TeoradelosCircuitosIRobertoGastonAragu as30deseptiembrede20112Indicegeneral1. Fundamentos 91.1. Circuitoidealizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2. LeydeKirchhodelascorrientes. . . . . . . . . . . . . . . . 101.3. LeydeKirchhodelastensiones . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4. Resistencia-LeydeOhm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5. Autoinductancia-LeydeFaraday . . . . . . . . . . . . . . . 141.6. Capacitancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.7. Asociaci onequivalentedeelementos . . . . . . . . . . . . . . 161.7.1. Elementosenserie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.7.2. Elementosenparalelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.8. Potenciayenerga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.8.1. Resistor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.8.2. Inductor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.8.3. Capacitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.9. Fuentesidealesvs.fuentesreales . . . . . . . . . . . . . . . . 201.9.1. Fuentesidealesdetensionocorriente . . . . . . . . . . 20Ejercitacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222. Se nales 312.1. Se nalesdeexcitaci onvariableseneltiempo . . . . . . . . . . 312.1.1. Se nalesperi odicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.1.2. Se nalespseudoperi odicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.1.3. Se nalesaperi odicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.2. Par ametroscaractersticosdeunase nalvariable . . . . . . . . 332.3. Valoresasociadosalaamplitud. . . . . . . . . . . . . . . . . 332.3.1. Valorinstantaneo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.3.2. Valorm aximo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.3.3. Valorpicoapico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.3.4. Valormedio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.3.5. Valormediodem odulooValormedioabsoluto . . . . 352.3.6. Valorecaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.3.7. Factorescaractersticosdese nalesperi odicas . . . . . 362.4. Se nalesperi odicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3734INDICEGENERAL2.4.1. Rectangular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.4.2. Cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.4.3. Dientedesierra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.4.4. Triangular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.4.5. PWM(PulseWideModulation) . . . . . . . . . . . . 382.5. Se nalesaperi odicasfundamentales . . . . . . . . . . . . . . . 382.5.1. ImpulsoodeltadeDirac . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.5.2. Escal onunitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.5.3. Rampaunitaria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.6. Construcciondese nalesaperi odicasusandolasfundamentales 412.6.1. Pulsorectangular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.6.2. Pulsotriangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41Ejercitacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423. Sistemasdeprimerysegundoorden 493.1. Sistemasdeprimerorden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.1.1. Circuitosinfuente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.1.2. CircuitoRLsinfuente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.1.3. CircuitoRCsinfuente. . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.2. Constantedetiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.2.1. Potenciayenerga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.3. Respuestaaunafuenteconstante. . . . . . . . . . . . . . . . 573.3.1. CircuitoRCconfuenteconstante . . . . . . . . . . . . 573.4. Sistemaslineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.5. Resoluci onporsuperposicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.6. Respuestanaturalm asforzada . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.7. Respuestaaunafuentenoconstante . . . . . . . . . . . . . . 643.8. Alimentaci onconfuentesinusoidal.Corrientealterna. . . . . 653.9. Sistemasdesegundoorden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.9.1. Solucionnatural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.9.2. Condicionsiniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.9.3. Solucionforzada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.9.4. Solucioneslinealmentedependientes . . . . . . . . . . 783.10. Sistemasdeordenn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.10.1. Solucionnatural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79Ejercitacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814. TransformadadeLaplace 1014.1. TransformadadeLaplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.1.1. Denicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.1.2. Propiedadesdelatransformada. . . . . . . . . . . . . 1034.2. Aplicaci onalaresoluci ondecircuitos . . . . . . . . . . . . . 1084.2.1. Funciondetransferencia. . . . . . . . . . . . . . . . . 1114.2.2. CircuitoequivalentedeLaplace . . . . . . . . . . . . . 113INDICEGENERAL 54.2.3. Teoremadelvalorinicial. . . . . . . . . . . . . . . . . 1164.2.4. Teoremadelvalornal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1174.3. AntitransformadaotransformadainversadeLaplace . . . . . 1184.3.1. Desarrolloenfraccionesparciales . . . . . . . . . . . . 1194.3.2. FormuladeHeaviside . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1214.4. Respuestaalimpulso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1224.5. Teoremadeconvolucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124Ejercitacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1285. Metodofasorial 1415.1. Calculofasorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1415.1.1. Fundamentaci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1415.1.2. Fasoryfasorarmonico. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1425.2. Relaciontension-corrientefasorial . . . . . . . . . . . . . . . . 1435.2.1. Resistor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1445.2.2. Inductor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1455.2.3. Capacitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1465.3. Resoluci ondecircuitosusandofasores . . . . . . . . . . . . . 1465.4. Impedanciayadmitanciacompleja . . . . . . . . . . . . . . . 1485.4.1. Conversi onimpedancia-admitancia . . . . . . . . . . . 1505.4.2. Asociaci ondeimpedancias . . . . . . . . . . . . . . . 1505.4.3. Diagramafasorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1505.5. Potencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1515.5.1. Potenciainstantanea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1515.5.2. Potenciaactiva,reactivayaparente . . . . . . . . . . 1545.5.3. Tri angulodepotencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1555.5.4. PotenciacomplejaS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1565.5.5. Factordepotencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1565.5.6. Correcci ondelfactordepotencia . . . . . . . . . . . . 1575.6. Se nalespoliarmonicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1585.6.1. Desarrollodese nalesenseriedeFourier . . . . . . . . 1585.6.2. Serieensenosycosenos . . . . . . . . . . . . . . . . . 1585.6.3. Seriesenoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1595.6.4. Seriecompleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160Ejercitacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1616. Resoluci onsistematicadecircuitos 1836.1. Metododelascorrientesenlasmallas . . . . . . . . . . . . . 1836.2. Metododelastensionesenlosnudos . . . . . . . . . . . . . . 184Ejercitacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1866INDICEGENERAL7. Teoremascircuitales 1937.1. TeoremadeThevenin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1937.2. Teoremadesustituci on,oteoremadeMiller. . . . . . . . . . 1957.3. Teoremadecompensacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1957.4. Teoremadereciprocidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1967.5. TeoremadeMillman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1977.6. Teoremadetransferenciadepotenciam axima. . . . . . . . . 1987.6.1. Cargaresistivapura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1987.6.2. Cargagenerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1987.6.3. Cargagenericadereactanciafja . . . . . . . . . . . . 1997.7. Transformacionestrella-tri angulo.TeoremadeRosen . . . . 199Ejercitacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2008. Resonancia 2078.1. ResonanciaenuncircuitoserieRLCsimple . . . . . . . . . . 2078.1.1. Variaciondelaimpedancia . . . . . . . . . . . . . . . 2088.1.2. An alisisdeadmitancias . . . . . . . . . . . . . . . . . 2098.2. Sobretensionencircuitosserieresonantes . . . . . . . . . . . 2108.3. Anchodebanda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2128.3.1. CircuitoRLCserie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2138.4. Resonanciadeuncircuitoparalelode2ramas. . . . . . . . . 2148.5. Lugargeometrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2168.5.1. Elementosenserie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216Ejercitacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2189. Circuitosacopladosinductivamente 2239.1. Autoinducci oneinduccionm utua . . . . . . . . . . . . . . . . 223Ejercitacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22510.Sistemaspolifasicos 23110.1. Sistemaspolifasicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23110.2. Sistemabif asico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23110.3. Sistematrif asico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23310.3.1. Generadorenconguraci onestrella. . . . . . . . . . . 23310.3.2. Generadorenconguraci ontri angulo . . . . . . . . . . 23610.4. Resoluci ondesistemastrif asicosperfectos . . . . . . . . . . . 23710.4.1. Cargasenconguraci onestrella. . . . . . . . . . . . . 23710.4.2. Cargasenconguraci ontri angulo . . . . . . . . . . . . 23810.4.3. Calculodepotencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24010.5. Resoluci ondesistemastrif asicosdeformados . . . . . . . . . . 24310.5.1. Cargasdesbalanceadasenestrellaconcuatroconductores24310.5.2. Cargasdesbalanceadasenestrellacontresconductores24310.5.3. Cargasdesbalanceadasenconguraci ontri angulo. . . 24310.5.4. Potenciaencaragasdesbalanceadas . . . . . . . . . . 243INDICEGENERAL 7Ejercitacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244A. Ecuacionesdiferenciales 249B.UsobasicodeMaxima 251B.1. Maxima/wxMaxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251B.1.1. Laintefazgr acawxMaxima . . . . . . . . . . . . . . 251B.2. OperacionesconMaxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252B.2.1. Ecuacionesdiferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . 2558INDICEGENERALCaptulo1FundamentosCualquier problema electrico que involucre se nales que varan en el tiem-popuedeserconpletamenteresueltousandolateoraelectromagneticade-scripta por las ecuaciones de Maxwell. Esta teora analiza los campos electri-cos ymagneticos del problema, yladisposiciongeometricadesus partescomponentes.Teniendoencuentalassiguientesrestricciones:1. si lasdimensionesdel circuitosonsucientementepeque nasencom-paraci onconlalongituddeondadelasse nales,y2. si osefectosdedisipaci onyalmacenamientodeenergaenformadecampoelectricoymagneticoqueseproducealolargodetodoelcir-cuitopuedenserreproducidosenelementosidealizadosdedostermi-nales, llamados resistencia, inductancia y capacitancia, que concentrandichosefectosentoncesse puedeaplicar la llamadaTeoradeloscircuitospara su an alisisyresoluci on.Laprimeradeestascondicionesimplicaquelastensionesycorrientesinstantaneas a lo largo de un cable puedan ser consideradas constantes paraun determinado t, es decir que no haya diferencia debido al tiempo de propa-gacion de la onda electromagnetica en diferentes puntos de la lnea. Entonceslospar ametrossepuedenaproximarv(x, t) v(t)i(x, t) i(t)Paraunsistemade50Hzporejemplo,puedeaplicarseelmetodocongranexactitud a circuitos de varios kilometros de longitud. En cambio a frecuen-cias del orden de los GHz, se debe utilizar la teora electromagnetica cuandoladimensiondelcircuitosuperaelcentmetro.Lasegundacondici onesunaconsecuenciadirectadelaprimera,yaquesi lase nal varialentamenterespectoalasdimensionesfsicasdel circuito910 CAPITULO1. FUNDAMENTOSlosefectosdealmacenamientoydisipaci ondeenergapuedenconsiderarseagrupadossinalterarelcomporatomientodelsistema.1.1. CircuitoidealizadoLaTeoradeloscircuitosconsiste en la aplicacion de una serie de leyes,obtenidasdeexperimentosrealizadossobrecircuitosrealesalolargodelahistoria, querelacionanlasmagnitudesdetensionycorrienteencadaunodeloselementosconstituyentesdeuncircuito.Lospar ametrosdistribuidosalolargodel circuitoreal sonreemplazadosporresistencias, inductoresycapacitoresconpar ametrosconcentrados,lasconexionesserealizanconca-blesidealesylasfuentesdealimentaci onsereemplazanporfuentesidealesdetensionocorriente.Estoselementosrepresentantodoslosposiblescom-portamientos de la energa en un circuito. El resistor respresenta la parte dela energa que se disipa al medio en forma irreversible, el inductor representalaenergaquesealmacenaenformadecampomagneticoyel capacitorlaalmacenada en forma de campo electrico. Las fuentes son las que introducenlaenergaalcircuito.Paracomenzar aestudiar los circuitos ylas leyes que se utilizanenlaTeoradelos circuitos, esnecesarioformularlassiguientesdenicionesrespectodelatopologadeloscircuitos:Ramaporci onde circuitocomprendidoentre dos puntos de conexi onoterminales.Nudoonodopuntodondeconcurrenvariasramas. Si concurrentresra-masom assellamanudoprincipal.Mallaolazocualquier trayectoria dentro del circuito que resulte de recor-rerloenunmismosentidoregresandoal puntodepartidasinpasardosvecesporlamismarama.1.2. LeydeKirchhodelascorrientesLaleydeKirchhodelascorrientes(LKI),tambienllamadaleydelosnudos, armaquelasumatoriaalgebraicadelascorrientesenunnudoesigualaceron

k=1ik(t) = 0 (1.1)entendiendose por sumaalgebraicaalasumade cadapar ametroconsurespectivosigno.Pararepresentarunacorrientesenecesitaunvalordeintensidadim asunareferenciaqueespecicasusentidodecirculaci on,comosemuestraen1.2. LEYDEKIRCHHOFFDELASCORRIENTES 11lag. 1.1. Laechaindicael sentidopositivoinstantaneoque tendr alacorriente enuntiempot dado, entonces unacorriente que circulaenelsentidodelaechaselarepresentaconunvalordeintensidadipositivo,yunacorrientequecirculaensentidoinversoserepresentaconunvalordeintensidadnegativo(i < 0).i1i2i3i4RFigura1.1:LeydeKirchhodelascorrientesLuego, pararealizar unasumatoriaalgebraicasobreunnudosedebeasignarunsignoacadacorrientequeindiquesi estaesentranteosalienteenelnudo1.AplicandolaLKIalnudodelag.1.1ytomandopositivasalascorrientesentrantesalnudotenemos:i1i2 +i3 +i4= 0dondesi porejemploi1=3A, i2=5Aei3=3A, entoncesi4deberasernegativai4= 3 + 5 3 = 1Aloquesignicaqueporlarama4circulaunacorrientede1Adesentidocontrarioalindicadoporlaecha.Laelecci ondelossentidosdereferenciasdelascorrientesesarbitraria,perodebetenersecuidadodeelegirlosal principiodel an alisisyluegore-spetarlosdurantetodoeldesarrollo.i1i2i3i4RFigura1.2:LeydeKirchhodelascorrientesEn efecto, si para el mismo problema elegimos las referencias como en la1Nodebe confundirse el signoasignadoacadacorriente pararealizar lasumatoriaalgebraicaconelsignopropiodecadacorriente,elcualindicasisusentidocoincideonoconeldereferencia.12 CAPITULO1. FUNDAMENTOSg1.2laecuaci ondeequilibriodelnudosera2i1i2i3i4= 0luego, al tratarsedelasmismascorrientesreales, la i3valdra 3Adebidoalcambiodereferencia,yla i4serai4= 3 5 (3) = 1Adedondei4= i4.1.3. LeydeKirchhodelastensionesLaleydeKirchhodelastensiones(LKV),tambienllamadaleydelasmallas, armaquelasumaalgebraicadetodaslasfuerzaselectromotricesaplicadasalolargodeunamallaesigualalasumaalgebraicadetodaslascadas de tension en los elementos pasivos de esta malla. Se puede enunciar deformam asgeneralsindiferenciarentrefuerzaselectromotricesyelementospasivosdiciendoquelasumaalgebraicadelasdiferenciasdepotencialalolargodeunamallaesceron

k=1vk(t) = 0 (1.2)Recorriendolamalladelag. 1.3enel sentidodelacorrienteiapar-tirdel generadorv1ytomandocomopositivaslassubidasdetension3, laecuaci ondecircuitoesv1vR1vR2v2= 0v1v2vR1vR2iFigura1.3:LeydeKirchhodelastensionesSi por ejemplo se conocen las tensiones v1= 10V , vR1= 4Vy vR2= 16V ,despejandov2de1.3setienev2= 10V 4V 16V= 10V2Notese que al cambiar las referencias de las variables se eligen nuevos nombres de fun-cion(i3 = i3,etc.)pararemarcarquesetratandediferentesfuncionesaunquerepresenteelmismopar ametrofsico3Laasiganci ondeunsignodeterminadoparalassubidasocadasdetensi onesarbi-trarioynoalteralasoluci ondelproblema,comosever amasadelante1.4. RESISTENCIA-LEYDEOHM 13elsignomenosindicaqueelgeneradorv2tienepolaridadopuestaalaindi-cadaporlareferencia.Sisedesearecorrerlamallaensentidocontrario,om asa un,sisetomaarbitrariamente la referencia de la tension en el inductor en forma contrariaal casoanterior(ahora vR2), obviamentequesedebearribaral mismore-sultado. En efecto, sean las referencias como en la g. 1.4, la nueva ecuaci ondeequilibriodelamallaserav1 +v2 vR2 +vR1= 0 (1.3)donde por tratarse del mismo problema, los valores de tensi on son v1= 10V ,vR1= 4V y vR2= 16Vv1v2vR1 vR2iFigura1.4:LeydeKirchhodelastensionesDespejandov2de1.3setienev2= 10V+ (16V ) 4V= 10Vquecoincideconelresultadoobtenidoanteriormente.1.4. Resistencia-LeydeOhmEl fsicoalemanGeorgOhmpublic oen1826queparacasi todos losconductores ensayados lacadade tensionentre los extremos eramayorcuando mayor era la longitud del cable, y que a su vez era proporcional a lacorriente,dandolugaralaconocidaLeydeOhm4.Originalmente fue formuladaensuversi onvectorial, que relacionaladensidad de corriente J con el campo electrico E mediante la conductividaddelmaterialJ = E (1.4)SuformasimplicadaparaelusoenTeoradeloscircuitosesvR= RiR(1.5)donde R es el elemento concentrado que representa el intecambio (disipacion)deenergaconelmedioenuncircuitoidealizado.4Aunque se ha demostrado que en realidad esta ecuaci on fue descubierta 46 a nos antesenInglaterraporHenryCavendish.14 CAPITULO1. FUNDAMENTOSEstaleyesvalidaparatodoslosmetales,el factordeproporcionalidadRsellamaresistencia, semideenohms[] ydependedeunapropiedaddel material llamadaresistividad (inversadelaconductividad), desulongitudydesusecci onAR = A(1.6)La (1.5) nos dice que a mayor corriente, mayor cada de tension en R, esdecirquelacorrientedebeatravesaralresistorentrandoporelextremodemayorpotencial paraqueestaigualdadseavalida, comosemuestraenlagura 1.5. Si una corriente i atraviesa al resistor desde su extremo de menorpotencial,esdecirque iR= iR,entonceslarelaci ontensioncorrienteconiRseraiR= iR= vRR(1.7)resistorR inductorL capacitorCvRvLvCiRiLiCvR= RiRvL= LdiLdtiC= CdvCdtFigura1.5:Relaciontensi on-corrienteenloselementosR,LyC1.5. Autoinductancia-LeydeFaradayEl cientcoestadounidenseJosephHenrymientrasexperimentabaconelectroimanesnotoqueal circularcorrienteelectricaporestoscircuitosseproducaunfen omenosimilaralacantidaddemovimientomecanicodeloscuerposenvelocidad(p = Masa vel.),esdecirqueesacorrienteelectricatendaaseguircirculandodeformaconstanteeneltiempo.Estefen omenofuedenominadomomentoelectrocineticoyselorepresentoconlaletra = LiL(1.8)laconstantedeproporcionalidadL, al igual quelamasaM, esunacarac-terstica del circuito. Se denominaautoinductanciay su unidad es el Henrio[H].DelmismomodoqueparamodicarlacantidaddemovimientopdeuncuerposedebeaplicarunafuerzaF,Henryencontroqueparamodicarelmomento electrocinetico se debe aplicar una diferencia de potencial, es decirvL=ddt=d(LiL)dt(1.9)1.5. AUTOINDUCTANCIA-LEYDEFARADAY 15dondesiLesinvarianteeneltiempovL= L diLdt(1.10)En forma independiente, en 1831 Michael Faraday desarroll o en Inglater-ra su conocida teora de la induccion electromagnetica, en la cual utilizandoelconceptodecampomagneticoylneasdeujodescubri oquealsometerunconductorenuncampovariable, oal cortarconestelaslneasdeujodel campo, seoriginaunacirculaci ondecorriente. PorotroladoHeinrichLenzcomprob oquelacorrientetiendeamanteneresteujo,esdecirqueseoriginaunaf.e.m.inducidadesignoopuestoalavariaci ondeujoE= ddt(1.11)porlotantoelvoltajeinducido,opuestoalaf.e.m.inducidaseravL(= E) =ddt(1.12)EnelcasoqueelujomagneticoseaproducidoporunarrollamientodeNespiras,laecuaci onanteriorquedamutliplicadaporNvL= Nddt(1.13)Igualandolos voltajes deducidos por Henry(ec. 1.10) yFaraday(ec.1.13)sepuederelacionarelmomentoelectrocineticoconelujomagneticovL=LdiLdt= NddtLiL=N L =NiL(1.14)Enlagura1.5semuestralarelaci ontensioncorrienteenuninductorseg un(1.10), es decir conlacorrienteentrantepor el extremodemayorpotencial. Por el contrario, si una corrienteiL atraviesa al inductor entrandoporel extremodemenorpotencial, tal que iL= iL, entonceslarelaci ontension-corrienteseravL= LdiLdt(1.15)Seg un la (1.10), una variacion de corriente en el inductor provoca en susextremosunatensionvLproporcional aestavariacion, esdecirquecuan-domas bruscasealavariacionmayor seralatensioninducidavL. Estosignicaquelacorrientequeatraviesauninductornopuedepresentardis-continuidades, pues una discontinuidad en la corriente inducira una tensioninnita en el elemento. Esta caracterstica propia de los inductores se conocecomocondiciondecontinuidaddecorrienteenel inductor.16 CAPITULO1. FUNDAMENTOS1.6. CapacitanciaElalmacenamientodeenergaenformadecampoelectricofueelefectom astempranamenteobservado,elexperimentoseconocecomobotelladeLeyden y fue realizado en el a no 1746. Se descubri o que aislando dos placasmetalicas, unaenel interioryotraenel exteriordelabotella, sepodanalmacenarcargaselectricas,loquedi olugaralprimercapacitor.Mas tarde se encontro que la cantidad de cargas acumuladas era propor-cionalaladiferenciadepotencialentrelasplacasq= CvC(1.16)LaconstandeCsellamacapacitanciaysemideenfaradios(F).Recordandoquelacorrienteelectricai es igual alavariaciondecar-gasportiempo, derivando(1.16)respectoal tiempoobtenemoslarelaci ontension-corrienteenuncapacitoriC= CdvCdt(1.17)dondeCesconstante.Enlagura1.5semuestrala(1.17)consusreferen-cias. Si una corriente iC= iCrecorre el capacitor entrando por el extremodemenorpotencialentonceslarelaci ontensioncorrienteseraiC= CdvCdt(1.18)Larelaci ontensioncorriente(1.17) indicaqueunacorrienteenel ca-pacitorprovocaraunavariaciondetensionensusbornes, queseramayorcuantomayorseadichacorriente.Sisesigueincrementandolacorrientelavariaciondetensionseracadavezmayor,peroparavaloresrealesdecorri-enteslavariacionserasiemprenita. Porlotantolatensionabornesdelcapacitornopuedeserdiscontinua,puesestoimplicaunacorrienteinnita,estoseconocecomocondiciondecontinuidaddetensi onenel capacitor.1.7. Asociaci onequivalentedeelementosMuchasvecesaparecenenloscircuitosidealesvarioselementosdeunmismotipoque, aplicandolasleyesdeKirchho, puedenasociarseenun unicoelementode valor equivalente, de formaque nose modiquenlospar ametroselectricosenelrestodelcircuito.1.7.1. ElementosenserieSupongamosqueunacorrientei(t)circulaporunaramadeuncircuitoatravesandounaseriederesistoresRieinductoresLj.Lasumaalgebraica1.7. ASOCIACIONEQUIVALENTEDEELEMENTOS 17delastensionesdecadaelementoseraigualalatensionentrelosextremosdelarama,esdecirvrama=vR1+vR2+vL1+vL2+vR3+ +vRN+vLMvrama=N

i=1vRi+M

j=1vLj(1.19)luego,suponiendotodascadasdetensionparalacorrientei(t),laecuaci onanteriorsepuedeponercomovrama=_N

i=1Ri_i(t) +__M

j=1Lj__ di(t)dtvrama=Reqi(t) +Leqdi(t)dt(1.20)puesto que la corriente i(t) es com un a todos los elementos por lo que puedesacarsecomofactorcom undelasumatoria. Esdecirqueunconjuntoderesistores (odeinductores) enseriepuedeser reemplazadopor un unicoelementodevalorequivalentesinalterarlosdemaspar ametrosdelcircuito.Elvalorequivalenteesigualalasumadelosvaloresdetodosloselementosdelarama.Req=N

i=1Ri(1.21)Leq=M

j=1Lj(1.22)ConsideremosahoraunconjuntodecapacitoresCkconectadostodosenserie que sonatravesados por unacorriente i(t). An alogamente podemosexpresarlasumatoriadelascadasdetensiondelaramadelasiguientemaneravrama=N

k=1vCkvrama=N

k=1_1Ck_i(t)dt_ =_N

k=11Ck__i(t)dt (1.23)vrama=1Ceq_i(t)dt (1.24)es decir que el conjunto de capacitores puede ser reemplazado por uno equiv-alentetalque1Ceq=N

k=11Ck(1.25)18 CAPITULO1. FUNDAMENTOSsinmodicarlospar ametroselectricosdelosdemascomponentesdel cir-cuito.1.7.2. ElementosenparaleloPormediodeunan alisissimilaraldelparrafoanteriorsepuedenreem-plazarvarioselementosconectadosenparaleloporunoequivalentedevalor1Req=N

i=11Ri(1.26)paraelcasoderesistores,o1Leq=N

i=11Li(1.27)paraelcasodeinductores,oCeq=N

i=1Ci(1.28)paraelcasodecapacitoresasociadosenparalelo.1.8. PotenciayenergaLapotenciaelectricainstantaneap(t)sedenecomop(t) = v(t)i(t) (1.29)yse mide envatios, [W]. Laintegral enel tiempode estapotenciain-stantaneaes laenergainstantaneaw(t), almacenadaodisipadapor ele-mentoseg uncorrespondaw(t) =_p(t)dt (1.30)cuyaunidaddemedidaeseljoule[J],equivalentea[w.s].1.8.1. ResistorEnunelementoresistivopuro,lapotenciainstantaneaserapR(t) = vR(t)iR(t) = Ri2R(t) =v2R(t)R(1.31)comoel valor de Res siempre mayor acero, lapotenciainstantaneaessiemprepositivayaquedependedelatensionolacorrienteal cuadrado.1.8. POTENCIAYENERGIA 19Esto es as debido a que se trata de un elemento que disipa energa al medio,por ende la variacion de energa en el tiempo es siempre positiva (la funciondisipaci ondeenergaesmonotonacreciente)wR(t) =_pR(t)dt = R_i2R(t)dt =_v2R(t)Rdt (1.32)Porejemplo, si setratadeunacorrientedevalorconstanteiR(t)=I0,lapotenciayenergainstantaneasseranpR(t)=RI20wR(t)=RI20tquecomosevelaenergacrecepermanentemente.1.8.2. InductorParaunelementoinductivopurolapotenciainstantaneaserapL(t) = vL(t)iL(t) = LiL(t)diL(t)dt(1.33)en general la corriente iL(t) y su derivada puden tener disinto signo, entonceshabr a situaciones en las que la potencia instantanea ser a negativa. Este signonegativo de la potencia instantanea representa una disminucion en la energaacumuladaenelelemento.LaenergainstantaneaeninductorserawL(t) =_pL(t)dt = L_iL(t)diL(t) =12LiL(t)2(1.34)esclaroquelaenergaacumuladanopuedetomarvaloresmenoresacero,pero a diferencia de la energa disipada por un resistor, esta esta limitada porlosvaloresm aximoymnimoquepuedatomarelcuadradodelacorriente.Para un valor m aximo de corriente ILmaxla energa acumulada en el inductortomarasuvalorm aximoyseraigualaWLmax=12LI2Lmax(1.35)Siporejemploelegimos5iL(t) = ILmaxeattendremospL(t)= aLI2LmaxeatwL(t)=12LI2Lmaxe2at5Comoveremosmasadelanteestaesunacorrientemuycomunmenteencontradaenuninductoryaquesetratadelarespuestanaturaldeunsistemadeprimerorden.20 CAPITULO1. FUNDAMENTOStomandoambassuvalorm aximoent = 0PLmax= aLI2LmaxWLmax=12LI2LmaxM as adelante, en la unidad que estudia los sistemas de primer orden, volver-emossobreestean alsisconm asdetalle.1.8.3. CapacitorParaelcasodeuncapacitorlasituacionessimilaraladelinductor,laenerga almacenada instantanea no puede ser menor a cero pero si puede au-mentar y disminuir, consecuentemente la potencia instant anea podra tomarvalorespositivosynegativos.LasecuacionessonpC(t)=vC(t)iC(t) = CvC(t)dvC(t)dt(1.36)wC(t)=_pC(t)dt =12CvC(t)2(1.37)WCmax=12CV2Cmax(1.38)1.9. Fuentesidealesvs.fuentesrealesIntroduciremos por ultimoel conceptode fuentes ideales. Unafuenteideal esunelementocapazdeproporcionarunatensionocorrientedeter-minada,independientedelacarga.Encambio,unafuenterealproporcionaunatensionocorrientedesalidaquedependedelacargaqueestealimen-tando. Esto se debe a que la corriente de salida debe atravesar la resistenciainterna de la fuente, provocando una cada de tension que se resta a la f.e.m.delafuente.Una fuente real puede ser representada entonces por una fuente ideal m asuna resistencia conocida como resistencia interna o resistencia de salida. Estaresistenciageneralmenteesconsideradacomopartedel circuitodecargayporendenoseladibujaasociadaalafuente.1.9.1. FuentesidealesdetensionocorrienteSeg un sea el valor de la carga respecto de la resistencia de salida la fuentereal secomportamanteniendocuasi-constantelatensionolacorrientedesalida1.9. FUENTESIDEALESVS.FUENTESREALES 21Fuentereal RcRcRcRiIoIo IoVoVoVcVcVc Ri> RcFigura1.7:Fuentedecorrienteideal22 CAPITULO1. FUNDAMENTOSEjercitaci on1. AplicarlaLKVseg unlasdistintasreferenciasquesemuestranenlag.1.8.CalcularparacadacasoelvalordelatensionvR2i(t) i(t)i(t)10V 10V 10V 20V 20V 20V10 10 1020 20 20vR1vR1 vR1vR2vR2vR2Figura1.8:PlantearLKVyencontrarvR22. AplicarlaLKVycalcularlatensionvR3seg unlareferenciaquesemuestraenelcircuitodelag.1.9.10V 10010020vR3Figura1.9:PlantearLKVyencontrarvR3(t)3. Aplicando LKI calcular la corriente i3seg un la referencia que se indicaenelcircuitodelag.1.10.0,5Ai3512 8Figura1.10:PlanteandoLKIencontrarlacorrientei34. Por uncircuitoserie RLconR=5yL=0, 004Hcirculaunacorrientecomoladelagura1.11.CalcularygracarvR(t)yvL(t)5. Latensionrepresentadapor lag. 1.12seaplicaauncircuitoRLparalelo de R = 4 y L = 10mH. Calcular y gracar la corriente totali(t).6. UnaramaRLC,conR = 2,L = 2mHyC= 500F,esatravesadaporunacorrientecuyaformaserepresentaenlag.1.13.Calcularygracarlastensionesdecadaelemento.1.9. FUENTESIDEALESVS.FUENTESREALES 235-52 4 6 8t[ms]i(t)[A]Figura1.11:CorrientecirculanteporelcircuitoRLserie1020-10-205 10 15t[ms]v(t)[V ]Figura1.12:Tensi onaplicadaalcircuitoRLparalelo10-101 2 3 4 5 6t[ms]i(t)[A]Figura1.13:Corrientederama7. Lacadadetensionenel elementoinductivodel circuitoseriedelag. 1.14a es como se muestra en el gr aco 1.14b. Siendo la i(0) = 5Agracarporlomenosunciclodelacorrientetotali(t),delacadaenlaresistenciavR(t)ydelatensiondelgeneradorvT(t).8. Por unaramaRCcirculaunacorriente comolade lagura1.15.Gracarlastensionesdecadaelementoconsiderandoqueelcapacitorseencuentrainicialmentedescargado.24 CAPITULO1. FUNDAMENTOSvT(t) vL(t)i(t)510H(a)100-1001 2 3t[s]vL(t)[V ](b)Figura1.141 2 3 4ti(t)Figura1.15:CorrientevariablecirculanteporunaramaRCSolucionesEjercicio4PlanteoyresolucionutilizandoMaximaParadescribirlacorrientei(t)denidaportramoquecirculaporelcircuitoRLseriei(t) =___52mst 0 < t < 2[ms]5 2 < t < 4[ms]52mst + 10 4 < t < 6[ms]5 6 < t < 8[ms]enMaxima,sedenecadatramocomo(%i1) i1(t):= 5/(0.002)*t;i2(t):= 5;i3(t):= -5/(0.002)*t + 10;i4(t):= -5;lasalidadeMaximasera( %o1) i1 (t) :=50,002t1.9. FUENTESIDEALESVS.FUENTESREALES 25( %o2) i2 (t) := 5( %o3) i3 (t) :=50,002t + 10( %o4) i4 (t) := 5yluegosearmalafuncionnaldelasiguienteforma(%i5) i(t):= if(t 0yprocediendocomoenlasecci onanteriorobtenemoslarespuestacompletadebidoaestafuentei1(t) =VR VRet(3.28)notarqueparaestarespuestalacondici oninicial escero, yaquelafuentequeprovocalacondici oninicialenelinductorestapasivada.I0VLRi(t)t = 0t = 0(a)CircuitoRLcondosfuentesVLRi1(t)t = 0(b) Fuente de corrientepasivadaI0LRi2(t)t = 0t = 0(c)Fuentedetensi onpasivadaFigura3.12:AnalisisdecircuitoRLaplicandoteoremadesuperposicionLuego pasivamos todas menos la fuente de corriente I0, quedando el cir-cuito como en la g. 3.12c. Al conmutar el interruptor la fuente de corrientesedesconectaquedandoelcircuitosinfuente,porloquelarespuestaserai2(t) = I0et(3.29)3.6. RESPUESTANATURALMASFORZADA 63comovimosantes.Finalmenteseobtienelarespuestatotalsumandoi1(t) +i2(t)iT(t) =VR+_I0VR_et(3.30)3.6. RespuestanaturalmasforzadaAplicarel teoremadesuperposicioncomoantesesunaformamuchasveces util para resolver circuitos con muchas fuentes. Pero podemos conseguira un mayor benecio de este teorema si observamos la forma que se construyelarespuestanatural al hacer lasumatoriade todas las respuestas. Cadarespuestacontribuyeconsuvalorent=0alaconstantedelarespuestanatural, deformaqueestaconstanteent=0cancelelosvaloresdetodaslasfuentesydecomoresultadoelvalorinicialdelcircuito,esdeciriT(0)=if1(0) +if2(0) +if3(0) + +ifn(0) + (3.31)+[I0if1(0) if2(0) if3(0) ifn(0)] e0(3.32)Porendelarespuestanatural puedeobtenerseenformaindependientecuandoyasehayanobtenidotodaslasrespuestasforzadasdebidoacadauna de las fuentes forzantes, ya que su forma depende exclusivamente de loselementosdel circuito(el es unico)ylaconstanteseobtienevaluandolarespuestaent = 0yaplicandolacondici oninicialdelcircuito.Esdecirquepodemosaplicarelteoremadesuperposicionparaobtenertodaslasforzadasyluegolanatural unicaenuncircuitodeprimerorden.Paraaplicarsuperposicionaunsistemaconnfuentesdeesta ultimaformael procedimientoesel siguiente: secomienzaporpasivartodaslasfuentesmenosunayobtenerlarespuestaforzadaif1debidoaestaprimerafuente.Luegosepasivantodaslasfuentesmenoslasegundaconloqueseobtienelarespuestaforzadaif2debidoalasegundafuente. Estoserepitehastaobtener las nrespuestas forzadas debidoalas nfuentes presentes enelsistema. Luegosecalculalarespuestanatural inat(t). Teniendoencuentaque esta depende s olamente de los elementos del circuito y no de las fuentes,paraobtenerlasedebenpasivarTODASlasfuentesforzantesdelcircuitoyluegooperarconsiderandos ololascondicionesiniciales.Conestospasosseobtienelarespuestageneralcompletadelsistemaitotal(t) = if1(t) +if2(t) +if3(t) + +ifn(t) +Aetpara particularizarla se hace t = 0 y se aplica la condici on incial del circuito,quedandoitotal(t)=if1(t) +if2(t) +if3(t) + +ifn(t) + (3.33)+[I0if1(0) if2(0) if3(0) ifn(0)] et64 CAPITULO3. SISTEMASDEPRIMERYSEGUNDOORDEN3.7. RespuestaaunafuentenoconstanteUnsistemadeprimer ordenquees excitadopor unafuentegenerica,tienecomoecuaci ondeequilibriounaODEdeprimerordennohomogeneadx(t)dt+x(t)= y(t) (3.34)cuyasolucioncompletaestaformadapor unasoluciongeneral de laho-mogenea(xn=Cet )m aslasolucionparticulardelanohomogenea, esdecirlarespuestanaturalm aslarespuestaforzada.EstaODEpuedeserresueltaporvarios metodos,unodeellosseconocecomo metodo de Lagrange. El metodo se basa en la solucion propuesta pararesolverlaODEdeprimerordenhomogenea. Poranalogaproponecomosolucionunafunciondeigualforma,peroenlugardeserCunaconstante,estambienunafunciondependientedeltiempox(t) = c(t)et(3.35)Para probar que esta es solucion, se busca su derivada respecto del tiempodx(t)dt=dc(t)dtet+c(t)_et_ysereemplazaenlaec.(3.34)_dc(t)dtet+c(t)_et__+c(t)et=y(t)dc(t)dtet=y(t)dc(t)dt=y(t)et(3.36)integrandoambosmiembrosseencuentrac(t)c(t) =_y(t)etdt +C (3.37)siendoClaconstantedeintegracion.Esdecir,paraque(3.35)seasolucionde(3.34),c(t)tienequesercomo(3.37).Reemplazandox(t)=__y(t)etdt +C_etx(t)=Cet+et_y(t)etdt (3.38)3.8. ALIMENTACIONCONFUENTE SINUSOIDAL. CORRIENTE ALTERNA65i(t) 10 +e2tt = 07010HFigura3.13:RLseriealimentadoconunafuentedetensi onnoconstantey(3.38)eslasolucioncompleta(naturalm asforzada)delaODE(3.34)Por ejemplo, para el circuito de la g. 3.13 la ecuaci on de equilibrio parat > 0esv(t)=Ri(t) +Ldi(t)dt10 +e2t=70 i(t) + 10di(t)dt10 +e2t10=7 i(t) +di(t)dtdedondei(t)serai(t)=Ce7t+e7t_ _10 +e2t10_e7tdti(t)=Ce7t+17+e2t50comoent = 0lacorrienteesnula,laconstanteCvalei(0) = C +17+150=0C= 57350nalmentei(t)i(t) =17 57350e7t+e2t503.8. Alimentacion con fuente sinusoidal. CorrientealternaElcasoparticulardeuncircuitoalimentadoconunafuentesenoidalesmuy importante debido al intensivo uso de este tipo de alimentaciones en laingeniera. Se vera en detalle su resoluci on aplicando el metodo de Lagrangevistoanteriormente.66 CAPITULO3. SISTEMASDEPRIMERYSEGUNDOORDENi(t) Vmaxsen( t +v)t = 0RLFigura3.14:RLseriealimentadoconunafuentedetensi onsenoidalSi sealimentauncircuitoRLserieconunafuentealternacomoenlag.3.14laecuaci ondeequilibrioparat > 0seg unlaLKVseravin(t) vR(t) vL(t)=0vin(t)=vR(t) +vL(t)Vmaxsen( t +v)=Ri(t) +L d(i(t))dtVmaxLsen( t +v)=RLi(t) +d(i(t))dtque, seg unel metododeLagrangevistoanteriormente, lasolucionintegraldeestaODEtienelaformai(t)=K eRLt+eRLt_ eRLtVmaxLsen( t +v) dt (3.39)lafuncionintegralde(3.39)seencuentraresolviendolaintegralporpartes5,haciendodu = eRLtdt u =LReRLtv=VmaxLsen( t +v) dv= VmaxLcos( t +v)dt (3.40)yreemplazandoenlaintegralqueda_ eRLtVmaxLsen( t +v) dt=LR eRLtVmaxLsen( t +v) _LR eRLt VmaxLcos( t +v)dt(3.41)Estanuevaintegral enel segundomiembrode(3.41)seresuelvetambienporpartesquedando_ eRLtVmaxLsen( t +v) dt=LR eRLtVmaxLsen( t +v) _L2R2eRLt VmaxLcos( t +v)+2L2R2_ eRLtVmaxLsen( t +v) dt_(3.42)5

udv= uv

v du3.8. ALIMENTACIONCONFUENTE SINUSOIDAL. CORRIENTE ALTERNA67Finalmente, como esta utlima integral tiene la misma forma que la del primermiembro,sehallalasolucionporasociaci ondeterminos_1 +2L2R2__ eRLt VmaxLsen( t +v) dt =LR eRLtVmaxLsen( t +v) L2R2eRLt VmaxLcos( t +v) (3.43)esdecir_ eRLtVmaxLsen( t +v) dt=11 +2L2R2_LR eRLtVmaxLsen( t +v)L2R2eRLt VmaxLcos( t +v)_(3.44)_ eRLtVmaxLsen( t +v) dt=VmaxeRLtR2+2L2[Rsen( t +v)Lcos( t +v)] (3.45)Volviendoahoraala(3.39)delacorrienteconesteresultadosetienei(t)=K eRLt+eRLtVmaxeRLtR2+2L2[Rsen( t +v) Lcos( t +v)]i(t)=K eRLt+VmaxR2+2L2[Rsen( t +v) Lcos( t +v)] (3.46)para reducir esta ultima ecuaci on se puede utilizar la igualdad trigonometri-caa sen(x) b cos(x) =_a2+b2sen_x arctanba_(3.47)entonces(3.46)quedai(t)=K eRLt+VmaxR2+2L2_R2+2L2sen( t +varctanLR)i(t)=K eRLt+VmaxR2+2L2sen( t +varctanLR) (3.48)Estasoluciongeneral representalaevoluciondelacorrienteparatodot > 0, para considerar el caso particular se debe calcular la constante K. Enestecasolacorrienteent = 0esnula,entoncesi(0t)=K +VmaxR2+2L2sen(varctanLR) = 0 K= VmaxR2+2L2sen(varctanLR) (3.49)68 CAPITULO3. SISTEMASDEPRIMERYSEGUNDOORDENFinalmentei(t)= VmaxR2+2L2sen(varctanLR) eRLt++VmaxR2+2L2sen( t +varctanLR) (3.50)queeselresultadoparticularparaestecircuitoRLserie.Enlagura3.15puedenverselasgracasdelarespuestacompletadecorriente (en color negro) junto con las respuestas natural y forzada (en colorgris),lagracaenlneasdepuntosrepresentalaexcitaci on.t[s]i(t)[A]Figura 3.15: Corriente enunRLserie alimentadoconunafuente de tensi onsenoidal3.9. SistemasdesegundoordenSi consideramos lainteracci onentre dos elementos almacenadores deenergadeberemos utilizar unaODEde 2ordenparadescribir sucom-portamiento. Cadaelementoalmacenador introduceunacondici oninicialindependienteenel sistema, porloqueseranecesariocontarcondossolu-cionesnaturalesquepermitansatisfacerambascondicionesiniciales.Comoseveraacontinuaci on,estasdossolucionesnaturalessonlasdossolucionesgeneralesdelaODEhomogeneaquedescribeelcircuito.Comencemos el an alisis utilizandocomoejemplouncircuitoparaleloRLCcomoel delag. 3.16, paraestecircuitolaecuaci ondenudoseg un3.9. SISTEMASDESEGUNDOORDEN 69if(t)v(t) = vL(t)iL(t)C R LFigura3.16:CircuitoRLCparaleloLKCesif(t)=v(t)R+iL +Cdv(t)dt(3.51)dondeiL=1L_v(t) dtif(t)=v(t)R+1L_v(t) dt +Cdv(t)dtEsto es una ecuaci on integro-diferencial, que debe ser llevada a una ecuaci ondiferencial para ser resuelta. Derivando ambos miembros respeto a t, seobtienelaEc.Dif.Cd2v(t)dt2+1Rdv(t)dt+1L v(t) =dif(t)dt(3.52)Si seanalizaotrotipodecircuitocondoselementosalmacenadoresdeenerga,comoelcircuitoRLCseriedelag.3.17porejemplo,laecuaci ondeequilibriosera:vf(t) i(t)CR LFigura3.17:CircuitoRLCserievf(t)=Ri(t) +L di(t)dt+vC(t)dondevC(t)=1C_i(t) dtvf(t)=Ri(t) +L di(t)dt+1C_i(t) dtyderivandoseobtienelaEc.Dif.de2ordenaresolverL d2i(t)dt2+R di(t)dt+1Ci(t) =dvf(t)dt(3.53)70 CAPITULO3. SISTEMASDEPRIMERYSEGUNDOORDENvf(t)i(t) L2L1R1R2Figura3.18:CircuitoirreductiblecondoselementosquealmacenanenergaDeigual forma, condoselementosdel mismotipocomoel circuitoRLde la g. 3.18, se obitene una Ec.Dif. de segundo orden. Este an alisis se dejacomoejercicioparaellector.NotesequeencadaejemploanteriorlaEc.Dif. puedeserplanteadaenterminos decualquier par ametrodel circuito, por ejemplosi enla(3.51)seponelatensiondel circuitoenterminosdelacorrienteporel inductorentoncesv(t)=vL(t) = LdiLdtif(t)=1R LdiLdt+iL +Cddt_LdiLdt_if(t)=LRdiLdt+iL +CL d2iLdt2laODEquedaenterminosdelacorrienteporelinductor.3.9.1. SolucionnaturalConsideremoselcircuitodelagura3.19,aplicandoLKVparat > 0t = 0RV0vC(t) i(t)LCFigura3.19:CircuitoRLCsinfuentevR(t) +vL(t) +vC(t)=0Ri(t) +Ldi(t)dt+vC(t) = 0 (3.54)ylacorrienteporelcapacitori(t) = CdvC(t)dt(3.55)3.9. SISTEMASDESEGUNDOORDEN 71luego, de estas dos ecuaciones diferenciales de primer orden acopladas, pode-mos obtener una unica ecuaci on diferencial de segundo orden en termino dealgunasdelasvariablesdeinteres.Engeneralsepreereresolverentermi-nosdealgunadelasvariablescontnuasdel circuito, comolatensionenelcapacitor vC(t) o la corriente por el inductor, puesto que son las que cumplenconlacondici ondecontinuidadyporendelasqueimponenlascondicionesiniciales.Sillevamoslaec.(3.55)ala(3.54)tendremosR_CdvC(t)dt_+Ld_CdvC(t)dt_dt+vC(t)=0RCdvC(t)dt+LCd2vC(t)dt2+vC(t)=0d2vC(t)dt2+RLdvC(t)dt+1LCvC(t)=0 (3.56)unaODEhomogeneadesegundoordenenterminosdevC(t). Resolviendoesta ODE se obtiene entonces la respuesta natural de la tension del capacitorenunsistemadesegundoorden.Deigual formasepuedeobtener laODEenterminos delacorrientedespejandolatensionvC(t)delaec.(3.54)yllevandolaala(3.55)i(t) Cd_Ri(t) Ldi(t)dt_dt=0i(t) +RCdi(t)dt+LCd2i(t)dt2=0d2i(t)dt2+RLdi(t)dt+1LCi(t)=0 (3.57)Soluci onaunaODEhomogeneadesegundoordenLarespuestaqueseobtienedecircuitoscomoel anterior, al igual quaparaloscircuitosdeprimerorden,selallamarespuestanatural,porqueesunarespuestaquedependeexclusivamentedelanaturalezadel sistemayexisteinclusosinlapresenciadefuentesforzantes.Larespuestanaturaldeun sistema de segundo orden viene dada entonces por una ODE homogeneadesegundoorden,cuyasolucionpuedeencontrarsecomosigue.SealaODEa2dt2x(t)dt2+a1dx(t)dt+a0x(t)=0d2x(t)dt2+pdx(t)dt+qx(t)=0 (3.58)seproponecomosolucionlafuncionexponencial,estafunciontienelapar-ticularidadderelacionarlaprimitivaconsusnderivadasyesporendelasolucionporexcelenciadeunaEc.Dif.72 CAPITULO3. SISTEMASDEPRIMERYSEGUNDOORDENxn(t)=Aestconsusderivadasdxn(t)dt=As estd2xn(t)dt2=As2estdondeAyssonconstantesadeterminar. Reemplazandolasolucionprop-uestaysusderivadasenla(3.58)quedaAs2est+p As est+q Aest=0Aest _s2+p s +q_=0esdecirqueparaquelafuncionpropuestaseasolucion,esteproductodebeserceroparacualquiert,ycomoAesteslasolucionpropuestaynopuedeserceroparatodot,entoncess2+p s +q= 0 (3.59)loqueseconocecomoecuaci oncaracterstica. Estaecuaci onesenlavari-ables, queesel exponentedelasolucionpropuesta. Entonceslasolucionpropuestaserasoluciondela(3.58)siys olosielexponentesesrazdelaecuaci oncaracterstica(ec.3.59)s1= p2+__p2_2q ; s2= p2__p2_2q(3.60)Normalmentesuelendenotarsecomos1= +_220; s2= _220donde se llamacoecientedeamortiguamientoy 0frecuenciaresonante.Lasolucioncompletade(3.58)seraxn(t)=A1es1t+A2es2t(3.61)Esdecirquelarespuestanaturaldependeradelasracesdelaecuaci oncaracterstica, yseradistintaseg unlasracesseana)realesydistintas, b)reales e iguales o c) complejas conjugadas. Analizaremos a continuaci on cadaunodeloscasos.3.9. SISTEMASDESEGUNDOORDEN 73RacesrealesydistintasSilasracess1ys2sonracesrealesydistintas,esdecirques1= +_220s2= _220con 2> 20, entonces la respuesta completa de la Ec. Dif. homogenea vienedadaporxn(t) = A1es1t+A2es2t(3.62)queeslarespuestanatural del sistemaytendr alaformadelag. 3.20a.Estarespuestaselallamarespuestasobreamortiguada, las races s1ys2reciben el nombre defrecuenciasnaturalesdel sistema y sus inversas son lasconstantesdetiempo1s1y1s2.txn(t)(a)Respuestasobreamortiguadatxn(t)(b) Respuesta crticamente amor-tiguadatxn(t)(c)Respuesta subamortiguada u os-cilatoriaRacesrealeseigualesSi las races s1 y s2 de la ecuaci on caracterstica son races reales e iguales,esdecirques1=s2= = p2(3.63)estoocurrecuando2= 20,entoncesxn(t)=Aest(3.64)ylarespuestanatural quedaahoraincompleta, yaqueloqueantes erandosrespuestaslinealmenteindependientes(ec. 3.62), unaexponencial conexponente s1 y otra con exponente s2, se transforman en una unica respuestaAest.74 CAPITULO3. SISTEMASDEPRIMERYSEGUNDOORDENComoparaquelarespuestadeunaEc.Dif.desegundoordenestecom-pletasenecesitandosfuncionesrespuestaslinealmenteindependientes, sedebebuscarunasegundafuncionlinealmenteindependientedelaanterior(ec. 3.64) ysumarlaaella. Unaformade encontrar lanuevafuncioneshaciendoquesecumplael requisitodeindependencialineal entrelas re-spuestas,esdecirquesecumplaquexn2(t)xn1(t)= f(t) = cteobienxn2(t) = f(t) xn1(t)Paraquelanuevarespuestapropuestaxn2(t)seatambiensoluciondelsistema, sedebereemplazarenla(ec. 3.58)ycomprobarquesatisfacelaigualdad, paraestosederivasucesivamentelafuncionpropuestadosvecesysellevaalaODExn2(t) = f(t) xn1(t)=f(t) Aest(3.65) xn2(t)=f(t) Aest+f(t) As est xn2(t)=_f(t) +f(t) s +f(t) s +f(t) s2_Aestreemplazandoysacandofactorcom unAestseobtieneAest_f(t) + 2f(t) s +f(t) s2++p_f(t) +f(t) s_+q f(t)_ = 0 (3.66)igual que en el caso de races reales y distintas esta igualdad se debe satisfacerparatodot, ycomoAestnopuedeserceroparatodotporserlafuncionpropuesta,debeserceroentoncesloquequedaentrecorchetesf(t) + 2f(t) s +f(t) s2+p_f(t) +f(t) s_+q (f(t)) = 0 (3.67)Agrupandoenterminosdelaf(t)ysusderivadassetienef(t) +f(t)(2s +p) +f(t)_s2+p s +q)_ = 0 (3.68)como s es una raz de la ecuaci on caracterstica entonces s2+p s +q= 0, esdecirf(t) +f(t)(2s +p) = 0 (3.69)ademas, seg unlaec. 3.63, el coeciente2s + pesigual aceroportratarsederacesrealeseiguales,nalmentef(t) = 0 (3.70)3.9. SISTEMASDESEGUNDOORDEN 75Una funcioncuya derivada segunda sea nula, debe tener como derivadaprimeraunaconstanteydebeserporendeunafuncionlineal.Oseaf(t) =K1t +K2Estopermiteconcluirdiciendoquesi semultiplicaalasolucionxn1(t)por cualquier f(t) de la forma K1t+K2 se obtendr a otra solucion linealmenteindependientedelaEc.Dif.Entoncesxn2(t)sera(ec.3.65)xn2(t)=(K1t +K2) Aestxn2(t)=A1est+A2t estperolasegundasolucionencontradasecomponededos funciones lineal-menteindependientes, esdecirqueestaesyaunasolucioncompleta. En-toncesxn(t) = A1est+A2t est(3.71)queeslasolucioncompletabuscada. Estetipoderespuestassellamare-spuestacrticamenteamortiguadaysuformasegracaenlag.3.20b.RacescomplejasconjugadasSilaecuaci oncaractersticastieneracescomplejasconjugadas,esdecirque220< 0,entoncess1= +jns2= jndonde n=_202, que se conoce como frecuenciaresonanteamortigua-da.Ahoralassolucionesxn1(t)yxn2(t)formadasconlosexponentescom-plejos s1y s2, son dos soluciones linealmente independientes pero complejasxn(t)=A1e(+jn)t+A2e(jn)txn(t)=et_A1ejnt+A2ejnt_(3.72)UtilizandolaigualdaddeEulersepuedeponerlasolucionenterminosdelasfuncionestrigonometricasxn(t)=et((A1 +A2) cos(nt) +j(A1A2) sen(nt))ComolasconstantesA1yA2sonconstantesarbitrariasquedebenserelegidasparacomplirconlascondicionesinicialesdel sistema, ycomoes-tascondicionesinicialesseransiemprevaloresreales, entonceslasA1yA2deberansertalesquesumadasdenunn umerorealpuro(A1 + A2= B1)yrestadasunn umeroimaginariopuro(A1A2= jB2),detalformaquexn(t)=et(B1cos(nt) +j (jB2) sen(nt))xn(t)=et(B1cos(nt) +B2sen(nt))76 CAPITULO3. SISTEMASDEPRIMERYSEGUNDOORDENesdecirquedel conjuntodefuncionescomplejasrepresentadaspor(3.72)yquesonsoluciondelaODEhomogeneadesegundoordensolotomamoslasquesonrealespuras,yaquenosinteresarepresentarpar ametrosfsicosreales.A este tipo de respuesta se la llamarespuestasubmortiguaday es la quedael nombrealasdosanteriores. Setratadeunafunciontrigonometricaqueesatenuadaporunexponencial et, dondesellamacoecientedeatenuaci onynes la frecuencia resonante amortiguada del sistema. Lagr acadeestarespuestasepuedeverenlag.3.20c.3.9.2. CondicionsinicialesUn sistema de segundo orden tiene entonces dos condiciones iniciales quedebensersatisfechas, unaporcadaelementoalmacenadordeenerga. Lasconstantesqueacompa nanacadasolucionnatural debenserestablecidasdeformatal quelarespuestacompletadel sistemacumplaconestasdoscondicionesiniciales.Esdecir,debemosparticularizarlarespuesta.Volviendo sobre el circuito RLCde la gura 3.19 y suponiendo por sim-plicidadquelas raices del sistemasonreales ydistintas, latensionenelcapacitordadaporlaODE(3.56)seravC(t) = Aes1t+Bes2t(3.73)ent = 0latensionenelcapacitorvalevC(0) = V0,potlotantovC(0) = A+B= V0(3.74)como la corriente por el inductor es nula, tambien lo sera la corriente por elcapacitorparat > 0,entoncesiL(0) = iC(0)=CdvC(t)dtt=0= 0 (3.75)=C (As1 +Bs2) = 0 (3.76)y de las ecuaciones (3.74) y (3.76) se obtienen A y B para cumplir con ambascondicionesiniciales.Siobservamoslaecuaci on(3.75)vemosquelasegundacondici oninicialestadeterminandolapendientedelarespuestadetensionent = 0,esdecirqueenunsistemadesegundoordenlascondicionesinicialesestablecenelvalor y la pendiente inicial de cada respuesta. En la gura 3.20 se pueden verdosgr acasdelarespuestavC(t),ambastienenunvalorinicialvC(0) = V0conV0>0perolaprimeraesparaiL(0)=0ylasegundaiL(0)=I0conI0> 0.3.9. SISTEMASDESEGUNDOORDEN 77tvC(t)V0iL(0) = 0tvC(t)V0iL(0) = I0Figura3.20:Respuestadetensi onenunsistemadesegundoorden.3.9.3. Soluci onforzadaParael casodesistemasdesegundoordenom asnoesposibleencon-trarlasolucioncompletautilizandoelmetododeLagrangepropuestoparalossistemasdeprimerorden, porloquelasolucionforzada(olasolucionparticulardelainhomogenea)debebuscarseutilizandootrosmetodos.Encontrar lasolucionforzadaimplica: del puntodevistamatem aticoencontrarunafuncionquesatisfagalaODEinhomogenea, ydel puntodevistaelectricoresolverelregimenpermanentedelsistema.Existenvariosmetodospararesolverel regimenpermanentedeunsis-temasinnecesidadde resolver enformadirectalaODE, estos metodosvaranseg unlaformadelaexcitaci on6yseranobjetodeestudioencaptu-losposteriores.LosmetodosparaencontrarlarespuestadelaODEinhomogeneaprop-uestosporel an alisismatem aticosonvarios, detodosvamosautilizarelmetodo de loscoecientesindeterminadospor ser el que m as se ajusta a lasformasdeexcitaci oncomunmenteutilizadasenelectricidad.El metodo de loscoecientesindeterminadosconsiste en proponer comosolucion la suma de la funcion excitaci on y todas sus derivadas, multiplican-docadaunadeellasporuncoecienteconstanteadeterminar.Elmetodosebasaenelhechodequeexisteunconjuntodefuncionesquenocambiansuformaal ser derivadas, es decir al ser introducidas enunaODE. Esteconjuntodefuncionesestaformadoporlasfuncionesdeformapolin omica,exponencial,sinusoidalyproductodeestostipos7.6Porejemploelmetodofasorialpararesolverelregimenpermanentedecircuitosexci-tadosconse nalessinusoidales,oelan alisisdelcomportamientodeloselementosanteunaexcitaci oncontinua.7Notarquelafuncionconstanteest aincluidaenel conjuntocomocasoparticulardefuncionpolinomica,esdecirunafuncionpolinomicadegradocero.78 CAPITULO3. SISTEMASDEPRIMERYSEGUNDOORDEN3.9.4. SolucioneslinealmentedependientesComocasoparticulardebetenerseencuentaquelasolucionpropuestano sea linealmente dependiente de las respuestas naturales del sistema. Estopuedeocurrircuandolaexcitaci onesdetipoexponencial puraounpro-ductodeunaexponencialconunasinusoidal.ConsideremosporejemplolasiguienteODEd2x(t)dt2+p dx(t)dt+q x(t)=Kest(3.77)si s es una frecuencia natural del sistema tal que s2+p s +q= 0, una de lasdosrespuestasnaturalesseradelaformaxn1(t) = A1est(3.78)entoncesnopuedeproponersexf(t)=AestcomosolucionforzadayaqueesLDdexn1(t).Paraevitarestoseproponecomosolucionforzadaxf(t) =tAest,quellevadaa(3.77)_s2tAest2sAest_+p_AeststAest_+q_tAest_=KesttA(s2ps +q) +A(p 2s)=K (3.79)ycomosesrazdelaecuaci oncaracterstica,nosquedaA =Kp 2s(3.80)ylasolucionpropuestaxf(t) = tKp 2sest(3.81)essoluciondelaODE.Engeneral,sisesrazdelaecuaci oncaractersticaconmultiplicidadr,lasolucionforzadapropuestatomalaformaxf(t) = trAest.Enformasimilar,silaexcitaci ontienelaformadeunasinusoidalaten-uadaf(t) = et(Acos(nt) +Bsin(nt)) (3.82)y jnsonraces delaecuaci oncaracterstica, entonces lasolucionforzadapropuestaseraxf(t) = tret(M cos(nt) +N sin(nt)) (3.83)conrlamultiplicidaddelparderaces jnEnla tabla 3.1 se listanlas posibles excitaciones consus solucionesforzadas aproponer. Observesequelos casos enques=0ys= jnsean races de la ecuaci on caracterstica implican una resistencia equivalentenulaenel sistema(R=0), estoscasosparticularess olopuedendarseensistemasidealesosistemasnolineales.3.10. SISTEMASDEORDENN 79Excitacion Solucionpropuestaf(t) = aptp+ a1t +a0xf(t) = tr(Aptp+ +A1t +A0)conrlamultiplicidadde0comorazdelaecuaci oncaractersticaf(t) = Ketxf(t) = trAetconrlamultiplicidadde comorazdelaecuaci oncaractersticaf(t) = K1 cos(nt) +K2 sin(nt) xf(t) = tr(A1 cos(nt) +A2 sin(nt))conrlamultiplicidadde jncomorazdelaecuaci oncaractersticaf(t) = (aptp+ a1t +a0) etxf(t) = tr(Aptp+ +A1t +A0) etconrlamultiplicidadde comorazdelaecuaci oncaractersticaf(t) = et(K1 cos(nt) +K2 sin(nt)) xf(t) = tret(A1 cos(nt) +A2 sin(nt))conrlamultiplicidadde jncomorazdelaecuaci oncaractersticaCuadro 3.1: Listade soluciones propuestas parael metodode los coecientesindeterminados3.10. SistemasdeordennCuando el circuito contiene m as de dos elementos que almacenan energala ecuaci on de equilibrio sera una ecuaci on diferencial de orden n, siendo n eln umerodeelementosirreductiblesalmacenadoresdeenerga. Larespuestanatural deestetipodesistemases unacombinacionlineal dealgunas delasrespuestashalladasparalossistemasdesegundoorden(pag.70),seg unseanlasracesdelaecuaci oncaracterstica. Lasolucionforzadaseobten-dra mediante el metodo de los coecientes indeterminados, tal como se hizoparalossistemasdesegundoorden(pag.77)3.10.1. Soluci onnaturalSeg unlas races delaecuaci oncaractersticalarespuestanatural delsistemaseraconstruidadelasiguientemanera:Racesreales:lasracesrealesaiaportar analarespuestanaturaldelsistemaunconjuntoderespuestasdelaformaR

i=1M

j=1Ai+jt(j1)eait(3.84)siendoMlamultiplicidaddelarazi-esimayRel n umeroderacesdistintas. Si se trata de una raz simple, es decir de multiplicidad M=1larespuestaaportadaseraunaexponencialpura.80 CAPITULO3. SISTEMASDEPRIMERYSEGUNDOORDENRaces complejas conjugadas: las races complejas conjugadas ijiaportar an a la respuesta natural del sistema un conjunto de respuestasdelaformaC

i=1M

j=1t(j1)eit(Bi+j cos(i) +Ci+j sin(i)) (3.85)siendoMlamultplicidaddelai-esimarazcomplejayCel n umerodeparesderacescomplejasconjugadasdistintas.El n umerodesolucionesLI aportadopor las racesdelaecuaci oncarac-terstica debe ser igual al orden de la ecuaci on diferencial. Por ejemplo, paraunsistemadeorden5conecuaci oncaracterstica(s + 2)3(s + 5)(s + 8) = 0 (3.86)tendr acomorespuestanaturalxnatural(t) = A1e2t+A2te2t+A3t2e2t+A4e5t+A5e8t(3.87).3.10. SISTEMASDEORDENN 81Ejercitaci on1. Hallar y gracar la respuesta i(t) para t > 0 de la g. 3.21. Demostrarencadacaso, lavalidezdel reemplazodeelementosporunoequiva-lente.i(t)18Vt = 0 321H5H 20HFigura3.21:Encontrari(t)t > 02. Hallar y gracar la respuesta vC(t) para t > 0 de la g. 3.22, si estuvoconectado a la fuente por un tiempo sucientemente grande como paraconsiderarextinguidoelregimentransitorio.vC(t) 80Vt = 04K12K 30200mH0, 1FFigura3.22:HallarvC(t)t > 03. HallarlarespuestaiL(t)delcircuitodelag.3.23siiL(0) = 3AiL(t)80Vt = 010mH 44Figura3.23:Hallari(t)parat > 04. El capacitor de la g. 3.24 tiene una carga inicial de q0= 800106Cconlapolaridadindicada. Hallarlarespuestacompletadelatensiondelcapacitor,ylaevoluciondelascargasconeltiempo.q080Vi(t)t = 0 t = 0 104FFigura3.24:Respuestacompletadelatensi onenelcapacitor82 CAPITULO3. SISTEMASDEPRIMERYSEGUNDOORDEN40(t)Vi(t)200120 4H6A 2525VFigura3.25:Encontrari(t)parat > 05. Encontrari(t)t > 0seg unseindicaenelcircuitodela(g.3.25)6. Utilizandocapacitores,resistencias,unafuentede12V ,unpulsadoryuncomparadordetensioncomoel delag. 3.26, dise naruntempo-rizador para luz de pasillo de 10s de duraci on. La salida del comparadoresvout=_12V siv1(t) > v2(t)0V siv1(t) < v2(t)(3.88)v1(t)v2(t)voutFigura3.26:Temporizadorparaluzdepasillo7. Encontrarlarespuestatotal del circuitodelag. 3.27aaplicandoelteoremadesuperposicion.if(t) 2 0,2HiL(t)(a)if(t)5A0,2s 0 t(b)Figura3.27:(a)CircuitoRLparaleloexcitadopor(b)unafuncionpulso.8. Enelcircuitodelagura3.28elcapacitorC1tieneunacargainicialQ1= qC1(0) = 300106Cseg un la polaridad indicada. Si se cierra elinterruptorent = 0,utilizandolasreferenciasse naladasenelcircuitosepideencontrar:a. lacorrientei(t)b. lastensionesvC1(t),vR(t)yvC2(t)c. gracarlastrestensionesenunmismosistemadeejes3.10. SISTEMASDEORDENN 83C1RC2qC1(t)t = 0i(t)vC1vRvC2C1= 6FR = 20C2= 3FFigura3.28:Evoluciondelatensi onnaturalenunpardecapacitores9. Enel circuitodelag. 3.29aseconectael capacitoralafuentede20V ent=0(posicion1), cuandolacargadel capacitorllegaa15Vse cambiael interruptor conectandolafuente de 10V (posicion2).SiendolarespuestadelatensiondelcapacitorvC(t)ladelgr acodelag. 3.29b, calcularel tiempot=tdel cambiodeinterruptor, ylaresistenciaRxdelcircuito.10V 20V500FvC(t)1,6K Rx1 2(a)10202 4 6 8 10t = tt[s]vC(t)[V ](b)Figura3.29:Calculareltiempot = tenelqueconmutaelcircuito10. Hallari(t)t > 0delag.3.30i(t)40Vt = 0451H1A0, 5FFigura3.30:Encontrari(t)parat > 011. Encontrarygracarlatensionycorrienteenlaresistenciadecargadelcircuitodelag.3.31paratodot > 0.12. Enelcircuitodelagura3.32,encontrarygracarlacorrienteiL(t)paratodot > 013. Seleccioneunvalor deLtal queel voltajedel solenoidesuperelos20V , ylamagnituddelacorrientedel inductoresteporencimade84 CAPITULO3. SISTEMASDEPRIMERYSEGUNDOORDEN18Vi(t)10Fvcarga(t)80100t = 0Figura3.31:Encontrarygracarlatensi onycorrienteenR30V10102HiL(t)t = 0Figura3.32:RespuestacompletadecorrienteenRLserielos 500mAdurante los primeros 25ms. Calcular adem as laenergaalmacenadaenlabobinaenel momentoqueseabreel interruptor(g.3.33)60Vt = 01015L vL(t)10Figura3.33:CalcularelvalordeL14. Del circuito de la gura 3.34 determinar para t = 0+los valores vC(0+),vL(0+), iC(0+) e iL(0+) seg unlas referencias que se indicanenelcircuito.Ent = 0elangulodefasedelaalimentaci ones = 60.150cos(200t +)t = 0vRvLvCiLiCR = 22C= 0, 1FL = 100mHFigura3.34:Hallarlosvaloresinicialesdetensi onycorriente15. El circuitodelag. 3.35seconectaent=0, encontrarlarespuestavC(t)parat > 03.10. SISTEMASDEORDENN 85iint = 0vR(t) vC(t)iin= 10 sen(250 t)C= 10000FR = 20Figura3.35:EncontrarvC(t)parat > 016. Enuncircuitocomoeldelagura3.36condoselementosquealma-cenanenerga,seconocecomoresistenciacrticaRcalvalorresistivopara el cu al la respuesta del circuito es crticamente amortiguada. En-contrar dicho valor crtico de resistencia para que vC(t) en el siguientecircuitoseacrticamenteamortiguada.Vt = 0RcC L1L2vC(t)DatosC= 2000FL1= 18mHL2= 32mHFigura3.36:Resistenciacrtica17. Encontrarlarespuestacompletadetensiondecadacomponentedelcircuitodelag. 3.37. Ent=0el angulodefasedelaalimentaci ones = 30.150cos(200t +)t = 0vRLvRCvLvCiLiCRL= 22RC= 22C= 0, 1FL = 100mHFigura3.37:Encontrarlastensionesdecadaelementoparat > 018. Hallar, utilizandoel metododesuperposicion, lacorrienteiL(t)ylatensionvC(t)delagura3.38parat > 0.iL(t)12Vt = 024 15 100mH65 sen(100t)vC(t) 500FFigura3.38:EncontrariL(t)yvC(t)parat > 086 CAPITULO3. SISTEMASDEPRIMERYSEGUNDOORDEN19. Determinar la tension del capacitor de la g. 3.39 para t > 0 si al abrirel interruptor en t = 0 el angulo de fase de la alimentaci on es = 60.150cos(200t +)iLiCt = 0vC220,1F100mHFigura3.39:Hallarlatensi ondelcapacitor20. Encontrar la respuesta completa de tension en el capacitor y corrienteenelinductorparat > 0delcircuitodelagura3.40.Indicareltipodeamortiguamientodel sistemaygracar las respuestas obtenidas.Realizarunan alisisdetalladodelmetododeresoluci on.21H0,1Fi(t)10Vt = 0Figura3.40:Calculodelarespuestanatural21. Determinar la tension del capacitor vC(t) y la corriente i(t) del circuitode lagura3.41paratodot >0si el interruptor se conectaalaposiscion1ent = 0ysepasaalaposicion2ent = 1s60 e2ti(t)12vC(t)100 251mFFigura3.41:CircuitoRCconfuenteexponencial22. Se encuentra que las ecuaciones de equilibrio de un circuito de 2 ordensonv(t) + 8i(t) + 2di(t)dt= 0 ; i(t) =16dv(t)dtdedondelarespuestageneraldecorrienteesi(t) = Aet+Be3t.Sii(0) = 1Ayv(0) = 10V ,hallarlasconstantesAyB.3.10. SISTEMASDEORDENN 8723. EncontrarlacorrienteiL(t)ylatensionvC(t)del circuitodelag.3.42paratodot > 0seg unlasreferencias.162H130F10e2tu(t)iL(t)vC(t)Figura3.42:CircuitoRLCconfuentedecorriente24. Calcular vC(t) para t > 0 seg un la referencia indicada en el circuito delag.3.43t = 0t = 0251H50mFvC(t)50V100VFigura3.43:CircuitoRLCconexcitaci onconstante25. Encontrar larespuestacompletadelatensionvC(t) parat >0delcircuitodelag.3.44operandoeneldominiodeltiempot = 0 5000200H 10F vC(t) 10 cos(10t)Figura3.44:CircuitoRLCexcitadoconse nalsinusoidal26. En el circuito de la g. 3.45 encontrar y gracar la corriente iL(t) paratodot > 027. EncontrarlarespuestaiL(t)parat > 0seg unlasreferenciasdelag.3.4688 CAPITULO3. SISTEMASDEPRIMERYSEGUNDOORDEN30V 10102HiL(t)t = 0Figura3.45:RegimentransitorioenRLserie10 cos(100t)15e75t15 200mHiL(t)t = 0 t = 0Figura3.46:RegimentransitorioenRLparalelo28. Paraelcircuitodelagura3.47encontrarvo(t)parat>0.Resolvereneldominiodeltiempo.10u(t)10 sen(100t)vo(t)1K1002H1mFt = 0Figura3.47:RegimentransitorioenRLC29. Calcular latensiondel capacitor del circuitodelagura3.48eneldominiodeltiempoaplicandosuperposicion.E2Vsen(t)vc(t)RLRCLCt = 0Figura3.48:Respuestacompletaporsuperposicion30. Paraelcircuitodelagura3.49sepide:3.10. SISTEMASDEORDENN 89EncontrarlacorrienteiL(t)parat > 0Calcularelvalorecazdelregimenpermanentedeestacorriente90 sen(100t)V 3A1180,2Ht = 0iL(t)Figura3.49:Corrienteenelinductor90 CAPITULO3. SISTEMASDEPRIMERYSEGUNDOORDENSolucionesEjercicio1PlanteoyResoluci onnumericaAplicandoLKVenlamallaquecirculai(t)parat > 0(2)i(t) + (3)i(t) + (1H)di(t)dt+vP(t) = 0 (3.89)donde vP(t) es la tension de los inductores en paralelo. Para encontrarestatensionllamemosia(t)eib(t)alascorrientesqueatraviesanlosinductores de 5Hy20Hrespectivamente. Entonces, enel nudosecumplequei(t)=ia(t) +ib(t)i(t)=15H_vP(t)dt +120H_vP(t)dt =_15H+120H__vP(t)dt_115H+120H_i(t)=_vP(t)dt_115H+120H_ di(t)dt=vP(t)yseobtienelatensionvP(t)parareemplazarenlaec.3.89(2)i(t) + (3)i(t) + (1H)di(t)dt+_115H+120H_ di(t)dt= 0(3.90)Agrupandoterminosenlaec.3.90sevequelamallapuedeserreem-plazadapordoselementosequivalentes,unoresistivodevalorReq= 2 + 3yunoinductivodevalorLeq= 1H +115H+120Hesdecir,laec.3.90puedeescribirsecomo(5)i(t) + (5H)di(t)dt= 03.10. SISTEMASDEORDENN 91As tenemosnalmentelaEc.Dif. aresolver. EstaEc.Dif. homgenea,deprimerordenycoecientesconstantestienecomosoluci ongeneralunafuncionexponencialdeformai(t)=i(0)eReqLeqtenestecasoconReqLeq= 1i(t)=i(0)eti(0) es el valor de la corriente al momento de abrir el interruptor, estaconstanteseconoceconelnombredevalorinicial.Paraparticularizarestarespuestasedebeencontrarestevalorinicial.Paraestoseaplicalacondiciondecontinuidaddecorrienteenel in-ductor, porlacual sepuededecirquelacorrientequecirculaporlamallauninnitesimodetiempodespuesdeabiertoel interruptoresigualalacorrientequecirculabauninnitesimodetiempoantesi(0) = i(0+)Paraconocerlacorrientequecirculabaantesdequeseabraelinter-ruptorsedebeobservarel circuitoent=0. Enesetiempolosin-ductores estaban totalmente cargados pues se encontraban conectadosalafuenteuntiemposucientementelargo.Porlotantolacorrientequeprovocalafuentede18V s olosevelimitadapor los resistores.Entoncesi(0) =183= 6Aynalmentelacorrientei(t) t > 0esi(t) = 6etcuyagr acapuedeverseenlag.3.50.Ejercicio8PlanteoTeniendoencuentalasreferenciaselegidasparatensionesycorriente,seplantealaLKVobteniendosevC1(t) +vR(t) +vC2(t) = 0 (3.91)por ser todas cadas de tension. Las tensiones en cada capacitor puedeexpresarsetambienenterminosdelacorrientedemallai(t), puesto92 CAPITULO3. SISTEMASDEPRIMERYSEGUNDOORDEN1234561 2 3 4 5 6i(0)t[s]i(t)[A]Figura3.50:Corrientetotaldelejercicio1.quevC1=1C1_i(t)dtvC2=1C2_i(t)dtreemplazandoenlaec. 3.91yponiendolatensionenRtambienenfunciondei(t)queda1C1_i(t)dt +Ri(t) +1C2_i(t)dt = 0 (3.92)Laec.3.92esunaecuaci onintegro-diferencial,quepararesolverlasedebederivarambosmiembrosrespectoat1C1i(t) +R di(t)dt+1C2i(t)=0di(t)dt+1R_1C1+1C2_i(t)=0 (3.93)elfactor1C1+1C2sepuedereemplazarporun unicofactor1Cdonde1C=1C1+1C2(3.94)entonceslaec.3.93quedadi(t)dt+i(t)RC= 0 (3.95)Estaecuaci ondiferencial sepuederesolverseparandovariables. Mul-tiplicandoambosmiembrospordt,dividiendopori(t)yluegodespe-3.10. SISTEMASDEORDENN 93jandolaec.3.95quedadti(t)_di(t)dt+i(t)RC_=0di(t)i(t)+i(t)RCdt=0di(t)i(t)= 1RCdt (3.96)integrandoambosmiembros_1i(t) di(t)= _1RCdtln i(t) +Ka= 1RCt +Kbln i(t)= 1RCt +Kc(3.97)dondelaconstanteKc=Kb Kaagrupaambasconstantesdeinte-gracion.Laec.3.97,pordeniciondelogaritmo,puedeponersei(t)=e1RCt+Kc= e1RCteKci(t)=e1RCtK (3.98)Estaeslasoluciongeneraldelarespuestai(t)buscada,comoseveesindependientedelascargasinicialesdeloscapacitores. LaconstanteKpermite particularizar la respuesta a cada caso, puesto que en t = 0sevequei(0)=K. Sepuedeporejemploaveriguarqueocurrrirasiamboscapacitoresestuviesendescargados,alsernulalacorrienteini-cial i(0) = 0 la constante Kse anula tambien obtieniendose la soluciontriviali(t) = 0t 0.Enestecasoparticular,analizandoent = 0laec.3.91vC1(0) +vR(0) +vC2(0) = 0 (3.99)comovC2(0) = 0,entonceslacorrienteinicialseravC1(0) = vR(0) = i(0) Ri(0) = vC1(0)R(3.100)Latensioninicial enel capacitor C1estadadapor sucargainicial,vC1(0) = Q1C1. El signo negativo se debe a que la polaridad de la cargainicialesopuestaalareferenciadetensionvC1.Entoncesi(0)=_Q1C1_Ri(0)=Q1RC1(3.101)94 CAPITULO3. SISTEMASDEPRIMERYSEGUNDOORDENqueeslaconstanteKparaestecasoparticular.Reemplazandonal-menteenlaec.3.98seobtienelai(t)particularbuscadai(t)=i(0) e1RCti(t)=Q1RC1e1RCt(3.102)Lascadasdetensionencadaelementopuedenobtenerseapartirdelaec.3.91dondevC1(t)=1C1_Q1RC1e1RCtdtvC1(t)=1C1_RCQ1RC1e1RCt_+K1(3.103)yvC2(t)=1C2_Q1RC1e1RCtdtvC2(t)=1C2_RCQ1RC1e1RCt_+K2(3.104)ParaencontrarK1yK2sehacet = 0,dondevC1(0) = Q1C1yvC2= 0vC1(0)=1C1_Q1CC1_+K1= Q1C1K1=1C1_Q1CC1_Q1C1(3.105)vC2(0)=1C2_Q1CC1_+K2= 0K2=1C2_Q1CC1_(3.106)Por ultimo,lacadadetensionenResvR(t) = Ri(t) =Q1C1e1RCt(3.107)Resoluci onnumericaRecordandoque1C=1C1+1C2secalculaprimeroeldelsistema= RC= 206 1063 1066 106+ 3 106= 40 106(3.108)3.10. SISTEMASDEORDENN 95Reemplazandoahoraenlaec:3.103porlosvaloresdecadadatoi(t)=300 106j20 6 106e2,5104ti(t)=2,5 e2,5104t(3.109)Luegolas constantes K1yK2delas tensiones (ecuaciones 3.105y3.106)K1=16 106_300 106 2 1066 106_300 106j6 106K1= 33,333K2=13 106_300 106 2 1066 106_K2=33,333con estas constantes se obtienen las cadas de tension vC1y vC2(ecua-ciones3.103y3.104)ynalmentelacadaenR(ec.3.110)vC1(t)=16 106_40 106300 10620 6 106e2,5104t_33,333vC1(t)= 16,667 e2,5104t33,333 (3.110)vC2(t)=13 106_40 106300 10620 6 106e2,5104t_+ 16, 667vC2(t)= 33,333 e2,5104t+ 33,333 (3.111)vR(t)=300 1066 106e2,5104tvR(t)=50 e2,5104t(3.112)Losresultadosnalessonentonceslasecuaciones3.109, 3.110, 3.111y3.112, queserepitenacontinuaci on. Enlag. 3.51segracanloscuatropar ametros.i(t) = 2,5 e2,5104tvC1(t) = 16,667 e2,5104t33,333vC2(t) = 33,333 e2,5104t+ 33,333vR(t) = 50 e2,5104t96 CAPITULO3. SISTEMASDEPRIMERYSEGUNDOORDEN2040-20-4010 20vC1(t)vC2(t)vR(t)i(t)t[ms]v(t)[V ]Figura3.51:Cadasdetensi onencadaelementoycorrientetotaldelejercicio8.Ejercicio16PlanteoParat > 0lasumadelastensionesenlamallaesvC(t) +vL1(t) +vRc(t) +vL2(t)=0vC(t) +L1di(t)dt+Rci(t) +L2di(t)dt=0 (3.113)la corriente en la malla i(t) con respecto a la tension en el capacitor esi(t) = Cdvc(t)dt(3.114)dedondedi(t)dt= Cd2vC(t)dt2(3.115)reemplazandola(3.114)yla(3.115)enlaec. dif. (3.113)nosquedasoloenfunciondevC(t)vC(t) + (L1 +L2) Cd2vC(t)dt2+RcCdvc(t)dt=0d2vC(t)dt2+Rc(L1 +L2)dvc(t)dt+1(L1 +L2) CvC(t)=0laecuaci oncaractersticadeestaec.dif.esdelaformas2+p s +q= 0 s12= p2 _p24 q23.10. SISTEMASDEORDENN 97Para una respuesta criticamente amortiguada el discriminante de estaultimaecuaci ondebesercero,entoncesdebeserp2=4 q_Rc(L1 +L2)_2=41(L1 +L2) CR2c=4 L1 +L2CResoluci onnumericaReempalzando los valores de capacidad e inductancias seg un los datosR2c=4 18 103+ 32 1032 103= 100dedondenalmenteRc= 10Ejercicio19PlanteoParat > 0lasumadelastensionesenlamallaesvL(t) +vR(t)=vC(t)L diL(t)dt+RiL(t)=vC(t) (3.116)lacorrienteporelcapacitoriC(t)esigual iL(t),entoncesiL(t) = iC(t) = CdvC(t)dt(3.117)llevando(3.117)a(3.116)nosquedaLCd2vC(t)dt2+RCdvC(t)dt+vC(t)=0d2vC(t)dt2+RLdvC(t)dt+1LCvC(t)=0 (3.118)laecuaci oncaractersticadeestaec.dif.esdelaformas2+p s +q= 0 s12= p2 _p24 q2conp =RLy1LC.98 CAPITULO3. SISTEMASDEPRIMERYSEGUNDOORDENResoluci onnumericaReempalzando los valores de resistencia, capacidad e inductancias seg unlosdatoslasraicesdelaecuaci oncaractersticadans2+ 220s + 100 106= 0entoncess1= 110 +j9999,4s2= 110 j9999,4larespuestade(3.118)essubamortiguadaytienelaformavC(t) = e110t(Acos(9999,4t) +Bsin(9999,4t)) (3.119)ParaencontrarlasconstantesAyBsedebenaplicarlascondicionesinicialesdelcircutio.Alabrirelinterruptorlatensiondefuentevalev(0) = 150 cos(60) = 75Vqueeslatensioninicialdelcapacitor,vC(0) = 75V .Llevadoa(3.119)nosdavC(0) = 1(A+ 0) = 75V A = 75VParacalcularBseaplicalacondici oninicial alacorrienteiL(t), de(3.117)tenemosiL(t)= C_110e110t(75 cos(9999,4t) +Bsin(9999,4t))+e110t(749955 sin(9999,4t) + 9999,4Bcos(9999,4t))iL(t)= Ce110t[(9999,4B 8250) cos(9999,4t)] + (749955 110B)(3.120)Lacorrientecirculanteporelinductorantesdeabrirelinterruptorsepuedeencontrarporelmetodofasorial,yaquesetratadeunsistemaalimentadoporunase nalsinusoidalenregimenpermanente,entoncesIL=VZRL=VR +jLIL=150/2

6022 +j20=5,042

17,73(3.121)esdecirqueent = 0lacorrienteesiL(0)=5,04 cos(17,73) = 4,8A (3.122)3.10. SISTEMASDEORDENN 99quellevadoa(3.120)seencuentraBiL(0)= 0,1 106(9999,4B 8250) = 4,8A B= 4799,5 (3.123)FinalmentevC(t) = e110t(75 cos(9999,4t) 4799,5 sin(9999,4t)) (3.124)100 CAPITULO3. SISTEMASDEPRIMERYSEGUNDOORDENCaptulo4TransformadadeLaplace4.1. TransformadadeLaplace4.1.1. Denici onLaTransformadadeLaplaceesunoperadorlineal quetransformaunafuncionf(t)deargumentorealt(t 0)enunafuncionF(s)deargumentocomplejosdenidacomo:F(s) =_0f(t) estdt (4.1)dondesesunavariablecomplejadelaformas = +con> 0.1Selorepresentausualmenteconelsmbolo L,yseescribeL[f](s) = F(s)La transformada de Laplace opera sobre un conjunto de funciones denidasenel dominiodel tiempoylasllevaaotroconjuntodefuncionesenel do-miniodelafrecuenciacompleja, enel dominiodelapulsaci oncomplejaosimplementeenel dominiodelavariables. Estatransformacionaplicadasobreel modelodeunsistemapermiteencontrarlarespuestadel sistemadeformamuchomassimplequeenel dominiodel tiempo, principalmentecuandoelmodelodelsistemaincluyeecuacionesdiferenciales,yaqueestassetransformanenecuacionesalgebraicaseneldominiodes.Luegoalarespuestaencontradaenel dominiodesseaplicalatrans-formacioninversaparaobtenerlarespuestaeneldominiodeltiempo.EstaoperacionseconocecomotransformadainversadeLaplaceoantitransfor-madaddeLaplaceysedenotaL1[F(s)](t) = f(t) (4.2)1Estarestricci ondeneloquesellamaregi ondeconvergenciadelatransformadadeLaplace,queaseguralaexistenciadeestatransformadaparatodafuncionf(t)sinsingu-laridadesenel semiejepositivo, cuyovalorabsolutocrecealosumocomounpolinomioentcuandot +.101102 CAPITULO4. TRANSFORMADADELAPLACEL1estambienunoperadorlineal denidocomolainversade(4.1), esteoperadorseveraendetallemasadelante(secci on4.3).ParaencontrarlatransformadadeLaplacedeunafuncionsedebein-tegrarsobretentre0e lafuncionatransformarmultiplicadaporest,seg unindicasudenicion(4.1). Comolatransformacionexistes oloparat 0, paraasegurarunicidad(verm asadelanteladeniciondeunicidad,secci on4.1.2)lafuncionatransformardebesernulaparat < 0.Sif(t)noesnulaparat 0(g. 4.2). Calcular sutransformadaaplicandolapropiedaddel de-splazamientoent.Comosabemos(4.5),latransformadadeunescalonesL[Au(t)](s) =Asentonces, seg un la propiedad anterior, la transformada del escalon queseiniciaent = t0sera:L[Au(t t0)](s) = est0As6Estocambianuevamenteellmiteinferiordeintegracionpuestoqueahoraq=t t0ycomot t0 0entoncesq 0106 CAPITULO4. TRANSFORMADADELAPLACEDesplazamientoensSi unafuncionf(t)u(t)esafectadaporunaexponencial eatsutrans-formadadeLaplacesufreundesplazamientoens.L[eatf(t)u(t)](s)=_0eatf(t)estdt=_0f(t)e(s+a)tdthaciendouncambiodevariabledeformaques + a=g, laintegral tomalaformadelatransformadaperoenlavariableg, obien, enlavariabledesplazadas +a=_0f(t)e(g)tdt = F(g)L[eatf(t)u(t)] =F(s +a) (4.9)Eldesplazamientoenfrecuenciadeunafunciontransformadaseproducealmultiplicarlafuncionporunexponencial enel dominiodel tiempo. Estapropiedadseconocecomoteoremadel desplazamientoenlavariables.Ejemplo4.6SiafectamosalescalonAu(t)porelexponencialeat,seg unlapropiedaddel desplazamientoenslatransformadadeAu(t)severadesplazadaens +aF(s) =AsF(s) = F(s +a) =As +aque es coincidente conla transformada L[eatAu(t)](s) encontradaantesporintegracion(4.6).Derivaci onLa transformada de una funciony la transformada de sus sucesivasderivadas mantienen una relaci on en el dominio de la variable s que hacen ala transformada de Laplace una herramienta muy potente en la resoluci on deecuaciones diferenciales.Estas transformadas permiten incorporar las condi-cionesinicialesdel problemaenel dominiodes, loquejusticael usodelatransformadaunilaterardeLaplaceensistemasconalmacenamientodeenerga.Sealafuncionf(t)u(t) ysutransformadaF(s), yseag(t) =dfdtu(t),entonces:L[g(t)](s) = L_dfdt_ =_0dfdt estdtresolviendolaintegralporpartes_0udv= uv0_0v du4.1. TRANSFORMADADELAPLACE 107conu = est du = sestdv=dfdtdt v= f(t)laintegralquedaL[g(t)](s)=f(t)est0_0f(t)_sest_dt=f()es. .=cerof(0)e0s+s_0f(t)estdt. .transformada de f(t)= f(0) +sL[f(t)]Comolavariablessedenioconsupartereal mayorqueceroel terminof()essera siempre cero ya que por hip otesis f(t) crece mas lentamentequelaexponencial.FinalmentenosquedaL[g(t)](s)=G(s) = sL[f(t)u(t)] f(0)latransformadadeladerivadadeunafuncionesel productodesporlatransformada de la funcion, menos el valorinicial o condicioninicial de estafuncionf(t).Estevalorinicial eselvalorquetomalafuncionoriginalf(t)ent = 0.L_dfdt_(s) = sF(s) f(0) (4.10)Ejemplo4.7SabiendoqueF(s) = L[sen(t)u(t)] (s) =(s2+2)encontrar la transformada del cos(t) aplicando la propiedad de derivaci on.Derivandorespectoaltiempotd (sen(t))dt= cos(t)latransformadaseraL_d (sen(t))dt_(s) = L[ cos(t)] =sF(s) f(0)=s(s2+2) sen(0)L[ cos(t)] =s(s2+2)108 CAPITULO4. TRANSFORMADADELAPLACEesdecirqueL[cos(t)] (s) =s(s2+2)(4.11)Observeseenestecasoquelacondicioninicial delsen(t)es0,peroestonoessiempreasysedebetenercuidadodenopasarporaltoelvalorinicialdelafuncionalcalcularsuderivadaeneldominiodes.Ejemplo4.8Lafuncionf(t)=eattienecomoderivadaenel tiempoalafuncionf(t) = aeatcuyaF(s) es, aplicandolapropiedaddelinealidaddelatransformadadeLaplace,aF(s) =as +a(4.12)Resolviendo ahora a partir de la transformada de la derivada tenemosL_f(t)(s) = sF(s) f(0)comof(0) = ea0= 1,L_f(t)(s)=s1s +a 1=s (s +a)s +aL_f(t)(s)=as +aqueconcuerdaconlaec.(4.12).Estapropiedadde latransformadade Laplace permite convertir unaecuaci ondiferencial(a0f(t) +a1f(t) + +anfn(t) = g(t))enunasimpleecuaci onalgebraicaens, loquefacilitaenormementesuresoluci oneneldominiodelafrecuenciacompleja.Integraci onpendiente4.2. Aplicaci onalaresoluciondecircuitosUncircuitoelectricoconelementosquealmacenanenergatienecomorespuestaunaecuaci ondiferencial. El ordendeestaEc. Dif. dependedecuantos elementos inductivos ocapacitivos irreductibles tengael circuito.Por mediodelatransformadadeLaplacevamos aobtener unaecuaci onalgebraicaensquerepresentalaEc.Dif.eneldominiodelafrecuencia.4.2. APLICACIONALARESOLUCIONDECIRCUITOS 109vLvRvin(t)i(t)Figura4.3:CircuitoserieRLLaresoluci ondel circuitoconsiste por ahoraenencontrar lafuncionrespuesta en el domino de la frecuencia (m as adelante veremos como encon-trarlafuncionrespuestaenel dominiodel tiempoapartirdesufunciontransformada).Supongamos un circuito RL como el de la g. 4.3 excitado con una fuentevin(t)quetieneunacorrienteiniciali(0)=I0.SedeseaencontrarlafuncionrespuestaI(s) = L[i(t)].AplicandolaLKVyseg unlossignosdelastensionestenemosvin(t) vR(t) vL(t) = 0dedondelaEc.Dif.enterminosdelarespuestaseravin(t) = Ri(t) +Ldi(t)dt(4.13)Pararesolvertransformemosestaecuaci onaplicando LaambosmiembrosL[vin(t)] = L_Ri(t) +Ldi(t)dt_porlapropiedaddelinealidadL[vin(t)] = RL[ i(t)] +LL_di(t)dt_resolviendoporseparadocadaunadeestastransformadasseobtieneL[vin(t)] =Vin(s) (4.14)L[Ri(t)] =RI(s) (4.15)L_L di(t)dt_=L(sI(s) i(0)) (4.16)entonces,laEc.Dif.setransformaenlasiguienteecuaci onalgebraicaenlavariablesVin(s) = RI(s) +sLI(s) Li(0) (4.17)reordenandoterminosyreemplazandoel valorinicial delacorrienteenelinductor(i(0) = I0),despejamosI(s)RI(s) +sLI(s)=Vin(s) +LI0I(s)=Vin(s) +LI0R +sL(4.18)110 CAPITULO4. TRANSFORMADADELAPLACEqueeslasolucionbuscada.Si bienloquetenemoshastaahoraeslatransformadadelarespuestai(t), sabemos por la propiedad de unicidad que esta transformada es unicayporlotantoapartirdeellapodremosencontrarunays olounafuncioni(t)quecumplaconL[i(t)](s) = I(s) (4.19)obien,puestoenterminosdeantitransformadai(t) = L1[I(s)] (4.20)Ejemplo4.9Ent =0se aplicaal circuitoRLserie de lag. 4.4unatensioncontinuade55V. Encontrarlatransformadadelarespuestai(t) t > 0.300mH47055 u(t)i(t)Figura4.4:CircuitoserieRLqueseenciendeent = 0Seg unlaLKV,lamalladebecumplir755 u(t) = 470 i(t) + 300 103di(t)dtAplicandolatransformadaaambosmiembrostenemosL[55u(t)] =470 L[i(t)] + 300 103L_di(t)dt_55s=470I(s) + 300 103(sI(s) i(0)) (4.21)lacorrienteinicialdelcircuitoesi(0)= 0enelinductor.DespejandoI(s)quedaI(s)(470 + 300 103s)=55sI(s)=55s_1470 + 300 103s_I(s)=183,33s(s + 1566,66)(4.22)7Lafuncionu(t)representalaaplicaci ondelafuenteeneltiempot = 0.4.2. APLICACIONALARESOLUCIONDECIRCUITOS 111Ejemplo4.10Si ahoraqueremosobtenerlatensionenel inductordebe-mosderivarlacorrientei(t)enel tiempoymultiplicarporL. Peropodramosm asfacilmenteobtenerlatransformadadelatensionenelinductor aplicando la propiedad de la derivaci on. En efecto, sabiendoquevL(t) = Ldi(t)dtlatransformadaseraVL(s) = sLI(s) Li(0)comoyadijimos,elvalorinicialdei(t)enestecasoesnulo,entoncesconL = 300mHnosquedaVL(s)=sLI(s) = sL183,33s(s + 1566,66)VL(s)=55s + 1566,66(4.23)4.2.1. FunciondetransferenciaEngeneral sedenecomofunci ondetransferenciaal cocienteentrelatransformada de la salida y la transformada de la entrada de un sistema contodaslascondicionesinicialesigualesacero.H(s) =Y (s)X(s)(4.24)dondeY (s) = L[y(t)]eslatransformadadelasalidadelsistema,yX(s) = L[x(t)]eslatransformadadelaentrada.En terminos de circuitos electricos se denomina funcion de transferenciaalatransformadadelarespuestasobrelatransformadadelaexcitaci on,cuandotodosloselementosinductivosycapacitivosdel circuitoestande-senergizados.Si analizamosporejemploel circuitoRLseriedelapagina109, dondedenimos la tension vin(t) como excitaci on y la corriente i(t) como respuesta,lafunciondetransferenciaesH(s) =I(s)Vin(s)=1R +sL(4.25)112 CAPITULO4. TRANSFORMADADELAPLACEPodemoscambiarel puntodevistadelaentradaysalidadeestecir-cuito,pensandoalRLcomounacargaporlaquecirculaunacorrientei(t)provocandounacadadetensionensusbornesvcarga=vincomorespues-ta. Enestecasolafunciondetransferenciaserael cocienteentrelaVin(s)(respuesta)ylaI(s)(excitaci on).H(s) =Vin(s)I(s)= R +sL (4.26)Lafunciondetransferenciadenidacomoel cocientedelas transfor-madas de unatensionsobre unacorriente comolade laec. (4.26) se lallamaimpedanciaZ(s) =V (s)I(s)(4.27)DeestaformasedenelaimpedanciadecadaunodeloselementosR,LyC,considerandolacadadetensionsobrecadaunodeellos.Paralaresistencia,lacadadetensioneneldominodesseraVR(s) = RI(s)ysuimpedancia(funciondetransferencia)R(s)R(s) =VR(s)I(s)= R (4.28)queeslaresistenciadesodeLaplace.Paraelinductor8VL(s) = sLI(s) Li(0)entonces,sufunciondetransferenciaseraL(s) =VL(s)I(s)= sL (4.29)queeslaimpedanciainductivades.Larelaci ontension-corrienteenuncapacitoresi(t) = CdvCdt(4.30)transformandoambosmiembrosI(s) = C [sVC(s) vC(0)]8Recordarquelafunciondetransferenciasedeneconcondicionesinicialesigualesacero.4.2. APLICACIONALARESOLUCIONDECIRCUITOS 113donde vC(0) es la tension inicial del capacitor, como para encontrar lafunciondetransferenciadebemoshacercerolascondicionesinicialestendremosC(s) =VC(s)I(s)=1sC(4.31)queeslaimpedanciacapacitivadesodeLaplace.Comopuedeobservarseenlaec. (4.26), laimpedanciatotal deLaplaceenun circuito serie es la suma de las impedancias de Laplace de cada elemento.4.2.2. CircuitoequivalentedeLaplaceSi setomanenconsideraci onlascondicionesinicialesysesuponenengeneral distintas de cero, se puede utilizar la representaci on de las respuestasde cada elemento para construir lo que se conoce como circuito equivalente deLaplace. Este circuito equivalente debe permitirnos obtener en forma directalaecuaci ondelarespuestaenlavariables,sintenerqueplantearprimerolaEc.Dif.yluegotransformarparapoderresolver.ParaencontraruncircuitoequivalenteserieRLCpartimosdelasuma-toriadelastensioneseneltiempoyluegotransformamosvin(t)=vR(t) +vL(t) +vC(t)Vin(s)=VR(s) +VL(s) +VC(s)como ya vimos, la transformada de las tensiones que caen en cada elementosonVR(s) = RI(s); VL(s) = sLI(s) Li(0); VC(s) =1sC[I(s) +CvC(0)]reemplazandoVin(s) = RI(s) + [sLI(s) Li(0)] +_1sCI(s) +vC(0)s_(4.32)Analizandolosdiferentesterminosdelsegundomiembrodelaec.(4.32)vemosqueenalgunosaparecelaI(s)multiplicadaporlaimpedanciadelelemento. Seg unladenicionde impedanciavistaantes, el productodelatransformadadelacorrienteporestafunciondetransferencianosdalatransformada de la tension a bornes del elemento. Es decir que R, sL y1sCsecomportancomocargasqueal seratravesadasporunacorrienteproducenunacadadetensionenel dominiodes. Estoes acordealovistoantescuandoseencontrolafunciondetransferenciadecadaelemento.Por otro lado aparecen las condiciones iniciales, tanto del inductor comodel capacitor, que nocontienenel factor I(s), ycomoestamos sumandotransformadasdetensionesestosterminosdebensertensionesens. Enel114 CAPITULO4. TRANSFORMADADELAPLACELRCvin(t)i(t)(a)sLR1sCVin(s)I(s)Li(0)vC(0)s(b)Figura4.5:CircuitoserieRLC(a),ysuequivalentedeLaplace(b)circuito equivalente se los representa con generadores cuyo valor depende delaenergainicialalmacenadaencadaelemento.Finalmente, agrupandogeneradores enunmiembroyterminos conelfactorI(s)enelotro,laecuaci ondecircuitoquedaVin(s) +Li(0) vC(0)s=RI(s) +sLI(s) +1sCI(s)Vin(s) +Li(0) vC(0)s=_R +sL +1sC_I(s)Vin(s) +Li(0) vC(0)s=Z(s)I(s)Nuevamente,Z(s)eslaimpedanciadesoimpedanciadeLaplace,formadaporlasumadecadaunadelasimpedanciasdesdelcircuito.Z(s) =_R +sL +1sC_(4.33)Elcircuitodelag.4.5bpermiteobtenerenformadirectalaec.(4.32)quees loquesebuscaba. Observesecomolapolaridaddelos generadores detensionquerepresentanlascondicionesinicialesdeterminanel signoenlaecuaci on.Deigual forma, hagamosahorael mismoan alisisconuncircuitoRLCparalelo. Partiendode lasumade las corrientes enel tiempoigual alacorrientetotalyluegotransformandotendremosiin(t)=iR(t) +iL(t) +iC(t)Iin(s)=IR(s) +IL(s) +IC(s)reemplazandoIR(s)=Vin(s)RIL(s)=1sL [Vin(s) +Li(0)]IC(s)=C [sVin(s) vC(0)]4.2. APLICACIONALARESOLUCIONDECIRCUITOS 115laecuaci ondecircuitoquedaIin(s)=Vin(s)R+1sL [Vin(s) +Li(0)] +C [sVin(s) vC(0)] (4.34)Iin(s)=Vin(s)_1R+1sL+sC_+i(0)sCvC(0)Iin(s)=Vin(s)1R+Vin(s)1sL+i(0)s+Vin(s) sC CvC(0) (4.35)Comoestamossumadocorrientes, losterminosconel factorVin(s)sonlasadmitanciasdeLaplaceylosdemassonfuentesdecorrientesquedependendelosvaloresinicialesdeenergaalmacenadaeninductoresycapacitores.Laec.(4.35)puedeobtenerseenformadirectadelcircuitodelag.4.6bL R Cvin(t)iin(t)(a)sL R1sCVin(s)Iin(s)i(0)sCvC(0)(b)Figura4.6:CircuitoparaleloRLC(a),ysuequivalentedeLaplace(b)utilizandogeneradoresdecorrientepararepresentarlascondicionesinicialesAgrupandocargasyfuentestenemosIin(s) i(0)s+CvC(0)=Vin(s)_1R+1sL+sC_(4.36)Iin(s) i(0)s+CvC(0)=Vin(s)1Z(s)esdecirquelaimpedanciatotaldesenunRLCparaleloes1Z(s)=1R+1sL+sCZ(s)=11R+1sL+sCSi enlugarderepresentarlascondicionesinicialescongeneradoresdecorrientequeremos representarlas por fuentes detensioncomosehizoenel circuitoequivalenteseriepodemosreescribirlaec. (4.34)delasiguienteformaIin(s) =Vin(s)R+1sL [Vin(s) +Li(0)] +sC_Vin(s) vC(0)s_(4.37)dondevemos quelas condicionesiniciales sonahoratensionesquesesumano restan a la Vin(s) para dar la tension aplicada VL(s) y VC(s) a los elemen-tossLy1sCrespectivamente, enel circuitodelag. 4.7bserepresentalaec.(4.37).116 CAPITULO4. TRANSFORMADADELAPLACEEs decir que en el circuito equivalente paralelo de Laplace cada elementoalmacenadordeenergatendr aasociadoenseriealmismo,ungeneradordetensionigualaldecadaelementodelcircuitoequivalenteserie(g.4.5).L R Cvin(t)iin(t)(a)sLR1sCVin(s)Iin(s)Li(0)vC(0)s(b)Figura4.7:CircuitoparaleloRLC(a),ysuequivalentedeLaplace(b)utilizandogeneradoresdetensi onpararepresentarlascondicionesinicialesComoreglageneral podemos decir quelarepresentaci ondecadaele-mentoenel circuitoequivalentedeLaplaceestaradadaporsufunciondetransferenciam asungeneradordetensionasociadoal elementoquerepre-sente su condici on inicial. Si recorremos la malla en el sentido de circulaci onde la corriente, en un inductor este generador debe ser una subida de tensionyenuncapacitorunacadadetension.4.2.3. TeoremadelvalorinicialEl teoremadel valorinicial permiteconocerel valordeiniciodelare-spuestaeneldominiodeltiempo,estandoa uneneldominiodelavariables. Esto es util a la hora de comprobar si la respuesta encontrada cumple conlascondicionesinicialesexigidasporelsistema,sinnecesidaddeantitrans-formarparalavericacion.Paraencontrar ladeniciondel teoremapartimos delatransformadadeladerivadadeunafuncionf(t). Seg unla(4.10)latransformadadeladerivadadeunafuncionf(t)esL_df(t)dt_ =_0df(t)dtestdt = sF(s) f(0)sitomamoslmiteaambosmiebrosparas elprimermiembrolms_0df(t)dtestdt =_0df(t)dtlmsestdt = 0dacero,esdecirquelms(sF(s) f(0))=0f(0)=lms(sF(s))4.2. APLICACIONALARESOLUCIONDECIRCUITOS 117Estaigualdadnosdicequeel valorqueseobtienedetomarel lmiteparasde latransformadade larespuesta, es el valor que tomadicharespuesta9ent = 0.Estoseconocecomoteoremadel valorinicial.4.2.4. TeoremadelvalornalIgualmente importante al valor inicial es el valor nal que tomaralarespuestaeneltiempo,estevalorpuedeconocersemedianteel teoremadelvalornal antesdepasarlarespuestaaldominodeltiempo.Si alatransformadadeladerivadadeunafuncionletomamoslmiteparas 0tenemoslms0_0df(t)dtestdt=lms0(sF(s) f(0))_0df(t)dtlms0est. .=1dt=lms0(sF(s) f(0))f(t)0= f() f(0)=lms0(sF(s) f(0))f()=lms0(sF(s)) (4.38)esdecirqueel valorquetomael lmiteparas 0delarespuestaeneldominodeLaplace, esel valorquetomaraenel dominiodel tiempoparat = .La ecuaci on (4.38)seconoce comoteoremadel valornal.Esteteoremaes aplicable s olo si todos los polos de la funcionF(s) tienenparte realnegativa,menosunoquepuedesercero.Lacausadeestarestriccionesquesi una funcion en el domino de Laplace tiene polos con parte real positiva (ononegativa)laantitransformadadeestafunciontieneuncomportamientooscilante o inestable en el tiempo, es decir que en t = no tomara un valorreal nito. El an alisisdeestabilidaddelossistemasesmateriadeestudiodeTeoradeloscircuitosII.Ejemplo4.11Encontrar el valor que toma la funcion sen(t) para t aplicandoelteoremadel valornal asutransformada.Latransformadadelsen(t)es,seg unlaec.(4.7)L[sen(t)u(t)] =(s2+2)=(s +j)(s j)perolosdospolosdeestafunciontienenparterealigualaceroRe {+j}=0Re {j}=09Siemprequef(t)seacontinuaent = 0118 CAPITULO4. TRANSFORMADADELAPLACEentoncessileaplicamoselTVF(TeoremadelValorFinal)aestafun-ci onobtendremosunresultadoerroneo,enefectolms0sF(s) =lms0s(s2+2)= 0 (4.39)nos dice que sen() = 0, lo cual no es verdadero porque el valor quetomalafuncionsenoidalenelinnitoestaindenido(entre1y 1).sen(t)t= indefinido = 04.3. AntitransformadaotransformadainversadeLaplaceLaaplicaciondelatransformadadeLaplaceenlaresoluci ondeecua-ciones diferenciales (odesistemas cuyas respuestas seexpresenmedianteecuacionesdiferenciales)secompletacuandoluegodeobtenidalarespues-taenel dominiodelavariablesseobtienelarespuestaenel dominodeltiempo. Estoesposiblegraciasalapropiedaddeunicidadquetienees-tatransformacion, lacual nosaseguraqueexisteuna unicafuncioneneltiempocuyatransformadacoincideconnuestrarespuestaeneldominiodes.LaoperacionquellevaF(s)af(t)sellamaantitransformadaotrans-formadainversadeLaplaceysedenecomo10f(t) = L1[F(s)] =12j_jjF(s) estds (4.40)perocomoestaintegral esengeneral dedifcil resoluci on, latransformadainversade unafuncionF(s) se encuentrasiempre buscandounafuncionf(t)candidata, cuyatransformadaseaF(s). Parafacilitarlabusquedadeesa funcion f(t) se puede descomponer la funcion original F(s) en una sumadefuncionesm assencillasyluegoaplicarlapropiedaddelinealidad. Esdecirf(t)= L1[F(s)]f1(t) +f2(t) +f3(t)= L1[F1(s) +F2(s) +F3(s)]dondeF(s)=F1(s) + F2(s) + F3(s)yf(t)=f1(t) + f2(t) + f3(t). Estasfunciones sencillas F1(s),F2(s),F3(s) deben ser adem as conocidas transfor-madasdemodotal quepuedanasociarsefacilmenteasusfuncionescorre-spondienteseneltiempo.10SiemprequeF(s)notengasingularidadesconpartereal positiva, si lastienedebeelegirse un camino de integracion tal que contenga tambien estas singularidades con parterealpositiva,peronosoncasosqueseencuentrenenlossistemasqueaqusetratan4.3. ANTITRANSFORMADAOTRANSFORMADAINVERSADE LAPLACE1194.3.1. DesarrolloenfraccionesparcialesUnafuncioneneldominiodelavariablesquesatisfacelmsF(s) = 0 (4.41)siseescribecomoF(s) =P(s)Q(s),entoncessepuedeasegurarqueelgradodeP(s)essiempremenoraldeQ(s).El metododeexpansionenfraccionessimplespermiteexpandirunco-cientedepolin omiosenunasumadefraccionesconunaconstanteadeter-minarcomonumeradoryunarazdel polinomioQ(s)comodenominador.LasfraccionessimplespropuestasdependendeltipoderaicesdeQ(s).Raicessimples. SeaQ(s) =(s + 1)(s + 2) (s + n)entoncesF(s)puedeescribirseF(s) =P(s)Q(s)=A1(s +1)+A2(s +2)+ +An(s +n)Paraencontrar las constantes semultiplicaambos miembros por larazdenominadorysetomalmiteparasquetiendeadicharaz.Porejemplolms1_(s +1)P(s)Q(s)_= lms1_A1 + (s +1)A2(s +2)+ + (s +1)An(s +n)_lms1_(s +1)P(s)Q(s)_=A1Engeneral,cualquierconstantei -esimapuedesercalculadaAi= lmsi_(s +i)P(s)Q(s)_(4.42)ylafuncionf(t)seraf(t) =n

i=1Aieit(4.43)Raicesmultiples. SeaQ(s) = (s +)n,entoncesF(s)puedeescribirseF(s) =P(s)Q(s)=A1(s +)+A2(s +)2+ +An(s +)nParaencontrarlaconstanteAnsemultiplicaambosmiembrosporeldenominadordeF(s)ysetomalmiteparas lms_(s +)nP(s)Q(s)_= lms_A1(s +)n1+A2(s +)n2+ +An1(s +) +Anlms_(s +)nP(s)Q(s)_=An120 CAPITULO4. TRANSFORMADADELAPLACEAhora para hallar An1 se toma la derivada respecto a s de (s+)nP(s)Q(s)yluegonuevamentelmiteparas lms_dds_(s +)nP(s)Q(s)__= lms_(n 1)A1(s +)n2+ (n 2)A2(s +)n3+ +lms_dds_(s +)nP(s)Q(s)__=An1Engeneral, paraencontrar laconstante Anjse tomael lmite deladerivadaj -esimade(s + )nP(s)Q(s)paras ysedivideporelfactorialdejAnj= lms_1j!d(j)ds_(s +)nP(s)Q(s)__ylafuncionf(t)seraf(t) =n

i=1Aiti1et(4.44)Raicescomplejas. Si bien las raices complejas pueden ser calculadas seg unseansimplesom ultiplescomosevi oenlospuntosanteriores,esposi-blesimplicarlasoperacionesdeantitransformaci onsi seobservalosiguiente:SeaQ(s) =s2+ps+q, conraices complejas conjugadas (s12= j)entonceslaexpansionenfraccionessimplesseraF(s) =P(s)Q(s)=A(s + +j)+A(s + j)(4.45)dondeAyAsonconstantescomplejasyAesel conjugadodeA.Seg un(4.43)laf(t)seraentoncesunafuncioncompleja,laquemedi-antelaigualdaddeEulerpodraserexpresadacomounafuncionrealenterminosdesenosycosenos. Porejemplosi sedeseaobtenerunarespuestareal enterminosdeun unicocosenosepuedeantitransfor-maryponerAenformapolarA= |A|ej,