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Introdução à Teoria da Computação

UAB/UFRPE

Eduardo Araújo Oliveira

http://sites.google.com/site/eaoufpe

slide 2

Conceitos Iniciais

• Computadores atuais mais rápidos e poderosos

• Modelos matemáticos

• Autômatos Finitos

Autômatos Finitos

• Reconhecedor de palavras ou cadeia de caracteres

• Bons modelos para computadores com capacidade de memória reduzida

• Fazem parte de vários dispositivos eletro-mecânicos

do dia-a-dia

slide 4

Autômatos Finitos

• Exemplo 1

Visão aérea de uma porta automática

Autômatos Finitos

• Exemplo 1

O controlador passa de um estado para outro dependendo do estímulo (entrada) que recebe:

O controlador da porta pode estar em 2 estados:

- aberto (significando porta aberta)

- fechado (significando porta fechada)

slide 6

Autômatos Finitos

• Exemplo 1

Entradas: Existem 4 condições de entrada possíveis

Frente: significando que uma pessoa está em pé sobre o tapete da

frente;

Retaguarda: significando que uma pessoa está em pé sobre o tapete

de

dentro;

Ambos: significando que existem pessoas sobre os 2 tapetes;

Nenhum: significando que ninguém está sobre os tapetes.

Autômatos Finitos

• Exemplo 1


slide 8

Autômatos Finitos

• Exemplo 1

Tabela de Transição

Autômatos Finitos

• Exemplo 2

Interruptor

Estados: Ligado ou Desligado

slide 10

Autômatos Finitos

• Exemplo 3

Palavra AMOR

Qualquer outra palavra deve ser descartada

Autômatos Finitos

• Exemplo 3

Tentativa de leitura da Palavra AMBIENTE

slide 12

Autômatos Finitos

• Controladores para:

– Lavadoras de louça/roupa

– Termômetros eletrônicos

– Relógios digitais

– Calculadoras

– Máquinas de venda automática

Autômatos Finitos

• O AF é uma máquina, reconhecedora de palavras ou cadeia de caracteres, que sempre pára retornando uma resposta sim (cadeia reconhecida) ou não (cadeia não conhecida)

• Podem ser classificados em:

– Autômatos Finitos Determinísticos (AFD)

– Autômatos Finitos Não-Determinísticos (AFND)

slide 14

Autômatos Finitos Determinísticos – Definição Formal

Definição formal de um Autômato Finito Determinístico:

Um Autômato Finito Determinístico (AFD) M é uma 5-upla:

M = (Q, Σ, δ, q0, F), onde

Q: conjunto finito de estados do autômato;

Σ: alfabeto de símbolos de entrada;

δ: função programa ou função de transição (parcial) δ: Q × Σ → Q. Significa dizer que permanecendo em um estado e lendo um símbolo do alfabeto faz o autômato passar para outro estado ou mesmo ficar no mesmo

q0: estado inicial (q0∈Q)

F: conjunto de estados finais ou estados de aceitação (F⊆Q)

Um alfabeto Σ é um conjunto finito (não-vazio) de símbolos

Ex.: Alfabetos

Σ1 = {0,1}

Σ2 = {a, b, c, …, z}

Uma cadeia (string) em um alfabeto Σ é uma

seqüência finita de símbolos deste alfabeto

Ex.: Cadeias

01001

abracadabra

Autômatos Finitos Determinísticos – Cadeias e Linguagens

slide 16

Se w = w1w2…wn é uma cadeia sobre Σ, o

comprimento de w, denotado por |w|, é n

A cadeia de comprimento 0, é denominada cadeia nula e é representada por λ

Ex.: |abracadabra| = 11


Se u = u1u2…un e v = v1v2

…vm são cadeias no

alfabeto Σ, então a concatenação de u com v, denotada por uv, é definida por:

uv = u1u2…unv1v2

…vm

Ex.: u = abra e v = cadabra ⇒ uv = abracadabra

� Propriedades da concatenação

• uλ = λu = u

• u(vw) = (uv)w

• |uv| = |u| + |v|


slide 18

A concatenação da mesma cadeia várias vezes é definida por:

w0 = λ, e

wn+1 = wn w, para n ≥ 0

Se w = w1w2…wn é uma cadeia no alfabeto Σ,

então a reversa (inversa) de w, denotada por wR, é definida por wR = wn

…w2w1

� Observações

• λR = λ

• (vw)R = wRvR

Autômatos Finitos Determinísticos – Concatenação

Seja Σ um alfabeto. Então:

Σ0 = { λ }

Σ1 = { w : |w| = 1 }

Σ2 = { w : |w| = 2 }

Σn = { w : |w| = n }

Σ* = Σ0 ∪ Σ1 ∪ … ∪ Σn ∪ Σn+1 ∪ …

ou seja,

Σ* = { w : w é uma cadeia em Σ}

Autômatos Finitos Determinísticos – Linguagens

slide 20

Uma Linguagem L no alfabeto Σ é qualquer

subconjunto de Σ*

Ex.: Σ = { a, b }

L1 = { ab, ba }

L2 = { λ }

L3 = { anbn : n ≥ 0 }


Exemplo:

Seja ∑ = {a, b, c, ..., z}. Sejam A e B as linguagens sobre ∑ dadas por: A = {bom, mau} e B = {garoto, garota}, então:

A ∪ B = {bom, mau, garoto, garota}

A • B = {bomgaroto, bomgarota, maugaroto,

maugarota}

A* = {λ, bom, mau, bombom, bommau,

maubom, maumau, bombombom, ...}


slide 22

Autômatos Finitos Determinísticos – Representação Gráfica

• Representação Gráfica

Autômatos Finitos Determinísticos

Um autômato finito M1: (diagrama de estados)

M1 tem 3 estados, q1, q2, q3 ;

M1 inicia no estado q1 ;

M1 tem um estado final, q2 ;

Os arcos que vão de um estado p/ outro chamam-se transições.

slide 24

- O autômato finito M1 recebe os símbolos de entrada um por um;

- Depois de ler cada símbolo, M1 move-se de um estado para outro, de acordo com a transição que possui aquele símbolo como seu rótulo;

- Quando M1 lê o ultimo símbolo ele produz uma saída:

reconhece se M1 está no estado final não-reconhece se M1 não estiver.


Exemplo: entrada 1101

1. Inicia no estado q1.

2. Lê 1, segue transição de q1 p/ q2.




6. Pára c/ saída reconhece.


slide 26

Percebemos que :

- M1 reconhece qualquer cadeia que termine com 1 (vai p/ o estado final q2 toda vez que lê 1);

- M1 não reconhece cadeias como 0, 10, 101000.

Vamos aprender!

Testar: 1, 01, 11, 0101 (em M1)


Exemplo: Autômato que reconhece a linguagem de números binários com quantidade ímpar de 1s.

M = (∑, Q, δ, qo, F)

Q = { qo, q1 }, ∑ = { 0, 1 }, F = { q1 }

δ 0 1

qpar

qímpar

qpar

qímpar

qímpar

qpar


Função de Transição

δ (qpar,0) = qpar

...

slide 28

• Um Autômato Finito nunca entra em “loop” infinito

• Novos símbolos da entrada são lidos a cada aplicação da

função programa, o processo de reconhecimento de

qualquer cadeia pára de duas maneiras:

– Aceitando ou;

– rejeitando uma entrada.


• Definir um AF engloba definir

– Um conjunto finito de estados;

– Um alfabeto de entrada que indica os símbolos de entrada permitidos;

– Um conjunto de regras de movimento que indicam como ir de um estado p/ outro, dependendo do símbolo de entrada;

– Um estado escolhido como estado inicial;

– Um conjunto de estados escolhidos como estados finais (de reconhecimento);


slide 30

• Exercício: suponha que o alfabeto é {0,1}.Projete um AF para reconhecer a linguagem regular composta por todas as cadeias que tem 001 como subcadeia

• Por exemplo, 0010, 1001, 001 e 11111110011111 pertencem a esta linguagem, mas 11 e 0000 não

Autômatos Finitos Determinísticos – Praticando...

Exercício 2: Construir um AFD que reconhece a linguagem a*.

M = (∑, Q, δδδδ, qo, F)

Q = { qo }, ∑ = { a }, F = { q0 }

δδδδ a

qo qo

qo

a



slide 32

Exercício 3: Construir um AFD que reconhece a linguagem aa* .

M = (∑, Q, δδδδ, qo, F)

Q = { qo, q1 }, ∑ = { a }, F = { q1 }

δδδδ a

qo

q1

q1

q1

qo q1

a a



Exercício 4: Construir um AFD que reconhece a

linguagem (abb*a)*

M = (∑, Q, δδδδ, qo, F)

Q = { qo, q1, q2 }, ∑ = { a, b }, F = { q0 }

qo q1

a

b

q2

b

a

δδδδ a b

qo

q1

q1

qrej

qrej

q2

q2 q0 q2



slide 34

Exercício 5:

Conjunto de todos as palavras com três zeros consecutivos.


Exercício 6:

Conjunto de todas as palavras que não contém 101

como subpalavra.


slide 36


UAB/UFRPE




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slide 2

Conceitos Iniciais

• Computadores atuais mais rápidos e poderosos

• Modelos matemáticos

• Autômatos Finitos

Autômatos Finitos

• Reconhecedor de palavras ou cadeia de caracteres

• Bons modelos para computadores com capacidade de memória reduzida

• Fazem parte de vários dispositivos eletro-mecânicos

do dia-a-dia

slide 4

Autômatos Finitos

• Exemplo 1

Visão aérea de uma porta automática

Autômatos Finitos

• Exemplo 1

O controlador passa de um estado para outro dependendo do estímulo (entrada) que recebe:

O controlador da porta pode estar em 2 estados:

- aberto (significando porta aberta)

- fechado (significando porta fechada)

slide 6

Autômatos Finitos

• Exemplo 1


Frente: significando que uma pessoa está em pé sobre o tapete da

frente;

Retaguarda: significando que uma pessoa está em pé sobre o tapete

de

dentro;

Ambos: significando que existem pessoas sobre os 2 tapetes;

Nenhum: significando que ninguém está sobre os tapetes.

Autômatos Finitos

• Exemplo 1


slide 8

Autômatos Finitos

• Exemplo 1

Tabela de Transição

Autômatos Finitos

• Exemplo 2

Interruptor

Estados: Ligado ou Desligado

slide 10

Autômatos Finitos

• Exemplo 3

Palavra AMOR

Qualquer outra palavra deve ser descartada

Autômatos Finitos

• Exemplo 3

Tentativa de leitura da Palavra AMBIENTE

slide 12

Autômatos Finitos

• Controladores para:

– Lavadoras de louça/roupa

– Termômetros eletrônicos

– Relógios digitais

– Calculadoras

– Máquinas de venda automática

Autômatos Finitos

• O AF é uma máquina, reconhecedora de palavras ou cadeia de caracteres, que sempre pára retornando uma resposta sim (cadeia reconhecida) ou não (cadeia não conhecida)

• Podem ser classificados em:

– Autômatos Finitos Determinísticos (AFD)

– Autômatos Finitos Não-Determinísticos (AFND)

slide 14

Autômatos Finitos Determinísticos – Definição Formal

Definição formal de um Autômato Finito Determinístico:

Um Autômato Finito Determinístico (AFD) M é uma 5-upla:

M = (Q, Σ, δ, q0, F), onde

Q: conjunto finito de estados do autômato;

Σ: alfabeto de símbolos de entrada;

δ: função programa ou função de transição (parcial) δ: Q × Σ → Q. Significa dizer que permanecendo em um estado e lendo um símbolo do alfabeto faz o autômato passar para outro estado ou mesmo ficar no mesmo

q0: estado inicial (q0∈Q)

F: conjunto de estados finais ou estados de aceitação (F⊆Q)

Um alfabeto Σ é um conjunto finito (não-vazio) de símbolos

Ex.: Alfabetos

Σ1 = {0,1}

Σ2 = {a, b, c, …, z}

Uma cadeia (string) em um alfabeto Σ é uma

seqüência finita de símbolos deste alfabeto

Ex.: Cadeias

01001

abracadabra


slide 16

Se w = w1w2…wn é uma cadeia sobre Σ, o

comprimento de w, denotado por |w|, é n

A cadeia de comprimento 0, é denominada cadeia nula e é representada por λ

Ex.: |abracadabra| = 11


Se u = u1u2…un e v = v1v2

…vm são cadeias no

alfabeto Σ, então a concatenação de u com v, denotada por uv, é definida por:

uv = u1u2…unv1v2

…vm

Ex.: u = abra e v = cadabra ⇒ uv = abracadabra

� Propriedades da concatenação

• uλ = λu = u

• u(vw) = (uv)w

• |uv| = |u| + |v|


slide 18

A concatenação da mesma cadeia várias vezes é definida por:

w0 = λ, e

wn+1 = wn w, para n ≥ 0

Se w = w1w2…wn é uma cadeia no alfabeto Σ,

então a reversa (inversa) de w, denotada por wR, é definida por wR = wn

…w2w1

� Observações

• λR = λ

• (vw)R = wRvR

Autômatos Finitos Determinísticos – Concatenação

Seja Σ um alfabeto. Então:

Σ0 = { λ }

Σ1 = { w : |w| = 1 }

Σ2 = { w : |w| = 2 }

Σn = { w : |w| = n }

Σ* = Σ0 ∪ Σ1 ∪ … ∪ Σn ∪ Σn+1 ∪ …

ou seja,

Σ* = { w : w é uma cadeia em Σ}


slide 20

Uma Linguagem L no alfabeto Σ é qualquer

subconjunto de Σ*

Ex.: Σ = { a, b }

L1 = { ab, ba }

L2 = { λ }

L3 = { anbn : n ≥ 0 }


Exemplo:

Seja ∑ = {a, b, c, ..., z}. Sejam A e B as linguagens sobre ∑ dadas por: A = {bom, mau} e B = {garoto, garota}, então:

A ∪ B = {bom, mau, garoto, garota}

A • B = {bomgaroto, bomgarota, maugaroto,

maugarota}

A* = {λ, bom, mau, bombom, bommau,

maubom, maumau, bombombom, ...}


slide 22

Autômatos Finitos Determinísticos – Representação Gráfica

• Representação Gráfica


Um autômato finito M1: (diagrama de estados)

M1 tem 3 estados, q1, q2, q3 ;

M1 inicia no estado q1 ;

M1 tem um estado final, q2 ;

Os arcos que vão de um estado p/ outro chamam-se transições.

slide 24

- O autômato finito M1 recebe os símbolos de entrada um por um;

- Depois de ler cada símbolo, M1 move-se de um estado para outro, de acordo com a transição que possui aquele símbolo como seu rótulo;

- Quando M1 lê o ultimo símbolo ele produz uma saída:

reconhece se M1 está no estado final não-reconhece se M1 não estiver.


Exemplo: entrada 1101

1. Inicia no estado q1.





6. Pára c/ saída reconhece.


slide 26

Percebemos que :

- M1 reconhece qualquer cadeia que termine com 1 (vai p/ o estado final q2 toda vez que lê 1);

- M1 não reconhece cadeias como 0, 10, 101000.

Vamos aprender!

Testar: 1, 01, 11, 0101 (em M1)


Exemplo: Autômato que reconhece a linguagem de números binários com quantidade ímpar de 1s.

M = (∑, Q, δ, qo, F)

Q = { qo, q1 }, ∑ = { 0, 1 }, F = { q1 }

δ 0 1

qpar

qímpar

qpar

qímpar

qímpar

qpar



δ (qpar,0) = qpar

...

slide 28

• Um Autômato Finito nunca entra em “loop” infinito

• Novos símbolos da entrada são lidos a cada aplicação da

função programa, o processo de reconhecimento de

qualquer cadeia pára de duas maneiras:

– Aceitando ou;

– rejeitando uma entrada.


• Definir um AF engloba definir

– Um conjunto finito de estados;

– Um alfabeto de entrada que indica os símbolos de entrada permitidos;

– Um conjunto de regras de movimento que indicam como ir de um estado p/ outro, dependendo do símbolo de entrada;

– Um estado escolhido como estado inicial;

– Um conjunto de estados escolhidos como estados finais (de reconhecimento);


slide 30

• Exercício: suponha que o alfabeto é {0,1}.Projete um AF para reconhecer a linguagem regular composta por todas as cadeias que tem 001 como subcadeia

• Por exemplo, 0010, 1001, 001 e 11111110011111 pertencem a esta linguagem, mas 11 e 0000 não


Exercício 2: Construir um AFD que reconhece a linguagem a*.

M = (∑, Q, δδδδ, qo, F)

Q = { qo }, ∑ = { a }, F = { q0 }

δδδδ a

qo qo

qo

a



slide 32

Exercício 3: Construir um AFD que reconhece a linguagem aa* .

M = (∑, Q, δδδδ, qo, F)

Q = { qo, q1 }, ∑ = { a }, F = { q1 }

δδδδ a

qo

q1

q1

q1

qo q1

a a



Exercício 4: Construir um AFD que reconhece a

linguagem (abb*a)*

M = (∑, Q, δδδδ, qo, F)

Q = { qo, q1, q2 }, ∑ = { a, b }, F = { q0 }

qo q1

a

b

q2

b

a

δδδδ a b

qo

q1

q1

qrej

qrej

q2

q2 q0 q2



slide 34

Exercício 5:

Conjunto de todos as palavras com três zeros consecutivos.


Exercício 6:

Conjunto de todas as palavras que não contém 101

como subpalavra.


slide 36


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