Terceirao-Geometria_Analitica

26
Resolução das atividades complementares Matemática M19 — Geometria Analítica: Pontos e Retas p. 08 1 (MACK-SP) Identifique a sentença falsa: a) O ponto (0, 2) pertence ao eixo y. b) O ponto (4, 0) pertence ao eixo x. c) O ponto (500, 500) pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares. d) O ponto (80, 280) pertence à bissetriz dos quadrantes pares. e) O ponto 3 3 1 1 1 1, ( ) pertence à bissetriz dos quadrantes pares. 3 (Unitau-SP) Sabendo-se que o ponto Q(1 2 a, b 1 2) pertence ao quarto quadrante do plano cartesiano, pode-se concluir que os possíveis valores de a e b são: a) {a IR | a 5 0} e {b IR | b , 1} d) {a IR | a , 22} e {b IR | b , 1} b) {a IR | a , 1} e {b IR | b , 22} e) {a IR | a 5 21} e {b IR | b 5 2} c) {a IR | a . 1} e {b IR | b . 22} 2 (FURRN) O ponto P, do eixo Oy, eqüidistante dos pontos Q(2, 0) e R(4, 2) é: a) 0, 9 12 ( ) c) (0, 4) e) (0, 0) b) 0, 11 2 ( ) d) (0, 3) Resolução: O ponto 3 3 1 1 1 1, ( ) tem as coordenadas iguais. Logo, pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares. Resolução: P(0, y); Q(2, 0); R(4, 2) d(P, Q) 5 d(P, R) 2 (0 4 (2 y 2 2 1 2 5 2 1 2 1 5 1 0 0 4 16 2 2 2 2 ( ) ( ) y y ) ) 4 16 4 2 1 5 5 4y y 4y P(0, 4) 2 y Resolução: No quarto quadrante, devemos ter: • abscissa positiva: 1 2 a . 0 a , 1 • ordenada negativa: b 1 2 , 0 b , 22 Portanto, {a IR | a , 1} e {b IR | b , 22}.

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Page 1: Terceirao-Geometria_Analitica

Resolução das atividades complementares

MatemáticaM19 — Geometria Analítica: Pontos e Retas p. 08

1 (MACK-SP) Identifique a sentença falsa:a) O ponto (0, 2) pertence ao eixo y.b) O ponto (4, 0) pertence ao eixo x.c) O ponto (500, 500) pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares.d) O ponto (80, 280) pertence à bissetriz dos quadrantes pares.e) O ponto 3 3 11 11,( ) pertence à bissetriz dos quadrantes pares.

3 (Unitau-SP) Sabendo-se que o ponto Q(1 2 a, b 1 2) pertence ao quarto quadrante do plano cartesiano, pode-se concluir que os possíveis valores de a e b são:a) {a IR | a 5 0} e {b IR | b , 1} d) {a IR | a , 22} e {b IR | b , 1}b) {a IR | a , 1} e {b IR | b , 22} e) {a IR | a 5 21} e {b IR | b 5 2}c) {a IR | a . 1} e {b IR | b . 22}

2 (FURRN) O ponto P, do eixo Oy, eqüidistante dos pontos Q(2, 0) e R(4, 2) é:

a) 0, 912( ) c) (0, 4) e) (0, 0)

b) 0, 112( ) d) (0, 3)

Resolução:O ponto 3 3 11 11,( ) tem as coordenadas iguais. Logo, pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares.

Resolução:P(0, y); Q(2, 0); R(4, 2) d(P, Q) 5 dd(P, R)

2 (0 4 (2y2

2 1 2 5 2 1 2

1 5 1

0 04 16

2 2 2 2( ) ( )y y) )44 16 42 1 5 54y y 4y P(0, 4)2 ⇒ ⇒ y

Resolução:No quarto quadrante, devemos ter: • abscissa positiva: 1 2 a . 0 ⇒ a , 1 • ordenada negativa: b 1 2 , 0 ⇒ b , 22

Portanto, {a IR | a , 1} e {b IR | b , 22}.

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4 (Vunesp-SP) Os vértices da base de um triângulo isósceles são os pontos (1, 21) e (23, 4) de um sistema de coordenadas cartesianas retangulares. Qual a ordenada do terceiro vértice, se ele pertence ao eixo das ordenadas?

5 (UFU-MG) São dados os pontos A(2, y), B(1, 24) e C(3, 21). Qual deve ser o valor de y para que o triângulo ABC seja retângulo em B?

6 (UESPI) Se os pontos P(1, 2), Q(3, 5), R(6, 7) são os vértices de um triângulo, então o triângulo é:a) isósceles e retângulo c) isósceles e não-retângulo e) escalenob) retângulo e não-isósceles d) eqüilátero

p. 09

2,3

Resolução:d(A, C) d(B, C)

(y 3 (y2

5

2 1 1 5 1( ) )1 12 2 22

1 1 1 5 1 2 1

5 5

4

1 1 9 16

2)

y 2y y 8y10y 23 y 2,3

2 2

Resolução:Desenhando o triângulo no plano caartesiano:

d(P, Q) (3 1) (5 2)

d(P, R)

2 25 2 1 2 5

5

13

((6 1) (7 2)

d(Q, R) (6 3) (7 5)Co

2 2

2 2

2 1 2 5

5 2 1 2 5

50

13mmo d(P, Q) d(Q, R) d(P, R) e d(P, R) d(P,25 Q) d(Q, R)

o triângulo PQR é isósceles

2 21 ,ee não-retângulo.

B(�3, 4)

C(0, y)

A(1, �1)

A

B C

7

y

5

2P

Q

R

6 x31

2143

Resolução:

O triângulo ABC é retângulo em B.Logo, o lado

• •

AC é a hipotenusa.

Usando o teorema de Pitágoras, temos:

d A, C( ))[ ] ( )[ ] ( )[ ]( )

2

2 2

d A, B d B, C

(3 2) ( 1 y)

5 1

2 1 2 2

2 2

22 2 2

2

5 2 1 2 2 1 2 1 2 1

1

(1 2) ( 4 y) (3 1) ( 1 4)

2y

2 2 2 2( ) ( )y 11 5 1 1 1 5 22 13y 8y 17 14

32 ⇒ y

Page 3: Terceirao-Geometria_Analitica

7 (UFAL) Sejam o ponto P(2, 1) e o ponto Q, de abscissa 4, localizado no 1o quadrante. Se a distância de Q a P é igual à distância de Q ao eixo das abscissas, então Q é o ponto:

a) 52

, 4( ) c) (4, 3) e) (4, 4)

b) 4, 52( ) d) (2, 4)

8 (Unicruz-RS) O ponto médio do segmento (23, 7) e (11, 15) é:a) (11, 4) c) (4, 5) e) (4, 11)b) (8, 4) d) (8, 11)

9 (FEI-SP) Os pontos X, Y e Z possuem as seguintes coordenadas no plano cartesiano: (0, 0), (m, 8), (n, n 1 3).Se Z é o ponto médio do segmento

• •

,XY então:a) m 5 2 c) n 5 3 e) n 5 2b) m 5 1 d) m 5 5

Resolução:

x

yM(4,

M

M

52 1

5

51

5

3 112

4

7 152

11

111)

Resolução:X(0, 0); Y(m, 8); Z(n, n 3)

2

1

51n m0

nn

m

1 51

5

5

5

53 0 8 2

2

12

2n

2n

m

n

⇒ ⇒

a

y

1

0 1 2

P

Q

3 4 x

Resolução:

d(Q, P) (4 2) (a 1)a 2a

2 2

2

5 2 1 2 5

1 2 1

a a⇒4 11

5 52

5

5 5

a

2a

Logo, Q 4, 52

2

⇒ a

( )

Page 4: Terceirao-Geometria_Analitica

10 Calcule os comprimentos das medianas de um triângulo cujos vértices são os pontos A(0, 0), B(4, 26) e C(21, 23).

11 Determine as coordenadas dos pontos que dividem em três partes iguais o segmento de extremidades (22, 21) e (3, 2).

Resolução:

x

y

52 1

5 2

52 1

5 2

2

1 0

3 02

12

232

M 121

⇒ ,, 32

232

t2

92

M 32

, 92

2

52 1

5

52 2

5 2

2

( )

z 1 4

3 6⇒

22

2

23

M (2, 3)

d(A, M

3

2

( )

u

v

51

5

52

5 2

2

0 4 2

0 6⇒

))

d(B, M )1

5 2 1 2 2 5

5 2 2 1 2

32

0 92

0 3 102

12

4

2 2

2

( ) ( )( ) 33

26 9 2

2

1 3 3

2

2

2 2 5

5 2 2 1 2 2 2

( )

( ) ( )

( )( ) ( )d(C, M ) 23

2235

Resolução:

x z y t z x t52

52

51

52

2(I) 1

2(II)

2(III)3 2 11 y

2(IV)

Das equações (I) e (III): Das equaçõees (II) e (IV):2x

x 2z

2y

y

2 5 2

2 1 5

2 5 2

2 1

z t2

3

1 22t

Resolvendo o sistema, obtemos: Resol

5 2

vvendo o sistema, obtemos:13

e z ex y5 2 5 543

0 t

Os pontos procurados são: 13

, 0 e 4

5

2

1

( ) 33, 1( ).

A(0, 0)

M2(z, t)

C(�1, �3)

M1(x, y)

B(4, �6)

M3(u, v)

(�2, �1) (x, y) (z, t) (3, 2)

Page 5: Terceirao-Geometria_Analitica

13 (Fafi-BH) O baricentro do triângulo ABC de vértices A(25, 25), B(1, 5) e C(19, 0) é:a) (25, 0) b) (215, 0) c) (5, 0) d) (15, 0)

12 (UFPE) Dado um triângulo ABC, calcule as coordenadas (x, y) do vértice A, sabendo-se que B(1, 1) e que os pontos médios dos lados BC e AC são respectivamente (21, 22) e (1, 0). Indique o valor do produto x ? y.

14 (Cesgranrio-RJ) A equação da reta mostrada na figura a seguir é:a) 3x 1 4y 2 12 5 0b) 3x 2 4y 1 12 5 0c) 4x 1 3y 1 12 5 0d) 4x 2 3y 2 12 5 0e) 4x 2 3y 1 12 5 0 �4 O

3

y

x

p. 16

Resolução:Seja o triângulo ABC da figura:

12 551

5 2

2 51

5 2

2 2

12

3

12

5

1

xx

y

CC

C

⇒2 yC( 3, 5)

C

552 1

5

52 1

5

?

32

5

0 52

5

x x

y

⇒ yA(5, 5)

Logo, x

yy 5 ? 55 5 25

Resolução:

x

y

G

G

52 1 1

5

52 1 1

5

5 1 193

5

5 5 03

0

G(55, 0)

Resolução:x y 1

4 0 12 012

2 5 2 1 2 52 1 5

0 1

0 3 1

4y 3x3x 4y

⇒00

B(1, 1) A(x, y)

(�1, �2)(1, 0)

C(xC, yC)

25

Page 6: Terceirao-Geometria_Analitica

15 (Unifor-CE) Na figura, tem-se um triângulo eqüilátero de lado 6 e cujos vértices A, B e C situam-se sobre os eixos cartesianos. A equação da reta suporte do lado

• •

BC é:

OA B

Cy

x

16 (UFG) Sejam P(0, 0), Q(0, 2), R(2, 2) e S(2, 0) pontos do plano cartesiano. Sejam A e B pontos médios dos segmentos QR e RS, respectivamente.a) Represente, num mesmo plano cartesiano, os pontos P, Q, R, S, A e B, destacando o triângulo APB.b) Mostre que o triângulo APB é isósceles.c) Determine a equação da reta que passa por A e B.

17 (Fuvest-SP) A tabela mostra a temperatura das águas do oceano Atlântico (ao nível do equador) em função da profundidade.Admitindo que a variação da temperatura seja linear entre duas medições consecutivas quaisquer feitas para a profundidade, qual a temperatura prevista para a profundidade de 400 m?

Profundidade(m)

Temperatura(°C)

superfície 27 100 21 500 7 1 000 4 3 000 2,8

a) d)

b) e) 3x

c)

x y x y

x y y

1 2 5 1 2 5

1 2 5 1 2 5

3 0 3 3 3 0

3 3 3 0 3 0

33 3 3 0x y2 1 5

Resolução:

Se cada lado de um triângulo eqüillátero mede , então a medida de sua altur aa é2

. Como

6, temos h . Então, A(

h 5

5 5 2

3

3 3 33, 0), B(3, 0), C 0, 3 3

: 0 1

0 3 3 1

( ).

• •

BC

x y 1

3 05 ⇒⇒ 3 3 0x 1 2 5y 3

b) d(P, A) (1 0) (0 2) 4

d(P, B) (2 0)

2 2

2

5 2 1 2 5 1 5

5 2

1 5

11 2 5 1 5

5

(1 0) 1

Logo, PA PB e o triângulo PAB

2 4 5

é isósceles.

c) Equação da reta que passa poor e :A B

1 2 1

2 1 1

1

0 3 0

x y

x y5 1 2 5⇒

Resolução:

100 21 1

400 1

500 7 1

0 42 0t t5 2 5 5⇒ ⇒4t 10,5 °C

Q RA(1, 2)

B(2, 1)

y

P S x

Resolução:a) Plano cartesiano

x 1 y 2 3 5 0

10,5 °C

Page 7: Terceirao-Geometria_Analitica

19 (PUCC-SP) Na figura abaixo tem-se representada, em um sistema de eixos cartesianos ortogonais, a rota de uma aeronave, de uma cidade M a uma cidade N, passando sobre as pequenas cidades A e B.

Se os quatro pontos pertencem à reta de equação 4x 2 3y 1 1 200 5 0, a distância entre as cidades A e B, em quilômetros, é aproximadamente:a) 50 c) 800 e) 8 000b) 500 d) 5 000

x (km)

y (km)

M

N

A

B

18 (Faap-SP) Uma reta de demanda estabelece a relação entre o preço de venda p de uma unidade de um produto e a quantidade q que se deseja comprar. Um distribuidor de relógios de mesa estima que, se o preço for R$ 80,00, ele poderá vender 1 000 unidades; se o preço subir para R$ 86,00, venderá 700. Quantos relógios ele poderia vender se o preço fosse R$ 90,00?a) 580 c) 500 e) 860b) 900 d) 730

Resolução:O ponto A tem ordenada y 5 0.4x 2 3y 1 1 200 5 0 ⇒ 4x 2 0 1 1 200 5 0 x 5 2300 kmDaí: A(2300, 0)O ponto B tem abscissa x 5 0.4x 2 3y 1 1 200 5 0 ⇒ 0 2 3y 1 1 200 5 0 y 5 400 kmDaí: B(0, 400)A distância entre A e B é igual a:

d 5 1 1 2 5 1(0 0) (400 0) 90

Portanto, d

2 230 000 160 000

55 500 km.

Resolução:Pelos dados, temos:

q p

x

1 000 80

700 86

990

Os pontos , e estão alinhados, logoA B C ::

86 1

1 000 80 1

3 0003 000

x

xx x

90 1

700 0 6 06 50

5 2 5

5 5

⇒⇒ 00

A BC

x 700 1 000 q

p

908680

Page 8: Terceirao-Geometria_Analitica

20 Determine k, sabendo que a inclinação da reta que passa pelos pontos A(k, 3) e B(21, 24) é 45°.

21 (PUC-SP) Determine a equação da reta de coeficiente angular igual a 2 45

e que passa pelo ponto P(2, 25).

22 (Esam-RN) A equação da reta que tem coeficientes angular e linear, respectivamente, iguais a 23

e 1 é:2

a x c e y

b d y

) ) )

) )

1 2 5 2 1 5 5

2 2 5 5

3y 2x 3y 23

x

2x 3y

5 0 3 0

3 0 22 1x 23

23 (UERJ) Um atleta está treinando em uma pista retilínea e o gráfico ao lado apresenta dados sobre seu movimento.A distância percorrida pelo corredor, no intervalo entre 0 e 5 s, é igual à área do trapézio destacado. Calcule essa distância.

5

v (m/s)

t (s)

4

10

2

O

k 5 6

Resolução:Se o gráfico representativo da velocidade está contido em uma reta, a função horária da velocidade tem a forma v(t) 5 at 1 b

Do gráfico, temos:t 2 m/s

10 s 4 m/

5 5

5 5

0 →→

v

t v ss

b

10a b

→2

4

5

5 1

Substituindo b por 2, obtemos: 4 5 10a 1 2, ou seja, a 5 15

.

Logo, v(t) 15

t5 1 2

A base maior do trapézio mede (para t 5 5 s):

v(5) 15

Portanto, S S

5 ? 1 5

51

51 ?

5 2 3

23 2 5

2( ) ( )B b h ⇒ 55 12,5

A distância é de 12,5 m.

12,5 m

4x 1 5y 1 17 5 0

Resolução:

mk

k5 52 22 2

5 5tg 45° 1 4 31

1 6⇒

Resolução:

m 5 2 2

1 5 2 2 1

45

; P(2, )

y 45

(x ) 5y

5

5 2 25⇒ 55 2 1 1 1 54x 4x 5y8 17 0⇒

Resolução:

y n y x5 1 5 2 5 2 2 2 5mx 3y 2x 2x 3y⇒ ⇒ ⇒23

1 3 3 0

Page 9: Terceirao-Geometria_Analitica

24 (FGV-SP) Quando uma família tem uma renda mensal de R$ 5 000,00, ela consome R$ 4 800,00 por mês; quando a renda é R$ 8 000,00, ela consome R$ 7 200,00.a) Chamando de X a renda mensal e de C o consumo, obtenha C em função de X, sabendo-se que o gráfico

de C em função de X é uma reta.b) Chama-se poupança mensal da família (P) à renda mensal menos o correspondente consumo. Obtenha P

em função de X e encontre os valores da renda para os quais a poupança é maior que R$ 1 000,00.

25 (Vunesp-SP) A figura mostra os gráficos de uma função exponencial

y 5 ax e da reta que passa pelo ponto 0, 53( ) e tem coeficiente angular 10

7.

Pelo ponto C 12

, 0( ) passou-se a perpendicular ao eixo x, que corta os gráficos,

respectivamente, em B e A.

Supondo-se que B esteja entre A e C, conforme mostra a figura, e que a medida

do segmento • •

AB é dada por 821

, determine o valor de a.

A

B

Cx

y

0, 53( )

12

p. 17

X . 9 000

C(X) 5 0,8X 1 800

4

Resolução:a) A sentença que define a função é do tipo C(X) 5 aX 1 b, uma vez que o gráfico de C é uma reta. Pelo enunciado:

4 800 5 000

7 200 8 000

5 ? 1

5 ? 1

a b

a b

(I)

(II)

Fazendo (II) 2 (I): 3 000a 5 2 400 a 5 0,8 Substituindo a por 0,8, em (I): 4 800 5 0,8 ? 5 000 1 b b 5 800 Então: C(X) 5 0,8X 1 800

b) P(X) 5 X 2 C(X) e C(X) 5 0,8X 1 800, então: P(X) 5 X 2 (0,8X 1 800) ou P(X) 5 0,2X 2 800 P . 1 000 ⇒ 0,2X 2 800 . 1 000 X . 9 000

Resolução:

De acordo com a figura:

r : y1 2 553

1007

107

12

(x 0) ou y 53

r : x

r r

2

1 2

2 5 1

5

5

x

A{ }

A

B

C0 x

y

r2

r1

0, 53( )

12

x y5 5 ? 1 512

107

53

5021

⇒ ⇒y 12

Logo, A 12

, 5021

, B( ) 112

, y e d(A, B)( )( ) ( )

5

5 2 1 2

821

821

12

12

5021

2

y22

821

5021

2

⇒ ⇒5 2 5y y

Então, B 12

, 2

Como per

( )B ttence ao gráfico da função y ax5

5 5

,

2 412a a⇒

Page 10: Terceirao-Geometria_Analitica

�0

26 (UFSM-RS)

B(8, 0)x

y

P(x, y)

A(0, 12)

O

A figura mostra um retângulo com dois lados nos eixos carte-sianos e um vértice na reta que passa pelos pontos A(0, 12) e B(8, 0). As dimensões x e y do retângulo, para que sua área seja máxima, devem ser, respectivamente, iguais a:a) 4 e 6 c) 5 e 7 e) 6 e 3

b) 5 e 92

d) 4 e 7

27 (UERN) Seja M o ponto de intersecção das retas de equações x 2 y 2 6 5 0 e 3x 1 y 2 2 5 0. A equação da reta paralela ao eixo das abscissas, passando por M, é:a) x 2 2y 5 10 c) x 5 2 e) y 5 24b) y 5 2 d) x 5 24

p. 24

Resolução:A P BOs pontos , e estão alinhadoss, logo:

24 2y 3x 32

x (1

0 12 1

1

8 0 1

0 0 12x y y5 2 2 5 5 2⇒ ⇒ ))

A (2)

Substituindo (1) em (2),

retângulo 5 ?x y

vem:

A 3 x 12x 3x 24x

Par

2 25 2 5 2 1 5 2 1x x A A12 32 2( ) ⇒ ⇒

aa que a área seja máxima, temos:

x b2a

xv v52 ⇒ 55

2? 2

5

5

243

42

Substituindo x 4 em (1), vem:

( )

yy

As dimensões do retângulo sã

5 2 ? 512 32

4 6 y .

oo 4 e 6.

Resolução:

12 2 5

1 2 5

2 5 5

2

x 6

3x4x

y

yx

x y

0

2 08 0 2

⇒22 5

2 2 5 5 2

2

62 6 4

4

00

M(2, )A equação da reta

y y⇒

““ ”horizontal e que passa por é yM 5 24.

Page 11: Terceirao-Geometria_Analitica

��

28 (UFPA) Escreva a equação da reta que passa pelo ponto P 12

, 12( ) e é perpendicular a uma reta que

forma com o sentido positivo do eixo do x um ângulo cuja tangente é 52

.

29 (UMC-SP) Dois barcos navegam durante um nevoeiro, segundo as direções das retas r e s, num sistema de coordenadas cartesianas.

Sendo r: 2x 2y 6 0 e s: x3

y3

2, pode-se af1 2 5 1 5 iirmar que:

a) O ponto possível de colisão é 23

, 23( ). d) O ponto possível de colisão é (3, 0).

b) O ponto possível de colisão é 23

, 23

2 2( ). e) Não poderá haver colisão.

c) O ponto possível de colisão é (0, 3).

Resolução:

m

m m

m

5

2

? 5 2

5 2

52

125

P 12

, 1( )y y m (x x )

25

2x 5y

1 22 5 2

1 5 2 2

1 1 5

y x1 12

4 0

( )

Resolução:Ponto de intersecção:

2x 2y

x3

y3

1 5

1

6

55

1 5

1 52

3

6

⇒x y

x y

Não há ponto de colisãão, pois as retas são paralelas.

2x 1 5y 1 4 5 0

Page 12: Terceirao-Geometria_Analitica

��

31 (UFPI) A equação da reta perpendicular à reta y 5 2x 1 1 e que passa pela intersecção das retas 2x 2 3y 2 1 5 0 e 3x 2 y 2 2 5 0 é:a) 2x 1 2y 1 7 5 0 c) 7x 2 7y 2 4 5 0 e) 22x 1 2y 2 5 5 0b) 5x 2 5y 1 1 5 0 d) 7x 1 7y 2 6 5 0

30 (UFSM-RS) Sejam r: x 1 qy 2 1 5 0 e s: px 1 5y 1 2 5 0 duas retas perpendiculares entre si. Então, é correto afirmar que:

a pq

c pq

e p q

b pq

d p q

) ) )

) )

5 2 5 ? 5

5 ? 5 2

5 1 5

5 1

p. 25

Resolução:

tReta :y

Observando que

5 2 1 5 2x mt1 1

u t, temos:

m ( 1)m

Coordent u

⊥⇒ ⇒? 5 2 2 5 2 5m mu u1 1 1

aadas do ponto , intersecção das retas eP r .

2x 3y

3x y

Resolvendo o sistem

s

2 2 5

2 2 5

1 0

2 0

aa, temos x e y 17

, ou seja, P 57

,

E

5 557

17( ).

qquação da reta : y 17

7y 7x 5

7x

u 2 5 2

2 5 2

2

1 57

1

x( )77y 2 54 0

r u

t

s

P

Resolução:

m 1q

e m p5

Para as retas sere

r s5 2 5 2

mm perpendiculares:

m m 1q

p5r s? 5 2 2 2 5 21 1⇒

( )

pp5q

5q pq

5 2 5 2 5 21 5⇒ ⇒p

Page 13: Terceirao-Geometria_Analitica

��

Em questões como a 32, a resposta é dada pela soma dos números que identificam as alternativas corretas.

32 (UEM-PR) Considere as retas r, s e t, dadas no gráfico ao lado.Sabe-se que a equação de r é 2y 5 x 2 3, que os pontos B e C são simétricos em relação ao eixo das abscissas, que as retas r e s são paralelas e que t é perpendicular a r. Nessas condições, é correto afirmar:(01) O ponto A sobre o eixo x, intersecção de r e t, é (2, 0).

(02) O ponto é 0, 32

C ( ).(04) A distância entre r e s é 3.

(08) Os coeficientes angulares das retas r, e são, respectivamente, 12

, 12

es t 22.

(16) A equação da reta t é y 5 22x 1 6.(32) A equação da reta horizontal que passa por A é x 5 0.(64) A equação da reta vertical que passa por A é x 5 3.

O

BA

C

t

r

s

x

y

Resolução:

r: 2y m

Como as r

r5 2 5 2 5x y x3 12

32

12

eetas e são paralelas, temos m

A

rr s 5 5ms12

.

reta é perpendicular à reta .t r

m mr t? 5 21 ⇒ 112

1 2? 5 2 5 2m mt t⇒

(01) Falsa. A reta intercepta o eixo quar x nndo

y

3. Logo, A(3, 0).

(02) Verd

5

? 5 2 5

0

2 0 3

.

x x⇒aadeira. A reta intercepta o eixo quandr y oo

x

2

Então, 0,2

. Como o p

5

5 2 5 2

2

0

2 0 3 3

3

.

y y⇒

( ) oonto é simé-

trico de em relação ao eix

C

B oo das abscissas,

0,2

.

(04) Falsa. A reta

C 3( )tem coeficiente angular 1

2e

passa pelo

s

pponto C 0, 32

.

s: y 2y

( )2 5 2 2 1 53

212

0 3 0( )x x⇒

A distância do ponto B 0, 32

à reta é:

d

2( ) s

((B, s)( 2)

(08)

25

2 ? 2 1

1 25

5 5

0 2 32

3

1

65

6 55

2

( )

Verdaadeira

Verdadeira

.

.(16)Equação da reta :

y

t

2 00 65 2 2 5 2 12(x 3) 2x

(32)A equação da re

⇒ y

Falsa.tta horizontal que passa por

é y

(64)

A 5 0.

Verddadeira.São corretas as afirmativas 2, 8, 116 e 64,somando 90.

2 1 8 1 16 1 64 5 90

Page 14: Terceirao-Geometria_Analitica

��

33 (FGV-SP) No plano cartesiano, considere a reta r de equação 2x 2 y 1 3 5 0. Seja t a reta perpendicular a r, passando pelo ponto P(21, 5).a) Obter o ponto de intersecção da reta t com o eixo da abscissas.b) Qual o ponto da reta r mais próximo de P?

34 (UFSC) Dados, num sistema de coordenadas cartesianas, os pontos A(4, 1), B(1, 1), C(4, 5) e a reta r representada pela equação x 1 y 2 2 5 0.Determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões) verdadeira(s).

(01) O ponto médio do lado é o ponto de• •

BC M coordenadas 52

, 3( ).

(02) A distância do ponto C à origem do sistema de coordenadas cartesianas é de 6 unidades.(04) O ponto A pertence à reta r.(08) A reta s de equação 25x 1 5y 2 13 5 0 e a reta r são perpendiculares.(16) A equação da reta que passa pelos pontos A e B é y 2 1 5 0.

35

215

,( )Resolução:a) Cálculo do coeficiente angular da reta r

2x 2 y 1 3 5 0 ⇒ y 5 2x 1 3 mr 5 2

Cálculo do coeficiente angular da reta , pt eer-pendicular a

m m m

Equação da

r t t

r

? 5 2 5 21 12

reta , passando pelo ponto

P( 1, 5)

y

t

2

2 5 25 112

1 9 0( )x x1 1 2 5⇒ 2y

Para obtermos o ponto A de intersecção da reta t com o eixo das abscissas, devemos ter y 5 0.

x 1 2 ? 0 2 9 5 0 ⇒ x 5 9 Portanto, A 5 (9, 0).

b) Seja o ponto de intersecção das retasM r e .Logo:

2x

x 2y

Resolvendo o

t

2 1 5

1 2 5

y 3 0

9 0

ssistema, temos M 35

,

O ponto da reta

5 215( ).

mais próximo de é

M 35

,

r P

5 215( ).

1 1 8 1 16 5 25

Resolução:(01) (1, 1); C (4, 5)

x

y

M

B 5 5

51

51 4

252

MM

M 52

, 3

Verdadeira.

(02) d(C,

51

5

51 5

23

( )

O )

Falsa.

(04) A (4, 1);

5 2 1 2 5

5

( ) ( )4 0 5 0 41 62 2

r: x

0

Falsa.

1 2 5

1 2 5

5

y 2 04 1 2 03

(08) s: 5x 5y

r:

2 1 2 5 5 1

5

1 2 5 5 2

13 0 135

12 0

y x

mx y y x

s

11

5 2

? 5 2

5

21

1mm m s

r

r s ⇔ ⊥r

Verdadeira.

(16) A (4, 1);; B (1, 1)

m

0(x0

Verdade

5

522

5

2 5 2

2 5

1 11 4

0

1 41

yy

)

iira.São corretas as afirmativas 1, 8 e 16,ssomando 25.

(9, 0)

Page 15: Terceirao-Geometria_Analitica

��

35 (MACK-SP) Num sistema cartesiano, as coordenadas dos vértices de um triângulo ABC são A(0, 0), B(3, 6) e C(8, 0). A soma das coordenadas do ortocentro (encontro das alturas) desse triângulo é:

a c e

b d

) ) )

) )

125

136

113

112

1312

36 (FGV-SP) O quadrado representado ao lado tem lados paralelos aos eixos x e y e sua diagonal AB está contida numa reta cuja equação é:a) y 5 x 2 1 c) y 5 x 1 3 e) y 5 3x 1 1b) y 5 2x 1 3 d) y 1 x 1 1

x

y

A

B

(�, 2�)

(2�, �)

Resolução:Considerando a representação gráfica do triângulo, temos:

O ponto O (encontro das alturas) tem abscissa 3, pois BH2 é uma altura do ABC. Sendo y sua ordenada, sabemos que o ortocentro é da forma (3, y). Sabendo que OC

←→ é perpendicular a AB

←→,

podemos afirmar que m mOC AB 1, logo:←→ ←→? 5 2

y y2

2?

2

25 2

2? 5 2

25 2

5

03 8

6 03 0

15

63

1 1

15

⇒ ⇒ ⇒

⇒ ⇒

6y15

6y yy y5 5156

52

Sendo O 3, 52

, a soma dessas co( ) oordenadas será: 3 1 51

552

6 52

112

.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10x

1

2

3

4

5

6

7

y

H1

A

B

O

C

H2

H3

Resolução:Sabendo que as diagonais do quadrado são perpendiculares, o coeficiente angular da reta

AB será m4 ( 2)

1 5

←→5 2

2 22 2

5 2

2

5 22

51 166

11

1.

Sendo A(21, 22), a equação de AB será:

←→

y 2 (22) 5 1(x 2 (21)) ⇒ y 1 2 5 x 1 1 ⇒ y 5 x 2 1

Page 16: Terceirao-Geometria_Analitica

��

37 (FGV-SP) No plano cartesiano, a reta de equação y 5 x 1 1 corta o lado AC do triângulo de vértices A(1, 7), B(1, 1) e C(10, 1), no ponto:a) (3, 4) c) (5, 6) e) (5,5; 4)

b) (4, 5) d) 1172

, 1172

1 1( )

38 (MACK-SP) A equação de uma reta, paralela à reta x 1 y 2 4 5 0 e distante 3 2 do ponto P(2, 1), é:a) x 1 y 1 3 5 0 c) x 1 y 2 3 5 0 e) x 1 y 2 12 5 0b) x 1 y 1 9 5 0 d) x 2 y 2 6 5 0

Resolução:

Sendo A(1, 7) e C(10, 1), mAC 521 7

110 16 2

25 2 5 2

2

9 3

A equação da reta AC será: y←→

77 2 1

21 2 0

5 2 2

2 5 2 1 1 2 5

33y 2x 2x 3y 23

O ponto p

( )x ⇒

rrocurado é a intersecção entre AC e a ret←→

aa y

2x

2x 2y

2x 3

5 1

2 1 5 ?

1 5

2 1 5

1

x

x y

y

1

1 2

3 23

2

:

( )

⇒yy

5y

O ponto procura

55 5

2 1 5 5

2325 5

5 1 4

⇒ ⇒

y

x x

ddo é (4, 5).

Resolução:Uma paralela à reta x 0 é da1 2 5y 4 fforma x 0.

Se a distância de P(2, 1) at

1 1 5y c

éé essa reta é 3 2 , então:2| |

|1 1

15

1

1 13 2 3

2 2

c⇒ 11 5 ? 1 5

1 51 5 5

1 5 2

c c

cc c

c

| | |3 2 2 3 6

63 6 3

3 6

⇒⇒

Se |3 |cc

y

5 2

1 2 5

9

4As paralelas à reta x 0, distantes 3 2 do ponto são x 0 e xP, 1 2 5 1 1 5y y9 3 0.

Page 17: Terceirao-Geometria_Analitica

��

39 (Fuvest-SP) A reta s passa pela origem O e pelo ponto A do primeiro quadrante. A reta r é perpendicular à reta s, no ponto A, intercepta o eixo x no ponto B e o eixo y no ponto C. Determine o coeficiente angular de s se a área do triângulo OBC for o triplo da área do triângulo OAB.

40 (FGV-SP) Considere os pontos A(1, 22) e B(22, 4) e C(3, 3). A altura do triângulo ABC pelo vértice C tem equação:a) 2y 2 x 2 3 5 0 c) 2y 1 x 1 3 5 0 e) 2y 1 x 2 9 5 0b) y 2 2x 1 3 5 0 d) y 1 2x 1 9 5 0

22

Resolução:O enunciado remete à seguinte figuura:

O coeficiente angular da reta éy

s ms 5 AA

A

A

AXyx

.

Se considerarmos o OBC, tere

2

25

OO

mmos bc

o A A , então AOBC OAB OAC

m

Send

s 5

5 ?

.

3 55 ? 5

?

5?

22

2

A , como A

e A , e

OAB OAC

OAB

C X

b y

A

A nntão:C X

2b y

2by

m

A A A?5 ?

?5 ? 52 1

212

⇒ ⇒ ⇒CX

bc

yXA

A

A

ss ? 5 5 5 5m m m ms s s s12

12

12

222⇒ ⇒ ⇒

Resolução:

A altura do triângulo ABC pelo vérrtice é perpendicular a AB, logo:

AB

C←→

←m →→←→

⇒52 2

2 25

25 2 5 2 5 2

25

4 ( 2)

A

AB2 163

2 1 12

121m

m.

eequação da altura será: y 2y2 5 2 2 53 12

3 6( )x x⇒ 22

2 2 5

3

3 0

⇒ 2y x .

A

XA

XA

yA

x

yA

y

s

r

B(b, 0)

C(0, c)

O

Page 18: Terceirao-Geometria_Analitica

��

41 (Unicamp-SP) Os pontos A, B, C e D pertencem ao gráfico da função y 5 .1x

, x 0. As abscissas de

A, B e C são iguais a 2, 3 e 4, respectivamente, e o segmento AB é paralelo ao segmento CD.a) Encontre as coordenadas do ponto D.b) Mostre que a reta que passa pelos pontos médios dos segmentos AB e CD passa também pela origem.

42 (FGV-SP) Escreva a equação da reta que passa pelo ponto A(2, 5) e que corta a reta r dada por suas equações paramétricas: x 5 t 1 1 e y 5 t 2 2, num ponto B, tal que AB 3 25 .

p. 26

Resolução:

A B Ca) Os pontos , e são, respectiivamente, 2, 12

, 3, 13

e 4, 14

. Send( ) ( ) ( ) oo a abscissa do ponto ,

esse ponto será

k D

dda forma k, 1k

, k

Se a reta que passa

( ) 0.

ppor e é paralela à reta que passa porA B CC De , então . Ou seja:AB CDm m←→ ←→5

213

12

3 225

2

2

2

5

2

22 5

2 2

22

1 144

2 361

4

4kk

k

k⇒ ⇒4k 1

6(k 4)

4k(k 44)32

O ponto tem coordenadas 3

⇒ ⇒2 5 2 54 6k k .

D22

, 23

b) Os pontos médios de AB e CD são,

( ).

respectivamente, 52

, 512

e 114

, 1124

.( ) ( )

AA reta que passa por esses pontos será:

x y 11

052

512

1

114

1124

1

5x12

11y4

5548

5548

11x

5

1 1 2 2

⇒224

5y2

10x 66y 11x 60y 024

6y

A

2 5

1 2 25 2 1 5

0

240

⇒ ⇒ x .

rreta 6y 0 passa pela origem.2 1 5x

x 1 y 2 7 5 0Resolução:

Sendo r: , temos:x t

y t

t x5 1

5 2

51

2

22

5 12 5 1 2 2 5

5 1

1

21 2 3 0

3t y

x y y

x y

⇒ ⇒ r: x

(I)

O pon

tto e e d 2. Logo: d (x )AB AB2B r 5 5 2 1 23 2 5 2( )y 55

2 1 2 5

3 2

2 5 182 2

⇒⇒ (x (y (II)

De I e II, vem: (

) )

yy ) (y y 2y y 10y2y

2 2 2 21 2 1 2 5 1 1 1 2 1 53 2 5 18 1 25 18) ⇒ ⇒⇒ 22 8y B(5, 2)

A reta que pas

2 1 5 5 5 1 58 0 2 2 3 5⇒ ⇒y x

ssa por A(2, 5) e B(5, 2) será:x y 1

2 5 1

5 2 1

05 ⇒ 55x 5y 2y 0 ( 3)1 1 2 2 2 5 1 2 5

1 2 5

4 25 2 0 3 3 21

7

x x y

x y

⇒ ⇒

⇒ 00.

Page 19: Terceirao-Geometria_Analitica

��

43 (FGV-SP) Na figura ao lado, os ângulos OCA e AMN^ ^

são retos, o ângulo COA

^ mede 45°, e as medidas dos segmentos OC e MN são,

respectivamente, 2 cm e 5 cm.Escreva a equação da reta t, suporte do segmento MN.

P

MB

C

A ON

ty

x

44 (FGV-SP)A

E

CB

D

a) Os lados do triângulo ABC da figura acima medem:AB 28 cm, AC 21 cm e BC 35 cmUma pa

5 5 5

rralela ao lado BC intercepta os lados AB e AC nos pontos e , respectivamente.Dete

D E

rrmine a medida dos lados BD, DE, EC do trappézio BDEC, sabendo que o seu perímetro é 774 cm.b) Escreva a equação da reta que passaa pelo ponto A(2, 5) e que corta a reta r ddada por suas equações paramé-

tricas: x t5 1 11 e y 2, num ponto , tal que AB5 2 5t B 3 2.

x y1 2 53 2 0

Resolução:

O triângulo ACO é retângulo e isóssceles. Se OC 2 cm, então

O tri

5 5 5AC OA cm2 2 .

âângulo AMN também é retângulo e isósceles. Se MN 5 cm, então NA 5 2 cm.

Se NA 5 2 e O

5 5 5

5

AM

AA 2 2 , então ON 5 2 2; logo, as coordena5 5 2 52 2 3 ddas de

serão 3 2 , 0A reta passa por

N

t N( ).

e tem inclinação de 135°.

Sendo N 3 2 , 0 e( ) m ° , a equação da reta será:

y

5 5 2

2

tg 135 1

0

t

55 2 2 5 2 1 1 2 51 x 3 2 3 2( ) ⇒ ⇒y x x y 3 2 0.

8 cm, 25 cm e 6 cm

x 1 y 2 7 5 0Resolução:a) Os triângulos ABC e ADE são semeelhantes, então:

ADAB

AEAC

DEBC

AD28

AE21

5 5 5 5x ⇒ 55 5

5

5

5

DE35

x

AD 28x

AE 21x

DE 35x

Com base ne

sssas igualdades, temos:BD 28xEC

5 2 5 2

5

AB ADA

28CC AE2 5 221 21x

Como o perímetro do trapézio BDEEC é 74 cm, teremos:BD 74 (28 28x1 1 1 5 2DE EC BC ⇒ )) 35x (21 21x)

14x 14x

1 1 2 1 5

2 5 2 5 2

35 74

84 74 10

⇒ ⇒ ⇒ x 55

5 2 ? 5 2 5

5 ?

57

28 28 57

28 20

35 5

Portanto: BD 8 cm

DE77

25

21 21 57

21 15

5

5 2 ? 5 2 5

cm

EC 6 cm

b) O item éb eexatamente o exercício 42 resolvido na págiina anterior.

Page 20: Terceirao-Geometria_Analitica

�0

45 (MACK-SP) Na figura, a reta r encontra o gráfico de y 5 log3 x no ponto (9, b).

O valor de a 1 b é:

a c e

b d

) ) )

) )

2 74

29

12

12 2

b

y

x9

r

a

Resolução:rA reta intercepta o gráfico de yy x num ponto de abscissa 9 e num pont35 log oo de ordenada 0.

Assim, temos:x 935 5 59 2⇒ y log b

y x

5

5 5 5

2, e o ponto será (9, 2).

x3

0 0⇒ ⇒log 33 1, e o ponto será (1, 0).

A equação da r

0 5

eeta será: y 9y 2x 8yr

x y

x

1

9 2 1

1 0 1

0 2 2 05 1 2 2 5 2 2⇒ ⇒ 22 05 .

A reta intercepta o eixo no pontor y dde ordenada , ou seja:

2

a

? 2 ? 2 5 2 50 8 2 0 8 2a a a⇒ ⇒ 55 2

1 2 1 52 1

5

14

1 2 1 8 74

.

.O valor de a b é4 4

Page 21: Terceirao-Geometria_Analitica

��

46 (FGV-SP) Seja r a reta 4x 1 7y 2 56 5 0 que intercepta o eixo das ordenadas no ponto A e o eixo das abscissas no ponto B. Considere uma reta s, que passa pela origem O(0, 0) e intercepta a reta r no ponto C, de modo que a área do triângulo OCB seja igual à metade da área do triângulo OAC.a) Encontre a equação da reta s.b) Determine as coordenadas do ponto C.

y

x

8

14 r

s

C

A

B

O

mx

x

Resolução:

sa) A reta é da forma y mx. Saben5 ddo que AA

2e com base na figura tOCB

OAC

5 eemos:

A

A

OCB

OAC

5?

5

5?

5 ?

142

7

82

4

| | | | | |

| |

mx m x

x || || | | | | | | |

xm x x m

m

m

D

⇒ ⇒7 42

27

27

27

? ? 5 5 5

5

5 2

ees y xse modo, a reta será y x ou

b

s 5 5 227

27

.

)) O ponto é a intersecção entre as retasC rr se .

Se s: y x, temos:4x

51 2 5

5

27

7 56 0

27

y

y x

⇒ ⇒

⇒ ⇒ ⇒

4x

4x 2x

1 ? 2 5

1 5 5 5 5

7 27

56 0

56 6 56 566

2

x

x x 883

27

283

83

27

7 56

y

y

5 ? 5

5 21 2

Se s: y x, temos:4x 55

5 2 1 2 2 5

2 5

0

27

7 27

56 0

56

y xx

( )⇒ ⇒

⇒ ⇒

4x

4x 2x 2x 55 5

5 2 ? 5 2

56 28

27

28 8

⇒ x

y

O ponto terá coordenaC ddas 283

, 83

ou (28, 8).( ) 2

y 27

x ou y5 5 2 27

x283

, 83

ou (28, )( ) 28

Page 22: Terceirao-Geometria_Analitica

��

47 (Fuvest-SP) Uma das diagonais de um quadrado está contida na reta x 1 y 5 4. Determine seus vértices sabendo que um deles é o ponto (1, 1).

48 (FGV-SP) Dado o ponto P(2, 3), determine o ponto simétrico de P com relação à reta y 5 x 2 3.

(1, 3), (3, 3), (1, 1) e (3, 1)

(6, 21)

Resolução:

Diagonal :

y

m2

• •

AD

x m

m

5 2 1 5 2

5 2

4 1

11

1

⇒ mm

AD x

2

2 2

1

1 2 1 2

5

5 2 1 2 5

2 1

d(C, M) (2

A A(x,

) ( )• •

44

2 42

) e M(2, 2)

d (A, M) d (C, M)2 25 2 1 2 1⇒ ( ) (x x 22 5 2 1 5

5 5 5 5

2 2 4 3 0

1 3 3 1

2)

A(1, 3)

2 2( ) ⇒⇒ ⇒

x x

x y x y DD(3, 1)

Logo, A(1, 3), B(3, 3), C(1, 1) e D((3, 1)

Diagonal :

y

y

y

x

• •

( )

BC

x y x

x

x

2 5 2 2 5

5 2 1

5

1 1 1 0

4

55

5

51

5

51

5

2

2

2 1 3

2 1 3

yM(2, 2)

x2

y2

x

yBB(3, 3)

B

M

A

DC(1, 1)

Resolução:sCálculo de m : Equação da reta :r

y 55 2 5 2 5 2 2

1 2 5

x m yx y

m

r3 1 3 25 0

1(xCálculo de m :s

)

rr s

s

mm? 5 2

? 5 2 5 2

11 1 1 m

Ponto , intersecção d

s

M aas retas e : e y

L

r sy x

x yx

5 2

1 2 55 5

3

5 04 1⇒

oogo, M(4, 1).Cálculo das coordenadas de P•

51

Como é ponto médio de , temos:

xM

M• •

PPxP xx x

xy y yPP P

P MP P6 e y

5

15 5

15

1

24

22 2

13

2⇒ ⇒ ⇒ ⇒ yyP

Logo, P (6, ).

5 2

2

1

1

P(2, 3)

P�

M r

s

Page 23: Terceirao-Geometria_Analitica

��

50 (Fatec-SP) Sejam 3x 2 4y 1 10 5 0 e 6x 2 8y 1 15 5 0 as equações das retas suporte das bases de um trapézio. Determine a altura desse trapézio.

49 (UFPI) Há dois pontos sobre a reta y 5 2 que distam 4 unidades da reta 12y 5 5x 1 2. A soma das abscissas desses pontos é:

a c e

b d

) ) )

) )

445

6 435

2 425

2

51 (PUC-MG) Na figura, a reta que passa pelos pontos C(2, 0) e M(0, 3) intercepta a reta que passa pelos pontos B(21, 0) e N(0, 1) no ponto A, formando com o eixo das abscissas o triângulo de vértices A, B e C. A medida da altura do ABC, relativa ao vértice A, é:a) 1,8 b) 1,9 c) 2,0 d) 2,1

M

N

A

BC

O x

y

Resolução:Seja A(a, 2) um ponto que dista 4 unidades da reta , 12y

d(A, r) 5r 5 1

5

5 2

4

x .|⇒ aa 5a

Resolvendo

2 ? 1

1 25 2 5

12 2 2

5 124 22 52

2 2

|

( )| |⇒

aa equação modular: 5a ou 5a2 5 5 222 52 745

22⇒ a 55 2 5 2

1 2 5

52 6

6 745

⇒ a .

( )Soma das abscissas: 745

22 56 445

12

Resolução:

x y

h

5 ? 2 1 5 5

5?

0 3 0 10 0 52

0

⇒ ⇒ ⇒4y 0, 52

6

( )11 2 ? 1

1 25

( )

( )

8 52

15

6 8122 2

⇒ h

Resolução:

Equação da reta CM:←→

x y 1

2 0 1

0 3 1

5 00 3 6 0

1

1 0 1

0

←→

x

x y

1 2 5

2

2y

Equação da reta BN :

11 1

0 1 05 2 1 5

1 5

⇒ x y

Coordenadas do ponto :3x 2y

A66

x y 1

Resolvendo o sistema, obtemos x

2 5 2

5

445

95

e y

Logo, A 45

, 95

e a medida da al

5 .

( ) ttura do ABC relativa ao vértice é y A 5 595

11,8.

Page 24: Terceirao-Geometria_Analitica

��

52 (FGV-SP) No plano cartesiano, considere os pontos A(1, 3) e B(25, 4). Considere também a reta r de equação 2x 1 3y 5 7.a) Obtenha a equação da reta s que é paralela a r e que passa por A.b) Obtenha a equação da reta t que é perpendicular a r e que passa por A.c) Seja P o ponto onde a reta r intercepta o eixo x. Obtenha a distância de P a B.d) Obtenha a distância do ponto B à reta r.

53 (UEMA) Seja H a área limitada pelas retas 3y 1 2x 5 0, y 2 x 1 5 5 0 e pelo eixo y. Identifique a área H em um sistema de eixo cartesiano e calcule o seu valor.

2x 1 3y 2 11 5 03x 2 2y 1 3 5 0

35325 13

13

Resolução:

rO coeficiente angular da reta é 23

O coeficiente angular da reta é

2

2

.

)a s 223

Como a reta passa pelo ponto A(1, 3),

.

s uma de suas equações é y 1), ou s2 5 2 23 23

(x eeja,

2x 3y

O coeficiente angular da r

1 2 511 0

b) eeta é 32

Como a reta passa pelo ponto

t

t

.

AA(1, 3), uma de suas equações é y 12 5 23 32

(x )), ou seja,

3x 2y

c) Como y 0 na equação

2 1 5

5

3 0.

de , temos x

Logo, P 72

, 0

A distânc

r 5 72

.

.( )iia pedida é , ou seja, 353

272

5 4 02

21 1 2( ) ( ) .

dd) A distância do ponto à reta é |B r 2 5? 2( )) .1 ? 2

1

3 4 72 3 132 2

| , ou seja, 5 13

152

Resolução:Sejam as retas r: 3y 2x 0 e s: y1 5 2 xx

x

y

1 5

1 5

5 0

2 0

.

Resolvendo o sistema, temos:3y

22 1 5

5 5 2 2

xx

5 02

3 e y 2, logo P(3, )

Cálculo dda área do triângulo OAP:

S 1

3 1

5 ? 2

2

512

0 0 1

0 5

2

112

15 152

| | 5(0, �5)

(0, 0)

y

A

P

xO

s

r

Page 25: Terceirao-Geometria_Analitica

��

55 (UFPel-RS) A área de um triângulo é 12 cm2. Dois de seus vértices são (21, 22) e (2, 3).Sabendo-se que o terceiro vértice está sobre a reta 2x 1 y 5 2, calcule as coordenadas desse vértice.

54 (UFU-MG) Considere, no plano cartesiano com origem O, um triângulo cujos vértices A, B e C têm coordenadas (21, 0), (0, 4) e (2, 0), respectivamente. Se M e N são os pontos médios de AB e BC, respectivamente, a área do triângulo OMN será igual a:

a ua b ua c d ua) . . ) . . ) . ) . .53

85

32

1 u.a

3111

4011

1711

5611

, ,2 2( ) ( )ou

Resolução:

M N• Cálculo dos pontos e , pontos médios dos lados AB e BC.

X2

e YM 52 1

5 21 02

1MM

N N

2, 2

X e Y N(

51

5 2

51

5 51

5

0 42

2 1

0 22

1 4 02

2

M( )11, 2)

• Cálculo da área do triângulo OMN:

S 5 122

0 0 1

12

3 32

? 2 5 2 512

2 1

1 2 1

| |

Resolução:

r: 2x 2xC(x, 2x ) é um

1 5 5 2 1

2 1

y y2 22

⇒ponto qualquer da reta .r

S D

D

ABC5 ?

5

12

2

| |

44

2 2 1

7

7 24 1711

D

x x

x

5

2 1

2 2 5 2 1

2 1 5 5 2

1 2 1

2 3 1

11x

11x ⇒ e y C 1711

, 5611

11x

5 2

2 1 5 2 5

5611

7 24 311

( )ou

x⇒11

4011

e y C 3111

, 4011

5 2 2( )

y

xCOA

M N

B

x

C

�2

2

B

A

�1

y

r

0

3

Page 26: Terceirao-Geometria_Analitica

��

56 (Fuvest-SP) A hipotenusa de um triângulo retângulo está contida na reta r: y 5 5x 2 13, e um de seus catetos está contido na reta s: y 5 x 2 1. Se o vértice onde está o ângulo reto é um ponto da forma (k, 5) sobre a reta s, determine:a) todos os vértices do triângulo;b) a área do triângulo.

Resolução:

a) A(k, 5) sEntão: A(6,

⇔ ⇔5 1 65 2 5k k55)

(r) y 5x

(s) y x3 e y C(3, 2)

(

5 2

5 25 5

13

12

⇔ x

mm 1 e t s)A(6, 5) t e 1(x

s 5 5 2

5 2 2 5 2 2

⊥ ⇒⇔

mm y

t

t

11 5 6 ) ⇔⇔

⇔ ⇔

y x

x

5 2 1

5 2 1

5 25 5

1111

137

(t) y x

(r) y 5x4 e y

BB(4, 7)

6 5 1

3 2 1

4 7 1

6 u.ab A ABC) | |

5 ? 5 ? 2 512

12

12 ..

(6, 5), (4, 7) e (3, 2)6

C

A(k; 5)s

y � x � 1

B t

r

y � 5x � 13