Novas Tecnologias no Novas Tecnologias no Ensino da MatemáticaEnsino da Matemática

Informática Educativa – II

Aluno: Eugênio Pereira da Silva

Pólo: Iguaba Grande

Tutora: Mary Jane

A palavra trigonometria teve origem na resolução de problemas práticos relacionados principalmente à navegação e à Astronomia.

Acredita-se que, como ciência, a Trigonometria nasceu com o astrônomo grego Hiparco de Nicéia (190 a.C.-125 a.C.).

A trigonometria, que relaciona as medidas dos lados de um triângulo com as medidas de seus ângulos, é de grande utilidade na medição de distâncias inacessíveis ao ser humano, como a altura de montanhas, torres e árvores, ou a largura de rios e lagos.

Por esse motivo, a Trigonometria foi considerada em sua origem, como uma extensão da Geometria.

Ela não se limita ao estudo de triângulos. Encontramos aplicações da Trigonometria na Engenharia, na Mecânica, na Eletricidade, na Acústica, na Medicina, na Astronomia e até na Música.

TRIGONOMETRIA NA TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIACIRCUNFERÊNCIA

- Apesar da trigonometria ter surgido com o triângulo retângulo, vamos trabalhá-la na circunferência.

1. Introdução

A

BArco AB

O

Ângulo central

Equivalência: rd = 180oEquivalência: rd = 180o

ARCOS e ÂNGULOSARCOS e ÂNGULOS

• São arcos que têm mesma origem e mesma extremidade.

• A diferença entre dois arcos côngruos é sempre um múltiplo de 2.

• Forma geral:

• São arcos que têm mesma origem e mesma extremidade.

• A diferença entre dois arcos côngruos é sempre um múltiplo de 2.

• Forma geral:

A

B

x = + 2kx = + 2k

ARCOS Côngruos ARCOS Côngruos

O xA’ A

y

B

B’

1

1

P

+

-

Circunferência trigonométricaCircunferência trigonométrica

O xA’ A

y

B

B’

P

M

N

sen

cos

Seno e CossenoSeno e Cosseno

Seno:

• marcado no eixo Y

• varia de –1 até 1 -1 sen 1

• sinal do seno:

Seno:

• marcado no eixo Y

• varia de –1 até 1 -1 sen 1

• sinal do seno:

O xA’ A

y

B

B’

1

-1

Seno e CossenoSeno e Cosseno

Cosseno:

• marcado no eixo X

• varia de –1 até 1 -1 cos 1

• sinal do cosseno:

Cosseno:

• marcado no eixo X

• varia de –1 até 1 -1 cos 1

• sinal do cosseno:O x

A’ A

y

B

B’

-1 1

Seno e CossenoSeno e Cosseno

O xA’ A

y

B

B’

P

t

t // yt // yM

tg

TangenteTangente

O xA’ A

y

B

B’

TangenteTangente

a) 2o quadrante

• cos ( - x) = - cos x

• tg ( - x) = - tg x

a = ( - x)a = ( - x)

O x

y

/2

0xa

3/2

2• sen ( - x) = sen x

Redução ao 1º quadranteRedução ao 1º quadrante

b) 3o quadrante

• sen ( + x) = - sen x

a = ( + x)a = ( + x)

O x

y

/2

0xa

3/2

2• cos ( + x) = - cos x

• tg ( + x) = tg x

Redução ao 1º quadranteRedução ao 1º quadrante

c) 4o quadrante

• sen (2 - x) = - sen x

a = (2 - x)a = (2 - x)

O x

y

/2

0xa

3/2

2

• cos (2 - x) = cos x

• tg (2 - x) = - tg x

Redução ao 1º quadranteRedução ao 1º quadrante

y = /2 - xy = /2 - x

sen x = cos y

sen y = cos x

sen x = cos y

sen y = cos x

O x

y

/2

0x

3/2

2

y

x

Relações entre arcosRelações entre arcos

I. sen2 x + cos2x = 1

III. cotg x = xsen

xcos

x tg

1

II. tg x = xcos

xsen

Relações fundamentaisRelações fundamentais

VI. sec2x = 1 + tg2x

VII. csc2x = 1 + cotg2x

V. csc x = xsen

1

IV. sec x = xcos

1

Relações fundamentaisRelações fundamentais

Teorema Fundamental da Trigonometria

1cossen 22

Demonstração ...Demonstração ...

)θ1 cos

sen 1

-1

-1

0

sen θ

cos θ

θ·

Continuação...Continuação...

)θ1 cos

sen 1

-1

-1

0

sen θ

cos θ

1

Continuação...Continuação...

)θsen θ

cos θ

1

Utilizando o teorema de Pitágoras h2 = c2 + c2, temos :

1cossen 22

Circunferência TrigonométricaCircunferência Trigonométrica

)θ cos

sen

0

sen θ

cos θ

·

tg

tg θ

)θ0

·

cotg cotg θ

secante θ

cossec θ

Circunferência TrigonométricaCircunferência Trigonométrica

Arcos Notáveis

30°150°

210° 330°

45°135°

225° 315°

60°120°

240° 300°

cos

sen

0

tg90°

180°

270°

0°/360°

O Ciclo Trigonométrico

Referências bibliográficasReferências bibliográficas• http://pt.wikipedia.org/wiki/Trigonometria

• http://www.brasilescola.com/matematica/trigonometria.htm

• http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/trigonom/trigonometria.htm

• http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/trigonometria.htm

• http://ecalculo.if.usp.br/historia/historia_trigonometria.htm