Teoremas, Fórmulas e Definições Úteis de Cálculo

1.001 Problemas de Cálculo Para Leigos Folha

de Cola

Para Leigos: A série de livros para iniciantes que mais vende no mundo.

Resolver problemas de cálculo é uma ótima maneira de dominar as diversas regras, os teoremas e as operações que você encontra em uma típica aula de cálculo. Esta Folha de Cola fornece algumas fórmulas básicas que você pode consultar regularmente para solucionar os problemas de forma rápida (bem, talvez não tão rápida, porém definitivamente mais facilmente).

Teoremas, Fórmulas e Definições Úteis de CálculoA seguir estão alguns dos mais frequentemente e usados teoremas, fórmulas e definições que você pode encontrar nas aulas de cálculo para uma única variável. A lista não é abrangente, no entanto, deve cobrir os itens que você mais usará.

Derivada Usando a Definição de Limite

limh→0

f (x + h) – f (x)h

Definição: Função Contínua em um número aA função f é contínua em um número a se lim f (x) = f (a)

x→a.

Teorema do Valor IntermediárioSuponha que f seja contínua no intervalo fechado [a, b] e seja N qualquer número entre f (a) e f (b), em que f (a) ≠ f (b). Então, existe um número c em (a, b), tal que f (c) = N.

Definição de Número CríticoO número crítico de uma função f é um número c no domínio de f de tal modo que f '(c) = 0 ou f '(c) não exista.

Teorema de RolleSeja f uma função que satisfaça as três hipóteses a seguir:

✓ f é contínua no intervalo fechado [a, b].

✓ f é diferenciável no intervalo aberto (a, b).

✓ f (a) = f (b)

Portanto, há um número c em (a, b), de modo que f '(c) = 0.

Teorema do Valor MédioSeja f uma função que satisfaça as hipóteses a seguir:

✓ f é contínua no intervalo fechado [a, b].

✓ f é diferenciável no intervalo aberto (a, b).

Prova: EmendaRT_Calculus1001PP_For Dummies 13/04/2015Liberado por: Joyce Matos

EmendaRT_Calculus1001_FD.indb 1 13/04/2016 17:53:53

1.001 Problemas de Cálculo Para Leigos

Para Leigos: A série de livros para iniciantes que mais vende no mundo.

Folha

de Cola

Portanto, há um número c em (a, b), de modo que, f' (c) = f (b) – f (a)b – a

.

Fórmula do Método de Aproximação de Newton O método de Newton é uma técnica que tenta descobrir uma raiz de uma equação. Para começar, escolha um número que seja “próximo” ao valor de uma raiz e chame-o de x1. Escolher x1 pode envolver algumas tentativas e erros. Se você estiver lidando com uma função contínua em algum intervalo (ou, possivelmente, em toda reta real), o teorema do valor intermediário talvez diminua o intervalo em análise. Após definir x1, use a fórmula recursiva aqui fornecida para encontrar as aproximações sucessivas:

xn+1 = xn –f (xn)f' (xn)

Atenção: sempre verifique se sua aproximação final está correta (ou próxima do valor da raiz). O método de Newton pode falhar em alguns casos, de acordo com o valor definido para x1. Qualquer livro de cálculo que aborde este método deve apontar essas deficiências.

O Teorema Fundamental do CálculoSuponha que f seja contínua em [a, b]. Logo, as seguintes afirmações são verdadeiras:

Se g(x) = f (t)dt, então, g '(x) = f (x)

f (x)dx = F (b) – F (a), em que F é qualquer antiderivada de f, isto é F '= f

A Regra do Trapézio

x2

f (x)dx ≈ (f (x 0) + 2f (x 1) + 2f (x 2) +. . .+ 2f (xn–1) + f (xn))

em que

xb – a

n= e xi = a + i x

A Regra de Simpson

x3

f (x)dx ≈ (f (x 0) + 4f (x 1) + 2f (x 2) + 4f (x 3) +. . .

+ 2f (xn–2) + 4f (xn–1) + f (xn))em que n é par e

xb – a

n=



1.001 Problemas de Cálculo

por Patrick Jones

Rio de Janeiro, 2016





Sumário ResumidoIntrodução ..................................................................... 1

Parte I: As Perguntas ...................................................... 3Capítulo 1: Revisão de Álgebra ........................................................................................... 5Capítulo 2: Revisão de Trigonometria .............................................................................. 15Capítulo 3: Limites e Taxas de Variação .......................................................................... 27Capítulo 4: Noções Básicas de Derivadas ........................................................................ 41Capítulo 5: Regras do Produto, do Quociente e da Cadeia ........................................... 47Capítulo 6: Funções Exponenciais e Logarítmicas e Retas Tangentes ......................... 53Capítulo 7: Diferenciação Implícita ................................................................................. 57Capítulo 8: Usos de Derivadas .......................................................................................... 61Capítulo 9: Áreas e Somas de Riemann ........................................................................... 73Capítulo 10: Teorema Fundamental do Cálculo e Teorema da Variação Total ......... 77Capítulo 11: Usos da Integral ............................................................................................. 85Capítulo 12: Funções Trigonométricas Inversas, Funções

Hiperbólicas e Regra de L’Hôpital .............................................................................. 97Capítulo 13: Integração por Substituição e Integração por Partes ............................. 105Capítulo 14: Integrais Trigonométricas, Substituição Trigonométrica e

Frações Parciais .................................................................................................................. 111Capítulo 15: Integrais Impróprias e Mais Técnicas de Aproximação ......................... 119

Parte II: As Respostas ................................................. 123Capítulo 16: Respostas e Explicações ............................................................................ 125

Índice ........................................................................ 631


SumárioIntrodução ..................................................................... 1

O Que Encontrará Neste Livro ............................................................................ 1Além Deste Livro ................................................................................................... 2Onde Encontrar Ajuda ......................................................................................... 2

Parte I: As Perguntas ...................................................... 3

Capítulo 1: Revisão de Álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Os Problemas com os Quais Trabalhará ............................................................ 5Com o que Tomar Cuidado ................................................................................. 5Simplificando Frações ......................................................................................... 6Simplificando Radicais ........................................................................................ 6Escrevendo Expoentes Usando a Notação do Radical .................................... 7Teste da Reta Horizontal ...................................................................................... 7Encontre a Inversa Usando a Álgebra ................................................................ 7O Domínio e a Imagem da Função e da Sua Inversa ....................................... 8Equações Lineares ................................................................................................ 8Equações Quadráticas ......................................................................................... 8Resolvendo as Equações Polinomiais Por Meio da Fatoração ....................... 9Equações com Valores Absolutos ...................................................................... 9Resolvendo Equações Racionais ........................................................................ 9Desigualdades Polinomiais e Racionais .......................................................... 10Desigualdades de Valores Absolutos ............................................................... 10Gráficos de Funções Comuns ........................................................................... 10Domínio e Taxa de Variação de um Gráfico ................................................... 11Comportamento Final de Polinômios .............................................................. 12Somando Polinômios ......................................................................................... 12Subtraindo Polinômios ...................................................................................... 12Multiplicando Polinômios ................................................................................. 13Divisão Longa de Polinômios ............................................................................ 13

Capítulo 2: Revisão de Trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Os Problemas com os Quais Trabalhará .......................................................... 15Com o que Tomar Cuidado ............................................................................... 15Noções Básicas de Trigonometria .................................................................... 16Convertendo Medidas em Grau para Medidas em Radiano.......................... 16Convertendo Medidas em Radiano para Medidas em Grau.......................... 17Encontrando Ângulos no Plano Cartesiano .................................................... 17Encontrando Valores Trigonométricos Comuns ............................................. 19Simplificando Expressões Trigonométricas..................................................... 19


viii 1 .001 Problemas de Cálculo Para Leigos



Resolvendo Equações Trigonométricas ........................................................... 20Amplitude, Período, Mudança de Fase e Linha Média .................................. 21Equações de Funções Periódicas ..................................................................... 21O Básico das Funções Trigonométricas Inversas ............................................ 24Resolvendo Equações Trigonométricas Usando as Inversas ......................... 24

Capítulo 3: Limites e Taxas de Variação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Os Problemas com os Quais Trabalhará .......................................................... 27Com o que Tomar Cuidado ............................................................................... 27Encontrando Limites nos Gráficos .................................................................... 28Calculando Limites ............................................................................................. 29Usando o Teorema do Confronto ..................................................................... 30Calculando Limites Trigonométricos ............................................................... 31Limites Infinitos ................................................................................................... 31Limites de Gráficos ............................................................................................. 34Limites no Infinito ............................................................................................... 35Assíntotas Horizontais ........................................................................................ 36Classificando Descontinuidades ....................................................................... 36Continuidades e Descontinuidades ................................................................. 37Tornando uma Função Contínua ..................................................................... 38Teorema do Valor Intermediário ...................................................................... 39

Capítulo 4: Noções Básicas de Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41Os Problemas com os Quais Trabalhará .......................................................... 41Com o que Tomar Cuidado ............................................................................... 41Determinando a Diferenciabilidade a partir de um Gráfico ......................... 42Encontrando a Derivada Usando a Definição................................................. 43Encontrando o Valor da Derivada Usando um Gráfico ................................. 44Usando a Regra da Potência para Encontrar Derivadas ................................ 45Encontrando Todos os Pontos do Gráfico Onde as Retas

Tangentes Possuem um Dado Valor ........................................................... 46

Capítulo 5: Regras do Produto, do Quociente e da Cadeia . . . . . 47Os Problemas com os Quais Trabalhará .......................................................... 47Com o que Tomar Cuidado ............................................................................... 47Usando a Regra do Produto para Encontrar Derivadas ................................. 48Usando a Regra do Quociente para Encontrar Derivadas ............................. 49Usando a Regra da Cadeia para Encontrar Derivadas ................................... 50Mais Problemas Desafiadores da Regra da Cadeia......................................... 51

Capítulo 6: Funções Exponenciais e Logarítmicas e Retas Tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Os Problemas com os Quais Trabalhará .......................................................... 53Com o que Tomar Cuidado ............................................................................... 53Derivadas Envolvendo Funções Logarítmicas ................................................ 54


viii 1 .001 Problemas de Cálculo Para Leigos Sumário ix



Diferenciações Logarítmicas para Encontrar Derivadas ................................ 54Encontrando Derivadas das Funções Envolvendo Funções Exponenciais .... 55Encontrando Equações de Retas Tangentes ................................................... 55Encontrando Equações de Retas Normais ...................................................... 56

Capítulo 7: Diferenciação Implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57Os Problemas com os Quais Trabalhará .......................................................... 57Com o que Tomar Cuidado ............................................................................... 57Usando a Diferenciação Implícita para Encontrar uma Derivada ................ 58Usando a Diferenciação Implícita para Encontrar uma Segunda Derivada ......58Encontrando Equações de Retas Tangentes Usando a Diferenciação

Implícita .......................................................................................................... 59

Capítulo 8: Usos de Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61Os Problemas com os Quais Trabalhará .......................................................... 61Com o que Tomar Cuidado ............................................................................... 61Encontrando e Calculando Diferenciais .......................................................... 62Encontrando Linearizações ............................................................................... 62Usando Linearizações para Estimar Valores ................................................... 62Entendendo Taxas Relacionados ..................................................................... 62Encontrando Crescimento e Decrescimento dos Gráficos ............................ 64Usando o Método do Intervalo Fechado ......................................................... 65Encontrando Intervalos de Crescimento e Decrescimento ........................... 66Usando a Primeira Derivada para Encontrar o Máximo e o Mínimo Locais .....66Determinando a Concavidade .......................................................................... 66Identificando os Pontos de Inflexão ................................................................. 67Usando a Segunda Derivada para Encontrar o Máximo e o Mínimo Locais .....67Usando o Teorema de Rolle .............................................................................. 67Usando o Teorema do Valor Médio ................................................................. 68Usando o Teorema do Valor Médio para Resolver Problemas ..................... 68Relacionando Velocidade e Posição ............................................................... 68Encontrando Velocidade e Rapidez ................................................................ 68Resolvendo Problemas de Otimização ............................................................ 69Fazendo Aproximações Usando o Método de Newton ................................. 71Aproximando as Raízes Usando o Método de Newton .................................. 71

Capítulo 9: Áreas e Somas de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73Os Problemas com os Quais Trabalhará .......................................................... 73Com o que Tomar Cuidado ............................................................................... 73Calculando as Somas de Riemann Usando os Pontos Finais à Esquerda .... 74Calculando as Somas de Riemann Usando os Ponto Finais à Direita .......... 74Calculando as Somas de Riemann Usando os Pontos Médios...................... 75Usando Limites e Somas de Riemann para Encontrar Expressões para

Integrais Definidas ......................................................................................... 75


x 1 .001 Problemas de Cálculo Para Leigos



Encontrando uma Integral Definida Por Meio da Forma do Limite e da Soma de Riemann ................................................................................. 76

Usando Limites e Somas de Riemann para Calcular Integrais Definidas ..... 76

Capítulo 10: Teorema Fundamental do Cálculo e Teorema da Variação Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Os Problemas com os Quais Trabalhará .......................................................... 77Com o que Tomar Cuidado ............................................................................... 77Usando o Teorema Fundamental do Cálculo para Encontrar Derivadas .... 78Estudando Exemplos Básicos de Integrais Definidas ..................................... 79Entendendo o Básico de Integrais Indefinidas ............................................... 79Entendendo o Teorema da Variação Total ..................................................... 82Encontrando o Deslocamento de uma Partícula de Acordo

com a Velocidade ......................................................................................... 83Encontrando a Distância Percorrida por uma Partícula de

Acordo com a Velocidade ........................................................................... 83Encontrando o Deslocamento de uma Partícula de Acordo

com a Aceleração .......................................................................................... 84Encontrando a Distância Percorrida por uma Partícula de

Acordo com a Aceleração ............................................................................ 84

Capítulo 11: Usos da Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85Os Problemas com os Quais Trabalhará .......................................................... 85Com o que Tomar Cuidado ............................................................................... 85Áreas entre Curvas .............................................................................................. 86Encontrando Volumes Usando Discos e Arruelas .......................................... 87Encontrando Volumes Usando Cortes Transversais ....................................... 89Encontrando Volumes Usando Invólucros Cilíndricos .................................. 90Problemas do Dia a Dia ..................................................................................... 92Valor Médio de uma Função ............................................................................. 95

Capítulo 12: Funções Trigonométricas Inversas, Funções Hiperbólicas e Regra de L’Hôpital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

Os Problemas com os Quais Trabalhará .......................................................... 97Com o que Tomar Cuidado ............................................................................... 97Encontrando Derivadas Envolvendo Funções Trigonométricas Inversas ... 98Encontrando Antiderivadas Usando Funções Trigonométricas Inversas .... 99Calculando Funções Hiperbólicas Usando suas Definições ......................... 99Encontrando Derivadas de Funções Hiperbólicas ....................................... 100Encontrando Antiderivadas de Funções Hiperbólicas ................................ 100Calculando Formas Indeterminadas Usando a Regra de L’Hôpital............ 101


x 1 .001 Problemas de Cálculo Para Leigos Sumário xi



Capítulo 13: Integração por Substituição e Integração por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Os Problemas com os Quais Trabalhará ........................................................ 105Com o que Tomar Cuidado ............................................................................. 105Usando a Integração por Substituição ........................................................... 106Usando a Integração por Partes ...................................................................... 107

Capítulo 14: Integrais Trigonométricas, Substituição Trigonométrica e Frações Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Os Problemas com os Quais Trabalhará ........................................................ 112Com o que Tomar Cuidado ............................................................................. 112Integrais Trigonométricas ................................................................................ 112Substituições Trigonométricas ........................................................................ 114Encontrando Frações Parciais (Sem Coeficientes) ..................................... 115Encontrando Frações Parciais (Com Coeficientes) ..................................... 116Integrais Envolvendo Frações Parciais ........................................................... 116Substituição de Racionalização ...................................................................... 117

Capítulo 15: Integrais Impróprias e Mais Técnicas de Aproximação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

Os Problemas com os Quais Trabalhará ........................................................ 119Com o que Tomar Cuidado ............................................................................. 119Integrais Impróprias Convergentes e Divergentes ......................................... 120O Teorema da Comparação das Integrais ..................................................... 121A Regra do Trapézio ......................................................................................... 122A Regra de Simpson ......................................................................................... 122

Parte II: As Respostas ................................................. 123

Capítulo 16: Respostas e Explicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

Índice ........................................................................ 631


xii 1 .001 Problemas de Cálculo Para Leigos


Introdução

Este livro se destina a um grande número de alunos de cálculo. Talvez você queira um complemento para sua aula ou procure aprimorar um

curso que fez muito tempo atrás. Ou, ainda, esteja aprendendo sozinho e precise de um livro que englobe mais problemas práticos.

As 1.001 perguntas deste livro abordam os conceitos de cálculo que os alunos de ensino médio encontrariam no curso de preparação para testes específicos. Também abrange a maioria dos conceitos que os alunos podem esperar estudar nos dois primeiros semestres de um curso de cálculo. Os tipos de pergunta são perguntas que eu atribuí constantemente quando lecionava como dever de casa ou perguntas que os alunos poderiam encontrar nos seus testes de conhecimento.

Leia o livro da maneira que quiser. Há uma revisão robusta de álgebra e trigonometria no início do livro, então você pode utilizá-la para se certificar de que esteja preparado para o estudo do cálculo. A razão número um para os alunos terem dificuldade em cálculo não é o cálculo em si, porém um fraco conhecimento de álgebra e de trigonometria. Se você estiver enferrujado nos fundamentos, passe algum tempo nos dois primeiros capítulos antes de mergulhar de cabeça no restante do livro!

Como muitas coisas que valem a pena na vida, não há atalhos para se ter proficiência em matemática. Contudo, por meio do estudo dos problemas deste livro, você estará no caminho certo para se tornar um aluno mais forte em cálculo.

O Que Encontrará Neste LivroOs 1.001 problemas deste livro estão divididos em 15 capítulos e em cada capítulo você aprimora, na prática, o lado mecânico do estudo do cálculo ou a aplicação do cálculo. Algumas perguntas possuem um diagrama ou um gráfico que você precisará para responder a pergunta.

O final do livro fornece soluções completas e detalhadas para todos os problemas. Se você errou a resposta, tente novamente antes de ler a solução! Saber o que não se deve fazer é geralmente um ótimo começo para descobrir a abordagem correta, então, não se preocupe se não conseguir responder alguma pergunta imediatamente; alguns problemas podem ser bem desafiadores.


2 1 .001 Problemas de Cálculo Para Leigos


Além Deste LivroNa página da obra, em nosso site, faça o download completo da Folha de Cola, bem como de erratas e possíveis arquivos de apoio.

Onde Encontrar AjudaCálculo é difícil, portanto, não se sinta menosprezado caso um assunto em particular não pareça imediatamente fácil para você. Este livro possui muitos problemas de diferentes graus de dificuldade, assim você poderá focar naqueles que forem mais apropriados para você.

O livro 1.001 Problemas de Cálculo Para Leigos proporciona exatamente isso — 1.001 perguntas e respostas com a intenção de praticar seu conhecimento de cálculo. Se você precisar de um estudo mais aprofundado e direcionado para as suas aulas de cálculo, talvez queira conferir outros livros da série Para Leigos (ou seus livros de exercícios):

✓✓ Cálculo Para Leigos: Esta obra fornece instruções paralelas aos 1.001 problemas de cálculo que você encontra aqui.

✓✓ Cálculo II Para Leigos: Este livro proporciona um conteúdo similar ao que talvez você encontre no segundo semestre do curso de cálculo de uma faculdade.

✓✓ Pré-Cálculo Para Leigos: Utilize esta obra para aprimorar seu conhecimento básico e os conceitos que precisa para estudar cálculo – como resolver polinômios, traçar gráfico de funções, usar identidades trigonométricas e similares.

✓✓ Trigonometria Para Leigos: Tente este livro se precisar refrescar a memória com os conceitos de trigonometria.



Parte I

As Perguntas

1.001PerguntasPerguntas




Nesta parte...

A única maneira de obter proficiência em matemática é por meio de muita prática. Felizmente, você possui, agora, 1.001 oportunidades

de prática bem na sua frente. Estas perguntas abordam uma variedade de conceitos de cálculo e seus graus de dificuldade variam do mais fácil para o mais difícil. Domine estes problemas e se sairá muito bem no seu caminho para alcançar sólidos conhecimentos de cálculo.

Estes são os tipos de problemas que você verá neste livro:

U Revisão de álgebra (Capítulo 1)

U Revisão de trigonometria (Capítulo 2)

U Limites e continuidade (Capítulo 3)

U Fundamentos de derivadas (Capítulos 4 ao 7)

U Usos de Derivadas (Capítulo 8)

U Conceitos básicos de antiderivada (Capítulos 9 e 10)

U Usos de Antiderivadas (Capítulo11)

U Antiderivadas de outras funções comuns e regra de L’Hôpital (Capítulo 12)

U Mais técnicas de integração (Capítulos 13 e 14)

U Integrais impróprias, regra do trapézio e regra de Simpson (Capítulo 15)



Capítulo 1

Revisão de Álgebra

Ter um bom desempenho em cálculo é impossível sem um sólido conhecimento de álgebra. Muitos problemas de cálculo envolvem

conceitos de cálculo, mas exigem muitos e muitos passos da simplificação algébrica. Ter um bom conhecimento de álgebra permitirá que você foque nos conceitos de cálculo e não se perca nos mecanismos de solução que são uma exigência para resolver o problema.

Os Problemas com os Quais TrabalharáNeste capítulo, você confere uma variedade de problemas de álgebra:

✓✓ Simplificando expoentes e radicais

✓✓ Encontrando a inversa da função

✓✓ Entendendo e transformando os gráficos das funções comuns

✓✓ Encontrando o domínio e a taxa de variação de uma função usando um gráfico

✓✓ Combinando e simplificando expressões polinomiais

Com o que Tomar CuidadoNão deixe que os erros comuns o enganem. Algumas das sugestões a seguir podem ser úteis:

✓✓ Tenha cuidado quando usar as propriedades dos expoentes. Por exemplo, quando multiplicar as bases similares, some os expoentes e quando dividir bases similares, subtraia os expoentes.

✓✓ Fatore completamente as expressões para poder simplificá-las.

✓✓ Verifique as equações e as desigualdades de suas soluções se não tiver certeza de sua resposta. Algumas soluções podem ser esquisitas!

✓✓ É fácil esquecer algumas técnicas de álgebra, então não se preocupe se não se lembrar de todas! Revise, revise e revise.





6 Parte I: As Perguntas

Simplificando Frações1–13 Simplifique as frações, a seguir, somando, subtraindo, multiplicando e/ou dividindo.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

Simplificando Radicais14–18 Simplifique os radicais a seguir. Suponha que todas as variáveis sejam positivas.

14.

15.

16.




7 Capítulo 1: Revisão de Álgebra

17.

18.

Escrevendo Expoentes Usando a Notação do Radical19–20 Converta entre notações exponenciais e notações do radical.

19. Converta em notação do radical. (Nota: A resposta final pode possuir mais de um sinal de radical.)

20. Converta em notação exponencial.

Teste da Reta Horizontal21–23 Use o teste da reta horizontal para identificar funções bijetoras.

21. Use o teste da reta horizontal para determinar qual das funções a seguir é uma função bijetora e, portanto, a que possui uma inversa.

(A) y = x2 + 4x + 6

(B)

(C)

(D) y = 3x + 8

(E)

22. Use o teste da reta horizontal para determinar qual das funções é uma função bijetora e, portanto, possui uma inversa.

(A) y = x2 – 4

(B) y = x2 – 4, x ≥ 0

(C) y = x2 – 4, –2 ≤ x ≤ 8

(D) y = x2 – 4, –12 ≤ x ≤ 6

(E) y = x2 – 4, –5.3 ≤ x ≤ 0.1

23. Use o teste da reta horizontal para determinar qual das funções é uma função bijetora e, portanto, possui uma inversa.

(A) y = x4 + 3x2 – 7

(B)

(C) y = cos x

(D) y = sen x

(E) y = tg−1 x

Encontre a Inversa Usando a Álgebra24–29 Encontre a inversa da função bijetora usando a álgebra.

24. f(x) = 4 – 5x

25. f(x) = x2 – 4x, x ≥ 2

26.





27. f(x) = 3x5 + 7

28.

29.

O Domínio e a Imagem da Função e da Sua Inversa30–32 Resolva as perguntas a seguir relacionadas a uma função e sua inversa.

30. O conjunto dos pontos {(0, 1), (3, 4), (5, –6)} está no gráfico de f(x) que é uma função bijetora. Quais pontos pertencem ao gráfico de f−1(x)?

31. f (x) é uma função bijetora com o domínio [–2, 4) e a imagem (–1, 2). Quais são o domínio e a imagem de f−1(x)?

32. Suponha que f(x) seja uma função bijetora. Qual é a expressão da inversa de g(x) = f(x + c)?

Equações Lineares33–37 Resolva as equações lineares a seguir.

33. 3x + 7 = 13

34. 2(x + 1) = 3(x + 2)

35. –4(x + 1) – 2x = 7x + 3(x – 8)

36.

37.

Equações Quadráticas38–43 Resolva as equações quadráticas.

38. Resolva x2 – 4x – 21 = 0.

39. Resolva x2 + 8x – 17 = 0 completando o quadrado.





40. Resolva 2x2 + 3x – 4 = 0 completando o quadrado.

41. Resolva 6x2 + 5x – 4 = 0.

42. Resolva 3x2 + 4x – 2 = 0.

43. Resolva x10 + 7x5 + 10 = 0.

Resolvendo as Equações Polinomiais Por Meio da Fatoração44–47 Resolva as equações polinomiais por meio da fatoração.

44. 3x4 + 2x3 – 5x2 = 0

45. x8 + 12x4 + 35 = 0

46. x4 + 3x2 – 4 = 0

47. x4 – 81 = 0

Equações com Valores Absolutos48–51 Resolva as equações com valores absolutos a seguir.

48.

49.

50.

51.

Resolvendo Equações Racionais52–55 Resolva as equações racionais a seguir.

52.

53.

54.

55.





Desigualdades Polinomiais e Racionais56–59 Resolva as desigualdades polinomiais ou racionais a seguir.

56. x2 – 4x – 32 < 0

57. 2x4 + 2x3 ≥ 12x2

58.

59.

Desigualdades de Valores Absolutos60–62 Resolva as desigualdades de valores absolutos.

60.

61.

62.

Gráficos de Funções Comuns63–77 Resolva as questões relacionadas aos gráficos de funções comuns a seguir.

63. Qual é a inclinação da reta que passa pelos pontos (1, 2) e (5, 9)?

64. Qual é a equação da reta que tem uma inclinação de 4 e passa pelo ponto (0, 5)?

65. Qual é a equação da reta que passa pelos pontos (–2, 3) e (4, 8)?

66. Encontre a equação da reta que passa pelo ponto (1, 5) e é paralela à reta

.

67. Encontre a equação da reta que passa pelo ponto (3, –4) e é perpendicular à reta que passa pelos pontos (3, –4) e (–6, 2).

68. Qual é a equação do gráfico de após você aumentá-lo verticalmente em um fator de 2, deslocar o gráfico 3 unidades para a direita e, então, deslocá-lo 4 unidades para cima?





69. Encontre a forma canônica da parábola que passa pelo ponto (0, 2) e tem um vértice em (–2, –4).

70. Encontre a forma canônica da parábola que passa pelo ponto (1, 2) e tem um vértice em (–1, 6).

71. Uma parábola tem a forma canônica dada por y = 3(x + 1)2 + 4. Qual será a forma canônica dessa parábola se ela for deslocada em 6 unidades para a direita e 2 unidades para baixo?

72. Qual é a equação do gráfico de y = ex após você comprimir o gráfico horizontalmente em um fator de 2, refleti-lo ao longo do eixo y e deslocá-lo para baixo em 5 unidades?

73. Qual é a equação do gráfico de após você aumentar o gráfico

horizontalmente em um fator de 5, refleti-lo ao longo do eixo x e deslocá-lo para cima em 3 unidades?

74. Encontre a equação do polinômio de terceiro grau que passa pelos pontos (–4, 0), (–2, 0), (0, 3), e (1, 0).

75. Encontre a equação do polinômio de quarto grau que passa pelo ponto (1, 4) e tem as raízes –1, 2 e 3, onde 3 é uma raiz repetida.

76. Uma parábola intercepta o eixo x nos pontos (–4, 0) e (6, 0). Se o ponto (0, 8) está na parábola, qual é a equação da parábola?

77. Uma parábola intercepta o eixo x nos pontos (–8, 0) e (–2, 0), e o ponto (–4, –12) está na parábola. Qual é a equação da parábola?

Domínio e Imagem de um Gráfico78–80 Encontre o domínio e a imagem da função dos gráficos que se seguem.

78.





79.

80.

Comportamento Final de Polinômios81–82 Encontre o comportamento final dos polinômios a seguir. Ou seja, encontre

e .

81. f(x) = 3x6 – 40x5 + 33

82. f(x) = –7x9 + 33x8 – 51x7 + 19x4 – 1

Somando Polinômios83–87 Some os polinômios a seguir.

83. (5x + 6) + (–2x + 6)

84. (2x2 – x + 7) + (–2x2 + 4x – 9)

85. (x3 – 5x2 + 6) + (4x2 + 2x + 8)

86. (3x + x4 + 2) + (–3x4 + 6)

87. (x4 – 6x2 + 3) + (5x3 + 3x2 – 3)

Subtraindo Polinômios88–92 Subtraia os polinômios a seguir.

88. (5x – 3) – (2x + 4)

89. (x2 – 3x + 1) – (–5x2 + 2x – 4)

90. (8x3 + 5x2 – 3x + 2) – (4x3 + 5x – 12)





91. (x + 3) – (x2 + 3x – 4) – (–3x2 – 5x + 6)

92. (10x4 – 6x3 + x2 + 6) – (x3 + 10x2 + 8x – 4)

Multiplicando Polinômios93–97 Multiplique os polinômios a seguir.

93. 5x2(x – 3)

94. (x + 4)(3x – 5)

95. (x – y + 6)(xy)

96. (2x – 1)(x2 – x + 4)

97. –x(x4 + 3x2 + 2)(x + 3)

Divisão Longa de Polinômios98–102 Use a divisão longa de polinômios para dividi-los.

98.

99.

100.

101.

102.


Capítulo 2

Revisão de Trigonometria

Além de possuir um vasto conhecimento em álgebra, você precisa de uma boa habilidade em trigonometria para o cálculo. Você deve

entender os gráficos das funções trigonométricas e estar apto a calculá-las de forma rápida. Muitos problemas exigem uma ou mais identidades trigonométricas, então, certifique-se de possuir mais do que algumas delas memorizadas ou, pelo menos, poder derivá-las rapidamente.

Os Problemas com os Quais TrabalharáNeste capítulo, você resolve uma variedade de problemas sobre os fundamentos da trigonometria que abordam tópicos como os seguintes:

✓✓ Entendendo as funções trigonométricas em relação aos triângulos retângulos

✓✓ Encontrando as medidas em grau e em radiano

✓✓ Encontrando os ângulos no círculo unitário

✓✓ Provando identidades

✓✓ Encontrando a amplitude, o período e a mudança de fase de uma função periódica

✓✓ Estudando funções trigonométricas inversas

✓✓ Resolvendo equações trigonométricas com ou sem o uso das inversas

Com o que Tomar CuidadoLembre-se do seguinte ao estudar as questões de revisão de trigonometria:

✓✓ Estar apto a calcular as funções trigonométricas dos ângulos comuns é muito importante já que eles aparecem com frequência nos problemas. Tê-las memorizadas será extremamente útil!

✓✓ Cuidado ao resolver as equações usando funções trigonométricas inversas. As calculadoras apenas informam uma única resposta para a equação, no entanto, a equação pode ter muito mais soluções






Noções Básicas de Trigonometria103–104 Calcule o senθ, o cosθ e a tgθ dos triângulos retângulos a seguir. Lembre-se de racionalizar os denominadores que contêm radicais.

103.

104.

105–108 Calcule a função trigonométrica. Lembre-se de racionalizar os denominadores que contém radicais.

105. Sendo senθ , em que ,

encontre .

106. Sendo , em que ,

encontre cossecθ.

107. Sendo tg , em que sen e

, encontre sen .

108. Sendo , em que sen ,

encontre .

Convertendo Medidas em Grau para Medidas em Radiano109–112 Converta as seguintes medidas em grau para medidas em radiano.

109. 135º

110. –280º

(às vezes, infinitamente mais soluções), dependendo do intervalo informado. Pensar nas respostas no círculo unitário é normalmente uma boa saída para visualizar as outras soluções.

✓✓ Embora você possa estar mais familiarizado com o uso de graus para medir ângulos, os radianos são usados quase exclusivamente em cálculo, portanto, aprenda a amá-los.

✓✓ Memorizar muitas identidades trigonométricas é uma boa ideia, pois elas aparecem frequentemente nos problemas de cálculo.




17 Capítulo 2: Revisão de Trigonometria

111. 36º

112. –315º

Convertendo Medidas em Radiano para Medidas em Grau113–116 Converta as seguintes medidas em radiano para medidas em grau.

113. rad

114. rad

115. rad

116. rad

Encontrando Ângulos no Plano Cartesiano117–119 Escolha o ângulo que mais se assemelha ao ângulo informado no diagrama.

117. Use o diagrama para encontrar a medida do ângulo que mais se assemelha ao ângulo .

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)





118. Usando o diagrama, encontre a medida do ângulo que mais se assemelha ao ângulo .

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

119. Usando o diagrama, encontre a medida do ângulo que mais se assemelha ao ângulo .

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)




19 Capítulo 2: Revisão de Trigonometria

Encontrando Valores Trigonométricos Comuns120–124 Encontre o sen , o e a tg para as medidas dos ângulos a seguir. Lembre-se de racionalizar os denominadores que contêm radicais.

120.

121.

122.

123.

124.

Simplificando Expressões Trigonométricas125–132 Determine qual expressão é equivalente à informada.

125. sen

(A)

(B) sen

(C)

(D) cossec

(E) tg

126. sec x – cos x

(A) 1

(B) sen x

(C) tg x

(D) cos x cot x

(E) sen x tg x

127. (sen x + cos x)2

(A) 2 + sen 2x

(B) 2 + cos 2x

(C) 1 + sec 2x

(D) 1 + sen 2x

(E) 1 + cos 2x

128. sen( – x)

(A) cos x

(B) sen x

(C) cossec x

(D) sec x

(E) tg x

129. sen x sen 2x + cos x cos 2x

(A) cos x

(B) sen x

(C) cossec x

(D) sec x

(E) tg x


Teoremas, Fórmulas e Definições Úteis de Cálculo

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