TEOREMAS DE HAGA E A DIVISÃO DE UM SEGMENTO

EM n PARTES IGUAIS

DISCIPLINA INTEGRADORA II

A ÁRVORE DAS DOBRADURAS EA ÁRVORE BINÁRIA

Você pode dividir o lado do quadrado de papel em 2 partes iguais?

Sim, é fácil!

E em 4?

Também é fácil!

Agora divida em 3 ...

É possível dividir em 3, ou mesmo em um número inteiro qualquer, somente dobrando. Vamos ver agora...

É difícil?

1º Teorema de Haga:

Dado o quadrado unitário ABCD e P o ponto médio de AB, se T é a intersecção do lado CD com o lado AD, após a dobra que faz coincidir o vértice C com o ponto P, então |DT| = 1/3.

Divisão em 3 partes (trisecção)

P

DC

B A AB P

C D

T

E

2º Teorema de Haga:

Dado o quadrado unitário ABCD e P o ponto médio de AB, se S é o ponto onde se encontra o vértice B, após a dobra CP, e T é o ponto onde inicia a dobra que faz coincidir D com S, mantendo o vértice C fixo, então |DT| = 1/3.

Divisão em 3 partes (trisecção)

A

DDD

B A A

C

PP P

C C

T

S S

T

3º Teorema de Haga:

Dado o quadrado unitário ABCD e P o ponto médio de AB, consideremos a dobra que leva o ponto P sobre o lado BC, ao mesmo tempo que o vértice C é levado sobre o lado AD. Se T é o ponto do lado AD onde o vértice C se encontra após a dobra, então |DT| = 1/3.

Divisão em 3 partes (trisecção)

A AB

C D

PP

D

T

E

Divisão em n partes

A seguir...

Dado um segmento AP qualquer do lado AD do quadrado unitário ABCD, vamos estabelecer dois tipos de dobras: Paralela e Oblíqua

Paralela: é a que faz juntar o vértice A com o ponto P, mantendo o lado AB paralelo ao lado CD do quadrado. Obtemos assim o ponto M, intersecção da dobra com o lado AD.

P

DC

B AM

P

DC

B A

P

DC

B AM

AM = 1/(2m)

AD = 1AP = 1/m

Dado um segmento AP qualquer do lado AD do quadrado unitário ABCD, vamos estabelecer dois tipos de dobras: Paralela e Oblíqua

P

DC

B A

BN = 1/(2m-1)

AD = 1AP = 1/m

Oblíqua: é a que faz juntar o vértice C com o ponto P, tornando o lado BC oblíquo em relação aos outros. Obtemos assim o ponto N, intersecção do lado BC com o lado AB, após a dobra.

P

DC

B AN

P

DC

B AN

PROPOSIÇÃO:

A partir de um segmento inicial de medida 1/m, depois de uma dobradura paralela, ele se reduzirá à metade de seu comprimento, passando o segmento derivado a medir 1/(2m); depois de uma dobradura oblíqua, o segmento derivado passará a medir 1/(2m-1).

|AP| = 1/m

|BN| = 1/(2m-1)

|AM| = 1/(2m)P

O

P

DC

B AN

Demonstração de:

|AP| = 1/m |BN| = 1/(2m-1)x

yE

Ex.: Dividir o lado do quadrado em 14 partes iguais.

14 = 2 x 7 P

7 = 2 x 4 – 1 O

4 = 2 x 2 P 2 = 2 x 1 P

1

1/14

1/7

1/4

1/2

TEOREMA:

Em um número com representação binária, associando a cada dígito 1 uma dobradura paralela e a cada dígito 0 uma dobradura oblíqua, a seqüência de dobraduras que leva do lado do quadrado a 1/n dele é dada pela seqüência dos dígitos da representação binária do número n-1.

A Árvore das Dobraduras

p

O

OO

O

O

OOPP

PP

P

PP

1/71/6

1/3

1/5

1/4

1/2

1

1/111/101/9

1/8

1/141/131/12 1/161/15

1/2k+2

O P1/k+1

1/2k+1 1/2m

O P1/m

1/2m-1

A Árvore Binária

1

0

00

0

0

0011

11

1

1165

2

4

3

1

0

1098

7

131211 1514

2n

2n-1

0 1

2n+1-1

2n-10 1

2k+1

0 1k

2k

1/2P

O

OO

O

O

OOPP

PP

P

PP1/71/6

1/3

1/5

1/4

1

1/111/101/9

1/8

1/141/131/12 1/161/15

A Árvore Binária

A Árvore das Dobraduras

11

0

00

0

0

0011

11

1

11

65

2

4

0

1098

7

131211 1514

3 Representação binária de n-1

Seqüência de dobraduras para obter 1/n

Ex.: (13)10 = (1101)2

Ex.: 1/14 => P P O P

Referências:

Revista do Professor de Matemática: nº 16 e nº 50

http://www.origami.gr.jp