Teoria Classica de Campos

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Teoria Clássica de Campos Mario C. Bertin 17 de junho de 2015

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  • Teoria Clssica de Campos

    Mario C. Bertin

    17 de junho de 2015

  • Sumrio

    1 Transformaes de Lorentz 51.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Postulados fundamentais da relatividade restrita . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Transformaes de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Composio de velocidades, contrao de Lorentz e dilatao do tempo . . . . . 101.5 O espao-tempo de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.6 A partcula livre relativstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    2 Transformaes infinitesimais 152.1 Transformaes infinitesimais em Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2 Evoluo temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3 Translaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.4 Rotaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

    3 A geometria de Minkowski 213.1 Vetores e covetores de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2 Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.3 Ortogonalidade e os grupos de Lorentz e Poincar . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.4 lgebra de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.5 A representao adjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.6 Invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

    4 O formalismo lagrangiano para campos 314.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.2 Variaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.3 A primeira variao da ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.4 Os termos de fronteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.5 Os princpios de Hamilton e Weiss e as equaes de campo . . . . . . . . . . . . 38

    5 Os teoremas de Noether 415.1 Simetrias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.2 A equao de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.3 O primeiro teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.4 Cargas conservadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.5 Translaes e a conservao de energia e momento . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.6 Rotaes, momento angular e spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.7 O segundo teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.8 Invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

    6 O campo escalar 596.1 O campo escalar real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596.2 O campo escalar complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616.3 Simetrias internas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616.4 Simetrias de gauge locais e interao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

    2

  • 7 O campo eletromagntico 657.1 O campo vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657.2 O campo eletromagntico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687.3 Liberdade de gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

    8 Campos espinoriais 758.1 A lgebra de Clifford relativstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 758.2 Rotaes: a representao espinorial das transformaes de Lorentz . . . . . . 798.3 Representaes de spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 828.4 Espinores de Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 868.5 A ao de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 868.6 Aplicando o princpio de Weiss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

    9 Campos de Gauge 919.1 Revisitando o campo escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 919.2 Transformaes de gauge globais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 929.3 Transformaes de gauge locais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 949.4 A lagrangiana invariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97Referncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

    3

  • Captulo 1

    Transformaes de Lorentz

    1.1 IntroduoNa mecnica clssica, a trajetria de uma partcula descrita a partir da segunda lei deNewton

    F =dp

    dt, (1.1)

    em que p = mv, sendo m a massa e v = x = dx/dt a velocidade da partcula, definida a partirda escolha de um sistema de coordenadas no espao retangular R3. A posio da partculapode ser representada por um vetor posio x = (x, y, z), em que x, y e z so nmero reaisrelacionados a trs eixos cartesianos ex, ey e ez. A escolha de um sistema de coordenadas quedescreve o movimento de uma partcula em R3 o equivalente fsico escolha de um sistemade referncia a partir do qual qualquer medida sobre o sistema pode ser tomada. Segundoa primeira lei de Newton, se a fora resultante que age sobre uma partcula nula, existesempre um sistema referencial para o qual a velocidade da partcula constante em sentido,direo e mdulo. Um referencial que obedece a essa propriedade chamado referencialinercial, e uma das propriedades mais importantes da dinmica de um sistema clssico que(1.1) continua vlis ou, dito de outra forma, covariante em qualquer desses referenciais.Dizemos, assim, que o sistema fsico invariante sob a escolha entre referenciais inerciais.

    Esta invarincia retira do espao o carter absoluto que lhe havia atribudo a mecnicade Aristteles. Por outro lado, outra suposio fundamental da mecnica newtoniana sobrea natureza imutvel do tempo. Para qualquer referencial inercial, a passagem do tempo deveser a mesma, o que implica que se dois referenciais inerciais so usados para descrever ummesmo sistema, intervalos de tempo medidos por ambos possuem o mesmo valor absoluto.

    Vamos supor uma partcula de massa m de fora resultante nula, que se move com velo-cidade v com relao a um determinado referencial inercial O, cujo sistema de coordenadasseja dado por x = (x, y, z). Agora vamos supor um segundo referencial inercial O. Por sim-plicidade vamos escolher este segundo referencial de modo que seus eixos cartesianos sejamparalelos aos eixos cartesianos de O e que, em t = 0, a origem dos dois sistemas coincida. Osistema de coordenadas de O dado por x = (x, y, z) e sua origem move-se com velocidadeu, constante, com relao a O. Ambos os sistemas de coordenadas esto relacionados por

    x = x ut. (1.2)

    Lembremos que, segundo o carter absoluto do tempo, t = t. Se x (t) representa a trajetriada partcula sob o ponto de vista de O, (1.2) tambm resulta na trajetria da partcula x (t)medida pelo referencial O.

    Neste caso, a velocidade da partcula medida por O dada por

    v =dx

    dt=dx

    dt=

    d

    dt(x ut) = dx

    dt u = v u. (1.3)

    5

  • Esta a lei de composio de velocidades na mecnica newtoniana. Note que

    p = mv = dp

    dt= m

    dv

    dt= m

    dv

    dt=dp

    dt, (1.4)

    desde que a massa seja constante. Este resultado implica que a acelerao de um sistema invariante sob a escolha de referenciais inerciais. Para que a segunda lei (1.1) seja covariante,uma fora F que age sobre a partcula tambm no pode depender da escolha do referencialinercial.

    Outro invariante sob a transformao (1.2) vem a ser a quantidade

    ds2 = dx2 + dy2 + dz2 = dx dx, (1.5)

    que a mtrica euclidiana do espao cartesiano R3. Tomando-se (1.2), temos

    (ds)2 = dx dx = dx dx = ds2. (1.6)

    Dada a invarincia da mtrica, imediato notar que a norma dos vetores em R3 tambm preservada, o que implica que distncias medidas por O devem ser as mesmas medidas porO.

    Portanto, os sistemas fsicos descritos pela mecnica clssica so invariantes pelas trans-formaes

    x = x ut, (1.7a)t = t, (1.7b)

    que so chamadas transformaes de Galilei.

    1.2 Postulados fundamentais da relatividade restritaAt o sculo XIX, a relatividade de Galilei era considerada uma propriedade dos sistemasfsicos, em razo do grande sucesso da mecnica clssica. Contudo, na segunda metade dosculo XIX as bases matemticas do eletromagnetismo clssico foram reunidas em formafinal, atravs das equaes de Maxwell. Foi uma grande surpresa quando os estudos deLorentz e Poincar revelaram que tais equaes no eram covariantes s transformaes(1.7), ou seja, o eletromagnetismo no obedecia relatividade galileana. Este fato tornou-seum problema terico fundamental, visto que a lei de fora de Lorentz baseada na mecnicanewtoniana e, portanto, uma incompatibilidade entre a teoria de Maxwell e a mecnica surgiuem nvel formal.

    Esta incompatibilidade no foi, contudo, observada imediatamente nas experincias emeletrodinmica clssica (as trajetrias de partculas carregadas que se movem em camposeletromagnticos, por exemplo, so bem descritas desde que as velocidades das partculassejam tipicamente pequenas). Contudo, experimentos como o de Michelson e Morley (1989)mostraram que a velocidade da luz no vcuo independe do movimento relativo entre a fontee o observador, em clara violao da relatividade de Galilei.

    Einstein observou que a incompatibilidade entre o eletromagnetismo e a mecnica new-toniana deveria ser corrigida modificando-se a mecnica, de modo que os sistemas fsicosobedecessem dois postulados fundamentais:

    1. Todo sistema fsico invariante pela escolha de referencial inercial;

    2. A velocidade da luz uma constante independente do movimento relativo entre fonte eobservador.

    Vamos supor que uma fonte de luz seja ligada na origem de um dado referencial inercialO, que munido de um sistema de coordenadas x = (x, y, z) e, tambm, de um relgio cujoinstante t = 0 marca o instante em que a fonte de luz ligada. A frente de onda se move

    6

  • velocidade da luz, que denominaremos como c (tem o valor de exatamente 299.792.458 metrospor segundo no vcuo), e descrita pela equao

    x2 + y2 + z2 = c2t2,

    neste referencial.Agora, consideremos um segundo referencial inercial O, no rotacionado com relao a O.

    O sistema de coordenadas x = (x, y, z) relativo aO tem origem coincidente com a origem deO no instante em que a fonte ligada, ou seja, quando t = 0 em O. Contudo, consideraremosque O possui seu prprio relgio e que, neste, o intervalo de tempo medido no coincidenecessariamente com o relgio carregado por O. Ou seja, t 6= t. Mas podemos definir o tempoem O de modo que t = 0 quando t = 0. Isto possvel visto que as coordenadas da fonte soas mesmas em ambos os referenciais quando esta ligada, ou seja, o evento que deu origemao pulso de luz simultneo em ambos os referenciais.

    Se a velocidade da frente de onda a mesma para ambos os referenciais, temos

    x2 + y2 + z2 = c2t2,

    ou seja,

    c2t2 r2 = c2t2 r2, (1.8)em que r2 = x2 + y2 + z2, o mesmo para r. Para simplificar o sistema, vamos supor que Omova-se com velocidade constante u = uex com relao a O, em que u seja constante, real epositivo. Assim,

    c2t2 x2 = c2t2 x2. (1.9)Esta configurao chamada configurao padro.

    1.3 Transformaes de LorentzPara que o postulado 1 seja vlido, a transformao (t, x) (t, x) deve ser linear. Portantovamos considerar

    x = Ax+ cBt,ct = Cx+ cDt.

    Em (1.9), temos

    c2t2 x2 = (Cx+ cDt)2 (Ax+ cBt)2= C2x2 + c2D2t2 + 2cCDxtA2x2 c2B2t2 2cABxt=

    (C2 A2)x2 + (D2 B2) c2t2 + 2c (CD AB)xt.

    Ao igualar os coeficientes,

    C2 A2 = 1,D2 B2 = 1,CD = AB.

    Vamos supor a seguinte soluo:

    A = D = cosh,

    B = C = sinh,em que o ngulo chamado rapidez. Esta soluo no nica, mas escolhida por reque-rimentos fsicos. Em primeiro lugar, a configurao padro implica que x e t crescem comx e t, por isso a escolha do sinal negativo em B e C. Em segundo lugar, as transformaes

    7

  • resultantes devem levar s transformaes de Galilei para |u| c. Levando em conta essescritrios, temos

    x = x cosh ct sinh,ct = x sinh+ ct cosh,

    ou em forma matricial,(ct

    x

    )=

    (cosh sinh sinh cosh

    )(ctx

    ). (1.10)

    Podemos, tambm, colocar o sistema na forma

    x = cosh (x tanhct) ,ct = cosh (ct tanhx) .

    Para interpretar o significado fsico de , vamos observar a origem de O, ou seja, x = 0. Istoimplica em

    x tanhct = 0 = tanh = xct.

    Contudo, u = x/t, portanto

    tanh =u

    c . (1.11)

    Vamos definir, tambm,

    cosh. (1.12)

    Assim, temos

    tanh = = = sinh

    ,

    enquanto

    cosh2 sinh2 = 1 = sinh2 = 2 1.

    Comparando-se as duas equaes, temos

    2 =2 1

    = 2 (1 2) = 1 = = 11 2 .

    Portanto, a transformao pode ser colocada tambm nas formas mais conhecidas

    x = (x ct) ,

    t = (t

    cx

    ),

    ou

    x =x ut1 u2/c2 , (1.13a)

    t =t (u/c2)x

    1 u2/c2 . (1.13b)

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  • Nesta configurao, as direes y e z ficam inalteradas, de modo que a forma completa dada por

    x =x ut1 u2/c2 , (1.14a)

    y = y, (1.14b)z = z, (1.14c)

    t =t (u/c2)x

    1 u2/c2 , (1.14d)

    ou nas duas formas de notao matricial,ct

    x

    y

    z

    =

    cosh sinh 0 0 sinh cosh 0 0

    0 0 1 00 0 0 1

    ctxyz

    , (1.15)

    ct

    x

    y

    z

    =

    0 0 0 0

    0 0 1 00 0 0 1

    ctxyz

    , (1.16)As transformaes (3.12), ou mesmo na forma (1.15) so chamadas transformaes de Lo-rentz, ou simplesmente boosts de Lorentz. imediato observar que as transformaes deLorentz inversas so dadas substituindo-se u por u, por ou por nessas trans-formaes. As transformaes de Lorentz so precisamente as transformaes que deixam ateoria eletromagntica de Maxwell invariante.

    A forma mais geral das transformaes de Lorentz, usadas quando os referenciais O eO movem-se com uma velocidade u = uxex + uyey + uzez, mas ainda mantm a mesmaorientao, dada por(

    ct

    r

    )=

    ( BTB ( 1) BBT /2

    )(ctr

    ), (1.17)

    em que B o vetor coluna

    B xy

    z

    = 1c

    uxuyuz

    = uc,

    e BT o vetor linha

    BT ( x y z ) = 1c

    (ux uy uz

    )=

    uT

    c.

    O produto BBT dado por

    BBT =

    2x xy xzyx 2y yzzx zy

    2z

    ,e 2 = BTB = |u|2 /c2.

    Observando-se a forma (1.15), imediato calcular o limite no relativstico, ou seja, abaixas velocidades das transformaes de Lorentz. Observemos que este limite dado por

    u c = 1 = 1.Neste caso, temos

    sinh ,cosh 1,tanh = = u/c.

    9

  • Ento,ct

    x

    y

    z

    =

    1 0 0 1 0 00 0 1 00 0 0 1

    ctxyz

    ,ou seja,

    x = x ct = x ut,t = t

    cx = t u

    c2x t,

    que so as transformaes de Galilei na configurao padro.

    1.4 Composio de velocidades, contrao de Lorentz edilatao do tempo

    Vamos verificar como um objeto, que se move a uma velocidade v com relao a O, move-secom relao ao referencial O. Por simplicidade vamos utilizar a configurao padro, nestecaso,

    vx =dx

    dt.

    Vamos utilizar a transformao de Lorentz inversa dada por

    x = (x + ct) .

    Temos, considerando-se e constantes,

    vx =dx

    dt=

    (dx

    dt+ c

    dt

    dt

    )=

    (dx

    dt+ c

    dt

    dt

    )=

    (dx

    dt+ c

    )dt

    dt.

    Agora, temos a transformao

    t = (t

    cx

    )= dt

    dt=

    (1 vx

    c

    ).

    Portanto,

    vx = 2

    (1 vx

    c

    )(vx + c) =

    1 vx/c1 2 (v

    x + c) .

    vx =vx(1 2) c (1 vx/c)

    1 vx/c =vx vx2 c+ 2vx

    1 vx/c =vx c

    1 vx/c ,

    ou seja,

    vx =vx u

    1 uvx/c2 . (1.18)

    Para as demais componentes, temos

    vy =dy

    dt=dy

    dt=dy

    dtdt

    dt= vy

    dt

    dt= vy

    (1 vx

    c

    ),

    ou

    vy =vy

    (1 uvx/c2) . (1.19)

    10

  • Ainda,

    vz =vz

    (1 uvx/c2) . (1.20)

    Essas so as equaes para composio de velocidades na relatividade restrita. Atravs essas,podemos mostrar que a velocidade da luz a mesma para ambos os referenciais. Um raio deluz disparado em (x = 0, t = 0) no referencial O tem velocidade vx = c. Portanto, temos

    vx =c u

    1 uc/c2 =c u

    1 u/c = c(

    1 u/c1 u/c

    )= c,

    em concordncia com o segundo postulado.Vamos supor uma rgua de comprimento l com relao a um sistema referencial em re-

    pouso O. Neste caso, temosl = x2 x1,

    em que x2 a posio de uma das extremidades da rgua, enquanto x1 < x2 a posio daoutra extremidade, ambas com relao a O. Supondo um segundo referencial O que se movecom velocidade u = uex com relao a O, em uma configurao padro, temos

    x(2,1) = (x(2,1) + ut

    (2,1)

    ),

    em que t(2,1) so os instantes de tempo medidos porO em que as medidas de posio da rguaso tomadas. Para que O tome uma medida do comprimento da rgua, as medidas de x1 e x2devem ser sincronizadas, ou seja, tomadas considerando-se t = t2 t1 = 0. Neste caso,

    l = [x2 x1 + u (t2 t1)] = [l + ut] = l,ou seja,

    l =1

    l = l

    1 u2/c2. (1.21)

    Como sempre maior que 1, toda medida de comprimento na direo do movimento doobservador sempre menor que a mesma medida feita por um observador em repouso comrelao ao objeto. Este fenmeno conhecido como contrao de Lorentz.

    Agora, vamos supor um relgio em repouso com relao a um referencial O. Vamos vercomo um intervalo de tempo, digamos t = t2 t1 medido por um referencial O comvelocidade u = uex com relao ao relgio, em uma configurao padro. A transformao deLorentz relevante dada por

    t = [t (u/c2)x] ,

    portanto,

    t = [t2 t1

    (u/c2

    )(x2 x1)

    ]=

    [t (u/c2)x] .

    Contudo, como o relgio est em repouso com relao a O, temos que x = 0, ento,

    t = t =t

    1 u2/c2 . (1.22)

    Como sempre maior que 1, qualquer observador mede intervalos de tempos dilatados comrelao a um observador em repouso com relao ao relgio. Este fenmeno conhecido comodilatao do tempo.

    Portanto, o intervalo de tempo medido por um relgio depende do observador, e no con-siste mais em uma medida absoluta. Quanto mais rpido se move o relgio, maior o intervalode tempo medido pelo observador. Para todo observador inercial, existe um relgio para o qualos intervalos de tempo so mnimos. Segundo (1.22), este relgio aquele que encontra-se emrepouso com relao ao observador, e o tempo medido por este chamado tempo prprio .

    11

  • 1.5 O espao-tempo de MinkowskiDe forma anloga relatividade de Galilei, existe uma medida invariante s transformaesde Lorentz. Ela definida pela mtrica de Minkowski

    ds2 =(dx0)2 (dx1)2 (dx2)2 (dx3)2 ,

    em que renomeamos as coordenadas xi =(x1 = x, x2 = y, x3 = z

    ), e definimos uma quarta

    coordenada x0 = ct. A mtrica de Minkowski uma mtrica do espao-tempo de MinkowskiM4, que um espao plano pseudo-riemanniano de quatro dimenses. Um sistema de coorde-nadas emM4 consiste em quatro coordenadas x = (x0, x1, x2, x3), que tambm distinguementre diferentes eventos no espao-tempo.

    A mtrica de Minkowski escrita por

    ds2 =

    3,=0

    dxdx , , = 0, 1, 2, 3. (1.23)

    A partir de agora, usaremos a notao de Einstein, para a qual a repetio de dois ndicesimplica em soma sobre todos os valores deste ndice, ou seja, escreveremos simplesmente

    ds2 = dxdx . (1.24)

    so as componentes da mtrica de Minkowski no sistema de coordenadas x. Em notaomatricial, se este sistema de coordenadas for ortogonal, temos

    =

    1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

    . (1.25)Podemos, tambm, escrever uma transformao de Lorentz com esta notao. Ela dada

    por

    x = x . (1.26)

    Na configurao padro, temos em representao matricial

    =

    0 0 0 0

    0 0 1 00 0 0 1

    =

    cosh sinh 0 0 sinh cosh 0 0

    0 0 1 00 0 0 1

    . (1.27)A mtrica de Minkowski no um mtrica propriamente dita. A razo a presena dos

    sinais negativos em (1.25), que resultam no fato de que dois eventos distintos em R4 podemter distncia nula. Note que

    ds2 = dxdx =

    (dx0)2 (dx1)2 (dx2)2 (dx3)2 = c2 (dt)2 (dx1)2 (dx2)2 (dx3)2

    nulo sempre que

    c2 (dt)2

    =(dx1)2

    +(dx2)2

    +(dx3)2,

    que a equao que representa a frente de uma onda que se desloca com velocidade c. Noespao-tempo de Minkowski, esta equao demarca o cone de luz, ou seja, a regio na qualtodos os corpos com velocidade c se deslocam. Todos os pontos no cone de luz esto a umadistncia nula com relao mtrica de Minkowski.

    12

  • 1.6 A partcula livre relativsticaAo

    S = mc s1s0

    ds, ds2 = dxdx . (1.28)

    Variaes

    x = x x, x (s0) = x (s1) = 0. (1.29)

    Primeira variao da ao

    S = mc s1s0

    ds = mc s1s0

    ds. (1.30)

    De (1.28), temos

    (ds2)

    = (dxdx) = dx

    dx + (dx) dx + dx

    (dx)

    = dxdx + 2dx

    (dx)

    = dx

    ds

    dx

    ds(ds)

    2+ 2

    dx

    dsds (dx) u = dx/ds,

    = uu (ds)

    2+ 2u

    ds (dx) .

    Por outro lado,

    (ds2)

    = 2ds (ds) ,

    assim,

    2ds (ds) = uu (ds)

    2+ 2u

    ds (dx) ,

    que torna-se

    (ds) =1

    2u

    uds+ u (dx) , (1.31)

    Com dx = dx dx = d (x x) = d (x) e integrando por partes,

    (ds) =1

    2u

    uds+ u (dx)

    =1

    2u

    uds+ ud (x)

    =1

    2u

    uds d (u) x + d (ux) . (1.32)

    O termo de diferencial total ser nulo quando na integral (1.30), pois torna-se um temo defronteira

    s1s0

    d (ux) = u

    x |s1s0 = 0,

    devido a (1.29). Assim,

    (ds) =1

    2u

    uds d (u) x

    =1

    2u

    uds dux dux

    =1

    2u

    uds dux du

    dsdsx . (1.33)

    13

  • Temos

    =x

    x, d =x

    dx. (1.34)

    Assim,

    (ds) =1

    2

    x

    uudsx x

    dxux du

    dsdsx

    =1

    2

    x

    uudsx x

    uudsx du

    dsdsx

    =1

    2

    x

    uudsx x

    uudsx du

    dsdsx

    =

    [1

    2

    x

    uu x

    uu du

    ds

    ]dsx. (1.35)

    Vamos simetrizar o termo

    x

    uu =1

    2

    x

    uu +1

    2

    x

    uu .

    Assim,

    (ds) =

    [1

    2

    x

    uu 12

    x

    uu 12

    x

    uu du

    ds

    ]dsx

    = [

    du

    ds+

    1

    2

    (x

    +x

    x

    )uu

    ]dsx. (1.36)

    Vamos definir os smbolos de Christoffel do primeiro tipo:

    12

    (x

    +x

    x

    ).

    Assim,

    (ds) = [

    du

    ds+ u

    u]dsx. (1.37)

    Com (1.37) em (1.30),

    S = mc s1s0

    ds = mc

    s1s0

    ds

    [

    du

    ds+ u

    u]x. (1.38)

    A condio de extremo S = 0 resulta em

    mcdu

    ds+mcu

    u = 0.

    Com a mtrica inversa esquerda, temos

    0 = mc

    (

    du

    ds+ u

    u = du

    ds+ u

    u)

    = mc

    (du

    ds+ u

    u).

    Vamos definir os smbolos de Christoffel do segundo tipo

    =1

    2

    (x

    +x

    x

    ). (1.39)

    Ento, temos como resultado a equao geodsica

    mca +mcuu = 0, a = du/ds = d2x/ds2. (1.40)

    14

  • Captulo 2

    Transformaes infinitesimais

    2.1 Transformaes infinitesimais em Rn

    Vamos supor um espao euclidiano de n dimenses Rn com um sistema de coordenadas{xi}

    .A forma mais geral de uma transformao contnua em Rn definida por um conjunto dem + 1 parmetros (, a), em que a = 1, ,m. Com estes, definimos as transformaes nascoordenadas e no tempo,

    t t = t () , xi xi (t, a) = xi (, a) , (2.1)

    com as seguintes condies:

    1. As funes t () e xi (, a) devem ser analticas nas variveis independentes.

    2. As transformaes devem ser conexas identidade, ou seja,

    (, a) 0 = t t e xi (t) xi (t) . (2.2)

    Se as variveis transformadas so analticas, podem ser expandidas em sries de Taylor:

    t = t+dt

    d

    =0

    +O (2) , (2.3a)xi = xi +

    dxi

    d

    ,=0

    +dxi

    da

    ,=0

    a +O (2, 2) . (2.3b)Considerando apenas termos de primeira ordem, temos

    t = t+dt

    d

    =0

    , (2.4a)

    xi = xi +dxi

    dt

    dt

    d

    ,=0

    +dxi

    da

    ,=0

    a (2.4b)

    = xi + xidt

    d

    =0

    +dxi

    da

    ,=0

    a (2.4c)

    Nestas, definimos

    t dtd

    =0

    , xi dxi

    da

    ,=0

    a. (2.5)

    Assim,

    xi = xi + xit+ xi. (2.6)

    15

  • Neste caso, vemos que a forma final da transformao dada por

    xi = xi + tdxi

    dt, (2.7)

    com

    xi = xi + xi, t = t+ t. (2.8)

    Portanto, transformaes contnuas infinitesimais possuem a mesma forma analtica de pri-meiras variaes. Neste caso, variaes que dependem de um conjunto de parmetros cont-nuos.

    2.2 Evoluo temporalVamos supor a transformao

    t = t+ t, (2.9)

    mas que nenhuma transformao seja definida em qi. Ainda assim, (2.9) implica em

    xi = xi + txi, (2.10)

    ou seja,

    xi = txi. (2.11)

    Se t = dt, ento temos dt = t t e xi = dtxi = dxi, que determina a evoluo temporal dospontos em Rn em funo do tempo.

    Desejamos estudar as propriedades de composio de evolues temporais. Primeiro, daequao (2.10) temos

    xi = xi + txi = xi + td

    dtxi =

    (1 + t

    d

    dt

    )xi. (2.12)

    Assim, podemos realizar uma evoluo temporal ao atuar o operador diferencial

    gt 1 + t ddt

    (2.13)

    em xi, ou seja,

    xi = gtxi. (2.14)

    Sejam gt1 e gt2 dois operadores de evoluo temporal. Notemos que

    1. A composio de duas evolues temporais uma evoluo temporal:

    xi (t0) xi (t1) xi (t2) = gt2xi (t1) = gt2gt1xi (t0)=

    (1 + t2

    d

    dt

    )(1 + t1

    d

    dt

    )xi (t0) = x

    i (t0) + t1d

    dtxi (t0) + t2

    d

    dtxi (t0)

    +t2d

    dt

    (t1

    d

    dtxi (t0)

    ).

    O ltimo termo quadrtico em t, portanto ficamos apenas com os primeiros termos

    xi2 = xi0 + t1

    d

    dtxi0 + t2

    d

    dtxi0 = x

    i0 + (t1 + t2) x

    i0 = x

    i0 + tx

    i0, (2.15)

    em que t = t1 + t2.

    16

  • 2. A ordem da composio no altera o resultado final:

    gt2gt1qi = gt1gt2q

    i = [gt1 , gt2 ] = 0. (2.16)

    3. A composio de k evolues temporais dada por

    Gt =

    kp=1

    gtp = (gt)k

    =

    (1 + t

    d

    dt

    )k,

    quando todos os ts forem iguais. No limite para k , temos

    Gt = limk

    (1 +

    t

    k

    d

    dt

    )k= exp

    [t

    d

    dt

    ], t = t t0. (2.17)

    Neste caso, dizemos que gt membro de uma lgebra de Lie, enquanto Gt membro de umgrupo de Lie. Este processo conhecido como exponenciao da lgebra da evoluo temporal,e d origem a uma transformao finita, com t finito, e no infinitesimal. Gt simplesmenteo operador que carrega a evoluo temporal de um tempo t0 a t. Em funo de (2.16), a lgebra dita abeliana, ou comutativa.

    No argumento da exponencial, h o campo vetorial

    Xt =d

    dt= qii, (2.18)

    que acompanha o termo t. Na forma infinitesimal, temos

    gt = 1 + tXt = 1 + tqii = 1 + q

    ii. (2.19)

    O campo vetorial Xt denominado gerador da evoluo temporal.

    2.3 TranslaesVamos supor a transformao

    xi (t) xi (t) = xi (t) + ai, ai R. (2.20)

    Esta operao chamada translao, pois translada um ponto a outro de Rn a tempo cons-tante. Neste caso,

    t = 0, xi = ai. (2.21)

    Duas translaes resultam em uma translao, ou seja,

    xi xi = xi + ai xi = xi + bi = xi + ai + bi = qi + ci,

    em que

    ci = ai + bi.

    Portanto, translaes tambm formam um grupo. A natureza do grupo a mesma da evoluotemporal: a ordem da composio no altera a translao total. Dizemos que um grupo cujaordem da composio no importa um grupo abeliano.

    O operador infinitesimal que carrega a operao de translao pode ser deduzido pelaigualdade

    xi = xi + ai = xi + ajxi

    xj=

    (1 + aj

    xj

    )xi,

    17

  • ou seja,

    gx 1 + ai xi

    = 1 + xi

    xi, (2.22)

    que tem a mesma forma da evoluo temporal, exceto que neste caso, xi = ai. O operador gx um elemento da lgebra de translaes, que tambm abeliana, ou seja,

    [gx1 , gx2 ] = 0.

    A composio de k translaes iguais resulta em

    xi =

    (1 + xj

    xj

    )kxi,

    que no limite k torna-se

    xi = limk

    (1 +

    xj

    k

    xj

    )kxi = exp

    [xj

    xj

    ]xi = Gxx

    i, (2.23)

    em que

    Gx = exp

    [xj

    xj

    ](2.24)

    o elemento do grupo de translaes. Os operadores diferenciais

    Pi xi

    (2.25)

    so os geradores de translaes, denominados momentos conjugados.

    2.4 RotaesO grupo de rotaes, por ser um exemplo no abeliano, merece uma ateno especial. Todarotao pode ser descrita pela relao

    xi = Rijxj , (2.26)

    em que R uma matriz ortogonal n n de determinante 1. O grupo de rotaes em n dimen-ses chamado SO (n), o grupo ortogonal especial, que isomrfico ao espao das matrizesortogonais de determinante unitrio. uma propriedade das transformaes ortogonais apreservao da norma de vetores e da mtrica de Rn.

    Vamos tomar o exemplo tridimensional, em que consideraremos primeiro uma rotaopassiva no eixo z com ngulo . A matriz desta transformao dada por

    Rz () =

    cos sin 0sin cos 00 0 1

    . (2.27)Para 1, podemos aproximar esta matriz pela sua forma infinitesimal de primeira ordem

    rz () =

    1 0 1 00 0 1

    = 1 0 00 1 0

    0 0 1

    + 0 0 0 0

    0 0 0

    1 + Jz, (2.28)em que

    Jz 0 1 01 0 0

    0 0 0

    . (2.29)18

  • Nos outros eixos, temos

    rx () = 1 + Jx, ry () = 1 + Jy, (2.30)

    em que

    Jx 0 0 00 0 1

    0 1 0

    , Jy 0 0 10 0 01 0 0

    . (2.31)As matrizes Ja so os geradores de rotaes em trs dimenses.

    Uma rotao geral em trs dimenses contm trs parmetros independentes, que podemser colecionados em um vetor (1, 2, 3). Na forma infinitesimal, temos

    r () = 1 + J = 1 + aJa = 1 + 1J1 + 2J2 + 3J3. (2.32)

    Dizemos que o objeto

    W = aJa =

    0 3 23 0 12 1 0

    , (2.33) um elemento da lgebra de Lie de SO (3), denotado pelo smbolo so (3). A identidade 1, emconjunto com os geradores Ja, formam uma base para a lgebra so (3). A relao de comutaode so (3) facilmente calculada por

    [Ja,Jb] = c

    ab Jc, (2.34)

    o que caracteriza a lgebra como no abeliana. A exponenciao da lgebra direta, dada por

    R (a) = exp [aJa] . (2.35)

    Agora, vamos definir

    2 = || , u / || . (2.36)

    A forma geral de um elemento do grupo dada por

    R =

    c+ (1 c)u1u1 (1 c)u1u2 su3 (1 c)u1u3 su2(1 c)u1u2 su3 c+ (1 c)u2u2 (1 c)u2u3 su1(1 c)u1u3 su2 (1 c)u2u3 su1 c+ (1 c)u3u3

    , (2.37)em que

    c cos , s sin . (2.38)

    Em componentes, temos

    Rij = ij ijkuk sin +

    (uiuj ij

    )(1 cos ) (2.39)

    Vamos atuar a matriz R no vetor u:

    Rijuj =

    [ij ijkuk sin +

    (uiuj ij

    )(1 cos )]uj

    = ijuj ijkukuj sin +

    (uiuju

    j ijuj)

    (1 cos )= ui ijkukuj sin +

    (uiuju

    j ijuj)

    (1 cos )= ui +

    (u2 1)ui (1 cos ) = (1)ui,

    ou seja, u um autovetor de R cujo autovalor 1. Este o denominado eixo de rotao.

    19

  • Quando atua em um vetor posio x, temos

    Rijxj = xi ijkukxj sin +

    (uiujx

    j xi) (1 cos )= xi ijkukxj sin + uiujxj uiujxj cos xi + xi cos = ijkukxj sin + uiujxj uiujxj cos + xi cos = (u x)i sin + ui (u x) + [xi ui (u x)] cos .

    Nesta equao,(x)i ui (u x)

    a componente de x paralela a u e(x)i xi ui (u x)

    sua componente ortogonal. Assim,

    Rx = x + x cos + (u x) sin .Agora, vamos voltar ao espao Rn. Uma rotao finita descrita por

    xi = Rijxj ,

    enquanto a infinitesimal tem forma

    xi () = xi + xi () = xi +1

    2

    xi

    ab

    =0

    ab, (2.40)

    em que ab so as componentes de uma matriz n n antissimtrica, com m = (n2 n) /2componentes independentes. Dizemos que m o nmero de parmetros independentes ne-cessrios para parametrizar a transformao infinitesimal, que deve ter a forma

    xi () = xi + ijxj . (2.41)

    Neste caso,

    xi =1

    2

    xi

    ab

    =0

    ab =1

    2

    xi

    abxj

    =0

    xjab, considerando linearidade em x.

    Assim, definimos

    (Jab)ij

    xi

    abxj

    =0

    , (2.42)

    de modo que

    1

    2(Jab)

    ij x

    jab =1

    2

    xi

    abxj

    =0

    xjab = xjij . (2.43)

    A soluo para a equao anterior dada por

    (Jab)ij ajib bjia. (2.44)

    A relao destes objetos com os geradores Ja dada por

    (Ja)ij =

    1

    2 bca (Jbc)

    ij , (2.45)

    e, assim,

    (Ja)ij = aij . (2.46)Dizemos que os geradores na forma (2.46) esto na representao adjunta do grupo de rota-es, pois so representados por matrizes que possuem a mesma dimenso do grupo.

    20

  • Captulo 3

    A geometria de Minkowski

    3.1 Vetores e covetores de LorentzAgora, vamos considerar um espao-tempo de MinkowskiM4 com um sistema de coordenadascartesiano {x}. Como vimos, este espao caracterizado pela mtrica

    ds2 = dxdx =

    (dx0)2 (dx1)2 (dx2)2 (dx3)2 . (3.1)

    Uma transformao de Lorentz dada por uma matriz na forma

    x = x x = x . (3.2)

    A mtrica deve ser preservada por transformaes de Lorentz.

    Definio 1. Um vetor de Lorentz, ou vetor de Lorentz contravariante, con-siste em um objeto u = u = u (/x) invariante por transformaes de Lorentz,ou seja,

    x = x = u (x) = u (x) .

    Note que, dado (3.2),

    =

    x=x

    x

    x=

    x =

    .

    Se a matriz tem uma inversa 1, ento multiplicamos a expresso anterior por 1:(1

    ) =

    (1

    )

    =

    (1

    ) =

    ,

    ou seja,

    =(1

    ) . (3.3)

    Aplicando-se a invarincia em u, temos

    u = u = u = u

    .

    Portanto,

    u = u . (3.4)

    21

  • Assim, se um vetor u = u invariante de Lorentz, suas componentes se transformamcom a mesma forma do sistema de coordenadas. Dizemos que componentes de vetores que setransformam como (3.4) transformam-se contravariantemente.

    A mtrica (3.1) naturalmente implica em uma mtrica para os vetores de Lorentz, de modoque o produto escalar dado por

    u v = uv . (3.5)

    Se a mtrica invariante, este produto tambm o . Neste caso, u v = u v e

    u v = uu = uu =(

    )uu = u

    u .

    Assim,

    =

    =

    (T)

    e

    =((

    1)T)

    (1

    ). (3.6)

    Em notao matricial,

    =(1

    )T(1

    ). (3.7)

    Definio 2. Todo vetor de Lorentz u possui um dual uT , denominado covetor,ou vetor de Lorentz covariante. Este objeto um funcional linear, ou seja, age emvetores e resulta em um escalar real tendo como regra o produto escalar, de modoque

    uT [u] u2 = uu . (3.8)

    A regra (3.8) define um isomorfismo entre vetores e covetores, de modo que uma base {}de vetores induz uma base para os covetores. Esta base naturalmente tomada como asdiferenciais {dx}, e toda 1-forma pode ser escrita como = dx. Cada elemento da base um covetor que, ao agir sobre um elemento da base de vetores, resulta na operao

    dx [ ] = . (3.9)

    Portanto, a ao de um covetor em um vetor u dada por

    [u] = dx [u ] = u

    dx [ ] = u = u

    .

    Da mesma forma,

    uT [u] = udx [u ] = uu

    dx [ ] = uu = u

    u .

    Ento,

    u = u , (3.10)

    ou seja, a mtrica a matriz jacobiana do isomorfismo entre vetores e covetores. Dizemos as-sim que a mtrica "baixa" ndices de componentes de vetores e os transforma em componentesde covetores.

    22

  • Seja 1 a inversa da matriz mtrica, de modo que suas componentes sejam dadas por ,de modo que = . Podemos mostrar que

    u = u , (3.11)

    ou seja, a mtrica inversa "levanta" ndices de componentes de covetores, transformando-osem componentes contravariantes.

    Covetores tambm so invariantes por transformaes de Lorentz, ou seja,

    x = x = (x) = (x) .

    Ento,

    uT [u] = uu = u

    u

    = uu ,

    de modo que u = u , ou,

    u = u(1

    ). (3.12)

    Assim, componentes de covetores se transformam com a inversa da transformao. Dizemosque esta transformao covariante.

    3.2 Tensores

    Definio 3. Um tensor do tipo (p, q) um objeto geomtrico invariante de Lo-rentz com a forma

    T = T

    p vezes ( )

    (dxdx dx)

    q vezes

    . (3.13)

    As leis de transformao das componentes de base so dadas por

    =(1

    ) , trans. covariante,

    dx = dx, trans. contravariante.

    Portanto,

    T =(1

    )

    (1

    ) (1)

    q trans. covariantes

    T

    p trans. contravariantes

    . (3.14)

    Por exemplo, a mtrica um tensor do tipo (0, 2) ds2 = dxdx . Ento, suas componentesse transformam por

    =(1

    )

    (1

    ) .

    23

  • 3.3 Ortogonalidade e os grupos de Lorentz e PoincarA invarincia do produto escalar resulta na expresso

    =

    =

    (T)

    .

    Se a mtrica de Minkowski, temos

    =

    =

    =

    (T)

    ,

    ou seja,

    T = 1 1 = T . (3.15)Portanto, transformaes de Lorentz so ortogonais.

    Tomando-se o determinante de (3.15), obtemos

    det(T

    )= 1 = (det )2 = 1,

    ou seja,

    det = 1. (3.16)

    Definio 4. O grupo de Lorentz definido pelo conjunto de transformaes li-neares ortogonais que preserva a mtrica de Minkowski.

    O sinal do determinante define se a transformao conexa identidade ou anti-identidade. Por enquanto, estamos interessados em transformao conexas identidade,pois elas deixam invariante a orientao do sistema de coordenadas local {x}. A dimensodeste conjunto de transformaes 4 (quatro), de modo que este isomrfico ao conjunto dasmatrizes ortogonais 4 4 de determinante unitrio. Este conjunto forma um grupo com aoperao de multiplicao matricial, denominado SO (1, 3).

    O grupo de Lorentz SO (1, 3) , portanto, o grupo de pseudo-rotaes emM4. A denomina-o entre parnteses caracteriza o fato de que um elemento do grupo uma pseudo-rotao:(1, 3) indica que a direo temporal x0 diferente das 3 direes espaciais. Neste caso, dize-mos que SO (1, 3) um grupo pseudo-ortogonal, e obviamente distinto do grupo de rotaesem quatro dimenses SO (4). Este ltimo consiste no grupo que deixa invariante uma mtricaeuclidiana em R4.

    O grupo de Poincar o grupo que inclui pseudo-rotaes e translaes e, como vimos,constitui um grupo de dimenso 5. possvel mostrar que um espao invariante por um grupoortogonal tambm invariante pelo seu respectivo grupo inomogneo, que inclui translaes.Este grupo tambm chamado grupo de Lorentz inomogneo ISO (1, 3).

    3.4 lgebra de LorentzVamos nos ater ao grupo de Lorentz por enquanto. Este grupo um grupo de Lie, ou seja,possui uma estrutura diferencivel. Na prtica, isto significa que toda transformao deLorentz pode ser "expandida em srie de Taylor" ao redor da identidade do grupo:

    = 1 +

    a

    =0

    a +1

    2

    2

    ab

    =0

    ab + ,

    em que a um conjunto de parmetros linearmente independentes que caracteriza umarepresentao do grupo. Se o grupo age em vetores e covetores, por exemplo, estes parmetros

    24

  • sero em nmero seis, mas podem ser colocados sob a forma de uma matriz 44 antissimtricade trao nulo.

    Se tomarmos a expanso at o termo de ordem 1, temos

    g 1 + a

    a = 1 + aJa. (3.17)Esta a forma geral de um elemento da lgebra de Lie de SO (1, 3), que denominados algebra so (1, 3). Ja formam um conjunto de operadores tambm linearmente independentes,que so os geradores da lgebra. A forma explcita de Ja depende do objeto geomtrico noqual o grupo atua, portanto, de sua representao. Por enquanto, vamos supor que sejauma matriz real.

    Se o grupo ortogonal, temos

    T = 1 = (g)T g = 1.

    Assim,

    1 = (1 + aJa)T (

    1 + bJb)

    = 1 + aJa + (aJa)

    T,

    ou seja,

    aJa = (aJa)T .

    Se a so parmetros reais, temos

    Ja = JTa , (3.18)

    ou seja, os operadores Ja so antissimtricos. Por outro lado, fcil verificar que se det = 1,det Ja = 0.

    Por outro lado, consideremos W = aJa. Temos

    = T =(1 +WT

    ) (1 +W ) ,

    que resulta em

    = + W +WT

    em primeira ordem. Se preserva a mtrica, = e ento,

    W +WT = 0,

    ou

    WT = W1. (3.19)

    Vamos tomar o trao desta expresso:

    trWT = tr[W1] = tr [W1] = tr [1W ] = trW.

    Contudo, trWT = trW , ento devemos ter que trW = 0.Portanto, cada elemento do grupo de Lorentz SO (1, 3) conectado a um elemento da lge-

    bra so (1, 3), que formam o conjunto das matrizes antissimtricas de trao nulo com base noespao de Minkowski. A relao lgebra-grupo de Lie se d atravs da operao de exponen-ciao da lgebra: Se W um elemento genrico da lgebra de Lie, seu respectivo elementode grupo dado por

    = exp (W ) . (3.20)

    25

  • 3.5 A representao adjuntaUma representao pode ser compreendida intuitivamente como uma realizao de um grupoabstrato atravs de um grupo matricial. Quando atuamos um elemento do grupo de Lorentzem um vetor de Lorentz, por exemplo, os geradores J so realizados por um conjunto dematrizes Jab de elementos (Jab)

    , com a, b = 1, 2, 3, 4. Neste caso, um elemento da lgebra

    dado por

    g = 1 + abJab, (3.21)

    em que ab forma uma matriz antissimtrica de trao nulo nos ndices ab. Eles so, portanto,seis parmetros independentes.

    O grupo SO (1, 3) um subgrupo de GL (1, 3), ou seja, um subgrupo de todas as matrizes4 4 de determinante no nulo. O grupo GL (1, 3) forma um espao vetorial, cuja base maissimples consiste no conjunto de matrizes

    (ab) =

    ab . (3.22)

    Por exemplo,

    11 =

    1 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

    , 12 =

    0 1 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

    , 13 =

    0 0 1 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

    , .Toda matriz de GL (1, 3) pode ser escrita por

    A = Aabab. (3.23)

    Esta base, denominada base cannica, completa e linearmente independente. De fato, nestabase uma matriz tem componentes iguais ao seus elementos, ou seja, Aab = A .

    Vamos tomar a multiplicao matricial abdc

    (ab) (cd)

    =

    ab

    c d = bc

    a d = bc (ad)

    .

    O colchete de Lie dado por[(ab)

    , (cd)

    ]= (ab)

    (cd)

    (cd) (ab) ,

    que resulta em[(ab)

    , (cd)

    ]=[eabc

    fd ecdafb

    ](ef )

    .

    Portanto, a lgebra caracterizada pelos colchetes

    [ab,cd] = C(ef)

    (ab)(cd) ef , (3.24)

    com constantes de estrutura

    C(ef)

    (ab)(cd) = eabc

    fd ecdafb . (3.25)

    Portanto, de (3.24) vemos que gl (1, 3) uma lgebra de Lie no abeliana.Note que as matrizes

    Jab = ab ba (3.26)so antissimtricas, possuem trao nulo e so linearmente independentes. Neste caso, elasformam uma base para um subespao de matrizes: so os geradores da lgebra so (1, 3). Suascomponentes so dadas por

    (Jab) =

    ab b a . (3.27)

    26

  • Note que

    [Jab, Jcd] = [ab ba,cd dc] = [ab,cd] [ab,dc] [ba,cd] + [ba,dc]=

    (C

    (ef)(ab)(cd) C (ef)(ab)(dc) C (ef)(ba)(cd) + C (ef)(ba)(dc)

    )ef(

    eabcfd ecdafb eabdfc + edcafb

    )ef

    +(ebacfd + ecdbfa + ebadfc edcbfa

    )ef

    =(eabc

    fd edcbfa + ebadfc ecdafb

    )ef

    +(

    +edcafb ebacfd + ecdbfa eabdfc

    )ef

    =(eabc

    fd fabced

    )ef +

    (ebad

    fc ecdafb

    )ef

    +(edca

    fb ebacfd

    )ef +

    (ecdb

    fa eabdfc

    )ef

    = eabcfd (ef fe) + ebadfc (ef fe)

    +edcafb (ef fe) + ecdbfa (ef fe) .

    Com (3.26) temos

    [Jab, Jcd] =(eabc

    fd +

    ebad

    fc +

    edca

    fb +

    ecdb

    fa

    )Jef

    =(ebad

    fc +

    eabc

    fd eabdfc ebacfd

    )Jef

    = f(ef)

    (ab)(cd) Jef , (3.28)

    em que as constantes de estrutura so

    f(ef)

    (ab)(cd) = ebad

    fc +

    eabc

    fd eabdfc ebacfd . (3.29)

    Em forma explcita, temos a lgebra

    [Jab, Jcd] = adJbc + bcJad dbJac acJbd. (3.30)

    Definio 5. A realizao de uma lgebra e seu respectivo grupo de Lie abstratoscomo uma lgebra e grupo de Lie matricial denominada representao.

    Definio 6. A representao na qual os geradores da lgebra possuem a mesmadimenso dos elementos do grupo denominada representao adjunta.

    Neste caso, os geradores Jab, definidos por (3.26) e (3.27), da lgebra de pseudo-rotaes emquatro dimenses so os geradores da representao adjunta deste grupo. A representaoadjunta tambm chamada, em fsica, de representao vetorial, porque esta representaorealiza o grupo de pseudo-rotaes em vetores deM4.

    27

  • 3.6 InvariantesUma lgebra de Lie um espao vetorial com uma base completa {Ja}, o conjunto de gera-dores da lgebra. Neste caso, podemos definir um produto interno. Sejam dois elementosA = AaJa e B = BaJa da lgebra, temos

    A B tr (AaBbJaJb) = 12

    (AaBb +AbBa

    )tr (JaJb) abAaBb. (3.31)

    Nesta expresso,

    tr (JaJb) = (JaJb) = (Ja)

    (Jb)

    .

    Os objetos

    ab 12

    tr (JaJb) (3.32)

    so componentes da denominada mtrica de Killing. Se a mtrica de Killing tem sinal definidoe no degenerada, ela define um bom produto interno. Neste caso, uma lgebra de Lie tambm um espao de Hilbert.

    Elementos do grupo de Lie podem agir em elementos da lgebra. Por exemplo, uma rota-o em R3 age sobre um gerador Ja na forma

    Ja R1JaR.Neste caso,

    tr (JaJb) tr(R1JaRR1JbR

    )= tr

    (R1JaJbR

    )= tr

    (RR1JaJb

    )= tr (JaJb) ,

    ou seja, a mtrica de Killing invariante por rotaes:

    R1abR = ab. (3.33)

    Tratando-se de transformaes infinitesimais, R = 1 + aJa,

    R1R =(1 + aJTa

    )(1 + bJb

    )= + aJa +

    aJTa + abJTa Jb

    + a (Ja + JTa ) = ,portanto,

    Ja + JTa = Ja Ja = [,Ja] = 0. (3.34)

    A mtrica de Killing, ento, comuta com os geradores.Neste caso, todo escalar construdo com a mtrica de Killing um invariante. Contudo, em

    um sistema dinmico de dimenso finita, somente um nmero finito desses invariantes solinearmente independentes. No caso de rotaes em trs dimenses, h apenas um invariante

    J2 = abJaJb, (3.35)

    que o quadrado do momento angular. Este tipo de invariante denominado invariante deCasimir da lgebra. Para cada representao do grupo de rotaes, o problema de autovalores

    J2uj = juj

    indica um espectro de autovalores de J2. Como J2 um invariante, o espectro tambm invariante. No caso do momento angular, sempre possvel escrever

    J2uj = j (j + 1)uj . (3.36)

    28

  • Neste caso, dizemos que j o spin da representao. fcil verificar para o grupo de rotaesque, na representao adjunta, j = 1 quando os autovetores so vetores euclidianos.

    Para grupos de lgebras de Lie mais gerais, possvel encontrar outros invariantes deCasimir, cada um deles uma forma multilinear invariante, como (3.35). O nmero maximalde invariantes independentes denominado rank da lgebra de Lie. O grupo de rotaes temrank 1: apenas J2 invariante. Em uma determinada representao, os autovalores des-ses operadores de Casimir tambm so invariantes pela ao do grupo, portanto o espectro invariante. O resultado que uma representao completamente determinada pelos es-pectros dos operadores de Casimir do grupo, ento as quantidades fsicas relevantes quandoh uma simetria sob determinado grupo de Lie so dadas pelos objetos geomtricos que soautovetores simultneos dos operadores de Casimir.

    29

  • Captulo 4

    O formalismo lagrangiano paracampos

    4.1 IntroduoAgora, vamos nos voltar anlise do problema variacional de se encontrar condies necess-rias e suficientes para que uma dada integral fundamental tome um valor extremo (mximoou mnimo) local. Este problema variacional comum em diversas reas da fsica e da ma-temtica que compartilham de quantidades geomtricas que assumam, por requerimentosfsicos ou puramente matemticos, um valor mximo ou mnimo. Por exemplo, o problemavariacional que descreve fenmenos da tica geomtrica consiste em encontrar a trajetriado raio de luz para a qual o tempo de propagao seja mnimo (princpio de Fermat). A din-mica de partculas relativsticas, como outro exemplo, refere-se ao problema de se encontrartrajetrias no espao-tempo que maximizem o tempo prprio.

    Problemas variacionais na mecnica clssica [12, 13], disciplina na qual o clculo vari-acional encontrou seu maior terreno de desenvolvimento, precisam ser definidos com baseem espaos no to facilmente intudos. Um sistema fsico neste cenrio descrito por umatrajetria em um espao de configurao Qn formado por suas coordenadas generalizadas qa,em que a = 1, . . . , n e n indica a dimenso de Qn. Tal trajetria definida pelas equaesparamtricas

    : qa = qa (t) , (4.1)

    em que t um parmetro relacionado univocamente com o tempo. O problema variacionalconsiste em encontrar condies necessrias e suficientes para que a integral fundamental

    A [] t1t0

    L (t, qa, qa) dt, (4.2)

    em que qa dqa/dt, assuma um valor extremo sobre C, fornecida uma funo LagrangianaL que dependa do tempo, das coordenadas e de suas velocidades. Neste caso, precisamos queas funes qa (t) sejam pelo menos de classe C2. Este problema variacional recebe o nome deprincpio de Hamilton quando a primeira variao das coordenadas generalizadas em t = t0 et = t1 nula. A aplicao direta do princpio de Hamilton leva s equaes de Euler-Lagrange

    d

    dt

    L

    qa Lqa

    = 0, (4.3)

    que so as equaes diferenciais que ditam a dinmica da teoria.O carter do tempo como parmetro de evoluo nessas teorias bastante especial. Em

    primeiro lugar, um parmetro de evoluo nico: a integral (4.2) uma integral simples e assolues das equaes (4.3), se existirem, so famlias de curvas de 1-parmetro que depen-dem de um conjunto de condies iniciais. Em segundo lugar, embora seja sempre possvel

    31

  • um processo de reparametrizao, a integral fundamental no independente da escolha doparmetro. Por isso, as equaes de Euler-Lagrange no so apenas equaes que descrevemuma dada geometria no espao de configurao, mas possuem tambm a interpretao deequaes que caracterizam um sistema dinmico finito.

    Por causa do papel especial do tempo, o formalismo Hamiltoniano pode ser naturalmenteintroduzido e a mecnica clssica pode ser analisada atravs do espao de fase T Qn, ondeas equaes de movimento tomam a forma de um conjunto de equaes de primeira ordem.No espao de fase h a introduo de uma estrutura simpltica natural, atravs da qual possvel conhecer a forma da evoluo de qualquer observvel fsico sem a necessidade daresoluo das equaes de movimento. Alm disso, as propriedades geomtricas do espaode fase permitem que o efeito de transformaes sobre observveis sejam imediatamente re-conhecidos, independentemente da dinmica especfica da teoria. Dentre as transformaesmais importantes esto as transformaes cannicas, que preservam o elemento de volumedo espao de fase. A importncia desse formalismo cannico para a fsica no pode ser subes-timada, visto que a mesma estrutura formal est presente tambm na mecnica quntica.

    O clculo variacional para a mecnica clssica envolve tambm os teoremas de Noether,que dizem respeito a identidades obedecidas quando a integral fundamental (4.2) invariantepor alguma classe de transformaes, assim como o formalismo de Hamilton-Jacobi.

    O mesmo quadro para teorias de campos no pode ser traado to naturalmente. Comoveremos, campos so sistemas que dependem de um conjunto de parmetros, geralmenteidentificados com as coordenadas cartesianas do espao-tempo. A integral fundamental quecaracteriza o problema variacional, anloga integral (4.2), uma integral mltipla. Almdisso, os sistemas em campos mais importantes na fsica so invariantes por reparametri-zaes. Essas caractersticas fazem desses sistemas essencialmente distintos dos sistemasclssicos, nos quais o tempo tem um papel privilegiado. Em especial, no h uma forma nicade dinmica Hamiltoniana e, tampouco, um nico formalismo de Hamilton-Jacobi possvel.Outro aspecto das teorias de campos mais importantes para a fsica so as simetrias de gauge,que so caractersticas de sistemas singulares.

    4.2 VariaesUm campo pode ser descrito por um conjunto de n funes i (x), em que x representa umponto no espao-tempo de 4 dimenses, localmente descrito por um sistema de coordenadasx =

    (x0, x1, x2, x3

    )em um dado volume . Todas as nossas consideraes sero restritas ao

    sistema contido nesse volume. O ndice i varia de 1 a n. Vamos trabalhar em um espao deconfigurao construdo da seguinte forma. Os campos so coordenadas de uma variedadeQn de dimenso n. Em conjunto com essa variedade, definimos tambm um espao para osparmetros, R4. O espao de configurao vem a ser o produto direto definido porQ QnR4,de modo que o volume , o qual ser tratado tambm como o domnio dos campos , estejaimerso em Q.

    Vamos supor que os campos sejam funes de classe C, de modo que podemos definirtodas as suas derivadas

    i di

    dx i, i i, . . . . (4.4)

    Uma configurao dos campos definida como os valores dos campos e de suas derivadasprimeiras, ou velocidades, em cada ponto do espao-tempo:

    :{i (x) , i (x)

    }, x R4. (4.5)

    Consideremos, agora, a existncia de uma densidade Lagrangiana L(x, i, i

    ), contendo

    derivadas dos campos at primeira ordem. Com essa densidade Lagrangiana definimos aao

    A []

    L(x, i, i

    )d, (4.6)

    32

  • em que usamos a notao d dx0dx1dx2dx3.Para definir o problema variacional, vamos considerar uma transformao ativa no espao

    de configurao, que pode ser imaginada como um arraste suave dos campos e dos parmetros.Existe uma configurao fsica (x), que ser arrastada suavemente para uma configurao (y), de modo que a topologia e geometria do espao de configurao e, consequentementedo espao de Minkowski, seja preservada. Isto significa que no sero permitidas transfor-maes que envolvam "colar" e "furar" o espao-tempo, nem transformaes que mudem amtrica de Minkowski. A configurao fsica (x) deve ser um extremo da integral funda-mental.

    Para realizar esta transformao, vamos fazer da configurao i um membro de umafamlia de configuraes de 1-parmetro, definida por

    (u) :{i = i (x, u) ; i =

    i (x

    , u) ; } , (4.7)pelo menos de classe C2 em u. Se uma dada configurao (u0) um extremo da integralfundamental (4.6), correspondendo configurao fsica do sistema, A (u0) deve ser menor (oumaior) que um valorA (u) calculado em uma configurao (u), pertencente a uma vizinhanafechada |u u0| de (u0). Supondo |u u0| um nmero muito pequeno, desprezando termosde ordem maior ou igual a |u u0|2, a expanso de (u) em srie de Taylor ao redor daconfigurao (u0) pode ser escrita por

    i (x, u) i (x, u0) + di (x, u)

    du

    u=u0

    u, (4.8)

    e assim tambm para as derivadas dos campos, em que u u u0. Esta a frmula deprimeira ordem para a comparao entre duas configuraes (u0) e (u) para um conjuntofixo de parmetros x. Ela nos permite definir a primeira variao dos campos a ponto fixo,dada pela expresso

    i i (x, u) i (x, u0) = di

    du

    u=u0

    u. (4.9)

    A mesma expresso vlida para as derivadas. Por exemplo, temos a primeira variao dea:

    i i (x, u) i (x, u0) =didu

    u=u0

    u

    =d2i

    dxdu

    u=u0

    u =d

    dxdi

    du

    u=u0

    u =d

    dx(i).

    Na expresso acima, usamos a derivada total definida por

    d

    dx x

    +

    dx

    [i (x)

    i (x)+ i (x)

    i (x)+ i (x)

    i (x)+

    ]. (4.10)

    A integral que aparece na expresso acima atende ao fato de que campos so, de forma ri-gorosa, tratados como distribuies do espao-tempo: as derivadas com relao aos camposso derivadas funcionais e no simples derivadas parciais. Por essa razo usamos o smboloF (x) / (y) para caracterizar a derivada funcional de uma funo F (x), aplicada em umponto x do volume , com relao a uma funo (y), aplicada em um ponto y do mesmodomnio. A relao mais fundamental vem a ser

    i (x)

    j (y)= ij

    4 (x y) , (4.11)

    em que temos a delta de Dirac de dimenso 4:

    4 (x y) ={

    0 se x 6= y, se x = y. ,

    M4

    4 (x y) d4x = 1. (4.12)

    33

  • No geral podemos ignorar a escrita das integrais, de modo a no sobrecarregar a notao,o que faremos em boa parte do trabalho. Contudo, quando somas em derivadas funcionaisaparecem, integrais geralmente as acompanham e devemos ficar atentos a este fato. Porexemplo, usaremos repetidamente expresses do tipo i

    [L/i

    ], com L sendo a densidade

    Lagrangiana, que devem ser lidas como

    dx

    [i (x)

    L (y)

    i (x)

    ]. (4.13)

    A primeira variao (4.9), portanto, o termo de primeira ordem da comparao entreduas configuraes infinitesimalmente prximas, mantendo fixos o conjunto de parmetrosx e, portanto, o domnio . Podemos generalizar este argumento e considerar tambm acomparao com configuraes que variem os parmetros. Basta considerarmos

    (u) :{i = i (y, u) ; i =

    i (y

    , u)}, (4.14)

    em que os parmetros y representam coordenadas de um volume do espao-tempo. Pode-mos escolher esta configurao de modo que y = x para u = u0 e, assim, ambos os conjuntosesto relacionados pela equao

    y = y (x , u) y + dy

    du

    u=u0

    u, (4.15)

    em que, por ltimo, tomamos a expanso at primeira ordem em u.Com a variao dos parmetros, temos a primeira variao total

    i (y, u) i (y, u0) + di (y, u)

    du

    u=u0

    u+di (y, u)

    dydy

    du

    u=u0

    u

    = i (x, u0) + i +(a)u=u0

    x ,

    ou seja,

    i i + ix , (4.16)em que

    x dy

    du

    u=u0

    u. (4.17)

    4.3 A primeira variao da aoVamos escrever a integral fundamental para a configurao (u0):

    A (u0) =

    L(x, i, a

    )d, (4.18)

    assim como para a configurao (u):

    A (u) =

    L(y, a, a

    )d, (4.19)

    em que d dy0dy1 . . . dyd. A primeira variao total da ao definida por

    A A (u)A (u0) dA (u)du

    u=u0

    u. (4.20)

    O operador

    u ddu

    (4.21)

    34

  • um operador diferencial de primeira ordem, que obedece s propriedades de uma derivadaordinria: linear e obedece regra de Leibniz. Neste caso, vamos calcular

    A =

    [

    L(x, i, a

    )d

    ]=

    (Ld + Ld) . (4.22)

    A variao total atua sobre o elemento de volume na seguinte forma:

    (d) = d d = det(dy

    dx

    )d d =

    [det

    (dy

    dx

    ) 1]d.

    Note que y = x + x, ento

    dy

    dx= +

    d (x)

    dx.

    O determinante dado por

    det

    (dy

    dx

    )= det

    1 +

    d(x0)dx0

    d(x0)dx1

    d(x0)dx2

    d(x0)dx3

    d(x1)dx0 1 +

    d(x1)dx1

    d(x1)dx2

    d(x1)dx3

    d(x2)dx0

    d(x2)dx1 1 +

    d(x2)dx2

    d(x2)dx3

    d(x3)dx0

    d(x3)dx1

    d(x3)dx2 1 +

    d(x3)dx3

    .

    fcil verificar que, em primeira ordem, o determinante aproximado por

    det

    (dy

    dx

    )= 1 +

    d (x)

    dx. (4.23)

    Ento,

    (d) =

    [1 +

    d (x)

    dx 1]d =

    d (x)

    dxd. (4.24)

    Na integral, temos

    A =

    (Ld + Ld) =

    (L+ L

    d (x)

    dx

    )d.

    Note que

    Ld (x)

    dx=

    d

    dx(Lx) x dL

    dx,

    e, neste caso,

    A =

    (L+

    d

    dx(Lx) x dL

    dx

    )d

    =

    (L x dL

    dx

    )d +

    dd

    dx(Lx) ,

    ou,

    A =

    Ld +

    dd

    dx(Lx) , (4.25)

    em que

    L = L x dLdx

    . (4.26)

    35

  • Primeiro, vamos calcular

    L = udL

    du= x

    L

    x+ i

    L

    i+ i

    L

    i. (4.27)

    Por outro lado,

    xdL

    dx= x

    (L

    x+ i

    L

    i+ i

    L

    i

    ), (4.28)

    de modo que

    L = L x dLdx

    = xL

    x+ i

    L

    i+ i

    L

    i x

    (L

    x+ i

    L

    i+ i

    L

    i

    )=

    (i xi

    ) Li

    +(i xi

    ) Li

    ,

    ou,

    L =

    ( x d

    dx

    )iL

    i+

    ( x d

    dx

    )i

    L

    i

    = iL

    i+ i

    L

    i. (4.29)

    Vamos calcular agora a variao

    i = i xi. (4.30)

    Primeiro,

    i =

    (di

    dx

    )=di

    dy d

    i

    dx=dx

    dydi

    dx d

    i

    dx

    =dx

    dydi

    dx d

    i

    dx.

    Note que x = y x. Portanto,

    i =d

    dy(y x) d

    i

    dx d

    i

    dx

    =

    (

    d (x)

    dy

    )di

    dx d

    i

    dx=di

    dx d (x

    )

    dydi

    dx d

    i

    dx

    =d

    dx(i i) d (x)

    dydi

    dx

    =d(i)

    dx ddy

    (x

    di

    dx

    )+ x

    d2i

    dydx.

    Em primeira ordem,

    i =d(i)

    dx ddx

    (x

    di

    dx

    )+ x

    d2i

    dxdx

    =d

    dx(i xi

    )+ x i

    =d

    dx(i)

    + xi, (4.31)

    que resulta em

    i =d

    dx(i)

    + x i xi =d

    dx(i). (4.32)

    36

  • Temos

    L = iL

    i+ i

    L

    i= i

    L

    i+

    d

    dx(i) Li

    = i[L

    i ddx

    L

    i

    ]+

    d

    dx

    (i

    L

    i

    ). (4.33)

    Na integral,

    A =

    Ld +

    dd

    dx(Lx)

    =

    i[L

    i ddx

    L

    i

    ]d +

    dd

    dx

    (Lx + i

    L

    i

    ). (4.34)

    Vamos deixar a primeira integral como est, mas desejamos escrever a segunda integralcomo combinaes lineares das variaes totais dos campos. Vamos usar = x:

    A =

    i[L

    i ddx

    L

    i

    ]d +

    dd

    dx

    [Lx xi

    L

    i+ i

    L

    i

    ]=

    i[L

    i ddx

    (L

    i

    )]d +

    dd

    dx

    [i

    L

    i(i

    L

    i L

    )x].

    Vamos definir

    H Li

    i L, (4.35)

    assim,

    A =

    i[L

    i ddx

    L

    i

    ]d +

    dd

    dx

    (i

    L

    iHx

    ). (4.36)

    4.4 Os termos de fronteiraA integral

    dd

    dx

    (L

    ii Hx

    ) uma integral de uma divergncia total no volume . Segundo o teorema de Gauss, a integralde um divergente de um campo vetorial em um volume deve ser igual integral da projeoortogonal do mesmo campo vetorial na fronteira de , ou seja,

    ddF (x)

    dx=

    dn (x)F (x) ,

    em que n (x) so componentes de um vetor unitrio tangente a em determinado ponto x.Neste caso,

    dd

    dx

    (L

    ii Hx

    )=

    dn

    (L

    ii Hx

    ). (4.37)

    Por esta razo, integrais de divergentes em um problema variacional so denominados ter-mos de fronteira, j que eles dependem apenas das configuraes e variaes dos campos nafronteira de .

    O campo vetorial relevante dado por

    Li

    i Hx , (4.38)

    37

  • e uma combinao linear de e x. Os coeficientes so

    H =L

    ii L, (4.39)

    que so as componentes de um objeto que recebe o nome de densidade de energia-momento.H, tambm, os coeficientes

    pii L

    i, (4.40)

    que so denominados momentos conjugados covariantes. Veremos mais adiante que essasquantidades so fundamentais na definio de quantidades conservadas e invariantes do pro-blema variacional.

    4.5 Os princpios de Hamilton e Weiss e as equaes decampo

    Um princpio fsico necessrio para que se defina a configurao fsica dos campos. usual,a princpio, a utilizao do princpio de Hamilton:

    Proposio 1. O Princpio de Hamilton para campos.

    Seja uma configurao de campos e uma integral fundamental, ou ao A, definidaa partir de uma densidade Lagrangiana L = L (x, , ). Considere, tambm, umavariao dos campos que no modifique o volume M4 e seja nula na fronteira. Neste caso, uma configurao fsica do sistema se a ao for estacionriaquando calculada nesta configurao, em comparao com a ao calculada sobrequalquer outra configurao em uma vizinhana fechada de .

    A condio necessria, mas no necessariamente suficiente, para que a ao seja estacio-nria dada por A = 0, ou seja, a primeira variao da ao tendo como base a configuraoestacionria deve ser nula. Nas condies do princpio de Hamilton, a variao deve sertal que

    x = 0 e i (x)x = 0. (4.41)

    Neste caso, a primeira variao da ao, (4.36), toma a forma

    A =

    i[L

    i ddx

    L

    i

    ]d +

    dd

    dx(pii

    i),

    visto que = quando x = 0. O termo de fronteira envolve o clculo de na fronteira de ,

    dd

    dx(pii

    i)

    =

    dx n (x)pii (x)

    i (x)x ,

    que nulo devido segunda condio (4.41).Neste caso,

    A =

    i[L

    i ddx

    L

    i

    ]d. (4.42)

    38

  • O volume fixado a priori. Contudo, o procedimento acima deve ser vlido para qualquervolume no qual o sistema de coordenadas cartesiano {x} seja vlido e, tambm, no qual oscampos sejam bem definidos. Sem perda de generalidade, podemos considerar arbitrrio.Alm disso, as variaes i devem ser linearmente independentes: a variao de um campoi no pode depender da variao de uma campo j para j 6= i. A condio de extremo A = 0implica em que a integral (4.42) seja nula. Se arbitrrio e i so LI, o termo entrecolchetes deve ser nulo, ou seja,

    L

    i ddx

    L

    i= 0. (4.43)

    Essas so as equaes de campo, so as equaes de Euler-Lagrange da ao (4.6).

    Observao 1. O princpio de Hamilton pode ser flexibilizado na condio de que seja nulo na fronteira. Ainda mantendo fixo, suficiente que os momentoscovariantes sejam tangentes a na fronteira, ou seja,

    n (x)pii (x)|x = 0. (4.44)

    Isto implica na nulidade dos termos de fronteira e resulta nas mesmas equaesde campo. Esta condio, contudo, restringe as configuraes fsicas quelas queobedecem ao vnculo (4.44), que se torna uma condio de contorno.

    Um segundo princpio mais geral e permite variaes no volume :

    Proposio 2. O Princpio de Weiss.

    Seja uma configurao de campos e uma integral fundamental, ou ao A, definidaa partir de uma densidade Lagrangiana L = L (x, , ). Sejam uma variao doscampos = (y) (x) e uma variao no volume x = y x, infinitesimais earbitrrios. Neste caso, (x) uma configurao fsica do sistema se a primeiravariao da ao depender apenas da fronteira de .

    O princpio de Weiss permite, portanto, variaes arbitrrias no espao de configurao, ouseja, permite todo arraste de campos que respeite a topologia e a geometria do espao-tempo,ao contrrio do princpio de Hamilton. Se a primeira variao s depende da fronteira, existepelo menos um conjunto de funes F tais que

    A =

    ddF

    dx=

    d |n (x)F (x)|x .

    Neste caso, x 6= 0 e = x, de modo que

    A =

    i[L

    i ddx

    L

    i

    ]d +

    dd

    dx

    (i

    L

    iHx

    )=

    ddF

    dx.

    Para que A no dependa do volume, temos a condio

    i[L

    i ddx

    L

    i

    ]d = 0,

    39

  • que deve ser respeitada com arbitrrio e i linearmente independentes. Neste caso, temos

    L

    i ddx

    L

    i= 0,

    que so as equaes de campo (4.43) da ao.No princpio de Weiss, no se exige que os termos de fronteira sejam nulos. Contudo, de-

    pendendo do volume em considerao, condies de contorno nos campos e nas velocidadestalvez sejam necessrias para garantir a existncia das integrais.

    40

  • Captulo 5

    Os teoremas de Noether

    5.1 SimetriasVamos supor uma transformao infinitesimal

    x x = x + x, i (x) i (x) = i (x) + i. (5.1)Um funcional de ao A denominado invariante sob estas transformaes se a ao calcu-lada nas novas variveis,

    A[]

    =

    dL(x, ,

    ), (5.2)

    for igual ao calculada nas antigas variveis

    A [] =

    dL (x, , ) , (5.3)

    ou seja,

    A = A. (5.4)

    A condio (5.4) pode ser escrita atravs da diferena finita

    A = AA = 0. (5.5)Vamos supor que x so funes analticas de um conjunto de parmetros a e que i

    so funes analticas de um conjunto de m parmetros a, em que a toma os valores de 1 am. Portanto, as transformaes (5.1) fazem parte de uma classe de transformaes contnuas.Alm disso, temos a condio

    (a, a) 0 = x = = 0 = x = x, i = i, (5.6)para as quais dizemos que as transformaes so conexas identidade.

    Se as transformaes so contnuas e conexas identidade, podemos expandir A em sriede Taylor:

    A(a)

    = A+dA

    da

    a,=0

    a +dA

    da

    a,=0

    a +O (2) . (5.7)Colecionando apenas termos at primeira ordem, temos

    A A+ A, (5.8)em que A uma primeira variao de A com relao s transformaes (5.1), ou seja,

    A A, (5.9)

    41

  • em primeira ordem da aproximao de Taylor.Uma condio necessria para que A seja nulo , claramente, que A seja nulo para as

    transformaes (5.1). claro que esta condio no suficiente, de modo que podemos definiro que denominamos invarincia fraca. A ao A fracamente invariante sob as transforma-es (5.1) se A = 0. De agora em diante, sempre que nos referirmos a uma invarincia, estase refere a uma invarincia fraca. Uma invarincia forte, em que A = 0 , claramente,tambm uma invarincia fraca.

    As transformaes que deixam um funcional invariante so chamadas simetrias destefuncional.

    Simetrias contnuas e conexas identidade, caracterizada pelos m+ 4 parmetros a e a,podem ser explicitamente colocadas na forma

    x =dx

    da

    a,=0

    a

    i =di

    da

    a,=0

    a +di

    da

    a,=0

    a =di

    dxdx

    da

    a,=0

    a +di

    da

    a,=0

    a

    = idx

    da

    a,=0

    a +di

    da

    a,=0

    a = xi + i,

    em que

    i =di

    da

    a,=0

    a.

    Nessas expresses, definimos

    dx

    da

    a,=0

    , ia di

    da

    a,=0

    , (5.10)

    que so funes independentes dos parmetros. Em resumo,

    x = a , i = ix

    + i = ia + ia

    a. (5.11)

    5.2 A equao de LieA primeira variao de A sob uma transformao infinitesimal geral caracterizada pelas fun-es x e i foi calculada em (4.36), resultando em

    A =

    d

    [L

    i ddx

    L

    i

    ]i +

    dd

    dx

    (i

    L

    iHx

    ). (5.12)

    Com as definies (5.11),

    A =

    d

    {(L

    i ddx

    L

    i

    )ia

    a +d

    dx(pii

    i

    a + pii

    ia

    a Ha)}

    .

    Se A = 0 em um volume arbitrrio, ento(L

    i ddx

    L

    i

    )ia

    a = ddx

    [(pii

    i H

    )a

    + pii ia

    a]. (5.13)

    Esta a equao diferencial de Lie.

    42

  • 5.3 O primeiro teoremaVamos separar, por convenincia, as transformaes exclusivamente nos campos (x = 0),das transformaes exclusivamente no ponto do espao-tempo ( = 0). No primeiro caso,temos x = a = 0, portanto tomaremos = 0 em (5.13). Ento,(

    L

    i ddx

    L

    i

    )ia

    a = ddx

    [pii

    ia

    a].

    Agora, vamos considerar os parmetros a independentes do ponto, ou seja, constantes emx. Neste caso, se a so linearmente independentes, temos(

    L

    i ddx

    L

    i

    )ia =

    d

    dx(pii

    ia

    ). (5.14)

    Dizemos que essas so transformaes internas globais. Internas, pois consistem em m trans-formaes exclusivamente nos campos, sem mudana nas coordenadas deM4. Globais, poisso transformaes a parmetros constantes, que no dependem do ponto do espao-tempo.Com (5.14), podemos enunciar a forma matemtica do primeiro teorema de Noether:

    Teorema 1. Primeiro teorema de Noether (verso matemtica).Para cada simetria da ao, existe uma combinao linear das equaes de campoque igual a uma divergncia total.

    Este teorema tambm vale no segundo caso, em que = 0, consistindo em transformaesexclusivamente no espao-tempo. Neste caso, temos i = xi, resultando em iaa =ia . Ento, (5.13) torna-se(

    L

    i ddx

    L

    i

    )i

    =

    d

    dx(H

    ), (5.15)

    com a constantes. Ento, temos o caso em que quatro simetrias resultam em quatro combi-naes lineares das equaes de Euler-Lagrange iguais a quatro divergncias totais.

    Toda simetria global (com parmetros constantes) pode ser separada em uma transforma-o interna e uma transformao no ponto, de modo que o caso misto no de muito interesse.Simetrias internas possuem uma enorme relevncia em teorias de campos, como por exemploas transformaes de gauge. Por outro lado, toda teoria de campo relativstica invariantepelo grupo de Poincar, que consiste em translaes e pseudo-rotaes emM4. Transforma-es de Poincar so transformaes globais no ponto, portanto.

    Outra verso do primeiro teorema de Noether pode ser formulada a partir da equao deLie (

    L

    i ddx

    L

    i

    )i = d

    dx(pii

    i Hx), (5.16)

    agora escrita na forma geral. Note que, se as equaes de campo so satisfeitas,

    L

    i ddx

    L

    i= 0,

    a seguinte divergncia nula:

    d

    dx= 0, pii i Hx . (5.17)

    43

  • No caso de transformaes internas globais, temos

    = pii i = pii

    ia

    a,

    ou seja,

    d

    dx= 0 = d

    dx(pii

    ia

    )= 0.

    As funes a pii ia so denominadas correntes prprias, e as equaesdadx

    = 0 (5.18)

    so denominadas equaes de continuidade.No caso de transformaes no ponto, temos

    = Hx = Ha,

    que resulta em

    d

    dx= 0 = d

    dx(H

    ) = 0. (5.19)

    Neste caso, as correntes prprias so as funes H , que obedecem s equaes decontinuidade d/dx = 0.

    Teorema 2. Primeiro teorema de Noether (verso fsica I).Para cada simetria da ao, existe uma equao de continuidade para um conjuntode correntes prprias.

    Equaes de continuidade aparecem em toda teoria fsica com simetrias. Por exemplo,considere as equaes de Maxwell com fontes

    E = 0,

    B = 0j + 00 Et.

    Derivando a primeira equao parcialmente no tempo e tomando o divergente da segunda,temos

    t( E) = E

    t=

    1

    0

    t,

    B = 0 j + 00 Et

    = 0.

    Portanto, a ltima equao resulta em

    j + t

    = 0,

    que a equao de continuidade para a carga eltrica. Vamos introduzir a 4-corrente

    j =(c, j).

    44

  • Ento,

    j + t

    = j + cj0

    t= j + j

    0

    x0=j

    x= 0.

    A corrente j um exemplo de corrente de Noether prpria, como veremos no estudo do campoeletromagntico.

    Outro exemplo consiste na equao de Schrdinger

    i~

    t= ~

    2

    2m2 + V .

    Seu complexo conjugado resulta em

    i~

    t= ~

    2

    2m2 + V .

    Multiplicando a primeira equao por e a segunda por , temos

    i~

    t= ~

    2

    2m2 + V ,

    i~

    t = ~

    2

    2m

    (2) + V .Tomando a diferena, temos

    i~

    t() = ~

    2

    2m [ ] .

    Definindo-se = i~ e j =(~2/2m

    )( ), temos

    t+ j = 0,

    que tambm uma equao de continuidade, desta vez para a probabilidade de transio emmecnica quntica. Esta equao de continuidade tambm resultante do primeiro teoremade Noether, desta vez para a mecnica quntica.

    5.4 Cargas conservadasAgora, podemos trabalhar de forma mais geral. Se a ao possui uma simetria global, existeuma corrente prpria a , em que a = a para uma simetria interna e a = para uma simetriade ponto. A equao de continuidade dada por

    dadx

    = 0. (5.20)

    Esta uma equao diferencial parcial nas coordenadas, portanto tem um carter local. Comcondies de contorno apropriadas, este tipo de equao tambm resulta em uma lei de con-servao global.

    Primeiro, vamos supor um observador em repouso com relao origem de um sistemade coordenadas cartesiano {x}. Seu tempo prprio a coordenada x0 = ct, de modo queseu relgio mede um tempo t = x0/c em seu referencial. Vamos supor, aqui, um sistemade unidades natural em que c = 1. Este observador faz experincias sobre um conjunto decampos i (x) em seu laboratrio, que tem volume V . Ele est interessado especialmente naintegral da equao (5.20) em , de modo que

    I =

    ddadx

    =

    t1t0

    dt

    V

    d3xdadx

    =

    t1t0

    dt

    V

    d3x

    (d0adx0

    +dkadxk

    ), k = 1, 2, 3.

    45

  • Esta integral divide-se em duas:

    I =

    t1t0

    dtd

    dt

    (V

    d3x0a

    )+

    t1t0

    dt

    (V

    d3xdiv ~a).

    Na segunda integral, podemos usar o teorema de Gauss em trs dimenses. Ela resultaem

    t1t0

    dt

    (V

    d3xdiv ~a)

    =

    t1t0

    dt

    (A

    d2xn ~a).

    Vamos supor que o observador expanda o volume ao infinito e, neste caso, ele supe que ascorrentes tridimensionais ~a vo a zero na fronteira de V . Portanto, a segunda integral nula e

    I =

    t1t0

    dtd

    dt

    (V

    d3x0a

    )=

    t1t0

    d

    (V

    d3x0a

    )=

    (V

    d3x0a

    )t1t0

    . (5.21)

    Se (5.20) satisfeita, I = 0, de modo que

    d

    dt

    (V

    d3x0a

    )= 0.

    A quantidade

    Qa (t) V

    d3x0a (x, t) (5.22)

    chamada de carga de Noether, e uma quantidade conservada no tempo, visto que

    dQadt

    = 0. (5.23)

    Teorema 3. Primeiro teorema de Noether (verso fsica II).Seja a =

    (0a, ~a

    )tal que n ~a = 0 na fronteira de um volume tridimensional

    V , em que n um vetor unitrio ortogonal superfcie definida pela fronteira deV . Ento, para cada simetria da ao, existe uma carga Qa =

    Vd3x0a que uma

    constante de movimento.

    Portanto, simetrias implicam em cargas conservadas, que so constantes de movimentodo ponto de vista de um observador inercial.

    5.5 Translaes e a conservao de energia e momentoConsidere a transformao

    x = a,

    com coeficientes a constantes. Esta operao representa uma translao no espao-tempo.Neste caso,

    x = a = a = = .

    46

  • Essas transformaes so efetuadas de modo que i = 0, pois campos relativsticos sonaturalmente invariantes por translaes. Ento a equao de Lie torna-se(

    L

    i ddx

    L

    i

    )ix

    = ddx

    (Hx) ,

    que resulta em(L

    i ddx

    L

    i

    )i =

    d

    dx(H) .

    Se as equaes de campo so satisfeitas,

    L

    i ddx

    L

    i= 0,

    temos

    d

    dx(H) = 0. (5.24)

    Portanto, existem quatro equaes de continuidade para a densidade de energia-momento:

    tH0 + ~H = 0, (5.25)

    em que consideramos H =(H0 , ~H

    ).

    Agora, conveniente entendermos melhor o papel da densidade de energia-momento. Po-demos obter uma definio formal abaixo.

    Definio 7. Densidade de energia-momento cannica.Seja E o espao vetorial dos vetores de Lorentz definidos emM4 e o espao de todasas funes escalares de Lorentz definidas emM4. A densidade de energia-momento um funcional bilinear T : E E . Dado um sistema de coordenadas {x} e umabase de covetores dx, T tem a forma T = Hdxdx , cujas componentes so dadaspor

    H Li

    i L, (5.26)

    em que L uma densidade lagrangiana. Neste caso, T um tensor do tipo (0, 2).

    Considere agora um observador em um referencial inercial com 4-velocidade u = u:

    Definio 8. Densidade de energia.Seja u a 4-velocidade de um observador e T a densidade de energia-momento de umcampo. A densidade de energia do campo medida por este observador definidapelo escalar

    T (u, u) = Huu . (5.27)

    47

  • Supondo que o observador esteja em repouso com relao ao seu sistema de coordenadaslocal, temos u = (1, 0, 0, 0). Neste caso,

    = Huu = H00u

    0u0 = H00.

    Neste caso, o tempo medido por este observador dado por t = x0/c e, a tempo constante,podemos integrar esta expresso em um volume V tridimensional:

    V

    (x) d3x =

    V

    H00 (x) d3x =

    V

    (L

    i0i0 L

    )d3x.

    Esta integral precisamente a energia do campo no volume V , ou seja,

    H =

    V

    H00 (x) d3x (5.28)

    a funo hamiltoniana do campo. Neste caso, a energia a integral no volume da com-ponente H00 de T quando o observador encontra-se em repouso com relao ao seu prprioreferencial. No caso mais geral, a energia dada por

    H =

    H (x)uud, (5.29)

    em que um volume tridimensional ortogonal velocidade u.

    Observao 2. O processo descrito acima uma escolha de dinmica relativstica.Uma dinmica relativstica envolve a escolha de um eixo temporal, neste caso a ve-locidade u de um observador, de modo que seu tempo prprio seja o parmetro deevoluo temporal. Neste caso, o observador mede os campos no mais como funesno espao-tempo, mas como funes do tempo t e das posies x de um espao tridi-mensional t onde todos os pontos so definidos a t constante. Uma escolha de din-mica relativstica, portanto, decompe o espao-tempo em espaos tridimensionaist em cada tempo t. Os fsicos chamam este processo de folheao do espao-tempo,de modo que cada t uma folha tridimensional a t constante. Quando t = x0/ce t = R3, esta dinmica denominada dinmica instantnea. Existem, at o mo-mento, cinco dinmicas relativsticas no equivalentes.

    Agora, vamos considerar um vetor unitrio e ortogonal a u. Este vetor claramentetangente a , visto que u ortogonal a . De fato, podemos definir um conjunto de trs vetoresk = (1, 2, 3) que formam uma base ortonormal de . Cada vetor um eixo ortonormal de. Neste caso,

    Definio 9. Densidade de momento.Seja um vetor unitrio ortogonal velocidade u de um observador, e T a densidadede energia-momento de um campo. A densidade de momento do campo na direode , p , medida por este observador definida por

    p T (u, ) = Hu . (5.30)

    Na dinmica instantnea, u = (1, 0, 0, 0). Seja 1 = (0, 1, 0, 0). Neste caso,

    p1 = Hu = H01u

    01 = H01.

    48

  • Esta a densidade de momento na direo x1. Da mesma forma, p2 = H02 e p3 = H03, demodo que

    pk = H0k, k = 1, 2, 3. (5.31)

    Integrando-se esta expresso, temos

    Pk V

    pk (x) d3x = Pk

    V

    H0k (x) d3x. (5.32)

    Esta expresso define o momento total do campo em cada direo espacial.Por fim, definimos:

    Definio 10. Densidade de estresse.Seja k uma base para , tal que seja ortogonal velocidade u de um observador.Seja T a densidade de energia-momento de um campo. Considere tambm umasuperfcie gaussiana k ortogonal a cada k em determinado ponto de . O fluxo dacomponente m da densidade de momento atravs de uma superfcie n dado por

    mn T (m, n) = Hmnmn, (5.33)

    e denominado densidade de estresse do campo.

    Na dinmica instantnea, imediato verificar que

    mn = Hmn. (5.34)

    Assim, quando u = (1, 0, 0, 0), temos

    H =

    p1 p2 p3p1 11 12 13p2 21 22 23p3 31 32 33

    . (5.35)As componentes 11, 22 e 33 so denominadas densidades de estresses normais a cada dire-o. Quando so iguais, kk (sem soma em k) denominado densidade de presso do campo.Integradas em , (5.35) formam as componentes do tensor de estresse. Da mesma forma, asintegrais

    T (t)

    t

    H (t,x) d (5.36)

    so as componentes do denominado tensor energia-momento.Vamos voltar discusso anterior. Vimos que a invarincia da ao sob translaes im-

    plica em que as equaes de Euler-Lagrange resultam em uma equao de continuidade paraa densidade de energia-momento. Neste caso, vamos escrever

    H = 0, (5.37)

    que vem a ser a forma mais comum de notao. Dizemos que H uma quantidade conser-vada.

    Vamos trabalhar na dinmica instantnea de agora em diante. Integrando (5.37) em M4, temos

    0 =

    dH =

    dt

    V

    d3xH

    =

    dt

    V

    d3x(0H0 +

    kHk), k = 1, 2, 3.

    49

  • Temosdt

    V

    d3x(0H0 +

    kHk)

    =

    dt

    [d

    dt

    (V

    d3xH0

    )+

    V

    d3xkHk

    ]= 0.

    Vamos analisar apenas a equao para = 0. Assim, com H00 = e Hk0 = H0k = pk, temosdt

    [d

    dt

    (V

    d3x (x)

    )+

    V

    d3xkpk

    ]= 0. (5.38)

    Dentro dos colchetes, a segunda integral um termo de fronteira em V :V

    d3xkpk =

    V

    d2xnk (x) pk (x) , (5.39)

    em que nk (x) so as componentes de um campo vetorial (em trs dimenses) ortogonal a V .Esta integral o fluxo de momento do campo atravs da superfcie V . Ns vamos supor queo sistema fechado, de modo que n p = 0 em V . Neste caso, a integral nula e ficamosapenas com

    dtd

    dt

    (V

    d3x (x)

    )=

    dtdH

    dt= 0 = dH

    dt= 0. (5.40)

    Portanto, a hamiltoniana H =Vd3x (x) =

    Vd3xH00 uma constante de movimento.

    Quando uma hamiltoniana conservada, ela relacionada com a energia do sistema. Por-tanto, invarincia por translaes (especificamente pela evoluo temporal), resulta na con-servao da energia do campo.

    As demais equaes, para = k, resultam emdt

    [d

    dt

    (V

    d3xpk

    )+

    V

    d3xllk

    ]= 0,

    em que pk = H0k e lk = Hlk, com l = 1, 2, 3. Mais uma vez, vamos supor que o sistema fechado, de modo que o estresse do campo tangente superfcie V . Assim,

    V

    d3xllk =

    V

    dxnl (x) lk (x) = 0

    edtd

    dt

    (V

    d3xpk

    )= 0.

    A equao acima implica em que os momentos Pk =Vd3xpk (x) so conservados, ou seja,

    dPkdt

    = 0. (5.41)

    Ento, translaes (espaciais) implicam na conservao dos momentos lineares dos campos.

    5.6 Rotaes, momento angular e spinVamos analisar o que ocorre quando a ao invariante por transformaes de Lorentz, quevem a ser uma (pseudo)rotao global no espao-tempo. Temos

    y = x 1x + x =

    [ +

    1

    2i (Jab)

    ab

    ]x , (5.42)

    em que ab = ba e Jab so os geradores da lgebra so (1, 3) na representao adjunta,(Jab)

    = i (

    ab b a) , a, b, , = 0, 1, 2, 3. (5.43)

    50

  • Neste caso,

    x =1

    2i (Jab)

    abx . (5.44)

    Uma rotao no espao-tempo implica uma rotao nos campos. Vamos definir esta rotaode modo que i = 0, ou seja, apenas a transformao no ponto influencia na transformaototal dos campos. Assim,

    i = xi =1

    2i (Jab)

    abxi, (5.45)

    de modo que a equao de Lie[L

    i ddx

    L

    i

    ]i = d

    dx

    (i

    L

    iHx

    )torna-se

    d

    dx

    (L

    ii Hx

    )=

    1

    2id

    dx

    [(L

    ii H

    )(Jab)

    abx]

    = 0

    independentemente das equaes de campo, visto que i = 0. Como ab so constantes,temos

    [(L

    ii H

    )(Jab)

    x

    ]= 0. (5.46)

    Com (5.43), temos

    0 =

    [H (

    ab b a)x

    L

    ii (Jab)

    x

    ]=

    [(Haxb Hbxa)

    L

    ii (Jab)

    x

    ].

    Vamos definir dois objetos:

    Definio 11. Densidade de momento angular orbital.As componentes da densidade de momento angular orbital so definidas por

    `ab Haxb Hbxa. (5.47)

    Este momento angular um vetor de Lorentz, mas tambm uma matriz na lgebra deLorentz. Todo campo que se transforma como uma representao do grupo de Lorentz possuimomento angular orbital. O segundo objeto dado por:

    Definio 12. Densidade de spin.Seja uma rotao infinitesimal x = x = (i/2) (Jab)

    abx . Se os campos i setransformam de modo que

    i =1

    2i (Jab)

    abxi,

    as componentes da densidade de spin dos campos so definidas por

    sab L

    i

    (i)

    ab= L

    ii (Jab)

    x

    . (5.48)

    51

  • Neste caso, a corrente de Noether conservada dada pela densidade de momento an-gular total, cujas componentes so

    mab `ab + sab, (5.49)que obedecem s equaes de continuidade

    mab = 0. (5.50)

    Vamos integrar (5.50) em , como temos feito usualmente:

    0 =

    dmab =

    dt

    V

    d3xmab

    =

    dt

    V

    d3x(0m

    0ab + im

    iab

    )+

    dt

    (dMabdt

    +

    V

    d3ximiab

    ).

    Mais uma vez, vamos supor que o fluxo de momento angular em V nulo, anulando a ltimaintegral. A matriz

    Mab V

    d3xm0ab

    a matriz de momento angular t