tension sitiffening

CMNE/CILAMCE 2007

Porto, 13 a 15 de Junho, 2007

APMTAC, Portugal 2007

MODELOS DE FISSURAO EM ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO VIA MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

Marcelo Augusto da Silva Machado1*, Leandro Mouta Trautwein2, Amrico Campos Filho3 e Tlio Nogueira Bittencourt4

1: Departamento de Engenharia de Estruturas e Geotcnica

Escola Politcnica

Universidade de So Paulo

Av. Professor Almeida Prado, trav 2, 83, Cidade Universitria, So Paulo/SP-Brasil, 05508-900

e-mail: [email protected]


Escola Politcnica




3: Programa de Ps-Graduao em Engenharia Civil

Escola de Engenharia

Universidade Federal do Rio Grande do Sul

Av. Osvaldo Aranha, 99, 3 andar, Porto Alegre/RS-Brasil, 90035-190



Escola Politcnica




Palavras-chave: Concreto Armado, Elementos Finitos, Cisalhamento, Fissurao Resumo. O trabalho realizado por Bresler e Scordelis [1] definiu conceitos seguidos na anlise no-linear de estruturas de concreto armado. Em tal trabalho, esto os ensaios

clssicos de doze vigas de concreto armado com o objetivo preliminar de investigar o

comportamento crtico de vigas ao cisalhamento. Trs destas vigas foram reproduzidas

numericamente a fim de se validar a plataforma desenvolvida em elementos finitos para

anlise no-linear de estruturas de concreto armado sob estados planos de tenses. Os

resultados obtidos numericamente de deslocamentos e modos de fissurao foram comparados

com os resultados obtidos experimentalmente e tambm pelos softwares DIANA e FEMOOP,

este ltimo desenvolvido por Gamino [2].

Marcelo A. S. Machado, Leandro M. Trautwein, Amrico Campos Fo. e Tlio N. Bittencourt

2

1. INTRODUO

Este trabalho apresenta um sistema computacional, desenvolvido no software MATLAB por

Machado [3], referenciado neste trabalho por MATLAB - Machado [3], utilizando o mtodo

dos elementos finitos, para anlise no-linear de estruturas de concreto armado submetidas a

estados planos de tenses.

Considera-se o comportamento distinto do concreto trao ao seu comportamento

compresso. Para a fissurao do concreto sob trao, utiliza-se um modelo de fissuras

distribuidas, que leva em conta a contribuio do concreto entre fissuras. J para o concreto

comprimido, utiliza-se uma regra de endurecimento de acordo com o Cdigo Modelo CEB-

FIP 1990 [4].

Introduz-se a armadura no modelo como um material mais rgido, com comportamento

elastoplstico, no elemento de concreto. Assim, a matriz de rigidez da armadura tem as

mesmas dimenses a matriz de rigidez do elemento de concreto e os deslocamentos da

armadura so referenciados aos deslocamentos dos ns do elemento de concreto, somando-se

diretamente as diversas matrizes de rigidez.

Para validao do sistema computacional, comparam-se os resultados numricos com os

clssicos resultados experimentais produzidos por Bresler e Scordelis [1], com o objetivo

de se investigar o comportamento de vigas ao cisalhamento. Tambm se comparam com

os resultados numricos produzidos pelos softwares DIANA e FEMOOP, este ltimo

desenvolvido por Gamino [2].

2. MODELOS DE ELEMENTOS FINITOS DOS MATERIAIS

Para se modelar o concreto sob estado plano de tenses, utiliza-se um elemento finito

isoparamtrico quadrangular de oito ns de famlia Serendipity, de acordo com Hinton e

Owen [5]. Tal elemento possui dois graus de liberdade por n, deslocamentos na direes

X e Y, com campos de deslocamentos variando de forma quadrtica e campos de

deformaes variando de forma linear.

J para se modelar as barras de armadura, utiliza-se um elemento finito tambm

isoparamtrico mas unidimensional, permitindo-se modelar tanto barras retas, definidas

por dois ns, ou curvas, definidas por trs ns. Considera-se a armadura como sendo uma

linha ou um elemento unidimensional mais rigido dentro do elemento de concreto, que resiste

apenas a esforos axiais, de acordo com o modelo incorporado de Elwi e Hudrey [6]. Este

modelo Supe-se, tambm, aderncia perfeita entre o concreto e o ao. Assim, considera-se

que ocorra a mesma deformao e deslocamento em ns da armadura e do concreto

localizados na mesma posio. As matrizes de rigidez da armadura e do concreto possuem as

mesmas dimenses, sendo a matriz de rigidez total de um elemento de concreto armado a

soma das duas parcelas. Utiliza-se tambm o procedimento desenvolvido por Elwi e Hudrey

[6] para a localizao automtica dos segmentos de armadura, dispostos de forma aleatria no

interior da malha de elementos finitos de concreto.


3

3. MODELOS CONSTITUTIVOS DOS MATERIAIS

Provavelmente, a principal caracterstica do concreto a sua baixa resistncia trao,

quando comparada a sua resistncia compresso. Para tanto, utilizam-se dois modelos

disitintos para descrever este comportamento.

3.1. Concreto Comprimido

Considera-se que o concreto comprimido tenha um comportamento elastoplstico com

endurecimento, utilizando-se um modelo composto por um critrio de ruptura, um critrio

de plastificao e uma regra de endurecimento. O critrio de ruptura adotado aquele

proposto por Ottosen [7], sendo o mesmo adotado pelo Cdigo Modelo CEB-FIP 1990

[4]. Quanto ao critrio de plastificao, considera-se que o concreto no fissurado tenha

endurecimento isotrpico, cuja superfcie de plastificao seja quela de Von Mises,

sendo esta um caso particular de Ottosen [7]. J para a regra de endurecimento, a qual

define a maneira pela qual as superfcies de plastificao se movimentam (superfcies de

carregamento), durante a deformao plstica, adota-se a relao tenso-deformao definida

pelo Cdigo Modelo CEB-FIP 1990 [4]. No modelo implementado, considera-se plasticidade

associada, por motivos prticos, j que h poucas evidncias experimentais disponveis para

este fato, segundo Hinton e Owen [5]. Desta forma, dentro do domnio plstico, na relao

tenso-deformao, o vetor de fluxo plstico normal superfcie de plastificao.

3.2. Concreto Tracionado

O fato de o concreto possuir baixa resistncia trao resulta na sua fissurao, para baixos

nveis de tenso, se comparados com as tenses de falha compresso. Considera-se que o

concreto fissurado segue o modelo de fissuras distribudas. A vantagem deste modelo que

necessita-se apenas que se atualize a relao tenso-deformao aps a ocorrncia da fissura,

sem modificar-se a topologia da malha de elementos finitos durante a anlise, como ocorre em

outros modelos.

No presente trabalho, o concreto sob trao modelado como sendo um material elstico com

amolecimento (strain-softening) e emprega-se o critrio de ruptura de Ottosen para se

distinguir o comportamento elstico da fratura trao. Para um ponto, no interior do

elemento, previamente no-fissurado, as tenses principais e suas direes so avaliadas.

Conforme o critrio estabelecido pelo Cdigo Modelo CEB-FIP 1990 [4], para um ponto de

integrao cujo estado de tenso atingiu a superfcie de ruptura, tem-se que:

- se 1 ftm/2, o ponto de integrao fissurou;

- se 1 < ftm/2, o ponto de integrao esmagou.

A fissura formada no plano ortogonal tenso principal mxima 1. Aps isso, considera-se

o concreto ortotrpico, sendo desprezado o efeito de Poisson, conforme Hinton [8], e os eixos

materiais locais coincidem com as direes das tenses principais. A direo da fissura


4

admitida permanecer fixa, sendo isto conhecido como aproximao da fissura fixa. Como se

trata de estado plano de tenso, permite-se apenas uma nica fissura, para cada ponto no

interior do elemento de concreto. Para um ponto j fissurado, verifica-se a formao de uma

segunda fissura, que, por simplicidade, seria ortogonal primeira fissura. Se ocorrerem duas

fissuras, supe-se que o concreto no colabora mais na resistncia da estrutura, tendo suas

tenses anuladas no ponto em questo.

Calcula-se a direo da fissura, resolvendo-se um problema de autovetores. Calculam-se

tambm os co-senos diretores dos ngulos formados entre o autovalor equivalente tenso

principal mxima, 1 e o estado de tenso que originou a fissura.

Aps a fissurao, adota-se que o concreto tracionado segue uma curva exponencial de

amolecimento de deformaes (strain-softening), de acordo com Hinton [8]. Essa curva de

amolecimento aplicvel somente ao concreto e desconsidera-se o efeito de rigidez trao

pela presena da armadura.

Assim como a tenso normal ao plano da fissura, a tenso paralela ao plano da fissura tambm

sofre uma modificao. Duas situaes possveis podem acontecer: a deformao nesta

direo ser de compresso, onde, para este caso, sugere-se que a tenso correspondente se

comporte de acordo com o diagrama de um ensaio uniaxial compresso, segundo o Cdigo

Modelo CEB-FIP 1990 [4]. Por outro lado, se a deformao, na direo analisada, for de

trao, adota-se uma relao tenso-deformao linear. O limite superior desta relao a

resistncia trao do concreto. Se este limite for atingido, supe-se que o concreto esteja

fissurado nas duas direes e as tenses, no ponto, passam a serem nulas. Em ambos os casos,

desconta-se a deformao considerada da deformao de fissurao.

3.3. Rigidez Transversal do Concreto Fissurado

Como uma regra geral, as primeiras fissuras que aparecem no concreto sob trao so

perpendiculares direo da mais alta tenso principal de trao do concreto, 1. As direes

principais se modificam, por mudanas no carregamento ou por no-linearidades da estrutura,

produzindo deslocamentos relativos das faces rugosas da fissura. Isto causa o surgimento de

tenses de corte no plano da fissura. O valor destas tenses de corte depende das condies

locais na fissura. O principal mecanismo de transferncia de esforos transversais o

engrenamento dos agregados e as principais variveis envolvidas so o tipo e a granulometria

dos mesmos. Alm disso, o efeito de pino da armadura que cruza a fissura (dowell effect)

tem tambm importncia na transferncia de esforos. Neste caso, as principais variveis

envolvidas so o dimetro das barras, a taxa de armadura e a inclinao das barras em relao

ao plano da fissura. Ambos mecanismos so controlados pela abertura da fissura, que, quando

aumenta, faz com que se reduza a capacidade de transferncia de corte (shear transfer).

No se pode incluir diretamente os mecanismos acima mencionados no modelo de fissuras

distribudas. Nos modelos de fissura fixa, tais mecanismos podem ser aproximados, conforme

sugere Cervenka [9], reduzindo-se o valor do mdulo de elasticidade transversal do concreto,

G, atravs de um fator que varia entre 0 e 1. Para tanto, adota-se a frmula para dada por

Cervenka [9], tambm utilizada por Hinton [8].


5

4. PROGRAMA COMPUTACIONAL DIANA

DIANA (DIsplacement Method ANAlyser) um programa de elementos finitos utilizado para

a anlise no-linear de estruturas, desenvolvido pela TNO Building and Construction

Research na Holanda. O DIANA oferece a possibilidade de se trabalhar com o modelo de

fissurao discreta (discrete crack model) e com o modelo de fissurao distribuda (smeared

crack model). As simulaes numricas realizadas neste trabalho utilizaram apenas o modelo

de fissurao distribuda. Neste trabalho, adota-se o modelo Multi Directional Fixed Crack

Model para se controlar a abertura e a orientao das fissuras em um determinado ponto. O

modelo incremental Multi-Directional Fixed Crack Model caracterizado por combinar o

modelo de fissurao distribuda para a trao e um modelo plstico para a compresso. Esse

modelo permite abrir vrias fissuras em um mesmo ponto.

Para representar o comportamento do concreto armado fissurado na trao, utiliza-se o

tension stiffening. Na literatura o termo tension stiffening a contribuio do concreto

trao nos trechos contidos entre fissuras, e est relacionado diretamente com a taxa e

dimetro da armadura e com espaamento entre as fissuras. Aps o surgimento da primeira

fissura, em um certo estgio de carregamento a abertura da fissura ir se estabilizar por efeito

da armadura, e mesmo com o aumento da carga esta fissura no se propagar, apenas a

respectiva abertura aumentar. O concreto armado fissurado capaz de transmitir tenses

entre duas fissuras adjacentes, atravs da armadura, conferindo asssim uma certa rigidez

adicional. A curva tenso x deformao para simular este efeito do tension stiffening

ilustrada na Figura 1. Os parmetros deste modelo so t e m , como se observam na Figura

1, onde m a deformao mxima do concreto na trao e t o fator que reduz a tenso de

trao aps a formao da primeira fissura.

Figura 1. Diagrama tension stiffening disponvel no Diana[10].

Para o tratamento da compresso do concreto utiliza-se o modelo clssico de ruptura de Mohr-

Coulomb. Com relao ao efeito da reduo da rigidez ao cisalhamento () nas anlises

realizadas o parmetro foi igual a 0,2.


6

Para representar as armaduras utilizam-se elementos do tipo embedded reinforcement,

permitindo simular a armadura como incorporada ao concreto. Adota-se o modelo de ruptura

de Von Mises, com a equao constitutiva do material seguindo um modelo elasto-plstico

perfeito para representar o comportamento do ao. Os elementos finitos utilizados para o

concreto so os do tipo QU8 (oito ns) quadrticos para anlises em estado plano de tenses.

Aplica-se o carregamento atravs de incrementos de deslocamentos at que se atinja a ruptura

da viga. Adota-se uma tolerncia para o critrio de convergncia na ordem de 10-4, fazendo-se

equilbrio de energia.

5. DETALHES DAS VIGAS DE BRESLER E SCORDELIS[1]

Bresler e Scordelis [1] ensairam doze vigas divididas em quatro grupos contendo trs vigas

cada. Neste trabalho, analisam-se o grupo de vigas OA (sem armaduras de cisalhamento),

utilizando-se o MATLAB-Machado [3], o DIANA, e o FEMOOP de Gamino [2]. A Tabela 1

e 2 apresentam respectivamente o resumo das vigas ensaiadas e as propriedades fsicas e

mecnicas dos materiais ao e concreto utilizados. Os detalhes da seo transversal das vigas

so ilustrados na Figura 2.

Viga bw(mm) h(mm) d(mm) L(mm) Vo(mm) As OA1 310 556 461 4100 3660 4 no 9

OA2 305 561 466 5010 4570 5 no 9

OA3 307 556 462 6840 6400 6 no 9

Tabela 1. Detalhes das vigas ensaiadas por Bresler e Scordelis[1].

Ao Barra Dimetro(mm) rea(mm2) fy(MPa) fu(MPa) Es(MPa) no 9 28,7 645 555 933 218.000

no 4 12,7 127 345 542 201.000

no 2 6,4 32,2 325 430 190.000

Concreto Viga fc(MPa) ft(MPa) Ec (Mpa) OA1 22,6 3,97 36.500

OA2 23,7 4,34 32.900

OA3 37,6 4,14 34.300

Tabela 2. Propriedades dos materiais utilizados nas vigas ensaiadas por Bresler e Scordelis[1].


7

Figura 2 Detalhes da seo transversal das vigas de Bresler e Scordelis[1].

5. RESULTADOS OBTIDOS

Neste item compara-se os resultados numricos produzidos pelo MATLAB - Machado [3] e

tambm pelos softwares DIANA e FEMOOP [2] com os cssicos resultados experimentais

produzidos por Bresler e Scordelis [1]. Para a validao da anlise numrica realizada sero

utilizadas a curvas do tipo carga-deslocamento, as tenses no concreto e o padro de

fissurao comparado com a resposta experimental.

A Tabela 3 ilustra os resultados obtidos em termos de carga de ruptura e deslocamentos na

ruptura obtidos pelos trs programas utilizados nas modelagens. As curvas fora-

deslocamento obtidas encontram-se na Figuras 3, 4 e 5.

Pu(kN) u(mm)

Viga Exp. Machado [3]

DIANA Femoop [2]

Exp. Machado [3] DIANA Femoop [2]

OA1 334 347 358 368 6,6 7,9 7,5 6,4

OA2 356 338 363 365 11,7 12,2 12,4 12,1

OA3 378 374 367 380 27,9 28,5 24,6 32,4

Tabela 3 Resultados obtidos nas modelagens das vigas ensaiadas por Bresler e Scordelis[1].

De um modo geral obteve-se boa correlao entre as respostas numricas e os resultados

experimentais de Bresler e Scordelis. Com relao aos deslocamentos calculados com o

MATLAB - Machado [3] estes foram em mdia 4% superiores para as vigas OA2 e OA3 e

cerca de 17% superior para a viga OA1 em comparao aos resultados experimentais. Os

deslocamentos obtidos pelo programa DIANA foram em mdia 6% superiores em relao aos

obtidos experimentalmente para as vigas OA1 e OA2. Porm a viga OA3 apresentou um

comportamento mais rgido no DIANA em relao ao MATLAB - Machado [3] tambm ao

experimental. As cargas de ruptura obtidas nas modelagens numricas ficaram muito

prximos das respostas experimentais. A Tabela 4 apresenta a relao entre a carga e os

deslocamentos de ruptura experimental e as cargas e os deslocamentos alcanadas a partir das

modelagens realizadas.


8

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Fora (kN)

Deslocamento (mm)

Experimental

FEMOOP [2]

MATLAB -Machado [3]

DIANA

Figura 3. Resultados obtidos para a viga OA1.

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Fora (kN)

Deslocamento (mm)

Experimental

FEMOOP[2]

MATLAB -Machado[3]

DIANA



9

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 5 10 15 20 25 30 35

Fora (kN)

Deslocamento (mm)

Experimental

FEMOOP[2]

MATLAB -Machado [3]DIANA


Pu(kN) u(mm)

Viga Vexp./Vnum

Machado [3]

Vexp./Vnum

DIANA

Vexp./Vnum

Femoop [2]

u exp./ u num

Machado [3]

u exp./ u num

DIANA

u exp./ u num

Femoop [2] OA1 0,96 0,93 0,91 0,84 0,88 1,03

OA2 1,05 0,98 0,97 0,96 0,94 0,97

OA3 1,01 1,03 0,99 0,98 1,13 0,86

Tabela 4 Relao entre as cargas de ruptura e os deslocamentos experimentais com os obtidos numericamente.

Com o objetivo de validar e verificar os modelos numricos adotados as Figuras 6, 7 e 8

apresentam respectivamente o padro de fissurao obtido experimentalmente e

numericamente nas vigas OA1, OA2 e OA3 . As fissuras no modelo experimental e nos

modelos numricos foram muito semelhantes. As primeiras fissuras surgiram prximas a

regio, na qual o carregamento foi aplicado desenvolvendo-se em direo ao apoio da viga.

Este processo foi verificado em todas as anlises realizadas.


10

Padro de fissurao obtido experimentalmente.

(*) fissuras nas duas direes

Padro de fissurao obtido pelo MATLAB - Machado [3].

Padro de fissurao obtido pelo DIANA

Figura 6. Padro de fissurao obtido para a viga OA1.


11




Padro de fissurao obtido pelo DIANA.



12




Padro de fissurao obtido pelo DIANA.


As Figuras 9, 10 e 11 apresentam respectivamente as tenses de cisalhamento no concreto

obtidas pelo MATLAB - Machado [3] e pelo programa DIANA. As tenses de cisalhamento

obtidas eram elevadas na regio prxima ao apoio e ao local de aplicao do carregamento.


13

DIANA: Valores em kN/cm2

MATLAB - Machado [3]: Valores em kN/cm

2

Figura 9. Tenses de cisalhamento xy no concreto obtidas para a viga OA1.


14

DIANA: Valores em kN/cm2

MATLAB - Machado [3]: Valores em kN/cm2



15

DIANA: Valores em kN/cm

2

MATLAB - Machado [3]: Valores em kN/cm

2


De uma maneira geral os resultados encontrados foram satisfatrios e capazes de prever o

comportamento das vigas OA1, OA2 e OA3 que romperam por cisalhamento.

6. CONCLUSES

Este trabalho procurou reproduzir numericamente os ensaios clssicos de vigas de concreto

armado a fim de validar um programa de elementos finitos desenvolvido por Machado [3],

MATLAB - Machado [3]. Os resultados obtidos por este programa tambm foram

comparados com as respostas produzidas pelo FEMOOP, desenvolvido por Gamino [2] e pelo

software DIANA. Aps a realizao destes trabalhos pode-se concluir que:

a) De um modo geral obteve-se boa correlao entre as respostas numricas e os resultados

experimentais de Bresler e Scordelis;

b) Os deslocamentos determinados numericamente ficaram muito prximos das respostas

experimentais, para as vigas OA1, OA2 e OA3;

c) Em termos de carga de ruptura, os valores obtidos nas anlises numricas comparadas com

os resultados experimentais apresentaram boa aproximao.


16

REFERNCIAS

[1] B. Bresler e A. C. Scordelis, Shear strength of reinforced concrete beams,

Journal of American Concrete Institute, n. 60, v.1, pp.51-72, (1963).

[2] A. L. Gamino, Modelagem computacional de estruturas de concreto armado

reforadas com FRP, Tese de Doutorado, Escola Politcnica da Universidade de So

Paulo, p.275, (2007).

[3] M. A. S. Machado, Aplicao do mtodo dos elementos finitos para anlise

elasto-viscoplstica de peas de concreto armado e protendido, Dissertao de

Mestrado, PPGEC Universidade Federal do Rio Grande do Sul, 150p., (2002).

[4] Comit Euro-International du Beton, CEB-FIP model code 1990, Lausanne, 1993.

(Bulletin dInformation, 213/214).

[5] E. Hinton e D. R. J. Owen, Finite element in plasticity: theory and practice,

Swansea, Pineridge Press, 594p., (1980).

[6] A. E. Elwi e T. M. Hudrey, Finite element model for curved embedded

reinforcement, Journal of Engineering Mechanics Division, ASCE, v. 115, n. 4, pp.

740-745, Abril, (1989).

[7] N. S. Ottosen, A failure criterion of concrete, Journal of Engineering Mechanics

Division, ASCE, v. 103, n. 4, pp. 527-535, Agosto, (1977).

[8] E. Hinton, Numerical Methods and software for dynamic analysis of plates and shells,

Swansea: Pineridge Press, 550p., (1988).

[9] V. Cervenka, Constitutive model for cracked reinforced concrete, Journal of the

American Concrete Institute, v.82, n.6, pp. 877-882, (1985).

[10] TNO Building and Construction Research. Diana Users Manual Release 8.1. Delft,

Netherlands, 2001.

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