Prof. Juliano J. Scremin

Teoria das Estruturas - Aula 07

Arcos Isostáticos • Definição e Tipos • Casos Particulares de Arcos • Equação do Arco Parabólico de 2º. Grau,

Equação da Linha de Pressões e Arcos com Apoios Desnivelados

1

Aula 07 - Seção 1: Definição e Tipos

2

Arcos (1)

• Definição:

– Arco é uma estrutura linear de eixo curvo, situada em um plano vertical, vinculada em suas extremidades de modo a que estas não sofram translações, solicitada por cargas contidas no plano referido, provocando esforços de compressão, flexão e cisalhamento.

• Arco Triarticulado : arco isostático, com apoios fixos e descontinuidade interna do tipo rótula.

• Objetivo dos arcos: vencer grandes vãos com a redução dos esforços de flexão.

3

Arcos (2)

4

Arcos (3)

5

Tipos de Arcos

6

Biengastado

Biarticulado

Triarticulado

Viga Curva

Exemplos de Utilização

7

Nomenclatura

8

Aula 07 - Seção 2: Arcos Circulares

9

Viga Curva Biapoiada Carregada Verticalmente (1)

• Quando um arco é solicitado somente por cargas verticais, um recurso interessante é a utilização de uma viga análoga para auxílio no cálculo dos esforços:

10

Diagrama de Momentos Fletores de uma Viga Análoga

𝑉𝑉𝑆𝑆 = 𝑉𝑉𝐴𝐴𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃 = 𝑃𝑃 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃/2

𝑁𝑁𝑆𝑆 = −𝑉𝑉𝐴𝐴𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃 = −𝑃𝑃 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃/2

𝑀𝑀𝑆𝑆 = 𝑉𝑉𝐴𝐴(𝑅𝑅 − 𝑅𝑅𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃) = 𝑃𝑃𝑅𝑅(1 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃)/2

Viga Curva Biapoiada Carregada Verticalmente (2)

11

Revisão do Círculo Trigonométrico

12

Mapeamento de Arcos Circulares (1)

13

Mapeamento de Arcos Circulares (2)

14

Arco Semicircular Tri-Articulado Carregado Verticalmente (1)

15

Cálculo das Reações de Apoio:

�𝑀𝑀𝐴𝐴 = 𝑉𝑉𝐵𝐵 .2𝑅𝑅 − 𝑃𝑃𝑅𝑅 = 0

𝑉𝑉𝐵𝐵 = 𝑃𝑃/2

�𝐹𝐹𝑉𝑉 = 𝑉𝑉𝐴𝐴 − 𝑃𝑃 + 𝑉𝑉𝐵𝐵 = 0

𝑉𝑉𝐴𝐴 = 𝑃𝑃/2

�𝑀𝑀𝐶𝐶 = −𝐻𝐻𝐵𝐵.𝑅𝑅 + 𝑃𝑃/2.𝑅𝑅 = 0

𝐻𝐻𝐵𝐵 = 𝑃𝑃/2

�𝐹𝐹𝐻𝐻 = 𝐻𝐻𝐴𝐴 − 𝐻𝐻𝐵𝐵 = 0

𝐻𝐻𝐴𝐴 = 𝑃𝑃/2

Arco Semicircular Tri-Articulado Carregado Verticalmente (2)

16

Equacionamento dos Momentos Fletores:

𝑀𝑀𝐼𝐼 𝛽𝛽 =𝑃𝑃2 𝑅𝑅 − 𝑅𝑅𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝛽𝛽 −

𝑃𝑃2 𝑅𝑅 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝛽𝛽

Trecho I : β entre 0° e 90°

𝑀𝑀𝐼𝐼 𝛽𝛽 =𝑃𝑃𝑅𝑅2 1 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝛽𝛽 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝛽𝛽

Arco Semicircular Tri-Articulado Carregado Verticalmente (3)

17

Equacionamento dos Momentos Fletores:

𝑀𝑀𝐼𝐼 𝛽𝛽 =𝑃𝑃2 𝑅𝑅 − 𝑅𝑅𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝛽𝛽 −

𝑃𝑃2 𝑅𝑅 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝛽𝛽

Trecho II : β entre 90° e 180°

𝑀𝑀𝐼𝐼𝐼𝐼 𝛽𝛽 =𝑃𝑃𝑅𝑅2 1 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝛽𝛽 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝛽𝛽

𝑀𝑀𝐼𝐼𝐼𝐼 𝛽𝛽 = 𝑀𝑀𝐼𝐼 𝛽𝛽 + 𝑃𝑃𝑅𝑅 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝛽𝛽

* O braço de alavanca da reação vertical P/2 é R + R cos β , porém, como β esta entre 90° e 180° seu

cosseno é negativo sendo a distância calculada como R – R cos β

Ideia Geral do Equacionamento de Cortantes e Axiais em Arcos

18

1. Fazer o somatório de todas as forçar verticais à esquerda da seção de análise (ΣVER);

2. Fazer o somatório de todas as forçar horizontais à esquerda da seção de análise (ΣHOR);

3. Decompor ΣVER e ΣHOR nos eixos Secante e Tangencial obedecendo a convenção de sinais para diagramas.

OBS: a decomposição pode ser feita em relação tanto ao ângulo β quanto ao ângulo α indicados.

Arco Semicircular Tri-Articulado Carregado Verticalmente (4)

19

Equacionamento dos Cortantes e Axiais:

𝑉𝑉𝐼𝐼 𝛽𝛽 = Σ𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅. 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠β - Σ𝐻𝐻𝐻𝐻𝑅𝑅. 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠β

Trecho I : β entre 0° e 90°

𝑁𝑁𝐼𝐼 𝛽𝛽 = −Σ𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅. 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠β - Σ𝐻𝐻𝐻𝐻𝑅𝑅. 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠β

𝑉𝑉𝐼𝐼 α = Σ𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅. 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠α - Σ𝐻𝐻𝐻𝐻𝑅𝑅. 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠α

𝑁𝑁𝐼𝐼 α = −Σ𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅. 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠α- Σ𝐻𝐻𝐻𝐻𝑅𝑅. 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠α

Em função de β:

Em função de α:

𝜮𝜮𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽 = 𝑷𝑷/𝟐𝟐 𝜮𝜮𝑯𝑯𝑯𝑯𝑽𝑽 = 𝑷𝑷/𝟐𝟐

Arco Semicircular Tri-Articulado Carregado Verticalmente (5)

20

Equacionamento dos Cortantes e Axiais: Trecho II : β entre 90° e 180°

𝜮𝜮𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽 = 𝑷𝑷/𝟐𝟐 − 𝑷𝑷 = −𝑷𝑷/𝟐𝟐

𝜮𝜮𝑯𝑯𝑯𝑯𝑽𝑽 = 𝑷𝑷/𝟐𝟐

𝑉𝑉𝐼𝐼𝐼𝐼 −α = Σ𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅. cos (−α) + Σ𝐻𝐻𝐻𝐻𝑅𝑅. 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(−α) 𝑁𝑁𝐼𝐼𝐼𝐼 −α = Σ𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅. 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(−α)- Σ𝐻𝐻𝐻𝐻𝑅𝑅. cos (−α)

Em função de α negativo :

Processando as substibuições -sen(α) = sen(-α) e cos(α) = cos(-α)

𝑉𝑉𝐼𝐼𝐼𝐼 α = 𝛴𝛴𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅. 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 (𝛼𝛼) - 𝛴𝛴𝐻𝐻𝐻𝐻𝑅𝑅. 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝛼𝛼) 𝑁𝑁𝐼𝐼𝐼𝐼 α = −𝛴𝛴𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅. 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝛼𝛼)- 𝛴𝛴𝐻𝐻𝐻𝐻𝑅𝑅. 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 (𝛼𝛼)

Arco Semicircular Tri-Articulado Carregado Verticalmente (6)

21

Equacionamento dos Cortantes e Axiais: Trecho II : β entre 90° e 180°

𝜮𝜮𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽 = 𝑷𝑷/𝟐𝟐 − 𝑷𝑷 = −𝑷𝑷/𝟐𝟐

𝜮𝜮𝑯𝑯𝑯𝑯𝑽𝑽 = 𝑷𝑷/𝟐𝟐

𝑉𝑉𝐼𝐼𝐼𝐼 𝛽𝛽 = Σ𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅. cos (β − 90°) + Σ𝐻𝐻𝐻𝐻𝑅𝑅. 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(β − 90°)

𝑁𝑁𝐼𝐼𝐼𝐼 𝛽𝛽 = Σ𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅. 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 β − 90° - Σ𝐻𝐻𝐻𝐻𝑅𝑅. cos (β − 90°)

Em função de β :

Resumo do Equacionamento de Cortantes e Axiais (1)

22

β entre 0° e 90° / α entre 90° e 0°

𝑉𝑉𝐼𝐼𝐼𝐼 𝛽𝛽 = Σ𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅. cos (β − 90°) + Σ𝐻𝐻𝐻𝐻𝑅𝑅. 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(β − 90°)

𝑁𝑁𝐼𝐼𝐼𝐼 𝛽𝛽 = Σ𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅. 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 β − 90° - Σ𝐻𝐻𝐻𝐻𝑅𝑅. cos (β − 90°)

β entre 90° e 180° / α entre 0° e -90°

𝑉𝑉𝐼𝐼 α = Σ𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅. 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠α - Σ𝐻𝐻𝐻𝐻𝑅𝑅. 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠α

𝑁𝑁𝐼𝐼 α = −Σ𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅. 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠α- Σ𝐻𝐻𝐻𝐻𝑅𝑅. 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠α 𝑉𝑉𝐼𝐼𝐼𝐼 α = 𝛴𝛴𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅. 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝛼𝛼- 𝛴𝛴𝐻𝐻𝐻𝐻𝑅𝑅. 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝛼𝛼 𝑁𝑁𝐼𝐼𝐼𝐼 α = −𝛴𝛴𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅. 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝛼𝛼- 𝛴𝛴𝐻𝐻𝐻𝐻𝑅𝑅. 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝛼𝛼

𝑉𝑉𝐼𝐼 𝛽𝛽 = Σ𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅. 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠β - Σ𝐻𝐻𝐻𝐻𝑅𝑅. 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠β

𝑁𝑁𝐼𝐼 𝛽𝛽 = −Σ𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅. 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠β - Σ𝐻𝐻𝐻𝐻𝑅𝑅. 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠β

O ângulo α ser negativo NÃO INTERFERE na convenção de sinais e a mesma expressão válida para o intervalo de 0° a 90° também se aplica para 90° a 180°.

O ângulo β ser maior do que 90° INTERFERE na convenção de sinais e fazem-se necessárias duas expressões: uma para intervalo de 0° a 90° e outra para 90° a 180°.

• Como equacionar cortantes e axiais no arco circular com equações válidas para todo o domínio de 0° a 180° no ângulo β ?

• RESPOSTA: Dado que ângulo alfa não afeta a convenção de sinais de diagramas basta substituir a relação: no equacionamento feito com alfa.

Resumo do Equacionamento de Cortantes e Axiais (2)

23

𝑉𝑉 α = Σ𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅. 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠α - Σ𝐻𝐻𝐻𝐻𝑅𝑅. 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠α

𝑁𝑁 α = −Σ𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅. 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠α- Σ𝐻𝐻𝐻𝐻𝑅𝑅. 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠α

𝑉𝑉 𝛽𝛽 = Σ𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅. 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠(90°-β) - Σ𝐻𝐻𝐻𝐻𝑅𝑅. 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 (90°-β) 𝑁𝑁 𝛽𝛽 = −Σ𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅. 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(90°−β) - Σ𝐻𝐻𝐻𝐻𝑅𝑅. 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠(90°-β)

α + β = 90° ou α = 90° − β

Aula 07 - Seção 3: Arcos Parabólicos de 2° Graus e Uso da Viga Análoga

24

Arcos Triarticulados Parabólicos

• Um dos formatos mais comuns de arco triarticulado é o parabólico, sendo as posições “y” do arco definidas por uma equação do tipo:

y(x) = a + b*x + c*x^2

• Conhecidos 3 pontos da parábola é possível montar um sistema linear para definição da equação do arco.

• Ex., dados os pontos: (X1,Y1), (X2,Y2) e (X3,Y3):

25

𝒀𝒀𝒀𝒀 = 𝒂𝒂 + 𝒃𝒃𝒃𝒃𝒀𝒀 + 𝒄𝒄𝒃𝒃𝒀𝒀𝟐𝟐 𝒀𝒀𝟐𝟐 = 𝒂𝒂 + 𝒃𝒃𝒃𝒃𝟐𝟐 + 𝒄𝒄𝒃𝒃𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒀𝒀𝟑𝟑 = 𝒂𝒂 + 𝒃𝒃𝒃𝒃𝟑𝟑 + 𝒄𝒄𝒃𝒃𝟑𝟑𝟐𝟐

𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝟐𝟐𝒀𝒀𝟑𝟑

= 𝒀𝒀 𝒃𝒃𝒀𝒀 𝒃𝒃𝒀𝒀𝟐𝟐𝒀𝒀 𝒃𝒃𝟐𝟐 𝒃𝒃𝟐𝟐𝟐𝟐𝒀𝒀 𝒃𝒃𝟑𝟑 𝒃𝒃𝟑𝟑𝟐𝟐

. 𝒂𝒂𝒃𝒃𝒄𝒄

Arcos Triarticulados Carregados Verticalmente (1)

• Arcos triarticulados possuem reações horizontais em seus apoios denominadas “Empuxo” que podem ser quantificadas (também) fazendo uso da viga análoga antes mencionada.

26

Arco

Viga Análoga

Arcos Triarticulados Carregados Verticalmente (2)

M27

𝐇𝐇 =𝐌𝐌𝐆𝐆𝐆𝐆

𝐟𝐟

�𝐻𝐻 = 𝐻𝐻𝐴𝐴 − 𝐻𝐻𝐵𝐵 = 0 𝐻𝐻𝐴𝐴 = 𝐻𝐻𝐵𝐵 = 𝐻𝐻

�𝑀𝑀𝐵𝐵 = −𝑉𝑉𝐴𝐴. 𝐿𝐿 + �𝑃𝑃𝑃𝑃(𝐿𝐿 − 𝑥𝑥𝑖𝑖) = 0

𝑉𝑉𝐴𝐴 = +∑𝑃𝑃𝑃𝑃(𝐿𝐿 − 𝑥𝑥𝑖𝑖) / L = 𝑉𝑉𝐴𝐴𝐴𝐴

∑𝑀𝑀𝐴𝐴 = 0 → 𝑉𝑉𝐵𝐵 = 𝑉𝑉𝐵𝐵𝐴𝐴

𝑴𝑴𝑮𝑮 = 𝐆𝐆 ∶ 𝑽𝑽𝑨𝑨.𝒂𝒂 − ∑𝑷𝑷𝑷𝑷(𝒂𝒂 − 𝒙𝒙𝑷𝑷) - H.f = 0

𝑴𝑴𝑮𝑮𝑮𝑮 = 𝐆𝐆 ∶ 𝑽𝑽𝑨𝑨𝑮𝑮.𝒂𝒂 − ∑𝑷𝑷𝑷𝑷 𝒂𝒂 − 𝒙𝒙𝑷𝑷 = 0

Arco:

Viga Análoga:

Arcos Triarticulados Carregados Verticalmente (3)

28

𝐻𝐻𝐴𝐴 = 𝐻𝐻𝐵𝐵 = 𝐻𝐻

𝐌𝐌𝐒𝐒(𝐱𝐱) = MS0(𝐱𝐱) – H.y(𝐱𝐱) VS(𝐱𝐱) = +VS0(𝐱𝐱) cosα (x) - H senα (x) Ns(𝐱𝐱) = -VS0(𝐱𝐱) senα(x) - H cosα (x)

Sendo o ângulo α também uma função da posição “x”,

ou seja “α(x)”

Ângulo α(x)

• Conhecida a equação do arco “y(x)” é possível determinar o ângulo das tangentes do arco com a horizontal, em qualquer um dos infinitos pontos que compõe o arco contínuo por meio de:

29

α(x) = arctg ( dy(x) / dx )

Aula 07 - Seção 4: Equação da Linha de Pressões e Arcos com Apoios Desnivelados

30

Linha de Pressões

• A linha de pressões para um determinado carregamento permanente é a linha que define a geometria do arco de modo que este trabalhe somente com esforços normais.

• Um arco com estas característica é denominado arco funicular.

• Equação da Linha de Pressões:

– como a equação dos momentos fletores de um arco é função da equação do arco, fazendo MS(x) = 0 tem-se:

– Assim sendo, y(x) (equação da linha de pressões) pode ser escrita em função da equação de momentos fletores da viga análoga dividida pelo empuxo nas laterais do arco.

31

y(x) = MS0(x) / H

Arcos Triarticulados com Apoios Desnivelados

32 Fonte: http://www.geocities.ws/isostatica/Transpar/5ArcosTriarticulados/Slide1.html

𝐇𝐇𝐇 =𝐌𝐌𝐠𝐠

𝐟𝐟. 𝒄𝒄𝑮𝑮𝒄𝒄𝜶𝜶

FIM

33

Exercício 7.1

34

y = - 0.125x² + 1.5x

• Para o arco triarticulado abaixo, obter as reações de apoio e os esforços Ms, Ns, e Qs:

Exercício 7.2

35

• Traçar o diagrama de momentos fletores para o arco parabólico de 2º grau abaixo:

Exercício 7.3

36

• Obter as equações da linha de pressões da estrutura triarticulada com os apoios A e B e articulação interna em C.

• Calcular a força normal na seção onde a tangente é nula:

( Viga Análoga )

Exercício 7.4

37

• Para o arco parabólico de 2º grau triarticulado da figura abaixo determine:

a) A equação do arco (considerar a origem do sistema cartesiano indicada na figura);

b) As reações de apoio (VA, HA, VB, HB); c) O momento fletor , o esforço cortante e o esforço normal na seção S

indicada;

Exercício 7.5

38

• Traçar o diagrama de esforços axiais para o arco parabólico de 2º grau abaixo:

5,0 m 5,0 m

Exercício 7.6

39

• Obtenha as reações de apoio para o arco parabólico de 2º grau abaixo:

Exercício 7.7

40

• Determinar os momentos fletores, os esforços cortantes e os esforços axiais para o arco circular abaixo no ponto A e no ponto B bem como no ângulos β = 30°, 60°, 90°, 120° e 150° (sentido horário):

Exercício 7.8

41

• Traçar os diagramas de momento fletor, esforço cortante e esforço axial para o arco parabólico de segundo grau abaixo, determinando os valores destes esforços internos a cada 1 metro do eixo horizontal (x).