1.5). O método resolve a equação da difusão bidimensional com coe�cientesvariáveis. A variação do parâmetro de dispersão devido à heterogeneidade é consideradaproporcional ao quadrado da velocidade. Esse método pode ser usado com as condiçõesiniciais arbitrárias e de contorno, bem como com as variações da dispersão em diferentesvelocidades, para que as soluções de análise não estão disponíveis.

∂

∂tc(x, y, t) =

∂

∂x[Dx(x, t)

∂c(x, y, t)

∂x− u(x, t) c(x, y, t)]

+∂

∂y[Dy(y, t)

∂c(x, y, t)

∂x− v(y, t) c(x, y, t)] (1.5)

Para possibilitar o controle da qualidade do ar, são necessários instrumentos que vãoalém das medições por analisadores, podendo assim melhorar a atmosfera com planosque reduzam as emissões, esses planos são traçados com base em instrumentos comoo modelo matemático de dispersão na atmosfera, capazes de ligar a fonte de poluiçãocom a concentração do poluente. Devido à complexidade dos processos que governam otransporte e a difusão de poluentes �ca indispensável a utilização de modelos matemáticos(MOREIRA e TIRABASS, 2004). Assim também podemos considerar o controle dequalidade da água.

A descrição de fórmulas matemáticas para modelagem da dispersão atmosférica foi umgrande progresso das últimas décadas. No passado, foi possível a obtenção de soluçõesanalíticas para alguns casos de menor complexidade. Atualmente as soluções numéricassão mais utilizadas para resolução da equação da difusão na atmosfera. As soluções numé-ricas muitas vezes são simpli�cadas, pois as soluções analíticas exatas não são encontradasna maioria dos casos (DVORAK et al., 2008).

Neste contexto, identi�cação de uma solução para a equação da difusão com parâ-metros variáveis é muito importante. As formas analíticas e numéricas possibilitam aresolução da equação, sendo que o emprego da solução analítica é muito complexo e difícilde derivar e apenas o espaço pode ser resolvido. Já a solução numérica é mais fácil de serencontrada na forma geral ou da equação (DVORAK, ZBORIL e SIMEK 2009).

A identi�cação de uma solução para a equação da difusão com parâmetros variáveis émuito importante. As formas analíticas e numéricas possibilitam a resolução da equação,


sendo que o emprego da solução analítico é muito complexo e difícil de derivar e apenaso espaço pode ser resolvido já a solução numérica é mais fácil de ser encontrada na formageral ou da equação (DVORAK, ZBORIL e SIMEK 2009).

Wortman et al. (2005) utilizaram uma solução analítica para resolver a equação dadifusão, descrita como matemática dos fenômenos físicos da dispersão, para simular adispersão de poluentes na camada limite da atmosfera, onde constatou uma exatidão nasolução analítica a�rmando que o cálculo da concentração de poluentes é livre de errosexceto pelo erro de arredondamento e portanto podem ser utilizados para avaliar a precisãodos modelos numéricos.

Mazaheri et al. (2013), também desenvolveram uma solução analítica com base naderivação de uma fonte pontual com um padrão de tempo de pulso linear uma solu-ção analítica da equação da difusão envolvendo uma condição de parâmetros constantes,como velocidade constante e coe�ciente de difusão. Os autores utilizaram o princípio dasuperposição, onde uma solução derivada pode ser prorrogada por um padrão de tempoarbitrário envolvendo várias fontes pontuais. Foi concluído que as soluções analíticasfornecem uma estimativa exata da concentração, podendo ser aplicadas em cenários queenvolvam o processo de otimização em que é necessária a estimativa da solução em umnúmero �nito de pontos, que se limita a parâmetros com condições constantes e não écomputacionalmente e�ciente para os problemas que envolvem tanto um alto temporal,ou uma alta resolução espacial.

Ahmed, Zainab e Qamar (2017) empregam o método da transformada de Laplace, queconsiste na conversão de coe�cientes variáveis em coe�cientes constantes, para obtençãode solução da equação da difusão onde os momentos temporais com ordem superior a3, sendo veri�cada boa aplicabilidade quando comparado a técnica de solução numéricadenominada �esquema do volume �nito com alta resolução�.

Jaiswal et al. (2009) também utilizaram o método da Transformada de Laplace pararesolver analiticamente a equação da difusão unidimensional onde a dispersão é ao longo deum �uxo uniforme e dependente do tempo. Os autores aplicaram a técnica para reduzir ocoe�ciente variável em coe�cientes constantes para a dispersão espacialmente dependenteao longo de um �uxo não uniforme com um cenário de concentração de entrada de tipopulso uniforme, considerando o método mais simples e aceitável entre os existentes.

Savovic e Djordjevich (2013) desenvolveram uma solução numérica baseada no métododa diferença �nita explicita para resolução da equação da difusão unidimensional comcoe�cientes variáveis em meios semi-in�nito os mesmos cenários simulados por Jaiswalet al., (2009). Em ambos os estudos, foram simulados dois casos de dispersão variávelem função do espaço, sendo um deles em �uxo uniforme e outro em �uxo não- uniforme,com uma fonte emissora do tipo pulso, sendo veri�cado que o método da diferença �nitaexplícita é e�caz e preciso para a solução da equação da difusão com coe�cientes variáveisem meios semi-in�nito.

Savovic e Djordjevich, (2012), já haviam estudado anteriormente três problemas dedispersão utilizando a equação da difusão unidimensional (Eq. 1.1) com variáveis cons-tantes em meios semi-in�nitos, contemplando dispersão ao longo de um �uxo constanteatravés de um meio não homogêneo, dispersão ao longo do tempo com �uxo uniforme emmeio homogêneo e a dispersão em �uxo instável em meio não homogêneo dependendo do


tempo, todos eles considerando uma fonte continua e uniforme. O método foi comparadocom base em soluções analíticas descritas na literatura e concluído que o mesmo é e�-caz para resolver a equação da difusão com variáveis constantes em meios semi-in�nitosquando são necessárias condições iniciais e de contorno.

Pereira (2014) resolveu a equação da difusão unidimensional por meio de um algoritmode passo variável, onde o método foi validado, obtendo resultados similares aos alcançadospor Savovic e Djorjevich (2012). No trabalho foi avaliada a in�uência dos parâmetros deheterogeneidade do meio, velocidade do �uxo e coe�ciente de dispersão na variação daconcentração de poluentes em função do espaço e do tempo. Nesse estudo foi observadoque meio de menor heterogeneidade, baixa velocidade inicial do �uxo e baixo coe�cientede dispersão implicam em menores valores de concentração, facilitando a dispersão depoluentes.

Gharehbaghi (2016) utiliza o método de quadratura diferencial de formas explicitae implícita para simpli�car a solução numérica da equação da difusão unidimensionaldevido as vantagens em relação aos métodos clássicos, como menor ocupação da memóriado computador diminuindo o tempo de execução e geralmente facilita a obtenção desoluções mais precisas de equações não-lineares dadas. Foi observado neste trabalho umadesvantagem, onde a solução explicita é incapaz de satisfazer a condição de estabilidade,concluindo que a forma implícita é mais precisa e con�ável.

Gavete et al. (2017) avaliaram o método de diferenças �nitas generalizado para re-solução de problemas não lineares como transferência de massa e de calor e acústica.O método resolveu equações diferenciais parciais lineares como propagação de ondas edifusão, provando ser um método viável.

Foi realizada uma comparação entre os métodos splines cúbicos e diferença �nitas naresolução da equação da difusão unidimensional para estimativa de derivadas primeirase segundas, onde as soluções numéricas foram validadas por meio da comparação deresultados de soluções analíticas. Através da comparação, foi observado que o métodopor diferença �nita apresenta melhores soluções pontuais do que o método spline cúbico(THONGMOON e MCKIBBIN 2006)

González-Parra et al. (2015) explica, que as equações diferenciais são utilizadas paradescrever o quanto a propriedade física da matéria muda em relação ao espaço e ao tempo,os fenômenos reais trazem complicações às equações diferenciais, pois raramente se temsoluções exatas para os mesmos. Neste contexto, vem sendo aplicados modelos matemá-ticos desenvolvidos a partir das incertezas existentes em equações diferenciais, podendoser empregados em diversas áreas, tais como poluição atmosférica, poluição aquática, en-genharia de petróleo entre outras. Ressalta-se que para lidar com erros e incertezas, queinclusive devem ser considerados nas condições iniciais e termo fonte, de modo a descrevera situação de interesse com �delidade, tem sido veri�cado frequentemente na literatura aadoção de variáveis aleatórias ou que integram efeitos estocásticos nas equações diferen-ciais.

Lauret et al. (2016) utilizaram o método numérico Dinâmica de Fluidos computaci-onais (CFD) para prever a dispersão atmosférica, onde foi criado um banco de dados desimulações de CFD e executada a discretização da equação da difusão. Os autores menci-onam que esse método fornece boa precisão, mas demanda muito tempo computacional.


O CFD são fundamentados em dinâmicas microscópicas. A utilização do método CFD ébastante utilizada, porém métodos mais simples podem ser utilizados e possuem a mesmaqualidade nos resultados (KANDA et al., 2013).

Kanda et al. (2013) estudaram um modelo de difusão atmosférica executando umacombinação entre o principio da conservação da massa para o cálculo da velocidade e aequação da difusão para calcular a concentração, com o intuito de obter cálculos rápidospara geometrias complexas. Os autores obtiveram um modelo relativamente simples, masque não funcionou com o aumento da complexidade; porém em comparação com o conven-cional método Pluma Gaussiano, que utilizam fórmulas empíricas e analíticas derivadasde resultados de campo, o método da combinação da conservação da massa associadoa equação da difusão, exibiu melhores desempenhos em índices estáticos viabilizando-opara avaliação ambiental com a vantagem de necessitar apenas de uma fração da memóriacomputacional utilizada pelo método do CFD.

Zhou et al. (2016), observaram que inúmeros fenômenos de difusão práticos não obe-decem à equação da difusão clássica, sendo necessário utilizar a equação da difusão fra-cionada, que tem potencial para o estudo de transporte de massa complexa em sistemashidrológicos reais. Devido complexidade dos métodos numéricos existentes para soluçãoda equação da difusão fracionada, neste estudo um novo método Boltzmann foi desen-volvido. Foram avaliadas a precisão e convergência do método e as previsões numéricasforam comparadas com soluções analíticas. Foi concluído que os problemas de transportede massa complexos poderão ser amplamente aplicados com o método apresentado.

Os modelos matemáticos também podem ser empregados em outras áreas, como emmecanismos de transferência de massa e calor, a exemplo do estudo desenvolvido porEleiwi et al. (2016) que estudou um modelo dinâmico para o processo de destilação pormembrana de contato direto. Para descrever os mecanismos de transferência de calor emassa que ocorrem dentro da membrana de contato direto, foi utilizada a equação dadifusão bidimensional. O intuito do modelo é analisar o comportamento do processo notempo variável e no estado de equilíbrio estacionário e também, contribuir para a com-preensão do desempenho do processo, especialmente quando acionado por fornecimentode energia intermitente. O modelo foi validado com dados experimentais.

Ottosson, Nilsson e Berghel (2017) desenvolveram um modelo matemático para preveras características dos processos de transporte envolvidos na secagem Yankee de papelde seda. Foi utilizado o software MATLAB para resolver numericamente as equaçõesdiferenciais ordinárias e parciais e para resolvê-las empregaram um método implícito dediferenças �nitas.

Krishnapriya, Pitchaimani e Witten (2017) descreveram a dinâmica da gripe A (H1N1)com um modelo diferencial de atraso. Eles tiveram que identi�car o tempo necessáriopara que o indivíduo exposto se tornasse infeccioso e para isso incorporaram uma demoradiscreta ao modelo. O resultado do modelo se deu em um sistema de equações diferenciaisde atraso onde utilizaram simulações numéricas para ilustrar os resultados obtidos.

Capítulo 2

Metodologia

O projeto foi baseado no cenário da seção 3.2: Dispersão espacialmente dependenteao longo de um �uxo não uniforme do estudo recente "Numerical solution for temporallyand spatially dependent solute dispersion of pulse type input concentration in semi-in�nitemedia"de Savovic e Djordjevich (2013) que contempla soluções analítica e numérica para aequação da difusão unidimensional, dispersão de soluto com fonte emissora do tipo pulso,sendo o estudo aplicado para a fonte ligada e desligada, conforme �uxograma (Figura2.1):

2.1 Cenário

No presente estudo, a equação da difusão unidimensional foi resolvida analítica enumericamente, considerando o cenário de dispersão espacialmente dependente ao longode um �uxo não uniforme, com uma fonte emissora do tipo pulso, havendo portantouma concentração inicial de soluto, cujo valor decresce à medida em que a distânciaaumenta, simulado por Jaiswall et al. (2009) e Savovic e Djordjevich (2013). Levando-seem conta que os autores consideram que a velocidade aumenta com a distância e que ocoe�ciente de dispersão é proporcional ao quadrado da velocidade, bem como a in�uênciado parâmetro da heterogeneidade do meio na equação do soluto, para representação docenário, a equação da difusão é reescrita, conforme Equações 2.1, 2.2 e 2.3.

∂

∂tC(x, t) =

∂

∂x

[D0 (1 + ax)2

∂C(x, t)

∂x− u0(1 + ax) C(x, t)

](2.1)

∂ C(x, t)

∂t= [(1 + ax)(2aD0 − u0)]

∂ C(x, t)

∂x(2.2)

+ D0 (1 + ax)2∂2 C(x, t)

∂x2− u0aC(x, t) (2.3)

Sendo:a = parâmetro de heterogeneidade do meio; u0= velocidade de �uxo inicial; D0 = coe�ci-ente de dispersão; t = tempo em relação ao acionamento da fonte emissora; x = distânciaem relação à fonte emissora.

17

CAPÍTULO 2. METODOLOGIA 18

No cenário simulado, são adotadas as seguintes condições:• O meio possui uma concentração uniforme de soluto Cin, antes de se introduziruma concentração de entrada c0;• A concentração de entrada c0 é removida após 1,8 anos (t0);• A concentração inicial é uma variável cujo valor é decrescente em relação à distância,tendendo para zero no in�nito.

Neste contexto, foram adotadas as seguintes condições iniciais e de contorno (Eqs. 2.4,2.5, 2.6, 2.7, 2.8 e 2.9):

c(0, t) = c0 , 0 < t 6 t0 , (2.4)

c(0, t) = 0 , t > t0 , (2.5)

c(0, x) = 0 , (2.6)∂

∂xc(∞, t) = 0 , t > t0 , (2.7)

c(t,∞) = 0 , (2.8)

c(x, 0) =Cin

(1 + ax), x > 0 (2.9)

2.2 Método numérico

Para estimativa da variação da concentração do soluto em função do tempo e dadistância para o cenário abordado na sessão 2.1, foi utilizado o compilador Fortran 90,para solução numérica baseada no Método da Diferença Finita Explícita, adotando comocondições iniciais e de contorno as mesmas utilizadas por Jaiswall et al. (2009) e porSavovic e Djordjevich (2013).

Após a aplicação do esquema da diferença central para representação dos termos

∂2C(x, t)

∂x2,∂C(x, t)

∂x

e o método do esquema da diferença progressiva para representação do termo

∂C(x, t)

∂t,

foram adotados os coe�cientes G e H para conversão da equação 2.2 no formato vetorial(Eqs. 2.10 a 2.14):

Ci,j+1 = (Gi −Hi)Ci−1,j + (Gi +Hi)Ci+1,j (2.10)

+ (1− 2Gi − J)Ci,j , (2.11)


Sendo:

Gi =D0(1 + axi)

2∆t

∆x2, (2.12)

Hi =(2aD0 − u0)(1 + axi∆t)

2∆x, (2.13)

J = u0 a ∆t . (2.14)

Ressalta-se que as condições iniciais descritas na seção 2.1 podem ser representadasna forma de diferença �nita conforme equação 2.15:

Ci,0 =Cin

(1 + axi), x > 0, t = 0 (2.15)

A equação da difusão foi resolvida com vários valores dos parâmetros velocidade inicialdo �uxo (u0), coe�ciente de dispersão (d0) e heterogeneidade do meio (a) com a fonteativada e removida de forma independente para o cenário descrito na seção 2.1.

2.3 Validação

Para validar os resultados obtidos na solução numérica resolveu-se a equação da difusãode forma analítica utilizando os mesmos valores para os parâmetros u0, d0 e a no mesmocenário descrito na seção 2.1, por meio do software Wolfram Mathematica 11.1.1.

A solução analítica obtida por Jaiswall et al. (2009) para o cenário descrito na seção2.1 foi baseada na transformada de Laplace, técnica aplicada para reduzir o coe�cientevariável em coe�cientes �xos, sendo realizada conversão das equações 3 e 4 para descriçãoda in�uência do parâmetro de heterogeneidade do meio, conforme Equações 2.16 a 2.24.

C(x, t) = F1(x, t)− F2(x, t) + F3(x, t) , 0 < t 6 t0 , (2.16)

C(x, t) = F1(x, t)− F1(x, t− t0)− F2(x, t) + F3(x, t) , t > t0 , (2.17)

Sendo:

F1(x, t) =c02

[(1 + ax)−1 erf [ln(1 + ax)

2a√D0t

− β√t] (2.18)

+ (1 + ax)δ erf [ln(1 + ax)

2a√D0t

+ β√t]] , (2.19)

F2(x, t) =CinC0

F1(x, t) , (2.20)

F3(x, t) =Cin

(1 + ax), (2.21)

ω0 = au0 − a2D0 , (2.22)

β2 =(ω0/2a)2

D0

+ au0 , (2.23)

δ =u0aD0

. (2.24)


Os resultados numéricos foram comparados com a solução analítica apresentada porJaiswall et al (2009), sendo analisada a dependência dos parâmetros u0, d0 e a para reso-lução da equação difusão através de grá�cos de densidade para visualizar a concentraçãocomo função da distância e do tempo para vários valores dos parâmetros. A escala decores é tal que o vermelho corresponde a uma concentração máxima normalizada C/C0=1e o roxo corresponde a C/C0=0, concentração mínima.

Figura 2.1: Principais etapas para o desenvolvimento do projeto

Capítulo 3

Resultados e Discussões

3.1 Validação do método

Para validar os resultados obtidos na resolução da equação da difusão unidimensional,solucionada numericamente para vários valores dos parâmetros u0, d0 e a, foi utilizadauma solução analítica. Grá�cos foram elaborados para comparação dos resultados, comoexemplo segue abaixo a Figura 3.1 que contém os resultados pelo método numérico queestão representados por linhas e pelo método analítico que estão representados por pontos,as C/C0 foram obtidas com o t = 0,1 ano e com u0 variando em 0,0 km/ano, 0,25 km/ano,0,5 km/ano, 1,0 km/ano e 1,5 km/ano.

Figura 3.1: Efeito do parâmetro velocidade inicial do �uxo no transporte do poluente emuma fonte do tipo pulso.

21

CAPÍTULO 3. RESULTADOS E DISCUSSÕES 22

Pode-se observar na Figura 3.1 que a solução analítica e numérica resultaram em umaalta concentração (C/C0) na fonte e a medida em que a distância aumenta a concentra-ção diminui. De acordo com os resultados obtidos, pode-se considerar a solução numériaválida. Para todos os parâmetros a comparação com a solução analítica foi realizada.

Para resolver a equação da difusão foram adotados os mesmos dados de entrada uti-lizados por Savovic e Djordjevich: C0 = 1,0, Cin = 0,01, D0 = 0,14 km2/ano, u0 = 0,25km/ano e a0= 1 km−1. O tempo de eliminação da fonte de poluição é t0 = 1,8 anos. Assoluções no domínio do tempo t<t0 são calculadas em t = 0,5; 1,0 e 1,5 anos, e aquelesno domínio do tempo t> t0 são computados em t = 2,0; 2,5 e 3,0 anos, usando os com-primentos dos passos X = 0,1 km e T= 0,00005 ano e considerando que x∞ = 20,0 km éa distância a que não há mais alterações na concentração C(x, t).

3.2 In�uência da velocidade inicial do �uxo

Foram realizadas simulações da variação da razão (C/C0) em função da distância edo tempo, comparando 5 valores distintos deste parâmetro, sendo estes u0=0,0; u0=0,25;u0=0,5; u0=1,0 e u0=1,5 km/ano, considerando tempos de até três anos em relação aoacionamento da fonte emissora e distância de até 3 quilômetros e meio, adotando osmesmos dados de entrada usados por Jaiswall et al. (2009) e por Savovic e Djordjevich(2013), abordado na seção 2.2.

O método numérico utilizado foi validado por meio da comparação com a soluçãoanalítica abordada por Yadav et al. (2012) e uma boa concordância pode ser observada,conforme Figura 3.2, na qual os pontos representam a solução analítica, e as curvas re-presentam a solução numérica, e na Figura 3.3, na qual as soluções analítica e numéricasão comparadas para variação da razão C/C0 em função da distância e do tempo simul-taneamente, por meio da comparação dos cinco valores da velocidade inicial do �uxo naqual o poluente é carreado.

Conforme Figuras 3.2 e 3.3, observa-se que tempos inferiores a 1,8 ano, ocasião emque a fonte emissora é removida, a atenuação da concentração em função da distância émaior para um �uxo com uma menor velocidade inicial, sendo que os valores de C/C0 sãomaiores para meios com maiores velocidades iniciais. Por outro lado, após a remoção dafonte emissora, observa-se que para distâncias próximas à fonte emissora, a dispersão éfacilitada para meio com maior velocidade inicial do �uxo, para os quais são veri�cadosmenores valores de C/C0. No entanto, à medida em que a distância em relação à fonteemissora aumenta, as condições passam a ser mais favoráveis para meios com maioresvelocidades do �uxo, em decorrência da concentração já existente no meio em decorrênciado período em que a fonte emissora estava acionada.


3.3 In�uência do coe�ciente de dispersão

O coe�ciente de difusão D é caracterizado tanto pelo movimento browniano, que con-siste no movimento aleatório de partículas num �uido que ocorre em consequência dochoque de todas as moléculas ou átomos presentes no �uido, quanto pela difusão daspartículas do aerossol, ou seja, o transporte líquido das partículas em um gradiente deconcentração. Trata-se da relação do �uxo J de partículas com o gradiente de concentraçãodn/dx (Eq. 5), sendo que quanto maior o seu valor, mais vigoroso é o movimento browni-ano e mais rapidamente ocorre o transporte de massa em um gradiente de concentração(HINDS, 1998).

J = −D dn

dx(3.1)

De forma análoga à velocidade inicial do �uxo, também foram realizadas simulaçõespara veri�cação da in�uência do coe�ciente de dispersão na variação da concentração dosoluto em função do espaço e do tempo, também sendo utilizados 5 valores distintos desteparâmetro para comparação, D0=0,02; D0=0,07; D0=0,14; D0=0,19 e D0=0,23 km2/ano,considerando tempos de até três anos em relação ao acionamento da fonte emissora edistância de até 3 quilômetros e meio, adotando os mesmos dados de entrada usados porJaiswall et al. (2009) e por Savovic e Djordjevich (2013), considerando os mesmos tempoe as mesmas distâncias descritas na seção 3.2.

Conforme Figuras 3.4 e 3.5, foi observado comportamento semelhante à velocidadeinicial do �uxo, ou seja, quando a fonte está acionada, a dispersão é facilitada para meioscom menor coe�ciente de dispersão, o que pode ser decorrente de movimento brownianomenos vigoroso. Ainda, é veri�cado que após a remoção da fonte emissora, os valores deC/C0 são maiores para meios com menores coe�cientes de dispersão nas proximidades dafonte emissora, e o inverso para distâncias maiores, assim como observado para u0. Asemelhança entre os parâmetros de velocidade inicial do �uxo e coe�ciente de dispersãotambém pode ser explicada pelo fato do cenário considerar o coe�ciente de dispersãoproporcional ao quadrado da velocidade, cujo coe�ciente é variável ao longo do meio emque o soluto é disperso.

3.4 In�uência do parâmetro de heterogeneidade do meio

Além das variáveis velocidade inicial do �uxo e coe�ciente de dispersão, também foirealizada uma investigação da in�uência do parâmetro de heterogeneidade do meio navariação da concentração em função da distância e do tempo, adotando como dados deentrada os valores a=0,1, a=0,3; a=06; a=1,0 e a=1,3 km−1, considerando as mesmasfaixas de tempo e distância descritas nas seções 3.2 e 3.3.

Conforme Figuras 3.6 e 3.7, pode ser observado que antes da remoção da fonte, quantomaior o valor do parâmetro de heterogeneidade do meio, menor é a atenuação de C/C0

em função da distância, excerto para distâncias bem próximas à fonte emissora, na qualsão observados maiores valores de concentração para meios mais homogêneos. Um fatorobservado é que quanto maior o tempo de emissão, maior a distância em que ocorre a


intersecção nas cinco curvas de C/C0 em função da distância, o que pode ser decorrentedo aumento da in�uência da fonte emissora para distâncias maiores.

Após a remoção da fonte emissora, por sua vez, é observado que a razão C/C0 aumentapara distâncias próximas à fonte emissora, demonstrando a in�uência da concentração jáexistente na faixa de domínio. No entanto, após o pico de máxima concentração, a curvapassar a ser decrescente e com comportamento similar ao observado para a fonte emissoraativa, ou seja, valores de C/C0 maiores para meios mais homogêneos nas proximidadesda fonte emissora e para meios mais heterogêneos a medida em que a distância aumenta.

Assim como observado para as variáveis descritas nas seções 3.2 e 3.3, também foiobservada uma boa concordância nas soluções analítica e numérica na comparação davariação de C/C0 em função da distância, considerando tanto os valores de t �xo, quantovariáveis, demonstrando boa e�cácia do método utilizado.


Figura 3.2: Efeito da velocidade inicial do �uxo na variação da concentração de poluenteem função da distância e do tempo - comparação das soluções analítica (pontos) e numérica(curvas).


Figura 3.3: Distribuição da concentração em função da distância e do tempo, comparandodiferentes valores de velocidade inicial do �uxo para uma fonte emissora tipo pulso.


Figura 3.4: Efeito do coe�ciente de dispersão na variação da concentração de poluente emfunção da distância e do tempo - comparação das soluções analítica (pontos) e numérica(curvas).


Figura 3.5: Distribuição da concentração em função da distância e do tempo, comparandodiferentes valores de coe�ciente de dispersão para uma fonte emissora tipo pulso.


Figura 3.6: Efeito do parâmetro de heterogeneidade do meio na variação da concentraçãode poluente em função da distância e do tempo - comparação das soluções analítica(pontos) e numérica (curvas).


Figura 3.7: Distribuição da concentração em função da distância e do tempo, comparandodiferentes valores do parâmetro de heterogeneidade do meio para uma fonte emissora tipopulso.

Capítulo 4

Conclusões

A resolução da equação da difusão foi obtida por meio de uma solução numéricaassociada ao método da diferença �nita explicita com uma condição uniforme de entradado tipo pulso e coe�cientes variáveis em um meio semi-in�nito, onde a dispersão dependedo espaço ao longo de um �uxo não uniforme e a concentração inicial de soluto diminuicom a distância, cenário relatado recentemente na literatura.

A dependência da variação da concentração do poluente em função dos parâmetrosvelocidade inicial do �uxo, coe�ciente de dispersão inicial e heterogeneidade do meio foiobservada de acordo com os resultados, sendo que quando a fonte é ligada, a proporçãoC/C0 é maior para valores maiores de velocidade inicial do �uxo e coe�ciente de dispersãoinicial, e para distâncias mais curtas da fonte de emissão, a proporção é maior para o meiocom menos heterogeneidade, uma vez que a distância da fonte aumenta, a concentraçãose torna maior para os meios com maior heterogeneidade. Após a remoção da fonte,por sua vez, pode-se observar intersecções das curvas para os três parâmetros, sendoveri�cada uma concentração mais alta para valores mais baixos da velocidade inicial do�uxo, coe�ciente de dispersão inicial e heterogeneidade do meio perto da fonte emissorae para valores mais altos dos três parâmetros após o pico da concentração máxima. Foiencontrado um bom acordo da solução numérica com a solução analítica relatada naliteratura, utilizada para a validação do método.

Os resultados obtidos neste estudo poderão ser utilizados nas áreas de gerenciamentode fontes emissoras, desenvolvimento de sistemas de monitoramento da qualidade do are avaliação de riscos à saúde e ambientais em decorrência da emissão de poluentes. Paratrabalhos futuros, propõe-se a expansão deste método para a resolução da equação dadifusão em duas e em três dimensões em cenários contemplando fontes emissoras tantodo tipo contínuo quanto do tipo pulso.

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