Teorico Superior

7/24/2019 Teorico Superior

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Trigonometria


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Medidas da Circunferncia

Material Terico

Responsvel pelo Contedo:

Prof. Dr. Marcio Eugen

Reviso Textual:

Prof. Ms. Selma Aparecida Cesarin


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Introduo

Medidas do ngulo da Circunferncia

Comprimento do Arco da Circunferncia

Congruncia de Arcos

Determinao dos Quadrantes

Iniciaremos o estudo desta unidade pela definio de um arco,depois passaremos a conhecer os o sentido do movimento.

Nesta unidade tambm estudaremos o ngulo central, asunidades de medida e suas converses e a determinao docomprimento de arcos.

Situaes prticas, aplicaes envolvendo os contedosabordados na unidade arco da circunferncia encerramessa unidade.

Medidas da Circunferncia

Ateno

Realize a leitura dos textos indicados, acompanhe e refaa todos os exemplos e anote suasdvidas. Assista s apresentaes narradas de alguns exerccios.

Fique atento s atividades avaliativas e aos prazos de entrega.


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Unidade: Medidas da Circunferncia

Contextualizao

Ao longo do desenvolvimento desta unidade percebe se aplicabilidade dos conhecimentostrabalhados. A necessidade de se conhecer as medidas da circunferncia, bem como o sistemade converso entre as unidades mais usuais e compreender o estabelecimento de relaes comos elementos da circunferncia. Para aprofundar o conhecimento sobre a temtica desenvolvida,

veja algumas situaes-problema em que usamos os tpicos abordados na unidade sobremedidas de uma circunferncia.

Para Pensar

1 - Ao considerar um relgio analgico que dividido em doze partes iguais que marcamas horas e outras 60 partes idnticas que marcam os segundos, quais so os ngulosformados ao se deslocar 1 hora o ponteiro das horas e 1 minuto o ponteiro dos segundos?

a) Qual a inteno do problema em descrever que a o relgio esta dividido em doze partes iguais?b) Sabendo que uma circunferncia tem 360 possvel marcar outros ngulos no relgio?c) Qual a medida em graus quando o relgio marcar 18:00?d) Que relaes matemticas esto envolvidas na resoluo deste exerccio?

2 - No alto de uma torre esta sendo instalado um relgio de raio 120 cm, que ser ligadoa meia noite. Quando este relgio tiver deslocado seus ponteiros a 90 qual ser a hora

marcada neste relgio e qual o comprimento do arco formado?

a) Qual a relao entre o horrio em que o relgio entra em operao a questo proposta?b) Qual a influencia do angulo e do horrio marcado pelo relgio?c) De que maneira podemos calcular o arco formado nesta situao?

3 - Em um parque da cidade, existe uma pista de caminhada com formato circular, cujoraio mede 40 metros. Se uma pessoa caminhar durante 30 voltas, qual ser distnciapor ela percorrida?

a) Qual seria o tpico estudado nesta unidade utilizado para resolver esta?b) Qual o relao entre o raio e a distncia percorrida?

c) Supondo que esta pista tenha um raio igual a 45 agora, que consideaoes podem ser feitas?

4 - Depois de uma hora, qual ser a medida do ngulo formado pelo ponteiro dosminutos? Determine em graus e em radianos.

a) Qual a relao entre graus e radianos?b) Qual ponteiro se movimenta mais neste intervalo de tempo? Por qu?c) E se a pergunta fosse feita em relao ao ponteiro dos minutos, o que mudaria?

Ao longo das Atividades apresentadas anteriormente podemos verificar a presena da

trigonometria nas mais diversas aplicaes. Ao contextualizar o conhecimento desenvolvidoao longo desta unidade, podemos ter certeza da necessidade se se conhecer as medidas dacircunferncia e como elas podem se relacionar com os elementos da circunferncia.


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Introduo

Iniciamos o estudo das medidas da circunferncia pela definio de um arco. O termoarco de uma circunferncia pode ser determinado por dois pontos e representa um trechodo comprimento da circunferncia. Podemos representar um arco AB quando o arco temextremidades nos pontos A e B da circunferncia. quando considerado o sentido anti-horrioteremos o ponto A como origem do arco e o ponto B como extremidade deste.

Arco AB

B

A

Nesta figura apresentada acima podemos considerar que o arco BA seria o arco maior,considerando o sentido anti-horrio teremos como inicio o ponto B e extremidade o ponto A.

Podemos ter uma situao onde os pontos A e B estejam sobrepostos, na mesma localidade.Nesta condio podemos afirmar que o arco nulo ou de uma volta.

A=B

Toda circunferncia tem origem no centro representado por 0 e com isto cada arco possuium ngulo central que varia de acordo com a distncia entre os pontos que formam o arco.

B

0

A

Na figura anterior temos o arco AB e o ngulo central AOB.


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Medidas do ngulo da Circunferncia

Para se medir os arcos de uma circunferncia as unidades mais usuais so o grau e o radiano.A unidade de medida denominada grau divide a circunferncia em 360 partes iguais, cada

uma equivalente a um arco de 1 grau (1).

O radiano a medida de arco cujo comprimento tem o mesmo valor do raio da circunferncia(1 rad).

B

0

A

Neste caso a distncia do raio tem o mesmo valor que o arco que tem inicio no ponto A eextremidade no ponto B. Logo a medida deste arco de 1 rad.

Como medir o comprimento de um arco? Sabendo que o comprimento do arco a distnciapercorrida de A at B na curvatura da circunferncia.

Para calcularmos o comprimento da circunferncia devemos lembrar que uma circunfernciatem 360 , onde o comprimento dado por:

C = 2..r, em que:

= 3.141592....

C o comprimento da circunferncia;

R raio da circunferncia.

Voc Sabia ? importante saber que o valor de obtido pela razo entre o valor do permetro dacircunferncia pelo seu respectivo dimetro, resultando na constante = 3.141592.....

Sabendo que o raio da circunferncia corresponde a 1 radiano, possvel concluir que acircunferncia que pode ser dada por C = 2..r, pode tambm pode ser definida por C = 2.rad.

Considerando que C = 2. rad, podemos chegar a concluso que 360 = 2.rad. Logopodemos adotar rad = 180.


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Exemplo 1:

Tomando como exemplo a converso de 30 para radianos, temos:

Grau Radianos

180 ---------------------------- 30 ---------------------------- x

180 . x = 30 .

x = (30 . ) / 180 simplificando ambos os membros por 6 temos:

x = /6 radianos

Para resolver o inverso, ou seja, converter valores de radianos para graus, basta substituir por 180 na operao, veja o exemplo a seguir.

Exemplo:

Converta um para graus o arco que mede AB= 2/6 radianos.

Sabendo que = 180 substituiremos o valor de na equao.

AB = 2/6 radianos

AB = (2. 180)/6

AB = 360 / 6

AB = 60

Agora como podemos proceder no caso de ngulos no exatos? Se precisar fazer a conversode um arco que mede 18 30 (dezoito graus e trinta minutos), por exemplo.

Sabendo que 1 = 60 (sessenta minutos), podemos converter todos os valores para minutos.

18 = 18 . 60 = 1080

Acrescentando os 30, temos 1080 + 30 = 1110

Lembrando que 180 = rad, devemos convert-lo tambm para minutos.

180 = 180 . 60 = 10800

Grau Radianos

10800 ---------------------------- 1110 ---------------------------- x


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De posse destes valore podemos partir para a converso dos valores:

10800 . x = 1110 . x = (1110 . ) / 10800 simplificando ambos os termos por 30, temos:

x = 37 . radianos 360

Podemos resumir a converso entre graus e radianos da seguinte forma:

180 = radianos

360 = 2radianos

1 = 60 minutos (60)

1 = 60 segundos (60)

Para se converter de radianos para graus, substitumos o valos de na operao por 180.

J para se converter de graus para radianos, devemos estabelecer a relao entre o valor dee seu equivalente em graus, 180 por meio da regra de trs.

Exemplo:

Converta o arco que mede 900 para radianos.Sabendo que rad = 180, temos que:

Grau Radianos

180 ---------------------------- 900 ---------------------------- x

180 . x = 900 .

X = 900 / 180

X = 5radianos

Comprimento do Arco da Circunferncia

Considerando uma circunferncia de raio 10 centmetros, qual seria a medida em radianosde um arco de 25 cm de comprimento contido nesta circunferncia?


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B

0 ARaio

Primeiramente vamos lembrar que 1 radiano igual a medida de uma arco com a mesmamedida do raio.

Chamaremos de o ngulo central que corresponde ao arco em radianos.

Tomaremos o comprimento do arco representado pela letra .

Estabelecendo as relaes, podemos escrever:

Comprimento

do arco

Medida do arco

(Radianos)

r ---------------------------- 1----------------------------

. 1 = r .

= . r

Substituindo os valores, teremos:

= .r

20 = . 8

20/8 =

= 2,5 radianos

Exemplo:

Uma bicicleta deu 50 voltas em um percurso de 95 metros. Qual o dimetro da rodadesta bicicleta?

Dimetro


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Se a bicicleta percorreu 95 metros em 50 voltas, podemos concluir que 95/50 igual distncia percorrida por uma volta da roda. Ou seja, cada volta equivale a 1,9 metros.

Sabendo que o comprimento da circunferncia dado por C = 2. . r , temos:

1,9 = 2 . 3,14 . r

1,9 = 6,28 . r

r = 1,9/6,28

r = 0,30 metros ou 30 centmetros

Como o exerccio pergunta sobre o dimetro basta considerar que o dimetro igual aodobro do raio. Logo d = 60 centmetros.

Congruncia de Arcos

Um ponto A em uma circunferncia pode-se afirmar que o mesmo ponto de A +2, ondeeste exatamente uma volta maior que o primeiro.

Podemos ento chamar de nmeros congruentes.

Vamos pensar em alguns nmeros congruentes a /3 :

/3 + 1 volta

/3 + 2

9/4

Logo, pode-se dizer que /3 congruente a 9/4.

Exemplo:Determine o nmero de voltadas e o ponto congruente para cada caso:

a) 18

18 = 9 . 2+ 0

Logo foram 9 voltas a partir da origem 0.

b) 21

21

= 20

+

Onde 20 = 10 . 2

Dez voltas a partir de


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13

c) 20 /4

20 /4 = 5

5 = 5 + 0

Cinco voltas a partir de 0.

Exemplo:

a) Qual o menor arco no negativo cngruo ao arco de 1470?

Sabendo que o termo geral pode ser escrito da seguinte forma, temos:

k. 360 + , onde:

K o nmero de voltas

o ngulo cngruo.

1470 = k. 360 +

Dividindo 1470 por 360, obtemos 3 voltas e resto 240.

Logo 240 a menor determinao positiva para este problema.

b) Qual a menor determinao positiva para -750 ?

Dividindo 750 por 360, obtemos 2 voltas e resto 30.

Atribuindo estes valores a equao, temos:750 = k. 360 + (como o ngulo negativo, multiplicamos a equao por 1)

750 = k. 360 (Sabendo que K= 2 obtido na diviso)

750 = 2. 360 30 (para = 30)

30 = 30

A primeira determinao positiva ser 330, pois 30 = 360 .

Determinao dos Quadrantes

Os quadrantes podem estar distribudos com valores em graus ou radianos, como j foidiscutido anteriormente. Estes quadrantes dividem uma circunferncia em quatro partesdenominadas I,II,III e IV quadrantes.

I quadrante: Compreende os valores entre 0o e 90 ou 0 rad e /2 radianos;

II quadrante: Compreende os valores entre 90 e 180 ou

/2 radianos e

radiano; III quadrante: Compreende os valores entre 180 e 270 ou radianos e 3/2 radianos;

IV radianos: Compreende os valores entre 270 e 360 ou 3/2 radianos e 2radianos.


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Exemplo:

a) Determine em qual quadrante este localizado o ponto B do arco AB=1945

Inicialmente dividiremos 1945 por 360 graus. Temos como resto 145 e o nmero de

voltas k=5.Substituindo estes valores na equao, temos:

Arco = k. 360 +

1945 = k. 360 +

Sabendo que =145 e o nmero de voltas k = 5

1945 = 5. 360 + 145

O ponto B esta localizado no 3 quadrante, onde 1945 cngruo a 145 .

b) Em qual dos quadrantes esta localizado a extremidade do arco de -2000 ?

Iniciamos com a diviso por 360 para obter o resto da diviso que denominamos de eo nmero de voltas que chamamos de k.

2000 dividido por 360 resultam no resto igual 200 e o nmeros de volta igual a 5.

Na equao teremos:

Arco = k. 360 +

200 + 1 volta = 560

200 + 2 voltas = 920200 + 3 voltas = 1280

200 + 4 voltas = 1640

200 + 5 voltas = 2000

A extremidade do arco esta localizada no segundo quadrante, pois temos o ngulo situadoentre 180 e 270.

Exemplo:Sabendo que o ponteiro dos minutos de um relgio mede 10mm. Qual a distncia percorrida

por sua extremidade em 50 minutos?

Considerando o ponteiro dos minutos como sendo o raio da circunferncia temos r = 10mmou 1 cm.

Sabendo que cada espao entre as horas do relgio representa 30, podemos concluir que50 minutos equivalem a 10 espaos, logo = 300.

De posse dos valores podemos determinar a distncia percorrida.

C = 2. .rC = 2. 3,1415. 1cm

C = 6,28 cm


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Como no relgio a circunferncia esta dividida em 12 partes e queremos o equivalente a 10partes, ou seja, 300.

6,28 /12 = 0,5235

0,5235 . 10 = 5,235 cm

A distncia percorrida pela extremidade do ponteiro dos minutos foi de 5,235 cm

importante compreender e refazer os exerccios aqui propostos. Entender a converso entregraus e radianos, saber calcular o comprimento da circunferncia e estabelecer as relaes entreas variveis.

Compreender os arcos da circunferncia, o ngulo central, entender as subdivises dos

ngulos e estabelecer a relao entre as partes.


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Material Complementar

Depois de estudar os contedos relacionados as medidas da circunferncia sugerimosaprofundar seus estudos sobre Medidas da Circunferncia consultando as indicaes a seguir:

1 - O presente artigo intitulado Trigonometria Dinmica: unidade de aprendizagem online paraestudo de Trigonometria, Larissa de Sousa Moreira; Gilmara Teixeira Barcelos; Silvia CristinaFreitas Batista e Liliana Maria Passerino tem o objetivo investigar o estudo de trigonometria.Disponvel em: . Acessado em:10/10/2014.

2 - http://www.brasilescola.com/matematica/comprimento-um-arco.htm

3 - http://www.mundoeducacao.com/matematica/medidas-arcos-circunferencia.htm

4 - http://www.infoescola.com/geometria-plana/circunferencia/

5 - A parte 9 do livro Matemtica do Ensino Mdio(volume I), de Antonio dos SantosMachado. So Paulo, Atual, 1996.
http://www.br-ie.org/pub/index.php/rbie/article/view/1025http://www.brasilescola.com/matematica/comprimento-um-arco.htm%20http://www.mundoeducacao.com/matematica/medidas-arcos-circunferencia.htmhttp://www.infoescola.com/geometria-plana/circunferencia/http://www.infoescola.com/geometria-plana/circunferencia/http://www.mundoeducacao.com/matematica/medidas-arcos-circunferencia.htmhttp://www.brasilescola.com/matematica/comprimento-um-arco.htm%20http://www.br-ie.org/pub/index.php/rbie/article/view/1025


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Referncias

GIOVANNI, Jos Ruy. Matemtica Completa. 2 edio. So Paulo: FTD, 2005

IEZZI...[et.al], Gelson. Matemtica: Cincia e aplicaes: Ensino mdio. 6 edio. SoPaulo: Saraiva, 2010.

IEZZI, Gelson et al. Matemtica: Cincia e aplicaes, volume 1. Editora Saraiva.

MACHADO, Antonio dos Santos. Matemtica na escola: Ensino mdio Vol.1. 2 edio.So Paulo: Atual, 1996.

DANTE, L. R. Matemtica: Contexto e aplicaes Vol 1. So Paulo: tica, 2011.

PAIVA, M. Matemtica: volume nico. So Paulo: Moderna, 1999.

SOUZA, J. R. Novo Olhar Matemtica, volume 1. FTD.

GIOVANNI, Jos Ruy; CASTRUCCI, Benedicto. A Conquista da Matemtica, 9 ano;Editora FTD


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Anotaes


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