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Jan/2004 Teoria de ComplexidadeProf. Edward Hermann Haeusler

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Complexidade Computacional e

Jogos


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Agenda da Apresentação

-Preliminares de Teoria da Computação e Complexidade Computacional

- Teoria dos Jogos desde o Teorema de Zermelo

- Aspectos Computacionais de Jogos


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- O que é a (Teoria da) Computação ?

- O que é Lógica ?

(Tentativa de) conceituação do Computável

(Tentativa de) conceituação do Razoável


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Computável

Toda tarefa que pode ser realizada por um ser burro com um mínimode conhecimento/capacidade.

burro = Incapaz de Aprender

conhecimento = ?

Antes de 1900 d.c ====> Máquina de Raciocinar (Leibniz 1667)Máquina de Calcular de Pascal (Pascal sec.XVII)Máquina de Babbage (Ch. Babbage sec. XIX)

.

.


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Razoável

Todo evento que é passível de uma explicação, na forma argumentativa,construída sobre fatos iniciais inquestionáveis.

Antes de 1879 ====>

Lógica Aristotélica e Escolástica (a partir de 300 a.c.)

Álgebras Booleanas (Boole 1847)

Álgebra Relacional (DeMorgan, Schroeder, C.S.Peirce XIX)


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Panorama da Matemática no Século XIX

- Problemas da Física Matemática (Sec. XVIII-XIX):- Equação da Onda

- Equação do Calor - Equação de Poisson- Técnicas de Fourier

- Séries Infinitas são usadas na solução de Eq. Dif. Parciais- Problemas de Fundamentação:

- Séries divergentes x Séries Convergentes

- Conceito de infinito não era preciso

- O próprio conceito de número real não era preciso.

- Definição de convergência não existia

- Conceito de função não era preciso

Necessidade de teoria mais abrangente e abstrata


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Panorama da Matemática no Século XIX (cont.)

Dedekind (1831-1916) Estabelece o princípio de indução e define conceito de número real

Cauchy (1789-1857) Bolzano(1781-1848)

Weierstrass (1815-1897)

Riemman(1826-1866)

Aritmetização da Análise, definição dos conceitos de limite, funções e funções contínuas, convergência de sequências e séries infinitas

Definição do conceito de integral e Teorema Fundamental do Cálculo. Geometrias Não-Euclidianas

Estabelece critérios para a diferenciação e integração, termo a termo, de séries infinitas

Hilbert (em 1898-1899) Estabelece a fundamentação da geometria

Peano (em 1889) Define os axiomas da aritmética


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Teoria Ingênua dos Conjuntos

Cantor (de 1867 a 1871) define a teoria de conjuntos e prova a existência de conjuntos infinitos com cardinalidades diferentes. Conceitos de números cardinais e ordinais transfinitos.

Bolzano concebe a noção (abstrata) de conjuntos (finitos e infinitos)

Resistência aos principais resultados em função do “receio do infinito”

Alguns paradoxos:

- Burali-Forti (1897) “Não há o ordinal de todos os ordinais”

- Russell (1902) “Não há o conjunto de todos os conjuntos”

R = { x / x x} ==> R R se e somente se R R


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Evolução da Lógica como assunto matemático

Frege (1879) estabele a lógica como um sistema formal que tem sua linguagem particular e distinta da natural. O conceito de prova matemática passa a ser formal.

Frege (1884) busca a fundamentação da aritmética em bases puramente lógicas , com a adição do conceito de pertinência () como primitivo.

===> Os paradoxos aparecem novamente !!

DeMorgan (1830) Observa que a álgebra não necessita lidar tão somente com conceitos numéricos.

Boole (1854) Descreve uma álgebra a partir de operações entre conjuntos e relações lógicas, confirmando DeMorgan.

===> Paradoxos associados ao axioma da escolha


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As 3 Abordagens para a Fundamentação da Matemática

Logicismo (Frege) - Toda a Matemática é consequência de princípios puramente lógicos.

Formalismo (Hilbert) - A Matemática é fundamentada por sistemas formais cujo único requisito é a consistência

Intuicionismo (Brouwer) - A Matemática é uma atividade humana fundamentada em processos construtivos, sendo assim todo objeto matemático tem sua existência expressa por construção.


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O Programa de Hilbert

=> Obtenção de uma prova da consistência da matemática, observando-se que:

- As teorias mais complexas são extensões das mais simples.

- Tais extensões são, na sua maior parte, obtidas por operações básicas (classes de equivalência, completamento por simetria, porcompactação, completamento algébrico, etc)

Th(N) Th(Z) Th(Q) Th(R) Th(C)

=> Prova da consistência da Aritmética ( Th(N)) com o uso de técnicas finitárias.

=> Provar que não existe prova de 0 = 1 usando ............


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A Computação do ponto de vista das funções prim. recursivas

1931 - Gödel define as funções prim. recursivas associando-as a provas em aritmética

1927/1928 - Ackermann define uma função que necessita de recursão simultânea

1934 - Rózsa Péter - Prova que as funções prim. recursivas formam a classe definida por recursão simples e “nested” a partir de funções iniciais constantes, identidade e a função sucessor. Prova que a função de Ackermann é na realidade definida por recursão em duas variáveis e não é portanto primitivamente recursiva, mas é computável.

1936 - A. Turing - Define uma máquina formal a partir de princípios simples (ler , apagar e escrever símbolos em uma fita) e define o conceito de Máquina Universal. Prova que não existe máquina capaz de verificar se outra máquina pára ou não. Desde o início a sua máquina com versão Não-Determinística

1936 - A. Church Define o -Calculus e mostra que este é capaz de definir todas as funções para as quais existe uma Máquina de Turing.

1936 - Kleene Define, aceitando que o computável inclui a parcialidade funcional, as funções parcialmente recursivas e lança a Tese de Church.

1947 - Markov Estabele o conceito de computável com base em identificação de palavras e símbolos (algoritmos de Markov) e justifica o ponto de vista finitista da computação.


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Sxyz (xz)yz Kxy x Ix x (I SKK)

Tese de Church: f: N N é computável se e somente se existe um combinador FC1 C2... Ck tal que para todo nN (F:n: :m:) f(n) = m)

:0: I :1: P0K :2: P1K ..... :n: P:n-1:K ....

P

f é recursiva

existe uma máquina de Turing M , tal que M com 11.......111na fita de entrada M pára com 11.....11111 na saída sss f(n) = m

m

n

existe um algoritmo de Markov A , t.q. A lendo 11.......111pára e produz o string 11.....11111 na saída sss f(n) = m

m

n


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A Tese de Church é um enunciado científico, portanto não possui demonstração matemática.

Evidência Forte para a Tese de Church

Teorema de Rogers (1958): Sejam duas FAA’s (i)iN e (i)iN então existe f recursiva e bijetiva tal que i = f(i)

Obs: Uma FAA é um conjunto de funções parciais (i)iN, tal que: 1- As funções parc. recursivas estão todas em (i)iN

2- Existe u N com u parc. recursiva tal que para todo i e x u(i,x) = i(x) 3- Existe c recursiva tal que c(i,j) = i j


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Medindo a eficiência de algoritmos

- Escolha do modelo computacional

- Recursos: Tempo , Memória

- Relacionando os algoritmos e os problemas que estes resolvem

- Computação de Funções- Problemas de otimização- Problemas de decisão,- Linguagens

-Classes de complexidade: Classificando problemas pela complexidade do algoritmo mais eficiente que o resolve.


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Satisfação na Lógica Proposicional

“Dada uma fórmula da lógica proposicional, isto é, formada com os conectivos , , e , deseja-se saber se existe uma valoração que a satisfaça”

Problema SAT

Solução: Gerar todas as valorações e testar uma a uma até encontrar. Se não encontrar ao final do teste de todas as valorações informar que a fórmula não é satisfatível.


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k 2k Cálculo total

5 32 insignificante

10 1024 0.001 seg

16 65536 0.06 seg

20 1048 x 103 1 seg

32 4.29 x 109 1 hora 12 min

Supondo que o computador calcule 1 milhão de valorações por segundo.

Dada uma fórmula com k variáveis existem 2k valorações


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Por outro lado ………

-Verificar se uma valoração satisfaz uma fórmula é muito rápido (muito menos que 1x10-7 seg) para fórmulas com até 100 variáveis em um pentium IV 1 GHz.

-Dada uma valoração, avaliar o valor da fórmula leva no máximo k operações, onde k é o tamanho da fórmula.


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“Suponha que um caixeiro viajante tenha que visitar k cidades diferentes, iniciando e encerrando esta viagem na primeira cidade. Não importa a ordem com que as cidades são visitadas. Sabe-se que de cada cidade pode-se ir diretamente a qualquer outra. O problema do caixeiro viajante consiste em descobrir a rota que torna mínima a viagem total (em kms)”.

O problema do Caixeiro Viajante

Obs: Tal rota é dita ser um ciclo hamiltoniano no grafo.


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Bsb

967

1060

458BH

789

400Rio S.P.

1070


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O problema do caixeiro viajante é um problema de otimização combinatória.

(a) Podemos transforma-lo num problema de enumeração ?(b) Podemos determinar todas as rotas do caixeiro ?(c) Podemos saber qual delas é a menor ?

SOLUÇÃO: São (k-1)! Rotas É um trabalho fácil para a máquina ?


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( k - 1 )! cresce muito rápido

k (k - 1)! Cálculo total

5 24 insignificante

10 362 880 0.3 seg

15 87 bilhões 24 hs e 6 min

20 1.2 x 1017 3 milhões de anos

25 6.2 x 1023 0.19 x 1017 anos

Supondo que o computador calcule 1 milhão de rotas por segundo.


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Por outro lado .....................

-Saber se em existe um ciclo hamiltoniano é mais fácil que encontrar o ciclo mínimo ???

-Para qualquer fórmula proposicional existe um grafo G que possui caminho hamiltoniano, se e somente se, é SAT. o tamanho de G é polinomial no tamanho de .

1 11

1

1

11

Ciclo min = vert – 1 ???


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SAT e as Máquinas de Turing não-determinísticas

w

P(|w|)

Si,jt

= Símbolo j na posição i no tempo t

Eet

= Máquina está no Estado e no tempo t

Cit

= Cabeça está no na posição i no tempo t

Fórmulas para descrever: -A cabeça em qualquer tempo t está em uma e somente uma posição-Cada pósição da fita tem, em qualquer t, um e somente Um símbolo escrito.- A máquina, em qualquer tempo t, está em um e somente um estado

Fórmulas para descrever o a conf. Inicial da fita:

Se SAT puder ser resolvido em tempo polinomial por uma M.T. deter então qualquer problema em NP também

pode ser resolvido em tempo polinomial

Fórmulas para descrever o comportamento da máquina:

Ee Ci Si,j (Eg Ci+1 Si,k) (Eh Ci-1 Si,n ) t t t t+1 t+1 t+1 t+1 t+1 t+1

S0,3 S1,7 S2,1 ...... S|w|,8 0 0 0 0


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(1) Descobrindo como resolver o problema do caixeiro viajante em tempo polinomial, seremos capazes de resolver, também em tempo polinomial, outros problemas importantes (úteis).

(2) Se alguém provar que é impossível resolver o problema do caixeiro em tempo polinomial no número de cidades, também se terá que outros de problemas importantes não tem solução prática.

(3) Costuma-se resumir essas propriedades do problema do caixeiro dizendo que ele pertence à categoria dos problemas NP - completos.


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Problemas de Decisão

x P ?x

sim

não

Prog.|x| *

1

0

Problemas de Decisão Linguagens Formais


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Problemas, Soluções e Linguagens

P = < Ent, Saída, Relação>

PComp = <Ent, Saída, R >

f:Ent Saídaf Relação

Sol =

f:Ent Saída

f computávelf R

SolComp =

*** *

LP = { went<sep>wsai / (went, wsai) R Ent Saída } **


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Complexidade de uma Linguagem

L DTime(f) sss m TuringDet t.q. (m reconhece L) e c, x * steps(m,x) cf(|x|)

L DSpace(f) sss m TuringDet t.q. (m reconhece L) e c, x * space(m,x) cf(|x|)


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Uso de Recursos por Máquinas de Turing Determ.

L *

ML reconhece Lsss

w L então ML(w) = “aceita”w L então ML(w) = “rejeita”

f : *1

*2

Mf computa fsss

f(w1)=w2 então ML(w1) = w2

steps(M,w) = números de passos executados pela máquina M sobre o dado w até parar.

space(M,w) = números de células (distintas) visitadas pela máquina M sobre o dado w até a parada.


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Por que considerar classes assintóticas de funções ??

Teorema: (speedup linear) Se uma linguagem L é decidida em tempo f(n) então para qualquer > 0 existe uma M. Turing M que decide L em tempo .f(n) + n + 2.

Prova : Modificar o tamanho da “palavra” de memória

Consequências do seedup:

Se L é decidida em tempo f(n) = 165.nk + .... + 54.n + 657 então L é decidida em tempo f’(n) = nk

Obs: O mesmo teorema ( e técnica de prova) vale para função de medida e uso de espaço (número máximo de células visitadas)


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Complexidade Computacional I

- Não existência de limite na complexidade de Linguagens

DTime(f) Dtime(f log(f))

DSpace(f) DSpace(f log(f))

- Hierarquia de Linguagens segundo sua Complexidade

DTime(n) Dtime(n2) ... Dtime(nk) .... Dtime(2n) ......

Dspace(log(n)) Dspace(n) ... ... DSpace(nk) .... Dtime(2n) ......


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Teorema de Cantor

==> Seja B um conjunto, então |B| < |2B|

S = { x / x f(x) }

Prova: Suponha que |B| = |2B| então existe f: B 2B

f-1(S) S se e somente se f-1(S) S

Paradoxo do Barbeiro: Em uma cidade existe um barbeiro que faz a barba de todos os homens que não barbeiam a sí próprios e somente estes.

{A / A B}


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O método da diagonal de Cantor

a0= 0, aoo ao1 ao2 ao3 ao4....... aon..............a1= 0, a1o a11 a12 a13 a14....... a1n..............

an= 0, ano an1 an2 an3 an4....... ann..............

suponha que |(0,1)| = |N|

b = 0,b0 b1 b2 b3 b4....... bn.........

bj=

5 se ajj = 9

9 senão

|(0,1)| |N|


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Hierarquia própria de funções construtivas

Paraf = { <T,x> / T(x) pára no máximo em f(|x|) passos}

FatoI : Paraf DTime(f3)

FatoII : Paraf DTime(f(x/2))

Prova: Diagonalização

Corolário I : DTime(f(n)) DTime(f(2n+1)3)

Corolário II : P EXP


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Classes de Complexidade e algumas relações

Def. PSpace = DSpace(ni)iN

Def. NP = NTime(ni )iN

Def. NPSpace = NSpace(ni)iN

Def. Log = Space(log(n)) NLog = NSpace(log(n))


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- DSpace(f(n)) NSpace(f(n)) e DTime(f(n)) NTime(f(n))

- NTime(f(n)) DSpace(f(n))

- NSpace(f(n)) DTime(klog n + f(n))

- Alcançabilidade Space(log2) NSpace(f) Space(f2)

(obs; Número de conf. + alcançabilidade)

- número de nós alcançavel Space(log) => NSpace(f) = coNSpace(f)


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(parte) do que se sabe atualmente (desde 60’s)

Log NLog P NP PSPACE = NPSPACE EXP NEXP

Sabe-se que Log PSPACE

se P = NP então EXP = NEXP

se Log = P então EXP = PSPACE


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P : Encontra solução em tempo polinomial em MTD

NP : Verifica solução em tempo polinomial em MTD

CoNP : Verifica que não é solução, em tempo polinomia em MTD

Sat NP Taut CoNP

Obs: Se CoNP NP então NP P

Verificação de Modelos Prova de Teoremas


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Como SAT é NP-Completo então Taut é CoNP-Completo

===> Se existe um sistema dedutivo onde todas as provas tem tamanho polinomial em função do tamanho da conclusão, então CoNP = NP. Senão existe tal sistema então CoNP NP e portanto NP P.

- Já se tentou técnicas de construção de modelos via “forcing” (funcionou com a hipótese generalizada do continum) mas a crença geral é que não funciona.

===> P = NP é um problema genuinamente matemático.

===> P = NP é um problema da ciência da computação.

===> P = NP é um problema genuinamente de fundamentação e lógica.

- Técnicas de diagonalização e relativização (tradição lógico-matemática) tem sido extensivamente usadas no estudo de questões relacionadas a NP=P.

?

?

?


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O Maior problema atual em Teoria da Computação é :

P = NP ?

O que isto tem a ver com jogos ??????

- Jogos e “quebra-cabeças” : PSPACE, EXP e NP-completos

-Soluções para jogos (Equilíbrio de Nash p.ex.), estão em P??? (estratégias mistas com soma zero), NP-completos (estratégias puras) e EXP ? (estratégias mistas para jogos em geral)


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Sokoban é PSPACE-completo

Damas é EXP-completo

Em Geral (versões infinitas)

Xadrez é EXP-completo

Clickomania é NP-completo

15-p é P (existência de solução) e NP-completo (melhor sol.)

A Teoria de Complexidade adequada para o estudo das versões finitas é a Teoria de complexidade estrutural ou de Kolmogorov

http://www.ics.uci.edu/~eppstein/cgt/hard.html#refs


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O jogo de Geografia é PSPACE-completo

Lógica Proposicional Intuicionista é PSPACE-completa (Statman 1977)

Prova: A sentenças válidas intuicionisticamente podem ser caracterizadas como sendo aquelas que possuem estratégia vencedora para o jogador que começa o seu jogo dialógico. (Haeusler 2004)


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Muito Obrigado pela audiência !!!!

Conclusão

Complexidade Computacional

Matemática

Fundamentação e Lógica

Engenharia

Teoria dos Jogos

Economia


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Um Pouco de História sobre Teoria dos Jogos e Xadrez

Zermelo 1913 – Über eine Anwendung der Mengenlehre auf die Theorie des Schachspiels 5o Congresso de Matemáticos (Cambridge).

König 1927 – Über eine Schulussweise aus dem Endlichen ins Unendliche. Acta Sci. Math.

Kalmár 1928 – Zur Theorie der abstrakten Spiele. Acta Sci Math.

Von Neumann 1928 – Zur Theorie der Gesellschaftsspiele. Mathematische Annalen

Caracterizam o conceito de posição ganhadora

Caracteriza a interação entre as estratégias dos jogadores

1

1- Jogo de Informação Perfeita

Utiliza indução transfinita


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Teorema de Zermelo

“Em um jogo de Xadrez, dado que um jogador está em uma posição vencedora quantos movimentos levará para que ele ganhe ??” ==> Não mais que o número de posições do jogo (estados do tabuleiro).

O que é uma posição vencedora ??

q

q1 q2 q3Ur(q) =

r

Ur(q) = Ur(q)

U pode forçar uma vitória em no máximo r movimentos se e somente se Ur(q)


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König estende o teorema de Zermelo

Lema: Toda árvore infinita finitamente gerada possui um ramo infinito.

=> Se não há limite (número de passos) para uma posição vencedora então estanão é vencedora, pois em cada posição só há um número finito de movimentos para o adversário.

Kalmár e a determinância de jogos assemelhados ao Xadrez

Satz III: Em qualquer jogo J potencialmente infinito assemelhado ao Xadrez, se O jogador A não pode forçar a vitória então o jogador B garante pelo menos o empate

Corolário: No Xadrez infinito ou as brancas tem uma estratégia vencedora, ou as pretas tem uma estratégia vencedora ou ambas podem garantir o empate. O jogo tem valor, é determinado.


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Nash 1950, Kuhn 1953

Teorema: Todo jogo finito com informação perfeita, de n jogadores, tem um ponto de equilíbrio.

Prova:

Por indução todo jogo com menos que m nós possui um ponto de equilíbrio

r

m nós

1i

k

Se r é um nó chance, então combine todos pontos de equilíbrio dos subjogos i;Senão o ponto de equilíbrio para r é maximizar os pontos de equilíbrio de cada um dos jogadores com relação ao subjogos i

Prog. Din. , MinMax

Prof. Edward Hermann HaeuslerTECMF-DI-PUC-Rio

Teoria da Computação:e Fund. Matemática

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Daniel Bernouli 1753

u(x,t) = F(x+ct)+G(x-ct) D’Alembert 1747 + Euler 1748

u

x t

ut(x,0) = g(x) e u(x,0) = f(x)

u(x,t) = 2 0 (sinnysinnxcosnct)f(y)dy + 2 0 (1/n) (sinnysinnxsinnct)g(y)dy

Lagrange 1759

Equação da onda

Prof. Edward Hermann HaeuslerTECMF-DI-PUC-Rio

Teoria da Computação:e Fund. Matemática

49

Equação do calor

u(0,t) = u(L,t) = 0

u(x,0) = f(x)

u(x,t) = cne-n Kt/L sin(nx/L)n=1

2 2 2

f(x) = cnsin(nx/L)n=1

cn= (2/L) f(x) sin(nx/L)dx0

L

Fourier 1811

==> Toda “função” tem expansãoem série de senos ?????

L

Dirichlet (1829,1837) +Fund. Análise (Bolzano, Cauchy, Weierstrass) + Riemann (def. integral,1900’s)


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A Máquina de Turing

- Modelo determinístico

q

q’

’

- Modelo multi-cabeça (determinístico)

i1 i2 ik

qi1 qi2 qik


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M. Turing modelo multi-fita (determinístico)

qi1

i1

qik

qi2

1

2

k ik

i2


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A Máquina de Turing (cont.)

- Modelo não-determinístico

q

q1

q2

q3

q11

q12

q13


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QSAT é PSPACE-completo

p p pode ser expresso como x(x) x( q x) expressa q

-Codifica-se os estados globais de M em strings de p(w) bits EGM(x1,x2,...,xP(n)) descreve um estado global

QSAT está em PSPACE

Codifica-se a execução de um passo da computação de M como PassoM(x,y) , onde EGM(x) e EGM(y)

Para qualquer MTD M que decide um problema usando espaço p(|w|)

Codifica-se estado global final (aceitação) FinalM(x)

Predicado para computação global.

EvoluiM(x,y) = PassoM(x,y) z(EvoluiM(x,z) EvoluiM(z,y)) Fórmula associada a aceitação de w por M AceitaM(w) = EGM(w) z(EvoluiM(w,z) FinalM(z))

Descubra como diminiur o tamanho de para não ser Exponencial

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