Teoremas de limite
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Teoremas de limite
Luis Henrique Assumpcao Lolis
1 de julho de 2013
Luis Henrique Assumpcao Lolis Teoremas de limite 1
Conteudo
1 Introducao
2 A lei dos grandes numeros
3 Teorema do limite central
4 Convergencia da distribuicao
Luis Henrique Assumpcao Lolis Teoremas de limite 2
Sumario
1 Introducao
2 A lei dos grandes numeros
3 Teorema do limite central
4 Convergencia da distribuicao
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Introducao
O teorema do limite comeca com uma sequencia de variaveisaleatorias:
X1, X2, . . . , Xn quando n→∞A esperanca matematica foi considerada para um grandenumero de observacoes.
Dado um numero de oservacoes X1, X2, . . . , Xn onde naoconhecemos a media µ da variavel x, uma aproximacaorazoavel seria a media das amostras:
X =1
n
n∑k=1
Xk
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Esperanca matematica e variancia dessa media
Agora consideramos que Xn sao variaveis i.i.d (independentesidenticamente distribuıdas) de media µ e variancia σ:
E[X] = E
[1
n
n∑k=1
Xk
]=
n∑k=1
1
nE[Xk] = µ
Var[X] = Var
[1
n
n∑k=1
Xk
]=
n∑k=1
1
n2Var[Xk] =
σ2
n
X tem o mesmo valor esperado que cada Xk e a variancia setorna menor, quao maior for o valor de n. Assim X seaproxima de µ para grandes valores de n.
Agora consideremos a diferenca entre o valor esperado e umamedia das amostras:
|X − µ|, nunca podemos dizer com 100% de certeza que|X − µ| < ε
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Sumario
1 Introducao
2 A lei dos grandes numeros
3 Teorema do limite central
4 Convergencia da distribuicao
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A lei dos grandes numeros
Podemos dizer que |X − µ| tem uma grande probabilidade deser pequeno quando n e grande.
Lei dos Grandes Numeros
Sendo X1, X2, . . . uma sequencia de variaveis i.i.d. (independentese igualmente distribuıdas) com media µ e X sendo a media dasamostras, entao para todo ε > 0
P(|X − µ| > ε
)→ 0, quando n→∞
XP−→ µ, quando n→∞ X converge em probabilidade a µ
para grande n.
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Calculo da probabilidade de erro do calculo da media
A inegualdade de Chebychev aplicada a lei dos grandesnumeros:
P [|X − µ| ≥ ε] ≤ σ2
nε2
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Exercıcio matlab
Com a funcao ”ceil”e ”rand”, crie uma vetor da variavelaleatoria X discreta uniformemente distribuıda do seguinteespaco de amostras Ω1, 2, 3, 4, 5, 6 com 10mil observacoes.Dica: usar a funcao rand.
Crie um vetor que representa a soma acumulada no numerode observacoes (obs acumulada=1:1:length(X);).
Crie um vetor acumulado dos valores de X(acumulado=cumsum(X);).
Agora faca a media de amostras para cada ponto do numero(media amostras acumulada=acumulado./obs acumulada;).
(plot(media amostras acumulada);)
Comente o resultado.
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Estimacao de variancia aplicando a lei dos grandes numeros
A variancia de amostras de uma sequencia i.i.d.:
σ2 =1
n
n∑k=1
(xk − µ)2, µ =1
n
n∑k=1
xk
O que acontece quando calculamos E[σ2]? E[σ2] 6= σ2
Um novo estimador da variancia σ12 cujo E[σ1
2] = σ2 echamado de estimador de σ, tem de ser da seguinte forma:
σ12n =
1
n− 1
n∑k=1
(Xk − X)2
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Exercıcio MATLAB
Vide lista ex.
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1 Introducao
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3 Teorema do limite central
4 Convergencia da distribuicao
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Teorema do limite central
A soma de variaveis aleatorias de mesma media tende a umavariavel aleatoria de distribuicao normal.
A distribuicao normal e a mais comum em fenomenos fısicosporque depende de uma infinidade de variaveis independentesdesconhecidas que se somam e finalmente a distribuicaonormal e uma boa hipotese para um fenomeno fısico.
O Teorema do limite central
Sendo X1, X2, . . . variaveis i.i.d. com media µ e variancia σ2 <∞e sendo Sn =
∑nk=1Xk, entao para cada x ∈ R temos:
P
(Sn − nµσ√n
)→ Φ(x)
para n→∞, onde Φ e f.d.a da distribuicao normal padrao N(0, 1).
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Teorema do limite central
Zn =Sn − nµσ√n
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Teorema do limite central
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Exemplos
1 Suponha que as comandas de um restaurante sejam V.A.si.i.d. de media µ =$8 e desvio padrao σ =$2. Qual aprobabilidade dos primeiros 100 clientes gastarem mais de$840? Qual a probabilidade dos primeiros 100 clientesgastarem entre $780 e $820?
2 Depois de quantos pedidos podemos ter %90 certeza de que ototal gasto pelos clientes e mais de $1000?
3 O tempo entre eventos de um certo experimento sao V.A.si.i.d. de media m. Encontre a probabilidade do 1000o eventoocorra no intervalo (1000± 50)m
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Exemplo: Teorema do limite central para distribuicaobinomial
X ∼ bin(n, p)
px(i) = P (x = i) =(ni
)pi(1− p)n−i, i = 0, 1, . . . , n
A distribuicao binomial tem em sua definicao ser uma somade indicadores.Aplicando o teorema do limite central:
X − np√np(1− p)
d≈ N(0, 1)
1 2 3 4 50
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
x
px(X
)
n = 5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
x
px(X
)
n = 10
0 20 40 60 80 100 1200
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
x
px(X
)n = 100
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3 Teorema do limite central
4 Convergencia da distribuicao
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Distribuicao Discreta
X1, X2, . . . uma sequencia de variaveis aleatorias discretas.
Xn tem f.m.p. de pXn(x)
pXn(x)→ pX(x), quando n→∞ para todo x
Xn converge em distribuicao a X, escrito Xnd→ X
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Distribuicao Contınua
X1, X2, . . . uma sequencia de variaveis aleatorias contınuas.
Xn tem f.d.a. de Fn
Fm(x)→ F (x), quando n→∞ para todo x ∈ R
Xn converge em distribuicao a X, escrito Xnd→ X
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Ex:
Considere a sequencia X1, X2, . . . i.i.d. de V.A.s uniformeuni[0, 1] sendo X(1) = min(X1, X2, . . .), o mınimo dosprimeiros n Xk. Quando n aumenta, X(1) so pode diminuir etende a zero. Agora se criarmos uma outra variavel
Yn = nX(1) veremos que Ynd→ Y ∼ exp(1) quando n→∞
Prova:Se olharmos a f.d.a. discreta de Yn
FYn(x) = P (nX(1) ≤ x) = P(X(1) ≤
x
n
)Tendo que P (X(1) ≤ t) = 1− (1− t)n, 0 ≤ t ≤ 1,encontramos:FYn(x) = 1−
(1− x
n
)n→ 1− e−x, quando n→ 1
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