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Teoria da Computação(ENG10395)

Profa. Juliana Pinheiro CamposE-mail: [email protected]

Ciência da Computação

TEORIA DA COMPUTAÇÃO

Computabilidade

O estudo da computabilidade objetiva determinar a solucionabilidade de problemas, ou seja, investigar a existência ou não de algoritmos que solucionem determinada classe de problemas.

Definimos a noção de algoritmo em termos de MT por meio da tese de Church-Turing. Essa tese afirma que “todo algoritmo pode ser expresso mediante uma MT”.

Vamos estudar alguns problemas solúveis (decidíveis) e não solúveis (indecidíveis).


Computabilidade

Infelizmente, muitos problemas interessantes e importantes para a CC são não solucionáveis. Exemplos:

• Detector universal de loops (problema da parada): Dados um programa e uma entrada qualquer, não existe algoritmo genérico capaz de verificar se o programa vai parar ou não para a entrada.

• Equivalência de compiladores: Não existe algoritmo genérico que sempre pare capaz de comparar quaisquer dois compiladores de LLC, e verificar se são equivalentes.


Computabilidade

Porque estudar a insolubilidade?• Para saber que o problema terá que ser

simplificado ou alterado antes que possa se encontrar uma solução algorítmica.

• Para evitar a pesquisa de soluções inexistentes.• Para conhecer as capacidades e limitações dos

computadores.• Para verificar que outros problemas também são

insolúveis(utilizando redução).

TEORIA DA COMPUTAÇÃOO conjunto de todos os problemas pode ser particionado de diversas formas. Uma maneira consiste nas 2 classes ilustradas abaixo:

Solucionáveis(Decidíveis)

Não solucionáveis(Indecidíveis)


Classes de solucionabilidade de problemas

Problema solucionável (decidível): Um problema é dito solucionável se existe um algoritmo que solucione o problema tal que sempre para para qualquer entrada, com uma resposta afirmativa (ACEITA), ou negativa (REJEITA).

Problema não solucionável (indecidível): Um problema é dito não solucionável se não existe um algoritmo que solucione o problema tal que sempre para para qualquer entrada.

O conjunto de todos os problemas pode ser particionado de diversas formas. Uma maneira consiste nas 2 classes ilustradas abaixo:


Parcialmente solucionáveis(Computáveis)

Completamente insolúveis(Não computáveis)



Problema parcialmente solucionável (computável): Um problema é dito parcialmente solucionável se existe um algoritmo que solucione o problema tal que para quando a resposta é afirmativa (ACEITA). Entretanto, quando a resposta esperada for negativa, o algoritmo pode parar (REJEITA) ou permanecer processando indefinidamente (LOOP).

Problema completamente insolúvel (não computável): Um problema é dito completamente insolúvel se não existe um algoritmo que solucione o problema tal que pare quando a resposta é afirmativa.




Relacionamento entre as classes:• A união das classes dos problemas solucionáveis e dos

não solucionáveis é o universo de todos os problemas.• A união das classes dos problemas parcialmente

solucionáveis e dos completamente insolúveis é o universo de todos os problemas.

• A classe dos problemas parcialmente solucionáveis contém propriamente a classe dos problemas solucionáveis e parte da classe dos problemas não solucionáveis.

• Os problemas completamente insolúveis não possuem solução total nem parcial.



Solucionáveis Não solucionáveis

Parcialmente solucionáveis Completamente insolúveis


Computabilidade

A investigação da solucionabilidade de problemas pode ser vista como um problema de reconhecimento de linguagens. A vantagem de tal abordagem é que a verificação da solucionabilidade de um problema pode ser tratada como a verificação se determinada linguagem é recursiva.

• A classe dos problemas parcialmente solucionáveis é equivalente à classe das LRE.

• A classe dos problemas solucionáveis (decidíveis) é equivalente à classe das Lrec.

A classe das Lrec está ligada ao conceito de decidibilidade. Um problema de decisão P é decidível se, e somente se, certa linguagem associada a P for recursiva. Logo, determinar se certo problema é decidível é basicamente, estabelecer se determinada linguagem é recursiva.Para problemas de decisão temos que: Se um PD tem solução, então existe uma MT que o decide.


Linguagens decidíveis

1) Problema da aceitação: testar se um AFD específico aceita uma dada cadeia. Linguagem que traduz esse problema:

AAFD = { <B, w> | B é um AFD que aceita a cadeia de entrada w}

Essa linguagem contém as codificações de todos os AFDs juntamente com cadeias que os AFDs aceitam. O problema de se testar se um AFD B aceita uma cadeia w é o mesmo que o problema de se testar se <B, w> A∈ AFD .



Mostrar que essa linguagem é decidível é o mesmo que mostrar que o PD é decidível.

AAFD é uma linguagem decidível. Prova: apresentamos uma MT M que decide AAFD .

M = “Sobre a entrada <B, w>, onde B é um AFD e wuma cadeia:1. Simule B sobre a entrada w.2. Se a simulação termina em um estado de aceitação, aceite. Se ela termina em um estado de não-aceitação, rejeite.”



Representação de MT para PD:

M<B,w>w ∈ L(B)w ∉ L(B) SIM

NÃO



2) Problema da aceitação: testar se um AFN específico aceita uma dada cadeia. Linguagem que traduz esse problema:

AAFN = { <B, w> | B é um AFN que aceita a cadeia de entrada w}

AAFN é uma linguagem decidível. Prova: Apresentamos uma MT N que decide AAFN . Poderíamos projetar N para operar como M, simulando um AFN em vez de um AFD. Ao invés disso, fazemos N usar M como uma sub-rotina.



Como M foi projetada para funcionar com AFDs, N primeiro converte o AFN que ela recebe como entrada para um AFD antes de passá-lo para M.

N = “Sobre a entrada <B, w>, onde B é um AFN e wuma cadeia:1. Converta o AFN B em um AFD equivalente C, usando

o procedimento estudado em sala.2. Rode a MT M (apresentada anteriormente) sobre a

entrada <C, w>. 3. Se M aceita, aceite. Caso contrário, rejeite.”


Problema da parada

Um dos mais importantes problemas não solucionáveis é conhecido como problema da parada.

Ele pode ser usado como base na demonstração de que outros problemas também são não solucionáveis.

Problema da parada: o problema de se determinar se uma MT aceita uma cadeia de entrada.AMT = {<M, w> | M é uma MT e aceita a cadeia w}

AMT é indecidível.


Problema da parada

AMT é indecidível, mas é Turing-reconhecível. A MT U a seguir reconhece AMT.

U = “ Sobre a entrada <M, w>, onde M é uma MT e w uma cadeia:1. Simule M sobre a entrada w.2. Se M em algum momento entra no seu estado de

aceitação, aceite; se M em algum momento entra em seu estado de rejeição, rejeite.”

Essa máquina entra em loop sobre a entrada <M, w> se M entra em loop sobre w e é por isso que essa máquina não decide AMT.


Problema da parada

Prova: O problema da parada é indecidível.Supomos que AMT é decidível e encontramos uma contradição. Se AMT é decidível então existe H que é um decisor para AMT. Para a entrada <M, w>, H pára e aceita se M aceita w e H pára e rejeita se M falha em aceitar w.

H(<M,w>) =

Aceite, se M aceita w

Rejeite, se M não aceita w (rejeita ou entra em loop)


Problema da parada

Construímos uma nova MT D com H como uma sub-rotina. D chama H para determinar o que M faz quando a entrada para M é sua própria descrição <M>. Uma vez que D tenha determinado essa informação, ela faz o oposto. Ou seja, ela rejeita se M aceita e aceita se M não aceita. O que segue é uma descrição de D:

D = “Sobre a entrada <M>, onde M é uma MT:1. Rode H sobre a entrada <M, <M>>.2. Se H aceita, rejeite e se H rejeita, aceite.”


Problema da paradaEm resumo,

O que acontece quando rodamos D sobre <D>?

D(<M>) =

Aceite, se M não aceita <M>

Rejeite, se M aceita <M>

D(<D>) =

Aceite, se D não aceita <D>

Rejeite, se D aceita <D>


Problema da parada

Independentemente do que D faz, ela é forçada a fazer o oposto, o que é obviamente uma contradição. Consequentemente, nem a MT D nem a MT H podem existir. Logo, AMT é indecidivel.

Resumindo,• H aceita <M, w> exatamente quando M aceita w• D rejeita <M> exatamente quando M aceita <M>• D rejeita <D> exatamente quando D aceita <D>. Essa

é a contradição!


Uma linguagem Turing-irreconhecível

Vimos que AMT é indecidível, mas é Turing-reconhecível. Algumas linguagens não são nem Turing-reconhecíveis.

Teorema: Uma linguagem é decidível se e somente se ela e o seu complemento são Turing-reconhecíveis.

(⇾) Se uma linguagem A é decidível, ela é Turing-reconhecível (pois toda Lrec é LRE), e o complemento de uma Lrec também é uma Lrec.



( ⇽) Se A e A são Turing-reconhecíveis, então existem os reconhecedores M1 e M2 para A e A respectivamente. É possível construir uma MT M que é um decisor para A:

M = “sobre a entrada w:• Rode M1 e M2 sobre a entrada w em paralelo.• Se M1 aceita, aceite. Se M2 aceita, rejeite.” Rodar as duas máquinas em paralelo significa que M tem

duas fitas, uma para simular M1 e a outra para simular M2. Nesse caso, M alternativamente simula um passo de cada máquina, o que continua até que uma delas aceite.



M decide A pois toda cadeia ou está em A ou está em A . Consequentemente, ou M1 ou M2 tem que aceitar w. Uma vez que M para sempre que M1 ou M2 aceita, M sempre pára, e portanto, é um decisor.

Corolário: AMT não é Turing-reconhecível.Sabemos que AMT é Turing-reconhecível. Se AMT também

fosse Turing-reconhecível, AMT seria decidível. Como sabemos que AMT não é decidível, portanto AMT não pode ser Turing-reconhecível.


Redutibilidade

O estudo da solucionabilidade de um problema pode ser feito usando o princípio da redução.

Esse principio consiste em investigar a solucionabilidade de um problema a partir de outro, cuja classe de solucionabilidade é conhecida.

Uma redução é uma maneira de converter um problema em outro.

Método principal de provar que problemas são computacionalmente insolúveis.


Redutibilidade

A redutibilidade sempre envolve 2 problemas de decisão A e B. Suponha que é possível modificar o problema A de tal forma que ele se porte como um caso do problema B. Nesse caso, dizemos que A é redutível a B e:

• Se B é decidível (respectivamente, parcialmente solucionável) então A também é decidível (respectivamente, parcialmente solucionável).

• Se A é indecidível (respectivamente, não computável) então conclui-se que B também é indecidível (respectivamente, não computável).


Redutibilidade

Problema A

Problema B

Redução de A

Decidível(ou parcialmente solucionável)

Indecidível (ou não computável)


Redução de um problema a outro

Um PD A é redutível a um PD B, se existe um algoritmo R que, recebendo x como entrada, produz um resultado y tal que a resposta a A para x é idêntica ou complementar (a resposta complementar a sim é não, e a não é sim) à resposta a B para a entrada y, qualquer que seja a entrada x. Dizemos que o algoritmo R pode ser usado para reduzir o problema A ao problema B.


Redução de um problema a outro

Assim, o problema de decisão A pode ser solucionado mediante o algoritmo R e um algoritmo para o PD B.

Chamamos R de máquina redutora

MT para B

x SIM

NÃOR y

MT para A


Linguagens indecidíveis

Mostramos que PD são indecidíveis por contradição: Supomos que o PD é decidível e mostra que um PD indecidível conhecido é redutível a ele. Logo ele não pode ser decidível, pois se fosse o que se reduz a ele também seria (pelo princípio da redução).

1) Real problema da parada: o problema de determinar se uma MT pára (aceitando ou rejeitando) sobre uma dada entrada.



PARAMT = {<M,w> | M é uma MT e M para sobre a entrada w} é indecidível.

Supomos que PARAMT é decidível. Se PARAMT é decidível, então existe uma MT R que a decide. Mostramos que AMT é redutível a PARAMT. Assim, é possível construir uma MT S que decide AMT. Com R, você pode testar se M pára sobre w. Se R indicar que M não pára sobre w, rejeite. Se R indica que M pára sobre w, você pode fazer a simulação sem qualquer perigo de entrar em loop.



Prova: Supomos que a MT R decida PARAMT. Construímos a MT S para decidir AMT:

S = “Sobre a entrada <M, w>, uma codificação de uma MT M e uma cadeia w:

1.Rode a MT R sobre a entrada <M,w>.2.Se R rejeitar, rejeite.3.Se R aceitar, simule a máquina M com a entrada w

até que ela pare.4.Se M aceitou, aceite; se M rejeitou, rejeite.”

Prova: Supomos que a MT R decida PARAMT. Construímos a MT S para decidir AMT, com S operando da seguinte forma. S = “Sobre a entrada <M, w>, uma codificação de uma MT M e uma cadeia w:•Rode a MT R sobre a entrada <M,w>.•Se R rejeitar, rejeite.•Se R aceitar, simule a máquina M com a entrada w até que ela pare.•Se M aceitou, aceite; se M rejeitou, rejeite.”



Se a MT R existe, podemos decidir AMT; mas sabemos que AMT é indecidível. Em virtude dessa contradição, podemos concluir que R não existe. Logo, PARAMT é indecidível.

2) Testar vacuidade: determinar se a MT M não aceita nenhuma cadeia.

VMT = {<M> | M é uma MT e L(M) = } é indecidível. ∅




Supomos que VMT é decidível. Assim, existe uma MT R que decide VMT. Mostramos que AMT se reduz a VMT, usando R para construir a MT S que decide AMT.

Modificamos <M> para garantir que M rejeite todas as cadeias exceto w, e que sobre a entrada w ela funcione normalmente. Usamos R para determinar se a máquina modificada reconhece a linguagem vazia. A única cadeia que a máquina agora aceita é w, e, portanto, sua linguagem será não vazia se e somente se ela aceita w. Se R aceita quando é alimentada com uma descrição de máquina modificada, sabemos que a máquina modificada não aceita nada e que M não aceita w.



Linguagens indecidíveisProva: Supomos que a MT R decida VMT e construímos

S que decide AMT da seguinte forma.S = “Sobre a entrada <M, w>, uma codificação de uma MT e

uma cadeia w:1.Construa a seguinte MT M1.

M1 = “Sobre a entrada x:Se x ≠ w, rejeite.Se x = w, rode M sobre a entrada w e aceite se M

aceita.”2.Rode R sobre a entrada <M1>.3.Se R aceita, rejeite. Se R rejeita, aceite.” Se R existisse, S seria um decisor para AMT. Um decisor para

AMT não pode existir, portanto sabemos que VMT é indecidível.



Referências

Sipser, M.; Introdução à Teoria da Computação. Ed. Thomson, 2007. ISBN: 9878522104994.

Diverio, T. A.; Menezes, P. B.. Teoria da Computação: Máquinas Universais e Computabilidade. Porto Alegre: Sagra Luzzato, 2000.

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