Teoria Espectral em Espaços de Hilbert

Teoria Espectral em Espacos de Hilbert

Alex Farah Pereira

Departamento de AnaliseInstituto de Matematica e Estatıstica

Universidade Federal Fluminense

22 de setembro de 2016

Alex Farah Pereira Departamento de Analise - IME

Espacos Vetoriais de Dimensao Finita

Sejam V um espaco vetorial (real ou complexo) de dimensao finita eT : V −→ V um operador linear.

Proposicao

T e diagonalizavel se, e somente se, V admite uma base formada porautovetores de T . Neste caso, a matriz de T nesta base e uma matrizdiagonal.

Proposicao

Se V e um espaco euclidiano, entao T e auto-adjunto se, e somente se,existe uma base ortonormal de V formada por autovetores de T .


Espacos Euclidianos

Seja E um espaco vetorial sobre K (real ou complexo). Um produtointerno em E e uma aplicacao

〈·, ·〉 : E × E −→ K

que satisfaz

(P1) 〈x1 + x2, y〉 = 〈x1, y〉+ 〈x2, y〉 ∀x1, x2, y ∈ E

(P2) 〈λx , y〉 = λ〈x , y〉 ∀x , y ∈ E , λ ∈ C(P3) 〈x , y〉 = 〈y , x〉 ∀x , y ∈ E

(P4) 〈x , x〉 > 0 ∀x 6= 0

O par (E , 〈·, ·〉) e chamado de espaco euclidiano.


Exemplos

Exemplo 1

Rn e um espaco euclidiano com

〈x , y〉 =n∑

j=0

xjyj

onde x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) ∈ Rn.

Exemplo 2

Cn e um espaco euclidiano com

〈x , y〉 =n∑

j=0

xjyj

onde x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) ∈ Cn.


Exemplos

Exemplo 3

`2 = {(xn)n ∈ C ;∑∞

n=0 |xn|2 <∞} e um espaco euclidiano com

〈x , y〉 =∞∑n=0

xjyj

onde x = (xn)n, y = (yn)n ∈ `2.

Exemplo 4

L2(X ,Σ, µ) e um espaco euclidiano com

〈f , g〉 =

∫X

f gdµ

onde f , g ∈ L2(X ,Σ, µ).


Espacos Normados

Uma norma em E e uma funcao ‖ · ‖ : E −→ R que satisfaz

(N1) ‖x‖ ≥ 0 ∀x ∈ E

(N2) ‖λx‖ = |λ|‖x‖ ∀x ∈ E ∀λ ∈ C(N3) ‖x + y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ ∀x , y ∈ E

(N4) ‖x‖ = 0⇔ x = 0

O par (E , ‖ · ‖) e chamado de espaco normado.

Todo espaco euclidiano e um espaco normado!

‖x‖ =√〈x , x〉, ∀x ∈ E


Espacos de Hilbert

Um espaco de Hilbert e um espaco de Banach com a norma induzidapelo produto interno. Os espacos

Rn;

Cn;

`2 = {(xn)n ∈ C ;∑∞

n=0 |xn|2 <∞};L2(X ,Σ, µ).

sao espacos de Hilbert com seus respectivos produtos internos.


Ortogonalidade

Sejam E um espaco com produto interno e A um subconjunto de E .Denominamos o subconjunto

A⊥ = {y ∈ E ; 〈x , y〉 = 0 para todo x ∈ A}

de complemento ortogonal.

Teorema

Sejam H um espaco de Hilbert e M um subespaco fechado de H. Entao

(a) H = M ⊕M⊥(x ∈ H ⇔ x = p + q com p ∈ M e q ∈ M⊥);

(b) Os operadores P(x) = p e Q(x) = q sao projecoes (lineares,contınuos e P2 = P e Q2 = Q).

‖x − p‖ = dist(x ,M) = infy∈M‖x − y‖;

p e chamado de projecao ortogonal de x sobre M;

P e chamado de projecao ortogonal de H sobre M.


Conjuntos Ortonormais

Seja E um espaco com produto interno. Um conjunto S ⊂ E e ditoortonormal quando para todos x , y ∈ S ,

〈x , y〉 =

{0, x 6= y ,1, x = y .

Um conjunto ortonormal S tal que S⊥ = {0} e chamado de sistemaortonormal completo.

Exemplos

A base canonica {e1, . . . , en} de Kn;

A base canonica {en ; n ∈ N} de `2.

Todo conjunto ortonormal em um espaco com produto interno elinearmente independente.



Proposicao

Sejam H um espaco de Hilbert e {x1, . . . , xn} um conjunto ortonomalfinito em H.

(a) Se M = [x1, . . . , xn] e x ∈ H, entao

‖x −n∑

i=1

〈x , xi 〉xi‖ = dist(x ,M).

(b) Para todo x ∈ H,∑n

i=1 |〈x , xi 〉|2 ≤ ‖x‖2.

Desigualdade de Bessel

Seja S = {xi ; i ∈ I} um conjunto ortonormal no espaco de Hilbert H.Entao, para todo x ∈ H, ∑

i∈J

|〈x , xi 〉|2 ≤ ‖x‖2,

onde J = {i ∈ I ; 〈x , xi 〉 6= 0}.Alex Farah Pereira Departamento de Analise - IME


Teorema

Seja S = {xi ; i ∈ I} um conjunto ortonormal no espaco de Hilbert H. Asseguintes afirmacoes sao equivalentes:

(a) Para cada x ∈ H, x =∑

i∈I 〈x , xi 〉xi .(b) S e um sistema ortonormal completo.

(c) [S ] = H.

(d) Para cada x ∈ H, ‖x‖2 =∑

i∈I |〈x , xi 〉|2. (Identidade de Parseval)

(e) Para todos x , y ∈ H, 〈x , y〉 =∑

i∈I 〈x , xi 〉〈y , xi 〉.


Processo de Ortogonalizacao

Sejam E um espaco com produto interno e (xn)n uma sequencia devetores linearmente independentes em E .

Processo de Ortogonalizacao de Gram-Schmidt

Existe uma sequencia ortonormal (en)n em E tal que para todo n ∈ N,

[x1, . . . , xn] = [e1, . . . , en].

Corolario

Existe uma sequencia ortonormal (en)n em E tal que

[xn ; n ∈ N] = [en ; n ∈ N].


Processo de Ortogonalizacao

Teorema

Um espaco de Hilbert H de dimensao infinita e separavel se, e somentese, existe em H um sistema ortonormal completo enumeravel.

Teorema de Riesz-Fischer

Todo espaco de Hilbert separavel de dimensao infinita e isometricamenteisomorfo a `2.

Teorema

Todo espaco de Hilbert contem sistemas ortonormais completos.


Teoria Espectral

Sejam V um espaco vetorial e T : V −→ V um operador linear.

λ ∈ K e um autovalor deT ⇔ existe x ∈ V ,v 6= 0; T (x) = λx ;

Vλ = {x ∈ V ; T (x) = λx} e dito autoespaco associado aoautovalor λ.

Sabemos que quando V tem dimensao finita:

λ e autovalor deT ⇔ ker(T − λI ) 6= {0} ⇔ T − λI nao e injetora

⇔ T − λI nao e bijetora⇔ (T − λI )−1 nao existe


Espectro de Operadores Contınuos

Sejam E um espaco normado e T ∈ L(E ,E ).

λ nao e autovalor ⇒ (T − λI )−1 e linear e injetora

(T − λI ) e sobrejetora? (T − λI )−1 e contınua?

λ e um valor regular de T quando (T − λI ) e bijetora e sua inversae contınua.

ρ(T ) e o conjunto dos valores regulares de T chamado de conjuntoresolvente de T .

σ(T ) = K− ρ(T ) e chamado de espectro de T .

E um espaco de Banach ⇒ ρ(T ) = {λ ∈ K ; (T − λI ) e bijetora}


Espectro de Operadores Contınuos

Exemplo

O operador T ∈ L(`2, `2) definido por

T ((an)n) = (0, a1, a2, . . .)

para todo (an)n ∈ `2 nao possui autovalores. Alem disso, T e injetoraporem nao e bijetora. Portanto 0 ∈ σ(T ) e nao e autovalor.

Teorema

Sejam E um espaco de Banach e T ∈ L(E ,E ). Entao o espectro de T eum compacto de K. Alem disso,

σ(T ) ⊂ {λ ∈ K ; |λ| ≤ ‖T‖}.


Operadores Compactos

Um operador T : E −→ F entre espacos normados e dito compactoquando satisfaz uma (e, portanto, todas) das afirmacoes a seguir:

T (BE ) e compacto em F ;

T (A) e compacto em F para todo limitado A em E ;

Para toda sequencia limitada (xn)n em E , a sequencia (T (xn))n temsubsequencia convergente em F .

Operadores Integrais sao compactos!K : [a, b]× [c , d ] −→ C uma funcao contınua e T : C [a, b] −→ C [c , d ]definido por

T (f )(t) =

∫ b

a

K (s, t)f (s) ds

para todo t ∈ [c , d ]. K e chamada de nucleo do operador integral T .


Teoria Espectral de Operadores Compactos

Proposicao

Sejam E um espaco de Banach, T : E −→ E um operador compacto eλ 6= 0. Entao

(a) Vλ = ker(T − λI ) tem dimensao finita.

(b) (T − λI )(E ) e fechado em E .

(c) (T − λI ) e injetora se, e somente se, e sobrejetora.

Teorema Espectral para Operadores Compactos

O espectro de um operador compacto T : E −→ E em um espaco deBanach E e enumeravel, podendo ser finito, e o unico ponto deacumulacao possıvel e o zero.


Operadores Autoadjuntos

Sejam H um espaco de Hilbert (complexo) e T ∈ L(H,H). Dizemos T eautoadjunto quando satisfaz

〈T (x), y〉 = 〈x ,T (y)〉

para todos x , y ∈ H.

Proposicao

Sejam H um espaco de Hilbert e T ∈ L(H,H) um operador autoadjunto.Entao

‖T‖ = sup{|〈T (x), x〉| ; ‖x‖ = 1}.


Teoria Espectral de Operadores Autoadjuntos

Proposicao

Sejam H um espaco de Hilbert e T ∈ L(H,H) um operador autoadjunto.Entao:

(a) Os autovalores de T sao numeros reais.

(b) Se λ e µ sao autovalores distintos de T , entao Vλ ⊥ Vµ.

Teorema

Seja H um espaco de Hilbert. O espectro σ(T ) de um operadorautoadjunto T ∈ L(H,H) e real.



Proposicao

Sejam H um espaco de Hilbert e T ∈ L(H,H) um operador nao-nulo,compacto e autoadjunto. Entao ‖T‖ ou −‖T‖ e um autovalor de Tassociado ao qual existe um autovetor x ∈ H tal que ‖x‖ = 1 e|〈T (x), x〉| = ‖T‖.

Corolario

Sejam H um espaco de Hilbert e T ∈ L(H,H) um operado compacto eautoadjunto. Entao:

(a) σ(T ) 6= ∅.(b) Se σ(T ) = {0}, entao T = 0.



Decomposicao Espectral de Operadores Compactos e Autoadjuntos

Sejam H um espaco de Hilbert e T ∈ L(H,H) um operador compacto eautoadjunto. Entao H admite um sistema ortonormal completo formadopor autovetores de T . Mais ainda, existem sequencias (finitas ouinfinitas) de autovalores (λn)n de T e de vetores (vn)n tais que cada vn eautovetor associado a λn e

T (x) =∑n

λn〈x , vn〉vn.


Referencias

Bibliografia

G. Botelho, D. Pellegrino & E. Teixeira, Fundamentos de AnaliseFuncional, Textos Universitarios, SBM, 2012

J.B. Conway, A Course in Functional Analysis, Graduate texts inmathematics 96, Springer, 1990.


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