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UFESCC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos
Teoria dos Grafos
Maria Claudia Silva [email protected]
Cincia da ComputaoEngenharia de Computao
Mestrado em Informtica

Programa1.Conceitos Bsicos2.Grafos Eulerianos e Hamiltonianos3.Caminhos, Ciclos e Conectividade4.rvores5.Representao matricial de grafos6.Conjuntos de Corte7.Colorao de grafos8. Cobertura de Vrtices e Arestas9. Matching10.Conjuntos Independentes11.Grafos Planares12.Grafos Direcionados13.Alguns Problemas Famosos em Grafos

Motivao
Por que estudar grafos? Importante ferramenta matemtica com
aplicao em diversas reas do conhecimento
Utilizados na definio e/ou resoluo de problemas
Existem centenas de problemas computacionais que empregam grafos com sucesso.

Primeiras motivaes da rea...
Knigsberg Bridge Problem
Duas ilhas C e D, existentes no rio Pregel em Knigsberg (Rssia), foram ligadas s margens do rio (A e B) atravs de 7 pontes. possvel iniciar uma caminhada a partir de um dos blocos de terra (A, B, C ou D), passar por cada uma das pontes e voltar ao ponto de partida sem nadar pelo rio?

As pontes de Knigsberg
A
B
CD

O problema das 7 pontes 1736: Euler foi o primeiro a representar esse
problema usando grafos e provou que uma soluo para o mesmo no existe!
A
B
C D

1847: G.R.Kirchnoff desenvolveu a teoria de rvores para trabalhar com aplicaes em circuitos eltricos.
1852:F. Guthrie apresentou informalmente o problema das 4 cores: So suficientes apenas 4 cores para colorir qualquer mapa em superfcie plana, de maneira que regies fronteirias recebam cores distintas.

1878: Cayley apresentou o problema para o London Mathematical
1879: Kempe publica uma prova incorreta 1976: Appel & Haken - execuo de
1200 horas de CPU do computador CDC6700, testando inmeras configuraes.
1977: Appel & Haken provaram a conjectura, usando induo matemtica

1859: Sir W.R. Hamilton inventou um jogo que consistia em um dodecaedro com 12 faces e 20 vrtices, com cada face sendo um pentgono regular e trs arestas se encontrando em cada vrtice e os vrtices foram rotulados com nomes de 20 cidades importantes. O objetivo do jogo achar uma rota pelas arestas do dodecaedro passando por cada vrtice apenas uma vez.

Ciclo Hamiltoniano A soluo para esse
problema especfico fcil de se obter. No entanto, ainda no se tem uma condio necessria e suficiente para se verificar a existncia de um ciclo hamiltoniano em um grafo arbitrrio
BarcelonaParisLondres
Madri
Viena
Nice
RomaVeneza
Praga
Edinburgo

Caminho e Ciclo Hamiltoniano

Depois desta poca pouca coisa foi investigada em teoria dos grafos por quase um sculo.
O interesse ressurgiu na dcada de 20 com os estudos de D. Knig que se transformaram em um livro, publicado em 1936.

A importncia do modelo

Utilities ProblemConsidere 3 casas (C1, C2 e C3), cada
uma com trs utilidades: gua (A), gs (G) eeletricidade (E). As utilidades esto conectadas
s casas por meio de fios e canos.
Considerando que todos os fiose canos esto no mesmo plano, possvel fazer as instalaes
sem cruz-los?

Seating Problem
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1
1 3 5 2 7 4 9 6 8 1
1 5 7 3 9 2 8 4 6 1
1 7 9 5 8 3 6 2 4 1
Nove membros de um clube se encontram diariamente para almoar e se sentam em volta de uma mesa redonda. A cada dia, cada membro do clube quer se sentar ao lado de um colega diferente. Quantos dias so necessrios para dispor arranjos distintos de pessoas?
1
2
3
4
56
7
8
9

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 1
1 3 5 7 9 2 4 6 8 1
1 4 7 2 5 8 3 9 6 1
1 5 9 4 8 2 6 3 7 1
Nove membros de um clube se encontram diariamente para almoar e se sentam em volta de uma mesa redonda. A cada dia, cada membro do clube quer se sentar ao lado de um colega diferente. Quantos dias so necessrios para dispor arranjos distintos de pessoas?
Seating Problem

Conceitos Bsicos

Conceitos Bsicos
O que um grafo?G=(V, E)
V = {v1, ..., vn} E = {e1, ..., em}
vrtices arestas
ek = {vi,vj}, k = 1,...,m, i,j = 1,..., n
vi e vj so ditos extremos de ek

ExemploG = (V, E)
V = {a,b,c,d,e}E = {{a,b},{a,c},{b,c},{b,d},{c,d},{c,e}} = { e1, e2, e4, e5, e7, e9}
a
e
b c
d
G = (V, E)
V = {a,b,c,d,e}E = {{a,b},{a,c},{b,b},{b,c},{b,d},{c,d},{c,d},{c,d},{c,e}} = { e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, e8, e9}
Grafo simples
Multigrafo
e1 e2
e3
e4
e5
e6e7e8 e9

Conceitos
Uma aresta do tipo {vi,vi} denominada lao. A aresta e3 do exemplo anterior um lao.
Arestas que possuem os mesmos vrtices extremos so ditas paralelas. As arestas e6, e7 e e8 do exemplo anterior so
paralelas. Um grafo que possui arestas paralelas
denominado multigrafo. Um grafo sem laos nem arestas paralelas
denominado grafo simples.

Conceitos
Os extremos de uma aresta so ditos incidentes com a aresta, e vice-versa.
u v
e
u e v so incidentes a e e incidente a u e a v

Conceitos
Dois vrtices que so incidentes a uma mesma aresta so ditos adjacentes.
Duas arestas que so incidentes a um mesmo vrtice so ditas adjacentes.
u v
eu e v so adjacentes
e1 e e2 so adjacentes
ue2
e1

Observao
O conceito de incidncia ou adjacncia
importante para a representao
da estrutura de um grafo como um diagrama

Conceitos
O nmero de vrtices de um grafo G denotado por n = |V|. O valor n tambm conhecido como ordem de G
O nmero de arestas de um grafo denotado por m = |E|
Se n e m so finitos, o grafo finito. Caso contrrio dito infinito. Exemplo de grafo infinito: malhas

Conceitos
O nmero de arestas incidentes a um vrtice v denominado grau(v) e representado por d(v).
Grau tambm conhecido como valncia.
a
e
b c
d
d(a) = 3d(b) = 5d(c) = 4d(d) = 2d(e) = 2

Conceitos Vrtice isolado o vrtice que no possui arestas
incidentes (grau nulo) Vrtice folha ou terminal o vrtice que possui grau
1 Vizinhos de um vrtice so os vrtices adjacentes a
ele.
b
a
cd
e
d um vrtice folha e e um vrtice isoladob e c so vizinhos de a

Conceitos
Pares de vrtices (ou de arestas) no adjacentes so denominadas independentes.
Um conjunto de vrtices (ou arestas) independente se nenhum par de seus elementos adjacente.

Exemplo
a
b c
d
f
ege10
e1 e2e3
e4 e5
e6e7
e8e9
e1 e e5 so independentesa e d so independentes{b,e,g} um conjunto independente{e1, e5 } um conjunto independente

Teorema 1:
Seja G = (V,E) um grafo simples com n vrtices e m arestas. Ento
d(v) = 2mv V
u v
e
Prova:
A aresta e incidente aos vrtices u e v contabilizada no cmputo do grau de u etambm de v.

Corolrio 1:
O nmero de vrtices de grau mpar, de um grafo G, par.
Prova:V
VI VP
d(v) = d(v) + d(v) = 2mv V v VI v VP
par par par

Exerccios
Mostre que o grau mximo de qualquer vrtice em um grafo simples com n vrtices n-1.
Mostre que o nmero mximo de arestas em um grafo simples com n vrtices
n(n-1)/2

Exerccios
Construa um grafo com 10 vrtices, que possua a seguinte seqncia de graus: {1,1,1,3,3,3,4,6,7,9}, ou mostre ser impossvel constru-lo.
Slide 1Slide 2Slide 3Slide 4Slide 5Slide 6Slide 7Slide 8Slide 9Slide 10Slide 11Slide 12Slide 13Slide 14Slide 15Slide 16Slide 17Slide 18Slide 19Slide 20Slide 21Slide 22Slide 23Slide 24Slide 25Slide 26Slide 27Slide 28Slide 29Slide 30Slide 31Slide 32

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