UNIVERSIDADE FEDERAL DOS VALES DO JEQUITINHONHA E MUCURI CAMPUS MUCURI – TEÓFILO OTONI/MG

INSTITUTO DE CIÊNCIA, ENGENHARIA E TECNOLOGIA – ICET BACHARELADO EM CIÊNCIA E TECNOLOGIA

Tensão de Cisalhamento em Vigas

AURORA FRANCA TELES

DANILO KER DE MELO

DAVIDSON ARAÚJO SANTOS

GLEISON MIRANDA

HENRIQUE ALMEIDA SANTOS

KARINA MATOS MELO

Teófilo Otoni, MG

2011

AURORA FRANCA TELES

DANILO KER DE MELO

DAVIDSON ARAÚJO SANTOS

GLEISON MIRANDA

HENRIQUE ALMEIDA SANTOS

KARINA MATOS MELO

Tensão de Cisalhamento em Vigas

Trabalho apresentado à disciplina Mecânica dos Sólidos, do Curso de Bacharelado em Ciências e Tecnologia, da Universidade Federal dos Vales do Jequitinhonha e Mucuri, Campus Mucuri como forma de aproveitamento avaliativo no segundo semestre letivo de 2011.

Prof. Orientador: Antônio Jorge de Lima Gomes

Teófilo Otoni, MG Setembro, 2011

SUMÁRIO

3.1 Definições ......................................................................................................... 5

3.1.1 Tensão Normal ............................................................................................ 5

3.1.2 Tensão Tangencial ...................................................................................... 6

3.1.3 Cisalhamento .............................................................................................. 7

3.1.4 Definição de Viga ........................................................................................ 8

3.2 Tensão de Cisalhamento ................................................................................. 9

3.3 Tensão de Cisalhamento em Vigas .............................................................. 12

3.4 Distribuição da Tensão de Cisalhamento em Vigas ................................... 16

1. INTRODUÇÃO ................................................................................... 3

2. OBJETIVO ......................................................................................... 4

3. DESENVOLVIMENTO ........................................................................ 5

4. CONCLUSÃO .................................................................................. 18

5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................ 19

3

1. INTRODUÇÃO

A disciplina Mecânica dos Sólidos tem grande importância e uma

fundamental aplicação na Engenharia Civil. Nela utilizaremos todos os princípios

básicos vistos em Mecânica (conceitos de equilíbrio e estática.) para estudar as

deformações (alterações de forma) em corpos sólidos geradas por alguma ação

externa (uma força, por exemplo). Além das equações de equilíbrio, serão

necessárias outras relações que permitam estudar as deformações sofridas por um

sólido. Então, o primeiro conceito importante em Mecânica dos Sólidos é a definição

de corpo deformável. Todo sólido, seja feito de aço ou de concreto, sofrerá

deformações (mesmo que seja de ordem de grandeza muito pequena) quando

estiver sob ação de forças. Desta forma, o corpo deformável é a representação mais

real de um meio contínuo sólido sujeito à ação de forças. A deformação pode ocorrer

por alteração nas dimensões e/ou variação de forma de um corpo sólido. De um

modo geral, quando um corpo está sob ação de um carregamento ele se deslocará e

se deformará. Com as equações de equilíbrio de forças e momentos, pode-se

analisar o movimento de corpo rígido de um corpo. Para estudar as deformações,

são necessárias as relações entre as forças (causa) e as deformações (efeito).

Deformações estas que serão aplicadas na Engenharia Civil, mais particularmente

em vigas.

Assim, veremos neste trabalho alguns conceitos básicos vistos na

Mecânica aplicados sobre as forças de cisalhamento em vigas.

4

2. OBJETIVO

Este trabalho tem o objetivo em explanar o mecanismo de deformação de

vigas através de forças cortantes e com esse mecanismo desenvolver novos

conhecimentos e uma melhor tecnologia nessa área da Engenharia Civil, propondo

métodos eficientes de trabalho, um processo de reengenharia e reestruturação, a fim

de reduzir os custos nas obras e melhorar a qualidade dos serviços.

5

3. DESENVOLVIMENTO

3.1 Definições

3.1.1 Tensão Normal

O esforço FBC representa, na verdade, a resultante das forças internas que

se encontram distribuídas em toda a área A da secção transversal da barra BC, e a

intensidade média dessas forças distribuídas é igual à força por unidade de área.

Figura 1

Observe que o plano de seccionamento através da barra para determinar

o esforço axial no elemento e a tensão correspondente, é perpendicular ao eixo da

barra. O esforço axial é, portanto normal à secção transversal e a correspondente

tensão é denominada por tensão normal. Então, a seguinte equação exprime a

tensão normal num membro submetido a esforço axial:

𝜎 =𝑃

𝐴 (sinal positivo indica tração e sinal negativo compressão)

6

Figura 2

3.1.2 Tensão Tangencial

As forças internas e as correspondentes tensões discutidas anteriormente

eram normais à secção transversal considerada. Quando duas forças P e P’ são

aplicadas perpendicularmente ao eixo de uma barra AB, surgem tensões de um tipo

distinto.

Figura 3

7

Seccionando a barra AB no ponto C, entre os pontos de aplicação das

cargas, obtém-se o diagrama da parte AC. Conclui-se que têm de existir forças

internas no plano da secção e que a sua resultante é igual a P. Estas forças internas

distribuídas são denominadas tensões tangenciais ou tensões de corte e o valor da

sua resultante, P, é a força de corte na secção. Dividindo a forca de corte, P, pela

área A da secção transversal, obtém-se a tensão tangencial média na secção.

Indicando a tensão tangencial pela letra grega 𝜏 (tau), tem-se:

𝜏𝑚é𝑑𝑖𝑜 =𝑃

𝐴

Note-se que o valor obtido é o valor médio da tensão tangencial ao longo

da totalidade da secção. Ao contrário do que foi assumido anteriormente para a

tensão normal, a distribuição de tensões tangenciais ao longo da secção não pode

admitir-se como sendo constante. O valor real da tensão tangencial, 𝜏, varia entre

zero nas superfícies da peça até ao valor máximo, 𝜏𝑚á𝑥, sobre uma determinada

linha situada no interior da secção transversal, podendo ser significativamente

superior ao valor médio.

3.1.3 Cisalhamento

Por definição temos que cisalhamento é uma deformação que sofre um

corpo quando sujeito à ação a forças cortantes.

O cisalhamento é provocado pela ação direta da carga aplicada F. Um

corpo é submetido ao esforço de cisalhamento quando sofre a ação de um

carregamento P que atua na direção transversal ao seu eixo.

8

Figura 4 – Força cisalhante em ação

Figura 5 – Cisalhamento do sólido

3.1.4 Definição de Viga

São elementos lineares em que a flexão é preponderante (NBR 6118/03,

item 14.4.1.1). Elementos lineares são aqueles em que o comprimento longitudinal

supera em pelo menos três vezes a maior dimensão da seção transversal, sendo

também denominada barras.

9

3.2 Tensão de Cisalhamento

Age tangencialmente à superfície do material. A ação de cargas

transversais num corpo provoca o aparecimento de forças internas, na seção

transversal, denominadas esforço cortante. A tensão de cisalhamento 𝜏 (tau) é

obtida através da razão entre a força cortante F e a área de seção transversal (área

de corte) A. Também se utiliza a letra V como esforço cortante.

𝜏 =𝐹𝑐𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

𝐴

Cargas transversais aplicadas em barras produzem tensões normais e de

cisalhamento nas diversas seções transversais.

As distribuições dessas tensões satisfazem as condições:

𝐹𝑥 = ∫ 𝜎𝑥 𝑑𝐴 = 0

𝐹𝑦 = ∫ 𝜏𝑥𝑦 𝑑𝐴 = −𝑉

𝐹𝑧 = ∫ 𝜏𝑥𝑧 𝑑𝐴 = 0

𝑀𝑥 = ∫(𝑦𝜏𝑥𝑧 − 𝑧𝜏𝑥𝑦)𝑑𝐴 = 0

𝑀𝑦 = ∫ 𝑧𝜎𝑥 𝑑𝐴 = 0

𝑀𝑧 = ∫(−𝑦𝜎𝑥) 𝑑𝐴 = 0

10

=

Figura 6

Quando tensões de cisalhamento atuam nas faces verticais de um

elemento, tensões iguais devem atuar nas faces horizontais, para que haja o

equilíbrio. Tensões de cisalhamento longitudinal devem atuar em qualquer elemento

submetido a cargas transversais.

Figura 7 - Elemento de volume do material removido em um ponto localizado sobre a

superfície de qualquer área seccionada sobre a qual atue a tensão de cisalhamento

média. (Cisalhamento Puro).

11

Considere a viga prismática:

Figura 8

Para o equilíbrio do elemento:

Σ𝐹𝑥 = 0 = Δ𝐻 + ∫(𝜎𝐷 − 𝜎𝐶)

𝐴

𝑑𝐴 = 0

Δ𝐻 =𝑀𝐷 − 𝑀𝐶

𝐼 ∫ 𝑦𝑑𝐴

𝐴

Observe que,

𝑄 = ∫ 𝑦𝑑𝐴

𝐴

Logo,

Δ𝐻 =Δ𝑀

𝐼𝑄 ∴

𝑑𝐻

𝑑𝑥=

𝑑𝑀

𝑑𝑥

𝑄

𝐼=

𝑉𝑄

𝐼

𝑞 =𝑉𝑄

𝐼

𝑞 = 𝑓𝑙𝑢𝑥𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑠𝑎𝑙ℎ𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 (𝑁/𝑚)

Ocasionalmente na engenharia, alguns membros são construídos a partir

da união de diferentes partes para poderem resistir às cargas. Nestes casos, a união

das diferentes partes do membro e feita através de cola, pregos, parafusos, etc.

Para o projeto destes elementos e necessário o conhecimento da forca que deve ser

resistida por cada um destes elementos ao longo do comprimento da viga.

12

3.3 Tensão de Cisalhamento em Vigas

Considere-se a viga biapoiada, Figura 9, submetida a duas forças F

iguais e equidistantes dos apoios, armada com barras longitudinais tracionadas e

com estribos, para resistir os esforços de flexão e de cisalhamento, respectivamente.

A armadura de cisalhamento poderia também ser constituída por estribos

associados a barras longitudinais curvadas (barras dobradas). Essas barras

dobradas, também conhecidas como cavaletes, eram comuns até os anos 1970 e

não são mais usadas atualmente, principalmente por razões construtivas.

Para pequenos valores da força F, enquanto a tensão de tração for

inferior à resistência do concreto à tração na flexão, a viga não apresenta fissuras,

ou seja, as suas seções permanecem no Estádio I. Nessa fase, origina-se um

sistema de tensões principais de tração e de compressão.

Com o aumento do carregamento, no trecho de momento máximo (entre

as forças), a resistência do concreto à tração é ultrapassada e surgem as primeiras

fissuras de flexão (verticais). Nas seções fissuradas a viga encontra-se no Estádio II

e a resultante de tração é resistida exclusivamente pelas barras longitudinais. No

início da fissuração da região central, os trechos junto aos apoios, sem fissuras,

ainda se encontram no Estádio I.

Continuando o aumento do carregamento, surgem fissuras nos trechos

entre as forças e os apoios, as quais são inclinadas, por causa da inclinação das

tensões principais de tração 𝜎1 (fissuras de cisalhamento). A inclinação das fissuras

corresponde aproximadamente à inclinação das trajetórias das tensões principais,

isto é, aproximadamente perpendicular à direção das tensões principais de tração.

Com carregamento elevado, a viga, em quase toda sua extensão,

encontrasse no Estádio II. Em geral, apenas as regiões dos apoios permanecem

isentas de fissuras, até a ocorrência de ruptura na região central da viga.

A Figura 9 indica a evolução da fissuração de uma viga de seção T, para

vários estágios de carregamento.

13

Figura 9 - Evolução da fissuração

As vigas suportam em geral tanto cargas de cisalhamento como de

momento fletor. O cisalhamento e o resultado de uma distribuição de tensão de

cisalhamento transversal que atua sobre a seção transversal da viga. Considere a

seção transversal de uma viga carregada transversalmente por uma forca cortante

V.

Figura 10 - Distribuição das tensões de cisalhamento numa seção transversal.

14

Observe que, devido à propriedade de complementariedade do

cisalhamento, tensões longitudinais de cisalhamento também atuam ao longo dos

planos longitudinais da viga.

Justificativa do surgimento das tensões de cisalhamento longitudinais.

Figura 11 - Tensões de cisalhamento longitudinais

Se as tábuas forem lisas e não estiverem coladas, ao aplicar a forca P

haverá deslizamento relativo entre as tabuas. Caso contrário, surgiram tensões de

cisalhamento longitudinais entre as tabuas que impedirão o deslizamento relativo,

dano uma unicidade a viga, gerando uma viga resistente.

Considere a viga carregada transversalmente como apresentada abaixo.

Figura 12 - Viga carregada transversalmente

Considerando somente as forcas axiais atuando nas seções transversais

de um elemento de viga de comprimento dx, teremos:

Figura 13 - Tensões atuando num elemento de viga

15

Impondo o equilíbrio das forças atuando na direção axial x, tem-se que:

∑ 𝐹𝑥 = 0 , ∫ 𝜎 𝑑𝐴 − ∫ 𝜎′ 𝑑𝐴 + 𝜏 (𝑡 × 𝑑𝑥) = 0

𝐴′𝐴′

Onde,

𝜎 é a tensão normal atuando na seção transversal esquerda do elemento;

𝜎′ é a tensão normal atuando na seção transversal direita do elemento;

𝑡 é largura da seção no ponto onde se deseja determinar a tensão de cisalhamento;

E 𝐴′ é a área acima do ponto onde se deseja determinar a tensão de cisalhamento.

Substituindo a tensão normal de flexão dada por 𝑀 = ∫ 𝜎𝑥𝑑𝐴 𝑦𝐴

na eq.

anterior, temos:

∫ 𝑦 (−𝑀

𝐼) 𝑑𝐴 − ∫ 𝑦 (−

𝑀 + 𝑑𝑀

𝐼) 𝑑𝐴 + 𝜏 (𝑡 × 𝑑𝑥)

𝐴′𝐴′

= 0

𝑑𝑀

𝐼∫ 𝑦 𝑑𝐴 + 𝜏 (𝑡 × 𝑑𝑥)

𝐴′

= 0 ⇒ 𝜏 = −𝑑𝑀

𝑑𝑥

1

𝑡𝐼∫ 𝑦 𝑑𝐴

𝐴′

Como,

𝑑𝑀

𝑑𝑥= −𝑉 𝑒 ∫ 𝑦 𝑑𝐴

𝐴′

é o primeiro momento da área 𝐴′ com relação ao eixo neutro, ou seja,

𝑦′ =∫ 𝑦 𝑑𝐴

𝐴′

∫ 𝑑𝐴𝐴′

Então,

∫ 𝑦 𝑑𝐴 = 𝑦′𝐴′ = 𝑄

𝐴′

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Logo, a tensão de cisalhamento em uma seção num ponto distante y’ do

eixo neutro é determinada dada por:

𝜏 =𝑉𝑄

𝑡𝐼

Para utilizar a equação acima, o material deve trabalhar dentro do regime

elástico-linear, a relação espessura/comprimento da viga pequena e o módulo de

elasticidade deve ser o mesmo em tração e em compressão.

3.4 Distribuição da Tensão de Cisalhamento em Vigas

Considerando que uma viga de seção transversal retangular, de altura h e

largura b é submetida a um esforço cortante V.

Figura 14 - Esforço cortante V atuando numa seção transversal.

O primeiro momento da área pode ser determinado como:

𝑄 = 𝑦′𝐴′ = [𝑦′ +1

2(

ℎ

2− 𝑦′)] (

ℎ

2− 𝑦′) 𝑏

∗ 𝑄 =1

2(

ℎ2

4− 𝑦′2

) 𝑏

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∗ 𝐼 = ∫ 𝑦2 𝑑𝐴

𝐴

Substituindo as equações (*) na equação geral de cisalhamento, teremos

𝜏 =𝑉

12 (

ℎ2

4− 𝑦′2

) 𝑏

𝑏 ℎ3

12𝑏

Simplificando, temos a equação de cisalhamento em vigas.

𝜏 =6𝑉

𝑏 ℎ3(

ℎ2

4− 𝑦′2

)

Diante das fórmulas conclui-se que a distribuição da tensão de

cisalhamento é parabólica, máxima no eixo neutro (y = 0) e é nula nas extremidades.

Caso importante: Um material anisotrópico como a madeira, por exemplo,

a viga se rompe ao longo do plano horizontal paralelo ás fibras, passando pelo eixo

neutro da seção.

Figura 15 – Ruptura por cisalhamento em vigas de madeira.

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4. CONCLUSÃO

A falha de materiais de engenharia é quase sempre um evento

indesejável por diversos motivos, que incluem vidas humanas que são colocadas em

risco, perdas econômicas e a interferência com a disponibilidade de produtos e

serviços. Embora as causas das falhas e o comportamento dos materiais possam

ser conhecidos, a prevenção das falhas é difícil de ser garantida. As causas usuais

são a seleção e o processamento dos materiais de uma maneira não apropriada e

um projeto inadequado do componente ou sua má utilização. É responsabilidade de

o Engenheiro antecipar e planejar considerando possíveis falhas e, no caso de uma

falha de fato ocorrer, avaliar a sua causa e então tomar as medidas de prevenção

apropriadas contra futuros incidentes.

Desta forma, de maneira resumida, foram apresentados conceitos sobre a

Mecânica dos Sólidos, além de suas aplicações e evoluções obtidas no decorrer das

décadas, dando assim subsídios importantes que serviram de base para a

construção deste trabalho.

Sabe-se que a tecnologia faz parte da sociedade e ela foi crucial para o

desenvolvimento dessas disciplinas, pois trouxe mecanismos para se produzir

materiais cada vez mais bem aceitos pela população, que concebem novos

horizontes.

A fim de mostrar como uma tensão desenvolve e atua em um corpo, foi

considerado o efeito da aplicação de uma força F, assim para todo objeto que sofre

a ação de pressão. Todos os meios de determinação do quanto suportar as tensões

equivalem ao seu valor de resistência do material sob pressão de forças

equivalentes que atuam sobre a carga.

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5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

POPOV, E. P. - Introdução à Mecânica dos Sólidos; tradução Mauro O. C. Amorelli;

revisão técnica Arno Blass. 1. ed. São Paulo: Editora Blucher, 1978. 550 p.

Callister, Jr., William. D. - Ciência e Engenharia de Materiais: Uma Introdução;

tradução Sérgio Murilo Stamile Soares. 7. ed. Rio de Janeiro – RJ: LTC, 2008. 705 p.

FUSCO, P. B. Construções de concreto solicitações tangenciais: introdução –

Combinação de ações – força cortante – conceitos básicos. São Paulo: EPUSP/PEF,

1981.

MELCONIAN, S. Mecânica técnica e resistência dos materiais. 13ed. São Paulo,

Érica, 2002.

BENTO, Daniela A.. Fundamentos de resistência dos materiais. Disponível em:

<http://www.joinville.ifsc.edu.br/~antoniobrito/Resistencia_dos_materiais/CEFETSC

%20-%20Apostila_Resistencia_dos_Materiais_PARTE_1.pdf>. Acesso em 18 Set.

2011.

BEER, Johnston; GER, James M. Resistência dos Materiais: Capitulo 5. Disponível

em:<http://www.poli.br/~gilfran.milfont/NOTAS_AULAS/6_Cisalhamento%20em%20

Vigas.pdf>. Acesso em 18 Set. 2011.

ASSOCIAÇÃO BRASILEITA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118: Projeto de

estruturas de concreto – Procedimento. Rio de Janeiro: ABNT, 2003. 225p.

Disponível em: <http://www.cct.uema.br/Normas/NBR6118_2003Corr%20-

%20Projeto%20de%20estruturas%20de%20concreto%20-%20Procedimentos.pdf>.

Acesso em 17 Set. 2011