TEMA II Pág76 Pág 113 ALG 10- RADICAIS

RADICAIS - 7 aulas POTÊNCIAS DE EXPOENTE RACIONAL – 5 aulas

1ª e 2ª aulas Apresentação

3ª e 4ª aulas 20 Setembro– Monotonia da Potenciação. Raízes de Índice n .

Equações : .𝑥𝑛 = 𝑎 .

Operações com radicais.

1. Relembrar do 9º ano

I. 𝒂 < 𝒃 𝒆 𝒌 > 𝟎 𝒆𝒆𝒆ã𝒐 𝒌𝒂 < 𝒌𝒃 II. 𝒂 < 𝒃 𝒆 𝒌 < 𝟎 𝒆𝒆𝒆ã𝒐 𝒌𝒂 > 𝒌𝒃 III. 𝒂 < 𝒃 𝒆𝒆𝒆ã𝒐 − 𝒂 > −𝒃 IV. 0< 𝒂 < 𝒃 𝒆 𝟎 < 𝒄 < 𝒅 𝑬𝒆𝒆ã𝒐 𝒂𝒄 < 𝒃𝒅 ( multiplicar membro a membro)

2. Monotonia da Potenciação

Ex. Expoente Ímpar 2 < 3 𝑒𝑒𝑒ã𝑜 23 < 33 −3 < −2 𝑒𝑒𝑒ã𝑜 (−3)3 < (−2)3 𝑎 < 𝑏 𝑒𝑒𝑒ã𝑜 𝑎3 < 𝑏3 Expoente Par 2 < 3 𝑒𝑒𝑒ã𝑜 22 < 32 −3 < −2 𝑒𝑒𝑒ã𝑜 (−3)2 > (−2)2

Pág.78 Ex.1

PROPRIEDADE

Sejam a, b ∈ R e 𝑒 ∈ 𝑁

• Se 𝑒 é ímpar tem-se que se a b< , então n na b<

• Se 𝑒 ∈ 𝑁 Par se 0 a b≤ < , então 0 n na b≤ <

se 0a b< ≤ , então 0n na b> ≥ .

3. Raízes de Índice n , com n ∈ N e n ≥ 𝟐 Ex. Determine o lado de um quadrado de área 25 𝑐𝑐2 𝑥2 = 25 há apenas um nº POSITIVO cujo quadrado é 25. Ou seja 𝑥 = √25 Determine a aresta de um cubo de volume 125 𝑐𝑐3 𝑥3 = 125 há apenas um nº POSITIVO cujo cubo é 125. Ou seja 𝑥 = √1253

𝒃𝒆 = 𝒂 Então b=√𝒂𝒆 Atenção quando expoente é PAR e IMPAR

3.1. Resolução de equações: 𝒙𝒆 = 𝒂

Ex. Resolver as equações:

a. 𝑥2 = 25 ⟺ seja 𝑥 = ±√25 b. 𝑥2 = −25 Impossível c. 𝑥3 = 125 ⟺ 𝑥 = √1253 d. 𝑥3 = −125 ⟺ 𝑥 = √−1253

Raízes de Índice n de a

• Se 𝑒 ∈ 𝑁 ímpar a ∈ R Então existe um único b tal que 𝑏𝑛 = 𝑎 sendo 𝑏 = √𝑎𝑛

• Se 𝑒 ∈ 𝑁 Par , a ∈ 𝑅+ Então existe um único b positivo tal que 𝑏𝑛 = 𝑎 sendo 𝑏 = √𝑎𝑛

Pág.79 Ex.3, 4; Pág. 82 ex. 5,6

4. Operações com radicais 4.1. ADIÇÃO/ SUBTRAÇÃO 𝑒 ∈ 𝑁 ; 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅

𝑆𝑒 𝑒 é 𝑃𝑃𝑅 então 𝑏 ∈ 𝑅+0 Exemplo: Pág.83 ex 7

5ª e 6ª aulas 21Setembro–

Correção do TPC.

Operações com radicais. Composição de radicais, redução de radicais ao mesmo índice, simplificação. Exercícios de aplicação.

1. TPC. Pág 82 ex. 5 ( dúvidas?) 6, 7

Equações : .𝑥𝑛 = 𝑎 𝑐𝑜𝑐 𝑒 ∈ 𝑁

Se n é ímpar e a ∈ R a equação 𝑥𝑛 = 𝑎 ⟺ 𝑥 = √𝑎𝑛 há uma única solução

Se n é par e a ∈ 𝑅+ a equação 𝑥𝑛 = 𝑎 ⟺ 𝑥 = ±√𝑎𝑛 tem duas soluções

Se a=0 𝑎 𝑒𝑒𝑒𝑎çã𝑜 𝑥𝑛 = 0 ⟺ 𝑥 = √0𝑛 ⟺ 𝑥 = 0 há uma única solução 0.

DICA

4.2. PRODUTO E QUOCIENTE 𝑒 ∈ 𝑁 ; 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 𝑆𝑒 𝑒 é 𝑃𝑃𝑅 então 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅+0

Produto Divisão

Pág. 84 Ex 8

4.3. Potência de uma Raíz. Demonstrar: 𝒆 ∈ 𝑵 𝒆 𝑷𝑷𝑷 , 𝒂 ∈ 𝑷+𝟎

Esta propriedade resulta da anterior ( produto)considerando que a=b .

Assim �√𝑎𝑛 �𝑚 = √𝑎𝑛 × √𝑎𝑛 × … × √𝑎𝑛 ( 𝑐 𝑣𝑒𝑣𝑒𝑣) = �𝑎 × 𝑎 … × 𝑎 ( 𝑐 𝑣𝑒𝑣𝑒𝑣)𝑛 = √𝑎𝑚𝑛

Exemplo:

1. Simplificar:�√23 �4

2. Pág.84 ex 10

Propriedade:

�𝟐𝟐 = 𝟐

�(−𝟐)𝟐 = 𝟐 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂�(−𝟐)𝟐 = |−𝟐|

Pág. 85 ex 11,12

√𝒂𝒆𝒆 = |𝒂| = � 𝒂 𝒂𝒆 𝒂 ≥ 𝟎−𝒂 𝒂𝒆 𝒂 < 𝟎

𝑒 ∈ 𝑁 𝑒 𝑒 é 𝑝𝑎𝑝 , 𝑎 ∈ 𝑅

√𝒂𝒆𝒆 = |𝒂|

𝑐,𝑒 ∈ 𝑁 ; 𝑎 ∈ 𝑅 𝑆𝑒 𝑒 é 𝑃𝑃𝑅 𝑒𝑒𝑒ã𝑜 𝑎 ∈ 𝑅+

0

4.4. Composição de radicais 𝑐 ,𝑒 ∈ 𝑁 ; 𝑎 ∈ 𝑅 𝑆𝑒 𝑐 𝑜𝑒 𝑒 𝑣ã𝑜 𝑃𝑃𝑅𝑃𝑆 𝑒𝑒𝑒ã𝑜 𝑎 ∈ 𝑅+0

𝑎𝑒𝑒𝑎

4.5. Multiplicação do índice do radical e do expoente do radicando por K 𝑒,𝑐, 𝑘 ∈ 𝑁 ; 𝑎 ∈ 𝑅+0 𝑣𝑒 𝑒,𝑐, 𝑘 ∈ 𝑁 𝑓𝑜𝑝𝑒𝑐 í𝑐𝑝𝑎𝑝𝑒𝑣, 𝑎 ∈ 𝑅

4.6. Divisão do índice do radical e do expoente do radicando por K 𝑒,𝑐, 𝑘 ∈ 𝑁 ; 𝑎 ∈ 𝑅+0

4.7. Passagem de um fator para fora do radical 𝑒,𝑐 ∈ 𝑁 ; 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅+0

√𝑎𝑚𝑛 = �𝑎𝑚:𝑘𝑛:𝑘

√𝑎𝑛 × 𝑏𝑚𝑛 = 𝑎 × √𝑏𝑚𝑛

√𝑎𝑚𝑛 = �𝑎𝑚×𝑘𝑛×𝑘

Pág. 91 Ex. 19,20 ; Pág. 107 ex. 10,11

5ª e 6ª aulas Racionalização de denominadores. Exercícios de aplicação.

Nota: Na fração 𝑎𝑏

o denominador b é por vezes um número irracional . Por ser

mais fácil operar com denominador natural racionalizamos o denominador. Racionalizar o denominador de uma fração significa obter uma fração equivalente com denominador natural

1. Racionalização do tipo 𝒌√𝒂𝒆

2. Racionalização do

tipo 𝒌√𝒂+𝒃

ou 𝒌√𝒂+√𝒃

Pág. 96 Ex. 21; Pág.99 ex.25 a)Pág.109 ex.18 (alguns)

7ª e 8ª aulas Exercícios sobre racionalização de denominadores. Potências de expoente Inteiro

1. Resolver o TPC.

2. SINTESE

3.

3. Potências de expoente Inteiro 𝑒,𝑐 ∈ 𝑍, 𝑎 ∈ 𝑅

4. Potências de expoente Racional 𝑐,𝑒 ∈ 𝑍 𝑐𝑜𝑐 𝑐 ≥ 0 𝑒 𝑒 ≥ 2 ,𝑎 ∈ 𝑅+0

Pág.102 ex. 28

9ª e 10ª aulas Potências de expoente Racional

1. Potências de expoente Racional As regras operatórias da potências mantêm-se 𝑒,𝑐 ∈ 𝑄, 𝑎 ∈ R

2. Port.Ed Pág 100 ex4 +exemplo 6 +ex.6 3. Pág. 105 ex. 31 4. Exercícios globais Pág. 107 ex. 9,12,20,26 5. Porto Ed pág.89

11ª e 12ª aulas Potências de Racional . Exercícios globais.

1. Exercícios globais Pág. 107 ex. 9,12,20,26 2. Porto Ed pág.89

SINTESE

1. Porto Ed pág.106