Tangente Rad Grau
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010GMATEMTICA APLICADA II
5E
Matemtica
Aplicada II
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Monitor Editorial Ltda.Rua dos Timbiras, 257/263 So Paulo SP 01208-010Tel.: (11) 33-35-1000 / Fax: (11) 33-35-1020atendimento@institutomonitor.com.brwww.institutomonitor.com.br
Impresso no Parque Grfico do Instituto MonitorRua Rio Bonito, 1746 So Paulo SP 03023-000Tel./Fax: (11) [email protected]
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Todos os direitos reservadosLei n 9.610 de 19/02/98Proibida a reproduo total ou parcial, por qualquer meio,principalmente por sistemas grficos, reprogrficos,fotogrficos, etc., bem como a memorizao e/ourecuperao total ou parcial, ou incluso deste trabalhoem qualquer sistema ou arquivo de processamento dedados, sem prvia autorizao escrita da editora. Osinfratores esto sujeitos s penalidades da lei,respondendo solidariamente as empresas responsveispela produo de cpias.5 Edio - Novembro/2006
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ndice
010G/
Apresentao............................................................................................................. 7
Lio.1.-.LogaritmosIntroduo................................................................................................................. 9
1..Definio.......................................................................................................... 92..Propriedades.do.Logaritmo.......................................................................... 11
Exerccios.Propostos............................................................................................... 13
Lio.2.-..Noes.de.TrigonometriaIntroduo............................................................................................................... 15
1..Razes.Trigonomtricas.no.Tringulo.Retngulo....................................... 151.1.Teorema.de.Pitgoras.............................................................................. 161.2.Relaes.Trigonomtricas....................................................................... 171.3.Uso.da.Calculadora.Cientfica................................................................ 18
2..Converso.de.Unidades................................................................................. 192.1.Converso.de.Graus.em.Radianos.......................................................... 192.2.Converso.de.Radianos.em.Graus.......................................................... 20
Exerccios.Propostos............................................................................................... 21
Lio.3.-.Nmeros.ComplexosIntroduo............................................................................................................... 27
1..Definio........................................................................................................ 272..Operaes.com.Nmeros.Complexos........................................................... 28
2.1.Adio.e.Subtrao.................................................................................. 283..Mdulo.e.Argumento..................................................................................... 28
3.1.Mdulo...................................................................................................... 283.2.Argumento................................................................................................ 28
4..Forma.Trigonomtrica.ou.Polar.do.Nmero.Complexo............................. 295..Multiplicao.e.Diviso.de.Nmeros.Complexos.
na.Forma.Trigonomtrica.ou.Polar............................................................. 305.1.Multiplicao........................................................................................... 305.2.Diviso...................................................................................................... 30
Exerccios.Propostos............................................................................................... 31
Resoluo.dos.Exerccios.Propostos...................................................................... 35
Bibliografia.............................................................................................................. 40
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Apresentao
010G/
Todo.conhecimento.cientfico.acumulado.no.decorrer.de.nossa.his-tria..permeado.pela.matemtica,.e.as.respostas.para.muitas.perguntas.so.dadas.por.ela..Mas.no.estamos.diante.de.uma.cincia.exclusiva.para.cientistas;.a.matemtica.faz.parte.de.nosso.dia-a-dia,.porque.a.usamos.de.forma.intuitiva,.j.que,.mesmo.sem.perceber,.fazemos.clculos.com-plexos..Esse.uso.da.matemtica.pode.ser.definido.como.intuitivo..Mas,.para.nossa.vida.profissional,..preciso.sistematizar.esse.conhecimento;.e..a.que.entra.a.matemtica.como.disciplina.terica..
Para.quem.j.domina.as.operaes.bsicas.de.adio,.subtrao,.multiplicao.e.diviso;.que.j.conhece.fraes,.potenciao,.equaes.do.primeiro.e.do.segundo.grau;.enfim,.para.quem.j.possui.um.conhe-cimento.elementar.da.matemtica,.os. temas.deste. fascculo.podero.parecer.um.pouco.complexos,.mas.nada.que.voc.no.possa.vencer,.com.um.pouco.de.esforo.e.dedicao..
Ainda.que,.em.alguns.momentos,.tenhamos.a.impresso.de.estar.tratando.de.algo.muito.diferente.do.que.j.aprendemos,..preciso.ter.conscincia.de.que.o.que.est.na.base.das.operaes.de.logaritmos,.tri-gonometria.e.nmeros.complexos.so.os.tais.conhecimentos.elementares.da.matemtica..Quer.dizer,.para.um.bom.desempenho.nessa.matria,.no.podemos.perder.de.vista.tudo.aquilo.que.aprendemos.antes...
.importante.lembrar.que,.mesmo.diante.de.estudos.mais.complexos,.existe.o.fascnio.do.desafio..E.a.matemtica..uma.disciplina.fascinante,.que.envolve.raciocnio.e.criatividade..Caso.voc.tenha.ainda.alguma.dvida.sobre.como.a.matemtica.pode.ser.encantadora,.recomendamos.o.excelente.livro.O Homem que Calculava,.de.Malba Tahan.C
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1lio
lio
010G/9
Introduo
A idia de logaritmo transformar opera-es complexas, como potenciao e radi-ciao, em operaes mais simples. Por isso aimportncia de seu estudo, j que constitui umaferramenta para diversas disciplinas, como,por exemplo, as telecomunicaes. Veremos,nesta lio, o que so logaritmos e as suas pro-priedades operatrias.
1. Definio
Logaritmo de um nmero positivo numabase real positiva e diferente de 1 o expoen-te a que tem de se elevar esta base para a ob-teno do nmero.
Sua notao :
logb a = c
Leitura: logaritmo de a na base b igual a c.
Significado: estamos procurando um nmeroc de tal forma que bc = a.
Ento, temos por definio:
logb a = c bc = a
Onde: a o logaritmando, sendo um nmero maior
que zero; b a base do logaritmo, tambm um nmero
maior que zero e diferente de 1; c o logaritmo.
Obs.: quando a base 10, ela pode ser omiti-da. Por exemplo: log2, l-se logaritmo de 2na base 10.
Exemplos:
log2 4
Leitura: logaritmo de 4 na base 2.
Para calcular este logaritmo, faremos:
log2 4 = c 2c = 4
Isto , seguimos a definio de logaritmo.2c = 4 uma equao denominada exponencial.Para resolv-la, temos que deixar as bases iguais.Para tanto, fatoramos o nmero 4, assim:
22412224
=
Na equao exponencial, substitumos o 4por 22.
2c = 42c = 22
Nessa igualdade, observamos que as ba-ses so iguais e, portanto, os expoentes soiguais:
c = 2
Ento, log2 4 2, ou seja, log2 4 = 2
Logaritmos
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010G/10
Leitura: o logaritmo de 4 na base 2 igual a 2.
log3 81
Faremos log3 81 = c 3c = 81
Trabalhando com a equao exponencial
3c = 81, temos:
3c = 3
4
c = 4
Portanto, log3 81 = 4
Leitura: o logaritmo de 81 na base 3 igual a 4.
log3 181
3c
= 1 81
3c
= 1 3
4
Sabemos que 1 = 3-4
, portanto:3
4
3c = 3
-4
c = - 4
Logo, log3 1 = - 481
Leitura: o logaritmo de 1 na base 3 igual a - 4.81
Vejamos outras situaes para o clculo de logaritmo:
log4 32
Para efetuarmos este clculo, continua-mos aplicando a definio de logaritmo, ou seja, log4 32 = c 4
c = 32.
Neste caso, temos que fatorar os nmeros 4 e 32.
4 = 22 e 32 = 2
5
Fazendo a substituio na equao ex-ponencial encontrada, temos:
4c = 32
(22)
c = 2
5
Eliminamos os parnteses fazendo a multiplicao dos expoentes 2 e c, que re-sulta 2c:
22c
= 25
E continuamos normalmente, conside-rando apenas a igualdade entre os expoen-tes:
2c = 5
c = 5 2
Portanto, log4 32 = 52
log9 27
log9 27 = c 9c = 27
(32)
c = 3
3
32c
= 33
2c = 3
c = 32
Antes de continuar seu estudo, faa o
exerccio 1 desta lio.
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Instituto Monitor
010G/11
log9 127
log9 1 = c 9c = 127 27
(32)c = 133
32c = 3-3
|2c = -3
c = - 3 2
Em Telecomunicaes ao estudar, porexemplo, as relaes de potncia de sinais,usamos os logaritmos na base 10.
Vamos escrever logaritmo de 100 na base 10:log 100, ou seja, quando a base do logaritmofor 10, no precisamos escrev-la.
O clculo efetua-se normalmente:
log 100 = c 10c = 100
10c = 102
c = 2
Usando a calculadora cientfica para adeterminao dos logaritmos decimais:
1) No clculo de log 100, digitamos o nmero100, em seguida apertamos a tecla log eaparecer no visor o nmero 2.
Ento log 100 = 2
Isto , 102 = 100
2) Usando a calculadora, vamos determinarlog 12:
Registramos o nmero 12, em seguidaapertamos a tecla log e aparecer no visor onmero: 1,079181.
Ento log 12 = 1,079181
Ou seja, 101,079181 12
2. Propriedades do Logaritmo
Logaritmo de 1 em qualquer base ser sem-pre igual a 0.
logb 1 = 0
Exemplos:
log5 1 = 0
log3 1 = 0
Logaritmo de um nmero qualquer, cuja base o mesmo nmero, ser sempre igual a 1.
loga a = 1
Exemplos:
log5 5 = 1
log6 6 = 1
Logaritmo de uma potncia qualquer, emque a base corresponde base da potncia,ser sempre igual ao expoente da potncia.
loga am = m
Exemplos:
log5 53 = 3
log7 74 = 4
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Exerccios Propostos
010G/13
1 - Calcule:a) log2 32 =
b) log7 49 =
c) log7 1 =
49
d) log 100 =
e) log5 125 =
f) log2 1 =
16
g) log3 243 =
h) log3 1 =
243
i) log2 1.024 =
j) log7 343 =
2 - Calcule:a) log8 32 =
b) log27 243 =
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010G/14
c) log4 1 =
8
d) log25 1 =
125
e) log49 343 =
f) log4 8 =
3 - Calcule:a) log 10 =
b) log 100 =
c) log 1000 =
d) log 10.000=
e) log 0,1 =
f) log 0,01 =
g) log 0,001 =
h) log 0,0001 =Cpia
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2lio
lio
010G/15
Introduo
A trigonometria est relacionada com o es-tudo da medio de tringulos. Problemas re-lacionados topografia, navegao, indstria demoldes, entre muitos, exigem a resoluo detringulos. A trigonometria uma ferramentaimportante para a eletrnica, pois permite, en-tre outras operaes, estabelecer relaes en-tre tenso, corrente e resistncia eltrica.
1. Razes Trigonomtricasno Tringulo Retngulo
O tringulo retngulo caracterizado porter um ngulo interno reto, ou seja, um ngulode 90 graus.
No encontro dos lados AB com BC, temoso ngulo de 90o.Uma vez localizado o ngulode 90o, o lado oposto a ele denominadohipotenusa, e os outros dois lados so os catetos:
No tringulo retngulo, fixando um ngu-lo agudo, por exemplo , podemos estabeleceras relaes trigonomtricas seno (sen), cosseno(cos) e tangente (tg) do ngulo agudo , assimdefinidas:
sen = cateto oposto ao ngulo hipotenusa
cos = cateto adjacente ao ngulo hipotenusa
tg = cateto oposto ao ngulo cateto adjacente ao ngulo
Exemplo:
Considerando o tringulo retngulo:
Determinaremos o seno, o cosseno e a tan-gente do ngulo .
O lado AC, por ser oposto ao ngulo de 90graus, a hipotenusa e sua medida 5 cm. Osoutros dois lados, AB e BC, so os catetos. Comoestamos fixando o ngulo agudo , o lado opos-
Noes deTrigonometria
A
B C
A
B C
Hipotenusa
Cateto
Cateto
A
B C
5 cm
3 cm
4 cm
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010G/16
to a este ngulo denominado cateto oposto, no caso o lado BC, que mede 3 cm. O lado que est formando o ngulo junto com a hipotenusa o cateto adjacente, no exemplo, o lado AB, que mede 4 cm.
Calculando:
sen = cateto oposto ao ngulo
hipotenusa
sen = 35
cos = cateto adjacente ao ngulo
hipotenusa
cos = 45
tg = cateto oposto ao ngulo
cateto adjacente ao ngulo
tg = 34
Observamos ainda que possvel fixar o ngulo C. Dessa forma, o cateto oposto ao n-gulo C mede 4 cm, o cateto adjacente mede 3 cm e a hipotenusa, como vimos, mede 5 cm.
Calculando seno, cosseno e tangente do ngulo agudo C, temos:
senC = cateto oposto ao ngulo C hipotenusa
senC = 45
cosC = cateto adjacente ao ngulo C hipotenusa
cosC = 35
tgC = cateto oposto ao ngulo C
cateto adjacente ao ngulo C
tgC = 43
1.1 Teorema de Pitgoras
Dado o tringulo retngulo:
Vamos calcular o seno, o cosseno e a tangente do ngulo agudo . Verificamos, porm, que no fornecida a medida da hipotenusa. Para determin-la, utilizamos o Teorema de Pitgoras, que diz o seguinte: o quadrado da medida de hipotenusa igual soma dos quadrados das medidas dos ca-tetos. Ou seja,
(hipotenusa)2 = (cateto)2 + (cateto)2
Designando por x a medida da hipo-tenusa, obtemos:
x2 = 122 + 162
x2 = 144 + 256x2 = 400x = 400x = 20
Portanto, a medida da hipotenusa 20.
A
B C16
12
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Com essa informao, podemos normal-mente calcular seno, cosseno e tangente dongulo .
sen = cateto oposto ao ngulo
hipotenusa
sen = 16 = 420 5
cos = cateto adjacente ao ngulo
hipotenusa
cos = 12 = 320 5
tg = cateto oposto ao ngulo cateto adjacente ao ngulo
tg = 16 = 412 3
Em circuitos de corrente alternada em srie,fazemos uso do tringulo retngulo, por exemplo:
Podemos atravs do Teorema de Pitgorasencontrar o valor da hipotenusa, representadapela impedncia, esta caracteriza um impor-tante fator eltrico, que estudaremos no curso.
1.2 Relaes Trigonomtricas
A tabela abaixo apresenta as relaestrigonomtricas com os ngulos de 30o, 45o e60o. A partir dos valores de seno, cosseno etangente, possvel calcular as medidas doscatetos e hipotenusa.
Vejamos, de forma prtica, como aplicaresse conhecimento.
Uma escada est apoiada num muro, for-mando com o solo um ngulo de 30o. Qual aaltura do muro, se a escada tem 10 metros decomprimento?
Considerando o muro, a escada e o solo,temos um tringulo retngulo, com hipotenusamedindo 10m e um ngulo de 30o. Queremosdeterminar o valor do cateto oposto a esse n-gulo. Para isso, vamos utilizar a frmula doseno:
sen 30o = cateto oposto ao ngulo de 30o
hipotenusa
Relao trigonomtrica
Seno
Cosseno
Tangente
o o o30 45 60
1 2 32 2 2
3 2 12 2 2
31 3
2
30o
10 m
Murox
X(Reatncias)
Z (impedncia)
R (Resistncia)
Antes de continuaros estudos, faa oexerccio 3 desta
lio.
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60o
x
cos60o = cateto adjacente
hipotenusa
1 = x2 252x = 25
x = 25 = 12,52
Portanto, o valor de x 12,5 cm.
1.3 Uso da Calculadora Cientfica
Em Eletrnica, iremos estudar a potnciareal em qualquer circuito de corrente alter-nada e, tambm a fora sobre cargas eltricasem movimento, entre outros conceitos, onde necessria a determinao do seno, cossenoe tangente de um determinado ngulo, sendoa calculadora cientfica, um excelente instru-mento na agilizao dos clculos.
Ao se determinar o seno do ngulo de 65o,faremos:
Digitamos 65 e apertamos a tecla sin e lemosno visor 0,9063
Ento, sen 65o = 0,9063.
Ao se determinar o cosseno do ngulo de 65o,faremos:
Digitamos 65 e apertamos a tecla cos e lemosno visor 0,4226
Ento, cos 65o = 0,4226.
Ao se determinar a tangente do ngulo de 65o,faremos:
Digitamos 65 e apertamos a tecla tan e lemosno visor 2,1445
Ento, tg 65o = 2,1445.
Ao se determinar o seno do ngulo de 82o,faremos:
Digitamos 82 e apertamos a tecla sin e lemosno visor 0,9902
Ento, sen 82o = 0,9902.
12
Consultando a tabela, vemos que o senode 30o igual a . A altura do muro ser x.Assim:
seno 30o = cateto oposto ao ngulo de 30o
hipotenusa
1 = x2 = 10
Resolvendo a igualdade, temos:
2. x = 1 . 102x = 10
x = 102
x = 5
Portanto, o muro tem 5 metros.
Vamos, agora, pensar numa pilha de li-vros apoiada numa estante, com o livro maisprximo da lateral da estante formando umngulo de 60o com a mesma, assim:
A altura do tringulo formado pelo livro,se considerarmos este ngulo, estar corres-pondendo ao cateto adjacente, e temos a hipo-tenusa que vale 25 cm. Assim, a frmula a serutilizada :
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010G/19
Ao se determinar o cosseno do ngulo de 82o, faremos:
Digitamos 82 e apertamos a tecla cos e lemos no visor 0,1392
Ento, cos 82o = 0,1392.
Ao se determinar a tangente do ngulo de 82o, faremos:
Digitamos 82 e apertamos a tecla tan e lemos no visor 7,1154
Ento, tg 82o = 7,1154.
A calculadora pode facilmente dar a medida do ngulo, tendo o valor do seno, cosseno ou tangente.
Assim, se tivermos sen = 0,9063, com o uso da funo arco seno ou sin-1, teremos a indicao no visor 64,9989.
Dessa forma o ngulo 65o
Outros exemplos:
1) Sabendo que cos = 0,4226, determine a medida do ngulo .
Na calculadora, usaremos arco cosseno, basta digitar 0,4226 e apertar a tecla cos-1 e aparecer no visor 65,0011.
Ento, o ngulo 65o
2) Sabendo que tg = 2,1445. determine a medida do ngulo .
Na calculadora, usaremos arco tangente. Digitamos 2,1445 e apertamos a tecla tan-1 e aparecer no visor 64,9999.
Ento, o ngulo 65o
2. Converso de Unidades
Vejamos a medida de um arco usando o radiano (rad) como unidade. Observe as figuras:
2.1 Converso de Graus em Radianos
Para converter graus em radianos, utili-zamos a regra de trs simples, considerando a equivalncia:
360o equivale a 2 radianos
270o equivale a radianos
180o equivale a radianos
90o equivale a radianos
Por exemplo, para converter 60o em ra-dianos, procedemos assim:
Graus Radianos180 .................................................... 60 ................................ x
Antes de continuar seus estudos,
faa o exerccio 4 desta lio.
2 rad
360o
3 rad2
270o
180o
rad
90o
rad2
32
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010G/20
Por se tratar de grandezas diretamenteproporcionais, basta multiplic-las em cruz:
180x = 60
x = 60 , simplificando temos: 180
x = rad 3
Portanto, 60o = rad3
Faamos mais um exerccio: o de conver-ter 70o em radianos.
Graus Radianos180 .............................. 70 ................................ x
180 . x = 70 . 180x = 70
x = 70180
x = 718
Portanto, 70o = 7 rad18
2.2 Converso de Radianos em Graus
Para transformar radianos em graus, fa-zemos o processo inverso.Exemplos:
1) Converta rad em graus: 5
Graus Radianos180 ..............................
x .................................
Multiplicando em cruz temos:
x = 180 . 5
x = 36x = 36o
2) Converta 3 rad em graus:
Graus Radianos180 .............................. x ................................. 3
x = 180 . 3
x = 180 . 3
x = 540o
5
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3lio
lio
010G/27
Antes de continuar seus estudos, faa o
exerccio 1 desta lio.
Introduo
Os nmeros complexos constituem uma extenso dos nmeros reais; eles surgiram a partir da necessidade de se realizar operaes que no campo real no tinham soluo, como a extrao da raiz quadrada de nmeros ne-gativos. Esse conhecimento importante, por exemplo, em eletrnica.
1. Definio
Chamamos de complexo todo nmero composto de duas partes: uma parte real e outra imaginria.
A forma algbrica de um nmero comple-xo dada por:
z = a + bi
Onde: a e b so nmeros reais.
i a unidade imaginria, e igual raiz qua-drada de (- 1), ou seja, i = - 1. Ao elevarmos i ao quadrado, teremos: i2 = (- 1 )2 = - 1.
O nmero real a a parte real do nmero complexo z e o nmero real b a parte ima-ginria do nmero complexo z.
Exemplos:
z = 3 + 5i
z = 3 + 6i
z = 8i
z = 5 7i
Vamos, agora, identificar as partes real e imaginria de alguns nmeros complexos:
8 + 5iParte real: 8Parte imaginria: 5
5 4iParte real: 5Parte imaginria: 4
6 iParte real: 6Parte imaginria: 1
6Parte real: 6Parte imaginria: 0
Nmeros Complexos
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Instituto Monitor
010G/28
2. Operaes comNmeros Complexos
2.1 Adio e Subtrao
Para efetuarmos a adio de nmeros complexos, somamos: parte real com parte real e parte imaginria com parte imagi-nria. Para subtrairmos, fazemos o mesmo: subtramos parte real de parte real e parte imaginria de parte imaginria.
Exemplos:
a) Dados os nmeros complexos: z1 = 3 + 4i e z2 = 5 + 7i. Efetue a soma:
z1 + z2 =
(3 + 4i) + ( 5 + 7i) =3 + 4i 5 + 7i = 2 + 11i
Fizemos a adio algbrica da parte real com a parte real (3 e 5), o mesmo ocorrendo com a parte imaginria (4i e 7i).
z1 z2 =
(3 + 4i) (5 + 7i) =3 + 4i + 5 7i =8 3i
Obs.: lembre-se da regra de sinais na hora de eliminar os parnteses, () com () = (+).
3. Mdulo e Argumento
3.1 Mdulo
O mdulo de um nmero complexo z = a + bi, representado por lzl, est associado a um ponto P representado num plano. Assim:
Destacamos o mdulo de z e indicamos por |z|, que corresponde distncia da ori-gem at P.
Assim,
Exemplos:
O mdulo do nmero complexo z = 4 3i :
O mdulo do nmero complexo z = 4 + i :
3.2 Argumento
O argumento de um nmero complexo z a medida do ngulo . Em Eletrnica, este ngulo poder ser negativo, indicando desta forma a reatncia capacitiva, diferenciando da reatncia indutiva que tem ngulo positivo.
y
b
a0x
P (a, b)
lzl
Antes de continuar seus estudos, faa os
exerccios 1,2 e 3desta lio.
2516
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010G/29
4. Forma Trigonomtrica ouPolar do nmero complexo
Em Circuitos Eltricos, o nmero com-plexo na sua forma trigonomtrica assume aseguinte representao |z|
Por exemplo, considere o nmero com-plexo z = 4 + 3i, vimos que ele se encontra naforma algbrica.
Querendo escrev-lo na forma |z| , te-remos que determinar inicialmente, o mdulo|z| e o ngulo .
Clculo do mdulo de 4 + 3i |z| = 42 + 32 = 16 + 9 = 25 = 5
Para a determinao da medida do ngulo (argumento), podemos tambm recorrer aarco tangente, representada por arc tg (con-siderando condies bem determinadas, in-versa tangente).
Clculo de arc tg =
arc tg =
arc tg 0,75 = 37o
Ao fazer arc tg 0,75, usando a calculadoracientfica, seguimos o processo:
Digite 0,75 e pressione a tecla tan-1, apare-cer no visor 36,8698976o 37o
Assim, o nmero complexo z = 4 + 3i podeser expresso na forma |z| ficando, ento,5 37o
Outro exemplo:
Escrever o nmero complexo z = 1 + i, naforma |z|
Clculo do mdulo de 1 + i |z| = 12 + 12 = 1 + 1 = 2
Determinao da medida do ngulo (argumento), por arco tangente, representadapor arc tg.
Clculo de arc tg =
arc tg =
arc tg 1 = 45
O nmero complexo z = 1 + i, expresso naforma |z| 2 45o
Para efeito de operaes de adio esubtrao, conveniente fazer a conversopara a forma algbrica z = a + bi, e efetuar aoperao.
Onde a = |z| . cos e
b = |z| . sen
Exemplo:
Escrever o nmero complexo 4 60o naforma algbrica a + bi.
Vamos determinar os valores de a e b,sabendo que:
a = |z| . cos
a = 4 . cos 60o
a = 4 . 1 2a = 2
b = |z| . sen
b = 4 . 3 2
b= 2 3
Ento, a forma algbrica de 4 60o 2 + 2 3 i
ba
34
11
ba
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010G/30
5. Multiplicao e Diviso deNmeros Complexos na FormaTrigonomtrica ou Polar
Utilizando a representao |z| ,vamosefetuar a multiplicao e a diviso dos nme-ros complexos.
5.1 Multiplicao
Neste caso, multiplicamos os mdulos eadicionamos os argumentos:
Sejam z1 = 120 60o e z2 = 150 43
Determine z1 . z2.
Vamos inicialmente multiplicar os mdu-los 120 . 150 = 18.000
Agora vamos adicionar os argumentos60o + 43o = 103o
O resultado : z1 . z2 = 18.000 103o
5.2 Diviso
Neste caso, dividimos os mdulos e sub-tramos os argumentos:
Sejam z1 = 6 45o e z2 = 2 36
o
Determine z1 : z2.
Vamos inicialmente dividir os mdulos6 : 2 = 3
Agora vamos subtrair os argumentos45o - 36o = 9o
O resultado z1 : z2 = 3 9o
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Exerccios Propostos
010G/31
1 - Identifique a parte real e a parte imagi-nria dos nmeros complexos:
a) 8 + 4i
b) 6 10i
c) 7 4i
d) 10 + 15i
e) 8 + 4i
f) 4 + 10i
2 - Efetue as operaes indicadas:
a) (4 + i) (7 + 3i)
b) (3 + 8i) + (10 + 14i)
c) ( 2 + 7i) (7 + 4i)
d) (6 8i) + (4 7i)
e) ( 8 10i) (14 8i)Cpia
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010G/32
b) 6 8i
c) 3 + 4i
d) 3 + 2i
4 - Dados os nmeros complexos a seguir,efetue as operaes indicadas:
a) Sejam z1 = 8 30o e z2 = 4 300
o
Determine z1 . z2.
f) (8 + 5i) (7 + 3i)
g) (1 + i) + (5 + 2i)
h) (3i) + (8 + 6i)
i) (24 + i) (14 2i)
j) (-3 + 7i) + (-2 + 10i)
3 - Determine o mdulo dos nmeros com-plexos:
a) 2 + 3i
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010G/33
b) Sejam z1 = 2 45o e z2 = 3 60
o
Determine z1 . z2.
c) Sejam z1 = 15 45o e z2 = 5 20
o
Determine z1 : z2.
d) Sejam z1 = 90 65o e z2 = 15 35
o
Determine z1 : z2.
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Resoluo dos Exerccios Propostos
010G/35
Lio 1
1 - Calcule:a) log232 =
2c = 322c= 25
c = 5
b) log749 =7c = 497c = 72
c = 2
c) log7 1 =49
7c = 149
7c = 172
7c = 7-2
c = -2
d) log 100 =10c = 10010c = 102
c = 2
e) log5125 =5c = 1255c = 53
c = 3
f) log2 1 =16
2c = 116
2c = 124
2c = 2-4
c = -4
g) log3243 =3c = 2433c = 35
c = 5
h) log3 1 =243
3c = 1243
3c = 135
3c = 3-5
c = -5
i) log21.024 =2c = 1.0242c = 210
c = 10
j) log7343 =7c = 3437c = 73
c = 3
2 - Calcule:
a) log832 =8c = 32(23)c = 25
23c = 25
3c = 5
c = 53
b) log27243 =27c = 243(33)c = 35
33c = 35
3c = 5
c = 53
c) log4 1 = 8
4c = 18
(22)c = 1 23
22c = 2-3
2c = -3
c = -32
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Instituto Monitor
010G/36
d) log25 1 = 125
25c = 1 125
(52)c = 1 53
52c = 5-3
2c = -3
c = - 32
e) log49343 =49c = 343(72)c = 73
72c = 73
2c = 3
c = 32
f) log48 =4c = 8(22)c = 23
22c = 23
2c = 3
c = 32
3 - Calcule:
a) log 10 =10c = 1010c = 101
c = 1
b) log 100 =10c = 100102 = 100c = 2
c) log 1000 =10c = 100010c = 103
c = 3
d) log 10.000 =10c = 10.00010c = 104
c = 4
e) log 0,1 =10c = 0,110c = 10-1
c = -1
f) log 0,01 =10c = 0,0110c = 10-2
c = -2
g) log 0,001 =10c = 0,00110c = 10-3
c = -3
h) log 0,0001 =10c = 0,000110c = 10-4
c = -4
Lio 21 -a)
sen = cateto oposto
hipotenusa
sen = 1213
cos = cateto adjacente
hipotenusa
cos = 513
tg = cateto opostocateto adjacente
tg = 12
5
b)
senC = cateto oposto
hipotenusa
senC = 513
cosC = cateto adjacente
hipotenusa
cosC = 1213
tgC = cateto opostocateto adjacente
tgC = 512
2 -a)
sen = cateto oposto
hipotenusa
sen = 6 = 310 5
cos = cateto adjacente
hipotenusa
cos = 8 = 410 5
tg = cateto opostocateto adjacente
tg = 6 = 38 4
b)
senC = cateto oposto
hipotenusa
senC = 8 = 410 5
cosC = cateto adjacente
hipotenusa
cosC = 6 = 310 5
tgC = cateto opostocateto adjacente
tgC = 8 = 46 3
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010G/37
3 -(hipotenusa)2 = (cateto)2 + (cateto)2
x2 = 62 + 82
x2 = 36 + 64
x2 = 100
x = 10
sen = cateto oposto
hipotenusa
sen = 8 = 410 5
cos = cateto adjacente
hipotenusa
cos = 6 = 310 5
tg = cateto opostocateto adjacente
tg = 8 = 46 3
4 -
x8 m
60o
y
cos60o = cateto adjacente
hipotenusa
cos60o = x8
1 = x2 8
x = 4 metros
sen60o = cateto oposto
hipotenusa
sen60o = y8
3 = y
2 8
2y = 83
y = 43 metros
Resposta: a altura do muro de 4 metros e adistncia do muro base da escada de 43metros.
5 - Converter:
a) 40o em rad
b) 50o em rad
c) 100o em rad
=
= =
180
40
180 40
40 2
180 9
x
x
x rad
=
= =
180
50
180 50
50 5
180 9
x
x
x rad
=
= =
180
100
180 100
100 5
180 9
x
x
x rad
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010G/38
d) 120o em rad
e) 310o em rad
f) 200o em rad
6 - Converter:
a) 4 rad em graus6
b) 3 rad em graus4
c) 6 rad em graus5
d) 7 rad em graus3
e) 3 rad em graus5
f) 4 rad em graus3
7 - Usando a calculadora cien-tfica, d o valor:
a) 0,9848
b) 0,2756
c) 8,1443
d) 0,6018
e) 0,8829
f) 0,9657
8 - Usando a calculadora cien-tfica, d o valor:
a) 80o
b) 74o
c) 83o
d) 37o
e) 28o
f) 44o
Lio 3
1 - Identifique:a) 8 + 4iParte real = 8Parte imaginria = 4
b) 6 - 10iParte real = 6Parte imaginria = - 10
=
= =
180
200
180 200
200 10
180 9
x
x
x rad
=
=
=
180
4
6
4180.
6
120
120o
x
x
x
x
=
=
=
180
3
4
3180.
4
135
135o
x
x
x
x
=
= =
180
120
180 120
120 2
180 3
x
x
x rad
=
= =
180
310
180 310
310 31
180 18
x
x
x rad
=
=
=
180
6
5
6180.
5
216
216o
x
x
x
x
=
=
=
180
7
3
7180.
3
420
420o
x
x
x
x
=
=
=
180
3
5
3180.
5
108
108o
x
x
x
x
=
=
=
180
4
3
4180.
3
240
240o
x
x
x
x
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010G/39
c) 7 - 4iParte real = 7Parte imaginria = 4
d) 10 + 15iParte real = 10Parte imaginria = 15
e) - 8 + 4iParte real = - 8Parte imaginria = 4
f) - 4 + 10iParte real = - 4Parte imaginria = 10
2 - Efetue as operaes:
3 - Determine o mdulo:
a) z = 2 + 3i|z| = 22 + 32|z| = 4 + 9|z| = 13
b) z = 6 + 8i|z| = 62 + (- 8)2|z| = 36 + 64|z| = 100|z| = 10
c) 3 + 4i|z| = 32 + 42|z| = 9 + 16|z| = 25|z| = 5
d) 3 + 2i|z| = (-3)2 + 22|z| = 9 + 4|z| = 13
4 - Dados os nmeros comple-xos a seguir, efetue as ope-raes indicadas:
a) z1 . z2 = 32 330o
b) z1 . z2 = 6 105o
c) z1 : z2 = 3 25o
d) z1 : z2 = 6 30o
( ) ( )d ) 6 8i 4 7i6 8i 4 7i 10 15i
+ =
+ =
( ) ( )c) 2 7i 7 4i2 7i 7 4i 9 3i
+ + =
+ = +
( ) ( )a ) 4 i 7 3i4 i 7 3i 3 2i
+ + =
+ =
( ) ( )b) 3 8i 10 14i3 8i 10 14i 13 22i
+ + + =
+ + + = +
( ) ( )e) 8 10i 14 8i8 10i 14 8i 22 2i
=
+ =
( ) ( )g) 1 i 5 2i1 i 5 2i 6 3i
+ + + =
+ + + = +
( ) ( )f) 8 5i 7 3i8 5i 7 3i 15 2i
+ + =
+ + = +
( ) ( )h ) 3i 8 6i3i 8 6i 8 9i
+ + =
+ + = +
( ) ( )j) 3 7i 2 10i3 7i 2 10i 5 17i
+ + + =
+ + = +
( ) ( )i) 24 i 14 2i24 i 14 2i 10 3i
+ =
+ + = +
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-
Bibliografia
010G/40
IEZZI, GelsonFundamentos da Matemtica ElementarAtual Editora, So Paulo, s/d.
GIOVANNI, Jos RuyBONJORN, Jos RobertoMatemticaEditora FTD, So Paulo, s/d.
DANTE, Luiz RobertoMatemtica - Contexto & Aplicaestica, So Paulo, s/d.
BIANCHINI, EdwaldoPACCOLA, HerbalMatemticaEditora Moderna, So Paulo, s/d.
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-
Pesquisa de Avaliao
010G - Matemtica Aplicada II
Nome (campo no obrigatrio): _______________________________________________________________
No de matrcula (campo no obrigatrio): _____________________
Curso Tcnico em:Eletrnica Secretariado Gesto de NegciosTransaes Imobilirias Informtica TelecomunicaesContabilidade
QUANTO AO CONTEDO
1) A linguagem dos textos :a) sempre clara e precisa, facilitando muito a compreenso da matria estudada.b) na maioria das vezes clara e precisa, ajudando na compreenso da matria estudada.c) um pouco difcil, dificultando a compreenso da matria estudada.d) muito difcil, dificultando muito a compreenso da matria estudada.e) outros: ______________________________________________________
2) Os temas abordados nas lies so:a) atuais e importantes para a formao do profissional.b) atuais, mas sua importncia nem sempre fica clara para o profissional.c) atuais, mas sem importncia para o profissional.d) ultrapassados e sem nenhuma importncia para o profissional.e) outros: ______________________________________________________
3) As lies so:a) muito extensas, dificultando a compreenso do contedo.b) bem divididas, permitindo que o contedo seja assimilado pouco a pouco.c) a diviso das lies no influencia Na compreenso do contedo.d) muito curtas e pouco aprofundadas.e) outros: ______________________________________________________
Caro Aluno:
Queremos saber a sua opinio a respeito deste fascculo que voc acaba de estudar.
Para que possamos aprimorar cada vez mais os nossos servios, oferecendo um
material didtico de qualidade e eficiente, muito importante a sua avaliao.
Sua identificao no obrigatria. Responda as perguntas a seguir assinalando
a alternativa que melhor corresponda sua opinio (assinale apenas UMA
alternativa). Voc tambm pode fazer sugestes e comentrios por escrito no
verso desta folha.
Na prxima correspondncia que enviar Escola, lembre-se de juntar sua(s)
pesquisa(s) respondida(s).
O Instituto Monitor agradece a sua colaborao.
A Editora.
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QUANTO AOS EXERCCIOS PROPOSTOS
4) Os exerccios propostos so:a) muito simples, exigindo apenas que se decore o contedo. b) bem elaborados, misturando assuntos simples e complexos.c) um pouco difceis, mas abordando o que se viu na lio.d) muito difceis, uma vez que no abordam o que foi visto na lio.e) outros: ______________________________________________________
5) A linguagem dos exerccios propostos :a) bastante clara e precisa.b) algumas vezes um pouco complexa, dificultando a resoluo do problema proposto.c) difcil, tornando mais difcil compreender a pergunta do que respond-la.d) muito complexa, nunca consigo resolver os exerccios.e) outros: ______________________________________________________
QUANTO APRESENTAO GRFICA
6) O material :a) bem cuidado, o texto e as imagens so de fcil leitura e visualizao, tornando o estudo bastante agradvel.b) a letra muito pequena, dificultando a visualizao.c) bem cuidado, mas a disposio das imagens e do texto dificulta a compreenso do mesmo.d) confuso e mal distribudo, as informaes no seguem uma seqncia lgica.e) outros: ______________________________________________________
7) As ilustraes so:a) bonitas e bem feitas, auxiliando na compreenso e fixao do texto.b) bonitas, mas sem nenhuma utilidade para a compreenso do texto.c) malfeitas, mas necessrias para a compreenso e fixao do texto.d) malfeitas e totalmente inteis.e) outros: ______________________________________________________
Lembre-se: voc pode fazer seus comentrios e sugestes, bem como apontaralgum problema especfico encontrado no fascculo. Sinta-se vontade!
PAMD1
Sugestes e comentrios
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rvados
todos
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Cpia no autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
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