Universidade Federal de Santa Catarina Centro de Ciências Físicas e Matemáticas

Departamento de Matemática

TEOREMA DE GREEN, GAUSS E STOKES

Junho 2012

Prof. Félix Pedro Quispe Gómez Doutor em Matemática - Universidade Federal do Rio de Janeiro, UFRJ, Brasil.

Aline G. C. de Vasconcelos Graduanda de Engenharia Sanitária e Ambiental - UFSC Matrícula: 08240003

1

Índice

1. Teorema de Green ..................................................................................................... 2

1.1. Aplicação: Área de uma região plana ................................................................ 4

1.2. Exercícios ........................................................................................................... 5

1.3. Teorema de Green - Uma extensão para Stokes e Gauss ................................ 10

2. Teorema da Divergência – Teorema de Gauss. ....................................................... 11

2.1. Interpretação física da Divergência ................................................................. 12

2.1. Exercícios ......................................................................................................... 14

3. Teorema de Stokes. ................................................................................................. 18

3.1. Exercícios ......................................................................................................... 20

4. Referências Bibliográficas: ..................................................................................... 25

2

1. Teorema de Green

O teorema de Green relaciona uma integral de linha ao longo de uma curva fechada C

no plano xy com uma integral dupla sobre a região limitada por C. Este teorema será

generalizado para curvas e superfícies no ℝ3.

Definição: Seja D região plana limitada, que é reunião

finita de regiões simples, cada uma com fornteira

constituída de uma curva suave por partes. Se A(x,y) e

B(c,y) são de classe C1 num aberto contendo D e sua

fonteira γ então:

∫ ( ) ( ) ∬ [

( )

( )]

( )

onde γ é percorrida deixando D sempre à esquerda (dizemos γ -orientada

positivamente).

De maneira abreviada:

∫ ∬(

) ( )

Prova:

1º Caso:

Suonhamos D-região sim ples (com o aspecto abaixo, por exemplo)

3

∬

( ) ∫ ∫

( )

( )

( )

∫ [ ( ( ) ( ) ( ( ) )]

∫ ( ( ) ( ) ∫ ( ( ) )

∫ ( )

A última igualdade ocorre, uma vez que a parte paralela ao eixo x em nada contribui

com a integral.

Analogamente,

∫ ( ) ∬

( )

A soma destas igualdades fornece a prova deste primeiro caso.

2º Caso:

Suponhamos D = D1 U ... UDn reunião finita de regiões simples, cada uma com uma

fronteira constituída de uma curva suave por partes γi, i = 1,...,n.

Temos já provado:

∫ ∬ (

)

A soma das integrais sobre Di é uma integral sobre D. Logo,

∬ (

)

∑ ∫ ( )

A fronteira de D é constituida por partes das curvas γi.

Podem existir partes das curvas γi que não fazem parte de γ, como mostra a figura.

4

Estas partes serão percorridas duas vezes, uma em cada sentido, em nada contribuindo

com o membro direito de (3).

Logo,

∬ (

)

∫

1.1. Aplicação: Área de uma região plana

Tomando-se A= 0 e B(x,y)= x, temos Área de D = ∬ ∫

Tomando-se A(x,y) = -y e B = 0, temos Área de D = ∬ ∫

Ainda, somando-se as duas igualdades anteriores temos Área de D =

∫

Exemplos:

1. Use o Teorema de Green para calcular :

∮( ( )

onde gama é o quadrado de vértices (0,0), (a,0), (0,a) e (a,a).

Resolução:

∮( ( )

∬[( ) ( )]

= ∬

= ∫

∫

2. Usando o Teorema de Green calcule ∮

, ao

longo da circunferência ( ) = 1, no sentido

(1.4)

5

horário, sendo ( √ )

Resolução: A figura mostra a curva C . Como C está

orientada no sentido horário, não podemos usar o teorema

de Green diretamente. No entanto, podemos aplicar esse

teorema para calcular a integral sobre a curva –C e depois

usar a propriedade ∫ ∫

.

Temos:

∫ ∬( ) ∬( )

Passando para coordenadas polares, vem

∫ ∫ [∫ ( )

]

∫ (

)

|

∫ (

)

.

1.2. Exercícios:

1. Sejam P(x,y) e Q(x,y), funções reais de classe C1 em U=IR

2 – {A,B}, tais que

em U. Sendo C1,C2, e C3 as curvas, cacule ∮

, supondo

que ∮ ∮

.

Resolução:

6

∬(

)

∬(

)

∬(

)

∬(

)

∮

∮

∮

∮

∬(

)

∮

∮

∮

∮

∮

∮

∮

( )

2. Considere o campo vetorial:

( ) (

( )

( )

( )

( )

( ) )

Calcule o trabalho de f ao longo da elipse definida pela equação

percorrida

no sentido anti-horário.

Resolução:

O campo f pode ser escrito na forma: , em que:

( ) (

( )

( ) )

( ) ( ( )

( )

( ) )

( ) ( )

O campo h é fechado, é singular no ponto (-1,0) e não é um gradiente. Seja C

circunferência de raio 1 centrada em (-1,0), verifica-se que trabalho de h ao longo de C,

no sentido anti-horário é igual a 2π, ou seja, o campo h não é conservativo.

7

O campo g é radial com centro no ponto (1,0), pelo que g é um gradiente em ℝ2 \

{(1,0)}.

Seja E a elipse descrita pela equação

e percorrida no sentido anti-horário.

Pelo Teorema de Green :

∫

∫

Por outro lado, como g é gradiente ℝ2 \ {(1,0)}, temos ∫

O Campo ( ) é de classe C1 na gerião A limitada pela elipse E. Pelo Teorema de

Green temos:

∫ ∫ (

)

Portanto:

∫

∫

∫

∫

3. Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada

com orientação positiva.

a) ∫ ( ) ( ) ( )

b) ∫ ( )

e .

Resolução:

a) A região D é dada por: {( )| }, então

∫

∬[ ( )

( )

]

∫ ∫( )

∫[ ] ∫( )

8

b)

∫ ( )

∬[ ( )

( )

]

∬( )

∬ ( )

∫ ∫( )( ) ∫ ( ) ∫( )

[ ] [

]

4. a) Se C é o segmento de reta ligando o ponto ( ) ao ponto ( ), mostre

que

∫

b) Se os vérticers de um polígono, na ordem anti-horária, são ( ), ( ), . .

., ( ), mostre que a área do polígono é

[( ) (

) ( )]

c) Determine a área do pentágono com vértices (0,0), (2,1), (1,3), (0,2) e (-1,1).

Resolução

a) Parametrizando temos : ( ) ( )

( ) ( )

∫ ∫[( ) ]

( )

[( ) ]( )

∫

( ) ( ) [( )( ) ( )( )]

∫(

)

b) Aplicando o Teorema de Green à trajetória , onde é

o segmento de linha que une ( ) a ( ), para , e

é o segmento de linha que une ( ) a ( ).

9

Pela equação (4)

∫

∬

, onde D é o polígono limitado por

Assim, a área do poligono é:

∬

∫

(∫

∫

∫

∫

)

Para avaliar essas integrais pode-se usar a formula em a) para chegar em:

( ) [( ) ( ) ( ) (

].

c) ( )

[( ) ( ) ( ) ( ( ) )

( )]

( )

( )

5. Uma lâmina plana com densidade constante ρ(x,y) = ρ ocupa uma região do plano

xy limitada por um caminho fechado simples C. Mostre que seus momentos de

inércia em relação aos eixos são :

∮

∮

Resolução:

Pelo Teorema de Green,

∮

∬( ) ∬

∮

∬( ) ∬

6. Se uma circunferência C de raio l rola ao longo do interior da circunferência

um ponto fixo P de C descreve uma curva chamada epiciclóide,

com equações paramétricas Faça o

gráfico da epiciclóide e use (4) para calcular a área da região que ela envolve.

10

Resolução:

∮ ∫ (

) ( )

∫ (

)

[ (

) (

)

(

)]

1.3. Teorema de Green - Uma extensão para Stokes e Gauss

Suponhamos A, B, Γ, D nas condições do teorema de Green. Então:

∫ ∬ (

)

Colocando

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

A equação acima fica:

∮

∬

( )

Lembrando que

∮

∮

E notando que

(1.6)

obtemos:

∮

∬ ( )

Prova de (1.6):

Seja ( ) e ( ) (rotação de 90º de no sentido anti-horário).

11

Temos: ( ) e ( )

Assim:

O teorema de Green, na formulação anterior admite uma extensão.

2. Teorema da Divergência – Teorema de Gauss.

O teorema da divergência expressa uma relação entre uma integral tripla sobre um

sólido e uma integral de superfície sobre a fronteira desse sólido.

Definição: Seja Ω um sólido limitado por uma superfície fechada S, formada por um

número finito de superfícies suaves e seja normal externa unitária. Se as componentes

de ( ) tem derivadas parciais contínuas num aberto contendo Ω, então

∬

∭ ( )

Para continuar é bom relembrar o Teorema do Valor Médio do Cálculo Integral:

Seja [ ] ℝ contínua. Então, existe ( ) tal que

∫ ( ) ( ) ( )

Resultado análogo continua válido para integrais triplas. Mais especificamente:

ℝ contínua na esfera E. Então existe P0 no interior de E tal que:

∭ ( ) ( ( )

( )

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2.1. Interpretação física da Divergência

P – ponto arbitrário

Bε – bola fechada de centro P, raio ε 0, imersa em um fluído.

Sε – superfície de Bε

( ) – velocidade do fluído no ponto (x,y,z), com derivadas parciais contínuas.

Pelo teorema da Divergência, temos:

∬

∭

( )

Logo, ∭

= fluxo para fora de Sε.

Aplicando o Teorema do Valor Médio para o segundo membro de (2.2), temos:

∬

( ) ( )

onde Pε Bε, ou seja:

∬

( )

Fazendo ε 0 temos Pε P e assim:

∬

( ) = intensidade de fluxo em P.

Assim: é o valor limite do fluxo por unidade de volume sobre uma esfera de

centro em P, quando o raio da esfera tende a zero.

Se conhecermos e tomamos uma pequena esfera de centro P, temos

13

Logo: se então o fluído “se afasta” de P, isto é, P é uma fonte. Se

então o fluído “se aproxima” de P, isto é, P é um poço ou sumidouro.

Se diz-se que o fluído é incompressível.

é chamada equação de continuidade dos fluídos incompressíveis.

Exemplos:

1. Calcular ∬ [( ) ]

, onde S é a superfície

exterior do cubo limitado pelos planos coordenados e pelos planos x = 1, y = 1

e z = 1.

Resolução:

Como S é formada por seis partes suaves, para

obtermos I usando a definição devemos calcular seis

integrais de superfície. Pelo teorema da divergência,

podemos transformá-la em uma única integral tripla.

Seja o vetor normal unitário exterior a S.

Como ( ) é uma função vetorial contínua que possui

derivadas parciais contínuas em ℝ3, temos:

∬[( ) ]

∭[ ]

∫ ∫ ∫ ( )

2. Sejam Ω – sólido limitado por

( ) . Use o teorema da divergência para calcular o fluxo

∬

Resolução:

∬

∭ ( )

14

A região D {( z) ℝ 𝑥 𝑦 𝑧 𝑧

2.1. Exercícios:

1. Considere a superfície {( ) ℝ }

e o campo vetorial ( ) ( ). Calcule o fluxo F através de S no

sentido da normal à sua escolha:

a) Pela definição de fluxo.

b) Usando o Teorema da Divergência.

Resolução:

S é um hiperbolóide que em coordenadas cilindricas (ρ,θ,

z) é descrito por √ , e

encontra-se representado pela figura:

Para o cálculo do fluxo basta considerar a

parametrização

( ) (√ √ )

Nota-se que a imagem de g é S/L, sendo L a linha sobre S em que y=0; x >0.

Assim:

( √ √ )

(

√

√ )

(√ √ )

∫ ∫ ∫ ( ( ))

∫ ∫ (√ √ ) (√ √ )

∫ ∫(√ √ ) (√ √ )

15

∫ ∫[( ) ] ( )

2. a) Os pontos P1 e P2 são fontes ou

sorvedouros para o campo vetorial F

mostrado na figura? Dê uma

explicação baseada exclusivamente na

figura.

b) Dado F(x,y) = (x,y2), use a

definição da divergência para verificar

sua resposta da parte a).

Resolução:

a) Os vetores que terminam próximos à P1 são menores que os vetores que iniciam

próximos à P1, então o fluxo da rede é para fora, e P1 é uma fonte. Os vetores

que terminam próximos à P2 são maiores que os vetores que iniciam próximos à

P2, sendo assim, o fluxo da rede é para dentro e P2 é um sorvedouro.

b) ( ) ⟨ ⟩ ⇒ O valor de y em P1 é positivo,

então é positivo, assim, P1 é uma fonte. Em P2, y < -1, então

é negativo, e P2 é um sorvedouro.

3. Use o Teorema da Divergência para calcular a integral de superfície ∬

, ou

seja, calcule o fluxo F através de S.

a) ( ) , S é a superfície da caixa

delimitada pelos planos x = 0, x = 1, y = 0, y = 1, z = 0 e z = 2.

b) ( ) , S é a superfície do sólido limitado

pelo cilindro e os planos z = x + 2 e z = 0

c) ( ) ( ) ( ) S é a superfície do

sólido limitado pelos hemisférios √ √ e

pelo plano z = 0.

d) Use um sistema algébrico computacional para plotar o campo vetorial

( ) no cubo

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obtido cortando o primeiro octante pelos planos

Em

seguida calcule o fluxo através da superfície do cubo.

Resolução:

a)

( )

( )

z( )

Assim, pelo teorema da divergência

∬ ∭

∫∫∫

∫ ∫ ∫ [ ] [

]

[

]

b)

∬ ∭ ( ) ∫ ∫ ∫ ( )

∫ ∫(

) ∫ (

)

c)

∬ ∭ ( ) ∫ ∫ ∫ (

⁄

)

∫ [

] [

(

) ]

⁄

⁄

17

d)

Pelo teorema de Gauss, o fluxo de F, pela superfície do cubo é:

∬ ∫ ∫ ∫ [

⁄

⁄

⁄

]

4. Use o Teorema da Divergência para calcular

∫∫( )

Onde S é a esfera

Resolução

∫∫

∫∫( )

Então Fn=2x+2y+z2.

Para S,

√

Assim F=2i + 2j + zk e div F = 1.

Se B = {(x,y,z) | x2

y2

z2 1}, então

∫∫( )

∫ ∫∫ ( )

( )

5. – 7. Prove cada identidade admitindo que S e E satisfaçam as confições do

Teorema da Divergência e que as funções escalares e compontentes do campo vetorial

tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas.

18

5. ∫∫

Resolução

∫∫

∫ ∫∫

6. V(E) =

∫∫

onde F(x,y,z) = xi + yj + zk

Resolução

∫∫

∫ ∫∫

∫ ∫∫

( )

7. ∫∫

∫∫ ∫

Resolução

∫∫

∫∫( )

∫ ∫∫ ( )

∫ ∫∫

3. Teorema de Stokes.

O teorema de Stokes é uma generalização do teorema de Green para o espaço

tridimensional e pode ser utilizado para transformar determinadas integrais curvilíneas

em integrais de superfíce, ou vice-versa.

Definição: Seja S: z = f(x,y) superfície suave que se projeta numa região Ω do plano xy,

nas condições do Teorema de Green.

– normal unitária superior

Γ – curva que delimita Ω orientada no sentido positivo.

Seja γ a imagem de Γ por f, orientada no mesmo sentido de Γ.

Se as componentes de tem derivadas parciais contínuas num espaço aberto contendo

S, então:

∫

∬( )

( )

19

Exemplos:

1. Usando o teorema de Stokes, calcular ∫ ( )

, onde C é

o contorno da parte do plano x + y + z = a, a que está no 1º octante, no

sentido anti-horário.

Resolução:

A figura mostra o caminho C de integração.

Como C é formado por três partes suaves, para

obtermos a integral, devemos calcular três

integrais curvilíneas. Pelo teorema de Stokes,

podemos transformá-la em uma única integral

de superfície.

Vamos escolher uma superfície S que seja

delimitada pela curva C e orientar S de forma a ser possível a aplicação do teorema.

Como a curva dada é plana, escolhemos para S o próprio plano que contém a curva.

∬[ ]

∬{ [( ) ( )( )] ( )( ) }

∬

, onde R é a projeção de S sobre o plano xy.

Logo,

.

2. Seja S a parte do gráfico de com normal exterior.

Determinar

∬ ( )

Resolução: A figura mostra a superfície S e a curva C que

delimita S. Como a normal considerada é a normal exterior,

podemos observar que a curva C deve ser orientada no sentido

anti-horário.

Usando a representação vetorial de C dada por ( )

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( ) , aplicando o teorema, obtemos:

∫

∬( )

∫ ( )

( )

∫ ∫ (

)

3.1. Exercícios:

1. Seja um balão de ar quente, com um formato esférico de raio r = 5, conforme a

figura abaixo. O ar quente escapa através dos poros da superfície deste balão com

um campo de velocidade vetorial (x,y,z) = × Φ (x,y,z), quando Φ(x,y,z) = -y

+ x . Se o raio da circunferência do bordo é r =

, calcule o volume do fluxo de

ar quente que atravessa a superfície do balão.

Resolução

A figura mostra a representação de alguns vetores

do campo vetorial dado por (x,y,z) = -y + x .

Como o raio do balão é r = 5, e o seu centro está

sobre o eixo-z, a variação do raio das curvas de

nível desta esfera (balão) é de 0 a 5.

Aplicando o Teorema de Stokes ,(11), tem-se que

a circulação através da superfície é igual à circulação em torno do bordo desta

superfície.

Seja [ ] ℝ ,

( ) (

)

( ) (

)

( ( )) (

)

Substituindo ( ) e ( ) em

∮ ∫ (

( ) ( ))

21

∫ (

) (

) ∫ [

]

∫ [ ]

∫ [ ]

( )

2. Aplique o Teorema de Stokes para calcular ∬ (

) onde

e S é a parte da superfície parabólica que está abaixo

do plano z = 4 e cuja orientação é dada pelo vetor normal unitário superior .

Reolução:

Parametriza-se o círculo fronteira C de S por x = 2cos(t), y = 2sen(t), z = 4, com

0 ≤ t ≤ 2π. Então, dx = -2sent dt, dy = 2cost dt e dz = 0.

Pelo Teorema de Stokes :

∬(

) ∮ ∮

∫ ( ) ( )( ) ( )

∫ (

) ∫ (

)

[ ]

3. Seja o campo de forças definido por (x,y,z) = -4y + 2z +3x e suponha

que S seja a parte do parabolóide z = 10 – – acima do plano z = 1.

Verifique o Teorema de Stokes para esse e para S, calculando:

∬( )

22

Resolução:

Plotando o gráfico vemos que a interseção entre o parabolóide e o plano projeta uma

euperfície S sobre o plano xy. A região é delimitada pela circunferência + = 9. A

curva C, que é a fronteira de S, é a circunferência com centro em (0,0,1) e raio 3 no

plano z = 1.

Calculamos primeiro o rot .

rot = |

| = -2 +4

Assim,

∬( ) ∬( )

∬( )

∬[ ( )( ) ( )( ) ]

∬( )

Fazendo a mudança de parâmetros, x=rcosθ, y=rsenθ E dxdy=rdrdθ. Com 0 ≤ r ≤ 3 e

0 ≤ θ ≤ 2π, temos:

∫ ∫ ( )

∫ [

]

∫ ( )

[ ]

4. e 5. Use o Teorema de Stokes para calcular ∬

.

4. F(x,y,z) = yzi + xzj + yzk, S é a parte do parabolóide que está

acima do plano z = 5, com orientação para cima.

Resolução:

O plano z=5 intercepta a parabolóide no círculo .

Essa curva limite C está orientada no sentido anti-horário, então a equação vetorial é

r(t)=cost i+2sent j+5k, 0 ≤ t ≤ 2π. Então ( ) ( ( ))

, e pelo Teorema de Stokes:

23

∬

∫

∫ ( ( )) ( )

∫ ( )

∫

5. F(x,y,z) = + sem(xyz)j + xyzk. S é a parte do cone que

está entre os planos y = 0, e y = 3, orientado na direção positiva do eixo y.

Resolução:

O limite da curva X é a circunferência com a equação vetorial

r(t)=3sent i+3 j+3cost k, 0 ≤ t ≤ 2π com orientação positiva. Então

F(r(t))=729 ( )

F(r(t))- ( )

Assim

∬

∮

∫ ( ( )) ( )

∫ (

)

∫ ( (

)

)

[

(

)

]

( )

24

6. a) Use o teorema de Stokes para calcular ∫

, onde

F(x,y,z) =

e C é a curva de interseção do plano x + y + z = l com o cilindro

com orientação no sentido anti-horario quando visto de cima.

b) Trace o gráfico do lano e do cilindro com janelas de inspeção escolhidas de

forma a ver a curva C e a superfície que você usou na parte (a).

c) Determine as equações paramétricas para C e use-as para traçar o gráfico de C.

Resolução

a) A curva de interseção é uma elipse no plano x+y+z=1 com normal n=

√ (

), rot F=x2

j+y2

k, e rot F n=

√ (x

2 + y

2). Então

∮

∫

√ ( )

∬ ( )

∫ ∫

(

)

b) .

c) Uma possível parametrização é x=3cost, z=1-3cost-esent, .

7. Use o teorema de Stokes para calcular ∫

, onde F(x,y,z) = yi + zj + xk.

S é o hemisfério x2 + y

2 + z

2 = 1, y=0, orientado a direção positiva do eixo y.

Resolução:

25

A curva limite é a circunferência orientado no sentido anti-horario,

na visão positiva no eixo y . Então C pode ser descrito por r(t)=costi – sentk, 0

2 , e r’(t)= sent i – cost k. Assim

F(r(t)) = sent j+cost k, F(r(t))r’(t) = cos

2t

e

∮

∫

]

Agora rot F=-i-j-k, e S pode ser parametrizado

∫∫

∬ ( )

∫ ∫(

)

∫(

) [

]

4. Referências Bibliográficas:

1) Simmons, G. F., Cálculo com Geometria Analítica, Vol.2, McGraw-

Hill, 1987

2) Stewart, J., Cálculo, Vol. 2 - 5ª Edição, Thomson Learning, 2005.