Tamanho do Proton

Série Rádio Cangália

Objetivos

1. Apresentar um novo resultado de física

experimental atômica e do próton.

2. Mostrar uma motivação para o problema

de empacotamento.

ÁUDIO

Tamanho do próton 2/11 Tamanho do próton 2/11

Tamanho do Proton

Série Rádio Cangália

Conteúdos Geometria, Áreas e perímetros, Problemas de otimização no plano.

Duração Aprox. 10 minutos.

Objetivos 1. Apresentar um novo resultado

de física experimental atômica e do próton.

2. Mostrar uma motivação para o problema de empacotamento.

Sinopse O programa apresenta uma notícia sobre novos resultados que medem o tamanho do próton e discutem um problema particular de empacotamento de latas.

Material relacionado Vídeos: Criador e criatura; Experimento: Empacotamento de latas;

ÁUDIO

Tamanho do próton 3/11 Tamanho do próton 3/11

Introdução

Sobre a série

A série Rádio Cangália apresenta programas descontraídos de variedades que usualmente abordam uma informação ou notícia de conhecimentos gerais, com comentários de um professor de matemática. Os temas não são tratados em profundidade, mas oferecem oportunidade de o professor trabalhar assuntos interdisciplinares em sala de aula ou em atividades extraclasse. O programa pode trazer também uma piada ou uma frase célebre, sem preocupações maiores além de oferecer motivos de discussão em torno de um conteúdo e reforçar a descontração.

Sobre o programa

O programa trata de um experimento da física sobre o tamanho do próton e sugere uma conexão com a otimização de empacotamento de latinhas. Aliás, esse programa pode servir como um reforço do experimento Empacotamento de latas e não convém apresentá-lo antes da atividade com as latinhas.

Esse programa vai abordar alguns conceitos de física atômica. Mais especificamente o elemento formado por um próton e um elétron em órbita, que é o elemento Hidrogênio da tabela periódica e de uma variação desse elemento no qual os físicos colocam outra partícula eletricamente negativa em torno do próton. Essa partícula chamada múon é tem massa 207 vezes maior do que a do elétron.

Os locutores cometem algumas imprecisões do ponto de vista da Física. Por exemplo, a 1min43s do primeiro bloco, é dito que

O nêutron não possui carga eletromagnética, enquanto o próton é positivo, e os elétrons, que estão em órbita envolta do núcleo, são negativos.

ÁUDIO

Tamanho do próton 4/11 Tamanho do próton 4/11

O correto é apenas carga elétrica e o conceito de órbita envolta do núcleo é uma descrição clássica e não quântica.

Logo em seguida:

Voltando ao próton, podemos dizer que ele possui a forma de uma esfera

Novamente, a conexão com a geometria de uma esfera é apenas uma aproximação e comparação com a física clássica, bem como as referências ao seu raio e tamanho.

Em outra passagem há referência ao peso do múon, quando o correto seria fazer referência à sua massa.

Uma das propostas da série é estimular a discussão e o professor deve incentivar o espírito crítico e cético. O professor pode também estimular os alunos para discutirem os conceitos físicos com o professor especialista.

Assim, para o professor de Matemática o programa serve de aplicação e motivação às questões de compactação de objetos.

Sugestões de atividades

Antes da execução

Em uma aula dupla anterior, o professor pode desenvolver o experimento Empacotamento de latas.

Problema Considere o raio de órbita de uma partícula negativa em torno de uma partícula positiva (o próton). Assumir um modelo clássico de órbita circular. Se a massa do múon é 207 vezes maior do que a do elétron, qual é a relação entre o raio de órbita do elétron e o raio de órbita do múon em torno do próton?

ÁUDIO

Tamanho do próton 5/11 Tamanho do próton 5/11

Solução  Vamos considerar apenas que a força de atração eletrostática seja a força centrípeta assim temos

𝑚𝑣!

𝑟=𝑘𝑟!

Onde m é a massa da partícula em órbita em uma circunferência de raio r com velocidade v. k é uma constante que leva em conta as o produto das cargas, a do próton e a da partícula orbitante e a constante física do eletromagnetismo. O modelo assume que o próton está no centro em r=0.

Da igualdade acima concluímos que

𝑚×𝑟×𝑣! = 𝑘

Dessa forma, se a velocidade orbital v for a mesma, a massa m e o raio r da órbita são inversamente proporcionais.

Por essa razão os físicos usam o múon pois sua órbita pode ser mais próxima do próton e revelar, com métodos de física quântica, o tamanho do próton com maior precisão.

Durante a execução

Escreva no quadro os nomes e os dados numéricos mencionados no programa à medida que eles forem falados.

Depois da execução

O programa faz uma conexão com o problema de empacotamento, isto é, a melhor forma de agrupar determinados objetos de forma que a superfície que o fecha seja mínima. Há muitas variações desse problema clássico da matemática.

ÁUDIO

Tamanho do próton 6/11 Tamanho do próton 6/11

Por simplicidade, para o nível de Ensino Médio, o professor pode desenvolver a atividade do Empacotamento de Latinhas da coleção M3 Matemática Multimídia.

Os locutores mencionam um problema como o ilustrado abaixo. Quais são as formas que têm o menor perímetro?

Nesse caso os círculos são semelhantes de mesmo raio.

ÁUDIO

Tamanho do próton 7/11 Tamanho do próton 7/11

Problema de Apollonius Considere três círculos em um plano. Quais são as curvas cônicas definidas por três pontos, um em cada circunferência? Veja a ilustração com os círculos pretos e várias possibilidades de curvas.

Problema do plim plim Considere dois círculos concêntricos e uma elipse que toca o círculo menor por fora e o círculo maior por dentro, como na ilustração abaixo.

Qual para que valores de razão entre os raios, a área da faixa entre os círculos é igual à área da elipse. Dica. A área da elipse é dada por 𝜋𝑎𝑏 onde a e b são os semi eixos da elipse.

ÁUDIO

Tamanho do próton 8/11 Tamanho do próton 8/11

Solução  Sejam 𝑎 > 𝑏 ≠ 0 os raios dos círculos e também os semi-eixos da elipse, por construção. A área da faixa entre os círculos é dada por 𝜋𝑎! − 𝜋𝑏!. Para que as áreas consideradas no problema sejam iguais, temos a seguinte equação:

𝜋𝑎! − 𝜋𝑏! = 𝜋𝑎𝑏

Como 𝑏 ≠ 0 podemos dividir a equação acima por 𝑏! e definir a razão

𝑥 ≡ !!> 1 para obter

𝑥! − 1 = 𝑥⟺ 𝑥! − 𝑥 − 1 = 0

Que é uma equação de segundo grau para a variável x. A solução aceitável é o número de ouro

𝑎𝑏 = 𝑥 =

1 + 52 ≅ 1,618

Problema dos quarks no próton O modelo padrão da física diz que o próton e o nêutron são constituídos por 3 quarks do tipo UP ou DOWN com carga elétrica fracionária. Quais as cargas desses quarks?

Solução  Sejam x e y as cargas dos quarks. O próton tem carga um (unidade de carga apropriada) e o nêutron não tem carga. Para ter 3 quarks de apenas dois tipos, o próton tem dois quarks de um tipo e um quark de outro. Igualmente para o nêutron. Não temos informação suficiente para saber qual quark específico, mas temos o sistema de equações

2𝑥 + 𝑦 = 1  𝑥 + 2𝑦 = 0

Esse sistema de equações é facilmente resolvido pelo método de Gauss de eliminação. Substituir a segunda equação pela diferença dela com a metade da primeira para obtermos o sistema equivalente:

2𝑥 + 𝑦 = 1  

ÁUDIO

Tamanho do próton 9/11 Tamanho do próton 9/11

0 + 2𝑦 − !!𝑦 = −!

!⟺ 𝑦 = −

13

E substituído o valor de y na primeira equação obtemos

𝑥 = +23

O UP é o quark de carga 2/3 positivo e o quark DOWN é o de carga negativa -1/3.

Problema dos 2+1 círculos Considere a seguinte configuração de círculos que se tocam como da ilustração abaixo. Qual é a distância entre os pontos N e G?

Solução  Vamos afirmar, sem demonstrar, que os centros dos círculos e os pontos de contato estão alinhados. Vamos também assumir que os círculos têm raios não nulos e que 𝑥 ≥ 𝑦

ÁUDIO

Tamanho do próton 10/11 Tamanho do próton 10/11

Então a seguinte configuração mostra um triângulo isósceles de lados x+y e 2x.

A altura desse triângulo é um dos catetos do triângulo retângulo que tem hipotenusa x+y e outro cateto x. Assim, pelo teorema de Pitágoras, a distância de N ao centro do círculo menor é dada por

𝑥 + 𝑦 ! − 𝑥! = 𝑦! + 2𝑥𝑦

E para obter a distância ao ponto G basta somar outro raio y, isto é, a distância entre o ponto N e G é dada por

𝑦! + 2𝑥𝑦 + 𝑦 = 𝑦× 1 + 1 + 2𝑥𝑦

Conexões Se considerarmos ambos os problemas vemos que podemos passar uma elipse de semi eixos

ÁUDIO

Tamanho do próton 11/11 Tamanho do próton 11/11

𝑎 = 2𝑥 e 𝑏 = 𝑦× 1 + 1 + 2 !!

.

Assim a razão entre os dois raios é

𝑧 =𝑏𝑎 =

𝑦𝑥 × 1 + 1 + 2

𝑥𝑦

É curioso observar que no caso particular x=2y, z é exatamente o

número de ouro !! !!

≅ 1,618.

Sugestões de leitura

M. Paiva (2002). MATEMÁTICA: CONCEITOS, LINGUAGEM E APLICAÇÕES. Editora Moderna. Vol 1 cap 13, Vol 2, caps 12, 31, 32, p 200. Randolf Pohl et al. The size of the proton, Nature, vol. 466, issue 7303, pp. 213-216 (2010).

Ficha técnica

Autor Samuel Rocha de Oliveira e Luis Ricardo Sarti Coordenação de Mídias Audiovisuais Prof. Dr. Eduardo Paiva Coordenação Geral Prof. Dr. Samuel Rocha de Oliveira

Universidade Estadual de Campinas Reitor Fernando Ferreira Costa Vice-reitor Edgar Salvadori de Decca Pró-Reitor de Pós-Graduação Euclides de Mesquita Neto

Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Diretor Caio José Colletti Negreiros Vice-diretor Verónica Andrea González-López