Teoria dos Grafos e Coloração de Mapas

Rafaela G. da Motta Camicia1Amarildo de Vicente2

1Unioeste – Universidade Estadual do Oeste do Paraná Caixa Postal 711 – 85.819-110 – Cascavel – PR – Brasil

rafa_camicia@hotmail.com

2Colegiado do Curso de Matemática – Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas da Universidade Estadual do Oeste do Paraná

Caixa Postal 711 – 85.819-110 – Cascavel – PR – Brasilamarildo@unioeste.br

Resumo. Neste trabalho está sendo apresentado um problema relacionado à coloração de um mapa. Em geral os mapas que se encontram no mercado são coloridos com muitas cores, o que pode gerar custos desnecessários. Para o mapa em questão, mostrou-se empregando a teoria de coloração e um algoritmo computacional que o número de cores que era sete pode ser reduzido para quatro.

Palavras chaves. Grafos, coloração, mapas.

1. Introdução

De acordo com Boaventura (2003), o desenvolvimento de uma teoria matemática das relações entre elementos e conjuntos discretos é uma conquista bastante recente. A topologia, “geometria de posição”, como já era chamada por Leibnitz, tem como objetivo o estudo das propriedades geométricas não afetadas por mudanças de forma. O estudo da teoria do nós e das superfícies proporciona questões de difícil resolução, e mesmo numa abordagem elementar acaba exigindo um nível de abstração elevado.

Segundo Rabuske (1992), a teoria dos grafos proporciona ferramentas simples, acessíveis e poderosas para a construção de modelos e resolução de problemas relacionados com arranjos de objetos discretos. Pode-se dizer que a teoria dos grafos é um dos mais simples e mais elegantes assuntos da matemática moderna, possuindo uma grande variedade de aplicações. Baseada na simples ideia de pontos interligados por linhas, a teoria dos grafos combina estes ingredientes básicos em um rico sortimento de formas e dota estas propriedades com características flexíveis, fazendo assim, com que esta teoria seja uma ferramenta útil para estudar vários tipos de sistemas.

A tecnologia atual possui um grande número de problemas que requerem a construção de sistemas complexos, devido à combinação de seus componentes. Estes problemas abrangem processos industriais, análise de caminho crítico, tática e logística, sistemas de computação, estudo de transmissões, escolha de rota ótima, fluxos de redes, genética, economia, estrutura social, jogos, física, química, tecnologia de computador, antropologia, linguística, etc (CONTE, 2002).

O grande impulso para o desenvolvimento da teoria dos grafos foi o problema de Euler, também chamado problema das sete pontes de Königsberg, constituído por ilhas ligadas às margens por seis pontes, além de uma sétima que interligava as duas ilhas (Figura1). Baseava-se no fato que nenhum dos costumeiros frequentadores do local era capaz de percorrer essas sete pontes sem passar mais de uma vez por alguma delas. Euler mostrou à Academia de S. Petesburgo, em 1735, a primeira demonstração da impossibilidade de resolução do referido problema, isto é, dada a disposição das pontes, era impossível percorrer todas elas passando uma única vez em cada ponte.

Figura 1. O problema das pontes de Königsberg

Boaventura (2003) afirma que o desenvolvimento da Teoria dos Grafos veio dar-se, sob o impulso das aplicações a problemas de otimização organizacional, dentro do conjunto de técnicas que forma hoje a pesquisa operacional, já na segunda metade do século XX. Pode-se ainda dizer que esse desenvolvimento ocorreu devido ao apareci-mento do computador, sem o qual a maioria das aplicações de grafos seria impossível.

Dada a abrangência do assunto, vamos trabalhar com o problema de coloração de mapas, um dos mais importantes já abordados pela teoria dos grafos. O que se observa nos mapas encontrados à venda no mercado é que a maioria deles tem uma grande quantidade de cores em sua coloração, ocasionando um desperdício na confecção desses mapas, já que para cada cor é necessário todo um trabalho de preparação do equipamento de impressão. Os mapas representados nas figuras 2 e 3 são exemplos deste fato. Eles foram produzidos por uma gráfica e se encontram a venda em papelarias. Neste trabalho será apresentado um algoritmo para colorir estes mapas usando um número menor de cores. As cores serão representadas por letras, sendo que cada letra representa uma cor.

Como será visto na seção seguinte, o problema das quatro cores trata da determinação do número mínimo de cores necessárias para colorir um mapa planar, de regiões reais ou imaginários, e o mesmo será apresentado adiante.

Figura 2. Mapa do Brasil, divisão política, colorido com 16 coresAdaptado de http://www.ibge.gov.br/ibgeteen/mapas/imagens/brasil_peq.gif

Figura 3. Microrregiões de SC coloridas com 23 coresAdaptado de www.inf.ufsc.br/.../problemas/sc-micropolar.gif

2. Fundamentação Teórica

Harary, (apud Boaventura, 2003), diz que a Teoria dos Grafos foi redescoberta muitas vezes, ou então, que problemas do interesse de diversas áreas foram estudados separadamente e mostraram características diferentes. Dentre as várias aplicações da Teoria dos Grafos destaca-se a coloração de mapas com o problema das quatro cores, o qual foi apresentado por Francis Guthrie a De Morgan em 1852, mas foi somente cem anos depois, em 1976, que se conseguiu provar que realmente a conjectura estava correta, obtendo-se o chamado Teorema das Quatro Cores, que afirma que quatro cores

são suficientes para colorir qualquer mapa planar.

Colorir um grafo G (V, E) é atribuir cores aos seus vértices de forma que vértices adjacentes recebam cores distintas. Simplesmente colorir um grafo é tarefa trivial, uma vez que pode-se imaginar distribuir uma cor para cada vértice. O problema da coloração realmente surge quando desejamos colorir o tal grafo utilizando o menor número possível de cores.

A coloração em grafos é um problema de otimização combinatória, que surge em muitas situações reais, tais como gerência, alocação de recursos e atribuições de frequências, podem ser modeladas. Dessa forma, Gardin e Hernanes (2008) propuseram a coloração em grafos fuzzy, com o Problema do Semáforo, que consiste em como programar um sistema de semáforos para controlar o tráfego de veículos em cruzamentos entre ruas de modo a evitar colisões, onde definem-se quais fluxos de veículos não são permitidos simultaneamente e o objetivo é planejar o controle dos semáforos com o menor número de fases possível.

Gardin e Hernanes descrevem ainda o problema de distribuição de exames, que consiste em elaborar o calendário de exames de um conjunto de disciplinas, dentro de um determinado tempo, quando um aluno não poderá fazer mais do que um exame simultaneamente. Neste caso as disciplinas são os vértices do grafo, as arestas unem as disciplinas que possuem alunos em comum nos exames e as cores representam os conjuntos de disciplinas que poderão ter exames juntos.

É comum na literatura o estudo de coloração em grafos para solução de problemas de otimização combinatória. Esses tipos de problemas podem ser representados como grafos não orientados, onde os vértices representam recursos que devem ser gerenciados e as arestas, o grau de incompatibilidade entre estes recursos.

Os problemas que se enquadram nessa categoria podem ser modelados e solucionados utilizando-se um grafo não orientado e em seguida determinando sua k-coloração. Bascariol et al (2007) trata de conceitos, definições, e dentre as aplicações da coloração de grafos cita a utilização de recursos, alocação de registradores, distribuição de freqüência e a coloração de mapas, descrevendo cada situação problema e uma maneira de resolvê-las.

A coloração de mapas vem sendo alvo de muitas pesquisas já que os mapas encontrados no mercado, tem a necessidade de apresentar suas regiões com cores diferentes em regiões vizinhas para uma melhor visualização, observa-se uma grande quantidade de cores que vem sendo empregada para colorir estes mapas, ocorrendo um desperdício de material. O que se propõe é um algoritmo que possa resolver esse problema, sendo possível determinar um número reduzido de cores necessárias para colorir um mapa. Este tipo de problema se enquadra na coloração de grafos.

Colorir os vértices de um grafo utilizando um número mínimo de cores, em geral é uma tarefa de difícil obtenção, pois requer um número elevado de operações. O método da força bruta, usando todas as combinações possíveis, pode ser aplicado, como em qualquer problema combinatorial, mas torna-se inviável computacionalmente à medida que cresce o número de vértices. Existem vários algoritmos que empregam heurísticas em sua estrutura, que consegue resolver problemas desta natureza em um tempo viável e que fornecem, em geral, boas soluções.

2.1 Tipos de Coloração

Coloração de grafos consiste em atribuir cores a partes pertencentes a eles. Essas partes podem ser arestas, vértices, faces e caminhos.

O mais comum é a coloração de vértices, pois todos os outros componentes de um grafo podem ser expressos em forma de vértices.

2.1.1 Coloração de Face

Na coloração de faces atribui-se uma cor a cada face do grafo, onde faces adjacentes devem possuir cores diferentes.

2.1.2 Coloração de Caminho

A coloração de caminhos consiste em atribuir cores a caminhos do grafo, onde caminhos com cores iguais não podem compartilhar a mesma aresta. Esse tipo de coloração é utilizada quando vários caminhos passam por uma mesma aresta, e cada um deles recebe uma cor.

2.1.3 Coloração de Arestas

A coloração de arestas consiste em atribuir uma cor a cada aresta do grafo, onde não é permitido haver mais de uma aresta da mesma cor partindo de um vértice, usando o menor número de cores possíveis.

A coloração de arestas pode também ser descrita como coloração de vértices. Para tal, deve-se construir um grafo linear do grafo, onde a cada aresta do grafo é atribuído um vértice.

Figura 4. Grafo com coloração de arestas

Figura 5. Grafo e seu respectivo grafo linear

2.1.4 Coloração de Vértices

Se não for especificado o tipo de coloração subentende-se como sendo uma coloração de vértices, pois este é o método mais importante. Como para os processos anteriores, neste caso atribui-se uma cor a cada vértice, de modo que vértices adjacentes tenham cores diferentes. Esta coloração deve ser feita de maneira a utilizar o mínimo de cores.

Figura 6. Grafo com coloração de vértices de 4 cores

2.2 Número Cromático

Um grafo pode ser apropriadamente colorido de maneiras diferentes, como na figura abaixo.

(a) (b)

Figura 7. Coloração de vértices do Grafo

Uma coloração de interesse é aquela em que se utiliza um número mínimo de cores. Um grafo G, que exige k cores para pintar seus vértices, e não menos, é chamado um grafo k-cromático, e o número k é chamado número cromático de G. Na Figura 7, o número mínimo de cores é 3, portanto o grafo é 3-cromático.

2.3 Teorema das Quatro Cores

A história do problema das quatro cores começou em 1852, quando Francis Guthrie, aluno de Augustus de Morgan, tentava colorir o mapa da Inglaterra com cores diferentes de maneiras que não houvesse regiões vizinhas com a mesma cor. Observou que apenas quatro cores seriam suficientes, e apresentou o problema a De Morgan. Surgindo então o Problema das Quatro Cores.

Este Teorema foi provado inicialmente em 1976, por Kenneth Appel e Wolfgang

Haken na Universidade de Illinois, com o auxílio de um computador.

O Teorema das Quatro Cores afirma que: Qualquer mapa planar pode ser colorido com apenas quatro cores.

3. Descrição e resolução do Problema

Considere o mapa da Figura 8, que representa uma parte da região sudoeste do estado do Paraná composta pelos municípios de Capanema, Planalto, Pérola do Oeste, Bela Vista da Caroba, Ampére, Pranchita, Santo Antônio do Sudoeste, Pinhal de São Bento, Bom Jesus do Sul, Barracão, Flor da Serra do Sul, Salgado Filho, Realeza, Manfrinópolis, Santa Isabel do Oeste, Salto do Lontra, Nova Prata do Iguaçu, Boa Esperança do Iguaçu, Dois Vizinhos, Enéas Marques, Nova Esperança do Sudoeste e Francisco Beltrão, totalizando vinte e duas cidades. No mapa original (Estado do Paraná Político / 2002) estas regiões estão coloridas com sete cores e o que se espera é colorir estas mesmas regiões com um número menor de cores.

Figura 8. Mapa com parte da região sudoeste Estado do Paraná

Na resolução será empregado um algoritmo heurístico, apresentado em Rabuske (1992). Este algoritmo, que está descrito a seguir, garante uma boa solução, mas não

necessariamente a melhor.

3.1 Algoritmo

1. Faça uma lista V com os vértices do grafo G que representa o mapa, em ordem de grau. Em caso de empate escolha-os de modo arbitrário.

2. i ← 0.

3. Se V ≠ ∅ vá ao passo 4 senão vá ao passo 8.

4.i ← i + 1

5. Crie um conjunto Ti contendo o primeiro vértice vj de V.

6. Enquanto existir na fila algum vértice vk não adjacente a qualquer vértice pertencente a Ti faça

7.Coloque vk em Ti.

8. Retire vk de V.

7. Volte ao passo 3.

8. Fim. A saída são os conjuntos T1, T2, ..., Tk, que devem ser coloridos com cores distintas.

Para fazer a aplicação do algoritmo devemos fazer uma representação do mapa por meio de um grafo (Figura 9). Esta pode ser feita através de um grafo dual, onde os vértices vão ser as regiões e existe um arco entre dois vértices se e só se as duas regiões têm fronteiras comuns. Agora o problema de coloração do mapa é equivalente a colorir cada vértice do grafo dual, de forma que dois vértices adjacentes tenham cores diferentes.

Figura 9. Representação do mapa em forma de grafo

Para este grafo a matriz de adjacência é:

A= [2 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 2 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 2 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 1 2 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 2 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 11 1 0 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 00 1 0 1 1 1 0 0 1 2 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 00 0 0 0 0 1 0 0 0 1 2 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 1 10 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 2 1 0 0 1 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 2 1 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1 0 1 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 1 1 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 1 1 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 2 1 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 2 10 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 2

]A implementação do Algoritmo foi feita na linguagem Pascal, e foi empregada

para resolver o problema.

Executando o programa, obtém-se a seguinte solução:

Listas de vértices:

V= {v10 ,v12 ,v18 ,v21 ,v2 ,v6 ,v9 ,v11 ,v14 ,v19 ,v4 ,v5 ,v13 ,v15 ,v20 ,v22 ,v3 ,v7 ,v8 ,v16 ,v17 ,v1}T 1={v10 ,v12 ,v18 ,v3 ,v1}T 2={v21 ,v2 ,v6 ,v14 ,v8 ,v16 }T 3={v9 ,v11,v19 ,v4 ,v22 ,v7 ,v17 }T 4={v5 ,v13 ,v15 ,v20 }

Cada lista de vértices equivale a uma cor, sendo que essas cores estão sendo representadas por letras, como segue:

A: Azul V: VerdeR: RosaC: Cinza

Figura 10. Mapa colorido

Note-se que no problema proposto (figura 8) o grafo possui 22 vértices e, por se tratar de um número pequeno, foi possível obter uma solução sem maiores dificuldades. Porém, ressalta-se a dificuldade computacional em se fazer este tipo de aplicação em grafos com muitos vértices, como seria o caso do estado do Paraná, que possui 399 municípios. Nesta situação teríamos uma matriz de adjacência de ordem 399x399, totalizando 159.201 (cento e cinquenta e nove mil duzentos e um) elementos.

4. Análise dos Resultados e Conclusões

Comparando os resultados com o mapa padrão pode-se observar que a quantidade de cores foi reduzida de sete para quatro. Este fato não diminuiu a qualidade da apresentação do mapa a certamente produz economia na sua produção. Conclui-se, portanto, que o algoritmo empregado teve êxito na resolução do problema proposto.

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LOUÇA JUNIOR, C. et al. Aplicação de uma heurística GRASP paralela ao problema da p- mediana. In: Anais do X ENCITA. 2004. Disponível em

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RABUSKE, M. A. Introdução à Teoria dos Grafos. Florianópolis: UFSC, 1992.184 p.

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6. Apêndice A

Conceitos Preliminares

Denomina-se grafo o conjunto G (V, E), onde V é um conjunto finito e não vazio e E um conjunto de pares ordenados, de elementos distintos de V.

Ou seja, um grafo G é definido como sendo um par ordenado (V, E), no qual V é um conjunto e E é uma relação binária sobre V. Os elementos de V são denominados vértices (pontos, nós ou nodos) e os pares ordenados de E são denominados arestas (linhas ou arcos) do grafo G (Figura 2). Diz-se que uma aresta é incidente sobre os nós que ela conecta. Dois vértices quaisquer que estejam conectados por uma aresta são chamados adjacentes. Também são chamadas de adjacentes duas arestas que se conectam a um mesmo vértice.

Figura 11. Grafo com 6 vértices e 7 arestas

Um arco conectando o vértice v com o vértice w será denotado pelo par não ordenado (v, w). Um grafo é dito orientado quando suas arestas possuem orientação ou direção, em um grafo não orientado, uma aresta ligando dois vértices v e w pode ser representada por (v, w) ou (w, v).

Um grafo é dito valorado quando atribui-se valores às suas arestas. A ordem de um grafo G é dada pela cardinalidade do conjunto de vértices. Em um grafo não orientado, o grau de um vértice é o número de arcos que incidem sobre ele. No caso do grafo ser dirigido, fala-se em grau de entrada e grau de saída. O grau de entrada é o número de arestas que chegam a ele, e o grau e saída é o número de arestas que saem dele.

Um vértice que não possui aresta incidente é dito isolado ou vértice de grau zero, e um vértice de grau 1 é dito pendente.

Um laço é uma aresta ou arco do tipo a = (v, v), ou seja, que relaciona um vértice a ele próprio.

Um grafo é regular de grau k, ou k-regular, quando todos os seus vértices têm o mesmo grau k.

Um grafo é dito conexo se for possível visitar qualquer vértice, partindo de um outro e passando por arestas, sendo que esta visita sucessiva é denominada caminho.

Um grafo é dito planar se existe alguma representação geométrica de G que possa ser desenhada em um plano, de modo que não exista cruzamento de arestas.

Caminho é qualquer seqüência de arestas onde o vértice final de uma aresta é o vértice inicial da próxima.

Matriz de Adjacência é uma matriz de ordem n, onde associa-se cada linha e coluna a um vértice, sendo n o número de vértices do grafo.

Os dados estruturais correspondem a valores nulos associados a ausência de ligações e valores não nulos, geralmente 1, quando o grafo for não valorado, nas posições (i,j) associados a presença de arcos, ou seja.

1, se existe a aresta i,j 0, se a aresta i,j não existe

ai,j=¿{}