Tensão RM

UNIDADE 1(B):

TENSÃO(CAP. 1 DO HIBBELER)

Professor: Elias Pereira da Silva

Disciplina: Resistência dos Materiais

Curso: Engenharias

TENSÃO

Vimos que a força e o momento que

atuam em determinado ponto na área da

seção de um corpo (conf. figura ao lado)

representam os efeitos resultantes da

distribuição da força que atua na área

seccionada. Determinar a distribuição das

cargas internas é de primordial importância

na resistência dos materiais. Para resolver

esse problema é necessário estabelecer o

conceito de tensão.2

TENSÃOConsidere que a seção seja

subdividida em áreas pequenas, tal

como ΔA mostrada em sombreado

escuro na figura (a). Quando se reduz

ΔA a tamanhos cada vez menores,

devem-se supor duas hipóteses em

relação às propriedades do material.

Devemos considerar que o material é

contínuo, isto é, possui continuidade

ou distribuição uniforme de matéria,

sem vazios, em vez de ser composto

por número finito de átomos ou

moléculas distintos. Além disso, o

material deve ser coeso, o que

significa que todas as suas partes

estão muito bem unidas, em vez de ter

trincas, separações ou outras falhas. 3

TENSÃOUma força típica finita ΔF, mas muito

pequena, atuando sobre sua área

associada ΔA é mostrada na figura (a).

Essa força, como todas as demais, tem

direção única, mas para as discussões

que se seguem a substituiremos por seu

três componentes, a saber, ΔFX, ΔFY e

ΔFZ, assumidos como tangentes VX e VY

e normal N à área, respectivamente.

Da mesma forma que a área ΔA tende

a zero, a força ΔF e seus componentes

também tendem a zero. Entretanto, a

relação (divisão) entre a força e a área,

em geral, tende para um limite finito.

(Vx) (Vy)

(N)

Essa relação é chamada tensão e, como observado, descreve a intensidade

da força interna sobre um plano específico (área) que passa por determinado

ponto. 4

TENSÃOTensão Normal: a intensidade da força,

ou força por unidade de área, que atua

no sentido perpendicular a ΔA é

definida como tensão normal, σ

(sigma). Visto que ΔFZ é normal à área,

então:

(Vx) (Vy)

(N)

Se a força normal ou tensão “empurra”

o elemento de área ΔA como mostrado

na figura (a), é denominada tensão de

tração, ao passo que se “puxa” ΔA é

chamada tensão de compressão.

5

TENSÃOTensão de cisalhamento: a

intensidade da força, ou força por

unidade de área, que atua tangente a

ΔA é chamada tensão de

cisalhamento, (tau). Os componentes

da tensão de cisalhamento são:

(Vx) (Vy)

(N)

Observe que o índice z em σz é usado

para indicar a direção que se afasta da

reta normal.

São usados dois índices para os componentes zx e zy. O eixo de z

especifica a orientação da área, enquanto x e y referem-se às retas de

direção das tensões de cisalhamento. 6

ESTADO GERAL DE TENSÃOSe o corpo for também seccionado por planos paralelos ao plano x-z (figura

b) e ao plano y-z (figura c), podemos então “cortar” um elemento cúbico do

volume do material. Esse elemento cúbico representa o estado geral de

tensão que atua em torno do ponto escolhido do corpo (figura d).

(d)

7

ESTADO GERAL DE TENSÃOEsse estado geral de tensão é então

caracterizado pelos três componentes que

atuam em cada face do elemento. Esses

componentes da tensão descrevem o

estado geral de tensão no ponto apenas

para o elemento orientado ao longo dos

eixos x, y, z. Caso o corpo tivesse sido

seccionado em um cubo com outra

orientação, então o estado geral de tensão

seria definido por meio de um conjunto

diferente de componentes da tensão.(d)

8

TENSÃO NORMAL MÉDIA EM UMA BARRA COM CARGA AXIAL

Frequentemente os elementos estruturais ou mecânicos são compridos e

finos. Além disso, são submetidos a cargas axiais geralmente aplicadas nas

extremidades. Elementos de treliça, pendurais e parafusos são exemplos

típicos. Nesta seção vamos determinar a distribuição média de tensão que

atua na seção transversal de uma barra com carga axial, tal como a barra

mostrada na figura (a).

(a) (b)

Esta seção define a área da seção

transversal da barra e, caso todas as seções

transversais sejam iguais, a barra será

denominada prismática. Se desprezarmos o

peso da barra e a seccionarmos como

indicado, então, para o equilíbrio do

segmento inferior (figura b), a resultante da

força interna que atua na seção transversal

deverá ser igual em intensidade, oposta em

direção e colinear à força externa que atua

na extremidade inferior da barra.9


Antes de determinarmos a distribuição média de tensão que atua na área

da seção transversal da barra, é necessário estabelecer duas hipóteses

simplificadoras referentes à descrição do material e à aplicação específica

da carga.

Hipóteses

1ª HipóteseÉ necessário que a barra pemaneça reta tanto antes

como depois de a carga ser aplicada.

Se essas duas hipóteses ocorrem, então as linhas horizontais e verticais

da grade inscrita na barra deformam-se uniformemente quando a barra

está submetida à carga (figura c).

2ª HipóteseA seção transversal deve permanecer plana durante a

deformação, isto é, durante o tempo em que a barra

muda seu volume e sua forma.

10


Não consideraremos as regiões da barra próximas às suas

extremidades, onde a aplicação de forças externas pode

provocar distorções localizadas. Em vez disso, focalizaremos

apenas a distribuição de tensão no interior da seção média da

barra.

A fim de que a barra possa sofrer deformação uniforme, é

necessário que P seja aplicada ao longo do eixo centróide da

seção transversal e o material seja homogêneo e isotrópico.

Um material homogêneo possui as mesmas propriedades físicas e

mecânicas em todo o seu volume, e um material isotrópico possui essas

mesmas em todas as direções. Muitos materiais da engenharia podem ser

aproximados como sendo homogêneos e isotrópicos. O aço, por exemplo,

contém milhares de cristais orientados aleatoriamente em cada mm³ de seu

volume, mas, como a maioria dos problemas que envolvem esse material tem

um tamanho físico muito maior do que um simples cristal, a hipótese referente

à composição de seu material é bastante realista.

(c)

11


Ressalte-se, porém, que o aço pode tornar-se anisotrópico

por laminação a frio, isto é, se for laminado ou forjado em

temperaturas subcríticas. Os materiais anisotrópicos

possuem propriedades diferentes em direções diferentes,

mas, apesar disso, se a anisotropia for orientada ao longo do

eixo da barra, então a barra também se deformará

uniformemente quando submetida a uma carga axial. Por

exemplo, a madeira de construção, devido aos seus grãos ou

fibras, é um material de engenharia homogêneo e

anisotrópico e, portantato, é adequado para a análise

seguinte.

(c)

12


Visto que a barra está submetida a uma deformação

uniforme constante, como observado, então a

deformação é o resultado de uma tensão normal

constante σ (figura d). O resultado é que cada área A

da seção transversal está sujeita a uma força F = σA,

e o somatório das forças que atuam sobre toda a área da

seção transversal deve ser equivalente à força interna

resultante P na seção. Se A dA e, portanto F dF,

então, admitindo que σ seja constante, temos:

Distribuição da Tensão Normal Média

(d)

σ =P

A (1.6)13


A carga interna P deve passar pelo centróide da seção

transversal, visto que a distribuição da tensão uniforme

produzirá momentos nulos em torno de quaisquer eixos x e

y que passem por esse ponto (figura d). Quando essa

condição ocorre,

(d)

14


É evidente que existe apenas uma tensão normal em qualquer

elemento de volume do material localizado em cada ponto da

seção transversal de uma barra com carga axial. Se

considerarmos o equilíbrio na vertical do elemento (figura ao

lado), aplicando então a equação de equilíbrio de força,

teremos:

Equilíbrio

Em outras palavras, os dois componentes da tensão normal no elemento

devem ter intensidade igual, mas direções opostas. Essa condição é

denominada tensão uniaxial.15


A análise anterior aplica-se a elementos

submetidos tanto a tração como a compressão,

como mostrado na figura ao lado.

Interpretação gráfica: a intensidade da força

interna resultante P é equivalente ao volume sob

o diagrama de tensão; ou seja, P = σA (volume =

altura x base). Além disso, como consequência do

equilíbrio dos momentos, a resultante passa

pelo centróide do volume considerado.

Apesar de termos desenvolvido a análise para barras prismáticas, a

hipótese pode ser relaxada, de certa forma, para incluir barras levemente

cônicas. Por exemplo, pode-se demonstrar, usando a análise mais exata

da teoria da elasticidade, que em uma barra cônica de seção transversal

retangular, com ângulo de 15° entre dois lados adjacentes, a tensão

normal média calculada por σ = P/A é apenas 2,2% menor que o valor

calculado pela teoria da elasticidade.16


Em nossa análise, tanto a força interna P como a área da seção

transversal A eram constantes ao longo do eixo longitudinal da

barra e, como resultado, a tensão normal σ = P/A também era

constante ao longo do comprimento da barra. Entretanto,

ocasionalmente, a barra pode ser submetida a várias cargas

externas ao longo de seu eixo, ou pode ocorrer uma mudança

na área de sua seção transversal. Como resultado, a tensão

normal no interior da barra pode ser diferente de uma seção

para a outra e, se a tensão normal média máxima tiver de ser

determinada, torna-se importante determinar o local onde a

relação P/A chega ao máximo. Para tal é necessário determinar

a força interna P em várias seções ao longo da barra. Portanto,

é conveniente mostrar essa variação por meio do diagrama de

força axial ou normal. O diagrama é um gráfico da força

Tensão Normal Média Máxima

normal P contra sua posição x ao longo do comprimento da barra. Segundo a

convenção de sinais, P é positivo se provoca tração no elemento e negativo se

provoca compressão. Como a carga interna é conhecida ao longo de toda a barra, a

relação máxima P/A pode então ser identificada. 17


Pontos Importantes

18


Procedimento de Análise

19

PARA EXERCITAR

Exemplo 1:

A barra da figura (a) tem largura constante de 35 mm e espessura de 10

mm. Determinar a tensão normal média máxima da barra quando submetida

ao carregamento mostrado.

20

PARA EXERCITAR

Resolução do

Exemplo 1:

21

PARA EXERCITAR

Exemplo 2:

A luminária de 80 kg é suportada por duas hastes AB e BC como mostra a

figura (a). Se AB tem diâmetro de 10 mm, e BC tem diâmetro de 8 mm,

determinar a tensão normal média em cada haste.

22

PARA EXERCITAR

Resolução do

Exemplo 2:

23

PARA EXERCITAR

Resolução do Exemplo 2:

24

0,004

PARA EXERCITAR

Exemplo 3:

O bloco fundido mostrado na figura (a) é feito

de aço com peso específico de aço = 490

lb/pé³. Determinar o esforço de compressão

médio que atua nos pontos A e B.

25

PARA EXERCITAR


26

PARA EXERCITAR


27

PARA EXERCITAR

Exemplo 4:

O elemento AC mostrado na figura (a) está submetido a uma força vertical

de 3 kN. Determinar a posição x de aplicação da força de modo que o

esforço de compressão médio no apoio C seja igual ao esforço de tração no

tirante AB. A haste tem uma área de seção transversal de 400 mm², e a área

de contato em C é de 650 mm².

28

PARA EXERCITAR


29

PARA EXERCITAR


30

TENSÃO DE CISALHAMENTO MÉDIAA tensão de cisalhamento foi definida na Seção 1.3 (Slide 6) como o

componente da tensão que atua no plano da área seccionada. A fim de

mostrar como essa tensão desenvolve-se, consideraremos o efeito da

aplicação de uma força F à barra da figura (a). Se seus apoios forem

considerados rígidos e F for suficientemente grande, ela provocará

deformação e falha da barra ao longo dos planos identificados como AB e

CD. O diagrama de corpo livre do segmento central não apoiado da barra

(figura b) indica que a força de cisalhamento V = F/2 deve ser aplicada em

cada seção para manter o segmento em equilíbrio.

31

(c)

méd

TENSÃO DE CISALHAMENTO MÉDIAA tensão de cisalhamento média distribuída sobre cada área seccionada

que desenvolve essa força de cisalhamento é definida por:

32

méd = V

A

A distribuição da tensão de cisalhamento média é

mostrada atuando sobre as seções na figura (c). Observe

que méd tem a mesma direção que V, visto que a tensão

de cisalhamento deve criar forças associadas, todas elas

contribuindo para a força resultante interna V da seção.

TENSÃO DE CISALHAMENTO MÉDIAO caso do carregamento discutido na figura anterior é um exemplo de

cisalhamento simples ou direto, uma vez que o cisalhamento é

provocado pela ação direta da carga aplicada F. Esse tipo de cisalhamento

ocorre frequentemente em vários tipos de acoplamentos simples que usam

parafusos, pinos, material de solda etc. Em todos esses casos, no entanto,

a aplicação da equação 1.7 é apenas aproximada. Uma investigação mais

precisa da distribuição cisalhamento-tensão sobre a seção crítica revela,

em geral, que ocorrem tensões de cisalhamento muito maiores no material

do que as previstas pela equação.

Apesar disso, a aplicação da equação 1.7 é aceitável para muitos

problemas de projeto e análise da engenharia. As normas de engenharia

permitem seu uso, por exemplo, quando se quer calcular as dimensões de

elementos de fixação, tais como parafusos, ou para se obter a resistência

de fixação de juntas sujeitas a cargas de cisalhamento. A propósito, na

prática ocorrem dois tipos de cisalhamento, os quais merecem tratamento

distinto. 33

A juntas de aço e madeira mostradas, respectivamente, nas figuras (a) e (c)

são exemplos de acoplamentos de cisalhamento simples e geralmente

se denominam juntas sobrepostas.

Cisalhamento Simples

Vamos supor que os elementos sejam finos e que a porca da figura (a) não

esteja muito apertada, de modo que o atrito entre os elementos possa ser

desprezado. Fazendo um corte entre os elementos, obtêm-se os

diagramas de corpo livre mostrados nas figuras (b) e (d). Como os

elementos são finos, podemos desprezar o momento criado pela força F.34

TENSÃO DE CISALHAMENTO MÉDIA

Então, no equilíbrio, a área da seção transversal do parafuso da figura (b)

e a superfície de fixação entre os elementos da figura (d) estão

submetidas apenas a uma força de cisalhamento simples V = F. Essa

força é usada na equação 1.7 para determinar a tensão de cisalhamento

média que atua na seção cinza-claro da figura (d).

35


Quando a junta é construída como mostrado na figura (a) ou (c), devem ser

consideradas duas superfícies de cisalhamento. Esses tipos de acoplamentos

são geralmente chamados de juntas de dupla sobreposição.

Cisalhamento Duplo

Se fizermos um corte entre cada um dos elementos, os

diagramas de corpo livre do elemento central serão como os

mostrados nas figuras (b) e (d). Nesse caso, temos uma

condição de cisalhamento duplo. Por consequência, V =

F/2 atua em casa área seccionada e o cisalhamento deve

ser considerado quando se aplica méd = V/A.36


O equilíbrio de força e momento (F = 0

e M = 0) requer que a tensão de

cisalhamento que atua na face superior

do elemento seja acompanhada por

uma tensão de cisalhamento que atue

nas outras três faces (figura b).

Equilíbrio

Nesse caso, as quatro tensões de cisalhamento devem ter intensidades iguais e

ser direcionadas no mesmo sentido ou em sentido contrário uma da outra nas

bordas opostas do elemento. Essa condição é chamada de propriedade

complementar do cisalhamento e, nas condições mostradas na figura acima, o

material está submetido a cisalhamento puro. Apesar de considerar aqui um caso

de cisalhamento simples provocado pela ação direta de uma carga, mostraremos

em capítulos posteriores que a tensão de cisalhamento também pode surgir

indiretamente devido à ação de outros tipos de carga. 37

Elemento infinitesimal removido de um ponto localizado numa superfície de

uma área seccionada sobre a qual atue tensão de cisalhamentoτzy = τ’zy = τyz = τ’yz = τ


Pontos Importantes

38


Procedimento de Análise

39

do slide 37.


PARA EXERCITAR

Exemplo 1:

A barra mostrada na figura (a) tem seção transversal quadrada para a qual a

profundidade e a largura são de 40 mm. Supondo que seja aplicada uma

força axial de 800 N ao longo do eixo do centróide da área da seção

transversal da barra, determinar a tensão normal média e a tensão de

cisalhamento média que atuam sobre o material (a) no plano da seção a-a e

(b) no plano da seção b-b.

40

PARA EXERCITAR


41

PARA EXERCITAR


42

PARA EXERCITAR

Exemplo 2:

A escora de madeira mostrada na figura (a) está suportada por uma haste

de aço de 10 mm de diâmetro presa na parede. Se a escora suporta uma

carga vertical de 5 kN, calcular a tensão de cisalhamento média da haste na

parede e ao longo das duas áreas sombreadas da escora, uma das quais

está identificada como abcd.

43

PARA EXERCITAR


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PARA EXERCITAR


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PARA EXERCITAR

Exemplo 3:

O elemento inclinado da figura (a) está submetido a uma força de

compressão de 600 lb. Determinar a tensão de compressão média ao longo

das áreas de contato planas definidas por AB e BC e a tensão de

cisalhamento média ao longo do plano definido por EDB.

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PARA EXERCITAR


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PARA EXERCITAR


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