TEORIA MATEMÁTICA DAS ELEIÇÕES

10.º ANO DE ESCOLARIDADE

Cristina Simão

APRESENTAÇÃO

Está prevista a utilização de 7 aulas (7 blocos de 90

minutos) para o ensino do Tema.

Todas as aulas servirão para avaliar os alunos em

termos de comportamento, desempenho e aplicação de

conhecimentos.

A avaliação dos conhecimentos será feita de uma forma

sumativa com o mini teste na aula 7.

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TÓPICOS

Sistemas de votação maioritário: método da maioria simples

ou relativa, método da maioria absoluta;

Sistemas de votação por ordem de preferência: método da

pluralidade, método de eliminação run-off simples, método

de eliminação run-off sequencial, método de borda e

método de Condorcet;

Sistemas de votação por aprovação

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TÓPICOS

Este tema é o módulo inicial previsto no programa

oficial de Matemática Aplicada às Ciências Sociais

elaborado pelo Ministério da Educação e Ciência. Os

conhecimentos que os alunos devem ter terão sido

adquiridos durante o 2.º e 3.º ciclo do ensino básico,

tais como, operações elementares da aritmética, o

cálculo de percentagens e a resolução de equações.

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TÓPICOS

Este tema trata de um assunto frequentemente

abordado na comunicação social e o professor deve

fazer uso desse fato referindo exemplos concretos e

atuais, de modo a captar a atenção dos alunos.

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OBJETIVOS GERAIS PRESENTES NO PROGRAMA OFICIAL DE MACS:

No âmbito deste tópico, os objetivos a atingir são:

perceber que os resultados podem ser diferentes se os

métodos de contabilização dos mandatos forem

diferentes;

estudar algumas situações paradoxais;

analisar algumas condições para ter um sistema

adequado;

perceber que há limitações à melhoria dos sistemas.6

ALGUMAS ESTRATÉGIAS PARA AS AULAS:

Uma vez que a avaliação da disciplina será, em princípio,

uma avaliação continua e que esta disciplina termina com

exame no 11.º ano, o qual incide sobre toda a matéria

lecionada no 10.º e 11.º ano de escolaridade, achei

importante incorporar algumas estratégias que acredito

serem uma mais-valia para os alunos:

todas as aulas serão lecionadas com base no método

interrogativo, de forma a que os alunos participem e se

sintam motivados para a aprendizagem;7

ALGUMAS ESTRATÉGIAS PARA AS AULAS:

todas as aulas, ou pelo menos na sua grande maioria, serão

iniciadas com questões aos alunos, no geral ou em

particular, sobre a matéria lecionada nas aulas anteriores;

os exercícios devem, sempre que possível, pedir para

aplicar aos dados vários métodos de votação diferentes

para que os alunos não esqueçam os métodos lecionados

anteriormente e consigam interiorizar que diferentes

métodos geralmente produzem diferentes resultados;

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ALGUMAS ESTRATÉGIAS PARA AS AULAS:

deve-se, sempre que possível, ditar os conteúdos para os

alunos, uma vez que estes estão na área de humanísticas;

deve-se, sempre que possível, pedir aos alunos que

expliquem por palavras suas, oralmente ou na forma de

relatório escrito, as resoluções dos exercícios;

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ALGUMAS ESTRATÉGIAS PARA AS AULAS:

todos os exercícios resolvidos, independentemente de

serem do manual adotado ou não, devem ser projetados de

forma a que todos os alunos tenham acesso, mesmo que se

tenham esquecido do manual.

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AULA 1

Inserir uma atividade de discussão para discutir com os

alunos alguns métodos de votação que estes conheçam

para eleger um único candidato e tentar compreender a

opinião dos alunos sobre o método que acreditam ser

mais justo.

Introduzir os três sistemas de votação que serão

lecionados ao longo deste tema.

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AULA 1

Iniciar o estudo do sistema de votação maioritário através

da introdução de exemplo da eleição do delegado de turma

e interrogar os alunos sobre se este método é ou não um

sistema de votação de maioria simples ou absoluta.

Questionar os alunos sobre o sistema de votação utilizado

atualmente para eleição do Presidente da República.

Exemplo sobre a eleição para Presidente da República de

1986.

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AULA 1

Atividade: Na eleição para presidente da Recreativa de

Olhão, concorriam duas listas, a lista A e a lista B.

Entretanto a lista B, devido a divergências entre os seus

membros decidiu dividir-se em duas novas listas, a lista B e

a lista C. Desta forma, à eleição concorreram 3 listas. Os

resultados das eleições foram:

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AULA 1

Após a contagem de resultados a lista B decidiu unir-se

com a lista C e voltar a constituir uma única lista,

reclamando para si 55% dos votos e a presidência da

Recreativa. A lista A, por sua vez, argumenta que foi a

justa vencedora das eleições com 45% dos votos e que

por isso a Presidência é sua.

Consultado o regulamento das eleições, este revelou-se

omisso quanto a cisões, coligações e prazos de

reclamação.14

AULA 1

Quem achas que deverá ser o vencedor? Na tua

opinião como deverá ser resolvida esta eleição?

Fundamenta com o teu colega do lado a tua opinião e

elabora uma pequena composição sobre o assunto em

conjunto.

Adaptado de MACS – Texto Editores, Lda.

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AULA 1

Apresentação dos três sistemas de votação

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AULA 1

Sistema maioritário:

o candidato mais votado ganha tudo e os outros

candidatos não ganham nada.

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AULA 1

Exemplo: Eleições para Presidência da República de 1986.

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AULA 2

Resolução de exercícios.

Introduzir o sistema preferencial, começando pelas

formas de representação dos votos e terminando com

o método da pluralidade, que será introduzido através

da resolução de um exercício em conjunto com os

alunos.

Resolver exercícios sobre os métodos já lecionados.

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AULA 2

Sistema preferencial:

Neste sistema cada eleitor vota em todos os

candidatos de acordo com as suas preferências.

No final resulta um e um só vencedor.

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AULA 2

Método da Pluralidade:

Exemplo: Os 33 alunos das turmas do 10.º ano, vão

organizar uma visita de estudo mas, não conseguem

chegar a acordo quanto ao local a escolher, entre o

Visionarium, o Pavilhão do Conhecimento e o Museu

Serralves.

Resolvem fazer uma votação na qual, pediram aos

votantes para colocar à frente dos locais o número da

sua preferência. Os resultados obtidos estão

representados na tabela seguinte:21

AULA 2

Método da Pluralidade:

Visionarium – VI; Pavilhão do Conhecimento – C; Museu Serralves - S

Determine quantos votos na 1.ª preferência teve cada um

dos locais a visitar. Conclua pelo método da pluralidade a

que local foi a visita de estudo. 22

AULA 2

(Ditar aos alunos)

No método da pluralidade, vence o candidato com

maior número de primeiras preferências, ou seja, aquele

que tem maioria simples na contagem das primeiras

preferências.

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AULA 3

Introduzir o método de eliminação run-off simples com

um exemplo e utilizando o Excel.

Em seguida, e utilizando o mesmo exemplo e o Excel,

introduzir o método de eliminação run-off sequencial.

Resolver exercícios sobre os métodos já lecionados.

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AULA 3

Método de eliminação run-off simples: são eliminados

todos os candidatos à exceção dos 2 que reúnem maior

número de primeiras preferências, caso não existe vencedor

com maiorira absoluta na primeira contagem.

25

AULA 3

Método de eliminação run-off sequencial:

inicialmente são eliminados todos os candidatos que

não obtenham nenhuma primeira preferência. Em

seguida, é eliminado o candidato que obtiver menor

número de primeiras preferências (ou candidatos em

caso de empate) e reorganiza-se o esquema das

preferências; repete-se o processo até restarem

apenas 2 candidatos e vence o que obtiver maior

número de primeiras preferências.26

AULA 3

Método de eliminação run-off sequencial:

27

AULA 4

Explicar o método de Borda.

Resolver um exemplo com os alunos sobre este

método.

Resolver exercícios sobre os métodos já lecionados.

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AULA 4

Exemplos de questões:

Expliquem o método de maioria absoluta.

Quando é que o sistema de maioria pode ser

considerado o método da pluralidade?

No que consiste o método de eliminação run-off

simples? E sequencial?

É possível ter exemplos de esquemas de preferências

onde o método da pluralidade, o método de eliminação

run-off simples e o método de eliminação run-off

sequencial devolvam resultados diferentes? 29

AULA 4

Método de Borda: o eleitor após ordenar as suas

preferências, atribui 1 ponto à última preferência, 2 pontos

à penúltima preferência e assim sucessivamente, até à

primeira preferência.

O vencedor é o candidato que contabilizar o maior número

de pontos, pela contagem e Borda.

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AULA 4

Método de Borda:

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AULA 5

Explicar o método de Condorcet e ditar a definição

para os alunos escreverem no caderno.

Resolver um exemplo com os alunos sobre este

método.

Explicar o paradoxo de Condorcet através da

resolução de um exercício.

Resolver exercícios sobre os métodos já lecionados.

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AULA 5

Método de Condorcet (ou método de

comparação par a par): neste método é feita uma

“eleição” entre cada par de candidatos (confrontos

diretos): se um candidato vence todos os outros em

confronto direto, então deverá ser o vencedor.

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AULA 5

Método de Condorcet:

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AULA 5

A utilização deste método pode dar origem a um

paradoxo – o paradoxo de Condorcet, não sendo

possível determinar o vencedor.

Por exemplo, com 3 candidatos A, B e C:

A ganha a B, B ganha a C e C ganha a A.

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AULA 6

Explicar o sistema de aprovação e as suas vantagens

e ditar para os alunos escreverem no caderno.

Resolver um exemplo com os alunos sobre este

método.

Resolver exercícios sobre o sistema de aprovação.

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AULA 6

Sistema de Aprovação:

Neste processo os votantes podem votar em tantos

candidatos quantos quiserem. Cada candidato

escolhido recebe um voto e o candidato com mais

votos ganha.

Ex: eleição do Secretário-Geral das Nações Unidas.

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AULA 6

Exemplo: Os netos da avó Carminha decidem fazer-lhe um jantar de

homenagem num restaurante com toda a família. Para esse efeito

encontraram apenas 4 restaurantes suficientemente grandes: O

Garfo, A Faca, A Colher e O Talher. Decidiram votar entre si pelos

restaurantes preferidos, os resultados foram:

quatro escolheram: A Faca e A Colher;

seis escolheram: O Garfo, O Talher e A Colher;

três escolheram: O Talher e A Faca;

cinco escolheram: A Colher, A Faca e O Garfo.

Qual será o restaurante onde se irá realizar o jantar de homenagem?

Adaptado de MACS – Texto Editores, Lda.38

AULA 6

Resolução:

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AULA 7

Iniciar a aula com questões sobre todos os sistemas

lecionados.

Resolver exercícios sobre todos os sistemas.

Mini teste.

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