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1 Elaborado pela Professora Mirian Bernadete Bertoldi Oberziner – Disciplina Álgebra Linear e Geometria Analítica II Unidade I – ESTUDO DAS CÔNICAS 1) Equação da circunferência De maneira geral, denominamos de uma curva a toda equação em x e y cujas soluções ( x,y) são as coordenadas dos pontos da curva. No caso de um circunferência de centro C ( x C , y C ) e raio r dados, temos: y r P P (x,y) curva d (CP) = r C x Assim, usando a fórmula de distância entre dois pontos, obtemos: d = 2 c 2 c ) y (y ) x (x - + - r = 2 c 2 c ) y (y ) x (x - + - r² = ( x – x c ) ² + ( y – y c ) ² que é denominada equação reduzida da circunferência. Exemplos: 1) Determine a equação reduzida da circunferência de centro C ( 3, -1) e raio r = 2. Solução : ( x – 3 ) ² + (y – (-1))² = 2², ou seja, ( x – 3 )² + ( y +1)² = 4 2) Verifique se os pontos A (2, -1) e B (3,0) pertencem a circunferência de equação (x-2)²+(y-3)²=16. 3) Identifique o centro e o raio da circunferência de equação ( x+3)² + (y-1)² = 9 4) Determine a equação da circunferência de centro ( 0,0) e raio 5. Já conhecemos a equação reduzida da circunferência, que é r² = ( x – x c ) ² + ( y – y c ) ². Desenvolvendo esta equação, temos: r² = ( x – x c ) ² + ( y – y c ) ² r² = x² - 2xx c + x c ² + y² - 2yy c +y c ² Reorganizando, teremos: x² - 2xx c + x c ² + y² - 2yy c +y c ² - r² = 0 Pondo -2x c = a , –2y c = b e x c ² + y c ² - r² = c, teremos: x² + y² + ax + by + c = 0 que é a equação geral da circunferência.

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Elaborado pela Professora Mirian Bernadete Bertoldi Oberziner – Disciplina Álgebra Linear e Geometria Analítica II

Unidade I – ESTUDO DAS CÔNICAS 1) Equação da circunferência De maneira geral, denominamos de uma curva a toda equação em x e y cujas soluções ( x,y) são as coordenadas dos pontos da curva. No caso de um circunferência de centro C ( xC , yC ) e raio r dados, temos: y r • P

P (x,y) ∈ curva ⇔ d (CP) = r C • x Assim, usando a fórmula de distância entre dois pontos, obtemos:

d = 2

c

2

c )y(y)x(x −+−

r = 2

c

2

c )y(y)x(x −+−

r² = ( x – xc ) ² + ( y – yc ) ² que é denominada equação reduzida da circunferência. Exemplos: 1) Determine a equação reduzida da circunferência de centro C ( 3, -1) e raio r = 2. Solução : ( x – 3 ) ² + (y – (-1))² = 2², ou seja, ( x – 3 )² + ( y +1)² = 4 2) Verifique se os pontos A (2, -1) e B (3,0) pertencem a circunferência de equação (x-2)²+(y-3)²=16. 3) Identifique o centro e o raio da circunferência de equação ( x+3)² + (y-1)² = 9 4) Determine a equação da circunferência de centro ( 0,0) e raio 5. Já conhecemos a equação reduzida da circunferência, que é r² = ( x – xc ) ² + ( y – yc ) ². Desenvolvendo esta equação, temos:

r² = ( x – xc ) ² + ( y – yc ) ² r² = x² - 2xxc + xc ² + y² - 2yyc +yc²

Reorganizando, teremos: x² - 2xxc + xc ² + y² - 2yyc +yc² - r² = 0

Pondo -2xc = a , –2yc = b e xc ² + yc² - r² = c, teremos:

x² + y² + ax + by + c = 0 que é a equação geral da circunferência.

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Observamos que: -2 xc = a ⇒ 2

ax c

−=

-2 yc = b ⇒ 2

byc

−=

xc² + yc² - r² = c ⇒ cyxr 2

c

2

c −+=

Exemplos: 1) Determine a equação geral da circunferência de centro C(2,3) e raio 1. 2) Determine o centro e o raio da circunferência de equação x² + y²- 8x + 12y + 3 = 0. 2) O gráfico da circunferência Dada a equação (x-1)² + (y-2)² = c, podemos observar os seguintes casos:

a) Se c > 0, então a equação representa uma circunferência de centro (1,2) e raio r = c . b) Se c = 0, então a equação representa o ponto (1,2) c) Se c < 0, então ela representa o conjunto vazio. Faça o gráfico para visualizar melhor. Exercícios: 1) Determine a equação da circunferência ( reduzida e geral) em cada caso: a) C ( 3,3) e r = 6 b) C(-1,-3) e r = 2 2) Sendo dado o ponto P(1,1) pertencente a circunferência e o centro C(3,3), determine a equação

reduzida e geral da circunferência. 3) Determine o centro e o raio da circunferência em cada caso: a) x² + y² - 4x – 8y + 19 = 0 b) 2x² + 2y² + 4x – 8y – 8 = 0 c) 2x² - y² = 9 d) 4x² + 4y² + 8x – 4y – 3 = 0 Respostas: 1) a) (x-3)² + (y-3)² = 36 e x² + y² - 6x – 6y –18 = 0

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b) (x+1)² + (y+3)² = 4 e x² + y² + 2x + 6y + 6 = 0 2) (x-3)² + (y-3)² = 8 e x² + y² - 6x – 6y + 10 = 0

3) a) C (2,4) r = 1 b) C(-1,2) e r = 3 c) não é circunferência d) C(-1, ½ ) r=2 3) A circunferência definida por três pontos 1) Determine a equação da circunferência de centro C(2,0) e que passa pelo ponto P(4,1). Solução: Para obtermos o raio, basta usar a fórmula da distância:

r = 22 )01()24( −+−

r P r = 5 C • A equação da circunferência fica então definida como ( x – 2) ² + y² = 5. 2) Vamos agora determinar a equação da circunferência que passa pelos pontos M(2,0) e N(4,-2) e

tem centro na reta s: y = 2x. Solução: Como o centro equidista de todos os pontos na circunferência, temos que N s

d(CM) = d(CN) M 2

c

2

c

2

c

2

c )y2()x(4)y(0)x(2 −−+−=−+− •

Ficamos com 4xc – 4 yc = 16 ou xc – yc = 4. C Como C(xc ,yc ) pertence a s: y = 2x, temos que yc = 2xc . Substituindo esta equação na equação acima, vem: xc = -4 e yc = - 8. Assim, o centro é C = ( -4, -8) e podemos obter o raio:

r = 10)80()42( 22 =+++

A equação da circunferência é ( x + 4 )² + ( y + 8 ) ² = 100 3) Determine a equação da circunferência que passa pelos pontos M(3, -1) , N(0,8) e P (0,0) . Situação: N C • M P

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Exercícios: 1) Encontre a equação da circunferência sabendo que os pontos A(4,-2) e B(2,0) pertencem a circunferência e cujo centro é o ponto médio de AB. 2) Determine a equação de um circunferência de raio igual a 3, tangente aos eixos coordenados e contida no 2º quadrante. 3) Determine a equação da circunferência que passa pelos pontos A(-1,0) e B(1,0) e tem raio igual a

10 . 4) Determine a equação da circunferência que passa pelos pontos A(7,10), B(-9,2) e D(9,-4) Respostas: 1) (x-3)² +(y+1)² = 2 2) (x+3)² + (y-3)² = 9

3) x² + (y +3)² = 10 ou x² + ( y-3)² = 10 4) (x-1)²+(y-2)²=100 4) Posições relativas: I ) Posição relativa entre ponto e circunferência: Dado um ponto P qualquer e um circunferência, podemos ter três casos: γ P • P • •P • C • C • C γ γ

P ∈ γ P ∈ interior de γ P ∈ exterior de γ Exemplos: Verifique qual é a posição do ponto P dado em relação à circunferência de equação dada: a) P (5,-1) e x² + y² - 6x – 2y + 8 = 0 b) P ( 1, -2) e x² + y² - 2x + 4y – 3 = 0 c) P (1, -3) e x² + y² -2x + 4y – 3 = 0 Conclusão: - Se d(CP) > r o ponto é exterior à circunferência - Se d (CP) = r o ponto pertence à circunferência - Se d(CP) < r o ponto é interior à circunferência. Ainda com relação a posição entre ponto e circunferência, podemos observar algumas inequações e gráficos .

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Considere a equação da circunferência de centro (2,3) e raio 2 . a) Se ( x-2)² + (y-3)² < 2, teremos pontos dentro da circunferência. b) Se ( x-2)² + (y-3)² ≤ 2, teremos pontos dentro e sobre a circunferência. c) Se ( x-2)² + (y-3)² = 2, teremos pontos sobre a circunferência. d) Se ( x-2)² + (y-3)² > 2, teremos pontos fora da circunferência. e) Se ( x-2)² + (y-3)² ≥ 2, teremos pontos fora e sobre a circunferência.

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Exercícios: 1) Determine a posição de P em relação a γ nos casos: a) P (4,4) e γ : (x-3)² + (y-2)² - 4 = 0 b) P (3,1) e γ : x² + y² -4x – 2y + 4 = 0 c) P (5,3) e γ: x² + y² - 8x = 0 2) Determine k para que o ponto P(3,k) pertença ao interior da circunferência de equação x² + y² - 4x

= 0. 3) Determine k para que a equação x² + y² - 2x + 4y + k = 0 represente uma circunferência. 4) Idem para x² + y² - 4x – 3y + m = 0. 5) Faça o gráfico que represente as relações abaixo: a) x² + y² < 1 b) x² + y² > 4 c) 1 ≤ x² + y² ≤ 4

6) Represente graficamente as soluções do sistema:

<+≤+2yx

4yx 22

Respostas: 1) a) exterior b) pertence à circunferência c) interior 2) 33 <<− k 3) k < 5 4) m < 25/4 II ) Posição relativa entre reta e circunferência: Uma reta t e uma circunferência γ do plano cartesiano podem apresentar as seguintes posições relativas: Secante Tangente Exterior P P t t d Q d d

• C t C • • C d < r e t ∩∩∩∩ γγγγ = P, Q d = r e t ∩∩∩∩ γγγγ = P d > r e t ∩∩∩∩ γγγγ = ∅∅∅∅

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Dada a equação de t, ax + by + c = 0, o centro e o raio de γ, C ( xc, yc ) e r, podemos estabelecer a posição relativa calculando a distância d entre o centro e a reta:

ba

cbyax d

22

cc

+++

=

Comparando d com r, temos:

d < r ⇔⇔⇔⇔ t e γγγγ são secantes d = r ⇔⇔⇔⇔ t e γγγγ são tangentes d > r ⇔⇔⇔⇔ t e γγγγ são exteriores

Exemplos: 1) Considere a reta t: x + y – 4 = 0 e a circunferência γ: x² + y² = 16 e verifique a posição relativa entre t e γ. Solução: 1º modo: centro e raio de γ: C ( 0, 0) e r = 4

Distância entre C e t: 222

4

11

)4(00 d

22==

+−++=

Como 422 < , temos d < r e concluímos que t e γ são secantes. 2º modo: vamos resolver o sistema das equações de t e γ :

S =

=+=−+16yx

04yx22

Teremos duas soluções: x = 0 ou 4. Para x = 0 teremos y = 4 enquanto que para x = 4 termos y = 0. Logo, os pontos de intersecção são (4,0) e (0,4). Ou seja, há dois pontos de intersecção, logo a reta e a circunferência são secantes. III ) Posição relativa entre duas circunferências: Duas circunferências γ1 e γ2 do plano cartesiano podem apresentar as seguintes posições relativas: a) EXTERIORES b) TANGENTES EXTERNAMENTE

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c) SECANTES d) UMA NO INTERIOR DA OUTRA e) TANGENTES INTERIORMENTE f) CONCÊNTRICAS Exemplo: 1) Verifique a posição relativa das circunferências: γ1 = ( x – 1 )² + ( y – 2 ) ² = 5

γ2 = ( x – 3 )² + ( y – 3 )² = 10 Exercícios 1) Determine a posição relativa entre a reta x + y – 3 = 0 e a circunferência x² + y² -2x –2y –3 = 0. 2) Idem para x + y = -3 e x² + y² - 4x –2y –13 = 0. 3) Idem para x = y + 1 e x² + y² - 2x + 2y – 3 = 0 4) Determine o valor de m para que o ponto P (-1,3) pertença a circunferência x²+y²-2x+3y + m = 0. 5) Quais os pontos de intersecção entre a reta x+y+15=0 e a circunferência x² + y² - 4x -10y - 35=0.

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6) Calcule o comprimento da corda que a reta x + y - 3 = 0 determina na circunferência de equação

(x+2)² + (y-1)² = 10. 7) Quais são os valores de k para que a reta t, de equação 4x + 3y + k = 0 e a circunferência de

equação x² + y² - 12x + 6y + 9 = 0 sejam secantes? 8) Verifique a posição entre as circunferências: a) α: ( x-1)² + y² = 1

β: ( x-1)² + (y-4)² = 1 b) α: ( x-1)² + y² = 1

β: ( x-2)² + y² = 4

c) α: ( x-2)² + (y-2)² = 4 β: x² + y² = 25

d) α: ( x-4)² + y² = 4

β: ( x-2)² + y² = 1 9) As circunferências de equações x² + y² + 2x – 4y = 0 e x² + y² - x – y = 0 cortam-se nos pontos A

e B. Obtenha a equação da reta AB. Respostas: 1) secantes 2) tangentes 3) secantes 4) m = -21 5) ∅

6) 22 7) k > -45 e k < 15 8) a) exteriores b) tangentes internamente c) interiores não concêntricas d) secantes 9) x – y = 0

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ELIPSE Algumas aplicações das cônicas são: • As órbitas dos planetas têm a forma de elipse; • A hipérbole é utilizada no estudo descritivo da expansão de gases em motores a explosão; • A parábola é a curva que descreve a trajetória de um projétil, desprezando a resistência do ar.

Aparece ainda na construção de espelhos parabólicos, utilizados em faróis de automóveis, e de antenas parabólicas.

Neste capítulo, vamos estudar a elipse. Uma maneira prática de desenhar a elipse é a seguinte: espetamos um alfinete em cada foco e amarramos neles as pontas de um pedaço de linha com comprimento 2 a . Deslizando a ponta do lápis pela linha, de modo a mantê-la sempre bem esticada, faremos o desenho de uma elipse. 1) Definição:

A elipse é o lugar geométrico dos pontos de um plano os quais a soma das distâncias a dois pontos

fixos desse plano, F1 e F2 é uma constante 2a (maior que a distância 21FF ).

P • F1• • F2 Ao conjunto de todos os pontos P do plano tais que: d(P,F1 ) + d(P,F2 ) = 2a ou |PF1 | + | PF2 | = 2 a dá-se o nome de ELIPSE. Observação: a distância 2a é o tamanho do fio que se usou para construir a elipse.

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2) Elementos da elipse: B2 • a a b A1 F1• c c • F2 A2 a a b B1 • F1 e F2 são ditos FOCOS; • d( F1 , F2 ) = distância focal; • C = centro • A1 , A2 , B1 e B2 = vértices • | A1 A2 | = 2 a ( eixo maior) • | B1 B2 | = 2 b ( eixo menor) • a = semi eixo maior • b = semi eixo menor Em toda a elipse vale a relação: a² = b² + c²

Excentricidade: e = a

c ( 0 < e < 1 )

3) Equação da Elipse de centro na origem do sistema: 1º CASO: o eixo maior está sobre o eixo dos x. B2 P ( x,y) A1 F1(-c,0) F2(c,0) A2 b B1 a Usando a definição, temos: d(P,F1 ) + d(P,F2 ) = 2a ou, em coordenadas:

2ayc)(xyc)(x 2222 =+−+++

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Isolando um dos radicais, temos: 2222 yc)(x2ayc)(x +−+=++

e elevando ao quadrado, temos:

x² + 2cx + c² + y² = 4a² - 4 a 222222 yc2cxxc2cxyx ++−++−+

Isolando o radical e tornando a elevar ao quadrado ficamos com:

4a 4cx4ac2cxyx 2222 −=+−+

a cxac2cxyx 2222 −=+−+ Elevando novamente ao quadrado: a² [ x² - 2cx + c² + y² ] = a4 – 2a²cx + c²x² a²x² - 2a²cx + a² c² + a²y² = a4 – 2 a²cx + c²x² (a² - c²)x² + a² y² = a² ( a² - c²) Dividindo por a² ( a² - c²) fica

1ca

y

a

x22

2

2

2

=−

+

Como já sabemos que a² = b² + c², podemos escrever a² - c² = b² Logo, substituindo esta relação teremos:

1b

y

a

x2

2

2

2

=+ que é a equação reduzida da elipse.

2º CASO: o eixo maior está sobre o eixo dos y. b A2 (0,c) a •F2 B1 0 B2 •F1 (0,-c) A1 Com um procedimento análogo ao 1º caso, obteremos a equação reduzida

1a

y

b

x2

2

2

2

=+

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Observação: Tendo em vista que a² = b² + c², segue que

a² > b² e daí a > b Então, sempre o maior dos elementos na equação reduzida representa o número a², onde “a” é a medida do semi-eixo maior. Exemplos: 1) Dadas as elipses 3 a) b) 2 -2 2 -3 3 -3

-2 as equações em cada caso são:

a) 12

y

3

x2

2

2

2

=+ ou 14

y

9

x 22

=+ b) 13

y

2

x2

2

2

2

=+ ou 19

y

4

x 22

=+

2) Determine a equação da elipse de centro na origem e eixo maior horizontal sendo 10 cm e a distância focal 6 cm. Solução: Se o eixo maior = 10, temos que 2a = 10 logo, a = 5. E se a distância focal = 6, temos que 2c = 6, logo, c = 3 Assim, a equação fica:

1b

y

a

x2

2

2

2

=+ com a= 5, c = 3 e b = ????

Como achar b? Da relação a² = b² + c² temos que b = 4 Logo, a equação da elipse fica

116

y

25

xou 1

4

y

5

x 22

2

2

2

2

=+=+

3) Determine o eixo maior, o eixo menor, a distância focal, os focos, a excentricidade e o gráfico da elipse de equação x² + 4y ² = 16.

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4) Idem para a equação 9x² + 25 y² = 225. 5) Idem para a equação 4x² + y² = 16 6) Idem para a equação x² + y² - 9 = 0 7) Uma elipse de centro na origem tem um foco no ponto ( 3,0) e a medida do eixo maior é 8.

Determine sua equação. A excentricidade

A excentricidade de uma elipse de eixo maior 2a e distância 2c é o número tal que e = a

c.

Imaginemos uma seqüência de elipses, todas com mesmo eixo maior, porém com distância focais cada vez menores: a a a • c1 • • c2 • • c3 • F1 F2 F1 F2 F1 F2

e1 = a

c1 e2 = a

c2 e3 = a

c3

Conforme os focos vão se aproximando, a excentricidade da elipse vai diminuindo ( e1 > e2 > e3 ). Veja que quando a excentricidade é menor, a elipse fica mais arredondada.(Se e = 0, temos circunferência).

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Como curiosidade, saiba que tanto a trajetória da Terra em torno do Sol, como a da Lua em torno da Terra, são elipses, porém muito próximas de circunferências, pois têm excentricidade próximas de zero: a primeira tem excentricidade e = 0,016, enquanto a segunda tem excentricidade e = 0,054. 4) Equação da Elipse com centro fora da origem do sistema: 1º CASO: o eixo maior é paralelo ao eixo dos x. Considere a elipse de centro C ( xc , yc ) e seja P (x, y) um ponto qualquer da mesma.

• P (x,y) F1 F2

yc A1 • • A2

C xc

A equação de uma elipse de centro C (0,0) e eixo maior sobre o eixo dos x dada por 1b

y

a

x2

2

2

2

=+

passa agora, quando o eixo maior for paralelo ao eixo dos x e o centro for C( xc , yc ), para equação

1b

)y-(y

a

)x-(x2

2

c

2

2

c =+

2º CASO: o eixo maior é paralelos ao eixo dos y. A2 •F2

yc C •F1

A1

xc De forma análoga, temos:

1a

)y-(y

b

)x-(x2

2

c

2

2

c =+

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Exemplo: 1) Determine a equação da elipse de centro C(2,-1) e tangente aos eixos coordenados, sendo os eixos

de simetria paralelos aos eixos x e y. 2) Determine o centro, os focos, o eixo maior e o eixo menor da elipse 4x² + 9y² - 16x – 18y – 11 = 0. Exercícios: 1) Dê a equação e a excentricidade da elipse nos casos seguintes: a) O eixo menor mede 8 e os focos são F1 (-6,0) e F2 (6,0). b) Um foco é F1 (0,4), o centro dela é C(0,0), ela passa em P(2,0). c) O eixo maior mede 14 e os focos são F1 (0,-5) e F2 (0,5). 2) Determine o centro, os focos, o eixo maior e o eixo menor da elipse em cada caso: a) 25x² + 16y² + 50x + 64y – 311 = 0 b) 4x² + 9y² - 24x + 18y + 9 = 0 c) 16x² + y² + 64x – 4y + 52 = 0 d) 4x² + 9y² - 8x – 36y + 4 = 0 3) Determine a equação da elipse em cada caso: a) eixo maior = 10, focos (-4,0) e (4,0) b) centro ( 0,0), um foco em F1 =( ¾ , 0) e um vértice em A1 = (1,0) c) eixo menor = 4, Centro (0,0) e um foco em F1 = (0, 5− ). d) Centro C(2,4), um foco F(5,4) e excentricidade ¾. e) Eixo maior mede 10 e focos em F1 (2,-1) e F2 = (2,5). 4) Determine o centro, os vértices A1 e A2 , os focos F1 e F2 , e a excentricidade das elipses dadas:

a) 19

3)(y

16

2)(x 22

=++− b) 1

100

y

36

x 22

=+

c) 9x² + 25y² - 25 = 0 d) 9x² + 5y² = 45 Respostas:

1) a) 116

y

52

x 22

=+ , e ≅ 0,83 b) 120

y

4

x 22

=+ , e ≅ 0,89

c) 149

y

24

x 22

=+ , e ≅ 0,71

2) a) C(-1,-2) , F1 (-1,1) e F2 (-1,-5), eixo maior = 10, eixo menor = 8

b) C(3,-1), F1 ( 1,53 −+ ) e F2 ( 1,53 −− ), eixo maior = 6, eixo menor = 4

c) C(-2,2), F1 ( 152 ,2 +− ) e F2 ( 152 ,2 −− ), eixo maior = 8, eixo menor = 2

d) C(1,2), F1 ( 2 ,51− ) e F2 ( 2 ,51+ ), eixo maior = 6, eixo menor = 4 3) a) 9x² + 25y² = 225 b) 7x² + 16y² = 7 c) 9x² + 4y² - 36 = 0 d) 7x² + 16y² - 28x – 128y + 172 = 0 e) 25x² + 16y² - 100x – 64y – 236 = 0

4) a) C(2,-3), A1 (-2,-3), A2 (6, -3), F( 2± 7 , -3), e = 47

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b) C(0,0), A(0, ± 10), F ( 0, ±8) , e =5

4

c) C(0,0), A (± 3

5, 0 ) , F (±

3

4, 0) , e =

5

4

d) C(0,0), A ( 0, ± 3) , F ( 0, ± 2) , e = 3

2

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HIPÉRBOLE 1) Definição:

Hipérbole é o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja diferença das distâncias, em valor absoluto, a dois pontos fixos desse plano é constante.

Consideremos no plano dois pontos distintos F1 e F2 tal que a distância d (F1, F2 ) = 2c. Ao conjunto de todos os pontos P do plano tais que: | d (P, F1) - d (P, F2) | = 2 a ou | PF1| - | PF2 | = 2a

dá-se o nome de hipérbole. • P • • F1 F2

Na verdade, | d (P, F1) - d (P, F2) | = 2 a significa que d (P, F1) - d (P, F2) = ±±±± 2 a Quando P estiver no ramo da direita, a diferença é + 2a e, em caso contrário, será – 2a . P3 • P1 F1 A1 A2 F2 C P4 • P2

2 a 2c A hipérbole é uma curva simétrica em relação a estas duas retas, como também em relação ao ponto C. Se P1 é um ponto da hipérbole, existem os pontos P2 , P3 e P4 tais que: P2 é o simétrico de P1 em relação à reta horizontal, P3 é o simétrico de P1 em relação à reta vertical, P4 é o simétrico de P1 em relação à origem. Ainda pela simetria, conclui-se que d (A1 , F1) = d (A2 , F2)

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e da própria definição vem d (A1 , A2) = 2a 2) Elementos: B1 c b F1 A1 a A2 F2 B2

2 a 2c Focos: F1 e F2 Distância focal: 2 c entre os focos Centro: ponto médio do segmento F1F2 Vértices: A1 e A2 Eixo real ou transverso: é o segmento A1A2 de comprimento 2a Eixo imaginário ou conjugado: é o segmento B1B2 de comprimento 2b O valor de b é definido através da relação:

c² = a² + b² onde a, b e c são as medidas dos lados do triângulo retângulo no desenho.

Excentricidade: e = a

c com c > a e e > 1 .

3) Equação da hipérbole com centro C ( 0,0) na origem do sistema: 1º CASO: eixo real sobre o eixo dos x: | d (P, F1) - d (P, F2) | = 2 a

2a |0)(yc)(x0)(yc) -(x| 2222 =−+−−−+

Com o mesmo procedimento da equação da elipse, chegamos a equação:

1b

y

a

x2

2

2

2

=− que é a equação reduzida da hipérbole de centro na origem e

eixo real sobre o eixo dos x. 2º CASO: eixo real sobre o eixo dos y:

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1b

x

a

y2

2

2

2

=− que é a equação reduzida da hipérbole de centro na origem e

eixo real sobre o eixo dos y. Exemplos: 1) A hipérbole da figura a seguir tem equação reduzida ............ 2 -3 3

-2

12

y

3

x2

2

2

2

=− ou 14

y

9

x 22

=−

2) No exemplo anterior, determine os vértices A1 e A2 e os focos F1 e F2 .

Basta fazermos y = 0, encontrando na equação 3. ou x 19

x 2

±== Logo, A1 (3,0) e A2 (-3,0) .

Para encontrarmos os focos, precisamos encontrar a distância focal, ou seja, o valor de c. Como c² = a² + b², temos c² = 9 + 4 = 13

Assim, c = 13±

Logo, F1 ( 13, 0) e F2 (- 13, 0). 4) Equação da hipérbole com centro C ( xc , yc ) fora da origem do sistema: 1º CASO: eixo real sobre o eixo dos x:

1b

)y-(y

a

)x-(x2

2c

2

2c =−

2º CASO: eixo real sobre o eixo dos y:

1b

)x-(x

a

)y-(y2

2c

2

2c =−

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5) Hipérbole Equilátera: Os semi eixos real e imaginário são iguais: Logo, a = b Exemplos: Em cada caso ( 1 até 5) , determine: - a equação reduzida; - a medida dos semi-eixos; - um esboço do gráfico; - os vértices; - os focos; - a excentricidade. 1) 9x² - 7y² - 63 = 0

Solução: 9x² - 7y² - 63 = 0 ou 19

y

7

xou

63

63

63

7y

63

9x 2222

=−=−

a² = 7 logo, a = 7 b² = 9 logo, b = 3 Gráfico:

Vértices: A1 (- 7 ,0) e A2 ( 7 , 0) Focos: precisamos do valor de c: c² = a² + b² c = 4 Logo, os focos são F1 (-4,0) e F2 (4, 0)

Excentricidade: e = c/a = 4 /7 2) x² - 4y² + 16 = 0 3) x² - y² = 4

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4) 16x² - 25y² - 1600 = 0 5) x² - y² = 1 Exercícios: 6) Determine a equação de uma hipérbole de Focos (-5, 0) e (5,0) e a medida do eixo real é igual a

6. 7) Sendo dados os vértices A1 ( 5,5) e A2 (5, -1), e a excentricidade e = 2, determine a, b e c,

grafique a hipérbole e determine sua equação. 8) Ídem ao exercícios 7, sendo dados os focos F1 (3,4) e F2 (3, -2), e a excentricidade e = 2. 9) Sendo F1 ( -1,-5) e F2 (5, -5), determine a equação da hipérbole equilátera. Faça também um

esboço do gráfico. 10) Determine a equação da hipérbole de vértices A1 ( 1,-2) e A2 (5, -2), sabendo que F(6,-2) é um de

seus focos. 11) Determine o centro, um esboço do gráfico, os vértices, os focos e a excentricidade das hipérboles

de equação: a) 9x² - 4y² - 18x – 16y – 43 = 0 b) 9x² - 4y² - 54x + 8y +113 = 0 c) 4x² - y² - 32x + 4y + 24 = 0 d) x² - 4y² + 6x + 24y – 31 = 0 Respostas:

6) 116

y

9

x 22

=−

7) a=3, b= 3 3 e c = 6, 127

5)-(x

9

2)-(y 22

=−

8) 4x² - 12y² - 24x + 24y + 51 = 0 9) 2x² - 2y² - 8x – 20y – 51 = 0 10) 5x² - 4y² - 30x - 16y + 9 = 0

11) a)C(1,-2) , A1 (-1,-2), A2 (3, -2) , F ( 1 13± , -2) , e = 213

b) C(3,1) , A1 (3,-2), A2 (3, 4) , F (3, 1 13± ) , e = 313

c) C(4,2) , A1 (1,2), A2 (7, 2) , F ( 534 ± , 2) , e = 5

d) C(-3,3) , A1 (-5,3), A2 (-1,3) , F ( 53±− , 3) , e = 25

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PARÁBOLA: Consideremos em um plano uma reta d e um ponto F não pertencente a d. Parábola é o lugar geométrico dos pontos do plano que são eqüidistantes de F e d. F• F• = _ _ = • P • = _ _ = V d A P’ Elementos: F = ponto fixo ( FOCO) d = diretriz ( reta) eixo: é a reta que passa pelo foco e é perpendicular à diretriz Vértice: é o ponto V de interseção da parábola com o seu eixo. Por definição, temos que

d(PF) = d(PP’) 1) Equação da Parábola de Vértice na origem do sistema: 1º CASO: O eixo da parábola é o eixo dos y: • F • P

2

p

2p x

d P’ Da definição de parábola, temos que: d(PF) = d(PP’)

Como, F ( 0, 2p ) e P’( x, -

2p ) temos:

| (x - 0, y -2p )| = | (x - x, y +

2p )|

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ou

2222 )2p(yx)(x)2

p(y0)(x ++−=−+−

Elevando ambos os membros ao quadrado, obteremos:

(x - 0)² + ( y -2p )² = ( x – x ) ² + ( y +

2p )² .

ou

x² + y² - py + 4

2p = y² + py + 4

2p

ou, simplesmente:

x² = 2 py Esta equação é chamada equação reduzida da parábola e constitui a forma padrão da equação da parábola de vértice na origem tendo para eixo o eixo dos y. Da análise desta equação conclui-se que, tendo em vista ser 2py sempre positivo (pois é igual a x²>0), os sinais de p e de y são sempre iguais. Consequentemente, se p > 0 a parábola tem concavidade voltada para cima e , se p < 0 a parábola tem concavidade voltada para baixo. Este número real p ≠ 0 é conhecido como parâmetro da parábola. 2º CASO: O eixo da parábola é o eixo dos x: y P’ • • P(x,y) A V • F(

2

p , 0) x

2

p 2

p

d Sendo P(x,y) um ponto qualquer da parábola de foco F(

2

p ,0), obteremos de forma análoga ao 1º caso a

equação reduzida:

y² = 2 px

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Conforme o sinal de p termos: se p > 0, a parábola tem concavidade voltada para a direita e , se p < 0 a parábola tem concavidade voltada para a esquerda. Exemplos: 1) Determine o foco e a equação da diretriz das parábolas x² = 8y e y² = -2x. Construir o gráfico: Solução: a) x² = 8y A equação é da forma x² = 2py, logo: 2p = 8 p = 4

2

p = 2

Portanto, foco : F ( 0, 2) Diretriz = y = -2 y F •2 x 0 4 diretriz -2 b) y² = -2x A equação é da forma y² = 2px, logo: 2p = -2 p = -1

2

p = -2

1

Portanto, foco: F = (-2

1 , 0) d: x = ½

diretriz: x = 2

1 • 2

F • -2 -2 3) Determine a equação de cada uma das parábolas, sabendo que: a) vértice ( 0,0) e foco ( 1,0) ; b) vértice ( 0,0) e diretriz y = 3; c) vértice (0,0), passa pelo ponto P (-2,5) e concavidade voltada para cima. d) Vértice ( 0,0) e foco ( 0, -3) ; e) Foco ( 2,0) e diretriz x + 2 = 0.

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3) Translação de eixos: Consideremos no plano cartesiano xOy um ponto O’(h,k) arbitrário. Usando um novo sistema x’O’y’ tal que os eixos O’x’ e O’y’ tenham a mesma unidade de medida, a mesma direção e o mesmo sentido dos eixos Ox e Oy. Assim, podemos obter este novo sistema pela translação de eixos. y y’ • P y’ x’ O’ y x’ k x h

x Podemos observar que x = x’+ h e y = y’+ k Logo, teremos: x’= x – h e y’= y – k Estas são as fórmulas de translação. A principal finalidade da transformação de coordenadas é modificar a forma de equações. Por exemplo, seja a parábola de equação x’² = 4y’ no novo sistema. Se tivermos h = 3 e k = 2, isto é, O’( 3,2) e sabendo que x’= x – h e y’ = y – k, temos x’= x – 3 e y’= y – 2 Logo, a equação da parábola em relação ao sistema xOy é: (x-3)² = 4 (y-2) ou x² - 6x + 9 = 4y – 8 ou x² - 6x – 4y + 17 = 0 Gráfico:

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4) Equação da Parábola de Vértice fora da origem do sistema: 1º CASO: O eixo da parábola é o eixo dos y: y y’ • P

y’ y O’ = V x’ k x’

x h x Seja P(x,y) um ponto qualquer desta parábola. Sabe-se que a equação da parábola referida ao sistema x’O’y’ é: x’² = 2py’ mas x’= x – h e y’= y – k, logo:

( x – h )² = 2 p ( y – k ) que é a forma padrão da equação de uma parábola de vértice V(h,k) e eixo paralelo ao eixo dos y. 2º CASO: O eixo da parábola é o eixo dos x: De modo análogo ao caso anterior, teremos:

( y – k )² = 2 p ( x – h ) Observamos que se V(h,k) = (0,0) voltamos a ter o caso inicial de vértice na origem. Exemplos: 1) Determine a equação da parábola de vértice V(3,-1) sabendo que y-1=0 é a equação de sua

diretriz. Solução: Vejamos o gráfico para facilitar y 1 y = 1 diretriz

2

p

3 x -1 V

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A equação da parábola é da forma : ( x-h)² = 2p(y-k) Mas h=3 k= - 1 e p/2 = -2 , p = -4 substituindo na equação , vem: (x-3)² = 2 . (-4) ( y+1) ou x² - 6x + 9 = -8y – 8 ou melhor: x² - 6x + 8y + 17 = 0 2) Determine a equação da parábola de vértice V(4,1) e equação de diretriz x + 4 = 0 3) Determine a equação da parábola de foco em F(1,2), sendo x=5 a equação da diretriz: 4) Determine o vértice, o foco, a equação da reta diretriz e o gráfico de cada uma das parábolas: a) x² + 4x + 8y + 12 = 0 b) y² - 12x – 12 = 0 c) y² + 2y – 16x – 31 = 0 d) x² - 2x – 20y – 39 = 0

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5) Equação da parábola na forma explícita: Sabemos que a equação de uma parábola de vértice V(h,k) e eixo paralelo ao eixo dos y tem a forma padrão : (x-h)² = 2p(y-k) Por exemplo, para V(2,-1) e p = 1/8, teríamos: (x-2)² = ¼ (y+1) Como o objetivo é escrever a forma explícita, vamos explicitar y na equação: x² - 4x + 4 = ¼ y + ¼ ou 4x² - 16x + 16 = y + 1 de onde vem:

y = 4x² - 16x + 15 que é a forma explícita mais conhecida por nós, ou seja, está na forma: y = ax² + bx + c. Reciprocamente, dada uma equação na forma explícita, podemos sempre conduzi-la à forma padrão. Assim, se a equação é : y= 4x² - 16x + 15 temos: 4x² - 16x = y – 15 4 ( x² - 4x ) = y – 15 Completando quadrados: 4 ( x² - 4x + 4 ) = y – 15 + 16 4(x-2)² = y + 1 ( x – 2 )² = ¼ (y+1) Logo, o vértice é V ( 2, -1) e 2p = ¼ portanto p = 1/8 . OBS.: Se a parábola tem eixo paralelo ao eixo dos x, sua equação na forma explícita é

x = ay² + by + c, correspondente a forma padrão ( y – k )² = 2p(x - h)

Exemplos: 1) Determine a equação da parábola que passa pelos pontos ( 0,1), (1,0) e (3,0) conforme a figura:

1 1 3

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Exercícios: 1) Em cada caso estabeleça a equação de cada uma das parábolas sabendo que: a) vértice V(0,0) e diretriz d: y = -2 b) vértice V(0,0) e foco F(0,-3) c) foco F(0,-1) e diretriz d: y – 1 = 0 d) vértice V(-2,3) e foco F(-2,1) e) vértice V(0,0), eixo y = 0 e passa por (4,5). f) Foco F(6,4) e diretriz y = -2 g) Eixo de simetria paralelo ao eixo dos y e a parábola, passa pelos pontos A(0,0), B(1,1) e C (3,1). 2) Em cada caso, determine o vértice, o foco, uma equação para a diretriz e uma equação para o eixo

da parábola de equação dada. Esboce o gráfico: a) x² = -12 y b) y² = -3x c) y² + 4y + 16x – 44 = 0 d) 6y = x² - 8x + 14 e) y² - 16x + 12y + 49 = 0 Respostas: 1) a) x² = 8y b) x² = - 12y c) x² = - 4y d) x² + 4x + 8y – 20 = 0 e) 5x² - 16y = 0 f) (x-6)² = 12 (y-1)

g) y = x3

4x

3

1 2 +−

2) a) V(0,0), F(0,-3) , y = 3 e x =0 b) V(0,0), F(- ¾ , 0), x = ¾ e y =0 c) V(3,-2), F(-1,-2), x=7 e y =-2 d) V(4, -1/3 ), F(4, 7/6), 6y + 11 = 0 e x-4=0

e) V(16

13,-6), F(

16

77,-6), x =

16

51− e y = -6

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Aplique seus conhecimentos e descubra as equações das cônicas e retas das embalagens representadas em seu corte transversal longitudinal:

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Unidade II - ESPAÇOS VETORIAIS Relembrando vetores e suas operações ( Geometria Analítica): Sejam u

r= (x1 , y1 , z1) e v

r= (x2 , y2 , z2) vetores no R³ e α número real, então:

a) u

r = v

r se x1 = x2 , y1 = y2 e z1 = z2 ;

b) ur

+ vr

= (x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2 ); c) αu

r= (αx1 , αy1 , αz1);

d) ur

• vr

= x1 . x2 + y1 . y2 + z1 . z2 ;

e) |ur

| = u.urr

= 2

1

2

1

2

1 zyx ++

f) proj v ur

= |v|vu

r

rr•

1. Propriedades de vetores:

1) (u

r + v

r) + w

r= u

r + ( v

r + w

r) (Propr. Associativa da Adição)

2) ur

+ vr

= vr

+ ur

( Propr. Comutativa da Adição) 3) u

r + 0 = 0 + u

r = u

r ( elemento neutro da Adição)

4) ur

+ (-ur

) = 0 ( elemento oposto da Adição) 5) (αβ) u

r = α (βu

r) ( Propr. Associativa da Multiplicação)

6) (α+β) ur

= α ur

+ βur

( Propr. Distributiva da Mult.) 7) α (u

r + v

r) = α u

r+ αv

r ( Propr. Distributiva da Mult.)

8) 1 . ur

= ur

( Elemento neutro da Mult. )

2. Definição: Seja um conjunto V, não vazio, sobre o qual estão definidas as operações adição e multiplicação por escalar, isto é: → ∀ u

r, vr

∈ V, temos ur

+ vr

∈ V → ∀ α ∈ R, ∀ u

r ∈ V, temos αu

r ∈ V

O conjunto V com essas duas operações é chamado ESPAÇO VETORIAL REAL se forem verificados os seguintes axiomas: A1 (u

r + v

r) + w

r= u

r + (v

r + w

r) ∀ u

r, vr

, wr

∈ V A2 u

r + v

r = v

r +ur ∀ u

r, vr

∈ V A3 ∃ 0 ∈ V, ∀ u

r ∈ V , u

r + 0 = 0 + u

r = u

r

A4 ∀ ur ∈ V , ∃ (-u

r) ∈ V , u

r + (-u

r) = 0

M1 (αβ) u

r = α (βu

r) ∀ α, β ∈ R e ∀ u

r ∈ V

M2 (α+β) ur = α u

r + βu

r ∀ α, β ∈ R e ∀ u

r ∈ V

M3 α (ur + v

r) = α u

r+ αv

r ∀ α ∈ R e ∀ u

r, vr

∈ V

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M4 1 . ur = u

r ∀ u

r ∈ V

Obs.: Os elementos do Espaço Vetorial V serão chamados vetores, independentes de sua natureza. Exemplo: 1) O conjunto V = R² = (x, y) / x, y ∈ R é um espaço vetorial com as operações de adição e multiplicação por número real definidas por:

(x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 +x2 , y1 + y2 ) α (x , y ) = ( αx , αy )

Demonstração: Sejam u

r= (x1 , y1 ) , v

r= (x2 , y2 ) e w

r= ( x3 , y3 )

A1 ) (ur

+ vr

) + wr

= [( x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) ] + (x3 , y3 ) = [( x1 + x2 , y1 + y2 ) ] + (x3 , y3 ) = ( x1 + x2 + x3 , y1 + y2 + y3 ) = [ x1 + (x2 + x3 ), y1 + (y2 + y3 )] = ( x1 , y1 ) + [ (x2 + x3 , y2 + y3 )] = u

r + (v

r + w

r)

A2 ) u

r + v

r = ( x1 , y1 ) + (x2 , y2 )

= ( x1 + x2 , y1 + y2 ) = ( x2 + x1 , y2 + y1 ) = (x2 , y2 ) + (x1 , y1) = v

r+ ur

A3) ∃ 0 = (0,0) → u

r + 0 = ( x1 , y1 ) + (0,0) = ( x1 , y1 ) = u

r

A4) ∀ u

r ∈ V , ∃ (-u

r) ∈ V → u

r + (-u

r) = ( x1 , y1 ) + ( -x1 , -y1 ) = ( x1 - x1 , y1 - y1 ) = (0,0) = 0

M1) (αβ) u

r = (α β) ( x1 , y1 ) = (αβx1 , αβy1 )

= (α (βx1 ), α (βy1)) = α ( βx1 , βy1 ) = α[β ( x1 ,y1)] = α (βu

r)

M2) (α+β) u

r = (α+β) ( x1 , y1 ) = ((α+β) x1 , (α+β) y1 )

= (α x1 + βx1 , αy1 + βy1 ) = ( αx1 , αy1 ) + (βx1 , βy1 ) = α (x1 , y1 ) + β (x1 , y1 ) = αu

r + βu

r

M3 ) α (u

r + v

r) = α (( x1 , y1 ) + (x2 , y2 )) = α ( x1 + x2 , y1 + y2 )

=( α x1 + αx2 , αy1 + αy2 ) = (α x1 , α y1 ) + ( α x2 , α y2 )) = α u

r+ αv

r

M4 ) 1 . u

r = 1 .( x1 , y1 ) = ( x1 , y1 ) = u

r

Outros exemplos de Espaços Vetoriais: 2) R³ 3) Rn 4) M (m,n) de matrizes

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5) Pn = a0 + a1x + a2x2 + ...+ anx

n dos polinômios de grau n 6) O conjunto V = (x, x²) / x ∈ R com as operações de adição e multiplicação por número real definidas por: (x1 , x1

2 ) ⊕ (x2 , x22 ) = (x1 +x2 , x1 ² + x2 ² )

α * (x , x² ) = ( αx , αx² ) Exercícios: 1) Verifique se o conjunto R² = (a, b) / a,b ∈ R com as operações ( a,b) + ( c,d) = (a+c, b+d) e k ( a,b) = (ka, b) é um espaço vetorial, mostrando os axiomas.

2) Verifique se o conjunto M 2x2 =

d c

b a e as operações usuais de soma e multiplicação

por escalar é um Espaço Vetorial . 3) Verifique se o conjunto V = (x, x²) / x ∈ R com as operações de adição e multiplicação por número real definidas por: (x1 , x1

2 ) ⊕ (x2 , x22 ) = (x1 +x2 , x1 ² + x2 ² )

α * (x , x² ) = ( αx , αx² ) é um espaço vetorial.

3. Subespaços Vetoriais Seja V um Espaço Vetorial e S um subconjunto não vazio de V. O subconjunto S é um Subespaço Vetorial de V se S é um Espaço Vetorial em relação à adição e à multiplicação por escalar definidas em V. Teorema: Um subconjunto S, não vazio de um espaço vetorial de V é um subespaço de V se estiverem satisfeitas as condições: i) para qualquer u

r , vr

∈ S, tem-se que ur + v

r ∈ S ;

ii) para qualquer α ∈ R, ur ∈ S tem-se que αu

r ∈ S .

Obs.: todo espaço vetorial V admite pelo menos dois subespaços: o conjunto 0, chamado subespaço zero ou nulo, e o próprio espaço vetorial V. Estes dois são os subespaços triviais . Os demais subespaços são denominados próprios . Exemplos: 1) Sejam V = R² e S = (x,y) ∈ R² / y = 2x ou S = (x, 2x) / x∈ R, isto é, S é o conjunto de

vetores do plano que tem a segunda componente igual ao dobro da primeira. Mostre que S é subespaço de V.

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Solução: Verificando as condições i e ii acima: Sejam u

r = ( x1 , 2x1 ) e v

r = (x2 , 2x2 ). Então

i) ur + v

r= ( x1 , 2x1 ) + (x2 , 2x2 ) = ( x1 + x2 , 2x1 + 2x2 ) = ( x1 + x2 , 2(x1 + x2 )) ∈ S .

ii) αur = α ( x1 , 2x1 ) = (α x1 , 2(αx1 )) ∈ S

Logo, S é subespaço de V.

2) Sejam V = M2x2 =

R d c, b, a, ,

d c

b a e S =

R b a, ,

0 0

b a. Verifique se S

é subespaço de V. Solução:

Para qualquer

=

0 0

b au 11r

∈ S e

=

0 0

b av 22r

∈ S e α ∈ R, tem-se que:

i) ur + v

r ∈ S pois:

ii) αu

r ∈ S pois:

3) Verifique se S é subespaço de V em cada caso: a) V = R4 e S = ( x, y, z, 0 ), x, y, z ∈ R b) V = R² e S = (x, y) / x > 0 c) V = R² e S = ( x, |x| ) , x ∈ R d) V = R² e S = (x,y) ∈ R² / y = -2x e) V = R² e S = (x,y) ∈ R² / y = 4-2x f) V = R² e S = (x,y) ∈ R² / x + 3y = 0

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4. Combinação Linear: Sejam os vetores v

r1 , v

r2 , ... , v

rn do espaço vetorial V e os escalares a1, a2 ,..., an .

Quaisquer vetores vr

∈ V da forma :

vr

= a1vr

1 + a2 vr

2 + ... + an vr

n é uma combinação linear dos vetores v

r1 , v

r2 , ... , v

rn .

Exemplos: 1) Considere os vetores no R³ : v

r1 = (1, -3, 2) e v

r2 = ( 2, 4, -1).

a) Escreva vr

= ( -4, -18, 7) como combinação linear de vr

1 e vr

2 . Sol.:

vr

= a1vr

1 + a2 vr

2 + ... + an vr

n ( -4, -18, 7) = a1 (1, -3, 2) + a2 (2, 4, -1)

=−−=+−

−=+

7a2a

184a3a

42aa

21

21

21

Resolvendo o sistema, temos: a1 = 2 e a2 = -3. Logo, v

r = 2 v

r1 – 3v

r2 .

b) Mostre que o vetor v

r = ( 4, 3, -6) não é combinação linear de v

r1 e v

r2 .

Sol.: vr

= a1vr

1 + a2 vr

2 + ... + an vr

n ( 4, 3, -6) = a1 (1, -3, 2) + a2 (2, 4, -1)

=−=+−

=+

-6a2a

34a3a

42aa

21

21

21

Resolvendo o sistema, não conseguimos encontrar uma solução que valha para as três equações. Logo, não tem solução, ou seja, não é possível escrever v

r como combinação

linear de vr

1 e vr

2 . c) determine k para que o vetor v

r = ( -1, k, -7) seja combinação linear de v

r1 e v

r2 .

vr

= a1vr

1 + a2 vr

2 + ... + an vr

n ( -1, k, -7) = a1 (1, -3, 2) + a2 (2, 4, -1)

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=−=+−

−=+

-7a2a

4a3a

12aa

21

21

21

k

Resolvendo o sistema, encontramos a1 = -3, a2 = 1, e portanto k = 13. 2) No Espaço Vetorial P2 dos polinômios de grau ≤ 2 , verifique se o polinômio vr

= 7x² +11x – 26 é uma combinação linear dos polinômios vr

1 = 5x² - 3x + 2 e vr

2 =-2x² +5x–8. Sol.: De fato, v

r = a1v

r1 + a2 v

r2 + ... + an v

rn

7x² +11x – 26 = a1 (5x² -3x +2) + a2 ( -2x² +5x–8 )

=−=+−

=−

-26a82a

11a53a

72a5a

21

21

21

Resolvendo o sistema, encontramos a1 = 3 e a2 =4, portanto vr

= 3vr

1 + 4 vr

2 3) Mostre que o vetor v

r = ( 3, 4 ) ∈ R² pode ser escrito de infinitas maneiras como

combinação linear de vr

1 = ( 1,0) , vr

2 = ( 0,1) e vr

3 = ( 2,-1) .

5. Subespaços Gerados Seja V um espaço vetorial. Consideremos um subconjunto A = v

r1, vr

2 , ..., vr

n ⊂ V, A ≠ 0. O conjunto S de todos os vetores de V que são combinação linear dos vetores de A é um subespaço vetorial de V. De fato, se u

r = a1 v

r1 + a2 v

r2 + ... + an v

rn e v

r = b1 v

r1 + b2 v

r2 + ... + bn v

rn são dois

vetores quaisquer de S, pode-se escrever ur + v

r = ( a1 + b1 )v

r1 + (a2 + b2 )v

r2 + ... + (an+ bn)v

rn

α ur = (αa1 )v

r1 + (αa2)v

r2 + ... +(α an)v

rn

Tendo em vista que u

r + v

r ∈ S e que α u

r ∈ S, por serem combinações de v

r1, v

r2 , ..., v

rn

, conclui-se que S é um subespaço vetorial de V. Simbolicamente, o subespaço S é S = v

r ∈ V / v

r = a1 v

r1 + a2 v

r2 + ... + anv

rn , a1 , a2 , ..., an ∈ R

Observações:

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1) O subespaço S diz-se GERADO pelos vetores vr

1, vr

2 , ..., vr

n ou gerado pelo conjunto A, e se representa por:

S = [vr

1, vr

2 , ..., vr

n ] ou S = G(A) Os vetores v

r1, v

r2 , ..., v

rn são chamados geradores do subespaço S, enquanto A é o

conjunto gerador de S. 2) Para o caso particular A = ∅, defini-se [ ∅ ] = 0 3) A ⊂ G(A) ou seja, v

r1, vr

2 , ..., vr

n ⊂ [vr

1, vr

2 , ..., vr

n ]. 4) Todo conjunto A ⊂ V gera um subespaço vetorial de V, podendo ocorrer G(A) = V. Nesse

caso, A é o conjunto gerador de V. Exemplos:

1) Os vetores (1,0)i =r

e (0,1)j =r

geram o espaço vetorial R², pois qualquer vetor (x,y)

∈ R² é combinação linear de ir

e jr

. Demonstração:

(x,y) = x ir

+ y jr

= x ( 1,0) + y ( 0,1) = ( x,0) + ( 0, y) = ( x, y).

Então: [ ir

, jr

] = R² .

2) Os vetores (1,0,0)i =r

e (0,1,0)j =r

do R³ geram o subespaço S= (x,y,0) ∈ R³ / x,y ∈ R. Demonstração:

(x,y,0) = x ir

+ y jr

= x ( 1,0, 0) + y ( 0,1,0) = ( x,0,0 ) + ( 0, y, 0 ) = ( x, y, 0)

Assim, [ ir

, jr

] = S é um subespaço próprio do R³ e representa geometricamente o plano xOy . z

kr

jr

y

ir

x

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Exercícios: 1) Mostre que o conjunto A = (3,1), (5,2) gera o R². 2) Seja V = R³. Determine o subespaço gerado pelo vetor v

r1 = ( 1, 2, 3).

3) Considere os vetores u

r = ( 1,2 ,-1) e v

r = ( 6, 4, 2 ) em R³. Mostre que w = ( 9, 2, 7 ) é

combinação linear de ur e v

r e que s = ( 4, -1, 8) não é combinação linear de u

r e v

r.

4) Verifique se v

r1 = ( 1, 1, 2 ), v

r2 = ( 1, 0, 1) e v

r3 = (2, 1, 3) geram o espaço vetorial R³.

5) Idem para v

r1 = ( 2, -1, 3 ), v

r2 = ( 4, 1, 2) e v

r3 = (8, -1, 8).

6) Idem para v

r1 = ( 2, 2, 2 ), v

r2 = ( 0, 0, 3) e v

r3 = (0, 1, 1).

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7) Determine se os seguintes polinômios geram P2 : p1 = 1 – x + 2x²

p2 = 3 + x p3 = 5 – x + 4x² p4 = -2 – 2x + 2x²

8) Seja M2x2 o espaço vetorial das matrizes de ordem 2. Encontre quatro matrizes que

geram M2x2 . 9) Sejam v

r1 = ( 2, 1, 0, 3 ), v

r2 = ( 3, -1, 5, 2) e v

r3 = (-1, 0, 2, 1). Quais dos seguintes

vetores podem ser gerados por [vr

1 ,vr

2 , vr

3 ]. a) ( 2, 3, -7, 3) b) ( 0, 0, 0, 0 ) c) ( 1, 1, 1, 1) d) ( -4, 6, -13, 4)

6. Dependência e Independência Linear Definição: Sejam V um espaço vetorial e A = v

r1 ,vr

2 , ..., vr

n ⊂ V. Consideremos a equação

a1 vr

1 + a2 vr

2 + ... + anvr

n = 0 Sabemos que essa equação admite pelo menos uma solução: a1 = 0 , a2 = 0, ..., an = 0, chamada solução trivial. O conjunto A diz-se linearmente independente ( LI ) ou os vetores v

r1 ,v

r2 , ..., v

rn são LI

caso a equação admita apenas a solução trivial. Se existirem soluções ai ≠ 0, diz- se que o conjunto A é linearmente dependente ( LD) ou que os vetores v

r1 ,vr

2 , ..., vr

n são LD.

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Exemplos: 1) Verifique se são LI ou LD os conjuntos abaixo: a) no espaço V = R³ e os vetores v

r1 = ( 2, -1, 3 ), v

r2 = ( -1, 0, -2) e v

r3 = (2, -3, 1).

b) no espaço V = R4 e os vetores v

r1 = ( 2, 2, 3, 4 ), v

r2 = ( 0, 5, -3, 1) e v

r3 = (0, 0, 4, -2).

c) no espaço V = R³ e os vetores e1 = ( 1, 0, 0 ), e2 = ( 0, 1, 0 ) e e3 = (0, 0, 1).

d) no espaço V = M2x2 e o conjunto A =

−−

1 3

4- 3,

0 3

3- 2,

1 3

2 1.

Teorema: Um conjunto A = v

r1 ,v

r2 , ..., v

rn é LD se e somente se pelo menos um desses vetores é

combinação linear dos outros. Obs.: 1) O teorema também pode ser enunciado como: “Um conjunto A = v

r1 ,v

r2 , ..., v

rn é LI

se e somente se nenhum desses vetores for combinação linear dos outros. ” 2) Dois vetores v

r1 e v

r2 são LD se e somente se um vetor é múltiplo escalar do outro.

Ex.: vr

1 = ( 1, -2, 3) e vr

2 = ( 2, -4, 6) são LD.

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vr

1 = ( 1, -2, 3) e vr

2 = ( 2, 1, 5) são LI. Interpretação geométrica:

vr

2 vr

1 vr

2

vr

1

vr

1 ,vr

2 são LD . vr

1 ,vr

2 são LI. Obs.: quando tivermos espaço vetorial V = R³ devemos usar a idéia de coplanaridade vista em Geometria Analítica ou Álgebra Analítica e Linear I . Para tanto, cabe lembrar que três vetores estão no mesmo plano ( são coplanares) se o produto misto entre eles for igual a zero. Se isto ocorrer, os vetores são LD.

7. Base de um Espaço Vetorial

Um conjunto B = v1, v2, ..., vn ⊂ V é uma base do espaço vetorial V se: - B é LI; - B gera V. Ex.: 1) Seja B = (1,1) , ( -1, 0). Verifique se B é base do R². Solução: B é LI, pois a1 ( 1,1) + a2 ( -1,0) = (0,0) somente se a1 = 0 e a2 = 0. B gera R² pois ( x, y) = a1 ( 1,1) + a2 ( -1,0) . Teremos a1 = y e a2 = y – x. Logo, ( x, y ) = y ( 1,1) + (y-x) ( -1,0) e portanto, B gera R². Logo, B é base do R². 2) O conjunto B = ( 1,0) , ( 0,1) é uma base do R² pois B é LI e gera R². B é conhecida

como BASE CANÔNICA DO R².

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3) O conjunto B =

1 0

0 0 ,

0 1

0 0 ,

0 0

1 0 ,

0 0

0 1 é dita base canônica de M2x2.

4) O conjunto B = 1, x, x², x³, ..., xn é uma base do espaço vetorial dos polinômios Pn . 5) O conjunto B = ( 1,2) , ( 2, 4) não é uma base do R² pois B é LD. 6) O conjunto B = ( 1,0) , ( 0, 1), ( 3,4) não é uma base do R² pois B é LD. 7) O conjunto B = ( 2, -1) não é uma base do R² pois B é LI mas não gera R². 8) O conjunto B = ( 1,2, 1) , (-1, -3, 0) não é uma base do R³ pois B é LI mas não gera

R³. Teorema: Se B = v1, v2, ..., vn for uma base de um espaço vetorial V, então todo conjunto com mais de n vetores será linearmente dependente. Corolário: Duas bases quaisquer de um espaço vetorial tem o mesmo número de vetores. Ex.: 1) A base canônica do R³ tem três vetores. Logo, qualquer outra base do R³ também terá três vetores. 2) A base canônica das matrizes M 3x3 tem nove vetores. Logo, toda base de M 3x3 terá 9 vetores.

8. Dimensão Seja V um espaço vetorial. Se V possui uma base com n vetores, então V tem dimensão n e escrevemos dim V = n

Ex.: 1) dim R² = 2 2) dim R³ = 3 3) dim M2x2 = 4 4) dim Mmxn = m x n 5) dim Pn = n+1 6) dim 0 = 0 Obs.: 1) Se dim S = 0, então S = 0 é a origem. 2) Se dim S = 1, então S é uma reta que passa pela origem. 3) Se dim S = 2, então S é um plano que passa pela origem. 4) Se dim V = n, qualquer subconjunto de V com n vetores LI é uma base de V.

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Ex.: B = (2,1),(-1,3) é uma base do R² pois dim B = 2 e os vetores são LI. Exercícios: 1) Explique porque os seguintes conjuntos de vetores não são base dos espaços

indicados: a) u= ( 1, 2) v = ( 0,3) e w = ( 2, 7 ) em R² b) u = ( -1, 3, 2) v = ( 6, 1, 1,) em R³ c) p1 = 1 + x + x² p2 = x – 1 em P2

d) A =

3 2

1 1 B =

4- 2

0 6 C =

7 1

0 3 D =

2 4

1 5 E =

9 2

1 7 em M 2x2

2) Quais dos seguintes conjuntos de vetores são base de R²? a) ( 2,1 ) e ( 3, 0) b) ( 4,1 ) e ( 1, 3) c) ( 0,0 ) e ( 1, 3) d) ( 3,9 ) e (-4, -12) 3) Mostre que o conjunto de vetores dados é uma base de M2x2 :

6- 3

6 3,

0 1-

1- 0,

4- 12-

8- 0 ,

2 1-

0 1

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Exercícios – Espaços Vetoriais 1) Expresse os seguintes vetores como combinações lineares de u = ( 2 , 1 , 4 ), v =(1, -1, 3) e w = (3, 2, 5): a) ( -9, -7, -15) b) ( 6, 11, 6 ) c) ( 0, 0, 0) 2) Expresse os seguintes polinômios como combinações lineares de p1 = 2 + x + 4 x² , p2 = 1 – x + 3x² e p3 = 3 + 2x + 5x² : a) –9 – 7x – 15x² b) 0 c) 7 + 8x + 9x² 3) Verifique se são LI ou LD os seguintes conjuntos:

a)

−−

−− 9 12

6 3 ,

3 4

2 1 ⊂ M 2x2

b) ( 2, -1), ( 1, 3) ⊂ R². c) ( -1, -1, 0, 3) , ( 2, -1, 0, 0) , ( 1, 0, 0, 0) ⊂ R4. d) 1 + 2x – x², 2 – x + 3x² , 3 – 4x + 7x² ⊂ P2 . 4) Determine o valor de k para que o conjunto ( 1, 0, -1), ( 1, 1, 0) , ( k, 1, -1) seja LI. 5) Suponha que v1 , v2 e v3 são vetores em R³ com pontos iniciais na origem. Em cada caso, determine se os três vetores estão num mesmo plano, ou seja, se isto ocorrer, eles são LD. Faça o desenho no plano cartesiano. a) v1 = ( 2, -2, 0), v2 = ( 6, 1, 4 ) e v3 = ( 2, 0, -4) b) v1 = ( -6, 7, 2), v2 = ( 3, 2, 4 ) e v3 = ( 4, -1, 2) 6) Para quais valores reais de “k” os vetores v1 = ( k, - ½ , - ½ ) , v2 = ( -½ , k, -½ ) e v3 = (-½ , -½ , k) formam um conjunto linearmente dependente em R³ ? Respostas: 1) a) –2u + v – 2w b) 4u – 5v + w c) 0u + 0v + 0w 2) a) –2p1 + p2 – 2p3 b) 0p1 + 0p2 + 0p3 c ) 0p1 - 2 p2 + 3p3 3) a) LD b) LI c) LI d) LD 4) k ≠ 2 5) a) não b) sim 6) k = – ½ e k = 1

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Unidade III - TRANSFORMAÇÕES LINEARES

1. Introdução Neste momento veremos um tipo especial de função ( ou aplicação), onde o domínio e o contradomínio são espaços vetoriais reais. Assim, tanto a variável independente como a variável dependente são vetores, razão pala qual essas funções são chamadas vetoriais. Vamos usar funções vetoriais lineares, que serão denominadas Transformações Lineares. “T” é uma transformação do espaço vetorial V no espaço vetorial W , e escrevemos: T: V → W Ex.: T: R → R² T: R² → R³ Sendo T uma função, cada vetor v ∈ V tem um só vetor imagem w ∈ W, que será indicado por w = T(v) . Ex.: Seja T : R² → R³ que associa vetores v =(x, y) ∈ R² com vetores w =( x,y,z ) ∈ R³. T(x,y) = ( 3x, -2y, x – y ) Se quisermos calcular T ( 2,1), basta usar x = 2 e y = 1 na transformação, assim: T(2,1) = ( 6, -2, 1) Ou em outros casos, podemos ver a correspondência entre v e T(v):

(2,1) (6,-2, 1)

(-1,3) (-3,-6,-4)

(0,0) (0,0,0) v T(v) Definição: Sejam V e W espaços vetoriais. Uma aplicação T : V → W é chamada Transformação Linear de V em W se: i) T ( u + v ) = T (u) + T (v) ii) T ( αu) = α T (u) Obs: uma transformação linear de V em V é chamada Operador Linear sobre V.

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Exemplos: 1) Seja T: R² → R³ tal que T ( x, y ) = ( 3x, -2y, x – y ). Verifique se T é transformação

linear. 2) Seja T: R → R tal que T ( x ) = ( 3x ). Verifique se T é transformação linear. 3) Seja T: R → R tal que T ( x ) = ( 3x + 1 ). Verifique se T é transformação linear. 4) Seja T: R³ → R² tal que T ( x, y, z ) = ( 3x + 2, 2y - z ). Verifique se T é transformação

linear.

5) Seja a matriz A =

−4 0

3 2

2 1

. Essa matriz determina a transformação T: R² → R³ tal que v

→ Av ou T(v) = Av. Verifique se T(v) é linear e encontre a matriz Av da transformação linear.

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Solução: T( u + v ) = A ( u + v ) = Au + Av = T ( u) + T (v) T ( α u) = A (αu) = α Au = α T(u) Logo, T(v) é transformação linear. Efetuando Av, onde v = ( x, y ) ∈ R² é um vetor coluna de ordem 2x1, resulta:

−4 0

3 2

2 1

.

y

x =

+−+

4y

3y 2x

y 2 x

portanto T é definida por T(x,y) = ( x+2y, -2x+3y, 4y) Obs.: uma matriz A mxn sempre determina uma transformação linear. Exercícios: 1) Verifique quais transformações são lineares. Justifique: a) T : R² → R³, T(x,y) = ( x - y , 2x + y, 0) b) T : R² → R², T(x,y) = ( x + 2 , y + 3 ) c) T : R² → R , T(x,y) = |x| d) T : V → V , H(v) = λ v , λ ∈ R, λ fixo. Propriedade: Se T: V → W for uma transformação linear e se v = a1 v1 + a2 v2 então temos:

T (a1 v1 + a2 v2 ) = a1 T ( v1 ) + a2 T ( v2 ) Exemplos: 1) Seja T: R³ → R² uma transformação linear e B = v1 , v2 , v3 ) uma base do R³, sendo v1

= ( 0, 1, 0), v2 = ( 1, 0, 1) e v3 = ( 1, 1, 0) . Determine T ( 5, 3, -2) sabendo que T( v1 ) = ( 1, -2), T( v2 ) = ( 3, 1 ) e T(v3 ) = ( 0, 2) .

Solução : Expressamos v = ( 5, 3, -2) como combinação linear de v1 , v2 , v3 . Logo:

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v = a1 v1 + a2 v2 + a3 v3

(5, 3, -2) = a1 (0, 1, 0) + a2 ( 1, 0, 1) + a3 ( 1, 1, 0) Encontramos então : a1 = a2 = a3 = Agora, usamos a propriedade da T.L. T(5, 3, -2) = a1 T(0, 1, 0) + a2 T( 1, 0, 1) + a3 T( 1, 1, 0) Assim, conseguimos, mesmo sem sabermos a lei da T.L., encontrar T(5, 3, -2). 2) Considere T: R³ → R³ uma transformação linear definida por T( x, y, z) = ( x+2y+2z , x

+ 2y – z , -x + y + 4z) . Determine: a) u ∈ R³ tal que T (u) = ( -1, 8, -11) b) v ∈ R³ tal que T(v) = v 3) Sabendo que T: R² → R³ é uma transformação linear e que T( 1, -1) = ( 3, 2, -2) e T

(-1,2) = (1, -1, 3), determine T( x , y ) .

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4) Sabendo que T: R² → R² é uma transformação linear e que T ( 1, 0) = ( 3, -2) e T(0, 1) = (1, 4), determine T( x , y ) .

Exercícios: 1) Consideremos a transformação linear T : R² → R² definida por T(x,y) = (3x-2y, x + 4y).

Utilize os vetores u = ( 1,2) e v = (3,-1) para mostrar que T (3u+4v) = 3T(u) + 4 T(v). 2) Dada a transformação linear T : V → W, tal que T(u) = 3u e T(v) = u – v , calcule em

função de u e v : a) T ( u + v ) = b) T ( 3v) = c) T ( 4u – 5v) = 3) Dentre as transformações T : R²→ R² definidas pelas seguintes leis, verifique quais são

lineares: a) T(x,y) = ( x-3y, 2x+5y) b) T(x,y) = ( x², y² ) c) T(x,y) = ( x+1, y) d) T(x,y) = ( y, x) e) T(x,y) = ( xy, x-y) 4) Dentre as seguintes transformações , verifique quais são lineares: a) T: R² → R³ ; T(x,y) = ( x – y , 3x – 2y) b) T: R² → R² ; T(x,y) = ( | x | , y)

c) T: R² → M2x2 ; T(x,y) =

+− 2yy x

3x2y

5) a) Determine a transformação linear T: R² → R³ tal que T(-1,1) = ( 3, 2, 1 ) e T(0,1) = ( 1,1,0). b) Encontre v ∈ R² tal que T(v) = ( -2, 1, -3).

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6) a) Determine a transformação linear T : R³ → R² tal que T(1, -1, 0) = ( 1,1 ), T( 0, 1, 1) = ( 2,2) e T(0,0,1) = (3,3) .

b) Ache T(1,0,0) e T( 0,1,0). 7) Seja T um transformador linear no R³ tal que T(1,0,0) = ( 0,2,0) , T( 0,1,0) = ( 0,

0,-2) e T(0,0,1) = ( -1, 0,3). Determine T( x, y, z) e o vetor v ∈ R³ tal que T(v) = ( 5, 4, -9).

Respostas: 2) a) 4u – v b) 3u – 3v c) 7u + 5v 3) São lineares a, d 4) São lineares: a, c 5) a) T(x,y) = (-2x+y, -x + y, -x) b) v = (3,4) 6) a) T(x,y,z) = ( -y+3z, -y+3z) b) T(1,0,0) = ( 0,0) e T(0,1,0) = ( -1,-1) 7) T(x,y,z) = (-z, 2x, -2y + 3z) v = ( 2, -3, -5) 2. Núcleo e Imagem de uma Transformação Linear: Núcleo: Chama-se núcleo de um Transformação Linear T : V → W ao conjunto de todos os vetores v ∈ V que são transformados em 0 ∈ W. Indica-se por N(T) ou Ker (T). Imagem: Chama-se imagem de uma transformação linear T : V → W ao conjunto de todos os vetores w ∈ W que são imagens de pelo menos um vetor v ∈ V. Indica-se esse conjunto por Im(T) ou T(v). 3. Transformações Lineares : Funções de R n em R

Lembre que uma função é uma regra f que associa a cada elemento de um conjunto A um, e exatamente um, elemento de um conjunto B. Se f associa o elemento b ao elemento a então escrevemos b = f(a) e dizemos que b é a imagem de a por f ou que f(a) é o valor de f em a . O conjunto A é chamado domínio de f e o conjunto B é chamado o contradomínio de f. A imagem de f é o subconjunto de B consistindo de todos os possíveis valores de f à medida que a percorre A . Para funções mais elementares, A e B são conjuntos de números reais e então dizemos que f é uma função real de uma variável real. Outras funções comuns ocorrem quando B é um conjunto de números reais e A é um conjunto de vetores em R² ou R³ ou, mais geralmente, em Rn . Alguns exemplos são dados na tabela abaixo:

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Fórmula Exemplo Classificação Descrição f(x) f(x) = x² Função real de uma

variável real Função de R em R

f( x, y ) f( x, y ) = x² + y² Função real de duas variáveis reais

Função de R² em R

f( x, y, z ) f(x,y,z) = x² + y² + z² Função real de três variáveis reais

Função de R³ em R

No caso especial em que as equações são lineares, a transformação é dita linear. Assim uma transformação linear T : Rn → Rm é definida por equações da forma: w1 = a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + ... + a1n xn w2 = a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + ... + a2n xn w3 = a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 + ... + a3n xn . . . wm = am1 x1 + am2 x2 + am3 x3 + ... + amn xn ou então em notação matricial:

=

n

3

2

1

mnm3m2m1

3n333231

2n232221

1n131211

n

3

2

1

x

.

.

.

x

x

x

.

a ... a a a

.

.

.

a ... a a a

a ... a a a

a ... a a a

w

.

.

.

w

w

w

ou bem mais simples: w = A x ou [ T ] = A x Obs.: A matriz A = [ aij ] é chamada matriz canônica da transformação linear T e a transformação T é chamada multiplicação por A . Exemplos: 1) Uma transformação do R² em R³: - as equações w1 = x1 + x2

w2 = 3x1 + 2x2 w3 = - x1 + x2

definem uma transformação T: R² → R³. A imagem do ponto ( x1 , x2 ) por esta transformação é o ponto T ( x1 , x2 ) = (x1 + x2 , 3x1 + 2x2 , - x1 + x2 ) . Assim, por exemplo,. T ( 1,-2) =

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E a matriz canônica desta transformação é : A = 2) Uma transformação linear do R4 em R³ definida pelas equações

w1 = 2x1 - 3x2 + x3 – 5x4 w2 = 4x1 + x2 - 2x3 + x4 w3 = 5x1 - x2 + 4 x3

pode ser escrita na forma matricial como

=

4

3

2

1

3

2

1

x

x

x

x

.

0 4 1- 5

1 2- 1 4

5- 1 3- 2

w

w

w

de modo que a matriz canônica de T é:

0 4 1- 5

1 2- 1 4

5- 1 3- 2

A

=

A imagem do ponto ( x1 , x2 , x3 , x4 ) pode ser calculada diretamente das equações definidoras ou da matriz por multiplicação matricial. Por exemplo:

se o ponto for (1, -3, 0, 2) , e substituirmos nas equações inicias, teremos w1 = 1, w2 = 3 e w3 = 8

Ou então, de forma alternativa, usando a forma matricial teremos:

=

=

8

3

1

2

0

3-

1

.

0 4 1- 5

1 2- 1 4

5- 1 3- 2

w

w

w

3

2

1

Exercícios: 1) Encontre a matriz canônica da transformação linear T: R³ → R³ dada por

w1 = 3x1 + 5x2 – x3 w2 = 4x1 - x2 + x3

w3 = 3x1 – x3 + 2x2 e em seguida calcule T(-1, 2, 4) por substituição direta nas equações e também por multiplicação matricial. 2) Encontre a matriz canônica do operador linear T definido pela fórmula: a) T ( x, y ) = ( 2x – y, x + y)

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b) T ( x, y) = ( x, y) c) T ( x, y, z) = ( x + 2y + z, x + 5y, z) d) T ( x, y, z) = ( 4x, 7y, -8z) e) T(x,y) = ( y, –x, x + 3y, x – y) f) T ( x, y, z, t) = ( 7x + 2y – z + t, y + z, -x) 3) Em cada parte é dada a matriz canônica [ T ] de uma transformação linear T. Use a

matriz para obter T (x). Expresse as respostas em forma matricial.

a) [ T ] =

4 3

2 1; x =

2-

3 b) [ T ] =

5 1 3

0 2 1-; x =

3

1

1-

c) [ T ] =

1- 0 6

7 5 3

4 1 2-

; x =

3

2

1

x

x

x

d) [ T ] =

8 7

4 2

1 1 -

; x =

2

1

x

x

Respostas:

1)

1- 2 3

1 1- 4

1- 5 3

; T(-1, 2, 4) = ( 3, -2, -3)

2) a)

1 1

1- 2 b)

1 0

0 1 c)

1 0 0

0 5 1

1 2 1 d)

8- 0 0

0 7 0

0 0 4 e)

1- 1

3 1

0 1-

1 0

f)

0 0 0 1-

0 1 1 0

1 1- 2 7

3) a)

1

1- b)

13

3 c)

++++

31

321

321

x- 6x

x7 x5 3x

x4 x 2x- d)

+++

21

21

21

8x 7x

x4 2x

x x-

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4. A geometria das Transformações Lineares: Dependendo de como encaramos uma n-upla , se como um ponto ou um vetor, o efeito geométrico de um operador T : Rn → Rn é o de transformar cada ponto ( ou vetor) de Rn em algum novo ponto ( ou vetor). T(x) T(x) x x T leva pontos em pontos T leva vetores em vetores O operador identidade: Se I é a matriz identidade n x n, então, para cada vetor x em Rn temos TI (x) = I x = x de modo que a multiplicação por I leva cada vetor em Rn em si mesmo. Nós chamamos esta transformação em operador identidade de Rn . Entre os operadores lineares mais importantes de R² e R³ estão os que produzem reflexões, projeções e rotações. Vejamos estes operadores:

a) REFLEXÕES: Considere o operador T: R² → R² que aplicada cada vetor na sua imagem simétrica em relação ao eixo y . y ( -x, y) (x, y) x -x x Se escrevermos w = T(x), então as equações relacionando os componentes de x e de w são :

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w 1 = -x = -x + 0y w 2 = y = 0x + y Ou em formato matricial:

=

−=

y

x-

y

x.

1 0

0 1

w

w

2

1

Como as equações são lineares, T é um operador linear e a matriz canônica de T é

[ T ] =

−1 0

0 1

Em geral, os operadores em R² e R³ que levam cada vetor em seu simétrico em relação a alguma reta ou plano são chamados de reflexões. Estes operadores são lineares. As Tabelas 1 e 2 a seguir listam algumas das reflexões mais comuns. Tabela 1 :

Obs.: 1) a reflexão em torno da reta y = -x possui matriz canônica dada por

−−

0 1

1 0 .

2) a reflexão em relação a origem possui matriz canônica dada por

−−

1 0

0 1 .

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Tabela 2:

b) PROJEÇÕES: Considere o operador T: R² → R² que leva cada vetor na sua projeção ortogonal sobre o eixo x . As equações relacionando os componentes de x e de w = T(x) são : w 1 = x = x + 0y w 2 = 0 = 0x + 0y

Ou em formato matricial:

=

=

0

x

y

x.

0 0

0 1

w

w

2

1

Como as equações são lineares, T é um operador linear e a matriz canônica de T é

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[ T ] =

0 0

0 1

y (x,y) x T(x) = w x (x,0) Em geral, uma projeção ( ou mais precisamente, uma projeção ortogonal) de R² ou R³ é qualquer operador que leva cada vetor em sua projeção ortogonal sobre alguma reta ou algum plano pela origem. Pode ser mostrado que tais operadores são lineares. As Tabelas 3 e 4 listam algumas das mais básicas projeções em R² e R³ . Tabela 3:

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Tabela 4:

c) ROTAÇÕES : Um operador que gira cada vetor em R² por um ângulo fixado θ é chamado uma rotação em R² . A Tabela 5 dá as fórmulas para as rotações de R². Para mostrar como derivamos estes resultados, considere o operador que gira cada vetor no sentido anti-horário por um ângulo positivo θ fixado. Para encontrar as equações relacionando x com w = T(x), seja α o ângulo entre x e o eixo x positivo e seja r o comprimento comum de x e de w . y w = ( w1 , w2 ) r x = (x,y) r θ α x

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Por Trigonometria básica, x = r cos α y = r sen α e

w1 = r cos ( θ + α ) w2 = r sen (θ + α) Aplicando identidades trigonométricas, resulta: w1 = r cos θ . cos α - r sen θ . sen α w2 = r sen θ . cos α + r cos θ. sen α e substituindo resulta: w1 = x cos θ - y sen θ w2 = x sen θ + y cos θ As equações acima são lineares, de modo que T é um operador linear. Além disso, segue destas equações que a matriz canônica de T é :

[ T ] =

−θ cos θsen

θsen θ cos

Tabela 5:

Se cada vetor em R² é rodado por um ângulo de 6π ( = 30º ), então a imagem w de um

vetor x =

y

x é T(x) = w =

y

x.

6 cos 6sen

6sen 6 cos

ππ

ππ =

y

x.

23 2

1

21- 2

3 =

+ y 2

3 x

2

1

y2

1 -x

2

3

Por exemplo, a imagem do vetor x =

1

1 é w =

+

2

31

2

13

.

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Em geral descrevemos uma rotação de vetores em R³ em relação a um raio partindo da origem, chamado o eixo de rotação . À medida que um vetor gira em torno do eixo de rotação, ele varre uma porção de um cone ( ver tabela 6 abaixo). O ângulo de rotação, que é medido na base do cone, é descrito como sendo no sentido “horário” ou “anti-horário” em relação ao ponto de vista ao longo do eixo de rotação olhando para a origem. Por exemplo, na tabela 6 abaixo, o vetor w resulta da rotação no sentido anti-horário do vetor x em torno do eixo l por um ângulo de θ. Assim como no R², os ângulos são positivos se gerados por rotações no sentido anti-horário e negativos se gerados por rotações no sentido horário. O sentido anti-horário para a rotação em torno do eixo pode então ser determinado pela “regra da mão direita” : se o polegar da mão direita aponta na direção e sentido do vetor u então os dedos da mão fechada apontam no sentido anti-horário. Tabela 6

Uma rotação em R³ é um operador linear que gira cada vetor em R³ em torno de algum eixo de rotação por um ângulo fixado θ. Nas tabelas 7 e 8 descrevemos rotações em R³ cujos eixos de rotação são os eixos coordenados positivos. Para cada uma das rotações, um dos componentes permanece inalterado durante a rotação e a relação entre os dois outros componentes pode ser deduzida da mesma maneira que deduzimos as rotações para R². Tabela 7:

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Tabela 8:

d) DILATAÇÕES E CONTRAÇÕES: Se k é um escalar não negativo, então o operador T(x) = kx de R² ou de R³ é chamado uma homotetia de razão k ; especificamente, o operador é uma contração de razão k se 0 ≤ k ≤ 1 e uma dilatação de razão k se k ≥ 1. O efeito geométrico de uma contração é comprimir cada vetor por um fator k e o efeito geométrico de uma dilatação é esticar cada vetor por um fator k . Uma contração comprime R² ou R³ uniformemente de todas as direções na direção da origem e uma dilatação expande R² ou R³ uniformemente em todas as direções para longe da origem. x T(x) = kx T(x) = k x x

0 ≤ k < 1 k > 1 As tabelas 9 e 10 listam as contrações e dilatações em R² e R³ .

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Tabela 9:

Além destas, se quisermos dilatar ou contrair um vetor somente numa direção, usamos as

matrizes canônicas: na direção x:

1 0

0k e na direção y :

k 0

0 1

Tabela 10:

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e) CISALHAMENTO:

O efeito do cisalhamento é transformar o retângulo ( formado pelo vetor x) em um paralelogramo de mesma base e mesma altura. Veja: a) Na direção do eixo dos x: ( cisalhamento horizontal)

T(x,y) = ( x + α y, y ) ou

=

+y

x.

1 0

α 1

y

αy x

B P B P’ O A O A b) Na direção do eixo dos y: ( cisalhamento vertical)

T(x,y) = ( x , αx + y ) ou

=

+ y

x.

1 α

0 1

y αx

x

P’ B P B O A O A

Ex.: A matriz

1 2

0 1 representa um cisalhamento vertical de fator 2.

Verifique esta afirmação, para o vetor ( 1,2 ), ou seja, calcule T(1,2) utilizando cisalhamento vertical de fator 2.

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Exercícios: 1) Use multiplicação matricial para encontrar a reflexão de ( -1,2) em torno: a) do eixo x b) do eixo y c) da reta y = x 2) Use multiplicação matricial para encontrar a reflexão de ( 2, -5, 3 ) em torno: a) do plano xy b) do plano xz c) do plano yz 3) Use multiplicação matricial para encontrar a projeção ortogonal de ( 2, -5 ) sobre o: a) eixo x b) eixo y 4) Use multiplicação matricial para encontrar a projeção ortogonal de ( -2, 1, 3 ) sobre o: a) plano xy b) plano xz c) plano yz 5) Use multiplicação matricial para encontrar a imagem do vetor ( 3, -4 ) quando for girado

por um ângulo de: a) θ = 30º b) θ = -60º c) θ = 45º d) θ = 90º 6) Use multiplicação matricial para encontrar a imagem do vetor ( -2, 1, 2 ) quando for

girado por um ângulo de: a) 30º em torno do eixo x; b) 45º em torno do eixo y; c) 90º em torno do eixo z; 7) Encontre a matriz canônica para a composição dada de operadores lineares de R²: a) uma rotação 90º seguida de uma reflexão em torno da reta y = x b) uma reflexão em torno do eixo x seguida de uma dilação de razão k = 3. Respostas: 1) a) ( -1, -2) b) (1, 2 ) c) ( 2, -1) 2) a) ( 2, -5, -3) b) ( 2, 5, 3) c) ( -2, -5, 3) 3) a) (2, 0) b) ( 0, -5) 4) ( -2, 1, 0) b) ( -2, 0, 3) c) ( 0, 1, 3 )

5) a)

−+2

343,

2

433 b)

−−−2

433,

2

343 c)

−2

2,

2

27 d) ( 4, 3)

6) a)

+−−2

321,

2

23,2 b) ( 0, 1, 2 2 ) c) ( -1, -2, 3)

7) a)

1- 0

0 1 b)

3- 0

0 3

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5. Operações com transformações lineares: 1) Adição: T1 (x) + T2 (x ) = ( T1 + T2 )(x ) 2) Subtração: T1 (x) - T2 (x ) = ( T1 - T2 )(x ) 3) Multiplicação por escalar: α T(x) = T(αx) Exercícios: Sejam T1 : R² → R³ e T2 : R² → R³ transformações lineares definidas por T1 (x,y) = ( x + 2y, 2x – y, x ) e T2 (x, y) = (-x, y, x+ y ) . Determine: a) T1 + T2 = b) 3T1 - T2 = c) a matriz canônica de 3T1 - T2 e mostrar que [3T1 - T2 ] = 3 [T1 ] – [T2 ] 4) Composição: Sejam T1 : V → W e T2 : W → U transformações lineares. Chama-se aplicação composta de T1 com T2 e se representa por T2 o T1 à transformação linear : ( T2 o T1 )(v) = T2 ( T1(v)) ou através de multiplicação das matrizes canônicas das transformações: ( T2 o T1 )(v) = [ T2 ] . [ T1 ] Exemplo: Sejam S e T transformações lineares no R² → R² definidos por S (x,y) = ( 2x, y) e T(x,y) = ( x, x-y). Determine, através de composição por substituição e multiplicação de matrizes canônicas: a) S o T = b) T o S = c) S o S = d) T o T = Exercícios: 1) Sejam as transformações lineares T1 : R² → R³ , T1( x , y ) = ( x - y, 2x + y, - 2x ) e T2 : R² → R³ , T2( x , y ) = ( 2x - y, x - 3y, y ) . Determine as seguintes transformações lineares de R² em R³: a) T1 – T2 b) 3T1 – 2T2

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2) Sejam S e T transformações lineares ( operadores) de R² definidos por S(x,y)=( x-2y, y) e T(x,y) = ( 2x, -y). Determine: a) S + T d) S o T b) T – S e) T o S c) 2S + 4T f) S o S 3) Os pontos A(2,-1) e B(-1,4) são vértices consecutivos de um quadrado. Calcule os outros dois vértices utilizando a matriz-rotação. 4) Em um triângulo ABC, os ângulos B e C medem 75º cada. Sendo A(1,1) e B(-1,5), determine o vértice C. 5) Determine, em cada caso, a matriz da transformação linear de R² em R² que representa a seqüência de transformações dadas: a) reflexão em torno do eixo dos y, seguida de um cisalhamento de fator 5 na direção

horizontal; b) rotação de 30º no sentido horário, seguida de uma duplicação dos módulos e inversão

dos sentidos; c) rotação de 60º no sentido anti-horário, seguida de uma reflexão em relação ao eixo dos

y; d) rotação de um ângulo θ, seguida de uma reflexão na origem; e) reflexão em torno da reta y = -x, seguida de uma dilatação de fator 2 na direção Ox e,

finalmente, um cisalhamento de fator 3 na direção vertical. 6) O vetor v = ( 3, 2) experimenta seqüencialmente: 1 – Uma reflexão em torno da reta y = x; 2 – Um cisalhamento horizontal de fator 2; 3 – Uma contração na direção Oy de fator 1/3 ; 4 – Uma rotação de 90º no sentido anti-horário. Calcule o vetor resultante dessa seqüência de operações e determine a matriz canônica da composta das operações. Respostas: 1) a) ( -x, x + 4y, -2x – y) b) ( -x –y, 4x + 9y, -6x – 2y) 2) a) ( 3x – 2y, 0) b) ( x + 2y, -2y) c) ( 10x – 4y, -2y) d) ( 2x + 2y, -y) e) ( 2x – 4y, -y) f) ( x – 4y, y) 3) Duas soluções: ( 4, 7) e (7,2) ou ( -6,1) e (-3,-4)

4) C( -1 - 3 , 2 3 ) ou C ( 3 - 3 , 2 + 2 3 )

5) a)

−1 0

5 1 b)

3 1

1- 3 c)

1/2 /23

/23 2/1 d)

−−−

θ cos θsen

θsen θ cos e)

− 6- 1

2- 0

6) ( -1, 8) e [T] =

−1 2

0 3/1

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Unidade IV - OPERADORES LINEARES: Já comentamos que as Transformações Lineares de um espaço vetorial V em si mesmo, isto é, T: V → V são chamadas OPERADORES LINEARES sobre V.

As propriedades de T. L. são válidas também para operadores lineares. Mas, existem algumas propriedades específicas para operadores, que veremos agora.

1. Operadores Inversíveis: Um operador T: V → V associa a cada vetor v ∈ V um vetor T(v) ∈ V. Se por meio de outro operador S for possível inverter esta correspondência, de tal modo que a cada vetor transformado T(v) se associa o vetor de partida v, diz-se que S é operador inverso de T, e se indica por T -1 . V V T v T(v) T-1

Quando T admite a inversa T -1 , diz-se que T é inversível, invertível , regular ou não-singular. Quando sabemos que T é inversível?????? Basta que o determinante da matriz canônica seja diferente de zero. Ex.: 1) Seja o operador linear em R² definido por T(x,y) = ( 4x-3y, -2x+2y). a) Mostre que T é inversível. b) Encontre uma regra para T-1 como a que define T. 2) Verifique se o operador linear T : R³ → R³ definido por T ( 1, 1, 1) = ( 1, 0, 0 ) , T(-2,

1, 0)= (0, -1, 0) e T( -1, -3, -2) = ( 0, 1, -1) é inversível e, em caso positivo, determine sua inversa.

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2. Operadores Ortogonais: Seja V um espaço vetorial . Um operador linear T: V → V é ortogonal se preserva o módulo de cada vetor, isto é, ∀ v ∈ V, temos que: | T(v) | = | v | Obs:

| v | = vv • Ex.: 1) Verifique se no R², como o produto interno ( escalar) usual, o operador linear definido por

T(x,y) =

−+ y5

4x

5

3y,

5

3x

5

4 é ortogonal.

2) Seja a rotação do plano de um ângulo θ dado por T(x,y) = ( x cos (θ) – y sen(θ), x sen( θ) + y cos(θ) ) . Verifique se esta rotação é ortogonal. 3) Dentre as transformações lineares que estudamos, quais são ortogonais? Justifique sua afirmação.

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Exercícios: 1) Verifique quais operadores são inversíveis e determine T-1 : a) T: R² → R², T(x,y) = ( 3x – 4y, -x + 2y) b) T: R² → R², T(x,y) = ( x , - y ) c) T: R³ → R³, T(x,y,z) = ( x-y+2z , y – z, 2y – 3z ) 2) Verifique se o operador linear T: R³ → R³ definido por T(1,0,0) = ( 2, -1, 0), T ( 0, -1, 0) =(

-1, -1, -1) e T( 0, 3, -1) = ( 0, 1, 1 ) é inversível e, em caso afirmativo, determine T-1. 3) Verifique quais operadores são ortogonais: a) T: R³ → R³, T(x, y, z) = ( z, x, -y ) b) T: R³ → R³, T(x, y, z ) = ( x, y cos (θ) + z sen(θ), -y sen( θ) + z cos(θ) ) c) T: R³ → R³, T( x, y, z ) = ( x, 0, 0) Respostas:

1) a) T-1 = ( x + 2y, )2

3y

2

x + b) T-1 = ( x, -y ) c) T-1 = ( x-y+z, 3y-z, 2y-z)

2) T-1 = ( -y+z, -2x-4y+7z, x+2y-3z) 3) a) sim b) sim c) não

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Unidade V - AUTOVALORES E AUTOVETORES: Chamamos de operador linear a toda transformação linear T: V → V.

1. Definição: Seja T: V → V operador linear. Um escalar λ é chamado autovalor ( ou valor próprio ou valor característico ) de T se é possível encontrar um vetor v em V, v ≠ 0 tal que :

T(v) = λ v

Os vetores não nulos v para os quais vale que T(v) = λ v são chamados autovetores ( ou vetores próprios ou vetores característicos) associados ao autovalor λ . Em termos de matrizes, se A é uma matriz n x n então um vetor não nulo x em Rn é chamado autovetor de A se Ax é um múltiplo escalar de x , ou seja

Ax = λ x para algum escalar λ. O escalar λ é chamado um autovalor de A e dizemos que x é um autovetor associado a λ. Para encontrarmos os autovalores de uma matriz A de tamanho n x n nós reescrevemos

Ax = λ x como Ax = λ I x , onde I é matriz identidade ou equivalentemente,

( λ I – A ) x = 0 (1)

Para λ ser um autovalor, precisa haver uma solução não nula desta equação. No entanto, a equação (1) tem uma solução não nula se e somente se

det ( λ I – A ) = 0

Esta equação é a equação característica de A; os escalares que satisfazem esta equação são os autovalores de A . Quando expandido, o determinante det ( λ I – A ) é um polinômio p em λ que é chamado o polinômio característico de A .

Exemplo: 1) Determine os autovalores de A =

−1 8

0 3 e algum autovetor associado a cada

autovalor.

Exemplo: 2) Encontre o polinômio característico e os autovalores de A =

− 8 17 4

1 0 0

0 1 0

.

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Obs.: Para resolver a equação característica, nós começamos procurando soluções inteiras. Esta tarefa pode ser enormemente simplificada se lembrarmos o seguinte fato: todas as soluções inteiras ( se houverem) de uma equação polinomial

λn + c1 λn-1 + ... + cn = 0 com coeficientes inteiros são divisores do termo constante cn . Assim, as únicas possíveis soluções inteiras da equação acima são os divisores de –4, ou seja, ± 1, ± 2 e ± 4 . Substituindo sucessivamente cada um destes valores na equação, mostra-se que λ = 4 é uma solução. Consequentemente, λ - 4 deve ser um fator. Dividindo a equação por λ - 4, podemos diminuir o grau da equação e portanto resolvê-la.

Exemplo: 3) Encontre os autovalores da matriz triangular superior A=

44

3433

242322

14131211

a 0 0 0

a a 0 0

a a a 0

a a a a

.

Obs.: O determinante de uma matriz triangular é o produto das entradas na diagonal principal. Teorema: Se A é uma matriz n x n triangular ( superior ou inferior ou diagonal), então os autovalores de A são as entradas na diagonal principal de A .

Exemplo: 4) Determine os autovalores da matriz triangular inferior A =

−−

41 8 5

0 32 1

0 0 21

.

2. Autovalores Complexos:

É possível que a equação característica de uma matriz com entradas reais tenha soluções complexas.

Por exemplo, o polinômio característico da matriz A =

−−2 5

1 2 é det ( λI – A) =

det

−+

2 5-

1 2

λλ

= λ² + 1

de modo que a equação característica é λ² + 1 = 0, cujas soluções são os números imaginários λ = i e λ = -i. Assim, mesmo para matrizes reais, somos forçados a considerar autovalores complexos.

3. Autovalores e Inversibilidade: Teorema: Uma matriz quadrada A é inversível se e somente se λ = 0 não é um autovalor de A .

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Exemplo:

Seja A =

−1 8

0 3. Verifique se A é inversível , ache A-1 e seus autovalores.

Solução:

Se A =

−1 8

0 3, então det ( λI – A) = det

+ 1 8-

0 3-

λλ

= 0.

Logo λ = 3 ou λ = -1. Como λ = 0 não é autovalor de A, então A é inversível. Encontrando a inversa:

−1 8

0 3 .

d c

b a =

1 0

0 1

encontramos a = 1/3, b = 0, c = 3/8 e d= -1.

Logo, A-1 =

1- 83

0 31

.

Assim, se queremos os autovalores, precisamos: det ( λI – A) = det

+−

1 83

0 31

λ

λ = 0

encontrando λ = 1/3 ou λ = -1. Obs: veja que os autovalores de A -1 são o inverso dos autovalores de A . Exercícios: 1) Encontre as equações características das seguintes matrizes e seus autovalores:

a)

− 5 4

0 2 b)

− 2 4

9- 10 c)

0 4

3 0 d)

0 0

0 0

2) Encontre as equações características das seguintes matrizes e seus autovalores:

a)

1 0 2-

0 1 2-

1 0 4

b)

2- 1 1

0 1- 51

5- 0 3

c)

4- 5 19

0 2- 6-

1 0 2-

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d)

5 0 0 0

0 2 0 0

8 0 2 0

1- 0 1 2

3) Dado o operador linear T(x,y,z) = ( 2x+y, y – z, 2y + 4z), determine sua representação

matricial e então, encontre o polinômio característico e seus autovalores. 4) Sendo T(v) = ( 4x + z, -2x + y, -2x + z ), determine a matriz A da transformação. Encontre

seus autovalores. Determine se possível, T-1 (v) e mostre que seus autovalores são o inverso dos autovalores de T(v).

Respostas: 1) a) λ = 5 e λ = -2 b) λ = 4

c) λ = 32± d) λ = 0 2) a) λ = 1, λ = 2 e λ = 3

b) λ =0 ou λ = 2± c) λ = i± e λ = -8 d) λ = 2 e λ = 5 3) λ = 2 e λ = 3 4) λ = 1, λ = 2 e λ = 3

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Elaborado pela Professora Mirian Bernadete Bertoldi Oberziner – Disciplina Álgebra Linear e Geometria Analítica II

Unidade VI - MÉTODO DE MÍNIMOS QUADRADOS

1. Introdução

É usado para resolver sistemas ditos inconsistentes, do tipo

=+=+=+

23

13

02

yx

yx

yx

, onde não existe

uma solução exata que valha para as três equações. É utilizado em aplicações físicas, principalmente em experimentos. y •• ••••

• • . • ••• • x

Preciso encontrar uma reta ou função que melhor aproxime estes pontos, ou seja, quero minimizar a distância entre os pontos e a reta ou função, daí minimizar o erro. Usaremos a seguinte notação: A . x

r = b

ou A . x

r - b = 0 como a matriz A não é quadrada, vamos multiplicá-la pela sua transposta, ou

seja, At. ( A . x

r - b) = A t . 0

At.Ax - A t. b = 0 At.Ax = A t. b ditto sistema normal. As equações que compõem este sistema são chamadas equações normais associadas a A . x

r = b.

Assim o problema se reduziu ao fato de encontrar as soluções do sistema dito normal. Obs: O sistema dito normal envolve n equações em n variáveis. O sistema normal é consistente, pois é satisfeito por uma solução de mínimos quadrados de A . x

r = b.

2. Teorema:

Para qualquer sistema linear A . xr

= b, o sistema normal associado At.A.x = At. b é consistente e todas as soluções do sistema normal são soluções de mínimos quadrados de A . x

r = b.

Exemplo: Encontre um sistema normal associado a A . x

r = b, no caso:

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=+−=+

=−

342

123

4

21

21

21

xx

xx

xx

A =

42

23

11

xr

=

2

1

x

x b=

3

1

4

At.A =

−−

421

231 .

42

23

11

=

−−213

314

At. b =

−−

421

231.

3

1

4

=

10

1

Logo, At.A x

r = At. b

−−213

314.

2

1

x

x =

10

1 que é um sistema normal e consistente.

3. Aplicações Ajustando uma curva a dados: Um problema comum no trabalho experimental é obter uma relação matemática y= f(x) entre duas variáveis x e y através do ajuste de uma curva aos pontos no plano que correspondem aos valores de x e y determinados experimentalmente. y = ax + b y = ax2 + bx + c y = ax3 + bx2+ cx + d Como os pontos são obtidos experimentalmente, geralmente temos algum “erro” de medição dos dados, tornando-se impossível. Encontrar a curva da forma desejada que passe por todos os pontos. Assim, a idéia é escolher a curva que melhor se adapte aos dados. Vejamos alguns exemplos:

1) Encontre o ajuste linear de mínimos quadrados aos quatro pontos (0,1), (1,3), (2,4) e (3,4).

Solução: Gráfico

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Substituir os pontos na equação da reta y = ax + b 1 = a.0 + b 3 = a.1 + b 4 = a.2 + b 4 = a.3 + b

A=

13

12

11

10

b

a =

4

4

3

1

Fazendo At.A e At. b

At.A =

1111

3210.

13

12

11

10

=

46

614

At. b =

1111

3210.

4

4

3

1

=

12

23

At.A x

r = At. b

46

614.

b

a =

12

23

−=+=+

)6(1246

)4(.23614

ba

ba

−=−−=+

722436

922456

ba

ba 20a = 20 a = 1 e b = 1, A reta

desejada é y = x + 1,5. Representar no gráfico. Exercícios 1) Encontre a reta de ajuste linear de mínimos quadrados dos três pontos (0,0), (1,2) e

(2,7). 2) Encontre a reta de ajuste linear de mínimos quadrados dos quatro pontos (0,0), (2,0),

(3,1), (3,2). 3) Encontre o polinômio quadrático de melhor ajuste dos quatro pontos (2,0), (3,-

10),(5,-48) e (6,-76). 4) Encontre o polinômio cúbico de melhor ajuste dos cinco pontos (-1,-14), (0,-5), (1,-

4), (2,1) e (3,22). 5) O dono de um negócio em rápida expansão descobre que nos cinco primeiros meses

do ano as vendas em milhares de reais foram 4,0; 4,4; 5,2; 6,4 e 8,0. Encontre o

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polinômio quadrático de melhor ajuste de mínimos quadrados para a curva de vendas e use-o para projetar as vendas no décimo segundo mês do ano.

Aplicação - Física Experimental I Semi-Log Um dos métodos para determinar a capacidade de um capacitor é carrega-lo com uma carga, em seguida descarrega-lo sobre um resistor conhecido, medindo respectivamente a corrente e o tempo gasto desde o início do descarregamento.

i = i0 . e CR

t

.

Foram feitas as seguintes medidas da corrente em função do tempo,

Linearize a

equação indicando as variáveis dependente e independente, bem como os parâmetros linear e angular. Trace em papel semi-log o gráfico da função linearizada. Qual a corrente inicial? Qual o valor do capacitor, sabendo que o resistor é de 2.000,0Ω? Log-log O levantamento de dados de corrente e tensão em um varistor forneceu os seguintes dados experimentais: V (V) 12,000 27,50 63,00 108,5 232 I (x10-3A) 0,2000 1,000 5,00 14,0 70,2 A equação que rege o fenômeno é: V = C . Iβ

Construa o gráfico V x I em papel log-log e determine C e β bem como suas unidades. OBSERVAÇÃO: É comum em aparelhos de medida elétricos, voltímetros e amperímetros possuírem precisões diferentes, dependendo da ordem de grandeza da medida.

T(s) 4,000 8,000 12,000 16,000 20,000 24,000 i(mA) 0,3683 0,1358 0,0498 0,0185 0,0068 0,0024