Terceiro seminario: Teoria de campos clássicos

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Campos de calibre cl ´ assicos: Maxwell M.T. Thomaz [email protected] Instituto de F´ ısica, UFF Resumo: A partir do princ´ ıpio de m´ ınima ac ¸˜ ao reobtemos as equac ¸˜ oes de movimento cl´ assicas reescritas atrav ´ es das equac ¸˜ oes de Lagrange. Mostramos como estender esse princ´ ıpio para obter as equac ¸˜ oes de movimento dos campos cl´ assicos e o aplicamos ao caso dos campos eletromagn´ eticos de Maxwell. Como apoio ao formalismo que iremos desenvolver, estudaremos a noc ¸˜ ao de tensores que utilizaremos para descrever as leis de transformac ¸˜ ao da Relatividade Restrita e escrever as equac ¸˜ oes de Maxwell de uma forma mais simples (forma covariante). Finalmente discutiremos os campos el´ etrico e magn´ etico em termos dos campos escalar e vetor e mostrar como a invariˆ ancia de calibre ´ e implementada nestes campos. M.T. Thomaz (Instituto de F´ ısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CL ´ ASSICOS 1 / 28

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A partir do princípio de mínima ação reobtemos as equações de movimento clássicas reescritas através das equações de Lagrange. Mostramos como estender esse princípio para obter as equações de movimento dos campos clássicos e o aplicamos ao caso dos campos eletromagnéticos de Maxwell. Como apoio ao formalismo que iremos desenvolver, estudaremos a noção de tensores que utilizaremos para descrever as leis de transformação da Relatividade Restrita e escrever as equações de Maxwell de uma forma mais simples (forma covariante). Finalmente discutiremos os campos elétrico e magnético em termos dos campos escalar e vetor e mostrar como a invariância de calibre é implementada nestes campos. Apresentação: . Princípio de Hamilton para campos clássicos

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Campos de calibre classicos: Maxwell

M.T. [email protected]

Instituto de Fısica, UFF

Resumo:A partir do princıpio de mınima ac ao reobtemos as equac oes de movimento cl assicas reescritas atrav es das equac oesde Lagrange. Mostramos como estender esse princıpio para o bter as equac oes de movimento dos campos cl assicose o aplicamos ao caso dos campos eletromagn eticos de Maxwell. Como apoio ao formalismo que iremos desen volver,estudaremos a noc ao de tensores que utilizaremos para descrever as leis de tra nsformac ao da Relatividade Restrita eescrever as equac oes de Maxwell de uma forma mais simples (forma covariante). Finalmente discutiremos os camposeletrico e magn etico em termos dos campos escalar e vetor e mostrar como a inv ari ancia de calibre e implementadanestes campos.

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Apresentacao:

1. Princıpio de mınima acao

2. Revisao de topicos em Matematica

3. Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell

4. Espaco de Minkowski

5. Princıpio de Hamilton para campos classicos

6. Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell

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Princıpio de Hamilton para campos classicos

O que ja sabemos?

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Princıpio de Hamilton para campos classicos

O que ja sabemos?

As eqs. que governam a evolucao no tempo dos campos eletro-magneticos, ~E(~x, t) e ~B(~x, t) :

As equacoes de Maxwell~∇ · ~E(~x, t) = 4πρ(~x, t),

~∇ · ~B(~x, t) = 0,

~∇× ~E(~x, t) = −1

c

∂~B(~x, t)

∂t,

~∇× ~B(~x, t) =1

c

∂~E(~x, t)

∂t+

c~(~x, t),

sendo ρ(~x, t) a densidade de carga eletrica e ~(~x, t) o vetor densidadede corrente eletrica.

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Princıpio de Hamilton para campos classicos

Os 6 graus de liberdade dos campos ~E(~x, t) e ~B(~x, t) nao saoindependentes ⇒

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Princıpio de Hamilton para campos classicos

Os 6 graus de liberdade dos campos ~E(~x, t) e ~B(~x, t) nao saoindependentes ⇒

⇒ usamos os potenciais: A0(~x, t), ~A(~x, t): 4 graus de liberdade.

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Princıpio de Hamilton para campos classicos

Os 6 graus de liberdade dos campos ~E(~x, t) e ~B(~x, t) nao saoindependentes ⇒

⇒ usamos os potenciais: A0(~x, t), ~A(~x, t): 4 graus de liberdade.

Podemos escrever os potenciais escalar e vetor comoum 4-potencial vetor:

Aµ(~x, t) = (A0(~x, t), ~A(~x, t)) µ = 0, 1, 2, 3.

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Princıpio de Hamilton para campos classicos

Os 6 graus de liberdade dos campos ~E(~x, t) e ~B(~x, t) nao saoindependentes ⇒

⇒ usamos os potenciais: A0(~x, t), ~A(~x, t): 4 graus de liberdade.

Podemos escrever os potenciais escalar e vetor comoum 4-potencial vetor:

Aµ(~x, t) = (A0(~x, t), ~A(~x, t)) µ = 0, 1, 2, 3.

Para cada campo fısico ~E(~x, t) e ~B(~x, t) o 4-potencial vetor nao e

unico

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Princıpio de Hamilton para campos classicos

Os 6 graus de liberdade dos campos ~E(~x, t) e ~B(~x, t) nao saoindependentes ⇒

⇒ usamos os potenciais: A0(~x, t), ~A(~x, t): 4 graus de liberdade.

Podemos escrever os potenciais escalar e vetor comoum 4-potencial vetor:

Aµ(~x, t) = (A0(~x, t), ~A(~x, t)) µ = 0, 1, 2, 3.

Para cada campo fısico ~E(~x, t) e ~B(~x, t) o 4-potencial vetor nao e

unico ⇒

⇒ impor

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Princıpio de Hamilton para campos classicos

Os 6 graus de liberdade dos campos ~E(~x, t) e ~B(~x, t) nao saoindependentes ⇒

⇒ usamos os potenciais: A0(~x, t), ~A(~x, t): 4 graus de liberdade.

Podemos escrever os potenciais escalar e vetor comoum 4-potencial vetor:

Aµ(~x, t) = (A0(~x, t), ~A(~x, t)) µ = 0, 1, 2, 3.

Para cada campo fısico ~E(~x, t) e ~B(~x, t) o 4-potencial vetor nao e

unico ⇒

⇒ impor 1 condicao de calibre .

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Princıpio de Hamilton para campos classicos

E possıvel obter as 4 equacoes de Maxwell

para os campos eletromagneticos a partir

do calculo do extremo de uma acao

(de um funcional)?

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Princıpio de Hamilton para campos classicos

Relembrando:

Quando estudamos o movimento de 1 partıcula:

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Princıpio de Hamilton para campos classicos

Relembrando:

Quando estudamos o movimento de 1 partıcula:

x : variavel

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Princıpio de Hamilton para campos classicos

Relembrando:

Quando estudamos o movimento de 1 partıcula:

x : variavel

t : parametro.

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Princıpio de Hamilton para campos classicos

Relembrando:

Quando estudamos o movimento de 1 partıcula:

x : variavel

t : parametro.

A lagrangeana L do movimento da partıcula:

L = L(x(t), x(t); t)

sendo

x(t) =dx(t)

dt.

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Princıpio de Hamilton para campos classicos

A acao S do movimento de 1 partıcula durante o intervalo de tempo[t0, tf ]:

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Princıpio de Hamilton para campos classicos

A acao S do movimento de 1 partıcula durante o intervalo de tempo[t0, tf ]:

S[x(t); t0, tf ] =

∫ tf

t0

dt L(x(t), x(t); t),

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Princıpio de Hamilton para campos classicos

A acao S do movimento de 1 partıcula durante o intervalo de tempo[t0, tf ]:

S[x(t); t0, tf ] =

∫ tf

t0

dt L(x(t), x(t); t),

t

x(t)

Figura 1.1

2

3

1

t t0 f

A trajetoria percorrida pela da partıcula classica entre as posicoes x(t0)e x(tf ) e a que extremiza a acao S.

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Princıpio de Hamilton para campos classicos

Como aplicar o princıpio de Hamilton para camposclassicos?

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Page 20: Terceiro seminario: Teoria de campos clássicos

Princıpio de Hamilton para campos classicos

Como aplicar o princıpio de Hamilton para camposclassicos?

Para simplificar as discussoes, vamos considerar apenas 1 campoclassico: Φ(~x, t).

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Princıpio de Hamilton para campos classicos

Como aplicar o princıpio de Hamilton para camposclassicos?

Para simplificar as discussoes, vamos considerar apenas 1 campoclassico: Φ(~x, t).

Para o campo Φ(~x, t) temos:

Φ : variavel do sistema fısico;

~x : parametro;

t : parametro.

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Page 22: Terceiro seminario: Teoria de campos clássicos

Princıpio de Hamilton para campos classicos

Como aplicar o princıpio de Hamilton para camposclassicos?

Para simplificar as discussoes, vamos considerar apenas 1 campoclassico: Φ(~x, t).

Para o campo Φ(~x, t) temos:

Φ : variavel do sistema fısico;

~x : parametro;

t : parametro.

A funcao Φ(~x, t) da a configuracao do campo

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Princıpio de Hamilton para campos classicos

Como aplicar o princıpio de Hamilton para camposclassicos?

Para simplificar as discussoes, vamos considerar apenas 1 campoclassico: Φ(~x, t).

Para o campo Φ(~x, t) temos:

Φ : variavel do sistema fısico;

~x : parametro;

t : parametro.

A funcao Φ(~x, t) da a configuracao do campo em cada ponto do espaco~x no instante t.

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Princıpio de Hamilton para campos classicos

Para cada configuracao do campo Φ(~x, t) associamos um numeroatraves do funcional da acao S:

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Princıpio de Hamilton para campos classicos

Para cada configuracao do campo Φ(~x, t) associamos um numeroatraves do funcional da acao S:

S[Φ; t0, tf ] =

∫ tf

t0

dt

V∞

d3~x L(Φ(~x, t), ∂µΦ(~x, t);~x, t).

L e a densidade de lagrangeana. Mostramos anteriormente que a acaotem dimensao de momento angular.

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Princıpio de Hamilton para campos classicos

Para cada configuracao do campo Φ(~x, t) associamos um numeroatraves do funcional da acao S:

S[Φ; t0, tf ] =

∫ tf

t0

dt

V∞

d3~x L(Φ(~x, t), ∂µΦ(~x, t);~x, t).

L e a densidade de lagrangeana. Mostramos anteriormente que a acaotem dimensao de momento angular.

Princıpio de Hamilton para a campo classico:Obter a configuracao Φ(~x, t), que comeca em Φ(~x, t0)

e termina em Φ(~x, tf ) e que extremiza a acao

S[Φ; t0, tf ].

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Princıpio de Hamilton para campos classicos

Importante:A acao de sistemas relativısticos,

S[Φ; t0, tf ] =

∫ tf

t0

dt

V∞

d3~x L(Φ(~x, t), ∂µΦ(~x, t);~x, t)

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Page 28: Terceiro seminario: Teoria de campos clássicos

Princıpio de Hamilton para campos classicos

Importante:A acao de sistemas relativısticos,

S[Φ; t0, tf ] =

∫ tf

t0

dt

V∞

d3~x L(Φ(~x, t), ∂µΦ(~x, t);~x, t)

e um escalar de Lorentz. Isto por que a trajetoria que uma partıculapercorre, vista de um dado referencial inercial, e o extremo da acaoneste referencial. A trajetoria da mesma partıcula vista de outroreferencial inercial tem que ser aquela que e obtida da primeira poruma transformacao de Lorentz, e portanto tem que tambem ser ummınimo da acao. Logo, o valor da acao associada a trajetoria que apartıcula percorre num dado referencial inercial tem que ser um escalarde Lorentz de maneira a independer da particular forma que a trajetoria(ou configuracao) tem em cada referencial inercial. Como o produtodtd~x e um escalar de Lorentz, a densidade de lagrangeana L tambemtem que ser um escalar de Lorentz.

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Page 29: Terceiro seminario: Teoria de campos clássicos

Princıpio de Hamilton para campos classicos

Importante:A acao de sistemas relativısticos,

S[Φ; t0, tf ] =

∫ tf

t0

dt

V∞

d3~x L(Φ(~x, t), ∂µΦ(~x, t);~x, t)

e um escalar de Lorentz. Isto por que a trajetoria que uma partıculapercorre, vista de um dado referencial inercial, e o extremo da acaoneste referencial. A trajetoria da mesma partıcula vista de outroreferencial inercial tem que ser aquela que e obtida da primeira poruma transformacao de Lorentz, e portanto tem que tambem ser ummınimo da acao. Logo, o valor da acao associada a trajetoria que apartıcula percorre num dado referencial inercial tem que ser um escalarde Lorentz de maneira a independer da particular forma que a trajetoria(ou configuracao) tem em cada referencial inercial. Como o produtodtd~x e um escalar de Lorentz, a densidade de lagrangeana L tambemtem que ser um escalar de Lorentz.

E por esta razao que para uma partıcula nao relativıstica a lagrangeana naopode ser a energia mecanica total.

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Princıpio de Hamilton para campos classicos

Seja φ(~x, t) o campo classico que extremiza a acao S e que satisfaz ascondicoes de contorno:

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Page 31: Terceiro seminario: Teoria de campos clássicos

Princıpio de Hamilton para campos classicos

Seja φ(~x, t) o campo classico que extremiza a acao S e que satisfaz ascondicoes de contorno:

φ(~x, t0) = Φ(~x, t0)

eφ(~x, tf ) = Φ(~x, tf ).

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Page 32: Terceiro seminario: Teoria de campos clássicos

Princıpio de Hamilton para campos classicos

Seja φ(~x, t) o campo classico que extremiza a acao S e que satisfaz ascondicoes de contorno:

φ(~x, t0) = Φ(~x, t0)

eφ(~x, tf ) = Φ(~x, tf ).

Para confirmar que a configuracao φ(~x, t) e um extremo da acao ,comparamos o valor da acao para configuracoes que sao pequenasvariacoes de φ(~x, t):

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Page 33: Terceiro seminario: Teoria de campos clássicos

Princıpio de Hamilton para campos classicos

Seja φ(~x, t) o campo classico que extremiza a acao S e que satisfaz ascondicoes de contorno:

φ(~x, t0) = Φ(~x, t0)

eφ(~x, tf ) = Φ(~x, tf ).

Para confirmar que a configuracao φ(~x, t) e um extremo da acao ,comparamos o valor da acao para configuracoes que sao pequenasvariacoes de φ(~x, t):

Φ(~x, t;α) = φ(~x, t) + αη(~x, t),

onde α e uma constante eα → 0.

A funcao η(~x, t) satisfaz ascondicoes de contorno:η(~x, t0) = η(~x, tf ) = 0.

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Princıpio de Hamilton para campos classicos

A condicao de que φ(~x, t) extremiza a acao:

δS[Φ] ≡ S[φ(~x, t) + αη(~x, t)]− S[φ(~x, t)] =α→0

0.

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Page 35: Terceiro seminario: Teoria de campos clássicos

Princıpio de Hamilton para campos classicos

A condicao de que φ(~x, t) extremiza a acao:

δS[Φ] ≡ S[φ(~x, t) + αη(~x, t)]− S[φ(~x, t)] =α→0

0.

Como no caso do sistema de 1 partıcula, definimos:

G(α) ≡

∫ tf

t0

dt

V∞

d3~x L(φ+ αη, ∂µ(φ) + α∂µ(η);~x, t;α).

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Princıpio de Hamilton para campos classicos

A condicao de que φ(~x, t) extremiza a acao:

δS[Φ] ≡ S[φ(~x, t) + αη(~x, t)]− S[φ(~x, t)] =α→0

0.

Como no caso do sistema de 1 partıcula, definimos:

G(α) ≡

∫ tf

t0

dt

V∞

d3~x L(φ+ αη, ∂µ(φ) + α∂µ(η);~x, t;α).

Reescrevemos a condicao de extremo da acao, em α = 0, como:

∂G(α)

∂α

∣∣∣∣α=0

= 0 ⇒∂S[Φ;α]

∂α

∣∣∣∣α=0

= 0.

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Princıpio de Hamilton para campos classicos

A condicao de extremo de S[Φ;α]:

∂S[Φ;α]

∂α

∣∣∣∣α=0

= 0,

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Page 38: Terceiro seminario: Teoria de campos clássicos

Princıpio de Hamilton para campos classicos

A condicao de extremo de S[Φ;α]:

∂S[Φ;α]

∂α

∣∣∣∣α=0

= 0,

aplicada a forma integral da acao:

∂S[Φ;α]

∂α=

∂α

[∫ tf

t0

dt

V∞

d3~x L(Φ(~x, t), ∂µΦ(~x, t);~x, t)

]

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Page 39: Terceiro seminario: Teoria de campos clássicos

Princıpio de Hamilton para campos classicos

A condicao de extremo de S[Φ;α]:

∂S[Φ;α]

∂α

∣∣∣∣α=0

= 0,

aplicada a forma integral da acao:

∂S[Φ;α]

∂α=

∂α

[∫ tf

t0

dt

V∞

d3~x L(Φ(~x, t), ∂µΦ(~x, t);~x, t)

]

=

∫ tf

t0

dt

V∞

d3~x

{∂L

∂Φ

∂Φ

∂α+

∂L

∂(∂Φ∂x

)∂(∂Φ∂x

)

∂α+

∂L

∂(∂Φ∂y

)

∂(∂Φ∂y

)

∂α

+∂L

∂(∂Φ∂z

)∂(∂Φ∂z

)

∂α+

∂L

∂(∂Φ∂t

)∂(∂Φ∂t

)

∂α

}

= 0,

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Page 40: Terceiro seminario: Teoria de campos clássicos

Princıpio de Hamilton para campos classicos

A condicao de extremo de S[Φ;α]:

∂S[Φ;α]

∂α

∣∣∣∣α=0

= 0,

aplicada a forma integral da acao:

∂S[Φ;α]

∂α=

∂α

[∫ tf

t0

dt

V∞

d3~x L(Φ(~x, t), ∂µΦ(~x, t);~x, t)

]

=

∫ tf

t0

dt

V∞

d3~x

{∂L

∂Φ

∂Φ

∂α+

∂L

∂(∂Φ∂x

)∂(∂Φ∂x

)

∂α+

∂L

∂(∂Φ∂y

)

∂(∂Φ∂y

)

∂α

+∂L

∂(∂Φ∂z

)∂(∂Φ∂z

)

∂α+

∂L

∂(∂Φ∂t

)∂(∂Φ∂t

)

∂α

}

= 0,

Na regra da cadeia tratamos: Φ, ∂t(Φ), ∂x(Φ), ∂y(Φ) e ∂z(Φ), comovariaveis independentes.

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Princıpio de Hamilton para campos classicos

Utilizamos a notacao de soma implıcita para escrever de formacompacta os termos do l.d. da integral:

∂L

∂(∂Φ∂x

)∂(∂Φ∂x

)

∂α+

∂L

∂(∂Φ∂y

)

∂(∂Φ∂y

)

∂α+

∂L

∂(∂Φ∂z

)∂(∂Φ∂z

)

∂α+

∂L

∂(∂Φ∂t

)∂(∂Φ∂t

)

∂α

=∂L

∂(∂µΦ)

∂(∂µΦ)

∂α.

onde µ = 0, 1, 2, 3.

Nao podemos esquecer:

∂0 =∂

∂(ct)=

1

c∂t; ∂1 =

∂x= ∂x; ∂2 =

∂y= ∂y; ∂3 =

∂z= ∂z.

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Page 42: Terceiro seminario: Teoria de campos clássicos

Princıpio de Hamilton para campos classicos

Lembrando:

Φ(~x, t;α) = φ(~x, t) + αη(~x, t) ⇒

⇒ ∂µ(Φ(~x, t;α)) = ∂µ(φ(~x, t)) + α∂µ(η(~x, t)),

com µ = 0, 1, 2, 3.

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Page 43: Terceiro seminario: Teoria de campos clássicos

Princıpio de Hamilton para campos classicos

Lembrando:

Φ(~x, t;α) = φ(~x, t) + αη(~x, t) ⇒

⇒ ∂µ(Φ(~x, t;α)) = ∂µ(φ(~x, t)) + α∂µ(η(~x, t)),

com µ = 0, 1, 2, 3.

Assim:

∂(∂µΦ)

∂α=

∂α[∂µ(φ(~x, t)) + α∂µ(η(~x, t))]

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Page 44: Terceiro seminario: Teoria de campos clássicos

Princıpio de Hamilton para campos classicos

Lembrando:

Φ(~x, t;α) = φ(~x, t) + αη(~x, t) ⇒

⇒ ∂µ(Φ(~x, t;α)) = ∂µ(φ(~x, t)) + α∂µ(η(~x, t)),

com µ = 0, 1, 2, 3.

Assim:

∂(∂µΦ)

∂α=

∂α[∂µ(φ(~x, t)) + α∂µ(η(~x, t))]

=∂

∂α[∂µ(φ(~x, t))]

︸ ︷︷ ︸

0

+

(∂α

∂α

)

︸ ︷︷ ︸

1

· ∂µ(η(~x, t) + α∂

∂α[∂µ(η(~x, t))]

︸ ︷︷ ︸

0

.

Portanto:

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 15 / 28

Page 45: Terceiro seminario: Teoria de campos clássicos

Princıpio de Hamilton para campos classicos

Lembrando:

Φ(~x, t;α) = φ(~x, t) + αη(~x, t) ⇒

⇒ ∂µ(Φ(~x, t;α)) = ∂µ(φ(~x, t)) + α∂µ(η(~x, t)),

com µ = 0, 1, 2, 3.

Assim:

∂(∂µΦ)

∂α=

∂α[∂µ(φ(~x, t)) + α∂µ(η(~x, t))]

=∂

∂α[∂µ(φ(~x, t))]

︸ ︷︷ ︸

0

+

(∂α

∂α

)

︸ ︷︷ ︸

1

· ∂µ(η(~x, t) + α∂

∂α[∂µ(η(~x, t))]

︸ ︷︷ ︸

0

.

Portanto:

∂(∂µΦ)

∂α= ∂µ(η(~x, t), µ = 0, 1, 2, 3.

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 15 / 28

Page 46: Terceiro seminario: Teoria de campos clássicos

Princıpio de Hamilton para campos classicos

Reescrevemos a condicao de extremo de S como:

I ≡

∫ tf

t0

dt

V∞

d3~x

{∂L

∂Φη(~x, t) +

∂L

∂(∂Φ∂x

)∂η(~x, t)

∂x+

∂L

∂(∂Φ∂y

)∂η(~x, t)

∂y+

+∂L

∂(∂Φ∂z

)∂η(~x, t)

∂z+

∂L

∂(∂Φ∂t

)∂η(~x, t)

∂t

}

= 0.

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 16 / 28

Page 47: Terceiro seminario: Teoria de campos clássicos

Princıpio de Hamilton para campos classicos

Reescrevemos a condicao de extremo de S como:

I ≡

∫ tf

t0

dt

V∞

d3~x

{∂L

∂Φη(~x, t) +

∂L

∂(∂Φ∂x

)∂η(~x, t)

∂x+

∂L

∂(∂Φ∂y

)∂η(~x, t)

∂y+

+∂L

∂(∂Φ∂z

)∂η(~x, t)

∂z+

∂L

∂(∂Φ∂t

)∂η(~x, t)

∂t

}

= 0.

Para cada funcao arbitraria η(~x, t), as suas derivadas: ∂tη(~x, t),

∂xη(~x, t), ∂yη(~x, t) e ∂zη(~x, t) nao sao necessariamente funcoes

linearmente independentes (l.i.) entre si e com η(~x, t). Por isso

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 16 / 28

Page 48: Terceiro seminario: Teoria de campos clássicos

Princıpio de Hamilton para campos classicos

Reescrevemos a condicao de extremo de S como:

I ≡

∫ tf

t0

dt

V∞

d3~x

{∂L

∂Φη(~x, t) +

∂L

∂(∂Φ∂x

)∂η(~x, t)

∂x+

∂L

∂(∂Φ∂y

)∂η(~x, t)

∂y+

+∂L

∂(∂Φ∂z

)∂η(~x, t)

∂z+

∂L

∂(∂Φ∂t

)∂η(~x, t)

∂t

}

= 0.

Para cada funcao arbitraria η(~x, t), as suas derivadas: ∂tη(~x, t),

∂xη(~x, t), ∂yη(~x, t) e ∂zη(~x, t) nao sao necessariamente funcoes

linearmente independentes (l.i.) entre si e com η(~x, t). Por isso

nao podemos fazer nenhuma afirmacao geral a partir da

igualdade anterior!!!!

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 16 / 28

Page 49: Terceiro seminario: Teoria de campos clássicos

Princıpio de Hamilton para campos classicos

Vamos tratar apenas de um dos termos que envolve derivadas emrelacao as coordenadas espaciais na integral I.

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 17 / 28

Page 50: Terceiro seminario: Teoria de campos clássicos

Princıpio de Hamilton para campos classicos

Vamos tratar apenas de um dos termos que envolve derivadas emrelacao as coordenadas espaciais na integral I.

Consideramos o termo:

∫ tf

t0

dt

V∞

d3~x∂L

∂(∂Φ∂x

)∂η(~x, t)

∂x=

∫ tf

t0

dt

∫ L

−Ldy dz

∫ L

−Ldx

∂L

∂(∂Φ∂x

)∂η(~x, t)

∂x,

onde x, y, z = ±L correspondem aos pontos na superfıcie que delimitao volume.

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 17 / 28

Page 51: Terceiro seminario: Teoria de campos clássicos

Princıpio de Hamilton para campos classicos

Vamos tratar apenas de um dos termos que envolve derivadas emrelacao as coordenadas espaciais na integral I.

Consideramos o termo:

∫ tf

t0

dt

V∞

d3~x∂L

∂(∂Φ∂x

)∂η(~x, t)

∂x=

∫ tf

t0

dt

∫ L

−Ldy dz

∫ L

−Ldx

∂L

∂(∂Φ∂x

)∂η(~x, t)

∂x,

onde x, y, z = ±L correspondem aos pontos na superfıcie que delimitao volume. No limite de V∞ temos que L → ∞.

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 17 / 28

Page 52: Terceiro seminario: Teoria de campos clássicos

Princıpio de Hamilton para campos classicos

Vamos tratar apenas de um dos termos que envolve derivadas emrelacao as coordenadas espaciais na integral I.

Consideramos o termo:

∫ tf

t0

dt

V∞

d3~x∂L

∂(∂Φ∂x

)∂η(~x, t)

∂x=

∫ tf

t0

dt

∫ L

−Ldy dz

∫ L

−Ldx

∂L

∂(∂Φ∂x

)∂η(~x, t)

∂x,

onde x, y, z = ±L correspondem aos pontos na superfıcie que delimitao volume. No limite de V∞ temos que L → ∞.

Para calcular a integral do l.d. utilizamos a integracao por partes,∫

u dv = u · v −

v du,

onde escolhemos:

u =∂L

∂(∂Φ∂x

) e dv = dx∂η

∂x.

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 17 / 28

Page 53: Terceiro seminario: Teoria de campos clássicos

Princıpio de Hamilton para campos classicos

Assim:

∫ L

−Ldx

∂L

∂(∂Φ∂x

)∂η

∂x=

∂L

∂(∂Φ∂x

)η(~x, t)

∣∣∣∣

x=L

x=−L

∫ L

−Ldx

∂x

( ∂L

∂(∂Φ∂x

))η(~x, t).

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 18 / 28

Page 54: Terceiro seminario: Teoria de campos clássicos

Princıpio de Hamilton para campos classicos

Assim:

∫ L

−Ldx

∂L

∂(∂Φ∂x

)∂η

∂x=

∂L

∂(∂Φ∂x

)η(~x, t)

∣∣∣∣

x=L

x=−L

∫ L

−Ldx

∂x

( ∂L

∂(∂Φ∂x

))η(~x, t).

Como estamos considerando que o sistema e fechado, entao oscampos na superfıcie que delimita o volume V∞ sao nulos.

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 18 / 28

Page 55: Terceiro seminario: Teoria de campos clássicos

Princıpio de Hamilton para campos classicos

Assim:

∫ L

−Ldx

∂L

∂(∂Φ∂x

)∂η

∂x=

∂L

∂(∂Φ∂x

)η(~x, t)

∣∣∣∣

x=L

x=−L

∫ L

−Ldx

∂x

( ∂L

∂(∂Φ∂x

))η(~x, t).

Como estamos considerando que o sistema e fechado, entao oscampos na superfıcie que delimita o volume V∞ sao nulos.

Φ(± L, y, z, t;α) = 0

e

η(± L, y, z; t) = 0.

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 18 / 28

Page 56: Terceiro seminario: Teoria de campos clássicos

Princıpio de Hamilton para campos classicos

Portanto:∫ L

−Ldx

∂L

∂(∂Φ∂x

)∂η

∂x= −

∫ L

−Ldx

∂x

( ∂L

∂(∂Φ∂x

))η(~x, t).

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 19 / 28

Page 57: Terceiro seminario: Teoria de campos clássicos

Princıpio de Hamilton para campos classicos

Portanto:∫ L

−Ldx

∂L

∂(∂Φ∂x

)∂η

∂x= −

∫ L

−Ldx

∂x

( ∂L

∂(∂Φ∂x

))η(~x, t).

Este resultado e valido para os termos das derivadas em relacao ay e z.

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 19 / 28

Page 58: Terceiro seminario: Teoria de campos clássicos

Princıpio de Hamilton para campos classicos

Portanto:∫ L

−Ldx

∂L

∂(∂Φ∂x

)∂η

∂x= −

∫ L

−Ldx

∂x

( ∂L

∂(∂Φ∂x

))η(~x, t).

Este resultado e valido para os termos das derivadas em relacao ay e z.

Tratamos em separdo o termo da integral I com a derivada em relacaoao tempo:∫ tf

t0

dt∂L

∂(∂Φ∂t

)∂η

∂t=

∂L

∂(∂Φ∂t

)η(~x, t)

∣∣∣∣

t=tf

t=t0

∫ tf

t0

dt∂

∂t

( ∂L

∂(∂Φ∂t

))η(~x, t).

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 19 / 28

Page 59: Terceiro seminario: Teoria de campos clássicos

Princıpio de Hamilton para campos classicos

Portanto:∫ L

−Ldx

∂L

∂(∂Φ∂x

)∂η

∂x= −

∫ L

−Ldx

∂x

( ∂L

∂(∂Φ∂x

))η(~x, t).

Este resultado e valido para os termos das derivadas em relacao ay e z.

Tratamos em separdo o termo da integral I com a derivada em relacaoao tempo:∫ tf

t0

dt∂L

∂(∂Φ∂t

)∂η

∂t=

∂L

∂(∂Φ∂t

)η(~x, t)

∣∣∣∣

t=tf

t=t0

∫ tf

t0

dt∂

∂t

( ∂L

∂(∂Φ∂t

))η(~x, t).

Como:

η(~x, t0) = η(~x, tf ) = 0

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 19 / 28

Page 60: Terceiro seminario: Teoria de campos clássicos

Princıpio de Hamilton para campos classicos

Portanto:∫ L

−Ldx

∂L

∂(∂Φ∂x

)∂η

∂x= −

∫ L

−Ldx

∂x

( ∂L

∂(∂Φ∂x

))η(~x, t).

Este resultado e valido para os termos das derivadas em relacao ay e z.

Tratamos em separdo o termo da integral I com a derivada em relacaoao tempo:∫ tf

t0

dt∂L

∂(∂Φ∂t

)∂η

∂t=

∂L

∂(∂Φ∂t

)η(~x, t)

∣∣∣∣

t=tf

t=t0

∫ tf

t0

dt∂

∂t

( ∂L

∂(∂Φ∂t

))η(~x, t).

Como:

η(~x, t0) = η(~x, tf ) = 0 ⇒

∫ tf

t0

dt∂L

∂(∂Φ∂t

∂t= −

∫ tf

t0

dt∂

∂t

( ∂L

∂(∂Φ∂t

))η(~x, t).

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 19 / 28

Page 61: Terceiro seminario: Teoria de campos clássicos

Princıpio de Hamilton para campos classicos

Finalmente escrevemos a condicao de extremo da acao S como:∫ tf

t0

dt

V∞

d3~x

{∂L

∂Φ−

∂x

( ∂L

∂(∂Φ∂x

))−

∂y

( ∂L

∂(∂Φ∂y

))−

−∂

∂z

( ∂L

∂(∂Φ∂z

))−

∂t

( ∂L

∂(∂Φ∂t

))}

η(~x, t) = 0.

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 20 / 28

Page 62: Terceiro seminario: Teoria de campos clássicos

Princıpio de Hamilton para campos classicos

Finalmente escrevemos a condicao de extremo da acao S como:∫ tf

t0

dt

V∞

d3~x

{∂L

∂Φ−

∂x

( ∂L

∂(∂Φ∂x

))−

∂y

( ∂L

∂(∂Φ∂y

))−

−∂

∂z

( ∂L

∂(∂Φ∂z

))−

∂t

( ∂L

∂(∂Φ∂t

))}

η(~x, t) = 0.

Como este resultado tem que ser valido para qualquer configuracaoη(~x, t),

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 20 / 28

Page 63: Terceiro seminario: Teoria de campos clássicos

Princıpio de Hamilton para campos classicos

Finalmente escrevemos a condicao de extremo da acao S como:∫ tf

t0

dt

V∞

d3~x

{∂L

∂Φ−

∂x

( ∂L

∂(∂Φ∂x

))−

∂y

( ∂L

∂(∂Φ∂y

))−

−∂

∂z

( ∂L

∂(∂Φ∂z

))−

∂t

( ∂L

∂(∂Φ∂t

))}

η(~x, t) = 0.

Como este resultado tem que ser valido para qualquer configuracaoη(~x, t),

∂L

∂Φ− ∂µ

[∂L

∂(∂µΦ)

]

= 0.

equacao de

Euler - Lagrange

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 20 / 28

Page 64: Terceiro seminario: Teoria de campos clássicos

Princıpio de Hamilton para campos classicos

Temos a eq. de Euler-Lagrange para campos cassicos:

∂L

∂Φ− ∂µ

[∂L

∂(∂µΦ)

]

= 0.

Devemos lembrar que a densidade de lagrangeana L tem que serum escalar de Lorentz.

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 21 / 28

Page 65: Terceiro seminario: Teoria de campos clássicos

Princıpio de Hamilton para campos classicos

Temos a eq. de Euler-Lagrange para campos cassicos:

∂L

∂Φ− ∂µ

[∂L

∂(∂µΦ)

]

= 0.

Devemos lembrar que a densidade de lagrangeana L tem que serum escalar de Lorentz.

Escrevendo explicitamente os termos da soma impıcita na eq. deEuler-Lagrange temos:

∂L

∂Φ−

∂x

( ∂L

∂(∂Φ∂x

))−

∂y

( ∂L

∂(∂Φ∂y

))−

∂z

( ∂L

∂(∂Φ∂z

))−

∂t

( ∂L

∂(∂Φ∂t

))= 0.

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 21 / 28

Page 66: Terceiro seminario: Teoria de campos clássicos

Princıpio de Hamilton para campos classicos

Modelo mais simples de campos: campo escalar livre

A densidade de lagrangeana do campo escalar livre e:

L(φ, ∂µφ(~x, t);~x, t) =1

2(∂µφ(~x, t))(∂µφ(~x, t))−

1

2m2φ(~x, t)2,

onde µ = 0, 1, 2, 3.

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 22 / 28

Page 67: Terceiro seminario: Teoria de campos clássicos

Princıpio de Hamilton para campos classicos

Modelo mais simples de campos: campo escalar livre

A densidade de lagrangeana do campo escalar livre e:

L(φ, ∂µφ(~x, t);~x, t) =1

2(∂µφ(~x, t))(∂µφ(~x, t))−

1

2m2φ(~x, t)2,

onde µ = 0, 1, 2, 3.

A eq. de Euler-Lagrange

∂L

∂φ− ∂µ

[∂L

∂(∂µφ)

]

= 0

da a equacao de movimento do campo φ(~x, t).

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 22 / 28

Page 68: Terceiro seminario: Teoria de campos clássicos

Princıpio de Hamilton para campos classicos

Calculo dos termos que contribuem para a eq. de Euler-Lagrangedo campo escalar livre:

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 23 / 28

Page 69: Terceiro seminario: Teoria de campos clássicos

Princıpio de Hamilton para campos classicos

Calculo dos termos que contribuem para a eq. de Euler-Lagrangedo campo escalar livre:

1)∂L

∂φ=

1

2

∂φ

[(∂νφ) (∂

νφ)− m2 φ2]

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 23 / 28

Page 70: Terceiro seminario: Teoria de campos clássicos

Princıpio de Hamilton para campos classicos

Calculo dos termos que contribuem para a eq. de Euler-Lagrangedo campo escalar livre:

1)∂L

∂φ=

1

2

∂φ

[(∂νφ) (∂

νφ)− m2 φ2]

= −1

2× 2m2 φ ⇒

∂L

∂φ= −m2 φ.

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 23 / 28

Page 71: Terceiro seminario: Teoria de campos clássicos

Princıpio de Hamilton para campos classicos

Calculo dos termos que contribuem para a eq. de Euler-Lagrangedo campo escalar livre:

1)∂L

∂φ=

1

2

∂φ

[(∂νφ) (∂

νφ)− m2 φ2]

= −1

2× 2m2 φ ⇒

∂L

∂φ= −m2 φ.

2)∂L

∂(∂µφ)=

1

2

∂(∂µφ)

[(∂νφ) (∂

νφ)− m2 φ2]

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 23 / 28

Page 72: Terceiro seminario: Teoria de campos clássicos

Princıpio de Hamilton para campos classicos

Calculo dos termos que contribuem para a eq. de Euler-Lagrangedo campo escalar livre:

1)∂L

∂φ=

1

2

∂φ

[(∂νφ) (∂

νφ)− m2 φ2]

= −1

2× 2m2 φ ⇒

∂L

∂φ= −m2 φ.

2)∂L

∂(∂µφ)=

1

2

∂(∂µφ)

[(∂νφ) (∂

νφ)− m2 φ2]

=1

2

∂(∂µφ)[(∂νφ) (∂

νφ)] .

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 23 / 28

Page 73: Terceiro seminario: Teoria de campos clássicos

Princıpio de Hamilton para campos classicos

Calculo dos termos que contribuem para a eq. de Euler-Lagrangedo campo escalar livre:

1)∂L

∂φ=

1

2

∂φ

[(∂νφ) (∂

νφ)− m2 φ2]

= −1

2× 2m2 φ ⇒

∂L

∂φ= −m2 φ.

2)∂L

∂(∂µφ)=

1

2

∂(∂µφ)

[(∂νφ) (∂

νφ)− m2 φ2]

=1

2

∂(∂µφ)[(∂νφ) (∂

νφ)] .

⇒∂L

∂(∂µφ)=

1

2

∂(∂µφ)[(∂νφ) (∂

νφ)] .

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 23 / 28

Page 74: Terceiro seminario: Teoria de campos clássicos

Princıpio de Hamilton para campos classicos

Entao:

∂L

∂(∂µφ)=

1

2

∂(∂µφ)[(∂νφ) (∂

νφ)] .

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 24 / 28

Page 75: Terceiro seminario: Teoria de campos clássicos

Princıpio de Hamilton para campos classicos

Entao:

∂L

∂(∂µφ)=

1

2

∂(∂µφ)[(∂νφ) (∂

νφ)] .

2.1) seja µ = 1(x):

∂L

∂(∂xφ)=

1

2

∂(∂xφ)

[

(∂0φ) (∂0φ) + (∂1φ) (∂

1φ) + (∂2φ) (∂2φ)

+(∂3φ) (∂3φ)

]

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 24 / 28

Page 76: Terceiro seminario: Teoria de campos clássicos

Princıpio de Hamilton para campos classicos

Entao:

∂L

∂(∂µφ)=

1

2

∂(∂µφ)[(∂νφ) (∂

νφ)] .

2.1) seja µ = 1(x):

∂L

∂(∂xφ)=

1

2

∂(∂xφ)

[

(∂0φ) (∂0φ) + (∂1φ) (∂

1φ) + (∂2φ) (∂2φ)

+(∂3φ) (∂3φ)

]

=1

2

∂(∂xφ)

[

(∂1φ) (∂1φ)

]

.

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 24 / 28

Page 77: Terceiro seminario: Teoria de campos clássicos

Princıpio de Hamilton para campos classicos

Entao:

∂L

∂(∂µφ)=

1

2

∂(∂µφ)[(∂νφ) (∂

νφ)] .

2.1) seja µ = 1(x):

∂L

∂(∂xφ)=

1

2

∂(∂xφ)

[

(∂0φ) (∂0φ) + (∂1φ) (∂

1φ) + (∂2φ) (∂2φ)

+(∂3φ) (∂3φ)

]

=1

2

∂(∂xφ)

[

(∂1φ) (∂1φ)

]

.

Lembrando: ∂µ = (∂0, ~∇) e ∂µ = (∂0,−~∇).

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 24 / 28

Page 78: Terceiro seminario: Teoria de campos clássicos

Princıpio de Hamilton para campos classicos

Entao:

∂L

∂(∂µφ)=

1

2

∂(∂µφ)[(∂νφ) (∂

νφ)] .

2.1) seja µ = 1(x):

∂L

∂(∂xφ)=

1

2

∂(∂xφ)

[

(∂0φ) (∂0φ) + (∂1φ) (∂

1φ) + (∂2φ) (∂2φ)

+(∂3φ) (∂3φ)

]

=1

2

∂(∂xφ)

[

(∂1φ) (∂1φ)

]

.

Lembrando: ∂µ = (∂0, ~∇) e ∂µ = (∂0,−~∇). Assim:∂L

∂(∂xφ)=

1

2

{∂(∂xφ)

∂(∂xφ)(−∂xφ) + ∂x(φ)

∂(−∂xφ)

∂(∂xφ)

}

.

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 24 / 28

Page 79: Terceiro seminario: Teoria de campos clássicos

Princıpio de Hamilton para campos classicos

Entao:

∂L

∂(∂µφ)=

1

2

∂(∂µφ)[(∂νφ) (∂

νφ)] .

2.1) seja µ = 1(x):

∂L

∂(∂xφ)=

1

2

∂(∂xφ)

[

(∂0φ) (∂0φ) + (∂1φ) (∂

1φ) + (∂2φ) (∂2φ)

+(∂3φ) (∂3φ)

]

=1

2

∂(∂xφ)

[

(∂1φ) (∂1φ)

]

.

Lembrando: ∂µ = (∂0, ~∇) e ∂µ = (∂0,−~∇). Assim:∂L

∂(∂xφ)=

1

2

{∂(∂xφ)

∂(∂xφ)(−∂xφ) + ∂x(φ)

∂(−∂xφ)

∂(∂xφ)

}

.

= −∂x(φ)

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Page 80: Terceiro seminario: Teoria de campos clássicos

Princıpio de Hamilton para campos classicos

Entao:

∂L

∂(∂µφ)=

1

2

∂(∂µφ)[(∂νφ) (∂

νφ)] .

2.1) seja µ = 1(x):

∂L

∂(∂xφ)=

1

2

∂(∂xφ)

[

(∂0φ) (∂0φ) + (∂1φ) (∂

1φ) + (∂2φ) (∂2φ)

+(∂3φ) (∂3φ)

]

=1

2

∂(∂xφ)

[

(∂1φ) (∂1φ)

]

.

Lembrando: ∂µ = (∂0, ~∇) e ∂µ = (∂0,−~∇). Assim:∂L

∂(∂xφ)=

1

2

{∂(∂xφ)

∂(∂xφ)(−∂xφ) + ∂x(φ)

∂(−∂xφ)

∂(∂xφ)

}

.

= −∂x(φ) = ∂1(φ).

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Page 81: Terceiro seminario: Teoria de campos clássicos

Princıpio de Hamilton para campos classicos

2.2) seja µ = 0, 1, 2, 3:∂L

∂(∂µφ)=

1

2

∂(∂µφ)[(∂νφ) (∂

νφ)]

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Page 82: Terceiro seminario: Teoria de campos clássicos

Princıpio de Hamilton para campos classicos

2.2) seja µ = 0, 1, 2, 3:∂L

∂(∂µφ)=

1

2

∂(∂µφ)[(∂νφ) (∂

νφ)]

=1

2

∂(∂νφ)

∂(∂µφ)︸ ︷︷ ︸

δνµ

(∂νφ) + (∂νφ)∂(

gνα (∂αφ)︷ ︸︸ ︷

∂ν(φ) )

∂(∂µφ)

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Page 83: Terceiro seminario: Teoria de campos clássicos

Princıpio de Hamilton para campos classicos

2.2) seja µ = 0, 1, 2, 3:∂L

∂(∂µφ)=

1

2

∂(∂µφ)[(∂νφ) (∂

νφ)]

=1

2

∂(∂νφ)

∂(∂µφ)︸ ︷︷ ︸

δνµ

(∂νφ) + (∂νφ)∂(

gνα (∂αφ)︷ ︸︸ ︷

∂ν(φ) )

∂(∂µφ)

A definicao da delta de Kronecker e:

δνµ =

{= 1, µ = ν

= 0, µ 6= ν

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Page 84: Terceiro seminario: Teoria de campos clássicos

Princıpio de Hamilton para campos classicos

2.2) seja µ = 0, 1, 2, 3:∂L

∂(∂µφ)=

1

2

∂(∂µφ)[(∂νφ) (∂

νφ)]

=1

2

∂(∂νφ)

∂(∂µφ)︸ ︷︷ ︸

δνµ

(∂νφ) + (∂νφ)∂(

gνα (∂αφ)︷ ︸︸ ︷

∂ν(φ) )

∂(∂µφ)

A definicao da delta de Kronecker e:

δνµ =

{= 1, µ = ν

= 0, µ 6= ν

Assim:

∂L

∂(∂µφ)=

1

2

(∂µφ) + (∂νφ) gνα

∂(∂αφ)

∂(∂µφ)︸ ︷︷ ︸

δαµ

=

1

2

(∂

µφ) + (∂νφ) gνµ︸︷︷︸

gµν

.

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Page 85: Terceiro seminario: Teoria de campos clássicos

Princıpio de Hamilton para campos classicos

Ou seja,

∂L

∂(∂µφ)=

1

2

(∂

µφ) + (∂νφ) gµν︸ ︷︷ ︸

(∂µφ)

.

⇒∂L

∂(∂µφ)= ∂µ(φ).

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Page 86: Terceiro seminario: Teoria de campos clássicos

Princıpio de Hamilton para campos classicos

Ou seja,

∂L

∂(∂µφ)=

1

2

(∂

µφ) + (∂νφ) gµν︸ ︷︷ ︸

(∂µφ)

.

⇒∂L

∂(∂µφ)= ∂µ(φ).

Em resumo:∂L

∂φ= −m2 φ e

∂L

∂(∂µφ)= ∂µ(φ),

que substituindo na eq. de Euler- Lagrange[∂L∂φ

− ∂µ

(∂L

∂(∂µφ)

)

= 0

]

:

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Page 87: Terceiro seminario: Teoria de campos clássicos

Princıpio de Hamilton para campos classicos

Ou seja,

∂L

∂(∂µφ)=

1

2

(∂

µφ) + (∂νφ) gµν︸ ︷︷ ︸

(∂µφ)

.

⇒∂L

∂(∂µφ)= ∂µ(φ).

Em resumo:∂L

∂φ= −m2 φ e

∂L

∂(∂µφ)= ∂µ(φ),

que substituindo na eq. de Euler- Lagrange[∂L∂φ

− ∂µ

(∂L

∂(∂µφ)

)

= 0

]

:

−m2φ− ∂µ(∂µφ) = 0.

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Page 88: Terceiro seminario: Teoria de campos clássicos

Princıpio de Hamilton para campos classicos

A eq. de Euler-Lagrange do campo escalar:

∂µ(∂µφ) + m2φ = 0.

Equacao deKlein-Gordon

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Page 89: Terceiro seminario: Teoria de campos clássicos

Princıpio de Hamilton para campos classicos

A eq. de Euler-Lagrange do campo escalar:

∂µ(∂µφ) + m2φ = 0.

Equacao deKlein-Gordon

Lembrando:

∂µ ∂µ =1

c2

∂2

∂t2−∇2,

sendo c a velocidade da luz no vacuo.

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Page 90: Terceiro seminario: Teoria de campos clássicos

Princıpio de Hamilton para campos classicos

A eq. de Euler-Lagrange do campo escalar:

∂µ(∂µφ) + m2φ = 0.

Equacao deKlein-Gordon

Lembrando:

∂µ ∂µ =1

c2

∂2

∂t2−∇2,

sendo c a velocidade da luz no vacuo.

A eq. de Klein-Gordon para o campo escalar livre e:

∇2φ(~x, t)−1

c2

∂2φ(~x, t)

∂t2− m2φ(~x, t) = 0.

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Page 91: Terceiro seminario: Teoria de campos clássicos

Princıpio de Hamilton para campos classicos

As transparencias deste seminario estao no blog:

http://mttdivulgacao.blogspot.com

na seccao:

”Divulgacao ja realizada em Universidades”

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