Teoremas de limite

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Teoremas de limite Luis Henrique Assump¸ ao Lolis 1 de julho de 2013 Luis Henrique Assump¸ ao Lolis Teoremas de limite 1

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Teoremas de limite

Luis Henrique Assumpcao Lolis

1 de julho de 2013

Luis Henrique Assumpcao Lolis Teoremas de limite 1

Page 2: Teoremas de limite

Conteudo

1 Introducao

2 A lei dos grandes numeros

3 Teorema do limite central

4 Convergencia da distribuicao

Luis Henrique Assumpcao Lolis Teoremas de limite 2

Page 3: Teoremas de limite

Sumario

1 Introducao

2 A lei dos grandes numeros

3 Teorema do limite central

4 Convergencia da distribuicao

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Page 4: Teoremas de limite

Introducao

O teorema do limite comeca com uma sequencia de variaveisaleatorias:

X1, X2, . . . , Xn quando n→∞A esperanca matematica foi considerada para um grandenumero de observacoes.

Dado um numero de oservacoes X1, X2, . . . , Xn onde naoconhecemos a media µ da variavel x, uma aproximacaorazoavel seria a media das amostras:

X =1

n

n∑k=1

Xk

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Esperanca matematica e variancia dessa media

Agora consideramos que Xn sao variaveis i.i.d (independentesidenticamente distribuıdas) de media µ e variancia σ:

E[X] = E

[1

n

n∑k=1

Xk

]=

n∑k=1

1

nE[Xk] = µ

Var[X] = Var

[1

n

n∑k=1

Xk

]=

n∑k=1

1

n2Var[Xk] =

σ2

n

X tem o mesmo valor esperado que cada Xk e a variancia setorna menor, quao maior for o valor de n. Assim X seaproxima de µ para grandes valores de n.

Agora consideremos a diferenca entre o valor esperado e umamedia das amostras:

|X − µ|, nunca podemos dizer com 100% de certeza que|X − µ| < ε

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Sumario

1 Introducao

2 A lei dos grandes numeros

3 Teorema do limite central

4 Convergencia da distribuicao

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Page 7: Teoremas de limite

A lei dos grandes numeros

Podemos dizer que |X − µ| tem uma grande probabilidade deser pequeno quando n e grande.

Lei dos Grandes Numeros

Sendo X1, X2, . . . uma sequencia de variaveis i.i.d. (independentese igualmente distribuıdas) com media µ e X sendo a media dasamostras, entao para todo ε > 0

P(|X − µ| > ε

)→ 0, quando n→∞

XP−→ µ, quando n→∞ X converge em probabilidade a µ

para grande n.

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Page 8: Teoremas de limite

Calculo da probabilidade de erro do calculo da media

A inegualdade de Chebychev aplicada a lei dos grandesnumeros:

P [|X − µ| ≥ ε] ≤ σ2

nε2

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Exercıcio matlab

Com a funcao ”ceil”e ”rand”, crie uma vetor da variavelaleatoria X discreta uniformemente distribuıda do seguinteespaco de amostras Ω1, 2, 3, 4, 5, 6 com 10mil observacoes.Dica: usar a funcao rand.

Crie um vetor que representa a soma acumulada no numerode observacoes (obs acumulada=1:1:length(X);).

Crie um vetor acumulado dos valores de X(acumulado=cumsum(X);).

Agora faca a media de amostras para cada ponto do numero(media amostras acumulada=acumulado./obs acumulada;).

(plot(media amostras acumulada);)

Comente o resultado.

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Estimacao de variancia aplicando a lei dos grandes numeros

A variancia de amostras de uma sequencia i.i.d.:

σ2 =1

n

n∑k=1

(xk − µ)2, µ =1

n

n∑k=1

xk

O que acontece quando calculamos E[σ2]? E[σ2] 6= σ2

Um novo estimador da variancia σ12 cujo E[σ1

2] = σ2 echamado de estimador de σ, tem de ser da seguinte forma:

σ12n =

1

n− 1

n∑k=1

(Xk − X)2

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Exercıcio MATLAB

Vide lista ex.

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Sumario

1 Introducao

2 A lei dos grandes numeros

3 Teorema do limite central

4 Convergencia da distribuicao

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Page 13: Teoremas de limite

Teorema do limite central

A soma de variaveis aleatorias de mesma media tende a umavariavel aleatoria de distribuicao normal.

A distribuicao normal e a mais comum em fenomenos fısicosporque depende de uma infinidade de variaveis independentesdesconhecidas que se somam e finalmente a distribuicaonormal e uma boa hipotese para um fenomeno fısico.

O Teorema do limite central

Sendo X1, X2, . . . variaveis i.i.d. com media µ e variancia σ2 <∞e sendo Sn =

∑nk=1Xk, entao para cada x ∈ R temos:

P

(Sn − nµσ√n

)→ Φ(x)

para n→∞, onde Φ e f.d.a da distribuicao normal padrao N(0, 1).

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Page 14: Teoremas de limite

Teorema do limite central

Zn =Sn − nµσ√n

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Page 15: Teoremas de limite

Teorema do limite central

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Page 16: Teoremas de limite

Exemplos

1 Suponha que as comandas de um restaurante sejam V.A.si.i.d. de media µ =$8 e desvio padrao σ =$2. Qual aprobabilidade dos primeiros 100 clientes gastarem mais de$840? Qual a probabilidade dos primeiros 100 clientesgastarem entre $780 e $820?

2 Depois de quantos pedidos podemos ter %90 certeza de que ototal gasto pelos clientes e mais de $1000?

3 O tempo entre eventos de um certo experimento sao V.A.si.i.d. de media m. Encontre a probabilidade do 1000o eventoocorra no intervalo (1000± 50)m

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Exemplo: Teorema do limite central para distribuicaobinomial

X ∼ bin(n, p)

px(i) = P (x = i) =(ni

)pi(1− p)n−i, i = 0, 1, . . . , n

A distribuicao binomial tem em sua definicao ser uma somade indicadores.Aplicando o teorema do limite central:

X − np√np(1− p)

d≈ N(0, 1)

1 2 3 4 50

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

x

px(X

)

n = 5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

x

px(X

)

n = 10

0 20 40 60 80 100 1200

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

x

px(X

)n = 100

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Sumario

1 Introducao

2 A lei dos grandes numeros

3 Teorema do limite central

4 Convergencia da distribuicao

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Page 19: Teoremas de limite

Distribuicao Discreta

X1, X2, . . . uma sequencia de variaveis aleatorias discretas.

Xn tem f.m.p. de pXn(x)

pXn(x)→ pX(x), quando n→∞ para todo x

Xn converge em distribuicao a X, escrito Xnd→ X

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Page 20: Teoremas de limite

Distribuicao Contınua

X1, X2, . . . uma sequencia de variaveis aleatorias contınuas.

Xn tem f.d.a. de Fn

Fm(x)→ F (x), quando n→∞ para todo x ∈ R

Xn converge em distribuicao a X, escrito Xnd→ X

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Page 21: Teoremas de limite

Ex:

Considere a sequencia X1, X2, . . . i.i.d. de V.A.s uniformeuni[0, 1] sendo X(1) = min(X1, X2, . . .), o mınimo dosprimeiros n Xk. Quando n aumenta, X(1) so pode diminuir etende a zero. Agora se criarmos uma outra variavel

Yn = nX(1) veremos que Ynd→ Y ∼ exp(1) quando n→∞

Prova:Se olharmos a f.d.a. discreta de Yn

FYn(x) = P (nX(1) ≤ x) = P(X(1) ≤

x

n

)Tendo que P (X(1) ≤ t) = 1− (1− t)n, 0 ≤ t ≤ 1,encontramos:FYn(x) = 1−

(1− x

n

)n→ 1− e−x, quando n→ 1

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