Tensoesinsitu3 d

XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 01

COMITÊ BRASILEIRO DE BARRAGENS XXVIII SEMINÁRIO NACIONAL DE GRANDES BARRAGENS RIO DE JANEIRO – RJ, 25 A 28 DE OUTUBRO DE 2011

CÁLCULO 3D DE TENSÕES IN SITU EM MACIÇOS ROCHOSOS

Elysio Roberto Figueiredo RUGGERI

Engenheiro Civil – Furnas Centrais Elétricas SA

Flávio Mamede Pereira GOMES

Engenheiro Civil, M. Sc. – Furnas Centrais Elétricas SA RESUMO ABSTRACT


1. INTRODUÇÃO. 1.1 SOBRE O MACIÇO. Um maciço rochoso, no contexto deste artigo, é uma massa de rocha de grandes dimensões dotada de tensões iniciais em estado natural, sem forma exterior especial, cujo comportamento mecânico tridimensional pode ser descrito pela teoria da elasticidade clássica para corpos homogêneos, isotrópicos, lineares (dos pontos de vista físico e geométrico) e elásticos.

No maciço em pauta será executado um furo cuja seção, de plano , é uma circunferência de raio a e cujo centro O pertencerá a uma curva, o eixo do furo, suposta dada em relação a algum sistema de coordenadas fixado. 1.2 SISTEMAS DE COORDENADAS. 1.2.1 Sistema O-XYZ.

O plano horizontal h conduzido por O e o plano formam certo ângulo diedro. A

interseção desses planos define a direção do eixo OX, com vetor unitário I e de sentido escolhido arbitrariamente. O eixo OZ será a normal descendente do plano

horizontal e seu vetor de base é o unitário K . O eixo (horizontal) OY, com unitário J , deve ser escolhido de forma que o sistema O-XYZ seja direto (Figura 1).

Observando-se o plano YZ no senti contrário ao de I , os ângulos ' serão medidos tendo o eixo OZ como lado fixo de referência e ditos positivos quando o outro lado é rodado no sentido de Y para Z (logo, no sentido anti-horário).

1.2.2 Sistemas ligados ao furo: cilíndrico O-r e cartesiano: O-xyz

Liga-se ao furo um sistema cilíndrico de referência com eixo O tangente ao eixo da

curva em O com vetor unitário associado normal ao plano e origem em O,

contido no plano vertical OZY e, por construção, fazendo o ângulo ' com K (Figura 1), o que fixa o seu sentido.

No plano (Figura 2) os ângulos polares , de vértice O, terão por lado inicial a reta

suporte do unitário I e serão considerados positivos quando o lado variável girar no

sentido horário para quem observa no sentido de (ou anti-horário, se observados

no sentido contrário ao de ). O sistema polar em terá r e por vetores unitários

ortogonais de base, ambos com origem em O, o primeiro tendo a direção de um raio

inclinado de sobre I e apontando para o interior do maciço, o sentido do segundo sendo tal que o triedro }ˆ,ˆ,ˆ{ r seja positivo.

Ainda ligado ao furo define-se um sistema cartesiano de eixos OxOX (com unitário

Ii ˆˆ ), OzO (com ˆ k ) e Oy, de unitário j , tal que O-xyz seja direto (Figura 2). No

plano vertical OYZOy os eixos OY, Oy, OZ e Oz se posicionam conforme indicado na Figura 3.


1.2.3 Sistema principal de O Esse é um sistema triortogonal, O-x’y’z’, com vetores unitários l , m e n definidos pelas direções principais do tensor de tensões de O existente antes da execução do furo, ou seja, o tensor in situ do ponto O. Essas direções e as tensões principais correspondentes, pl, pm e pn são as incógnitas do problema que será posto na seção 2 e equacionado e resolvido na seção 3. 1.3 NOTAÇÕES.

No ponto genérico P de , o tensor de tensões é representado na forma de uma

matriz simétrica. Em coordenadas cilíndricas (r,,) e cartesianas O-xyz e O-x'y'z', essas matrizes são:

r

r

rrr

r ,

zyzxz

yzyxy

xzxyx

xyz

σσσ

σσσ

σσσ

][σ , e

n

m

l

lmn

p00

0p0

00p

][σ , (1.1).

Para a resolução algébrica de problemas será útil o uso da notação em forma de matriz coluna:

r

r

r

r }{

xy

zx

yz

z

y

x

xyz}{ , (1.2).

Para o tensor de tensões in situ será utilizada a mesma notação juntando-se aos

índices o símbolo (como: r, ,

yz, {

r} etc.)

Não obedecendo às notações clássicas, o vetor deslocamento u de P, conseqüente à execução do furo, terá u, v e w por componentes no sistema cilíndrico, ou melhor, nas direções de r , e , respectivamente.

O tensor das deformações é denotado por e suas componentes são denotadas tal

como as correspondentes ao tensor de tensões: r, , , ..., ou x, y, z, yz... e

deformações in situ r, ..., ou x,

yz, {

xyz} e {r} etc.

Figura 1 - Sistema de eixos O-XYZ

Figura 2 - Sistema cilíndrico ligado ao furo

Figura 3 – Eixos no plano OYZ


2. POSIÇÃO DO PROBLEMA 2.1 ESTABELECIMENTO DE UM PRINCÍPIO PRÁTICO Consideremos um ponto O de uma chapa metálica tensionada por forças agindo no seu plano médio. Em cada um dos pontos desse plano médio está estabelecido um tensor (plano) de tensões (todos iguais, nesse caso particular, se referidos a um mesmo sistema de referência). Pratiquemos nela dado furo, de raio a e centro O. Essa operação provoca uma alteração nos tensores dos pontos da chapa original. Entretanto, a Teoria da Elasticidade mostra, e medições confirmam, que, após a execução do furo, não ocorrem mudanças sensíveis nos valores dos tensores nos pontos da chapa situados a distâncias maiores que 5a de O. Essa circunferência imaginária no plano médio define uma "linha de influência" associada a O no tocante à modificação dos valores dos tensores. Os maciços rochosos estão pré-tensionados, em geral; e esse estado de tensões é tridimensional. Assim, a cada ponto de um maciço intato está associado um tensor in situ. Os tensores in situ são teoricamente funções de ponto e desconhecidos. Com alguma aproximação, em vista das grandes dimensões dos maciços, podemos imaginá-los praticamente idênticos nas imediações de um ponto (até cerca de 10m desse ponto, digamos). A determinação aproximada do tensor in situ em um ponto O de um maciço requer a abertura de um furo de grande diâmetro (em torno de 3m) cujo eixo contenha o ponto (pouco importando a sua inclinação). Nas proximidades da parede desse furo e no interior do maciço podem ser feitas medições de tensões normais (método das almofadas) com o conjunto das quais é possível determinar aproximadamente o tensor de tensor naquelas proximidades, desde que aceitos certos pressupostos [3]. Embora venhamos a considerar as mesmas operações para medições, como apresentadas em [3], parte de tais pressupostos serão aqui substituídos por outros. A execução do furo no maciço em estado triplo de tensão acarreta redistribuição das tensões nas proximidades do ponto O tal como ocorre na mencionada experiência com a chapa tensionada. O valor 5a no caso da chapa apenas sugere um valor de referência para fixar uma "superfície cilíndrica de influência" associada a O, de eixo paralelo ao eixo do furo, para além da qual a influência do furo não é sentida pelos tensores. Dizemos, para simplificar, que pontos próximos dessa superfície estão a uma distância infinita de O. Essa região pode mais simplesmente imaginada como um cubo qualquer, de aresta 10a, cujo centro é ocupado pelo ponto. A sugestão pode ser aceitável com alguma reserva, especialmente quando se vão executar furos muito próximos nos maciços rochosos. Guiados por esse resultado, vamos estabelecer uma aproximação que parece adequada do ponto de vista prático.

Aceita-se que em pontos nas proximidades da superfície de influência do ponto O (ou à "distância infinita" de O) os tensores de tensões são praticamente iguais ao tensor in situ relativo a O.


2.2 PRESSUPOSTOS PARA A SOLUÇÃO As equações da elasticidade linear para corpos isotrópicos, supostas aplicáveis ao problema aqui abordado, constituem um sistema compatível de 15 equações diferenciais parciais de primeira ordem e de segunda, com 15 funções incógnitas (6 tensões, 6 deformações e 3 deslocamentos), que devem satisfazer condições no contorno do corpo e condições de compatibilidade das deformações. Esse sistema, para o presente problema – um cilindro imaginário de rocha (ou o cubo que o envolve) submetido às tensões in situ do maciço - foi resolvido por HIRAMATSU e OKA [1] com base em alguns pressupostos. Algumas das notações expostas em [1] foram aqui conservadas, mas pormenores relativos a sistemas de coordenadas, interpretações e modo de abordagem são dos presentes autores.

Os pontos P(r,,) e P'(r,,+d) definem uma direção paralela ao eixo do

sistema O-r ligado ao plano seção (ver item 1.2.2). Nestas condições, tensões, deformações e deslocamentos sofrem acréscimos de P para P’ conforme os pressupostos seguintes (que não são condições de contorno, pois são verificados no ponto genérico interior ao maciço). Primeiro pressuposto: - em P, são nulas as razões dos acréscimos das componentes u e v do

deslocamento para o acréscimo de , isto é:

0vu

(2.1.a),

o que significa que u e v só podem depender de r e . Segundo pressuposto:

- em P, é nula a razão do acréscimo do tensor de tensões para o acréscimo

de , ou seja,

, (2.1.b),

o que também significa que só depende de r e . Terceiro pressuposto:

- em P, é constante a razão do acréscimo de deslocamento w (na direção O)

para o acréscimo de , ou seja,

Kw

, (2.1.c),

o que significa que w varia linearmente com além de variar com r e . Desses pressupostos se deduz que:

),r(uu , ),r(vv , K),r(ww e ),r( , (2.2).


3. EQUACIONAMENTO No ponto genérico P da seção do furo a equação de equilíbrio estático é o div ,

desde que se desprezem os efeitos de forças mássicas, o que é aceitável por serem desprezíveis as tensões relativas ao peso próprio frente aos valores das tensões in situ.

A conexão entre os tensores e é dada pela lei de Hooke: =2+(Tr)I, em que

e são as constantes de Lamé da rocha, Tr é o traço de (a dilatação cúbica) e I o tensor unidade. É necessária muita cautela para admitir a isotropia de um maciço rochoso e a proporcionalidade entre os tensores de tensão e deformação (linearidade física).

O tensor se expressa em função do vetor deslocamento u de P na forma

2/)( Tuu desde que as deformações sejam muito pequenas (o que traduz a

linearidade geométrica). Em resumo, as equações simultâneas determinantes do estado de tensão/deformação do maciço são:

)(2

1

)Tr(2

div

Tuu

o

, (3.1).

Há que se juntar às equações (3.1) as equações de compatibilidade das deformações, sintetizadas na forma:

Trotrot , (3.1-a), e as condições de contorno (para o cilindro de raio a), sintetizadas nas formas seguintes:

- para r=a, são: (r)r=a=(r)r=a=(r)r=a=0, (3.1-b), e

- para as direções (principais) l , m e n do ponto O: x’y’=y’z’=z’x’=0, (3.1-c). 3.1 EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO E DESLOCAMENTO W. Para equacionar o problema (de natureza cilíndrica) e expressar suas particularidades definidas pelas expressões (2.1-a), (2.1-b), (2.1-c), (3.1-b) e (3.1-c), é conveniente representar as leis em coordenadas cilíndricas (ver [2], Capítulo 2). Assim, já considerando os pressupostos, a equação o div equivale ao sistema:


(c) ,0rr

1

r

(b) ,0r

2r

1

r

(a) ,0rr

1

r

rr

rr

rrr

, (3.2);

a equação =2+(Tr)I equivale a um sistema único de equações, mas que, por conveniência, se apresenta aqui desdobrado nas formas:

(c) ,K2e

(b) ),r

uv

r

1(2e

(a) ,r

u2er

, (3.3) e

(c) ),u

r

1

r

v

r

v(

(b) ,r

w

(a) ,w

r

1

r

r , (3.4);

em que K é dada por (2.1-c),

Kv

r

1

r

u

r

ue Tr

, (3.5),

e de onde deduzimos, para uso futuro,

)r

uru()Ke(r

v

(3.5-a) e )

r

u

r

u()Ke(

v

r

1

, (3.5-b).

Por (3.3) e (3.4) podemos calcular as derivadas necessárias para posterior substituição de resultados em (3.2). Assim procedendo, operando e simplificando, encontram-se as equações:

(c) ,0w

r

1

r

w

r

1

r

w

(b) ,0)u

r

2v

r

1

r

v

r

v

r

1

r

v(

e

r

1)(

(a) ,0)v

r

2u

r

1

r

u

r

u

r

1

r

u(

r

e)(

2

2

22

2

22

2

222

2

22

2

222

2

, (3.6).

Note-se que a equação (c) em (3.6) pode ser integrada imediatamente. Entretanto, considerando (3.5), vê-se que as equações (a) e (b) em (3.6) apresentam as

derivadas de u e de v em relação a . A eliminação dessas derivadas poderá gerar equações em que apenas as letras u e v estejam submetidas às derivações parciais; a integração dessas equações será realizada no item 3.4. 3.2 UM MESMO TENSOR DE TENSÕES EM DIFERENTES SISTEMAS DE COORDENADAS Os três vetores de uma base ortonormada são ligados aos vetores de outra base ortonormada mediante uma matriz de rotação. Vamos considerar todas as relações matriciais entre os vetores de cada par de bases vetoriais dentre os quatro sistemas de coordenadas considerados no item 1.2. Tem-se:


- por serem l , m e n os unitários das direções principais:

k

j

i

n

m

l

ˆ

ˆ

ˆ

R.

ˆ

ˆ

ˆ

, com

zyx

zyx

zyx

nnn

mmm

lll

R , (3.7),

lx, ly e lz sendo os co-senos diretores de l , mx, ... os de m e nx, ... os de n ; - da Figura 2: jir ˆ sen cosˆ , ji ˆ cos senˆ e kˆ , donde:

k

j

ir

ˆ

ˆ

ˆ

.Pˆ

ˆ

, com

cossen

sencos

P , (3.8);

- Pondo '+=90°, tem-se (das Figuras 1 e 3): Ii ˆˆ , KJj ˆ cosˆ senˆ e

KJk ˆ senˆ cosˆ , donde:

K

J

I

.

k

j

i

ˆ

ˆ

ˆ

T

ˆ

ˆ

ˆ

, com

sencos

cossen0

01

T , (3.9).

Por substituição de (3.9) em (3.8) resulta:

K

J

Ir

ˆ

ˆ

ˆ

.Mˆ

ˆ

, donde

ˆ

M

ˆ

ˆ

ˆ

T

r

.

K

J

I

com .

sencos

coscossencossen

cossensensencos

TPM

. , (3.10),

Como o tensor pode ser escrito nas formas

etc. ][...ˆˆˆ[

ˆ

ˆ

ˆ

.

p00

0p0

00p

.ˆˆˆ

ˆ

ˆ

ˆ

..ˆˆˆ

3

2

1

r

r

rrr

kji

n

m

l

nml

r

r

, (3.11),

são deduzidas, por consideração das expressões (3.7), (3.8), (3.9) e (3.10):

Tlmn

TTxyz

TXYZr P.R]..[R.PP]..[PM]..[M][ , (3.12.a),

R]..[RP]..[PT]..[T][ lmnT

rTT

XYZxyz , (3.12.b),

T.R]..[R.TT]..[TM]..[M][ lmnTT

xyzT

rT

XYZ (3.12.c).

Tem-se, então, desenvolvendo o último membro de (3.12.b), lembrando (3.7):


n2

zm2

zl2

znzymzylzynzxmzxlzx

nzymzylzyn2

ym2

yl2

ynxxmyxlyx

nzxmzxlzxnxxmyxlyxn2

xm2

xl2

x

zyzxz

yzyxy

xzxyx

pnpmplpnnpmmpllpnnpmmpll

pnnpmmpllpnpmplpnnpmmpll

pnnpmmpllpnnpmmpllpnpmpl

, (3.13).

Desenvolvendo o terceiro membro de (3.12.a), lembrando a matriz em (3.8), tem-se a matriz (simétrica):

zyzxzyzxz

yzxzxy

2x

2y

xy

yx

yzxz

xy

yx

xy

2y

2x

r

cossen sen cos

cossen 2sen

sen cos

2cos

)( 2sen2

1

sen cos2cos

)( 2sen2

1

2sen

sen cos

][ , (3.14);

donde, pelas substituiçõ0es: sen2=(1-cos2)/2 e cos2

=(1+cos2)/2,

zyzzxyzzx

yzzxxy

yxyx

xyyx

yzzx60

yx

xy

yxyx

rθ

σcosθ τsenθτsenθ τcosθτ

cosθ τsenθτsen2θ τ

cos2θ)0,5(σ)0,5(σcos2θτsen2θ)0,5(σ

senθ τcosθτcos2θτ

sen2θ)0,5(σ

sen2θ τ

cos2θ)0,5(σ)0,5(σ

][σ , (3.15),

Pelo princípio estabelecido na seção 2.1, para pontos afastados de O e próximos do cilindro de influência, ou do cubo de aresta 10a centrado em O, o tensor de tensões é único, estando apenas, eventualmente, referido a diferentes sistemas de referência. De fato, nesse caso, tudo se passa como se o maciço estivesse intato e a distribuição das tensões fosse sensivelmente uniforme nas faces do cubo (tal como no caso da chapa). Isto significa que, para aqueles pontos, é válida a equação

(3.15), sendo lícito trocar-se nela, simultaneamente x, y, etc. e [r] por x,

y,

etc. e [r], respectivamente.

3.3 AS TENSÕES E r (em qualquer P)

A equação (c) em (3.6), equivalente a lapw=0 (ou 2w=0), pode ser resolvida imediatamente, a sua integral podendo ser posta na forma:

sen)r

DCr(cos)

r

BAr(w , (3.17),


em que A, B, C e D são constantes não nulas de integração. Logo, as equações (a) e (b) em (3.4) podem ser escritas, respectivamente, nas formas:

]cos)r

DC(sen)

r

BA([

22 (3.18),

e

]sen)r

DC(cos)

r

BA[(

22r , (3.19).

Impondo que (3.19) satisfaça as condições de contorno (3.1-b), obtém-se, na parede do furo:

sen)a

C/D1(Ccos)

a

A/B1(A0

22,

para qualquer , ou seja: 2aC

D

A

B . Para o cálculo de do tensor in situ podemos

usar (3.18) com r, sendo, então: )cosCAsen( . Lembrando que a mesma

componente pode ser extraída da matriz (3.15), deve ser, lembrando (3.16-a):

sen cos)AsencosC( zx yz . Então, por ser arbitrário: Cyz e Azx . Em

resumo:

zx A , 2zx aB

,

yz

C , e 2yzaD

, (3.20).

Substituindo-se em (3.18) e (3.19) os valores (3.20) encontrados para as constantes resultam, finalmente, em P:

)sen cos )(r

a1( zx yz 2

2

, (3.21),

)cossen )(r

a1( zx yz 2

2

r , (3.22),

e

)ens cos)(r

a1(

1

r

wyz zx 2

2

, (3.23).

3.4 OS DESLOCAMENTOS u E v, E A DILATÂNCIA e (em qualquer P) Com as equações (3.6-(a)), (3.6-(b)) e (3.5) é possível eliminar todas as derivadas

parciais de u e v em relação a r e a para obter-se uma equação em e apenas. Derivando (3.5) em relação a r e agrupando convenientemente, tem-se:

r

u

r

1

r

v

r

1v

r

1

r

u

r

u

r

e 2

22

2

2

, (3.24),


entrevendo-se parcelas comuns nos segundos membros de (3.24) e (3.6-a). Por substituição dessas parcelas de (3.24) em (3.6-a) resulta, após operações:

0)u

r

1v

r

1

r

v

r

1(

r

e)2(

2

2

22

2

, (3.25).

Analogamente, derivando-se (3.5) em relação a e depois dividindo-se ambos os membros por r, tem-se:

2

2

2

2

2

v

r

1

r

u

r

1u

r

1e

r

1

, (3.26),

entrevendo-se agora parcelas comuns nos segundos membros de (3.26) e de (3.6-(b)). Por substituição de (3.26) em (3.6b), obtém-se, após operações:

0)r

u

r

1u

r

1

r

v

r

v

r

1

r

v(

e

r

1)2(

2

222

2

, (3.27).

Derivando-se parcialmente (3.25) em relação a r e cancelando termos, obtém-se:

0)r

u

r

1u

r

2v

r

2

r

v(

rr

e)2(

2

3

2

2

222

3

2

2

, (3.28).

Derivando-se parcialmente a equação (3.27) em relação a e depois dividindo ambos os membros por r, obtém-se:

0)r

u

r

1u

r

1v

r

1

r

v

r

1

r

v(

r

e

r

1)2(

2

3

2

2

22

2

2

3

2

2

2

, (3.29).

Somando-se membro a membro as equações (3.28) e (3.29), cancelando termos e simplificando, vem:

0)u

r

1v

r

1

r

v

r

1(

r)

e

r

1

r

e)(2(

2

2

22

2

2

2

22

2

, (3.30),

donde, por consideração de (3.25) e observando-se que +20:

0e

r

1

r

e

r

1

r

e2

2

22

2

(3.31).

A equação (3.31) equivale a lap e=0 (ou 2e=0). Embora esta equação (3.31) seja do mesmo tipo que a equação (3.6-(c)), cuja solução geral é dada pela equação (3.19), sua integral geral pode ser escrita na forma mais conveniente:

)2Gsen2cosF(r

1Ue

2 , (3.32),

em que U, F e G são constantes de integração e da qual deduzimos, para uso futuro,


)2sen G2cosF(r

2)KU(

r

2)Ke(

r

23

, (3.32.a),

e

)2sen G2cosF(r

1r)KU(r)Ke( (3.32.b).

Agora pode ser calculada a derivada parcial de e em relação a r,

)2Gsen2cosF(r

2

r

e3

,

para substituição deste resultado na equação (a) em (3.6). Obtém-se:

0)]v

r

1(

r

2u

r

1

r

u

r

u

r

1

r

u[)2Gsen2cosF(

r

2)(

2

2

222

2

3

, (3.33),

donde, lembrando a equação (3.5-b) e simplificando:

)Ke(r

2u

r

1

r

u

r

u

r

3

r

u)2Gsen2cosF(

r

22

2

222

2

3

, (3.34).

A equação (3.34), gerada de (3.33) por eliminação da derivada de e em relação a r e

da derivada de v em relação a , só contém as derivadas de u em relação a r e a . Agora, considerando a equação (3.32-a), tem-se, por substituição em (3.34) e após simplificações:

2

2

222

2

3

u

r

1

r

u

r

u

r

3

r

u

r

)KU(2)2Gsen2cosF(

r

122

, (3.35).

A solução geral da equação (3.35) pode ser escrita na forma:

2sen)

r

G

2

2

r

NMr(2cos)

r

F

2

2

r

LJr(

r

Hr)KU(

2

1u

33, (3.36),

em que H, J, L, M, N e G são novas constantes de integração.

Por procedimento análogo, calculando-se a derivada parcial de e em relação a e substituição na equação (b) em (3.6) etc., é possível encontrar-se uma equação com derivadas parciais de v e integrá-la. Entretanto, como de (3.36) se deduza facilmente:

2sen)

r

G

2

2

r

N3Mr(2cos)

r

F

2

2

r

L3Jr(

r

Hr)KU(

2

1

r

ur

33,

tem-se, logo:

2sen)

r

NMr(22cos)

r

LJr(2r)KU(

r

uru

33, (3.37).


Substituindo-se (3.37) na equação (3.5-a), bem como a parcela r(e-K) pelo seu valor exposto em (3.32-b); obtém-se:

2sen)]

r

NMr(2

r

G[2cos)]

r

LJr(2

r

F[

v33

, (3.38),

cuja solução geral é

2cos)r2

G

r

NMr(2sen)

r2

F

r

LJr(v

33, (3.39).

Deve ser observado que a função arbitrária de r, (r), que deveria ser somada ao segundo membro de (3.39), é desnecessária uma vez que, devendo ela subsistir

para qualquer valor de , deveria ser, para =0 e =/2: )r()r2

G

r

NMr(v

3 e

)r()r2

G

r

NMr(v

3 . Então, para aqueles valores de , deve ser necessariamente

v=(r); o que é absurdo, pois r2

G

r

NMr

3 não é nulo em geral.

As equações (3.32), (3.36) e (3.39) dão os valores de e, u e v como funções de r, e constantes que podem ser determinadas em função das condições de contorno (3.1.b) e (3.1.c). 3.5 AS EQUAÇÕES FINAIS DE TENSÕES E DESLOCAMENTOS.

Com as equações (3.36) e (3.39) pode ser obtida uma expressão para a tensão r em P. Tem-se:

2sen)

r2

F

r

L3J(2cos)

r2

G

r

N3M(

r

v2424

,

2sen)r2

F

r

LJ(2cos)

r2

G

r

NM(

r

v

2424, (3.39.a),

e

2sen)

r

F2

r

L2J2(2cos)

r

G2

r

N2M2(

u

r

1

2424,

donde, conforme (3.4.(c)):

2sen)

r

F

r

L6J2(2cos)

r

G

r

N6M2(

12424r , (3.40).

Lembrando que o elemento da primeira linha e segunda coluna de (3.15) deve ser

equivalente a (3.40) para r, tem-se:

2sen 2cos)2sen J2cos M(2

1y xyr ,

donde


2M

xy e

2J

y , (3.41).

Tem-se de (3.40), para r=a, considerando a condição de contorno (3.1-b):

02sen)a

F

a

L6J2(2cos)

a

G

a

N6M2(

2424

,

donde, por ser arbitrário e levando-se em conta as constantes dadas por (3.41):

0a

G

a

N624

xy

e 0a

F

a

L624

y

, (3.42).

As igualdades (3.41) e (3.42) serão utilizadas oportunamente.

*

Com as equações (3.32) e (3.36) calcula-se r dada por (3.3.(a)). De (3.32), vem:

2senr

G2cos

r

FUe

22;

e de (3.36):

2sen)

r

G

2

2

r

N3M(22cos)

r

F

2

2

r

L3J(2

r

H2)KU(

r

u2

24242.

Por substituição desses resultados em (3.3.a) resulta, após simplificações:

2sen]r

G)(2)

r

N3M(2[2cos]

r

F)(2)

r

L3J(2[

r

H2KU)(

24242r , (3.43).

Lembrando que o elemento da primeira linha e primeira coluna de (3.15) deve ser

equivalente a (3.43) para r, vem:

2sen 2cos)2Msen2cosJ(2KU)( xyy xr , (3.44),

donde

KU)( x , (3.45).

Como para r é e=U e, conforme a terceira linha e terceira coluna de (3.15), é

=

z, a equação (3.3.(c)) é escrita na forma K2Uz . Então, extraindo desta

igualdade o valor de U, substituindo-o na equação (3.45) e multiplicando por

ambos os membros da expressão formada, tem-se: K)K2)(( z x .

Explicitando-se o valor de K, vem:

xz

)23()23(

)(K , (3.46).


Lembrando as fórmulas clássicas:

)23(E)( , )23(2E e 2)21( ,

K e U podem ser explícitas em função do módulo de elasticidade E e do coeficiente

de Poisson (além de 3 e 1):

)2(E

1K x x

, )2(E

21U xz

(3.47),

das quais se deduz, para uso futuro,

])1[(E

1)KU(

2

1z x , (3.47.a).

*

Tem-se de (3.43), para r=a, considerando (3.1-b) e (3.41):

2sen ]a

G)(2

a

N32[2cos ]

a

F)(2

a

L32[

a

H20

24 xy24y 2 x .

Por ser arbitrário, devem ser:

0a

H2

2 x , 0a

F)(2

a

L3224y

e 0

a

G)(2

a

N3224 xy

.

Da primeira igualdade resulta:

x

2

2

aH , (3.48).

Das duas outras igualdades e das igualdades (3.42) resultam os sistemas

0a

F

a

L6

0a

F)(2

a

L32

24

y

24y

e

0a

G

a

N6

0a

G)(2

a

N32

24

xy

24 xy

que resolvidos acarretam

y

4

2

aL ,

xy

4

2

aN ,

y

2a2F e

xy

2a2G , (3.49).

Substituindo as constantes M e J, dadas por (3.41), U dada por (3.47), H dada por (3.48) e L, N, F e G dadas por (3.49) nas equações (3.40) e (3.43) que definem as

tensões r e r, respectivamente, resultam:

)2sen 2cos)(r

a3

r

a41()

r

a1( xyy 4

4

2

2

x2

2

r , (3.50),

e


)2sen 2cos)(r

a3

r

a21( y xy4

4

2

2

r , (3.51).

Considerando as igualdades (3.47), (3.47.a) e (3.48), as expressões (3.32), (3.36) de e e u passam a ser:

)]2sen 2cos(r

a)1(42[

E

21e xyy 2

2

xz

(3.52),

)2sen2cos( ]r

a)1(4

r

a1[

E

1

E

1 ]

r

a)1()1[(

E

1

r

uz y 2

2

4

4

z x2

2

, (3.53).

Considerando as expressões de J e M dadas por (3.41) e as de L, N, F e G dadas por (3.49), obtém-se, por substituição em (3.39.a) e em (3.38), após simplificações:

)2sen 2cos( ]r

a)21(2

r

a1[

E

1

r

vy xy2

2

4

4

, (3.54),

e

)2cos 2sen ( ]r

a)21(2

r

a1[

E

)1(2v

r

1y xy2

2

4

4

, (3.54.a),

Finalmente comprova-se, não sem muito trabalho, por substituição de (3.52), (3.53) e (3.54.a) em (3.3.b) que

)2sen 2cos)(r

a31()

r

a1( xyy 4

4

x2

2

, (3.55);

e por substituição de (3.47) e (3.52) em (3.3.(c)):

)2sen 2cos(r

a4 xyy 2

2

z , (3.56).

*

Introduziremos agora a notação:

r

a , com <1, (3.57),

as potências de iguais ou superiores a 2 podendo ser consideradas desprezíveis frente a seu próprio valor para r>5a. Lembrando ainda as notações estabelecidas na seção 1.3, as expressões com tensões podem ser matricialmente resumidas nas formas:

}).{,,(M}{ xyzr

, (3.58),

em que a matriz 6x6 M(,,) é


2sen)341(000]2cos)341(

1[5,0

]2cos)341(

1[5,0

2cos)321(0002sen)321(5,02sen)321(5,0

0cos)1(sen)1(000

0sen)1( cos)1(000

2sen40012cos22cos2

2sen)31(000]2cos)31(

1[5,0

]2cos)31(

1[5,0

42

42

2

42

2

424242

22

22

222

4

4

2

4

2

, (3.59).

e {r} é a coluna {r} cuja primeira linha tornou-se sexta linha. Mais à frente justificaremos essa operação.

É trabalhoso comprovar-se que o determinante de (M(,,)) vale

det(M(,,))= )332)(31()1)(1(8

1 422422 ,

sendo, pois, independente de e diferente de zero se e apenas se 1. Pela equação (3.58) vemos que duas das condições para a determinação do tensor in situ estão em: 1 – haver possibilidade da determinação do tensor de tensões em

algum ponto do maciço (, e dados) ao qual corresponderá a coluna {r}; 2 –

inverter a matriz M(,,) relativa ao ponto em que foi medido o tensor {r}.

Pela condição 2 o problema só terá solução para 1, ou seja, para pontos não situados na parede do furo. O método clássico das almofadas satisfaz praticamente a condição 1. Veremos à frente quantos tensores devem ser medidos para que se encontre uma solução. 3.6 AS EQUAÇÕES DE DEFORMAÇÕES. As expressões das componentes de deformações podem ser rapidamente obtidas em função das componentes de tensões por aplicação da lei de Hooke:

[I] ][Tr E

][E

1][ rrr

, (3.60),

que pode também ser posta na forma clássica

}.{

100000

01

0000

001

000

000100010001

E

1}{ rr

, (3.61).


A expressão (3.58) poderá ser utilizada caso se queira expressar {r} em função do

tensor de tensões in situ {xyz}.

4. MEDIDAS EM CAMPO

4.2 A DETERMINAÇÃO DE {r}. Utilizando o método dos macacos planos de pequena área [3], é possível a

determinação de apenas parte do tensor de tensões [r] em qualquer "ponto" nas proximidades da parede do furo. Para uma galeria de a=1,5m de diâmetro e o uso

de uma serra circular de 60 cm de diâmetro tem-se =0,92 uma vez que o "ponto" pode ser considerado distante cerca de 13 cm da parede. De fato, conforme o método, tais cálculos são feitos a partir de uma lista de medidas de tensões normais segundo dois pares de direções ortogonais (a cada direção correspondendo um rasgo na rocha). Refiramos o unitário relativo ao rasgo q (para q =1,2,3,4) no painel da geratriz do ponto R pela notação qn . Em relação ao

referencial }ˆ,ˆ,ˆ{ r , em que kˆ , tal unitário, conforme Figura 4, é escrito na forma

kn ˆsenˆcosˆ qqq , (4.1),

o ângulo q de qn com devendo ser medido no sentido positivo (a partir de e no

sentido de para ). Tem-se sempre: 1+2=180=3+4 e 31.

Figura 4 – Disposição dos rasgos em um painel, dos unitários das normais

aos seus planos e os ângulos dessas normais com o unitário . A rigor o tensor de tensões desse ponto é um tensor pleno porque não é nulo o vetor tensão relativo ao unitário r ortogonal à face da galeria. Então o valor da tensão

normal medida, medq, sobre um elemento plano (almofada) ortogonal ao vetor unitário qn pode ser escrito na forma

q

q

r

r

rrr

qqmedq

sen

cos

0

..sen cos0 ,

ou, operando, na forma

2sen sen cos qq2

q2

medq .


Como se vê, esta expressão não envolve as componentes do tensor com índice r. Dispõe-se, então, para cada painel, de um conjunto de quatro equações envolvendo apenas três das seis incógnitas. Para q = 1, 2, 3, 4 as quatro equações acima podem ser escritas de uma só vez na forma matricial seguinte:

})].{(N[}{ medrmed , (4.2),

em que

4med

3med

2med

1med

med }{ ,

442

42

332

32

222

22

112

12

2sensencos

2sensencos

2sensencos

2sensencos

)](N[ e

}{ medr , (4.3).

De (4.2) deduz-se facilmente:

}.{)](N)].[(A[}{ medT , (4.4),

onde

1T )])(N.[)](N([)](A[ , (4.5).

Lembrando que os pares 1 e 2, bem como 3 e 4 são suplementares e que o

ensaio só faz sentido se 31, a inversão de NT.N será sempre possível porque, nesse caso, o posto de matriz é igual a 3. 4.3 OPERAÇÕES MATRICIAIS PARA O CÁLCULO DOS TENSORES: IN SITU E LOCAL.

Para algum 1, caso em que [M] é invertível, ponhamos (3.58) na forma

}{.),,(M}{ r1

xyz , (4.6),

com

inc r

med r

r

r

rr }{ , (4.7),

onde se destacam: a sub-coluna {rmed} dos valores medidos (com o método das almofadas), dada em (4.3), e a sub-coluna das tensões incógnitas

r

r

r

incr }{ , (4.8).


A matriz M-1(,,)1c6c deve, agora, ser decomposta em duas submatrizes 6x3, da esquerda para a direita, denotadas por M1 e M2, respectivamente, escrevendo-se, assim:

]]][M[[M]),,([M

6x36x36x6

216c1c1

, (4.9).

Vamos definir a coluna 9x1 de todas as incógnitas {inc} (tensões não medidas e tensões in situ) por

}{

}{

}{

6x1

xyz

3x1

incr

9x1

inc

, (4.10),

suas três primeiras linhas contendo as componentes desconhecidas do tensor de

tensões do ponto (r,), conforme (4.3), as demais linhas contendo as componentes do tensor in situ, conforme (1.2). Então, a equação (4.6), em vista de (4.6), (4.7) e (4.8), é escrita na forma equivalente:

6x9

6x19x16x66x33x16x3

xyz

incr

2med r1

{0}}{

}{ . ]]I[]M[[}]{σ[M

,

em que a matriz 6x6, [-I], é a matriz unidade 6x6 multiplicada por (-1). Transpondo a primeira parcela para o segundo membro resulta, então:

6x9

3x16x39x16x66x3

med1xyz

incr

2

}{σ ].[M}{

}{σ . I][][M

, (4.11).

Em (4.11) todas as matrizes são conhecidas, exceto a coluna das incógnitas que foi definida em (4.10). Havendo 6 equações e 9 incógnitas em (4.11), conclui-se que o sistema é indeterminado. Como a equação (4.11) pode ser aplicada para diferentes pontos do

maciço com os mesmos e (=a/r) e diferentes s, é prudente escrevê-la na forma

}].{M[}{ . ]]I[]M[[ )(med)(1)(inc r)(2 , (4.12).

Para o par de pontos (r,1) e (r,2) devem subsistir simultaneamente:

}].{M[}{ . ][-I]]M[[

}].{M[}{ . ][-I]]M[[

)(med)(1)(inc r)(2

)(med)(1)(inc r)(2

2222

1111

,

sistema esse que pode ser escrito como uma única expressão matricial:


}{

}{ .

]M[]0[

]0[]M[

}{

}{

}{

. ]I[]M[]0[

]I[]0[]M[

)med(

)med(

)(1

)(1

xyz

)inc(

)inc(

)(2

)(2

2

1

2

1

2

1

2

1 , (4.13),

representando, assim, um sistema de 12 equações com 12 incógnitas. Esse sistema, entretanto, é impossível porque sua matriz 12x12 das incógnitas é singular. De fato, o valor do determinante do sistema é igual a zero por serem iguais suas seis últimas colunas (relativas à matriz unidade). Relembrando que o tensor in situ em (4.6) deve ser o mesmo qualquer que seja a medição feita, então, para uma série de N medições feitas:

}).{,,(M...}).{,,(M

}).{,,(M}).{,,(M}{

N3

21

rN1

r31

r21

r11

xyz

, (4.14).

Como a cada par de geratrizes (no ensaio com almofadas) corresponde um conjunto de seis equações independentes, dispõe-se, em resumo, de um conjunto de 6(N-1) equações independentes e 3N incógnitas (3 em cada medição) para as N medições. Com duas medições apenas seria aparentemente possível calcular-se o tensor in situ uma vez que, para que 6(N-1)=3N basta que N=2; mas a matriz do sistema formado, conforme demonstrado, é singular. Ter-se à disposição um número N>2 de medições pode ser vantajoso do ponto de vista estatístico, pois, nesse caso, existirão mais equações que incógnitas. De fato, as equações excedentes são em número de 6(N-1)-3N=3(N-2), ou seja: 3 para N=3, 6 para N=4 etc. É evidente que se as medições são confiáveis é desejável N=3 para diminuir o custo dos ensaios. Para um conjunto de três medições escreveríamos as equações

}].{M[}{ . ][-I]]M[[

}].{M[}{ . ][-I]]M[[

}].{M[}{ . ][-I]]M[[

)(med)(1)(inc r)(2

)(med)(1)(inc r)(2

)(med)(1)(inc r)(2

3333

2222

1111

ou, como um único sistema matricial, na forma:

}{

}{

}{

]M[]0[]0[

]0[]M[[0]

]0[]0[]M[

}{

}{

}{

}{

]I[]M[]0[]0[

]I[]0[]M[]0[

]I[]0[]0[]M[

)med(

)med(

)med(

)(136

36

36)(1

36

36

36)(1

xyz

)inc(

)inc(

)inc(

)(236

36

36)(2

36

36

36)(2

3

2

1

3

2

1

3

2

1

3

2

1

, (4.15),

a matriz retangular do primeiro membro sendo de ordem 18x15.


Exemplos. Serão utilizados para cálculos numéricos os tensores registrados no artigo [3] relativos ao maciço da UHE de Serra da Mesa, que se transcreve a seguir, as

componentes do tensor estando apresentadas na seqüência r,, , , , r e r:

Geratriz Inclinação (em ) Tensor referido ao sistema }ˆ ˆ ˆ{ kr . Valores em 10 MPa (ou kgf/cm2).

1 2230' 1r1r1r 47,2542,2634,38

2 11230' 2r2r2r 27,2895,6011,334

3 135 3r3r3r 96,282,7893,215

4 180 4r4r4r 73,166,5158,3

5 210 5r5r5r 58,404,4633,0

6 236 6r6r6r 08,1980,6736,97

7 301 7r7r7r 65,4161,15224,476

8 33430' 8r8r8r 86,2027,7084,188

No que seguirá, valerão: =0,92 e =0,15.

- Para 1=2230' tem-se para M-1(,,1), conforme (4.3):

0.00678749 0.160387 0. 0. 0. 0.167175

0.190203 1.1902 0. 0. 0. 2.22681

0.179549 0.179549 1. 0. 0. 0.359097

0. 0. 0. 1.70585 0.706587 0.

0. 0. 0. 0.0587802 0.141908 0.

0.192199 0.192199 0. 0. 0. 0.384398.

cujo determinante vale .......

- Para 2=11230' tem-se para M-1(,,2),

0.160387 0.00678749 0. 0. 0. 0.167175

2.0366 1.0366 0. 0. 0. 2.22681

0.179549 0.179549 1. 0. 0. 0.359097

0. 0. 0. 0.706587 1.70585 0.

0. 0. 0. 0.141908 0.0587802 0.

0.192199 0.192199 0. 0. 0. 0.384398


resultando as equações:

8027,26

27889,5

7444,12

17047,7

5403,31

1456,85

.

053109,055129,4

01484,600

49143,200

0552755,026871,3

0395049,08662,11

074571,39688,20

r

r

1r

=

975,106

1454,14

85922,5

8788,15

834,339

884,125

.

00845,2975,106

49143,200

01484,600

0253162,049707,1

0180933,01324,13

071554,196337,8

2r

2r

2r

.

Tais equações podem ser escritas na forma compacta S . {s} = {A}, (4.11), em que S é a matriz 6x6 (cujo determinante é igual a –0,591039),

00845,2975,106053109,055129,4

49143,20001484,600

01484,60049143,200

0253162,049707,10552755,026871,3

0180933,01324,130395049,08662,11

071554,196337,8074571,39688,20

S , (4.12),

{s} é a coluna de seis linhas que, transposta, é escrita na forma

2r2r2r1r1r1r

T}s{ ,

e {A} a coluna de 6 linhas cuja transposta é: 7777,13342429,1988518,604927,232937,3087384,40 .

Encontram-se os seguintes valores (em kgf/cm2):

r1=-536.995,0 r1=11.731.900,0 r1=-2,35175 e

r2=-536.995,0 r2=29.373.500,0 r2=-2,11883

1.12602 107, 6.37212 10

6, 1.75527 10

6, 2.92292 10

7, 7.05655 10

7, 2.44405 10

6

4.81341 106, 7.05235 10

6, 803938. , 1.76677 10

8, 7.3182 10

7, 1.11948 10

6


11 CONCLUSÕES 12 PALAVRAS-CHAVE Tensões in situ, maciços rochosos, medição de tensões 13 AGRADECIMENTOS Gratidão a Furnas Centrais Elétricas SA. 14 REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICAS [1] HIRAMATSU, Y. and OKA, Y. (1962) – "Stress around a shaft ou level in ground with a three-dimensional stress state", Mem. Fac. Engr. Kyoto, V., XXIV, Part 1, Jan. 1962, pp. 56-76. [2].....HUGHES, W. F. and GAYLORD, E. W. (1964) – "Basic Equations of Engineering Science", Schaum Publishing Company, New York. [3] RUGGERI, E. R. F. e PORFÌRIO, N. T. = " [4] RUGGERI, E. R. F. (2005) – "Tensões in situ, em estado triplo" (Uma aplicação ao maciço rochoso da UHE de Serra da Mesa), Comitê Brasileiro de Barragens. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens, Goiânia – GO, 11 a 15 de abril de 2005.


1.1.A SOBRE OS MACIÇOS ROCHOSOS. Um maciço rochoso é uma massa de rocha de grandes dimensões ligada à terra, dotada de tensões iniciais em estado natural e sem forma exterior especial. Um maciço é uma pequena parte do planeta do qual se originou. O tamanho a considerar de um maciço é relativo a algum problema que o envolva, sendo, em geral, infinito em relação à dimensão linear característica do problema. Quando se pretende, por exemplo, abrir um túnel com certa pretensão de eixo e com seção circular de raio a, toda a parte do maciço, em cada seção, à distância maior que 6a digamos, poderá ser dita infinitamente distante do túnel. A essa distância os pontos do maciço estarão nas mesmas posições iniciais. Da mesma forma, ao construir-se uma barragem sobre um maciço rochoso, toda a parte deste distante em profundidade cerca de uma vez a altura da barragem pode ser considerada infinitamente afastada da mesma, pois daí em diante, na vertical, os pontos estarão nas mesmas posições iniciais. Em geral, a fronteira de um maciço terá uma parte livre, exposta ao ar, e uma parte rígida que não sofre quaisquer deslocamentos quaisquer que sejam as ações sobre ele. Pela parte exposta o maciço poderá receber a ação de esforços: como o peso de uma barragem e o da água de um reservatório, a pressão de fluidos no interior de um furo nele executado, a passagem de um trem de carga por um túnel etc. Pela parte não exposta, um dos esforços ativos está ligado à construção de furos. O estado de tensões iniciais de um maciço (intato) variará certamente de uma região para outra do mesmo. Dependendo da formação geológica do maciço e das dimensões consideradas para estudo, as tensões iniciais poderão variar entre a constância, a ligeira variância a extrema variância, a ponto de não se conseguir enquadrá-lo em nenhum tipo de material de comportamento aproximado conhecido. Procurar entender o comportamento mecânico de um maciço rochoso é como procurar as propriedades de um número inteiro dado ao acaso: deste não será possível saber mais que sua paridade, daquele ... praticamente nada. Na maioria dos casos, entretanto, pretende-se ver o maciço como um elemento estrutural, isto é, como um corpo cujo comportamento mecânico deva ser previsto em relação à função que lhe caberá desempenhar. Mas esse enfoque deve ser entendido de forma bem ampla, pois na operação de escavação se descalça (material é retirado), enquanto na operação de construção, contrariamente, se calça (material é posto). Em ambas as operações o corpo (escavado ou construído) estará submetido à ação de esforços e deverá resisti-los sempre da forma mais econômica possível. 1.1.B OUTROS MACIÇOS. Do ponto de vista conceitual, entretanto, outros corpos materiais podem ser considerados maciços, estejam eles submetidos a tensões iniciais ou não, podendo ser naturais ou artificiais. Nesses casos podem ser enquadrados os blocos estruturais, sejam eles de concreto, de metais, ou outros materiais, como uma porção de osso.


Assim, quando possível, o comportamento mecânico tridimensional de um maciço poderá ser descrito pela teoria da elasticidade clássica para corpos homogêneos, isotrópicos, lineares (dos pontos de vista físico e geométrico) e elásticos. Nesse caso o presente trabalho poderá ser útil. 1.1.C TRABALHABILIDADE COM OS MACIÇOS. As tensões iniciais em um maciço são, em geral, desconhecidas; e qualquer operação utilizada para detectá-las, ou acarreta modificação das mesmas, ou falseia os valores medidos. Algumas situações importantes podem ser citadas. No caso dos maciços rochosos, ou se abrem furos circulares de pequeno diâmetro (até 5 cm) para investigação, ou se abrem galerias, em geral com seções também circulares de não menos que 3 m de diâmetro, para recepção de pessoas, equipamentos, instrumentos etc., com a mesma finalidade. Em qualquer um dos casos a perturbação é evidente, mas algumas medições poderão orientar trabalhos a serem realizados no futuro. No caso de galerias antigas o objetivo poderá ser a avaliação do estado de tensões reinante, desconhecendo-se eventualmente as características mecânicas do material onde fora executada a galeria (nas minerações, em escavações arqueológicas etc.). Uma situação que apresenta interesse para efeito de aprendizado pode ser gerada em laboratório; nesta, o corpo é um cubo, feito com algum material de características mecânicas conhecidas, dotado de um furo cilíndrico com eixo em posição conhecida, sobre as faces do qual se vão aplicar cargas conhecidas. Havendo possibilidade de se medirem grandezas físicas (em geral, deformações) será possível testar modelos explicativos de comportamento e procurar condições adequadas para se apreenderem resultados úteis em outras situações. No caso dos ossos esta-se diante de situação um pouco diferente, pois suas propriedades mecânicas mudam com a idade e não são materiais isotrópicos. A ortotropia dos ossos ainda é fator complicador para estudo de seu comportamento mecânico. Por outro lado, embora apresentem pequenas dimensões, se apresentam na forma natural aproximada de um tubo cilíndrico oco, que pode ser investigado pela instalação de instrumentos (em geral, extensômetros) nas suas superfícies interna e externa. Na impossibilidade do uso de osso propriamente, pode ser utilizado algum corpo em forma de anel cilíndrico com parede espessa e material conhecido (argamassa, por exemplo). Finalmente, apesar de todas as complicações em termos das formas dos corpos e de suas características mecânicas, deve ser lembrado que muitos desses problemas podem ser contornados com a utilização da mecânica computacional, ou seja, de modelagem mecânica processada com computadores, não sem o competente respaldo das medições em laboratório ou "em campo". Vislumbradas

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