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TEORIA GERAL DE EQUAÇÕES

CONSTITUTIVAS I

por Hilbeth Azikri ([email protected])

LACIT - Laboratório de Ciências Térmicas

(http://www.ppgem.ct.utfpr.edu.br/lacit)

NuMAT - Núcleo de Mecânica Aplicada e Teórica

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Apoio: Agência Nacional do Petróleo - ANP (no. 0050.0064.585.11.9)

Introdução e Perspectivas

• As notas aqui apresentadas abordam um conteúdo que visa

levar o expectador a percorrer alguns tópicos fundamentais

em termodinâmica dos meios contínuos que servem de su-

porte a diversos temas dentro da mecânica teórica e aplicada

(dinâmica dos uidos não Newtonianos, deformações nitas,

mecânica do dano, plasticidade, viscoplasticidade, contato

unilateral e demais processos termodinamicamente irrever-

síveis.).

1

Escopo

1. Cinemática de Um Corpo Deformável;

2. Princípio das Potências Virtuais;

3. Primeiro e Segundo Princícpios da Termodinâmica;

4. Princípios da Teoria Constitutiva;

5. Bibliograa Recomendada.

2

1 Cinemática de Um Corpo Deformável

Seja E um espaço am associado a um espaço vetorial Eucli-

diano tridimensional V. Denotando por Lin o espaço vetorial

dos endomorsmos de V (isomorco ao espaço dos tensores de

segunda ordem) e por Sym o subespaço daqueles que são simétri-

cos.

Denição 1 Um corpo B é uma região regular do espaço Eucli-

diano E. Os elementos de B são chamados de pontos materiais.

Observação 2 B também é denotado como conguração de

referência.

3

1. Cinemática de Um Corpo Deformável

Denição 3 Uma deformação de B é um mapeamento suave

um-a-um F que mapeia B em uma região fechada de E e satisfaz

det(∇F) > 0.

Denição 4 O movimento de of B é um mapeamento de classe

C3, X : B ×R→ E, com X(·, t) para a deformação de B em cada

instante xo t.

4


Referenciamo-nos a x = X(p, t) como a posição ocupada pelo

ponto material p no instante t, enquanto Bt = X(B, t) é a região

ocupada pelo corpo B no instante t.

Denição 5 Denota-se por trajetória de um movimento o con-

junto T = (x, t) : x ∈ Bt, t ∈ R.

5

1. Cinemática de Um Corpo DeformávelTomando P (·, t) : Bt → B o mapeamento inverso de X(·, t). En-

tão o mapeamento P : T → B fornece o ponto material que

ocupa a posição x num instante t. Este é também denominado

de mapeamento de referência do movimento. Designamos por

X(p, t) a velocidade e X(p, t) a aceleração do ponto material p

no instante t.

Observação 6 Designaremos doravante ˙(.)-derivada material e

(.)′-derivada espacial.

6

1. Cinemática de Um Corpo DeformávelCampos denidos em T são chamados de campos espaciais (ou

Eulerianos), enquanto que campos denidos em B×R são chama-

dos de campos materiais (ou Lagrangeanos).

Denição 7 Seja Ψ : B × R → T o mapeamento dado por

Ψ(p, t) := (X(p, t), t), e cuja inversa é dada por Ψ−1(x, t) =(P (x, t), t).

Observação 8 Seja φ um campo espacial, então sua descrição

material ca φm = φ Ψ, analogamente se ϕ é um campo mate-

rial, então sua representação espacial ca ϕs = ϕ Ψ−1.

7

1. Cinemática de Um Corpo DeformávelO vetor u(p, t) = X(p, t) − p representa o deslocamento de p no

instante t enquanto que o gradiente do movimento é o campo

tensorial denido por F (p, t) := ∇X(p, t) ∴ F (p, t) = I +∇u(p, t).Este gradiente fornece informações da deformação local do corpo,

porém não é o único dentre os demais pode-se citar C := FTF e

B := FFT , que são chamados respectivamente de tensor defor-

mação de Cauchy-Green a direita e a esquerda. Outra medida

seria o tensor deformação de Green-Lagrange (algumas vezes

chamado de Green-Saint Venant) denido por

G =1

2(C − I),

cuja parte linear dene o tensor deformação innitesimal

ε =1

2(∇u+ (∇u)T ),

8


Denição 9 Seja Bt uma conguração C1. Assim F (p, t) : Tp(B)→TX(p,t)(Bt) é uma tranformação linear para cada p ∈ B em que

TY (Ω) designa o espaço tangente a Ω em Y ∈ Ω. Então o tensor

F (p, t), em que x = X(p, t), é dado por

Fij(p, t) =∂Xi(p, t)

∂pj.

Denição 10 O tensor deformação de Green, ou de Cauchy-

Green a direita, C é denido por:

C(p, t) : TpB → TpB, C(p, t) := F (p, t)TF (p, t),

ou mais concisamente C = FTF .

9


Denição 11 Seja Bt uma conguração C1. O tensor defor-

mação de Finger, ou Cauchy-Green a esquerda, B é denido

por:

B(x, t) : TX(p,t)(Bt)→ TX(p,t)(Bt), B(x, t) := F (p, t)F (p, t)T ,

em que p = P (x, t), ou mais concisamente B = FFT .

Lema 12 Seja V um espaço de dimensão nita com produto

interno, e seja A : V → V, uma transformação linear simétrica

positiva denida, ou seja, A = AT e 〈Av, v〉 > 0, ∀v ∈ V com

v 6= 0. Então existe uma única transformação linear simétrica

positiva denida B : V → V tal que B2 = A.

Dem. 13 Dica: Tome BΦi =√λiΦi, A com autopares (λi,Φi)i.

10


Denição 14 Sejam Bt regular e C e B como denidos ante-

riormente. Sejam agora U e V as únicas transformações lineares

simétricas positivas denidas tais que U2 = C e V 2 = B, em que

para cada x = X(p, t) ∈ Bt tem-se V (x, t) : TxBt → TxBt e para

cada p ∈ B tem-se U(p, t) : TpB → TpB.

Proposição 15 Seja Bt regular. Para cada p ∈ B existe uma

transformação ortogonal R(p, t) : TpB → TxBt, ou seja, R(p, t)TR(p, t)= I (identidade em TpB) e R(p, t)R(p, t)T = I∗ (identidade em

TxBt), tal que cada uma destas decomposições é única

F = RU ⇒ F (p, t) = R U(p, t);

F = V R⇒ F (p, t) = V R(p, t).

Dem. 16 Dica: Tome R = FU−1.

11


A distribuição de massa na conguração de referência B é denidapor ρo(p) = B → R+. Assim, como consequencia da conservação

da massa, tem-se

ρ(x, t) = det(F (p, t))ρo(p).

Lema 17 Seja Φ um campo espacial (i. e. denido na trajetória

de um movimento X). Então para qualquer parte P e instante

t, tem-se

d

dt

∫PtρΦdVx =

∫PtρΦdVx.

Dem. 18 Exercício !!!

12


Denição 19 Denotando N como o conjunto dos vetores unitá-

rios do espaço linear V, um sistema de força para um corpo Bdurante o movimento X é um par (s, b) de campos vetoriais

s : N × T → V e b : T → V com s(n, x, t), para cada n ∈ N e t,

uma função suave de x ∈ Bt, e b(x, t), para cada t, uma função

contínua de x ∈ Bt.

Observação 20 O campo vetorial s representa a densidade de

uma força externa supercial através de uma superfície orientada

S com um vetor unitário normal positivo n no ponto x (hipótese

de Cauchy). O campo vetorial b é a força de corpo, por unidade

de volume, exercida pela "natureza" do corpo em x.

13


Conservação da Massa

ρ′+ div(ρv) = 0 ou ρ+ ρdiv(v) = 0;d

dt

∫PtρdVx =

∫∂Pt

ρv · ndAx.

Quantidade de Movimento Linear

d

dt

∫PtρvdVx =

∫∂Pt

s(n)dAx +∫PtbdVx;

(ρv)′+ div(ρv ⊗ v) = divT + b ou ρv = divT + b.(?)

Observação 21 (Teorema de Cauchy ?) ∃T : T → Sym (campo

tensorial simétrico de segunda ordem chamado tensor tensão de

Cauchy) tal que s(n, x, t) = T (x, t) ·n(= T (x, t)n, por simetria)⇔Os axiomas de Euler são válidos.

14

2. Princípio das Potências Virtuais

Teorema 22 Para cada parte P ⊂ B e instante t tem-se

d

dt

∫Ptρ|v|2

2dVx +

∫PtT : DdVx =

∫∂Pt

s(n) · vdAx +∫Ptb · vdVx,

em que D = L+LT

2 (L = grad(v)).

Observação 23 O formalismo apresentado deixa claro que se

os movimetos são descritos apenas com v e ∇v, os esforços

internos são descritos, obrigatoriamente por um tensor simétrico.

O princípio das potências virtuais fornece as equações de balanço

e as condições de contorno adequadas para o problema físico

(dependência de V).15

2. Princípio das Potências Virtuais

Dem. 24 Dica: Segue da fórmula de Green∫Ptdiv(T ) · vdVx =

∫∂Pt

Tn · vdAx −∫PtT : ∇vdVx;

=∫∂Pt

s(n) · vdAx −∫PtT : DdVx,

tem-se ainda

∂

∂t

∫Ptρ|v|2

2dVx =

∫Ptρv · vdVx;∫

Ptρv · vdVx =

∫Ptdiv(T ) · vdVx +

∫Ptb · vdVx.

16

3. Primeiro e Segundo Princícpios da Termodinâmica

Denição 25 Um sistema de calor para um corpo B durante

um movimento (com trajetória T ) é o par (g, f) de funções g :N × T → R e f : T → R em que

1. g(n, x, t), para cada n ∈ N e t, é uma função suave de x em

Bt;

2. f(x, t), para cada t, é uma função contínua de x em Bt.

Designa-se g como o calor supercial (taxa de calor por unidade

de área) e f o calor corpóreo (taxa de calor por unidade de

volume).

17


Denição 26 A taxa de calor fornecida a uma parte P do corpo

em um instante t pode ser escrita como

Q(P, t) = −∫∂Pt

g(n)dAx +∫PtfdVx.

Fato 27 Considere um sistema de forças (s, b) e um sistema de

calor (g, f) durante um movimento X de um corpo B. A lei da

conservação de energia (também chamada de primeiro princípio

da termodinâmica) arma que existe um campo escalar E, a

energia especíca total do sistema, tal que para cada parte P do

corpo em um instante t tem-se

d

dt

∫PtρEdVx =

∫∂Pt

s(n) · vdAx +∫Ptb · vdVx +Q(P, t).

18


Teorema 28 Supondo que as equações de balanço (massa e

quantidade de movimento linear e angular)sejam satisfeitas, en-

tão o primeiro princípio da termodinâmica é satisfeita ∃q (um

campo espacial vetorial, chamado de uxo de calor) tal que

1. para cada n ∈ N tem-se g(n, x, t) = q(x, t) · n;

2. ρE = div(T · v) + b · v − div(q) + f .


19


Corolário 30 Assumindo que o primeiro princípio da termodi-

nâmica é satisfeito, então para cada t ∈ R e qualquer campo

escalar z : Bt → R, tem-se∫PtρEzdVx +

∫PtTv · ∇zdVx =

∫∂Pt

s(n) · vzdAx +∫Ptb · vzdVx

−∫∂Pt

g(n)zdAx +∫PtfzdVx, ∀P ⊂ B.


20


Proposição 32 Denotando o campo escalar e = E − |v|2

2 como

a energia interna especíca, tem-se

d

dt

∫PtρedVx =

∫PtT : DdVx −

∫∂Pt

g(n)dAx +∫PtfdVx, ∀P ⊂ B;

ρe = T : D − div(q) + f.


21


Fato 34 Considere um sistema de calor (g, f) durante um movi-

mento X de um corpo B, o segundo princípio da termodinâmica

arma que existe um campo escalar s, entropia especíca, e um

campo escalar estritamente positivo θ, tais que

d

dt

∫PtρsdVx ≥ −

∫∂Pt

q · nθdAx +

∫Pt

f

θdVx,

para toda parte P ∈ B e instante t. As quantias

S(P, t) =∫PtρsdVx;

−∫∂Pt

q · nθdAx +

∫Pt

f

θdVx,

são chamadas respectivamente de enetropia (S) e taxa de en-

tropia fornecida (soma) a uma parte P num instante t.

22


Observação 35 Pode-se escrever ainda, considerando adicional-

mente um sistema de forças (s, b) durante um movimento X de

um corpo B, tem-se:

ρs + div(qθ

)− f

θ ≥ 0 e ρθs− ρe+ T : D − 1θq · ∇θ ≥ 0.

Denição 36 Considerando um sistema de calor (g, f) e um sis-

tema de forças (s, b) durante um movimento X de um corpo B,dene-se a energia especíca livre de Helmholtz como o campo

escalar

Λ = e− sθ ∴ ρΛ + ρθs− T : D +1

θq · ∇θ ≤ 0.

23


Observação 37 Pode-se ainda denir outras medidas de tensão

como por exemplo 1o e 2o Piola-Kirchho, respectivamente

P(p, t) := det(F (p, t))T (x, t)F−T (p, t) = ρo∂Λ

∂F;

S(p, t) := det(F (p, t))F−1(p, t)T (x, t)F−T (p, t) = ρoF−1∂Λ

∂F.

assim a equação do balanço de quantidade de movimento linear

pode ser reescrita de diversas formas:

ρu = divP + b∗,

com b∗(p, t) = b(x, t)det(F (p, t)). Isto se deve aos pares conjuga-

dos ∫PtT : DdVx =

∫PP : ∇udVp =

∫PS : GdVp = · · · .

24

4. Princípios da Teoria Constitutiva

Denição 38 Um processo termodinâmico para um corpo com

uma distribuição de massa ρo é um conjunto de oito mapeamen-

tos:

X : B × R→ E;T : T → Sym; b : T → V; e : T → R;

θ : T → R+; q : T → V; f : T → V; s : T → R,

tal que X é um movimento, T sua trajetória, T ∈ C(T ;Sym), b ∈C(T ;V), e ∈ C1(T ;R), θ ∈ C1(T ;R), q ∈ C1(T ;V), f ∈ C0(T ;R),

s ∈ C1(T ;R) e as relações seguintes são válidas:

ρv = divT + b;

ρe = T : D − div(q) + f.

25


Observação 39 Note que para se denir um processo termodi-

nâmico é suciente é suciente prescrever os seis mapeamentos

X,T, e, θ, q e s.

Denição 40 Um corpo material é uma tripla (B, ρo, C) con-

sistindo de um corpo B, uma distribuição de massa ρo e uma

família C de perocessos termodinâmicos chamada de classe cos-

ntitutiva do corpo.

26


Denotando Lin+ = G ∈ Lin|det(G) > 0, tem-se

Denição 41 A material hiperelástico com condução de calor

e viscosidade (Coleman-Noll) é um material que possui a classe

constitutiva de todos os processos termodinâmicos satisfazendo:

T (x, t) = T (F (p, t), s(x, t), p) + l(F (p, t), s(x, t), p)(L(x, t));

e(x, t) = e(F (p, t), s(x, t), p); θ(x, t) = θ(F (p, t), s(x, t), p);

q(x, t) = q(F (p, t), s(x, t), grad(θ), p),

para algumas funções-resposta sucientemente suaves

T : Lin+ × R× B → Sym; e : Lin+ × R× B → R;

θ : Lin+ × R× B → R+; q : Lin+ × R× V × B → V;

l : Lin+ × R× B → L(Lin, Sym).

27


Denição 42 Dene-se um material como sendo hiperelástico

como um material elástico cuja função resposta T (.) tem a forma

T (F, s, p) = ρFhF (F, s, p)T = ρhF (F, s, p)FT , em que a função es-

calar h(F, s, p) é chamada de função energia de deformação ou

função energia acumulada.

Observação 43 Uma condição necessária e suciente para que

um material elástico ser hiperelástica é que a elasticidade Eijkl =

ρo∂2h

∂xi,j∂xk,ltenha a seguinte propriedade Eijkl = Eklij.

28


Observação 44 Supondo as condições seguintes i) Materiais

perfeitos em movimentos a uma temperatura uniforme; ii) Ma-

teriais perfeitos em movimentos a uma entropia especíca uni-

forme; iii) Materiais simples em equilíbrio térmico a uma temper-

atura uniforme; iv) Materiais simples em equilíbrio térmico a uma

entropia especíca uniforme. A função energia de deformação

são: Λ para os casos (i) e (iii), e para os casos (ii) e (iv).

Observação 45 Em um material perfeito F e s determinam

T = ρF eF (F, s)T e θ = ρes(F, s). Em um material simples a

determinação da tensão T depende somente do histórico do gra-

diente de deformação F (T (t) = T∞t=0(F (t− t)) = T∞t=0(F (t)(t))).

29


Princípios gerais (Apresentação Informal):

Indiferença de Referencial Material: As equações constitutivas

(C - classe cosntitutiva do corpo B) são invariantes sob transfor-

mação de observadores;

Admissibilidade Física: Todas as equações constitutivas devem

ser consistentes com as leis básicas da física (conservação da

massa, balanço dos momentos linear e angular, conservação da

energia e a desigualdade de Clausius-Duhem);

Equipresença: Uma quantia que aparece como uma variável inde-

pendente em uma equação constitutiva deve aparecer am todas

as demais equações constitutivas da classe constitutiva;

30


Determinismo: Os valores das variáveis constitutivas em um

ponto material x de um corpo Bt em um instante t são determi-

nadas pela história dos movimentos e temepratura de todos os

pontos do corpo;

Ação Local: As variáveis constitutivas dependentes em x não são

substancialmente afetadas por valores de variáveis independentes

em pontos materiais distantes de x;

Simetria Material: As equações constitutivas devem ser invari-

antes em forma com respeito a um grupo G de transformações

unimodulares da conguração de referência.

31


Denição 46 Um tensor H ∈ G (grupo de simetria material) do

ponto material p se

T (FH(p)) = T (F (p)), ∀F t.q.det(F ) > 0.

Observação 47 Um grupo de simetria material G é um conjunto

t.q. i) I ∈ G, ii) se M,N ∈ G ∴ MN ∈ G e iii) se M ∈ G, ∃M−1 ∈ Gt.q. M−1M = MM−1 = I.

Observação 48 Pode-se denir: uido se G = M |det(M) =

1, sólido se G ⊂ M |MMT = I e det(M) = 1 e isotrópico se

G = M |MMT = I e det(M) = 1.32


Teorema 49 Considere uma material de Coleman-Noll com uma

classe constitutiva C. Assuma como hipótese que existe uma

função sufucientemente suave, s : Lin+ × R+ × B → R, tal quese s ∈ R, F ∈ Lin+, θ ∈ R+ e p ∈ B, então s = s(F, θ, p) ⇔ θ =θ(F, s, p). Então todos os elementos de C satisfazem o segundo

princípio da termodinâmica se e somente se

θ(F, s, p) =∂e

∂s(F, s, p);

T (F, s, p) =ρo(p)

det(F )

∂e

∂F(F, s, p)FT ;

l(F, s, p)(L) : L ≥ 0;

q(F, s, w, p) · w ≤ 0,

para todo F ∈ Lin+, s ∈ R, p ∈ B, L ∈ Lin e w ∈ V.33


Observação 50 Note que a hipótese do teorema anterior im-

plica que ∂s∂θ(F, θ, p) 6= 0, ∀F ∈ Lin+, θ ∈ R+ e p ∈ B. De fato

s = s(F, θ(F, s, p), p)⇒ 1 = ∂s∂θ(F, θ, p)∂θ∂s(F, s, p) com θ = θ(F, s, p),

o que implica no resultado.

Observação 51 Pode-se mostrar ainda que supondo µ(A) =det(A) sucientemente suave, com A invertível, então:

1. ∂µ∂A(A)(U) = det(A)tr(UA−1), ∀U ∈ Lin;

2. µ(A) = det(A)tr(AA−1).

34


Denição 52 Dois processos termodinâmicos (X,T, b, e, θ, q, f, s)

e (X∗, T ∗, b∗, e∗, θ∗, q∗, f∗, s∗) estão relacionados por uma mudança

de observador se existem duas funções C3: y : R → E e Q : R →Orth+ tal que

X∗(p, t) = y(t) +Q(t)(X(p, t)− o);

T ∗(x∗, t) = Q(t)T (x, t)QT (t);

e∗(x∗, t) = e(x, t);

θ∗(x∗, t) = θ(x, t);

q∗(x∗, t) = Q(t)q(x, t);

s∗(x∗, t) = s(x, t),

para algum o ∈ E, com x = X(p, t) e x∗ = X∗(p, t).

35


Denição 53 Diz-se que um corpo material se comporta de

forma independente do observador de sua classe constitutiva,

C, possui a seguinte propriedade: Se (X,T, b, e, θ, q, f, s) ∈ C e

(X∗, T ∗, b∗, e∗, θ∗, q∗, f∗, s∗) é outro processo termodinâmico rela-

cionado no sentido previamente denido (relacionados por uma

mudança de observador), então (X∗, T ∗, b∗, e∗, θ∗, q∗, f∗, s∗) ∈ C.

Denição 54 Diz-se que um corpo material satisfaz o princípio

da indirefrença de referencial material se sua função-resposta é

independente do observador, no sentido da denição acima.

36


Observação 55 Refere-se ao tensor anti-simétrico Q(t) como a

rotação do referencial, como consequência o tensor Q(t)QT (t) =Ξ(t) também é anti-simétrico e representa a taxa com a qual o

novo referencial rotaciona.

Proposição 56 Considere um material de Coleman-Noll, se este

satisfaz o princípio da indiferença de referencial material então

as seguintes condições são satisfeitas:

e(F, s, p) = e(QF, s, p); θ(F, s, p) = θ(QF, s, p);

QT (F, s, p)QT = T (QF, s, p);

Ql(F, s, p)(L)QT = l(QF, s, p)(QLQT + W);

Qq(F, s, w, p)QT = q(QF, s, Qw, p),

para todo F ∈ Lin+, s ∈ R, p ∈ B, L ∈ Lin, Q ∈ Orth+ e W ∈ skw.37


Observação 57 Pode-se mostrar ainda que: F ∗(p, t) = QF (p, t),

U∗(p, t) = U(p, t), C∗(p, t) = C(p, t), V ∗(x∗, t) = QV (x, t)QT ,

B∗(x∗, t) = QB(x, t)QT , L∗(x∗, t) = QL(x, t)QT + Ξ, W ∗(x∗, t) =

QW (x, t)QT +Ξ, D∗(x∗, t) = QD(x, t)QT , e grad∗(θ∗) = Qgrad(θ),

com D = sym(L) e W = skw(L).

Observação 58 Suponha que a mudança de referencial de para

um campo tensorial seja dada de forma análoga que D, será

que D satisfaz o princípio da indiferença de referencial material

? (D∗ = QDQT + ΞD∗ −D∗Ξ).

38


Exemplo 59

D = D +DW −WD (taxa corrotacional);

?D = D +DL+ LTD (taxa covariante);

4D = D − LD −DLT (taxa contravariante).

39


Denição 60 Dene-se um material hipoelástico como um ma-

terial simplessujeito as seguintes condições constitutivas:

• o funcional resposta T satisfaz a seguinte identidade T (t) =

T∞t=0(F (t)(t)) = T∞t=0(F (t)(π(t))), ∀F ∈ Dom(T), com π(0) =

0 e limt→∞ π(t) =∞;

• ∃G(T, L) continuamente diferenciável numa vizinhança de L

identicamente nulo t.q. T = G(T, L).

40


Material hipoelástico de grau zero:oτ =

o

det(F )T = 2G(D + νtr(D)

1−2ν I),

como() = () + ()Ξ−Ξ() (taxa do tipo corrotacional), em que Ξ

representa o tensor spin.

Jaumann (Corrotacional):

ΞJ = W ;

Green-Naghdi (Corrotacional):

ΞR = RRT = W +∑ni=1

(∑nk=1,k 6=i

bk−bibk+bi

BiDBk);

41


Logaritma (Corrotacional):

ΞL = W +∑ni=1

(∑nk=1,k 6=i

(bk+bibk−bi

− 1ln(bk)−ln(bi)

)BiDBk

);

Truesdell (não Corrotacional) Oldroyd (não Corrotacional)

oσ = σ − σLT − Lσ + σtr(D)

oτ = τ − τLT − Lτ ;

Cotter-Rivlin (não Corrotacional)

oτ = τ + τLT + Lτ ;

42

4. Princípios da Teoria ConstitutivaXiao, H., Bruhns, O. T., Meyers, A., Choice of objective rate in single pa-

rameter hypoelastic deformation cycles. Computers and Structures 84 (2006)

11341140.

43


Especicação: ν = 0.3, ab

= 0.1 e bH

= 0.02.

44



= 0.1 e bH

= 0.02.

45



= 0.1 e bH

= 0.1.

46



= 0.1 e bH

= 0.1.

47



= 1 e bH

= 0.02.

48



= 1 e bH

= 0.1.

49



= 5 e bH

= 0.1.

50



= 5 e bH

= 0.1.

51


Rigid-viscoplastic Fluids

TA = −aA, TP = T + P I, D =⟨Fk

⟩n ∂F∂TP

eoA =

⟨Fk

⟩n ∂F∂TA

, com

n ≥ 0, k > 0 e 〈.〉 = max0, ..

F = T vm(TP + TA)− Ty com T vm(TP + TA) = 32(TP + TA)dev :

(TP + TA)dev12.

D =oA = 3

2

⟨T vm(TP+TA)−Ty

k

⟩n(TP+TA)devT vm(TP+TA)

∴ A = ε.

Cisalhamento puro: v1 = γx2, v2 = v3 = 0 considerandoo() =

() + ()Ξ−Ξ() com Ξ = W − η(AD −DA).

52


Da relação D =oA, tem-se

A11 − 2γ[1− 2ηA11]A12 = 0;

A12 − 2γ[1− 2ηA11]A11 = γ;

A22 = −A11;A13 = A23 = A33 = 0,

e deste modo segue que

γ =

√3

2

⟨√3|T12 − aε12| − Ty

k

⟩n(T12 − aε12)

|T12 − aε12|;

T11 = −T22 = −TA11 = aε11, T13 = T23 = T33 = 0,

ou T12 =Ty√

3+ aε12 + k√

3

(2γ√

3

)1n.

53


Costa Mattos, H. S., A thermodynamically consistent constitutive theory for

uids. Int. J. Non-Linear Mechanics, Vol 33, No. 1, pp. 97-110, 1998.

54


Especicação: η = 0 ∴ A11(t) = ε11(t) = 12[1 − sen(2γt)] e A12(t) = ε12(t) =

12sen(2γt)

55

5. Bibliograa Recomendada

[1] C. Truesdell and W. Noll, The Non-linear Field Theory of

Mechanics, 3th edition, Springer-Verlag, Germany, Berlin, 2004.

[2] M. Silhavy, The Mechanics and Thermodynamics of Con-

tinuous Media, Texts and Monographs in Physics, Springer-Verlag,

Germany, Berlin, 1997.

[3] C. Truesdell, Rational Thermodynamics, 2nd edition, Springer-

Verlag, USA, New York, 1984.

[4] A. C. Eringen, Mechanics of Continua, Wiley, USA, New

York, 1980.

57

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