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Aula 7 _ Função Modular,

Exponencial e Logarítmica

Professor Luciano Nóbrega

TECNÓLOGO EM CONSTRUÇÃO CIVIL

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FUNÇÃO MODULAR

Módulo (ou valor absolutode um número)O módulo (ou valor absoluto) de um número real x, que se indica por | x | é definido da seguinte maneira:

EXEMPLOS:Se x é positivo ou zero, | x | é igual ao próprio x. Assim:| 2 | = 2 ; |1/2 | = 1/2 ; | –15 | = 15

Se x é negativo, | x | é igual a –x.Exemplos: | -2 | = -(-2) = 2 ; | -20 | = -(-20) = 20

0 se ,

0 se ,

xx

xxx

Agora é com você:a) | -2 + 3 | = b) 3.| -2 + π | =

c) | x – 3 | =d) | x – 3 | + |x – 6|=

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FUNÇÃO MODULAR

REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA

Se | x | < a (com a > 0) significa que a distância entre x e a origem é menor que a, isto é, x deve estar entre –a e a, ou seja, | x | < a – a < x < a.

Se | x | > a (com a>0) significa que a distância entre x e a origem é maior que a, isto é, deve estar à direita de a ou à esquerda de –a na reta real, ou seja: | x | > a x > a ou x < –a.

EQUAÇÕES MODULARESToda a equação que contiver a incógnita em um módulo num dos membros será chamada equação modular.EXEMPLOS:| x2 – 5x | = 6 | x – 6 | = | 3 – 2x |

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FUNÇÃO MODULAR

EXEMPLO:Resolva a equação | x2-5x | = 6

SOLUÇÃO:Inicialmente, temos que analisar dois casos:caso 1: x2 – 5x = 6caso 2: x2 – 5x = – 6

Resolvendo-os, obtemos: S={-1, 2, 3, 6}

EXEMPLO:Resolva a equação | x – 6 | = | 3 – 2x |SOLUÇÃO:Analisando os dois casos:caso 1: x – 6 = 3 – 2xcaso 2: x – 6 = – (3 – 2x)

Resolvendo-os, obtemos: S={-3, 3}

EXEMPLO:Resolva a equação |x|2 + 2|x|– 15 = 0

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FUNÇÃO MODULAR

INEQUAÇÕES MODULARESChamamos de inequações modulares as inequações nos quais aparecem módulos de expressões que contém a incógnita.

EXEMPLO:Resolva a inequação |–2x + 6 | < 2

SOLUÇÃO:

2622 2 | 62x- | x 262

622

x

x

42

262

x

x

42

82

x

x

2

4

x

xS = {x IR | 2 < x < 4}

EXEMPLO:Resolva a inequação |x2 –2x + 3 | < 4

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FUNÇÃO MODULAR

Chamamos de função modular a função f(x) = |x| definida por:

0 se ,

0 se ,)(

xx

xxxf

Observe, então, que a função modular é uma função definida por duas sentenças.

Utilizando inequações modulares, podemos determinar o domínio de algumas funções modulares. Vejamos:EXEMPLO:Determine o domínio da função |1|2)( xxf

SOLUÇÃO:.0|1|2 se IR em possível é só |1|2 que Sabemos xx

2|1| 0|1|2 :Então xx 212 2|1| xx

212 x 1212 x 31 x

}31|{S xIRx

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FUNÇÃO MODULAR

GRÁFICOVamos construir o gráfico de f(x) = |x|

EXEMPLO:Construa o gráfico de:a) f(x) = |x|+ 2b) f(x) = |x| – 2c) f(x) = |x + 2|d) f(x) = |x – 2|e) f(x) = |x + 2| + 2f) f(x) = | x – 2| – 2

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FUNÇÃO EXPONENCIAL

EQUAÇÕES EXPONENCIAISChamamos de equações exponenciais toda equação na qual a incógnita aparece em expoente.EXEMPLOS:3x = 81 (a solução é x=4)2x-5 = 16 (a solução é x=9)32x-1-3x-3x-1+1=0 (as soluções são x’=0 e x’’=1)OBSERVAÇÃO:Para resolver equações exponenciais, devemos realizar dois passos importantes:1º) redução dos dois membros da equação a potências de mesma base; 2º) aplicação da propriedade:

)0 e 1( aanmaa nm

EXEMPLOS:Resolva as equações: a) 23x-1 = 322x b) 32x–6.3x–27=0

4 273 ) xd256

81

4

3 )

x

c

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A função f: RR+ definida por f(x) = ax, com a R+ e a 1, é

chamada função exponencial de base a. O domínio dessa função é o conjunto R (reais) e o contradomínio é R+ (reais positivos, maiores que zero).

GRÁFICO DA FUNÇÃO EXPONENCIALTemos dois casos a considerar:

quando a > 1; quando 0 < a < 1.

1º casoConstrua o gráfico de f(x) = 2x (a = 2, logo a > 1)

2º casoConstrua o gráfico de f(x) = (1/2)x (a = 1/2, logo 0 < a < 1)

a > 1 0 < a < 1

f(x) é crescente e Im=R+

Para quaisquer x1 e x2 do domínio:

x2>x1 y2>y1 (as desigualdades têm mesmo sentido)

f(x) é decrescente e Im=IR+


x2>x1 y2<y1 (as desigualdades têm sentidos

diferentes)

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Nos dois exemplos, podemos observar que o gráfico nunca intercepta o eixo horizontal, ou seja, a função não tem raízes;O gráfico corta o eixo vertical no ponto (0,1);Os valores de y são sempre positivos (potência de base positiva é positiva), portanto o conjunto imagem é Im=R+.

Ainda podemos concluir o seguinte:

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INEQUAÇÕES EXPONENCIAISChamamos de inequações exponenciais toda inequação na qual a incógnita aparece em expoente.

EXEMPLOS:

)32 para satisfeita é (que 03125150.5-25 4)

-3) xpara satisfeita é (que 5

4

5

4 3)

real) x todopara satisfeita é (que 22 2)

)4 é solução (a 813 1)

x

3

12-2x 2

x

x

x

x

x

x

a > 1 0 < a < 1

am > an m>n

(as desigualdades têm

mesmo sentido)

am > an m<n

(as desigualdades têm

sentidos diferentes)

OBSERVAÇÃO:Quando for resolver uma inequação, lembre-se que:

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EXEMPLO:4

11444 Resolva 11

xxx

.4

114.44

4

4 escritaser pode inequaçãoA

:Solução

xx

x

:sejaou , 114.164.44

: temos4por lados os ambos ndoMultiplica

xxx 114).1641( x

114.11 x- 14 daí, e x .44 14 Porém, 0 xx

negativos) (reais RS Portanto

0 44

:obtemos 1, quemaior é (4) base a Como

-

0

xx

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FUNÇÃO LOGARÍTMICA

DEFINIÇÃO DE LOGARITMOO conceito de LOGARITMO foi introduzido pelo matemático JonhNapier (1550 – 1617) e aperfeiçoado pelo inglês Henry Briggs.

bxba a

x log

A descoberta dos logaritmos deveu-se, sobretudo, à grande necessidade de simplificar cálculos excessivamente trabalhosos para a época, principalmente na área da astronomia, entre outras.

A idéia fundamental é transformar as operações de multiplicação em soma, de divisão em subtração, facilitando os cálculos.

Na verdade, o logaritmo é uma nova denominação para um expoente. Por exemplo, 43 = 64, onde 4 é a base, 3 é o expoente e 64 é a potência. Na linguagem do logaritmo, dizemos que 3 é o logaritmo de 64 na base 4.

Onde b > 0 , a > 0 e a 1

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CONSEQUÊNCIAS DA DEFINIÇÃO

01log a1log aa mam

a log

baba

logcbcb aa loglog

PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LOGARITMOS

yxyx aaa loglog).(log

yxy

xaaa logloglog

xmx a

m

a log.log

xn

mxx a

n

m

a

n m

a log.loglog

a

xx

b

ba

log

loglog

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A função f: R+ R definida por f(x)=logax, com a 1 e a > 0,

é chamada função logarítmica de base a. O domínio dessa função é o conjunto R+ (reais positivos, maiores que zero) e o contradomínio é R (reais).

GRÁFICO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICATemos dois casos a considerar:

quando a > 1; quando 0 < a < 1.1º casoConstrua o gráfico de f(x) = log2x (a = 2, logo a > 1)

2º casoConstrua o gráfico de f(x) = log(1/2)x (a = ½ , logo 0 < a < 1)

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Nos dois exemplos, podemos observar que:O gráfico nunca intercepta o eixo vertical;O gráfico corta o eixo vertical no ponto (1, 0);A raiz da função é x = 1;“y” assume todos os valores reais, portanto o conjunto imagem é Im = R. Além disso, podemos concluir o seguinte:

a > 1 0 < a < 1

f(x) é crescente e Im = R


x2>x1 y2>y1 (as desigualdades têm mesmo sentido)

f(x) é decrescente e Im = R


x2>x1 y2<y1 (as desigualdades têm sentidos

diferentes)

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EQUAÇÕES LOGARÍTMICASChamamos de equações logarítmicas toda equação que envolve logaritmos com a incógnita aparecendo no logaritmando, na base ou em ambos.EXEMPLOS:log3x = 5 (a solução é x = 243)log(x2 – 1) = log 3 (as soluções são x’ = -2 e x’’ = 2)log2(x+3) + log2(x-3) = log27 (a solução é x = 4)logx+1(x2-x)=2 (a solução é x=-1/3)

EXEMPLOS:a) log3(x+5) = 2b) log2(log4 x) = 1c)

1log.2log.3

7loglog

yx

yx

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INEQUAÇÕES LOGARÍTMICASChamamos de equações logarítmicas toda inequação que envolve logaritmos com a incógnita aparecendo no logaritmando, na base ou em ambos.EXEMPLOS:log2x > 0 (a solução é x > 1)log4(x+3) 1 (a solução é –3 < x 1)

OBSERVAÇÃO:Para resolver inequações logarítmicas, devemos realizar dois passos importantes:1º) redução dos dois membros da inequação a logaritmos de mesma base;2º) aplicação da propriedade:

EXEMPLOS:log2(x+2) > log28log2(log3x) 0

a>1 0<a<1

logam > logan

m>n>0(as desigualdades têm mesmo

sentido)

logam > logan

0<m<n(as desigualdades têm sentidos

diferentes)

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TESTANDO OS CONHECIMENTOS

1 – Calcule o valor dos seguintes logaritmos:

2 – Se , então o valor de f(–1) é:

A) -2 B) -1 C) 0 D) 1 E) 2

3 – (PUCRS) Escrever equivale a escrever :

A) B) C) D) E)

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