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Aula 6 _ Função Polinomial do 2º Grau

Professor Luciano Nóbrega

TECNÓLOGO EM CONSTRUÇÃO CIVIL

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FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU

Uma função polinomial do 2º grau (ou simplesmente, função do 2º grau) é uma relação entre as variáveis “y” e “x”, tal quef(x) = ax2 + bx + c, com a, b, c ∈ R, e a ≠ 0.

EXEMPLOS:f(x) = 3x2 + 2x – 3 ; f(x) = (–½).x2 – 9 f(x) = 5x – 2x2

EXEMPLO:Encontre os valores de “a”, “b” e “c” nos exemplos acima.

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DEFINIÇÂOUma função f: R ⟶ R é do 2º grau quando a todo valor de “x”

está associado um único valor y = f(x) = ax2 + bx + c, com “a”, “b” e “c” sendo números reais e a ≠ 0

EXEMPLO:f(x) =1 + 4x2 – 3x; a = 4, b = –3 e c = 1OBS: Toda função do 2o grau corta o eixo y no termo independente de x, ou seja, corta o eixo y na “altura” c.

x

y

EXEMPLO:f(x) = – x2 – 2x; a = –1, b = –2 e c = 0OBS: Quando “b” ou “c” é igual a zero, dizemos tratar-se de uma função incompleta do 2º grau.

x

y

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GRÁFICOS DA FUNÇÃO DO 2º GRAUO gráfico da função do 2º determina uma curva denominada “PARÁBOLA”.

Inicialmente, podemos construir o gráfico de uma função do 2º grau, simplesmente, atribuindo valores para “x” e calculando os valores de “y”. Vejamos:Construa o gráfico de f(x) = x2/2 +3.

x

y

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Raízes da Função do 2º grau

É todo número x que possui imagem nula. Isto é, f(x) = 0. As raízes da função determinam onde o gráfico intercepta o eixo “x”.Determinando os zeros da função do 2º grauf(x) = ax2 + bx + c, fazendo f(x) = 0, temos:

f(x) = ax2 + bx + c = 0 Multiplicando os dois membros por 4a e “passando” o termo independente para o 2º membro, temos:

4a2x2 + 4abx= – 4ac

EXEMPLOS:Determine as raízes (ou zeros) de cada uma das seguintes equações: a) f(x) = 2x2 – 5x+ 9 b) f(x) = (–3/4)x2

c) f(x) = –x2 + 49 d) f(x) = x2 – 6x + 5 e) f(x) = –x2 +6x – 5

Somando “b2” nos dois membros, temos:

4a2x2 + 4abx + b2= b2 – 4acFatorando o Trinômio Quadrado Perfeito que surgiu no 1º membro e fazendo b2 – 4ac = ∆, temos:

(2ax + b)2 = ∆ 2ax + b = ±√∆ 2ax = – b ±√∆

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Testando os Conhecimentos

Sendo x‟ = (– b + √∆)/2a e x” = (– b –√∆)/2a , determine:a) x‟ + x”b) x‟ . x”

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Vértices da Função do 2º grau

Conhecer o vértice da parábola significa conhecer as coordenadas desse ponto no gráfico.

A notação V(xv, yv) representa as coordenadas do vértice dadas

pelo “x do vértice” (xv) e pelo “y do vértice” (yv) .

O vértice da parábola é o ponto extremo da função do 2º grau dado pelo ponto

a4;

a2

bV

Onde:

xv = –b/2a e yv = –∆/4a

Essas fórmulas são obtidas da seguinte maneira:1º) Determinamos xv como sendo a média aritmética entre x‟ e x”;2º) Substituímos o valor encontrado (-b/2a), na função genérica ƒ(x) = ax2 +bx + c, e obtemos yv.Vamos tentar?

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Testando os Conhecimentos

Observe os gráficos ao lado.Na 1ª figura, temos os gráficos das funções f(x) = –x2, f(x) = –x2 + 1 e f(x) = –x2 + 3

Na 2ª figura, temos os gráficos das funções f(x) = x2, f(x) = (x + 1)2 e f(x) = (x – 3)2

x

y

x

y

O que podemos concluir à respeito do coeficiente “a” de x2 ?

Como seria o esboço do gráfico de f(x) = –x2 –2 ?

Como seria o esboço do gráfico de f(x) = (x + 2)2 ?

Quais são os vértices dos gráficos de todas as funções anteriores?

O que podemos concluir com relação ao eixo de simetria e o coeficiente “b”? Se b = 0, parábola simétrica ao eixo y;

Se b < 0, o eixo de simetria está à direita do eixo y;Se b > 0, o eixo está à esquerda do eixo y.

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O Papel do Discriminante (DELTA)

Quando o valor de ∆ = 0 , podemos verificar que x‟ = x”.

EXEMPLO:Sendo y = f(x) = x2 + 2x + 1, calcule o valor de delta e justifique o que acontece com o gráfico. Em seguida, faça o esboço do gráfico.

SOLUÇÃO:

Como ∆ = 0, então temos um único zero para a função.

Esboço do gráfico:x„ = x” = (–b±√∆)/2a = –1

c = 1

xv = –b/2a = - (2)/2.(1) = -1 yv = –∆/4a = –(0)/4.(1) = 0

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Quando o valor de ∆ > 0 , podemos verificar que x‟ ≠ x”.

EXEMPLO:Sendo y = f(x) = x2 –4x + 3, calcule o valor de delta e justifique o que acontece com o gráfico. Em seguida, faça o esboço do gráfico.

SOLUÇÃO:

Como ∆ > 0, então temos duas raízes distintas para a função.

Esboço do gráfico:

x„ = (–b –√∆)/2a = 1

x" = (–b +√∆)/2a = 3

c = 3

xv = –b/2a = - (-4)/2.(1) = 2 yv = –∆/4a = –(4)/4.(1) = –1

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Quando o valor de ∆ < 0 , podemos verificar que NÃO existe raiz.

EXEMPLO:Sendo y = f(x) = x2 –x + 2, calcule o valor de delta e justifique o que acontece com o gráfico. Em seguida, faça o esboço do gráfico.

SOLUÇÃO:

Como ∆ < 0, então NÃO temos nenhuma raiz.

Esboço do gráfico:NÃO existe raiz. Ou seja, o gráfico NÃO intercepta o eixo “x”.

c = 2

xv = –b/2a = - (-1)/2.(1) = 1/2

yv = –∆/4a = –(-7)/4.(1) = 7/4

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RESUMINDO:

a > 0

a < 0

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Máximos e Mínimos da Parábola

Existem muitas aplicações para a função quadrática e uma delas está relacionada com a questão de “MÁXIMOS” e “mínimos”.Dependendo do sinal do coeficiente “a”, a função terá um ponto de máximo ou um ponto de mínimo. Em ambos os casos, como já vimos, tal ponto é denominado de vértice da parábola.EXEMPLO:Sabe-se que o custo C (em reais) para produzir x unidades de um certo produto é dado por: C = x2 –80x + 3000. Determine:a) A quantidade de unidades que a empresa deveria produzir,

para que seu custo fosse mínimo.b) O valor mínimo desse custo de produção.

SOLUÇÃO:a) O número de unidades ideal é dado pelo valor de xv .

b) Basta agora encontrar o valor da função custo (C), para x = 40.

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Estudo do Sinal

LEMBRE-SE:Estudar o sinal de uma função significa avaliar para quais valores de x temos f(x) < 0, f(x) = 0 ou f(x) > 0.

1º CASO: a > 0

2º CASO: a < 0

– –+

+ + + ++

– –+

– – – ––

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Inequação do 2º Grau

Uma inequação do 2º grau é uma função do 2º grau que apresenta um sinal de desigualdade. Assim:

ax2 + bx + c > 0 ax2 + bx + c < 0ax2 + bx + c ≤ 0 ax2 + bx + c ≥ 0

EXEMPLO:Determine todos os possíveis números inteiros positivospara os quais satisfaça a inequação x2 – 6x + 8 < 0

EXEMPLO:Determine o conjunto solução da inequação1000 < −x2 +140x −1875 < 2400

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Inequação Produto e Quociente

Uma inequação do 2º grau é uma função do 2º grau que apresenta um sinal de desigualdade. Assim:

ax2 + bx + c > 0 ax2 + bx + c < 0ax2 + bx + c ≤ 0 ax2 + bx + c ≥ 0

EXEMPLO: Resolva em R a inequação (x2 – 25) / (–2x + 4) ≤ 0

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TESTANDO OS CONHECIMENTOS

1 – Sabe-se que, sob certo ângulo de tiro, a altura máxima

atingida por uma bala, em metros, em função do tempo, em segundos, é dada por h(t) = –20t2 + 200t .Qual a altura máxima atingida pela bala?

2 – (Prise-2005) Ao chutar uma lata, um cientista observou que sua trajetória seguiu a lei matemática h(t) = 6 + 4t – t², na qual h é a altura, em metros, atingida pela lata em função do tempo t, em segundos, após o chute. Com base nesta situação e analisando as afirmativas a seguir:I. O gráfico que traduz a função acima descrita é uma parábola com concavidade voltada para cima.II. A altura máxima atingida por essa lata é de 10m.III. Essa função possui duas raízes reais.É correto afirmar que:a) todas as afirmativas são verdadeirasb) todas as afirmativas são falsasc) somente a afirmativa I é falsad) somente a afirmativa II é verdadeirae) somente a afirmativa III é verdadeira

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3 – (UFRGS) Oscar arremessa uma bola de basquete cujo centro

segue uma trajetória plana vertical de equaçãoy = –1/7x2 + 8/7x+2, na qual os valores de x e y são dados em metros. Oscar acerta o arremesso, e o centro da bola passapelo centro de cesta, que está a 3 metros de altura.Determine a distância do centro da cesta ao eixo y.

4 – (UMC-SP) Uma loja fez campanha publicitária para vender seus produtos importados. Suponha que x dias após o término da campanha, as vendas diárias tivessem sido calculadas segundo a funçãoy = -2x2 + 20x + 150, conforme o gráfico.Calcule:a) depois de quantos dias, após encerrada a campanha, a venda atingiu o valor máximo.b) Depois de quantos dias as vendas se reduziram a zero.

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5 – O gráfico da função definida por y = x2 – mx + (m – 1) , em que m ∈ R, tem um único ponto em comum com o eixo das abscissas. Então o valor de y que essa função associa a x = 2 é: a) –2 b) –1 c) 0 d) 1 e) 2

6 – O lucro mensal de uma empresa é dado por L = , em que x é a quantidade mensal vendida. Qual o lucro mensal máximo possível? 5x30x2−+− a) R$ 150,00 a) R$ 180,00 b) R$ 200,00 c) R$ 220,00 d) R$ 230,00

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7 – Os fisiologistas afirmam que, para um indivíduo sadio em repouso, o número N de batimentos cardíacos por minuto varia em função da temperatura ambiente t, em graus Celsius, segundo a função N(t) = 0,1t2 – 4t + 90. Com base nessas informações, calcule: a) a temperatura em que o número de batimentos cardíacos por minuto é mínimo. b) O número mínimo de batimentos cardíacos por minuto. c) O número de batimentos cardíacos por minuto de uma pessoa sadia que está dormindo, quando a temperatura ambiente for de 30ºC.

8 – Rogério é empresário de um grupo de danças folclóricas; ele está “quebrando a cabeça” para determinar o preço x, em reais do ingresso para o próximo show do grupo (se for alto, ele não conseguirá vender ingressos e, se for baixo, pode ser que ele tenha prejuízo). Com base nos últimos espetáculos dados pelo grupo, ele concluiu que o lucro L ( ou prejuízo, se L < 0) de cada espetáculo, em reais, é dado por L(x) = –x2 +80x –700. Calcule:Os valores de x para que não haja lucro nem prejuízo. b. O valor de x para que haja lucro máximo. c. O lucro máximo.

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