Teoria Resumida - Logaritmos

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1 GOVERNO DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO SECRETARIA DE ESTADO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA FUNDAÇÃO DE APOIO À ESCOLA TÉCNICA - FAETEC INSTITUTO SUPERIOR DE EDUCAÇÃO DO RIO DE JANEIRO – ISERJ TRABALHO DE MATEMÁTICA - NÍVEL: ENSINO MÉDIO - PROFª: TELMA CASTRO SILVA CURSO: Secretariado Escolar SÉRIE: 2ª TURMA: 1.209 DATA: 10/4/2013 ALUNO(A):________________________________________ Nº:_____ Logaritmos DEFINIÇÃO: Chama-se logaritmo de um número "b" na base "a" ("a" e "b" reais, positivos e "a" diferente de 1), o expoente que se deve dar à base "a", de modo que a potência obtida seja igual a "b". log a b = x => b = a x Consequências da definição: O logaritmo de 1, em qualquer base, é igual a zero: log a 1 = 0, pois a 0 = 1 O logaritmo da base, qualquer que seja, é igual a 1: log a a = 1, pois a 1 = a A potência de base a e expoente log a b é b: a loga b = b Se dois logaritmos em uma mesma base são iguais, então os logaritmandos, também, são iguais: log a b = log a c => b = c Algumas vezes, precisaremos utilizar algumas propriedades para auxiliar o seu cálculo. São as seguintes: 1) Logaritmo do Produto: Em qualquer base a (0 < a diferente de 1), o logaritmo do produto de dois fatores reais positivos é igual à soma dos logaritmos dos fatores. ( )

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GOVERNO DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO

SECRETARIA DE ESTADO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA FUNDAÇÃO DE APOIO À ESCOLA TÉCNICA - FAETEC

INSTITUTO SUPERIOR DE EDUCAÇÃO DO RIO DE JANEIRO – ISERJ

TRABALHO DE MATEMÁTICA - NÍVEL: ENSINO MÉDIO - PROFª: TELMA CASTRO SILVA CURSO: Secretariado Escolar SÉRIE: 2ª TURMA: 1.209 DATA: 10/4/2013

ALUNO(A):________________________________________ Nº:_____

Logaritmos

DEFINIÇÃO: Chama-se logaritmo de um número "b" na base "a" ("a" e "b" reais, positivos e "a" diferente de

1), o expoente que se deve dar à base "a", de modo que a potência obtida seja igual a "b".

logab = x => b = ax

Consequências da definição:

O logaritmo de 1, em qualquer base, é igual a zero:

loga 1 = 0, pois a0 = 1

O logaritmo da base, qualquer que seja, é igual a 1:

loga a = 1, pois a1 = a

A potência de base a e expoente loga b é b:

aloga b

= b

Se dois logaritmos em uma mesma base são iguais, então os logaritmandos, também, são iguais:

logab = logac => b = c

Algumas vezes, precisaremos utilizar algumas propriedades para auxiliar o seu cálculo. São as seguintes:

1) Logaritmo do Produto: Em qualquer base a (0 < a diferente de 1), o logaritmo do produto de dois fatores reais

positivos é igual à soma dos logaritmos dos fatores.

( )

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2) Logaritmo do Quociente: Em qualquer base a (0 < a diferente de 1), o logaritmo do quociente de dois fatores

reais positivos é igual à diferença entre o logaritmo do dividendo e o logaritmo do divisor.

(

)

3) Logaritmo da Potência: Em qualquer base a (0 < a diferente de 1), o logaritmo de uma potência de base real

positiva e expoente real é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base da potência.

Destas, você também tira:

- definição de cologaritmo: oposto do logaritmo de b na base a (colog de b na base a = - log de b na base a =

log (1/b) na base a)

- log da raiz n-ésima de b na base a = log de (b elevado a 1/n) na base a = 1/n . log b na base a.

Outra operação que pode ser necessária à facilitação dos cálculos dos logaritmos é a chamada “Mudança de

Base”.

logab = a

b

c

c

log

log

O cálculo dos logaritmos era muito utilizado para realizar contas com números de grandezas extremas:

muito grandes ou muito pequenos. Para isso, eram usadas as propriedades e a Tábua de Logaritmos nos

números expressos em produtos por potências de dez.

Com a invenção das calculadoras eletrônicas, esta prática ficou obsoleta. Os cálculos de logaritmos são

estudados nos meios acadêmicos para resolução de equações que peçam este cálculo. Na verdade, são

enfatizadas as propriedades e sua aplicação.

ATIVIDADES

1) Utilizando este pequeno resumo, calcule estes logaritmos, usando a sua definição:

a) log3 27 d) log25 0,008 g) log 10000

b) log4

1 = 128 e) log2 64 h) log8 24

1

c) log5 3125 f) log 3 3 4 3 i) log8 32

3

2) Desenvolva as expressões a seguir, aplicando as propriedades operatórias (a, b e c são reais positivos)

a) log3

ac

b3

b) log2

b

c

5

3

c) log5

3

2

a

bc

d) log2 4

3 3

8a

cb

3) Dê a expressão logarítmica que equivale a

a) log3 a – log3 c + log3 b

b) 5 log3 b + log3 c – 2 log3 a

c) 5 log b – log a + 2 log c + 2

4) Dados log a = 5, log b = 3 e log c = 2, calcule

c

ba 2.log .

5) Sendo logx 2 = a , logx 3 = b calcule 3 12log x .

6) Sendo loga 2 = 20 , loga 5 = 30 calcule 100loga .

7) Resolva as seguintes equações:

a) 29log 3 x b) 2102log4 x c) 21loglog 32 x

d) 27log 2

1 xx e) 6log1log3log 222 x

f) 11log2log 33 x

g) xx log2loglog2 h) 21log72log 2

2

2 xxx

8) Determine a solução da equação: 72log13log2log 222 xxx