UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO

INSTITUTO POLITCNICO

Graduao em Engenharia Mecnica

Disciplinas:

Mecnica dos Materiais 2 6 Perodo

E

Dinmica e Projeto de Mquinas 2-10 Perodo

Professor: Dr. Damiano da Silva Milito.

Tema de aula 1: Transformao da Tenso

SEQUNCIA DE ABORDAGENS:

1.1 Transformao no Estado Plano de Tenses

1.2 Equaes Gerais de Transformao de Tenso para o Estado Plano

1.3 Tenses Principais e Tenso de Cisalhamento Mxima no Plano

1.4 Crculo de Mohr Estado Plano de Tenses

1.5 Tenso em Eixos com Carga Axial e Toro

1.6 Tenso de Cisalhamento Mxima Absoluta

OBJETIVOS:

Mostrar como transformar as componentes de tenso, associados a um sistema de coordenadas particular, em componentes associadas a um sistema de orientao diferente..

Estabelecer as equaes de transformao e obter as tenses normal mxima e de cisalhamento mxima determinando a orientao dos elementos sobre os quais atuam.

No conhecer muito, mas o que til, que torna um homem sbio. THOMAS FULLER, M.D.

1.1 Transformao no Estado Plano de Tenses

O estado geral de tenso em um ponto caracterizado por seis componentes independentes de tenses, 3 normais () e 3 de cisalhamento (), que atuam nas faces de um elemento do material localizado em tal ponto:

Se por exemplo no houver carga na superfcie z do corpo, os componentes das tenses normal e de cisalhamento sero nulos na face de um elemento localizado nessa superfcie e em sua face oposta, ento o material no ponto estar sujeito ao estado plano de tenses: O est. plan. representado, pela combinao de dois componentes de tenso normal, x e y, e um componente de tenso de cisalhamento, xy , que atuam sobre as quatro faces do elemento.

NOMECLATURA E SINAIS: .x= xx (x normal face que atua e x direo), y= yy e z= zz; .xy= yx (x normal face que atua e y direo), zy= yz , xz= zx . Tenso positiva se a normal e direo tem mesmo sinal , e tenso negativa se normal e direo tem sinais contrrios .

Vejamos como transformar e obter os componentes x, y, xy ao longo dos eixos x', y' , que representem o mesmo estado de tenso no ponto.

Usando a conveno de sinal dada, secionamos o elemento ao longo do plano inclinado e isolamos o segmento mostrado.

Supondo a rea secionada seja A, as faces horizontal e vertical tero rea A sen e A cos . O diagrama de corpo livre (FORAS) do segmento resultante : Ento pelas equaes de equilbrio:

1.2 Equaes gerais de transformao de tenses para o estado plano

Exemplo:

O estado plano de tenses representado pelo elemento mostrado na Figura. Determinar o

estado de tenso no ponto em outro elemento, orientado a 30 no sentido horrio em relao

posio mostrada.

Resposta:

acima;

1.3 Tenses principais e tenso de cisalhamento mxima no plano.

Na engenharia, importante determinar a orientao principal (p) dos planos de tenso normal mximo e mnimo, e de cisalhamento mximo (c).

A soluo tem duas razes (2p1 e 2p2). p1 e p2 so 90 defasados e substitudos na eq. geral do as tenses principais normais mximas e mnimas (1 e 2 ).

Supondo xy e (x - y) ambos positivos ou ambos negativos na eq. acima, podemos construir os tringulos ao lado:

Neles:

Substituindo estes na eq. geral de , teremos as tenses principais :

Elas atuam nos planos principais onde tenso de cisalhamento nula.

Para isso diferenciamos a equao geral de em e igualamos a zero obtendo;

Analogamente para determinar a orientao da tenso de cisalhamento mxima, deriva-se a Eq. Geral de em e igualamos a zero obtendo:

As duas razes dessa equao, c1 e c2, analogamente podem ser determinadas pelos tringulos sombreados;

Comparando com o triangulo da tenso normal principal, cada raiz de 2c est defasada em relao a 90 de 2p. Assim, c e p esto separadas por 45 obtendo o plano de cisalhamento mximo.

A tenso de cisalhamento mxima obtida calculando sen 2c e cos2c no triangulo e substituindo na equao geral de ; 26c da Figura

Substituindo os valores de sen 2c e cos2c na equao geral de , vemos que tambm h uma tenso normal nos planos da tenso de cisalhamento mxima.

Exemplo 1: A roda dianteira de um avio est submetida a uma carga de projeto de 12 kN. Determinar as tenses principais que atuam no ponto A do suporte de alumnio da roda.

Soluo: Faamos o diagrama de corpo livre com os esforos no corte transversal na seo em A:

Utilizemos as equaes de equilbrio:

Calculemos as tenses em um elemento infinitesimal plano qualquer na seo do corte;

A tenso normal =(N/A )+ (My/I), mas na L.N. (A em y=0) o segundo termo (normal por flexo) se anula, logo

A tenso cisalhante transversal devido a fora cortante V equivale a tenso cis longitudinal na flexo (pois so complementares) e dada por =VQ/It (onde Q=momento de 1 ordem, I=momento de inrcia de 2 ordem ou de rea) ao longo da espessura t=b=0.03m em A na L.N (y=0), com os dados ao lado fazemos

Finalmente as tenses principais:

Agora obtenha a inclinao dos planos principais onde atuam 1 e 2 e a tenso cis. Mxima alm de sua inclinao.

=

OBS: A a rea escura acima de y.

(0-8.66)/2+-

N

Exemplo 2: A viga tem seo transversal retangular e est sujeita s cargas mostradas. Determinar as tenses principais e de cisalhamento mxima no plano que se desenvolvem nos pontos A e B. Os pontos esto esquerda da carga de 2.000 lb. Mostrar os resultados em elementos, adequadamente orientados, localizados nesses pontos.

Soluo: = Lembrando que;

Teremos as propriedades da seo;

pois Ya = h/2 = -Yb; Diagrama de corpo livre com as reaes dos suportes;

Diagrama de corpo livre com os momentos e foras internas na seo esquerda de A e B;

A tenso normal =(N/A )+(My/I), (A e B, Ya = h/2 = -Yb) o segundo termo (normal por flexo) no se anula, logo;

A tenso cisalhante transversal devido a fora cortante V equivale a tenso cis. longitudinal na flexo (pois so complementares) e dada por =VQ/It em A e B.

Logo, com tenso cisalhante nula estamos no plano principal, teremos respectivamente as tenses normais principais max e min em A e B;

No prximo slide obtemos o cis. mximo e o plano em que se desenvolve e mostramos os elementos orientados em A e B;

OBS: A a rea escura acima de y.

A B

Elementos orientados:

Fazer: A viga tem seo transversal retangular e est submetida s cargas mostradas. Determinar as tenses normais principais desenvolvidas nos pontos A e B, localizados esquerda da carga de 20 kN. Mostrar os resultados em elementos localizados nesses pontos.

1.4 Circulo de Mohr Estado plano de tenses

As equaes de transformao para o estado plano de tenses tm uma soluo grfica fcil de usar e lembrar.

O parmetro pode ser eliminado elevando-se ao quadrado cada uma das equaes e adicionando-as teremos;

a eq. de uma circunferncia. Estabelecemos eixos coordenados positivo para a direita e positivo para baixo, ela forma um crculo de raio R e centro C( md, 0).

Construo do Crculo. 1-Usando a conveno de sinal positiva (Fig.b), marcamos o centro do crculo C( md, 0). e o 'pt de referncia' A (x, xy) de tenses normal e de cisalhamento na face vertical direita do elemento onde eixo x' coincide com o eixo x, ( = 0) (Fig.e). 2- Determinar raio CA por pitgoras e traar o crculo. Tenses Principais. 3-As tenses principais (1>=2) so os pts B e D, onde = 0(Fig.a), e atuam sobre ngulos p1 e p2 (Fig.c) representados no crculo por 2p1 e 2p2 (no mostrado) para as linhas CB e CD respectivamente (calcular apenas um por tg, o outro est 90 defasado anti horrio.)(Fig.c). Tenso de Cisalhamento Mxima no Plano. 4-So as coordenadas do pt E e F (Fig.a). c1 e c2 do sua orientao (Fig.d). 2c1 (Fig.a) o ngulo mais prximo de CE ou CF obtido por tang. e tem rotao horria nesse caso(Fig.d). Tenses no Plano Arbitrrio. 5-x e xy que atuam sobre um plano especificado pelo ngulo (Fig.e) so obtidos no crculo usando-se tg para determinar as coordenadas do ponto P a 2 de CA(Fig.a).

Construo do Crculo. 1-Usando a conveno de sinal positiva, marcamos respectivamente o 'pt de referncia' A = (x, xy) e o centro do crculo em logo: 2- Determinar raio CA por pitgoras e traar o crculo Tenses Principais. 3-As tenses principais (1>=2) so os pts B e D, onde = 0, e atuam sobre ngulos p1 e p2 representados no crculo por 2p1 e 2p2(no mostrado) para as linhas CB e CD respectmt. (calcular apenas um por tg, o outro p2 =106,8 est mais 90 horrio). Tenso de Cisalhamento Mxima no Plano. 4-So as coordenadas do pt E e F. c1 e c2 do sua orientao, 2c1 obtido por tang. e tem rotao anti-horria. at CE neste caso.

EXEMPLO: Determinar (a) as tenses principais e (b) a tenso de cisalhamento mxima no plano e a tenso normal mdia. Especificar a orientao do elemento em cada caso.

Soluo:

Fazer: O pedal de bicicleta tem a seo transversal mostrada. Se estiver fixo engrenagem no ponto B e no girar quando submetido a uma fora de 75 lb, quais sero as tenses principais no ponto C da seo transversal?

1.5 Tenso em eixos com Carga Axial e Toro Eixos na regio linear-elstico, usamos o princpio de superposio e obtemos separadamente as tenses a partir das componentes de carga, quando: 1- carga for equao linear tenso (e , pois e so tenses lineares as cargas P e T). 2-carga no mudar a geometria significativamente para no alterar braos de momento, como por exemplo: , porm, O que no o caso em pequenas deformaes. Exemplo1: Uma fora axial de 900 N e um torque de 2,50 N m esto aplicados ao eixo mostrado na Figura a. Supondo que o eixo tenha dimetro de 40 mm, determinar as tenses principais no ponto P de sua superfcie.

Sol: Vamos obter as cargas no DCL abaixo de P: Obtemos o cis.devido a toro; ele depende do momento de inrcia polar J da seo de raio do tubo macio

No h normal por flexo, apenas tenso normal em y:

Tenses princ. (Mohr): Centro C=(358.l ; 0)

Pt de referncia A = (x, xy)=(0 ; 198.9)(Fig d). Logo, graficmt R=409.7 e tenses princ B e D:

O ngulo horrio 2p2 entre AC e CD por tg : 2p2=29,1. Logo p2 =14,5 horrio de x est x' de tenso normal mnima:

Exemplo2: O vaso de presso cilndrico tem raio interno de 1,25 m e espessura da parede de 15 mm. E feito de chapas de ao soldadas ao longo da costura a 45. Determinar os componentes da tenso normal e de cisalhamento ao longo da costura se o vaso estiver sujeito a uma presso interna p de8 MPa.

Sol: Trata-se de um vaso de presso de r > 10t (paredes finas) onde; A tenso normal mnima ocorre longitudinalmente em x; A tenso normal mxima ocorre circunferncialmente em y; (dobro da em x) Nesta orientao x-y temos cisalhamento nulo (planos principais) e o elemento, representa tenses normais mx e mn. A 45 horrio (x) temos o cisalhamento mximo, logo haver tenso normal igual mdia md = ( x+ y)/2 = ( x); com ela obtemos o centro C=( md ,0) em Mohr: Graficamente em Mohr temos; (Cis. Mximo em x 45)

Fazer: O tubo de paredes finas tem dimetro interno de 0,5 pol e espessura de 0,025 pol. Se for submetido a uma presso interna de 500 psi, bem como as cargas de trao axial e toro como as mostradas, quais sero as tenses principais em um ponto da superfcie?

Um elemento submetido a um estado de tenso tridimensional xyz;

1.6 Tenso de Cisalhamento Mxima Absoluta

ter uma orientao xyz onde atuam as tenses principais (triaxiais)

Analisando separadamente os planos xy, yz e xz; construmos um nico crculo de Mohr com estas tenses principais;

O circulo mostra o valor da tenso de cisalhamento mxima em cada plano, orientado a 45; Como vemos, a tenso de cisalhamento mxima absoluta ser como ocorre em xz, ela ser obtida girando 45 em torno de y ( int). E temos ainda a tenso normal mdia;

ATENO:Planos que no tiverem cisalhamento as tenses normais j so as principais.

Exemplo: Em virtude do carregamento aplicado, o elemento no ponto da estrutura na figura est sujeito ao estado plano de tenses mostrado. Determinar as tenses principais e a tenso de cisalhamento mxima absoluta nesse ponto. Sol: Inicialmente obtemos as tenses principais pelo crculo de Mohr de centro -10psi, com ; Teremos o raio ; Logo as tenses principais sero: No circulo 2 anti-horrio de CA para a tenso mnima em x; logo a defasagen do eixo x onde atua mn; No h tenso principal na direo z, o estado triaxial ; Para obter tenso cisalhante mxima absoluta fazemos Mohr com o estado triaxial acima;

A ten. cis. mx. abs. a ten. cis. mx. no plano x-y que como sabemos atua em um novo x-y 45 defasado em relao a x-y(45+38=83 defasado de x-y), veja;

x

y

ATENO:Planos que no tiverem cisalhamento as tenses normais j so as principais.

Fazer: O ponto na superfcie do vaso de presso cilndrico est submetido a um estado plano de tenses em x-y. Determinar a tenso de cisalhamento mxima absoluta nesse ponto.

MUITO OBRIGADO PELA ATENO!

Bibliografia:

R. C. Hibbeler Resistncia dos materiais 5 Edio.