Introdução

Tales de Mileto foi um filósofo e matemático grego, ele dedicou sua vida ao

comércio e aos estudos.

Em uma de suas viagens como comerciantes, Tales despertou a admiração de

um faraó no Egito, ao calcular a altura de uma pirâmide, sem a necessidade de

escalá-la.

Você deve estar se perguntando: Como isso foi possível?

Tales fincou uma estaca verticalmente no chão. Em seguida, verificou-se que a

certa hora do dia, a altura da estaca e o comprimento da sombra projetada por

ela eram iguais.

Na Figura 1 se pode analisar a observação feita por Tales:

Figura 1

Nesta Figura, podemos observar que a altura da estaca é igual à medida de

sua sombra, logo, a medida de do ponto F ao ponto SombraP é igual a altura

da pirâmide.

Feixe de retas Paralelas Cortadas por retas Transversais

Um exemplo de situação onde podemos aplicar o Teorema de Tales é em um

feixe de retas paralelas cortadas por transversais. Como mostrado na Figura 2:

Teorema de Tales

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Figura 2

Na Figura 2, têm-se três retas horizontais, paralelas, e duas retas transversais,

que são as retas a e b.

Traçando um seguimento do ponto A ao ponto F, teremos dois triângulos,

Como se pode observar na Figura 3:

Figura 3

O ∆ABG e o ∆ACF são semelhantes pelo critério ângulo-ângulo, pois: o ângulo

em A é comum e o ângulo X é igual ao ângulo Y.

Assim, podemos estabelecer a primeira relação:

A partir dessa relação, podemos subtrair uma unidade de cada membro,

obtendo:

4

Realizando operações matemáticas, tem-se a primeira relação:

Para obtermos a segunda relação, iremos analisar os triângulos ∆ADF e ∆GEF.

Esses triângulos também são semelhantes pelo caso AA(ângulo/ângulo). Logo,

podemos estabelecer que:

Subtraindo 1 de ambos os membros, tem-se:

Por fim, obtém-se a nossa segunda relação:

Finalmente, comparando as relações 1 e 2, tem-se:

Conforme pode ser observado na Figura 4.

Figura 4

Observe que as duas relações (1 e 2) tem o termo

em comum, logo:

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Essa relação constitui o seguinte teorema:

Quando um feixe de retas paralelas é cortado por duas retas transversais, os

seguimentos determinados em uma das retas transversais são proporcionais

aos seguimentos determinados em outra.

Esse Teorema é mais conhecido como:

Referências

BONJORNO, J. R.; BONJORNO, R. A.; OLIVARES, Ayrton. Matemática: Fazendo a

diferença. São Paulo: FTD, 2006.

TEOREMA DE TALES

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