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Teoria do Momento Linear

•O rotor do helicóptero é responsável por


•O rotor do helicóptero é responsável por

três funções básicas:

•Geração da sustentação

•Geração da força propulsiva•Geração da força propulsiva

•Geração das forças para controlar a posição•Geração das forças para controlar a posição

e atitude

Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 1Teoria do momento linear - Pairar


• O helicóptero tem que operar sob vários


• O helicóptero tem que operar sob vários regimes de voo: – Pairar

– Subida (vertical)– Subida (vertical)

– Descida (vertical)

– Deslocamento para a frente (horizontal) – Deslocamento para a frente (horizontal)

– Deslocamento para trás (horizontal)

– Qualquer outro regime que é uma combinação – Qualquer outro regime que é uma combinação dos anteriores



• A grande vantagem (e objectivo) do helicóptero é


• A grande vantagem (e objectivo) do helicóptero é

a sua capacidade de pairar.

• A situação de pairar é também a mais simples dos• A situação de pairar é também a mais simples dos

todos o regimes de voo. Por esta razão deve ser a

mais fácil de modelar.mais fácil de modelar.

• Apesar de ser a mais simples, como vimos

anteriormente, continua a ser um regime muitoanteriormente, continua a ser um regime muito

complicado.



• Para o primeira abordagem realizar algumassimplificações e desenvolver um modelo simples


• Para o primeira abordagem realizar algumassimplificações e desenvolver um modelo simplescapaz de prever qual a potência necessária parauma determinada propulsão.uma determinada propulsão.

Teoria do momento LinearTeoria do momento Linear

• Foi desenvolvida pela primeira vez por Rankine(1895) para hélices marítimas e depoisgeneralizada e melhorada por outros autores.


generalizada e melhorada por outros autores.

PressupostosPressupostos

• Condições a pairar:• Condições a pairar:

– Não há velocidade horizontal

– Não há velocidade vertical– Não há velocidade vertical

– O escoamento é axisimétrico

– Há a esteira é limitada por uma fronteira. Fora dessa– Há a esteira é limitada por uma fronteira. Fora dessa

fronteira não há escoamento.

– As velocidades dentro da fronteira podem ter valores– As velocidades dentro da fronteira podem ter valores

bastantes elevados.


Pressupostos

• Para o desenvolvimento desta teoria apenas

Pressupostos

• Para o desenvolvimento desta teoria apenas

estamos interessados no balanço global da massa,

momento e energia.momento e energia.

• A teoria não entra em conta com os detalhes do

escoamento em volta das pás.escoamento em volta das pás.

• O resultado é uma boa representação do que

acontece a uma certa distância do rotor.acontece a uma certa distância do rotor.

• A teoria assume algumas simplificações.


Pressupostos

• O rotor é modelado como um disco actuador que

Pressupostos

• O rotor é modelado como um disco actuador que

fornece momento e energia ao escoamento.

• O escoamento é incompressível.• O escoamento é incompressível.

• O escoamento é estacionário, invíscido e

irrotacional.irrotacional.

• O escoamento é unidimensional, uniforme no

plano do rotor (disco actuador) e na esteira.plano do rotor (disco actuador) e na esteira.

• Não há rotação na esteira.


Representação e notaçãoRepresentação e notação


Conservação de massa

– Caudal mássico através da superfície de controlo (fronteira) 0:

– Não há escoamento através das fronteiras laterais. :

00 AVm cρ=

– Não há escoamento através das fronteiras laterais. :

0=⋅→

dsm– Caudal mássico através da superfície de controlo (fronteira) ∞:

0=⋅dsm

( ) 0mAwVAVm c =+== ∞∞∞∞ ρρ


Conservação de massa no plano do Conservação de massa no plano do

rotor

– Caudal mássico através da superfície de controlo no rotor 1:

( ) 11111 AvVAVm ic +== ρρ

– Caudal mássico através da superfície de controlo no rotor 2:

( ) 11111 AvVAVm ic +== ρρ

( ) 22222 AvVAVm ic +== ρρ

– Dado que as duas superfícies (A1=A2=A) são iguais:

vvvmm ==⇒=

( ) 22222 AvVAVm ic +== ρρ

– Não há nenhum salto de velocidade através do disco do rotor. vi (i induzida) é a velocidade induzida no disco do rotor.

iii vvvmm ==⇒= 2121


vi (i induzida) é a velocidade induzida no disco do rotor.

Condições a pairarCondições a pairar

• A pairar Vc→0 (c climb-subida):• A pairar Vc→0 (c climb-subida):

– A velocidade na superfície 0 é 0

– A velocidade no rotor é a velocidade induzida vi– A velocidade no rotor é a velocidade induzida vi

– A velocidade na esteira completamente desenvolvida é

a velocidade induzida na esteira wa velocidade induzida na esteira w


Equações de momento e energia

• A taxa de variação do momento linear é igual à força • A taxa de variação do momento linear é igual à força

aplicada:0−= wmT

• O trabalho produzido por unidade de tempo (potência)

pelo rotor é igual à taxa de variação da energiapelo rotor é igual à taxa de variação da energia

02

21 −= wmvT i

• Eliminando mT

hh vww

v 2=⇒= h hoover-pairar


hh vwv 22

=⇒= h hoover-pairar

Conservação de massa

• Na superfície de controlo 1: • Na superfície de controlo 1:

Avm hρ=1

• Na superfície de controlo ∞:

∞∞ = Awm ρ

• Como tem que haver conservação de massa:

∞∞ = Awm ρ

• Como tem que haver conservação de massa:

mmm == ∞1


Conservação de massaConservação de massa

== AwAvm ρρ = Av2ρ

• Então chegamos à relação:

∞== AwAvm h ρρ∞= Avh2ρ

• Então chegamos à relação:

AAAA212 =⇒= ∞∞

• Do nosso modelo simples chegamos às conclusões:

– A velocidade induzida na esteira desenvolvida é o dobroda velocidade induzida no rotor

2∞∞

da velocidade induzida no rotor

– A área da esteira desenvolvida é metade da área do rotor

– Na realidade AA 61.0=


– Na realidade AA 61.0=∞

Equação de BernoulliEquação de Bernoulli• Vamos considerar uma partícula cuja trajectória

vai da superfície 0 para a superfície ∞

• Podemos aplicar a equação de Bernoulli entre :

0

• Podemos aplicar a equação de Bernoulli entre :

– As superfícies 0 e 1,

– As superfícies 2 e ∞.v

– As superfícies 2 e ∞.

• Relembrar que assumimos o escoamento é

estacionário, irrotacional e invíscido

1

2

vh

( )1

∞ w

( )212

1hvpp ρ+=∞

∞ w 2

( ) ( )22

22

1

2

1wpvp h ρρ +=+ ∞


222

h ∞

Equação de BernoulliEquação de Bernoulli

• Da análise destas equações podemos concluir que: • Da análise destas equações podemos concluir que:

∞∞ >< pppp 21

pp∞

Disco∆p

v

p∞

Disco

w


Escoamento

p∞

Pressão Velocidade

w

Velocidade induzida no rotorVelocidade induzida no rotor

• Podemos calcular a velocidade induzida no rotor • Podemos calcular a velocidade induzida no rotor

em termos da propulsão T

( ) ( ) ( )222 111wpvpvpp ρρρ +=++= e( ) ( ) ( )22

2

2

12

1

2

1

2

1wpvpvpp hh ρρρ +=++= ∞∞

=−=∆ 12 ppp

e

=−=∆ 12 ppp

( ) ( ) ( ) =

−−

−+= ∞∞

222

2

1

2

1

2

1hh vpvwp ρρρ

222

( )22

1wρ=


( )2

wρ=

Velocidade induzida no rotorVelocidade induzida no rotor

• De onde obtemos:

( )21ρ=−=∆ ( )212

2

1wppp ρ=−=∆

( )1=⇒ T =∆pA ( )22

2

1hvA ρ

ρA

Tvh

2=


ρA2

Potencial idealPotencial ideal

• Potência consumida = taxa de variação da energia• Potência consumida = taxa de variação da energia

( ) ( ) hhI TvvTwwmwmP ===−= 22

1

2

10

2

1 2

• Então:

hhI222

TTP = I ideal

ρATPI

2= I ideal

• Ou em termos da velocidade induzida:

( ) 3222 AvvAvTvP ρρ ===


( ) 22 hhhhI AvvAvTvP ρρ ===

Carregamento de discoCarregamento de disco

• O carregamento de disco é definido como o rácio entre a propulsão e a área do disco:

• O carregamento de disco é definido como o rácio entre a propulsão e a área do disco:

A

TDL =

• A expressão da velocidade induzida no rotor pode ser expressa em termos do carregamento de disco:

A

ρρ 22

DL

A

Tvh ==

• Não esquecer que a pairar T=W

ρρ 22 Avh ==


• Não esquecer que a pairar T=W

Carregamento de potênciaCarregamento de potência

• O carregamento de potência é definido como:T

• O carregamento de potência é definido como:

• Relembrando que a velocidade induzida pode serP

TPL =

• Relembrando que a velocidade induzida pode ser

obtida de:( ) 1−

==⇒= PLP

vTvP

P

( ) 1−==⇒= PL

T

PvTvP hh

DL• Então pode-se escrever: ( ) 1

2

−== PL

DLvh

ρ


2ρ

Rácio da velocidade induzidaRácio da velocidade induzida

• A velocidade induzida pode ser escrita por:• A velocidade induzida pode ser escrita por:

tiphhh VRv λλ =Ω=

• λh é chamado o rácio da velocidade induzida

• Nos aparelhos de asa rotativa é convenção• Nos aparelhos de asa rotativa é convenção

adimensionalizar as velocidade pela velocidade da

ponta da pá a pairar.ponta da pá a pairar.


Coeficiente de PropulsãoCoeficiente de Propulsão

• Dado que pela convenção adimensionalizamos a• Dado que pela convenção adimensionalizamos a

velocidade com a velocidade da ponta da pá

podemos definir o coeficiente de propulsão:podemos definir o coeficiente de propulsão:

222 RA

T

AV

TC

tip

TΩ

==ρρ

• E o rácio da velocidade induzida pode ser

expressa por:

RAAVtip Ωρρ

expressa por:

==vhλ

( )==

1 TTTC


=Ω

=R

hhλ

( )=

Ω=

Ω 222 RAAR ρρ 2

TC

Coeficiente de PotênciaCoeficiente de Potência

PP• O coeficiente de potência do rotor é definido por:

333 RA

P

VA

PC

tip

PΩ

==ρρ

• O coeficiente de potência do rotor é definido por:

RAVA tip Ωρρ• Dado que a potência está relacionada com obinário por P=ΩQ e o coeficiente de binário é

322

QQCQ

Ω==

ρρ

binário por P=ΩQ e o coeficiente de binário édefinido por:

322 RARVAC

tip

QΩ

==ρρ

• Então concluímos que: CP=CQ


• Então concluímos que: CP=CQ

Coeficiente de potência e propulsãoCoeficiente de potência e propulsão

• Estes dois coeficientes podem ser relacionados• Estes dois coeficientes podem ser relacionados

através da teoria do momento linear.

⇒=TvP vT⇒= hTvP ==

33

tip

h

tip AV

Tv

VA

P

ρρ tip

h

tip V

v

AV

T2ρ

• Ou seja 23

TCCC == λ

tiptip tiptip

2

ThTP CC == λ


Eficiência Eficiência

• Todas as expressões anteriores foram calculadas• Todas as expressões anteriores foram calculadas

para um rotor ideal num escoamento ideal.

• Em 1940 Prewitt da Kellet Aircraft introduziu• Em 1940 Prewitt da Kellet Aircraft introduziu

uma expressão para o cálculo da eficiência do

rotor a que chamou “Figure of Merit” (FM)rotor a que chamou “Figure of Merit” (FM)

pairar para Ideal Potência=FM

pairar a consumida realmente Potência=FM


Eficiência Eficiência

• Na expressão anterior a potência ideal é calculada• Na expressão anterior a potência ideal é calculada

utilizando a teoria do momento linear:

CP3

P

T

meas

I

C

C

P

PFM

2

23

==

measPmeas CP 2


Eficiência

• Dado que o helicóptero passa uma parte

Eficiência

• Dado que o helicóptero passa uma parte

considerável das suas missões a pairar

normalmente os projectistas tentam optimizar onormalmente os projectistas tentam optimizar o

rotor para esta situação (FM~0.8).

• Um rotor com uma eficiência menor (FM~0.6)• Um rotor com uma eficiência menor (FM~0.6)

não é necessariamente um rotor pior. Pode

simplesmente ter sido optimizado para uma outrasimplesmente ter sido optimizado para uma outra

situação (por exemplo para uma velocidade

horizontal elevada).


horizontal elevada).

Efeitos não - ideaisEfeitos não - ideais

• Até agora considerámos uma situação ideal• Até agora considerámos uma situação ideal

• Não entrámos em conta com outras situações:

– Escoamento não uniforme– Escoamento não uniforme

– Perdas na ponta da pá

– Rotação no esteira

– Contracção da esteira não ideal

– Número finito de pás

• Podemos entrar em conta com cada um destesfactores o que nos permitirá calcular um valor depotência mais próximo da realidade.


potência mais próximo da realidade.


• Podemos corrigir o coeficiente de potência• Podemos corrigir o coeficiente de potência

utilizando um factor de correcção (factor de

potência induzida).23

Cpotência induzida).

2

23

TP

CC

iκ=

i de induzida

• Onde κ é o factor de potência induzida

2

• Onde κ é o factor de potência induzida

• O valor típico de κ é à volta de 1.15


• O valor típico de κ é à volta de 1.15


• Podemos adicionar a resistência aerodinâmica da • Podemos adicionar a resistência aerodinâmica da

pá:

– D (Drag) é a força de resistência por unidade de – D (Drag) é a força de resistência por unidade de

comprimento

– &b (N number b blades) é o número de pás– &b (N number b blades) é o número de pás

– y é a distância do elemento à cabeça do rotor

• A potência para vencer a resistência aerodinâmica• A potência para vencer a resistência aerodinâmica

é (profile power):

∫Ω=R

b dyDy&P0


∫Ω= b dyDy&P

0

0


• A resistência por unidade de comprimento pode• A resistência por unidade de comprimento pode

ser obtida a partir do coeficiente de resistência da

perfil da secção em causaperfil da secção em causa

( ) 02

2

1dCcyD Ω= ρ

• Assumimos que:

– C é independente de Re e de M

2

– Cd0 é independente de Re e de M

– A pá é rectangular



• Então a potência para vencer a resistência• Então a potência para vencer a resistência

aerodinâmica é (profile power):

431RCc&P Ω= ρ

• E o respectivo coeficiente :

40

30

8

1RCc&P dbΩ= ρ

• E o respectivo coeficiente :

1 cR& = 1 c& 1

08

10 d

bP C

A

cR&C

=

08

1d

b CR

c&

=

π 08

1dCσ=


8


• Na expressão anterior introduziu-se a solidez• Na expressão anterior introduziu-se a solidez

(solidity) do rotor :

c&cR&

=

=

R

c&

A

cR& bb

πσ

• Com valores típicos entre 0.07 e 0.12

RA π



• Então a potência real (actual) poder ser expressa • Então a potência real (actual) poder ser expressa

por:

0PPP CCCia+= 0

8

1

2

23

dT C

Cσκ +=

• Utilizando a expressão acima a eficiência do rotor

0PPP ia 082

d

• Utilizando a expressão acima a eficiência do rotor

vem:

33

+

= 0

8

1

22

23

23

dTT C

CCFM σκ


822

Perdas induzidas na ponta da páPerdas induzidas na ponta da pá

• Há uma parte da pájunto à ponta quejunto à ponta quenão produz tantasustentação devidoao escoamento que

R

ao escoamento que“escapa” da partesuperior para a parte

BR

superior para a parteinferior da pá.

• Podemos entrar em• Podemos entrar emconta com esteefeito utilizando um


efeito utilizando umraio menor BR


• O raio efectivo da pá Re que produz sustentaçãoé menor que o raio geométrico da pá R:

• O raio efectivo da pá Re que produz sustentaçãoé menor que o raio geométrico da pá R:

RRBRe <⋅=

• Onde B<1. A área efectiva do disco é:

RRBRe <⋅=

• Onde B<1. A área efectiva do disco é:

( ) ABRBRA ee222 === ππ

• Que é menor do que a área geométrica do rotorpor um factor de B2.


por um factor de B2.


• Há várias propostas para calcular o factor B:• Há várias propostas para calcular o factor B:

– Teoria de Prandtl

2

386.11 i

&B

λ

λ

+−=

– Podemos fazer a seguinte aproximação para rotores de

211

ib&B

λ+−=

– Podemos fazer a seguinte aproximação para rotores de

HelicópterosT

&

CB −=1

Dado que λh é pequeno e é relacionado, ao pairar, com CT:b&

B −=1

=λHelicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 38Teoria do momento linear - Pairar

2Th C=λ


• Há aproximações empíricas:c

• Há aproximações empíricas:

– Gessow & Meyers

c é a corda da ponta da pá R

cB

21−=

c é a corda da ponta da pá R2

( )c 7.01 τ+– Sissingh

( )R

cB r

5.1

7.011 0 τ+

−=

c0 é a corda da raiz e τr é o afilamento (rácio) da pá

R5.1


Coeficiente de carregamento da páCoeficiente de carregamento da pá

• O coeficiente de carregamento da pá é definido• O coeficiente de carregamento da pá é definido

por:

=σTC

( ) A

A

RA

T2

Ωρ ( )2RA

T

Ω=

ρ

– Onde Ab é a área das pás

=σ ( ) bARA

2Ωρ ( )2RAb Ω

=ρ

– Onde Ab é a área das pás

• O valor máximo realizável é cerca de 0.12

devido à ocorrência da entrada em perda da pá.devido à ocorrência da entrada em perda da pá.



• O carregamento de potência foi definido como:• O carregamento de potência foi definido como:

P

W

P

TPL ==

( )T

CR

C

Ω=

• Dado que

– T depende de (ΩR)2

PP ( ) PCRΩ

– T depende de (ΩR)2

– P depende de (ΩR)3

• Para maximizar PL →ΩR deve ser mínimo



• Substituindo as relações obtidas:• Substituindo as relações obtidas:

AT

T

T

P

ρ2

23

=A

T

ρ2=

ρ2

DL= hv= ( ) 1−

= PL

• Ou utilizando a teoria do momento linear

ATT ρ2=

Aρ2=

ρ2= hv= ( )= PL

• Ou utilizando a teoria do momento linear

modificada:PTP

T

P

A

T

T

P 0

2+=

ρκ


TAT 2ρ


• Podemos também escrever:• Podemos também escrever:

PCRP

Ω=

+Ω= PTCC

R 0κT

P

C

CR

T

PΩ=

+Ω=

T

PT

C

CCR 0

2κ

+

Ω=

82

023

dT CC

C

R σκ

+=82TC

κ



• De outro modo:• De outro modo:

DLDLP∝=

• Ou seja:

FMFMT∝=

ρ2

• Ou seja:

( ) FMactualPL ∝( )

DL

FMactualPL ∝


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