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TECNOLOGIASEMAULASTECNOLOGIASEMAULAS
DEMATEMÁTICADEMATEMÁTICA
AMBIENTESMONTESSORIANOSAMBIENTESMONTESSORIANOS
JOÃOVICENTEMOLONJOÃOVICENTEMOLON
ORIENTADOPORORIENTADOPOR
DRA.ANDRÉIADALCINDRA.ANDRÉIADALCIN
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TECNOLOGIASEMAULASDEMATEMÁTICATECNOLOGIASEMAULASDEMATEMÁTICAAMBIENTESMONTESSORIANOSAMBIENTESMONTESSORIANOS
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JOÃOVICENTEMOLON
PortoAlegre2015
TECNOLOGIASEMAULASDEMATEMÁTICATECNOLOGIASEMAULASDEMATEMÁTICAAMBIENTESMONTESSORIANOSAMBIENTESMONTESSORIANOS
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JoãoVicenteMolonTodososdireitosreservados-2015
Ilustrações:páginas38e39RevisadoporGabrielaDetoffol
Éproibidaareproduçãototalouparcialdestaobra,porqualquermeioeparaqualquerfim,semaautorizaçãopréviadosautores.
ObraprotegidapelaLeidosDireitosAutorais.
Contatocomoautor:[email protected]
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AutoeducaçãoAutoeducação
Montessori,Montessori,PedagogiaCientíficaPedagogiaCientífica(1965)(1965)
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SUMÁRIO
Introdução...............................................................................11TecnologiaspropostasporMariaMontessori.....................13CubodoBinômio.........................................................................................14CubodoTrinômio........................................................................................16TeoremadePitágoras.................................................................................18GeneralizaçãodoTeoremadePitágoras....................................................20TriângulosdeMetal.....................................................................................22PrismasQuadrados....................................................................................24PrismasHexagonais....................................................................................26
TecnologiaspropostaspeloAutor........................................29SoftwareGrafeq...........................................................................................30SoftwareShapari..........................................................................................32SoftwareGeogebra......................................................................................34GeneralizaçãodoTeoremadePitágoras.....................................................36Ilustrações..................................................................................................38Referências.................................................................................................41
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INTRODUÇÃO
Este catálogo faz parte da dissertação de mestrado intitulada "UMA RELEITURA DOS
PRINCÍPIOSMONTESSORIANOSPARAOENSINODEMATEMÁTICANOSANOSFINAISDO
ENSINO FUNDAMENTAL", escrita pelo mesmo autor e sob orientação da Dra. Andréia Dalcin,
apresentadaem2015edesenvolvidajuntoaoprogramadePós-GraduaçãoemEnsinodeMatemática
daUniversidadeFederaldoRioGrandedoSul.
Aconfecçãodestematerialtemcomoobjetivoapresentaralgumastecnologiaspropostaspor
Maria Montessori em seus livros e outras tecnologias propostas pelo autor, bem como suas
estratégias de utilização em salas de aula, na disciplina dematemática, nos anos finais do ensino
fundamental.
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TECNOLOGIASPROPOSTASPORMARIAMONTESSORITECNOLOGIASPROPOSTASPORMARIAMONTESSORI
-CUBODOBINÔMIO-CUBODOBINÔMIO
-CUBODOTRINÔMIO-CUBODOTRINÔMIO
-TEOREMADEPITÁGORAS-TEOREMADEPITÁGORAS
-GENERALIZAÇÃODOTEOREMADEPITÁGORAS-HEXÁGONOSeQUADRADOS-GENERALIZAÇÃODOTEOREMADEPITÁGORAS-HEXÁGONOSeQUADRADOS
-TRIÂNGULOSDEMETAL-TRIÂNGULOSDEMETAL
-PRISMASQUADRADOS-PRISMASQUADRADOS
-PRISMASHEXAGONAIS-PRISMASHEXAGONAIS
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CUBODOBINÔMIOCUBODOBINÔMIO
PropostadeatividadePropostadeatividade
-Desmontaremontarocubo.
-Expressaralgebricamenteovolumedecada
sólido que forma o cubo. Após isso,
representaralgebricamenteovolumetotaldo
cubo.
-Criarvaloresparacadavariávelutilizadano
itemanterior,calcularovolumedecadapeça
e,posteriormente,ovolumetotal.
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ObjetivosObjetivos
-Representaroprodutonotávelatravésdeumatecnologia.
-Desenvolverosvaloresaritméticose/ougeométricosdecadaprismaedocubototal.
-Relacionarfacesatravésdascoresutilizadasnaconstruçãodatecnologia.
Formado por prismas construídos com partes constantes que podem se repetir em
diferentesfaceseque,unidos,formamumcubo,conduzoalunoafórmulasgeraisquepodemser
representadasatravésdaÁlgebra.
Omaterialécompostopordoiscubos-umcubodearestaaeoutrodearestab-três
prismasdevolumeemaistrêsprismasdevolume.Sendoassim,temosprismas
deduasespécies:umtemfacequadradacomapartemaiorenaalturaapartemenor,eooutro,
aocontrário,temfacequadradacomapartemenorenaalturaapartemaior.Estadistribuição
podesercomprovadaportodasascombinaçõespossíveiseformaaseguinteigualdade:
Tambémpodesercomprovadapelovolumetotaldocubo,expressopelomesmoresultado:
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CUBODOTRINÔMIOCUBODOTRINÔMIO
PropostadeatividadePropostadeatividade
-Desmontaremontarocubo.
- Expressar algebricamente o volume de cada
sólidoqueformaocubo.Apósisso,representar
algebricamenteovolumetotaldocubo.
- Criar valores para cada variável utilizada no
itemanterior,calcularovolumedecadapeçae,
posteriormente,ovolumetotal.
ObjetivosObjetivos
-Representaroprodutonotável
atravésdeumatecnologia.
- Desenvolver os valores aritméticos e/ou
geométricosdecadaprismaedocubototal.
- Relacionar faces através das cores utilizadas
naconstruçãodatecnologia.
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Omaterial “CubodoTrinômio”, composto por prismas construídos compartes constantes que
podemserepetiremdiferentesfacesequeunidosformamumcubo,conduzoalunoafórmulasgerais
quepodemserrepresentadasatravésdaÁlgebra.
Omaterialécompostopor27prismas,sendotrêscubos–umdearestaaoutrodearestabe
outrodearestac-,trêsprismascomvolume,trêsprismascomvolume,três
prismascomvolume,trêsprismascomvolume,trêsprismascomvolume,
trêsprismascomvolumeeseisprismascomvolume.
Ajunçãodaspeçasalgebricamentenosremeteàigualdade
etambémaovolumetotaldocubo,quepodeserexpressopor
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TEOREMADEPITÁGORASTEOREMADEPITÁGORAS
PropostadeatividadePropostadeatividade
DemonstraçãodoTeoremadePitágoras
-Removertodososquadradosvermelhos;
- Remover todos os quadrados amarelos e
azuis;
- Misturar todos os quadrados amarelos e
azuis na praça grande (anteriormente
vermelha);
- Dividir todo o quadrado vermelho entre os
dois quadrados menores (anteriormente
amareloseazuis);
-Concluirquenãofaltanemsobrapeçaalguma,
provandooteorema.
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ObjetivoObjetivo
RepresentartrêscasosdoTeoremadePitágoras:
-triânguloretânguloisósceles;
-osladosdotriânguloretângulonaproporção3:4:5;
-casogeral(demonstração).
Omaterialconsisteemtrêsplacasdemetalcomfundovazadoepeçasqueseencaixam
nestesfundos.
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GENERALIZAÇÃODOTEOREMADEPITÁGORASGENERALIZAÇÃODOTEOREMADEPITÁGORAS
HEXÁGONOSEQUADRADOSHEXÁGONOSEQUADRADOS
Propostadeatividade-HexágonoPropostadeatividade-Hexágono
Retiraraspeçasazuisdohexágonomaiore
colocá-lasexatamentenosdoishexágonos
menores.
Propostadeatividade-QuadradosPropostadeatividade-Quadrados
Retiraraspeçasamarelasdoquadradomaiore
colocá-lasnosdoisquadradosmenores.
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ObjetivoObjetivo
Demonstrar o Teorema de Pitágoras
geometricamente, utilizando hexágonos e
quadrados(formandoaspeçasdeumtangram).
HexágonosHexágonos -omaterial consisteemumdiscocomtrêshexágonosvazadosformadosatravésdos
lados de um triângulo retângulo. Contém figuras planas que se encaixam perfeitamente tanto no
hexágono contruído sob a hipotenusa do triângulo retângulo como nos dois hexágonos menores
construídossoboscatetosdomesmotriângulo.
QuadradosQuadrados -omaterial consisteemumdiscocomtrêsquadradosvazadosformadosatravésdos
lados de um triângulo retângulo. Contém figuras planas que se encaixam perfeitamente tanto no
quadrado vazado contruído sob a hipotenusa do triângulo retângulo como nos dois quadrados
vazadosmenoresconstruídossoboscatetosdomesmotriângulo.Percebaqueasfigurasplanassão
aspeçasdeumtangram.
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TRIÂNGULOSDEMETALTRIÂNGULOSDEMETAL
PropostadeatividadePropostadeatividade
-Manipularomaterialparaperceberquenasquatro
moldurasháomesmotriânguloequilátero.
-Atribuirumamedidaparaosladosdotriângulo
equiláterodamoldura1.
-Calcularaalturadotriânguloequiláteroatravésdo
TeoremadePitágorasutilizando-sedamoldura2.
-Calcularaáreadotriânguloequiláteropresentenas
quatromolduras.
-Apresentarecalcularoapótemadotriânguloequilátero
utilizandoamoldura3.
-Calcularaáreadecadatriângulodamoldura4e
compararcomaáreaencontradaanteriormente.
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Compostopor4moldurasdemetalcomtriângulosequiláteroscomfundovazado.
Asinserçõesnestesfundossão:
-umtriânguloequiláteroindivisível;
-umtriânguloequiláterodivididoemdoistriângulosiguais;
-umtriânguloequiláterodivididoemtrêstriângulosiguais;
-umtriânguloequiláterodivididoemquatrotriângulosiguais.
ObjetivoObjetivo
Fazeroestudoanalíticodostriângulosequiláteros.
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PRISMASQUADRADOSPRISMASQUADRADOS
PropostadeatividadePropostadeatividade
-Atribuirvaloresparaasdimensõesdoprismainteiro.
-Calcularáreadabase,árealateraleáreatotal.
-Calcularovolumedoprisma.
- Montar uma tabela contendo o número de faces,
vérticesearestaspresentesnoprisma.
-VerificaraRelaçãodeEuler.
-Utilizandoosmesmosvaloresparaoprismadividido,
calcular as mesmas áreas e, somando-as, compará-las
comafiguranãodividida.
- Calcular o volume dos prismas separadamente e
compará-loscomafiguranãodividida.
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OBJETIVOSOBJETIVOS
-Exercitarocálculodovolume.
-Visualizarafiguranasuaformaespacialtridimensional:altura,comprimentoelargura.
-Visualizarecalcularonúmerodefaces,arestasevértices.
-ApresentaraRelaçãodeEuler.
Doisprismasquadradosdemadeirapintadasdeazul,umdivididoeooutronão.
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PRISMASHEXAGONAISPRISMASHEXAGONAIS
PropostadeatividadePropostadeatividade
-Atribuirvaloresparaasdimensõesdoprismainteiro.
-Calcularáreadabase,árealateraleáreatotal.
-Calcularovolumedoprisma.
-Montarumatabelacontendoonúmerodefaces,vértices
earestaspresentesnoprisma.
-VerificaraRelaçãodeEuler.
- Utilizando os mesmos valores para o prisma dividido,
calcular as áreas e, somando-as, compará-las com a figura
nãodividida.
-Calcularovolumedosprismasseparadamenteecompará-
loscomafiguranãodividida.
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ObjetivosObjetivos
-Calcularovolume.
-Calcularquantidadesdearestas,facesevértices.
-Calcularângulos.
-VerificaraRelaçãodeEuler.
Doisprismashexagonaisdemadeirapintadasdeazul,umdivididoeooutronão.
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TECNOLOGIASPROPOSTASPELOAUTORTECNOLOGIASPROPOSTASPELOAUTOR
-GRAFEQ-GRAFEQ
-SHAPARI-SHAPARI
-GEOGEBRA-GEOGEBRA
-GENERALIZAÇÃODOSHEXÁGONOS-TRIÂNGULOS-LOSANGOS-TRAPÉZIOS-GENERALIZAÇÃODOSHEXÁGONOS-TRIÂNGULOS-LOSANGOS-TRAPÉZIOS
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SOFTWAREGRAFEQSOFTWAREGRAFEQ
OGrafeqéumsoftwarequetrabalhacomequaçõeseinequações,emcoordenadascartesianasepolares.
ComosrecursosoferecidospeloGrafeq,épossívelesboçarcurvaseregiõesnoplanocartesiano.
PROPOSTADEATIVIDADEPROPOSTADEATIVIDADE
-Apresentarolayoutdosoftware.
- Manipular livremente o software para
ambientação com sua estrutura algébrica e
geométrica.
- Construir uma imagem de livre escolha. Se não
houverideiasprópriasdedesenho,pode-setentara
reproduçãodealgumaimagemfamosa.
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OBJETIVOSOBJETIVOS
-Apresentaroplanocartesiano.
-ApresentarosoftwareGrafeq.
-Identificaroselementosnecessáriosparaaconstruçãodeumgráficodefunção.
-Interpretargráficosdefunções.
-Analisarocomportamentodessesgráficos,modificandocoeficientesemsuasleis.
-Estimularoalunoafazerumaconstruçãodelivreescolha,quepodeseralgocriadoporele
oucópiadealgumaimagemconhecida.
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SOFTWARESHAPARISOFTWARESHAPARI
PropostadeatividadePropostadeatividade
-Apresentarolayoutdosoftware.
- Manipular o software livremente para
ambientação com as transformações geométricas
propostas.
-Construiralgumaimagemdelivreescolha.Senão
houverideiasprópriasdedesenho,pode-setentar
areproduçãodealgumaimagemfamosa.
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O Shapari é um software através do qual podemos selecionar formas geométricas no plano e
manipulá-las,sejaatravésdetransformaçõesquejáestãoprontasnosoftware,sejaatravésde
novastransformaçõesquepodemsercriadasutilizando-sematrizesquadradas2x2.
ObjetivoObjetivo
Estudaras transformaçõesgeométricasmais simples, como: translação, compressão, reflexãoe
cisalhamento.
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SOFTWAREGEOGEBRASOFTWAREGEOGEBRA
PROPOSTADEATIVIDADEPROPOSTADEATIVIDADE
- Pesquisar algum problema de geometria espacial (sugestão:
questõesdevestibularouENEM).
-Fazeraconstruçãodaquestãonosoftware.
-Encontrarasoluçãodoproblemaatravésdosoftware.
GeoGebraéumprogramadematemáticadinâmica,feitocomointuitodeserutilizadoemsaladeaula,o
qualjuntaaritmética,álgebra,geometriaecálculo.Possibilitaodesenhodepontos,vetores,segmentos,
figuras planas, sólidos geométricos, linhas e funções e, ainda, a alteração dinâmica deles, assim que
terminados.
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(ITA-2004)Considereumcilindrocircularreto,devolumeiguala360πu.m.,eumapirâmideregularcuja
basehexagonalestáinscritanabasedocilindro.Sabendoqueaalturadapirâmideéodobrodaalturado
cilindroequeaáreadabasedapirâmideéde54√3u.m.,então,aárealateraldapirâmidemede:
ObjetivoObjetivo
Visualizareresolverquestões,apresentadasemdiversosconcursos,atravésdeumsoftwaredinâmico.
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GENERALIZAÇÃODOTEOREMADEPITÁGORASGENERALIZAÇÃODOTEOREMADEPITÁGORASHEXÁGONOS-TRIÂNGULOS-LOSANGOS-TRAPÉZIOSHEXÁGONOS-TRIÂNGULOS-LOSANGOS-TRAPÉZIOS
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ObjetivoObjetivo
Generalizar e demonstrar o Teorema de Pitágoras para triângulos, losangos, trapézios e
hexágonosatravésdemanipulaçõesetransformaçõesgeométricas.
PropostadeatividadePropostadeatividade
-Digitaroendereçoabaixoemalgumnavegadordeinternet:
http://www.grupoalquerque.es/ferias/2007/generalizarpitagoras/generapitagoras.htmhttp://www.grupoalquerque.es/ferias/2007/generalizarpitagoras/generapitagoras.htm
-Escolherumdosquebra-cabeçasdisponíveis.
-Seguirasinstruçõesesedivertir!
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IlustraçõesIlustrações
Capa-Saladeaulamontessoriana-Acervodoautor.
Disponívelem:<http://www.colegioprovincia.com.br/>Acessoemoutubrode2015.
Página13-Acervodoautor.
-Livros:MenteAbsorvente,PsicoAritméticaePsicoGeometria(MariaMontessori).
Página14-CubodoBinômio-Acervodoautor.
Página16-CubodoTrinômio-Acervodoautor.
Página18-TeoremadePitágoras-Acervodoautor.
Página19-TeoremadePitágoras-Acervodoautor.
Página20-HexágonoseQuadrados-Acervodoautor.
Página21-HexágonoseQuadrados-Acervodoautor.
Página22-TriângulosdeMetal-Acervodoautor.
Página23-TriângulosdeMetal-Acervodoautor.
Página24-PrismasQuadrados-Acervodoautor.
Página25-PrismasQuadrados-Acervodoautor.
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Página26-PrismasHexagonais-Acervodoautor.
Página27-PrismasHexagonais-Acervodoautor.
Página29-Acessosemnovembro/2015.
-Grafeq-Disponível:http://mdmat.mat.ufrgs.br/grafeq_guia/
-Geogebra-Disponível:http://apps.innteach.com/geogebra-2/
-Shapari-Disponível:http://www.ufrgs.br/espmat/disciplinas/tutoriais_softwares/shapari/progra2.htm
-www-http://www.sopadeideias.com.br/blog/2011/06/empresas-podem-personalizar-nome-dos-sites/
Página30-LayoutdoGrafeq-Acessoemsetembrode2014.
-Disponívelem:http://www.ufrgs.br/espmat/disciplinas/midias_digitais_II/modulo_III/recursos33.html
Página31-Exemplodeconstrução-Acervodoautor.
Página32-Exemplodeconstrução-Acervodoautor.
Página33-Exemplodeconstrução-Acervodoautor.
Página34-LogodoGeogébra-Acessoemnovembro/2015.
-http://windleclasses.weebly.com/unit-1-foundations-for-geometry.html
Página35-Exemplodeconstrução-Acervodoautor.
Página36-Hexágonos-Triângulos-Losangos-Trapézios-Acessoemnovembro/2015.
-http://www.grupoalquerque.es/ferias/2007/generalizarpitagoras/generapitagoras.htm
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REFERÊNCIASREFERÊNCIAS
*MONTESSORI,Maria.MenteAbsorvente.RiodeJaneiro.EditoraPortugália.2ªedição.1949.
*MONTESSORI,Maria.Pedagogiacientífica:adescobertadacriança.SãoPaulo.EditoraFlamboyant,1965.
*MONTESSORI,Maria.Psico-Geometria:elestudodelageometríabasadoenlapsicologíainfantil.Barcelona.1ªedição.
1934.
*MONTESSORI,Maria.Psico-Aritmética:elestudodelageometríabasadoenlapsicologíainfantil.Barcelona.1ªedição.
1934.
*Sites
-Edumatec-Ufrgs-http://www2.mat.ufrgs.br/edumatec/index.php
AcessoemNovembro/2015
-GeneralizaçãodoTeoremadePitágoras
http://www.grupoalquerque.es/ferias/2007/generalizarpitagoras/generapitagoras.htm
AcessoemNovembro/2015
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![[cv - 2011.2] 08 - tangram](https://static.fdocumentos.com/doc/165x107/555ad758d8b42a024a8b4cbf/cv-20112-08-tangram.jpg)
