Técnica de Mosfet Chaveado Para Filtros Programáveis Operando à Baixa Tensão de Alimentação
Técnica de Projeto de filtros
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2Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Técnicas de Projeto de Filtros
O projeto de um filtro tem três passos: Especificações
Determinada pela aplicação
Aproximações Projeto do filtro especificamente (H(z))
Implementações Transcrição do projeto para hardware ou software
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Em diversas aplicações como processamento de voz ou som, filtros digitais são usados para implementar operações seletivas de frequência
Assim, especificações são necessárias no domínio da frequência em termos de magnitude desejada e resposta em fase do filtro
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Em geral, uma resposta em fase linear na banda de passagem é desejada
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As especificações de magnitude são dadas de duas possíveis formas: Especificações absolutas
Requisitos da magnitude |H(ejw)|
Especificações relativas Requisitos definidos em decibéis (dB)
Escala dB =
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Considerações:
Banda de Passagem
1 - δ1 ≤ |H(jw)| ≤ 1 + δ1, para 0 ≤ |w| ≤ wp
Banda de Corte
|H(jw)| ≤ δ2, para |w| ≥ ws
Banda de Transição
Largura finita igual a ws – wp
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Técnicas de Projeto de Filtros
Exemplo: As especificações de um FPB definem as ondulações da banda de passagem em 0,25 dB e a atenuação na banda de corte em 50 dB. Determine δ1 e δ2
Rp = 0,25 = -20 log10 [(1 - δ1)/(1 + δ1)] δ1 = 0,0144
As = 50 = -20 log10 [δ2/(1 + δ1)] δ2 = 0,0032
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Objetivo:
Projetar um filtro passa baixa (i.e., achar H(z))
que tenha banda de passagem [0, wp] com
tolerância δ1 (ou Rp em dB) e uma banda de
passagem [wp, π] com tolerância δ2 (ou As em
dB)
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Vantagens de filtros FIR Resposta em fase linear
O que implica que filtros de ordem M ou M-1 têm uma ordem de M/2 operações
Fáceis de implementar Eficientes TDF pode ser usada em sua implementação
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Carlos Alexandre Mello
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Tanto a aproximação quanto a implementação podem ser realizadas de diversas maneiras diferentes, com o resultado de que não existe uma solução única para o problema de projeto de filtros com um conjunto prescrito de especificações
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Todavia, podemos mencionar três diferentes abordagens para o projeto de filtros analógicos e digitais: Abordagem analógica Abordagem de analógico para digital Abordagem digital direta
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Para o projeto de filtros FIR, as técnicas são
divididas nas seguintes categorias:
Projeto usando janelas
Método da amostragem em frequência
Projeto equirriple ótimo
....
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Técnicas de Projeto de Filtros FIRProjeto Usando Janelas
A ideia básica de um projeto por janelas é selecionar um filtro seletor de frequências ideal apropriado (que sempre é não-causal e de resposta ao impulso infinita) e então truncar sua resposta ao impulso em uma janela para obter um filtro FIR causal e de fase linear
Assim, o foco está na escolha de uma função de janelamento e um filtro ideal apropriados
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Vamos considerar o FPB ideal Hd(ejw) com magnitude 1 e fase linear na banda de passagem e resposta zero na banda de corte:
onde wc é chamada de frequência de corte (cut-off) e α é o atraso da amostra (sample delay)
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Hd(ejw) =1.e-jαw , |w| ≤ wc
0 , wc < |w| ≤ π
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A resposta ao impulso desse filtro é infinita e dada por:
Para obter um filtro FIR a partir de hd[n], precisamos truncar hd[n] em ambos os lados.
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Para obter um filtro FIR causal de fase linear h[n] de comprimento M, devemos ter:
e α = (M - 1)/2 Essa operação é chamada de janelamento
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Técnicas de Projeto de Filtros FIRProjeto Usando Janelas
Em geral, h[n] pode ser pensado como sendo formado pelo produto de hd[n] e uma janela w[n] tal que:
h[n] = hd[n].w[n]
onde w[n] é alguma função simétrica com respeito a α no intervalo 0 ≤ n ≤ M – 1 e 0 fora desse intervalo
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Dependendo de como obtivermos w[n] acima, temos diferentes projetos de filtros
Por exemplo:
é uma janela retangular
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No domínio da frequência, a resposta H(ejw) dofiltro FIR causal é dada pela convolução de Hd(ejw)e a resposta da janela W(ejw):
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Observações: 1. Como a janela w[n] tem comprimento finito igual a M,
sua resposta em frequência tem uma região de pico central (lóbulo principal) cuja largura é proporcional a 1/M e tem lóbulos laterais com pesos menores.
2. A convolução gera uma versão da resposta ideal Hd(ejw), mas com algumas distorções (ondulações).
3. A largura da banda de transição é proporcional a 1/M. 4. Os lóbulos laterais produzem ondulações que têm
forma similar tanto na banda de passagem quanto na de corte.
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Técnicas de Projeto de Filtros FIRProjeto Usando Janelas
Projeto usando janelas: Para uma dada especificação de filtro, escolha um filtro de comprimento M e uma função janela w[n] para a mais estreita largura do lóbulo principal e a menor atenuação nos lóbulos laterais possível.
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Da observação 4 anterior, podemos notar que a tolerância δ1 da banda de passagem e a tolerância δ2 da banda de corte não podem ser especificadas de forma independente
Geralmente, toma-se δ1 = δ2
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Técnicas de Projeto de Filtros FIRTipos de Janelas
Janela Retangular
Resposta em frequência
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Magnitude da função sen[w(M+1)/2]/sen(w/2)
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A largura do lóbulo central é ∆wm = 4π/(M + 1) para uma janela retangular
Observa-se também que a magnitude do primeiro lóbulo lateral é aproximadamente em w = 3π/(M+1) e é dada por:
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À medida que M cresce, a largura de cada lóbulo lateral diminui, mas a área sobre eles permanece constante Assim, as amplitudes relativas dos picos laterais vão
permanecer constantes e a atenuação da banda de passagem permanece em cerca de 21 dB
Isso significa que as ondulações vão sofrer um pico perto das bordas das bandas
Isso é conhecido como fenômeno de Gibbs Esse fenômeno ocorre por causa da transição
brusca de 0 para 1 (e de 1 para 0) da janela retangular
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Janela Triangular ou de Bartlett Bartlett sugeriu uma transição mais suave para
evitar o fenômeno de Gibbs. Isso seria conseguido através de uma janela triangular da forma:
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Janela de Hanning
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Janela de Hamming
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Janela de Blackman
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Características das funções
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Janela de Kaiser Esta é a melhor janela Ela e considerada ótima porque provê um
lóbulo principal largo para a dada atenuação da banda de corte, o que implica a mais brusca banda de transição
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Janela de Kaiser
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I0(.) é a função de Besselmodificada de ordem zero
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Janela de Kaiser Variadas formas da Janela de Kaiser
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Janela de Kaiser Na expressão de w[n], existem dois parâmetros:
O comprimento M O parâmetro β
Se β = 0, temos a janela retangular
Variando β e M, é possível ajustar a amplitude dos lóbulos laterais
Kaiser encontrou duas fórmulas que permitem achar M e β de modo a atender às especificações do filtro
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Técnicas de Projeto de Filtros FIRTipos de Janelas
Janela de Kaiser considerando δ1 = δ2
∆w = wS - wP
A = -20log10 δ
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Técnicas de Projeto de Filtros FIRTipos de Janelas
Janela de Kaiser O procedimento para projetar um filtro passa-baixa
digital FIR usando a janela de Kaiser consiste nos seguintes passos:
i) Estabelecer as especificações wP, wS e δ. ii) Estabelecer a frequência de corte wc do filtro passa-baixa
ideal ao qual se aplicará a janela (wc = (wP + wS)/2). iii) Calcular A = 20log10 δ e ∆w = wP - wS e usar as fórmulas de
Kaiser para encontrar os valores de M e β. iv) Encontra a resposta ao impulso do filtro através de
h[n]=hd[n]w[n], onde w[n] é a janela de Kaiser ehd[n] = ℑ-1[Hd(ejw)].
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Técnicas de Projeto de Filtros FIRTipos de Janelas
Janela de Kaiser Devido à complexidade de cálculos com
funções de Bessel, o projeto dessas janelas não é fácil
A equação de w[n] definida por Kaiser tem valores encontrados empiricamente e são definidos sem prova
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Técnicas de Projeto de Filtros FIRTipos de Janelas
Janela de Kaiser Exemplo: Projetar, usando janelas de Kaiser, um filtro
passa-baixa com as seguintes especificações: wP= 0,4π, wS = 0,6π e δ = 0,001
wc = (wS + wP)/2 = 0,5π
∆w = wS - wP = 0,2π
A = -20log10 δ = 60 dBComo A > 50:
β = 0,1102(A – 8,7) ≅ 5,633M = (A - 8)/(2,285∆w) ≅ 36,219 ⇒ M = 37 (M inteiro)
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Técnicas de Projeto de Filtros FIRTipos de Janelas
Janela de Kaiser Exemplo: Projetar, usando janelas de Kaiser, um filtro
passa-baixa com as seguintes especificações: wP= 0,4π, wS = 0,6π e δ = 0,001
A resposta ao impulso é
com w[n] dado pela definição da janela de Kaiser
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Técnicas de Projeto de Filtros FIRTipos de Janelas
Implementações no MatLab
O MatLab tem diversas funções para implementar janelas:
w = rectwin(M): Janela retangular w = bartlett(M): Janela de Bartlett w = hanning(M): Janela de Hanning w = hamming(M): Janela de Hamming w = blackman(M): Janela de Blackman w = kaiser(M, Beta): Janela de Kaiser
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Técnicas de Projeto de Filtros FIRExemplos no MatLab
Função 1:function hd = ideal_lp(wc, M)% Ideal low pass filter% wc = cutoff frequency% M = length of the ideal filteralpha = (M - 1)/2n = [0:(M-1)];m = n - alpha + eps;hd = sin(wc*m)./(pi*m);
Função 2:function [db, mag, pha, w] = freqz_m(b, a)% Versao modificada da funcao freqz[H, w] = freqz(b, a, 1000, 'whole');H = (H(1:501))';w = (w(1:501))';mag = abs(H);db = 20*log10((mag + eps)/(max(mag)));pha = angle(H);
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Técnicas de Projeto de Filtros FIRExemplos no MatLab
Exemplo 1:
Projetar um filtro passa-baixa FIR com as seguintes especificações wP = 0,2π, RP = 0,25 dB, wS = 0,3π e AS= 50 dB.
Tanto a janela de Hamming quanto a de Blackman provêem atenuação de mais de 50 dB
Vamos escolher a janela de Hamming que provê a menor banda de transição e assim tem a menor ordem
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Técnicas de Projeto de Filtros FIRExemplos no MatLab
Exemplo 1:
wp = 0.2*pi; ws = 0.3*pi;tr_width = ws - wp;M = ceil(6.6*pi/tr_width) + 1n = [0:M-1];wc = (ws + wp)/2;hd = ideal_lp (wc, M);w_ham = (hamming(M))';h = hd.*w_ham;[db, mag, pha, w] = freqz_m(h, [1]);delta_w = 2*pi/1000;Rp = -(min(db(1:wp/delta_w+1)))As = -round(max(db(ws/delta_w+1:501)))
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Técnicas de Projeto de Filtros FIRExemplos no MatLab
Exemplo 1:
M = 67alpha = 33Rp = 0,0394As = 52
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stem(hd)stem(h)stem(mag)stem(w_ham)
Técnicas de Projeto de Filtros FIRExemplos no MatLab
Exemplo 2:
Resolver o exemplo anterior com janela de Kaiser
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Técnicas de Projeto de Filtros FIRExemplos no MatLab
Exemplo 3:
A resposta em frequência de um filtro passa-faixa ideal é dada por:
Usando uma janela de Kaiser, projete um filtro passa-faixa de comprimento 45 com atenuação na banda de corte de 60 dB
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Técnicas de Projeto de Filtros FIRExemplos no MatLab
Exemplo 3:
Observe que a largura da banda de transiçãonão foi dada
Ela será encontrada a partir do comprimentoM = 45 e do parâmetro β da janela de Kaiser
Das equações de projeto da janela de Kaiser,podemos determinar β a partir de As:
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Técnicas de Projeto de Filtros FIRExemplos no MatLab
Exemplo 3:
Vamos agora implementar a janela de Kaiser eobservar a atenuação na banda de corte
M = 45; As = 60; n=[0:M-1];beta = 0.1102*(As - 8.7)w_kai = (kaiser(M, beta))';wc1 = pi/3; wc2 = 2*pi/3;hd = ideal_lp(wc1, M) + ideal_lp(pi, M) - ideal_lp(wc2, M);h = hd.*w_kai;[db, mag, pha, w] = freqz_m(h, [1]);
beta = 5,6533
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Técnicas de Projeto de Filtros FIRExemplos no MatLab
Exemplo 3:
Problema….Abaixo de 60 dB
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Técnicas de Projeto de Filtros FIRExemplos no MatLab
Exemplo 3:
Observe que, com esse valor, a mínima atenuação dabanda de corte é menor que 60 dB (em módulo)
Assim, precisamos aumentar β para aumentar aatenuação para 60 dB.
Vamos colocar um acréscimo no valor calculado de βpara conseguir uma atenuação maior
Observamos que, assim, a atenuação fica maior que 60dB na banda de corte
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Técnicas de Projeto de Filtros FIRExemplos no MatLab
Exemplo 3:
Vamos agora implementar a janela de Kaiser eobservar a atenuação na banda de corte
M = 45; As = 60; n=[0:M-1];beta = 0.1102*(As - 8.7) + 0.3w_kai = (kaiser(M, beta))';wc1 = pi/3; wc2 = 2*pi/3;hd = ideal_lp(wc1, M) + ideal_lp(pi, M) - ideal_lp(wc2, M);h = hd.*w_kai;[db, mag, pha, w] = freqz_m(h, [1]);
beta = 5,9533
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Técnicas de Projeto de Filtros FIRExemplos no MatLab
Exemplo 3:
Acima de 60dB – OK!
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Técnicas de Projeto de Filtros FIRProjeto por Amostragem em Frequência
Nessa técnica, usamos o fato de que a função de sistema H(z) pode ser obtida a partir de amostras H(k) da resposta em frequência H(ejw)
Seja h[n] a resposta ao impulso de um filtro FIR com M amostras, H[k] é sua transformada discreta de Fourier com M-pontos e H(z) sua função de sistema
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Técnicas de Projeto de Filtros FIRProjeto por Amostragem em Frequência
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Técnicas de Projeto de Filtros FIRProjeto por Amostragem em Frequência
Observações (da figura anterior): 1) O erro de aproximação – a diferença entre a
resposta ideal e a atual – é zero nas freqüências amostradas
2) O erro de aproximação nas outras freqüências depende da forma da resposta ideal, ou seja, quanto mais “sharp” a resposta ideal, maior o erro de aproximação
3) O erro é maior perto das fronteiras das bandas e menor dentro das bandas
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Técnicas de Projeto de Filtros FIRProjeto Equirriple Ótimo
Os métodos de janelamento e de amostragem na frequência têm alguns problemas: 1) Não podemos especificar wP e wS precisamente nos
projetos. 2) Não podemos especificar δ1 e δ2 simultaneamente
Ou consideramos δ1 = δ2 (como no janelamento) ou otimizamos δ2 (como na amostragem).
3) O erro de aproximação não é distribuído uniformemente nas bandas
Ele é mais alto perto das fronteiras das bandas e menor quanto mais distante delas
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Técnicas de Projeto de Filtros FIRProjeto Equirriple Ótimo
O método equirriple ótimo evita esses problemas. No entanto ele é bastante difícil de utilizar e requer computador na sua implementação
O objetivo é minimizar o erro máximo de aproximação (minimax do erro) Otimização
Tais filtros são chamados de equirriple porque o erro é distribuído de maneira uniforme na banda de passagem e de corte o que resulta em um filtro de menor ordem
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Técnicas de Projeto de Filtros FIRProjeto Equirriple Ótimo
Exemplo:
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Técnicas de Projeto de Filtros IIR
Carlos Alexandre Mello
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Técnicas de Projeto de Filtros IIR
A técnica básica de projeto de filtros IIR transforma filtros analógicos bem conhecidos em filtros digitais
A vantagem dessa técnica está no fato que tanto tabelas de filtros analógicos quanto as conversões estão vastamente disponíveis na literatura
Essa técnica é chamada de transformação de filtro analógica-digital (A/D)
No entanto, as tabelas de filtros só estão disponíveis para filtros passa-baixa Para gerar outros filtros seletores de frequência, temos que aplicar
transformações a filtros passa-baixa Essas transformações também estão disponíveis na literatura.
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Técnicas de Projeto de Filtros IIR
Existem duas formas de projeto de filtros IIR
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Técnicas de Projeto de Filtros IIR
Para projetar filtros IIR, vamos: 1) Projetar FPB analógicos; 2) Aplicar transformações no filtro para obter FPB
digitais; 3) Aplicar transformações de frequência nas bandas
para obter outros filtros digitais a partir do FPB.
O principal problema dessas técnicas é que não temos controle sobre a fase do filtro Assim, os projetos de filtros IIR serão apenas em
magnitude
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71Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Técnicas de Projeto de Filtros IIR
Escala Relativa Seja Ha(jΩ) a resposta em frequência do filtro
analógico Então as especificações do FPB quanto à
resposta quadrática de magnitude são dadas por:
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onde ε é o parâmetro de ondulação da banda de passagem, ΩP é a frequência de corte da banda de passagem em rad/seg, A é o parâmetro de atenuação da banda de corte e ΩS é a frequência da banda de corte
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Técnicas de Projeto de Filtros IIR
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Especificações de um filtro passa-baixa analógico
Da figura temos:
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Técnicas de Projeto de Filtros IIR
Escala Relativa Os parâmetros ε e A estão relacionados aos
parâmetros RP e AS na escala dB como:
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Técnicas de Projeto de Filtros IIR
Escala Relativa As tolerâncias δ1 e δ2 da escala absoluta são
relacionados a ε e A por:
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Técnicas de Projeto de Filtros IIR
Escala Relativa Especificações de filtros analógicos não têm
informação de fase Para calcular a função de sistema Ha(s) no
domínio-s considere :
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Técnicas de Projeto de Filtros IIR
Escala Relativa Então temos :
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77Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Técnicas de Projeto de Filtros IIR
Observação: A transf. É apresentada no plano-s indicando o uso da
transf. de Laplace (por ser no domínio analógico) O domínio-s ou plano-s é o nome do plano complexo no
qual a transformada de Laplace é apresentada graficamente
A transf de Laplace se relaciona com a transf de Fourier, mas enquanto a transf de Fourier mapeia um sinal ou função em termos de vibrações (senóides), a transf de Laplace mapeia uma função em relação aos seus momentos
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78Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Técnicas de Projeto de Filtros IIRCaracterísticas de Protótipos Analógicos
O projeto de filtros IIR reside na existência de filtros analógicos para obter filtros digitais
Esses filtros analógicos são chamados de filtros protótipos
Três protótipos são largamente usados na prática: Butterworth, Chebyshev (tipo I e II) e Elíptico
Vamos ver as características das versões passa-baixa desses filtros.
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79Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Técnicas de Projeto de Filtros IIRCaracterísticas de Protótipos Analógicos
Filtro de Butterworth A principal característica desse filtro é que a resposta
em magnitude é plana (flat) na banda de passagem e de corte
A resposta quadrática de magnitude de um FPB de N-ésima ordem é dada por:
onde N é a ordem do filtro e Ωc é a frequência de corte
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80Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Técnicas de Projeto de Filtros IIRCaracterísticas de Protótipos Analógicos
Filtro de Butterworth
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Técnicas de Projeto de Filtros IIRCaracterísticas de Protótipos Analógicos
Filtro de Butterworth Do gráfico, podemos observar:
i) Em Ω = 0, |Ha(j0)|2 = 1, para todo N. ii) Em Ω = Ωc, |Ha(jΩc)|2 = 0,5, para todo N, o que
implica 3 dB de atenuação em Ωc
iii) |Ha(jΩ)|2 é uma função monotonicamente decrescente em Ω
iv) |Ha(jΩ)|2 se aproxima de um FPB ideal em N → ∞. V) |Ha(jΩ)|2 é maximamente plano em Ω = 0
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82Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Técnicas de Projeto de Filtros IIRCaracterísticas de Protótipos Analógicos
Filtro de Butterworth Sua função de sistema Ha(s) é:
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83Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Técnicas de Projeto de Filtros IIRCaracterísticas de Protótipos Analógicos
Filtro de Butterworth Para projetar o filtro, precisamos encontrar as
raízes e pólos da função do sistema Os pólos são dados por:
pk = ejπ(2k + 1)/2N.ejπ/2Ωc, k = 0, 1, 2,..., 2N-1
Assim, os pólos estão em um círculo de raio Ωcnos ângulos θk = (π/N)k + (π/2N) + π/2, k = 0, ..., 2N – 1
E os zeros são sk = (-1)1/2N.j Ωc = Ωcejπ(2k+N+1)/2N, k = 0, 1, ..., 2N – 1.
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84Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Técnicas de Projeto de Filtros IIRCaracterísticas de Protótipos Analógicos
Filtro de Butterworth O FPB analógico é especificado pelos
parâmetros ΩP, ΩS, RP e AS
Assim, a essência do projeto no caso do filtro de Butterworth é obter a ordem N e a frequência de corte dada Ωc
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85Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Técnicas de Projeto de Filtros IIRCaracterísticas de Protótipos Analógicos
Filtro de Butterworth Assim, dadas essas especificações, queremos:
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p
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Técnicas de Projeto de Filtros IIRCaracterísticas de Protótipos Analógicos
Filtro de Butterworth Resolvendo as equações para N = Ωc, temos:
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87Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Técnicas de Projeto de Filtros IIRCaracterísticas de Protótipos Analógicos
Filtro de Butterworth Como N deve ser inteiro, então consideramos:
N = N
Obviamente, isso irá gerar um filtro com ordem maior do que o necessário
Para satisfazer exatamente as especificações do projeto em ΩP:
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88Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Técnicas de Projeto de Filtros IIRCaracterísticas de Protótipos Analógicos
Filtro de Butterworth Para satisfazer exatamente as especificações
do projeto em ΩS:
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89Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Técnicas de Projeto de Filtros IIRCaracterísticas de Protótipos Analógicos
Filtro de Butterworth: Exemplo Projete um filtro Butterworth satisfazendo:
Ponto de corte na banda de passagem: ΩP = 0,2π
Ripple na banda de passagem: RP = 7 dB Ponto de corte na banda de corte: ΩS = 0,3π
Ripple na banda de corte: AS = 16 dB
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90Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Técnicas de Projeto de Filtros IIRCaracterísticas de Protótipos Analógicos
Filtro de Butterworth: Exemplo Solução:
Para satisfazer as especificações em ΩP
Para satisfazer as especificações em ΩS
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91Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Técnicas de Projeto de Filtros IIRCaracterísticas de Protótipos Analógicos
Filtro de Butterworth: Exemplo Solução:
Podemos escolher Ωc entre esses dois valores, por exemplo Ωc = 0,5
Temos que projetar um filtro Butterworth com N = 3 e Ωc = 0,5
Ou seja:
Como Ω = s/j, temos:
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Técnicas de Projeto de Filtros IIRCaracterísticas de Protótipos Analógicos
Filtro de Butterworth: Exemplo Solução:
Os pólos pk da função anterior podem ser calculados no MatLab como:
>> a = [-64 0 0 0 0 0 1]; >> b = roots(a) b = -0.5000 -0.2500 + 0.4330i -0.2500 - 0.4330i 0.5000 0.2500 + 0.4330i 0.2500 - 0.4330i
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Técnicas de Projeto de Filtros IIRCaracterísticas de Protótipos Analógicos
Filtro de Butterworth: Exemplo Solução:
Para termos um filtro causal e estável, usamos os pólos do semi-plano esquerdo:
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Técnicas de Projeto de Filtros IIRCaracterísticas de Protótipos Analógicos
Filtro de Butterworth: Exemplo Solução:
Vamos ajustar o numerador para que o ganho na frequência zero seja unitário
Ou seja, no denominador, quando s = 0, temos: (s + 0,5)(s2 + 0,5s + 0,25) = 0,5.0,25 = 0,125
Logo, o denominador é multiplicado por um fator de 1/8 e temos:
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Técnicas de Projeto de Filtros IIRCaracterísticas de Protótipos Analógicos
Filtro de Butterworth: Exemplo Solução:
Para transformar o filtro em digital, podemos usar o método de transformação bilinear
Nele, consideramos:
onde T é um parâmetro
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OBS: Explicação nas notas de aula.
Técnicas de Projeto de Filtros IIRCaracterísticas de Protótipos Analógicos
Filtro de Butterworth: Exemplo Solução:
No nosso caso, consideramos T = 1:
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Técnicas de Projeto de Filtros IIRCaracterísticas de Protótipos Analógicos
Filtro de Chebyshev Existem dois tipos de filtros de Chebyshev
O Chebyshev do tipo I tem resposta equirriple na banda de passagem
e o tipo II, na banda de corte
Os filtros Butterworth têm resposta monotônica em ambas as bandas
Lembramos que um filtro de resposta equirriple tem menor ordem
Assim, um filtro de Chebyshev tem menor ordem que um de Butterworth para as mesmas especificações
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Filtro de Chebyshev
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Filtro de Chebyshev A resposta quadrática de magnitude de um filtro
Chebyshev tipo I é dada por:
onde N é a ordem do filtro, ε é o fator de ondulação da banda de passagem e TN(x) é o polinômio de Chebyshev dado por (podemos considerar x = Ω/Ωc):
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Filtro de Chebyshev Para um filtro Chebyshev tipo II:
Ou seja, x = (Ω/Ωc) é substituído por seu inverso e ε2TN
2(x) também
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Filtro de Elíptico Esses filtros apresentam ondulações na banda
de passagem e de corte São similares em magnitude a filtros FIR
equirriple São filtros ótimos no sentido que eles alcançam
a menor ordem N para as dadas especificações São muito difíceis de projetar e analisar
Não é possível projetá-los com ferramentas simples, sendo necessário uso de tabelas e computadores
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Filtro de Elíptico A resposta quadrática de magnitude é dada por:
onde N é a ordem do filtro, ε é o fator de ondulação da banda de passagem e UN(x) é a função elíptica Jacobiana de ordem N
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Filtro de Elíptico Apesar da análise complexa, o cálculo da ordem do
filtro é simples e dado por:
Onde:
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Transformações em Frequência
Como dissemos anteriormente, o projeto de filtros seletores de frequência como passa-alta, passa-faixa ou rejeita faixa, são feitos a partir de um protótipo do tipo passa baixa
A partir desse protótipo, é possível aplicar uma transformação algébrica para construir o filtro desejado
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Transformações em Frequência
Seja HPB(Z) a função do sistema de um filtro passa-baixa dado o qual se quer transformar para obter uma nova função H(z)
Observe que as variáveis complexas Z e z estão associadas ao filtro passa-baixa protótipo e ao filtro obtido pela transformação, respectivamente
O que se deseja é uma função Z = G(z) tal que:
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Transformações em Frequência
Se HPB(Z) é a função racional de um sistema causal e estável, uma exigência natural é que a função transformada H(Z) também apresente essas características. Isso implica que: 1. G(z-1) deve ser uma função racional de z-1. 2. O interior do círculo unitário do plano Z deve
mapear o interior do círculo unitário do plano z. 3. O círculo unitário do plano Z deve mapear no
círculo unitário do plano z.
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Transformações em Frequência
Denotando por θ e w as variáveis (ângulos) associados, respectivamente, aos planos Z e z, a transformação Z-1 = G(z-1) pode ser re-escrita como:
De forma que:
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Transformações em Frequência
A forma mais geral da função G(z-1) que satisfaz às condições acima é:
com |αk| < 1 Dependendo da escolha de N e αk, diversos
mapeamentos podem ser obtidos O mais simples é (N = 1, α1 = α):
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Transformações em Frequência
Agora, escolhendo uma ordem apropriada N e os coeficientes αk, podemos obter uma variedade de mapeamentos
As transformações mais comuns estão na tabela a seguir...
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Transformações em Frequência
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Comparação entre Filtros FIR e IIR
Seja M o comprimento (número de coeficientes) de um filtro FIR de fase linear e N a ordem de um filtro elíptico (IIR)
Se assumimos que ambos os filtros atendem exatamente às mesmas especificações, os dois filtros são equivalentes e atendem à relação:
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Comparação entre Filtros FIR e IIR
Isso mostra que, para a maior parte das aplicações, filtros IIR elípticos são desejáveis do ponto de vista computacional
As condições mais favoráveis para filtros FIR são: 1. Grandes valores de δ1; 2. Pequenos valores de δ2; 3. Grande largura da banda de transição.
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Técnicas de Projeto de Filtros
Referências: Digital Signal Processing using MatLab, V.Ingle,
J.G.Proakis, Brooks/Cole, 2000 Discrete-Time Signal Processing, A.Oppenheim
e R.W.Schafer, Prentice-Hall, 1989 Digital Signal Processing Using MatLab and
Wavelets, M.Weeks, Ed. Infinity Science, 2007 Digital Signal and Image Processing, T.Bose,
John Wiley and Sons, 2004
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