TEORIA CINÉTICA DOS GASES

Análise das variáveis macroscópicas p, V e T pode ser feita em termos das varáveis microscópicas: m e v das moléculas do gás

As moléculas que atingem essa parede num Dt são aquelas que estão à distância vxDt da parede da direita

Moléculas que colidem com a parede é tAvV

Nx

2

1

y

x

z

vxDt

A

Hipóteses:-Número grande de moléculas;- moléculas com dimensões muito pequenas;- velocidades vão de zero até valores enormes;- moléculas são esferas rígidas;- colisões perfeitamente elásticas;- entre as colisões as moléculas se movem em MRU;- nem posição nem direção preferenciais;- separadas por distâncias grandes;- gás ideal;

Volume V com N moléculas de um gás ideal

itAmvV

NitAv

V

Nmvq xxx

ˆˆ2

12 2

21xmv

V

N

t

q

AA

Fp

2 queou xNmvpV

Nem todas as moléculas tem a mesma velocidade. Assim, 22xx vv

kTnNNkTnRTmvNpV Ax

2

2

12

kTmvx 2

1

2

1 queou 2

k é a constante de Boltzmannk = 1,381 x 10-23 J/K

É a energia média associada ao movimento na direção x

qx = mvx de uma molécula antes da colisãoqx = -mvx depois da colisão De todas as moléculas

22

22222

222

3

1

3 e

vv

vvvvv

vvv

x

xzyx

zyx

kTmvK2

3

2

1 2

É a energia cinética

média de uma molécula()

A energia cinética total, relativa a n moles de um gás contendo N moléculas é:

nRTNkTmvNK2

3

2

3

2

1 2

molpor 2

3 moléculapor

2

3RTKkTK

kTmvx 2

1

2

1 2

2

3

1mv

V

Np

A pressão das moléculas sobre a parede é:

Estimativa da ordem de grandeza das velocidades das moléculas

De temos que: M

RT

mN

kTN

m

kTv

A

A 3332

M

RT

m

kTvv rms

332

Comparando com a velocidade do som que é: M

RTvsom

Ex 17-7 A massa molar do oxigênio gasoso (O2) é de cerca de 32 g/mol e a do hidrogênio gasoso (H2) é de cerca de 2 g/mol. Calcule (a) a velocidade rms de uma molécula de oxigênio quando a temperatura for de 300 K e (b) a velocidade rms de uma molécula de hidrogênio na mesma temperatura.

kTmvK2

3

2

1 2

Não é surpreendente, pois uma onda sonora no ar é uma perturbação de pressão que se propaga devido às colisões entre as moléculas!

Livre Caminho Médio

A velocidade média das moléculas de um gás (p normal) diversas centenas de m/sPerfume não se sente o aroma instantaneamente (leva semanas!)A demora é devido aos ziguezagues!

A distância média entre colisões l (livre caminho médio)

l depende: tamanho das moléculas; tamanho das moléculas vizinhas; massa específica do gás.

A molécula 1 tem velocidade v

Ela colidirá com qualquer molécula de raio r2 quando a distância entre os centros for de d = r1 + r2

22

1

colisões de número

a trajetórida totalocompriment

dnvtdn

vt

VV

onde nV é o número de moléculas por unidade de volume

Uma em movimento e o resto parada?

22

1

dnV Correção!

Ex 17-8 O centro local de controle de venenos quer saber mais sobre o monóxido de carbono e como ele se propaga através de uma sala. Assim, pede-se para (a) calcular o livre caminho médio de uma molécula de monóxido de carbono e (b) estimar o tempo médio entre colisões. A massa molar de monóxido de carbono é de 28 g/mol. Admita que a molécula de CO está se propagando no ar a 300K e 1 atm e que os diâmetros de uma molécula de CO e das moléculas de ar são de aproximadamente 3,75 x 10-10 m.

O tempo médio entre as colisões é chamado de tempo de colisão (t)

É o número médio de colisões por segundo ou freqüência de colisões.

1

rmsvv queou Assim,

Distribuição das velocidades moleculares

As moléculas de um gás apresentam velocidades diferentes (era de se esperar!)

T → → → mas não sobre distribuição das velocidades moleculares2v K

Funções de Distribuição: Ex.: Um Professor deu um teste com 25 perguntas a N estudantes

Se a nota média for 12,5 25

2

1

02

1

1ª alternativa: ni estudantes receberam nota si;2ª alternativa: fração de estudantes que receberam a nota s i;N

nf ii

Ambas ni e fi → funções de distribuição

A 2ª é a mais conveniente!

Não corresponderia

a uma descrição completa!

A probabilidade de que um dos N estudantes selecionados ao acaso tenha recebido a nota si é igual ao número total de estudantes que receberam aquela nota n i dividido por

N, isto é, a probabilidade é igual a fi

i

ii

i

ii n

NN

nf

1

Como i i

ii fNn 1 ,É a condição de normalização para

distribuições fracionárias

média nota_

si

iisnN

s 1_

Da 2ª alternativa: como cada si foi obtida por ni = N fi estudantes

i i

iiii sfsNfN

s1_

Analogamente, a média de qualquer função g(s) é definida por:

i

iii

ii fsgnsgN

sg )()(1

)(_____

Em particular, a média dos quadrados das notas é: i

iii

ii fsnsN

s 22__

2 1

rmsss ___

2 É a nota média quadrática

Nota mais provável: 16

200 estudantes

Ex 17-9 Quinze estudantes fazem um teste de 25 questões, cada uma correspondente a um ponto. As notas dos estudantes foram 25, 22, 22, 20, 20, 20, 18, 18, 18, 18, 18, 15, 15, 15, 10. Determine a nota média e a nota rms.

Distribuição Contínua

Por exemplo: Distribuição de alturas numa populaçãoO número de pessoas com h = 2 m é zero!Então, divide-se as alturas em intervalos de Dh. Por exemplo, 1 cm ou 0,5 cmA função distribuição f(h) foi definida como a fração de pessoas com h no intervalo entre h e h + Dh.

Então para N pessoas, Nf(h)Dh é o número de pessoas cuja h esteja entreh e h + Dh

Se N for muito grande, pode-se escolher Dh muito pequeno e a curva será contínua.

Assim,

dhhfhghg

dhhhfh

dhhf

)()()(

)(

1)(

______

__

Onde g(h) é uma função arbitrária de h

Desta maneira, dhhfhh )(2____

2

A probabilidade de uma pessoa relacionada ao acaso ter uma h entre h e h + Dh é f(h) Dh

Um parâmetro que caracteriza uma distribuição é o desvio padrão

____________2__

2

xx

22 ____2

________2

___________________2____

22 22 xxxxxxxxxx Ele mede a dispersão dos valores em torno do valor

médio

Para a distribuição de Gauss ou distribuição normal, 68 % dos valores estão dentro do intervalo

__

x

95% entre 2__

x

99,7% entre 3__

x

No exemplo anterior, observamos que srms > smédio

Sabemos que ___

22 xxrms como então 2__

22 xxrms

Como e são sempre positivos, 2rmsx 2

__

xxrms

2_____22 xx

Distribuição de Maxwell-Boltzmann

Num gás com N moléculas, o número de moléculas com velocidades na faixa entre v e v + dv é dN

dvvNfdN )(

dvvfN

dN)( É a região sombreada na figura anterior

Da mecânica estatística, é a F. D. M-BkT

mv

evkT

mvf 22

23 2

2

4)(

A velocidade mais provável para a qual a f(v) é máxima,M

RT

m

kTvmáx

22

Ex 17-10 Calcule o valor médio de v2 para as moléculas de um gás, usando a distribuição de Maxwell-Boltzmann.

Foi visto no ex. 17-7 que:

vrms (H2)= 1,93 km/s e vrms (O2) = 0,483 km/s

v escape da sup Terra = 11,2 km/s

No gráfico, uma fração considerável das moléculas de um gás em equilíbrio tem

velocidade maior que a vrms.

Quando vrms das moléculas de um determinado gás for ~ de 15% a 20% da

velocidade de escape num planeta, um número suficiente de moléculas tem

velocidade maior do a velocidade de escape.

Assim, não há H2 livre na atmosfera terrestre!

E, uma fração desprezível de O2 escapam! (~4%)