Tese-ANÁLISE NÃO-LINEAR FÍSICA DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO

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UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA"JLIO DE MESQUITA FILHO" FACULDADE DE ENGENHARIA DE ILHA SOLTEIRA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL Programa de Ps Graduao em Engenharia Civil ANLISE NO-LINEAR FSICA DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO UTILIZANDO O ELEMENTO FINITO PRISMTICO REGULAR LINEAR ASSOCIADO AO DE BARRA ALIENE FABIANA FAGLIONI DissertaoapresentadaFaculdade deEngenhariadeIlhaSolteira- UNESP, como parte dos requisitos para obtenodoTtulodeMestreem EngenhariaCivilreade Concentrao: Estruturas. ORIENTADOR: Prof. Dr. ROGRIO DE OLIVEIRA RODRIGUES Ilha Solteira SP Agosto de 2006. Dedico este trabalho memria de meu pai Osney, minha irm Aline e, em especial, minha me Olsia, por todo o apoio e incentivo. AGRADECIMENTOS AoProf.Dr.RogriodeOliveiraRodrigues,pela orientao e ensinamentos recebidos. AosprofessoresefuncionriosdoDepartamentode Engenharia Civil da FEIS/UNESP. Aosamigosquefizduranteoperododemestrado,pelo convvio e incentivo. Aos meus amigos de Maring, que me apoiaram desde o incio at o fim do trabalho. Aosamigos,professoresefuncionriosdaUniversidade EstadualdeMaring-UEM,quecontriburamparaminha formao profissional e pessoal. minhafamlia,principalmenteminhameeirm,pelo apoioeincentivodadosepelaconfianaquedepositaramem mim. E acima de tudo, a Deus. RESUMO FAGLIONI, A. F. Anlise no-linear fsica de vigas de concreto armado utilizando o elemento finito prismtico regular linear associadoaodebarra.122p.Dissertao(Mestradoem Engenharia Civil) Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira, Universidade Estadual Paulista, Ilha Solteira, 2006. Estetrabalhotemcomoobjetivoprincipalaanlise esttica linear e no-linear fsica do comportamento de vigas de concreto armado, por meio do Mtodo dos Elementos Finitos, utilizandooelementofinitoprismticoregularlinearcom oito ns para simular o concreto e o elemento finito de barra com dois ns para simular o ao. Nadeduodasmatrizesderigidezdoelementofinito prismtico regular linear e do elemento de barra utiliza-se a formulaocomcoordenadashomogneas,cujasfunes aproximadorascontmoitoedoismonmios,respectivamente, extrados do polinmio algbrico cbico completo em x, y e z. Paraaconsideraono-linearidadefsicadoconcreto utiliza-seocritriodeMohr-Coulomb,permitindorepresentar adiminuiodarigidezemfunodarupturadomaterial.Em relaono-linearidadedoaoempregadoomodelo elastoplstico com endurecimento linear. Para finalizar, apresentam-se exemplos que, comparados com resultadosnumricoseexperimentaisdeoutrospesquisadores, comprovam a validade do modelo adotado neste trabalho. Palavras-chave:Concretoarmado;Comportamentono-linear fsico;MtododosElementosFinitos. ABSTRACT FAGLIONI,A.F.Physicalnon-linearanalysisofreinforced concretebeamsusingthelinearregularprismaticfinite element associated with the frame element. 122 p. Dissertao (MestradoemEngenhariaCivil)FaculdadedeEngenhariade IlhaSolteira,UniversidadeEstadualPaulista,IlhaSolteira, 2006. The main objective of this work is the linear and physical non-linear static analysis of behaviour of reinforced concrete beams, by means of the Finite Element Method, using the linear regular prismatic finite element with eight nodes to simulate theconcreteandtheframefiniteelementwithtwonodesto simulate the steel. Theformulationemployinghomogeneouscoordinates,using approximatingfunctionscontainingeightandtwoterms startingfromthecompletecubicalgebraicpolynomialin Cartesiancoordinatesx,yandz,isusedtoobtainthe stiffnessmatricesforthelinearregularprismaticfinite elementandfortheframeelement,respectively.TheMohr-Coulombcriterionisusedtotakeintoaccountthephysical non-linearityofconcrete,permittingtorepresentthe decreaseofstiffnessinfunctionofthematerialrupture. Towardsthesteelphysicalnon-linearbehaviouristakenthe elastic-linear work hardening model. Finally,examplesarepresentedthat,comparedwith theoreticalandexperimentalresultsofotherresearchers, prove the validity of the model adopted in this work. Keywords:Reinforcedconcrete;Physicalnon-linearbehaviour; Finite Element Method. LISTA DE FIGURAS Figura 2.1 Sistema estrutural arbitrrio.................. 21 Figura 2.2 Tenses em um ponto............................ 23 Figura 2.3 Estado de tenses no ponto P................... 24 Figura 2.4 Tenses em um plano genrico e estado de tenses............................................................ 26 Figura 2.5 Espao de Haigh-Westergaard.................... 30 Figura 2.6 Elipside de Lam.............................. 31 Figura 2.7 Planos Octadricos............................. 32 Figura 2.8 Geometria do versor n.......................... 32 Figura 2.9 Decomposio vetorial.......................... 33 Figura 2.10 Definio do plano ......................... 38 Figura 2.11 Definio do plano desviador.................. 39 Figura 2.12 Referencial no plano desviador................ 40 Figura 2.13 Definio do versor 1e ........................ 40 Figura 2.14 Definio do ngulo de similaridade........... 42 Figura 3.1 Elemento finito de barra simples com dois ns.. 60 Figura3.2Elementofinitoprismticoregularlinearcom oito ns.................................................... 64 Figura4.1Diagramatensoxdeformaodeaostratadosa quente...................................................... 78 Figura4.2Diagramatensoxdeformaodeaostratadosa frio........................................................ 79 Figura 4.3 Modelo elastoplstico com endurecimento linear. 80 Figura4.4Comportamentotensoxdeformaotpicodo concreto.................................................... 82 Figura 4.5 - Curva tpica tenso x deformao axial e tenso x deformaovolumtricadoconcretoparaensaiodecompresso uniaxial.................................................... 83 Figura 4.6 Critrio de Mohr-Coulomb....................... 85 Figura 4.7 Representao geomtrica da superfcie de ruptura do critrio de Mohr-Coulomb no espao das tenses principais 86 Figura4.8Definiodasuperfciederupturanoplano desviador................................................... 87 Figura 5.1 Fluxograma do esquema geral de clculo......... 90 Figura 6.1 - Viga engastada composta por um elemento slido e submetida a um esforo axial de 20 kN....................... 95 Figura 6.2 - Resultado dos deslocamentos dos ns 1 e 2...... 96 Figura 6.3 - Grfico fora x deslocamento do n 1........... 96 Figura 6.4 - Viga engastada composta por um elemento slido e submetida fora perpendicular ao seu eixo................. 98 Figura 6.5 - Resultado dos deslocamentos nodais 1 e 2....... 98 Figura6.6-Vigaengastadacompostapordoiselementos slidos e submetida fora perpendicular ao seu eixo...... 100 Figura 6.7 - Resultado dos deslocamentos nodais 9 e 12..... 100 Figura 6.8 Deslocamentos x nmeros de elementos.......... 101 Figura6.9-Vigaengastadacompostaporquatroelementos slidos e submetida fora perpendicular ao seu eixo...... 102 Figura 6.10 Esquema da viga biapoida utilizada no exemplo 104 Figura6.11Seotransversaldaviga:disposioda armadura principal......................................... 104 Figura6.12Vigabiapoiadadiscretizadaem288elementos finitos prismticos regulares lineares..................... 105 Figura6.13Grficoforaxdeslocamentodoncentralda viga....................................................... 107 Figura6.14Grficoforaxdeslocamentodoncentral obtido por Rodrigues (1997)................................ 107 Figura6.15Vigabiapoiadadiscretizadaem1152elementos finitos prismticos regulares lineares..................... 108 Figura6.16-Grficoforaxdeslocamentodoncentralda viga....................................................... 110 Figura6.17-Resultadosdosdeslocamentosdosns781a785 para fora aplicada de 39 kN............................... 111 LISTA DE TABELAS Tabela 6.1 Deslocamentos x nmeros de elementos.......... 101 Tabela6.2Deslocamentosxnmerosdeelementospara discretizao bidimensional................................ 103 Tabela6.3Foraxdeslocamentoparaoncentraldaviga (Discretizao com 288 elementos prismticos e 48 elementos de barra)..................................................... 106 Tabela6.4-Foraxdeslocamentoparaoncentraldaviga (Discretizaocom1152elementosprismticose72elementos de barra).................................................. 109 SUMRIO CAPTULO 1 - INTRODUO..................................... 13 1.1 Tema e motivao...................................... 13 1.2 Estado da arte........................................ 15 1.3 Objetivos............................................. 18 1.4 Apresentao.......................................... 18 CAPTULO 2 - CONCEITOS DA MECNICA DOS SLIDOS DEFORMVEIS.. 20 2.1 - Foras atuantes em um sistema estrutural devido ao meio externo............................................... 20 2.1.1 Foras volumtricas ............................... 21 2.1.2 Foras superficiais ............................... 22 2.1.3 Foras concentradas ............................... 22 2.2 Tensor das tenses.................................... 23 2.2.1 - Tenses segundo uma direo qualquer .............. 26 2.2.2 - Tenses principais ................................ 27 2.2.3 Elipside de Lam ................................. 30 2.2.4 Tenses octadricas ............................... 31 2.2.5 Tensor desviador .................................. 35 2.2.6 Plano desviador ................................... 37 2.2.7 Referencial no plano desviador .................... 39 2.3 Tensor das deformaes................................ 43 2.4 Relaes cinemticas.................................. 44 2.5 Equaes de equilbrio de um slido................... 44 2.6 Relaes constitutivas................................ 45 2.7 Condies de contorno................................. 46 CAPTULO 3 - MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS................... 47 3.1 Formulao variacional................................ 48 3.1.1 Princpio da Energia Potencial Estacionria ....... 50 3.2 Formulao do Mtodo dos Elementos Finitos............ 51 3.2.1 Vetor das foras nodais equivalentes .............. 55 3.2.1.1 Foras distribudas no volume do elemento ..... 55 3.2.1.2 Foras distribudas na superfcie do elemento . 56 3.2.1.3 Foras concentradas em qualquer ponto do elemento............................................... 57 3.2.2 Matriz de rigidez do elemento ..................... 58 3.3 Elemento finito de barra.............................. 59 3.3.1 Matriz de rigidez ................................. 61 3.3.2 Matriz de rotao ................................. 62 3.4 Elemento finito prismtico regular linear............. 64 3.4.1 Matriz de rigidez ................................. 69 CAPTULO 4 - MODELOS FSICOS NO-LINEARES................... 76 4.1 Ao estrutural........................................ 77 4.1.1 Comportamento uniaxial ............................ 77 4.1.2 Modelo elastoplstico com endurecimento linear .... 80 4.2 Concreto.............................................. 81 4.2.1 Comportamento no-linear .......................... 81 4.2.2 Critrio de ruptura de Mohr-Coulomb ............... 84 CAPTULO 5 - ASPECTOS COMPUTACIONAIS........................ 89 5.1 Esquema geral de clculo.............................. 89 5.2 Descrio das sub-rotinas............................. 91 CAPTULO 6 - ANLISE NUMRICA............................... 94 6.1 Exemplo 1............................................. 94 6.1.1 Primeiro caso ..................................... 94 6.1.2 Segundo caso ...................................... 97 6.1.2.1 Discretizao ao longo da direo x ........... 99 6.1.2.2 Discretizao ao longo das direes x e z .... 102 6.2 Exemplo 2............................................ 103 CAPTULO 7 - CONSIDERAES FINAIS.......................... 112 7.1 - Concluses........................................... 112 7.2 - Propostas de desenvolvimento......................... 114 REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS................................. 116 BIBLIOGRAFIA CONSULTADA.................................... 118 Anliseno-linearfsicadevigasdeconcretoarmadoutilizandooelemento finito prismtico regular linear associado ao de barra 13 1.1 Tema e motivao A anlise estrutural esttica tem como principal objetivo adeterminaodadistribuioedamagnitudedastensese dosdeslocamentosquesemanifestamemqualquersistema estrutural,quandoomesmosubmetidoaumcarregamento arbitrrio, cuja intensidade, direo e sentido no variem com otempo.Ocampodetensescalculadodeverepresentarum sistemadeforasinternaseexternasemequilbrioe, simultaneamente,osdeslocamentosdevemsercontnuos, garantindo a condio de compatibilidade da estrutura. Deacordocomocomportamentodaestruturaadotado,a anliseestruturalpodeserlinearouno-linear.Aanlise linearprovenientedamanutenodageometriainicialcomo refernciadeequilbrio(linearidadegeomtrica)eda manutenodaspropriedadesfsicasespecficasdomaterial (linearidade fsica). J a anlise no-linear proveniente da alterao da geometria ou das propriedades fsicas do material estrutural. A maior dificuldade encontrada na anlise estrutural, uma vezqueossistemasestruturaisso,geralmente,admitidos comomeioscontnuos,estnofatodequeasequaes consistentesdeequilbrioquegovernamessessistemasso equaes diferenciais parciais e devem satisfazer as condies decontornodosmesmos.Caberessaltarqueossistemas estruturaiscontnuospossuemumnmeroinfinitodegrausde CAPTULO 1 -INTRODUO Anliseno-linearfsicadevigasdeconcretoarmadoutilizandooelemento finito prismtico regular linear associado ao de barra 14 liberdade,emfunodessacontinuidade,fatoesseque dificulta a resoluo do problema (RODRIGUES, 1997). Paracontornartalproblemtica,concomitantementecomo surgimentodocomputador,foramdesenvolvidosmtodos numricos,capazesdeobtersoluesaproximadaspara problemascomplexosdeEngenharia,pormeiodautilizaode sistemasdiscretosquecontmumnmerofinitodegrausde liberdade.DentreessesmtodosestoMtododosElementos Finitos (MEF), descrito na dcada de cinqenta pelos trabalhos de Argyris e Kelsey, publicados em 1954, e de Turner et al., publicadoem1956,quepermiteamodelaomatemticade fenmenos envolvidos na anlise estrutural. OMtododosElementosFinitostransformaumsistema estruturalcontnuoemumsistemaestruturaldiscreto,por meio da diviso do modelo geomtrico dos elementos estruturais em pequenas regies chamadas de elementos finitos, sendo essas interconectadas entre si para formar o conjunto estrutural. Paraproblemasestticos,esseprocedimentode discretizaoresultaumsistemadeequaesalgbricasque podeserfacilmenteresolvidocomaajudadetcnicas computacionaisadequadas.Comaobtenodessesistemade equaes resolve-se o problema citado, uma vez que tal sistema facilitaaimposiodascondiesdecontornodaestrutura. Por outro lado, a soluo obtida passa a ser aproximada e para seobterumarespostasatisfatria,usualmente,deve-se escolher o tipo adequado de elemento finito, a quantidade e a disposio geomtrica do mesmo. Comadisseminaodainformticaocorridanofinalda dcada de oitenta e com o aumento vertiginoso da capacidade de armazenamento,gerenciamentoeprocessamentodedadostrazido pelos computadores de pequeno porte, o MEF passou a ser aceito comoumadasmaispoderosastcnicasparaaanlisede estruturas, seja essa anlise linear ou no-linear. Anliseno-linearfsicadevigasdeconcretoarmadoutilizandooelemento finito prismtico regular linear associado ao de barra 15 Dentro desse contexto, o presente trabalho tem como tema principalaanliseno-linearfsicadevigasdeconcreto armado, utilizando o elemento finito prismtico regular linear com oito ns, simulando o concreto, associado ao de barra com dois ns, simulando o ao. Para essa anlise ser utilizada a teoriadetensesdeproblemasunidimensionaise tridimensionais, em conjunto com a teoria da plasticidade para a considerao da no-linearidade fsica do concreto e do ao. Comoprodutofinaldotrabalhofoidesenvolvidoum conjuntodesub-rotinas,emlinguagemVBASIC,contemplandoa anliselineareno-linearfsicadevigasdeconcreto armado.Essassub-rotinas,juntamentecomoutrasj desenvolvidas em pesquisas anteriores, fazem parte do programa institucionalFEISdec-FiniteElementforIdealizationof Structures:developmentandexecutionbycomputer,utilizado comoplataformadepesquisaparaaplicaoderesultados cientficos advindos de trabalhos de Iniciao Cientfica e do Programa de Ps-graduao em Engenharia Civil da FEIS / UNESP. 1.2 Estado da arte Desde o surgimento do concreto armado, na segunda metade dosculopassado,tem-seutilizadoomodeloelstico-linear paraarepresentaodocomportamentodosmateriaisnos procedimentosdeanliseestrutural,devidorelativa simplicidadeemsuaformulaoe,conseqentemente,emseu equacionamento,quandocomparadoamodelosdeclculomais refinados, como o caso da anlise estrutural considerando-se a no-linearidade dos materiais. Aconsideraodocomportamentono-lineardosmateriais conduzaproblemasmatemticosmaiscomplexos,comsolues praticamenteinviveissemoauxliodecomputadorescomboa capacidade de processamento. Anliseno-linearfsicadevigasdeconcretoarmadoutilizandooelemento finito prismtico regular linear associado ao de barra 16 Comocrescenteaperfeioamentodosequipamentosde informticanosltimosanos,houveumagrandeevoluonos processosdeclculo,buscando-sesemprerepresentaesmais realistas para o comportamento das estruturas e, sobretudo, a evoluo de um modelo razoavelmente limitado, como o elstico-linear, para outros com maior capacidade de representao. Vriospesquisadorestmtrabalhadocomoobjetivode obter e aprimorar modelos que tratam da no-linearidade fsica dosmateriais.Apesardosavanosnoestudodocomportamento no-linearfsicoserempoucoempregadosnomeiotcnico,em virtudedacomplexidadedasuafundamentaotericaeda necessidadedeusoderecursoscomputacionaisemsuas aplicaes,oscdigosnormativos,atualmente,buscamtratar, mesmoquedeformasimplificada,osaspectosdano-linearidade (VASCONCELOS, 2005). O primeiro trabalho sobre anlise no-linear, utilizando o MEF,foipublicadoporTurneretal(1960).Nostrabalhosde Ngo e Scordelis (1967) e Nilson (1968) foi utilizado o MEF em estruturasdeconcretoarmado.Apartirdessapoca intensificou-seousodeanlisesno-linearesaplicadasa essematerial.EmZienckiewicz(1969)foramfeitasvrias generalizaesdasrelaesconstitutivas,aplicandooMEFa problemas elastoplsticos. Dentre os pesquisadores que conduziram o trabalho para o campodasrelaesconstitutivasdoconcreto,podem-se destacaraspesquisasdeCheneChen(1975)eBazanteBhat (1976). EmOweneHinton(1980)foramdesenvolvidosmodelos constitutivos com aplicao computacional baseados no MEF para anlisedeestruturasdeconcretoarmado.Dentreosmodelos abordados,podemsercitadososcritriosdeTrescaeVon-Mises para o ao e os de Mohr-Coulomb e Drucker-Prager para o concreto. Anliseno-linearfsicadevigasdeconcretoarmadoutilizandooelemento finito prismtico regular linear associado ao de barra 17 EmProena(1988)foramestudadososprincipaismodelos matemticosnormalmenterepresentativosdoconcretoarmado paracompreensodocomportamentoglobalno-linearde estruturas. Em Crrea (1991) foi desenvolvido um sistema computacional paraanlisedepavimentosdeedifcioconsiderandolajese vigasintegradasaomesmomodelo,sendoutilizadoocritrio de Von Mises para a considerao da no-linearidade fsica do concreto. EmCarvalho(1994)foifeitaaanliseno-linearde pavimentosdeedifciosdeconcretopormeiodaanalogiade grelha,empregandorelaesmomento-curvaturabaseadasnas expresses de inrcia de Branson e nos preceitos do Manual do ComitEuro-InternacionalduBton(CEB)edoCEB90,sendo consideradas a fissurao e a fluncia do concreto. EmRodrigues(1997)foramutilizados,paraaanlise dinmicadetreliasdeaoconsiderandoano-linearidade fsica,modeloselastoplsticosparacarregamentoscclicos. Paraaintroduodano-linearidadefsicanaanlisede estruturasaporticadasdeconcretoarmadosujeitasaaes dinmicas,foramutilizadosmodelosfsicosno-lineares propostos pelo CEB e pelo American Concrete Institute (ACI). EmBuchaim(2001)foiestudadaainflunciadano-linearidade fsica na rigidez flexo de estruturas planas de concretoarmado,especificamentevigascontnuas,prticose lajesarmadasemumasdireo.Nestetrabalhoprocurou-se esclarecerproblemasrelacionadoscomadeformabilidadeea resistnciadaspeas,considerandoafissuraoe plastificao dos materiais. Com a inteno de dar continuidade linha de pesquisa j descrita,estetrabalhoabordaano-linearidadefsicade vigas de concreto armado, adotando, devido a sua simplicidade, ocritriodeMohr-Coulombparaoconcreto,eomodelo elastoplstico com endurecimento linear para o ao. Anliseno-linearfsicadevigasdeconcretoarmadoutilizandooelemento finito prismtico regular linear associado ao de barra 18 1.3 Objetivos Este trabalho tem por objetivos principais: apresentarodesenvolvimentomatemticodasmatrizesde rigidezdoelementofinitoprismticoregularlinearcom oitonsedoelementodebarracomdoisns,efetuandoo acoplamentodosmesmosnaanliseestruturaldevigasde concreto armado; desenvolver e incorporar modelos fsicos no-lineares para o concreto e ao, visando anlise do comportamento de vigas de concreto armado submetidas a carregamentos estticos; elaborarumasriedesub-rotinasemlinguagemVBASIC, contemplando a anlise linear e no-linear fsica do problema proposto; quantificar a distribuio das tenses internas nos sentidos longitudinaletransversalaoeixodevigasdeconcreto armado, por meio da discretizao tridimensional do elemento estrutural, para possibilitar a implementao do modelo no-linear fsico do concreto. 1.4 Apresentao Nesteprimeirocaptuloprocura-seapresentarumaviso geraldetodootrabalho,descrevendo-se,paratanto,temae motivao,estadodaarte,objetivosdotrabalhoe, finalizando, uma descrio sucinta dos captulos subseqentes. Nocaptulo2apresentam-sealgunsconceitosda Mecnica dosSlidosDeformveisnecessriosparaodesenvolvimento Anliseno-linearfsicadevigasdeconcretoarmadoutilizandooelemento finito prismtico regular linear associado ao de barra 19 matemticodoMtododosElementosFinitosetambmdos modelos fsicos no-lineares para o concreto e o ao. Nocaptulo3apresenta-seaformulaodoMtododos ElementosFinitos,comaadoodoprincpiodaenergia potencialestacionriaparaaconsideraodoequilbriodo sistema estrutural, e tambm o desenvolvimento matemtico das matrizesderigidezdoelementofinitoprismticoregular linear com oito ns e do elemento de barra com dois ns. No captulo 4 descrevem-se os comportamentos no-lineares do ao e do concreto, por meio da relao tenso x deformao decadamaterial,eaindasodesenvolvidosomodelo elastoplsticocomendurecimentolineareocritriode rupturadeMohr-Coulomb,representandoano-linearidade fsica do ao e do concreto, respectivamente. No captulo 5 so apresentados os aspectos computacionais relativosaoprogramacomputacionalutilizado,ouseja, esquema geral de clculo e descrio das sub-rotinas. Jnocaptulo6soapresentadosexemplosrelativos anliseestticalineareno-linearfsicadevigasde concreto armado. Por fim, no captulo 7, so apresentadas as concluses do trabalho e algumas propostas para desenvolvimento em trabalhos futuros. Anliseno-linearfsicadevigasdeconcretoarmadoutilizandooelemento finito prismtico regular linear associado ao de barra 20 AMecnicadosSlidosDeformveis,sejaemregime elstico ou regime plstico, tem por finalidade a determinao dos campos de tenses, deformaes e deslocamentos no interior deumslidogenrico,sujeitoaumasolicitaoqualquer. Paratanto,utilizaosconceitosbsicosdetensese deformaesespecficas,complementadospelasequaes cinemticasedeequilbrio,emconjuntocomasrelaes constitutivas dos materiais.AidiafundamentaldaMecnicadosSlidosDeformveis foiconcebidaporCauchy,em1822,aoadmitirqueatenso atuantesobreumplano,queseccionaumcorposlidoemduas partes,sejaaresultantedasforasdetodasasmolculas situadas no plano, na mesma direo, dividida pela rea desse plano (SNCHEZ FILHO, 2000). 2.1 - Foras atuantes em um sistema estrutural devido ao meio externo Dado um sistema estrutural arbitrrio, conforme ilustra a figura 2.1, pode-se isolar um cubo infinitesimal com volume dVe de qualquer parte do sistema, com a finalidade de se analisar as solicitaes atuantes no mesmo. CAPTULO 2 -CONCEITOSDAMECNICADOSSLIDOS DEFORMVEIS Anliseno-linearfsicadevigasdeconcretoarmadoutilizandooelemento finito prismtico regular linear associado ao de barra 21 Figura 2.1 Sistema estrutural arbitrrio Osistemaestruturalestreferidoaumsistematri-ortogonaldeeixosglobais( ,,x y z),sendou ,v ew as componentesdeumdeslocamentoqualquernasdireesx ,y e z,respectivamente.Naformamatricial,odeslocamentofica definido pela equao (2.1), { } Tu u v w =

(2.1) sendoquetaiscomponentesdedeslocamentosofunes dependentesdosistemadecoordenadaseexpressaspor ( ) , , u u x y z = ,( ) , , v v x y z =e( ) , , w w x y z = . O volume total do sistema estrutural definido pela letra VeovolumedecadaelementodefinidoporVe.Ja superfciedosistemadefinidapelaletraS,sendoessa subdividida em: superfcie na qual os deslocamentos so conhecidos uS ; superfcie na qual as foras atuantes so conhecidos S . 2.1.1 Foras volumtricas As foras volumtricas so aplicadas em todos os pontos do materialetmdimensodeforaporunidadedevolume.Em Z,w X,u Y,v Su dVe S Anliseno-linearfsicadevigasdeconcretoarmadoutilizandooelemento finito prismtico regular linear associado ao de barra 22 geralsoprovenientesdocampogravitacional,mastambm podemserprovocadosporcamposmagnticos,eltricos,etc. Logo,sobrecadaelementodiferencialdevolumedVeatuamas componentes das foras volumtricas que, organizadas na forma matricial, resultam na equao (2.2). { } eTV x y zp V V V =

(2.2) 2.1.2 Foras superficiais As foras superficiais so aplicadas de forma distribuda nas superfcies externas dos elementos e tm dimenso de fora por unidade de rea. Podem ser provenientes da ao do vento, de sobrecarga, etc. Portanto, sobre cada elemento diferencial comreaexternadSuatuamascomponentesdasforas superficiais que, organizadas na forma matricial, resultam na equao (2.3). { }SSeTS x y zp S =

(2.3) 2.1.3 Foras concentradas As foras concentradas so, geralmente, aplicadas nos ns dos elementos e tm dimenso de fora e de fora vezes unidade mtrica, visto que os momentos so includos nesta categoria. Esses podem ser provenientes das reaes das vigas ou pilares, foraspontuais,etc.Assim,sobrecadandeumelemento atuam as componentes das foras concentradas que, organizadas na forma matricial, resultam na equao (2.4). { } TC x y zp C C C =

(2.4) Anliseno-linearfsicadevigasdeconcretoarmadoutilizandooelemento finito prismtico regular linear associado ao de barra 23 2.2 Tensor das tenses O vetor de tenso nT em um ponto P qualquer, interno em um corposlidoemequilbrioesttico,podeserdecompostoem doisoutrosvetores:umatensonormal,quetemamesma direo do vetor unitrio n , perpendicular a um plano de corte imaginriopassandopeloponto,eoutratensotangencial, quepossuiamesmadireodovetorunitrio sn ,paraleloa esse mesmo plano, conforme mostra a figura 2.2. Figura 2.2 Tenses em um ponto Peloclculovetorial,omdulodovetordetenso nT dado pela equao (2.5). 22 2nT | |= + |\ . (2.5) Ascomponentesde nT,segundoumdeterminadosistemade eixoscoordenados,sodadas,emnotaoindicial,pela expresso (2.6): nsii iT n n = +(2.6) ni T n plano P 1//ssplanoplano= =n nnn slido nS Anliseno-linearfsicadevigasdeconcretoarmadoutilizandooelemento finito prismtico regular linear associado ao de barra 24 em que ine sinso os co-senos diretores, respectivamente, das tensesecom os eixos coordenados. Adotandoosistemadeeixoscartesianos,comvetores unitrios 1e , 2ee 3eperpendiculares entre si, e representando o ponto P por um cubo imaginrio, as tenses atuantes em cada facedessecubopodemserdecompostasconformeilustraa figura 2.3. Figura 2.3 Estado de tenses no ponto P De acordo com a figura 2.3, obtm-se o seguinte sistema de equaes: 11 1 12 2 13 3 1 2 321 1 22 2 23 3 1 2 331 1 32 2 33 3 1 2 3x xy xzyx y yzzx zy z = + + = + += + + = + += + + = + +123T e e e e e eT e e e e e eT e e e e e e(2.9) ou ainda, em notao indicial, conforme segue. x3 x1 x2 e1 e2 e3 3T 1T 2T 32 13 23 31 33 12 21 11 22 x3 x1 x2 x zy yzzx z xz xy yxx y z y Anliseno-linearfsicadevigasdeconcretoarmadoutilizandooelemento finito prismtico regular linear associado ao de barra 25 ij j =iT e (2.10) Dessa forma, o estado de tenses no ponto P fica definido por: 11 12 1321 22 2331 32 33 ij ( (= ( ( (2.11) sendoque ij otensorcartesianodetenses,comnove componentes,sendotrstensesnormaiseseistenses tangenciais. Na notao tcnica usual, o tensor de tenses se expressa de acordo com a equao (2.12). xy xzy yzzy z xij yxzx ( (=( ( (2.12) Pelo teorema de Cauchy, facilmente pode-se demonstrar que esse tensor simtrico, ou seja, ij ji = , sendo, portanto, o estadodetensesemumpontodefinidoporseiselementos, dados pelas trs tenses normais e pelas trs tangenciais. Devidoasuasimetria,muitasvezesotensordetenses tambm representado por um vetor coluna, conforme a equao (2.13). { }xy xz yz Tx y z =

(2.13) Anliseno-linearfsicadevigasdeconcretoarmadoutilizandooelemento finito prismtico regular linear associado ao de barra 26 2.2.1 - Tenses segundo uma direo qualquer Aoseefetuarumcorteimaginrioqualquernocubo mostradopelafigura2.3,define-seumplanoABC,noqualas tenses atuantes e podem ser relacionadas com as tenses atuantes em cada face do cubo, conforme ilustra a figura 2.4. Figura 2.4 Tenses em um plano genrico e estado de tenses As reas perpendiculares a cada um dos eixos coordenados sodeterminadas,deacordocomafigura2.4,pelasequaes (2.14), 1 1 2 2 3 3; ; A A n A A n A A n = = =(2.14) sendo, conforme definido anteriormente, 1 2 3, e n n nos co-senos diretoresdatensocomoseixos 1 2 3, ex x x , respectivamente. Efetuando-se o somatrio das foras atuantes no ponto P, nas direes dos eixos 1 2 3, ex x x , e igualando-se tal valor a zero,umavezqueopontointernoaocorposlidoem equilbrio esttico, obtm-se: 11 x1 x2 x3 33 22 12 13 31 32 21 23 C A B C A B A1 A3 A2 AABC= A x1 x2 x3 n nS 1 ;; //s sABC ABC A A= = n n n nAnliseno-linearfsicadevigasdeconcretoarmadoutilizandooelemento finito prismtico regular linear associado ao de barra 27 1 1 11 1 21 2 31 32 2 12 1 22 2 32 33 3 13 1 23 2 33 3000sssn A n n A n A n An A n n A n A n An A n n A n A n A + =+ =+ =(2.15) ou, em notao indicial, com, 1,2,3 i j= , ( ) ( ) 0si i ji jA n n A n + = (2.16) Como a rea A diferente de zero e como ji ij = , obtm-se a relao dada pela equao (2.17). si i ij jn n n + = (2.17) Assim, substituindo-se a equao (2.6) na equao (2.17), chega-serelaoentreastensesatuantessegundouma direoqualquereastensesatuantesemcadafacedocubo, dada, em notao indicial, pela equao (2.18). niij jT n = (2.18) 2.2.2 - Tenses principais Asdireesnasquaisastensesnormaisatingemseus valoresextremoseastensestangenciaissonulas,so conhecidascomodireesprincipais.Paraumadireo principal,aequao(2.17)podeserreescritanaformada equao (2.19), i ij jn n =(2.19) Anliseno-linearfsicadevigasdeconcretoarmadoutilizandooelemento finito prismtico regular linear associado ao de barra 28 na qual , o mdulo do vetor de tenso nT , chamado de valor da tenso principal. Com o auxlio da equao (2.20), i ij jn n = (2.20) onde ij o delta de Kronecker definido pela relao (2.21), 1para 0para iji ji j== (2.21) obtm-seumsistemadetrsequaeslinearesehomogneas, quepossuicomoincgnitasostrsco-senosdiretoresdas direesprincipaisevalor datensoprincipal,dado,em notao indicial, pela equao (2.22). ( ) 0ij ij jn = (2.22) Para que esse sistema possua solues reais, diferentes da soluotrivial0jn = ,deve-secumpriracondiodadapela equao (2.23), 0ij ij = (2.23) ou seja, 11 12 1321 22 2331 32 33( - ) ( - ) 0 ( - ) = (2.24) cujo desenvolvimento resulta em uma equao polinomial cbica em ,Anliseno-linearfsicadevigasdeconcretoarmadoutilizandooelemento finito prismtico regular linear associado ao de barra 29 3 21 2 30 I I I + = (2.25) emque 1 2 3,eI I I soosinvariantesbsicosdotensordas tenses, chamados de invariante linear, quadrtico e cbico, e definidospelasequaes(2.26),(2.27)e(2.28), respectivamente. 1 11 22 33I = + + (2.26) = + + 2 2 22 11 22 22 33 11 33 12 23 31I (2.27) 2 2 23 11 22 33 12 23 31 11 23 22 31 33 122 I = + (2.28) Astrsrazesdaequao(2.25), 1 2 3,e ,so denominadastensesprincipais.Emtermosdessastensesos trsinvariantessodadospelasequaes(2.29),(2.30)e (2.31). 1 1 2 3I = + + (2.29) 2 1 2 2 3 1 3I = + +(2.30) 3 1 2 3I =(2.31) Associadacomcadatensoprincipal k humadireo principal,definidapelosco-senosdiretores ( ) kjn ,com 1,2,3 k = ,obtidos resolvendo-se o sistema de equaes lineares dadopelaequao(2.32),satisfazendoaindaacondio imposta pela equao (2.33). ( )( ) 0kij k ij jn =(2.32) Anliseno-linearfsicadevigasdeconcretoarmadoutilizandooelemento finito prismtico regular linear associado ao de barra 30 2 2 21 2 31 n n n + + =(2.33) 2.2.3 Elipside de Lam Emumespaocujoseixoscoordenadossooseixos representativosdastensesprincipais 1 2 3,e ,conhecido como espao de Haigh-Westergaard, como mostrado na figura 2.5, a equao (2.18) pode ser reescrita como: 1 1 2 2 3 3nii i iT n n n = + + (2.34) ecomo0ij = parai j ,obtm-seasrelaesdadaspelas equaes (2.35). 11 122 222 2nnnT nT nT n===(2.35) Figura 2.5 Espao de Haigh-Westergaard Substituindo-se essas relaes na equao (2.33), chega-se equao (2.36) que define a forma de um elipside, conhecido como elipside de Lam, conforme ilustra a figura 2.6. 1 2 31 2 31n n nT T T | | | | | | |||+ + = |||\ . \ . \ .(2.36) 3 1 2 P(1,2,3) Anliseno-linearfsicadevigasdeconcretoarmadoutilizandooelemento finito prismtico regular linear associado ao de barra 31 Figura 2.6 Elipside de Lam Oraiovetordoelipsidedefinidopor=nOM T ,cujo mdulodadopelaequao(2.37),definindoastenses atuantes em uma direo qualquer. ( ) ( ) ( )2 2 2 22 2 21 2 31 1 2 2 3 3n n n nT T T T n n n | | | | | | | |= + + = + + ||||\ . \ . \ . \ .(2.37) 2.2.4 Tenses octadricas Considerando-seoespaodeHaigh-Westergaard,existem oito planos, denominados planos octadricos, que possuem igual inclinaoemrelaosdireesprincipaisdetenses, conforme mostrado pela figura 2.7. 3 1 2 M O Anliseno-linearfsicadevigasdeconcretoarmadoutilizandooelemento finito prismtico regular linear associado ao de barra 32 Figura 2.7 Planos Octadricos Os co-senos diretores indo versornperpendiculara um planooctadrico,comrelaoaoseixos 1 2 3,e ,so definidospelaequao(2.38),apartirdarelao(2.33)e tomando-se 1 2 3 in n n n = = = ,jqueoplanopossuiamesma inclinao em relao a esses eixos, conforme ilustra a figura 2.8. Figura 2.8 Geometria do versor n 1cos3i in = =(2.38) Emcadaplanooctadricoatuaumvetordetensor noct T , cujascomponentesvetoriaissodenominadastenses d 1 2 3 d dO D a b c ___1 2 31 OD = == =n 2 1 3 C A B 1 3 B C A O ___ ___ ______ ___ ___' ' ' ' ' ' C A C B B AAC BC AB= = == = = plano octadrico 2 Anliseno-linearfsicadevigasdeconcretoarmadoutilizandooelemento finito prismtico regular linear associado ao de barra 33 octadricas, e so dadas por uma tenso normal octadricaoct e por uma tenso tangencial octadrica oct. Essas tenses so obtidasaodesenvolver-seaequaodeCauchy,que estabelecidapartindo-sedadecomposiovetorialmostrada pela figura 2.9. Figura 2.9 Decomposio vetorial Da figura 2.9 obtm-se: cosii ninnT = = (2.39) mas como n um versor, da equao anterior tem-se: nn i iT n = (2.40) ecomoauxliodaequao(2.18),chega-seequaode Cauchy dada por (2.41). n ij j in n = (2.41) Expandindo-seaequaoanterior,emtermosdetenses principais, sendo, portanto,0ij =para i j , encontra-se: i n n ni plano i ni T n 1 = nAnliseno-linearfsicadevigasdeconcretoarmadoutilizandooelemento finito prismtico regular linear associado ao de barra 34 2 2 21 1 2 2 3 3( ) ( ) ( )nn n n = + + (2.42) esabendoquesetratandodeplanosoctadricos,osco-senos diretores inobedecem relao (2.38), obtm-se a equao que define a tenso normal octadrica dada por (2.43). ( )1 2 313oct = + +(2.43) A equao (2.43) mostra que a tenso normal octadrica uma tenso normal mdia, chamada de tenso hidrosttica, sendo constanteparaasoitofacesdooctaedro,formadopelosoito planosoctadricos.Portanto,paramateriaishomogneose istropos,atensonormaloctadricamodificaovolumedo slido sem alterar sua forma.A tenso tangencial octadrica pode ser obtida a partir da equaofundamental(2.5),quereescritaadequadamente apresenta a seguinte forma: ( ) ( )22 2noct oct octT | |= |\ . (2.44) sendo 2noctT| | |\ .dadopelaequao(2.37), oct dadapor(2.43)e utilizando a relao (2.38), encontra-se a equao que define atensotangencialoctadrica,dadapor(2.45)ou, desenvolvendo-se esta, por (2.46). ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 21 2 3 1 2 31 13 9oct (= + + + + (2.45) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21 2 2 3 3 119oct (= + + (2.46) Anliseno-linearfsicadevigasdeconcretoarmadoutilizandooelemento finito prismtico regular linear associado ao de barra 35 Assimcomoatensonormaloctadrica,atangencial constanteparaasoitofacesdooctaedro,sendoque,para materiaishomogneoseistropos,atensotangencial octadrica provoca modificao da forma do slido sem alterar-lhe o volume. 2.2.5 Tensor desviador Muitasvezestildecomporotensordetenses ij em duascomponentes,sendoumaparceladadapelotensor hidrosttico ijh ,tambmchamadodetensoresfrico,eoutra dada pelo tensor desviador ijs , estabelecendo, ento, a relao dada pela equao (2.47). ij ij ijh s = + (2.47) O tensor hidrosttico definido por: ij ijh p = (2.48) emquepcorrespondeaumatensonormalmdiadefinidapela equao(2.43),ounocasodeumestadoqualquerdetenses, definida pela equao (2.49). ( )11 22 33 11 1 13 3 3iip I = = + + =(2.49) Das equaes (2.47) e (2.48) obtm-se a equao (2.50) que defineotensordesviador,querepresentaumestadode cisalhamento puro. ij ij ijs p = (2.50) Anliseno-linearfsicadevigasdeconcretoarmadoutilizandooelemento finito prismtico regular linear associado ao de barra 36 Dessemodo,paraumestadodetensesqualquer,os tensoreshidrostticoedesviadorpodemserdefinidos,em notaomatricial,pelasequaes(2.51)e(2.52), respectivamente. 000 000ijph pp ( (= ( ( (2.50) ( )( )( )11 12 1311 12 1321 22 23 21 22 2331 32 3331 32 33

ijps s ss s s s ps s sp ( ( ( (= = ( ( ( ( (2.52) Deformaanlogarealizadaparaobterastenses principais,noitem(2.2.2),pode-seobterastenses desviadoras principais, por meio da condio de diagonalizao do tensor ijs , dada pela seguinte equao: 0ij ijs s = (2.53) ou seja, ( )( )( )11 12 1321 22 2331 32 33 0 s s s ss s s ss s s s = (2.54) cujodesenvolvimentoresultaremumaequaocbica caracterstica dada pela equao (2.55). 3 21 2 30 s J s J s J = (2.55) Resolvendo-seaequaoanteriorobtm-setrsrazes chamadasdetensesdesviadorasprincipais 1 2 3,es s s ,sendo Anliseno-linearfsicadevigasdeconcretoarmadoutilizandooelemento finito prismtico regular linear associado ao de barra 37 1 2 3,eJ J J osinvariantesdotensordesviador,definidospor (2.56), (2.57) e (2.58), respectivamente. 1 11 22 33 1 2 30iiJ s s s s s s s = = + + = + + =(2.56) ( )( ) ( ) ( )2 2 22 11 22 22 33 11 33 12 23 3121 22 2 21 2 2 3 3 11 331

6J s s s s s s s s sI I = + + += (= + + (2.57) ( )2 2 23 11 22 33 13 23 31 11 23 22 31 33 12 1 2 331 1 2 3212 9 2727J s s s s s s s s s s s s s s sI I I I= + == +(2.58) Em termos dos invariantes do tensor das tenses principais edotensordesviador,atensonormaloctadricaeatenso tangencialoctadrica,deacordocomasequaes(2.29)e (2.57), podem ser redefinidas pelas equaes (2.59) e (2.60), respectivamente. 113octI =(2.59) 223octJ = (2.60) 2.2.6 Plano desviador NoespaodeHaigh-Westergaard,pode-sedefinirumplano querepresentaumestadodecisalhamentopuro,denominado plano .Esseplanopossuivetornormalunitriocoincidente comadireodoeixohidrostticodadopor 1 2 3 = = , Anliseno-linearfsicadevigasdeconcretoarmadoutilizandooelemento finito prismtico regular linear associado ao de barra 38 conformeilustraafigura2.10,sendo,portanto,osco-senos diretores desse vetor dados pela equao (2.38). Figura 2.10 Definio do plano Dessa forma, pode-se definir o vetor hidrostticoON com coordenadas( ) , , p p p ,sendooseumdulodadopelaequao (2.61). 2 2 23 3octp p p p = = = + + = = ON n(2.61) Um vetorOP, representando um estado de tenso qualquer, conformeilustraafigura2.11,podeserdecompostoemduas componentes,asaber:umvetorhidrostticoON,definido anteriormente, e outro vetor desviadorNP , que perpendicular ao eixo hidrosttico. O plano que contm o vetorNP , paralelo ao plano , denominado plano desviador. 1 2 3 n3 eixo hidrosttico 1= 2= 3 n1 n2 n plano 1;;Oplano plano = n nAnliseno-linearfsicadevigasdeconcretoarmadoutilizandooelemento finito prismtico regular linear associado ao de barra 39 Figura 2.11 Definio do plano desviador Assimsendo,ovetordesviadorNP tercoordenadas ( )1 2 3, ,m m m e seu mdulo dado pela equao (2.62). 22 3octJ = = = = NP s (2.62) 2.2.7 Referencial no plano desviador Oplanodesviadordefinidonoitemanteriorutilizado paradescreverasleisdeplastificao,pormeiodemodelos derupturavalidadosporexperimentao.Paraumamelhor descriodessesmodelos,sepodeprojetaroseixos coordenados do referencial de Haigh-Westergaard sobre o plano 1 2 3 1+ 2+ 3=3 m O n plano ; ; // plano desviadorplano plano desviador = == == +s NP NPON n ONOP ON NPNP 3 2 1 P A B C N plano desviador P(1,2,3) N(p,p,p) Anliseno-linearfsicadevigasdeconcretoarmadoutilizandooelemento finito prismtico regular linear associado ao de barra 40 desviador, definindo-se um novo referencial ( ) 1 2 3, , , contido nesse plano, como ilustra a figura 2.12. Figura 2.12 Referencial no plano desviador Definindo-se 1ecomo sendo o versor do eixo 1N , conforme mostradonafigura2.13,assuascomponentesemrelaoao sistema ( )1 2 3, , so dadas pela equao (2.63). Figura 2.13 Definio do versor 1e ( ) ( ) ( )1 12, 1, 1 , , 2, 1, 16 6| | | |= = ||\ . \ .1 1 2 3e e e e (2.63) 1 n 1 e1 plano desviador 90o-1 1 eixo hidrosttico 11= e2 3 1 e1 P 111 2 3..cos, ,NPplano desviador == 1NP eNPplano desviador 1200 1200 1200 P1 Anliseno-linearfsicadevigasdeconcretoarmadoutilizandooelemento finito prismtico regular linear associado ao de barra 41 A projeo do vetor desviador sobre o eixo 1 , de acordo com a figura 2.12, pode ser obtida como segue: ( ) ( )1 2 31, , 2, 1, 1 cos6Ts s s | |= = |\ .1NP (2.64) ou seja, 3 1 22cos6 6 6s s s = (2.65) e com o auxlio das equaes (2.56) e (2.62) possvel obter-se o valor de por meio da equao (2.66). 123cos2sJ =(2.66) Partindo-se da seguinte relao trigonomtrica: ( )3cos 3 4 cos 3 cos = (2.67) e de acordo com as equaes (2.57) e (2.58), a equao (2.66) pode ser reescrita como segue: ( )33223 3cos 32JJ =(2.68) em que cos 3 um invariante simtrico do plano desviador, com 0 60 conforme ilustra a figura 2.14. Anliseno-linearfsicadevigasdeconcretoarmadoutilizandooelemento finito prismtico regular linear associado ao de barra 42 Figura 2.14 Definio do ngulo de similaridade Com base na equao (2.68) se podem definir os meridianos detrao,decisalhamentopuroedecompresso, correspondentes aos ensaios especficos de trao simples, de cisalhamento puro e compresso simples, respectivamente. Dessa forma,omeridianodetraoficadefinidopor0 = ,com cos 3 1 =+ , o meridiano de cisalhamento puro fica definido por 30 = ,comcos 3 0 = eomeridianodecompressofica definido por60 = , com cos 3 1 = . Retomando-se a equao (2.66) e considerando-se os ngulos mostradospelafigura2.14,astensesprincipais 1 2 3,es s spodemserdefinidaspelasequaes(2.69),(2.70)e(2.71), respectivamente. 1 22 3cos3s J = (2.69) ( )2 22 3cos 1203s J = (2.70) ( )3 22 3cos 1203s J = + (2.71) Particularizandoaequao(2.47)emrelaostenses principais, obtm-se: i ip s = +(2.72) 2 3 1 P plano desviador N1200 1200 1200 600 600 Anliseno-linearfsicadevigasdeconcretoarmadoutilizandooelemento finito prismtico regular linear associado ao de barra 43 eutilizando-seasequaes(2.49),(2.69),(2.70)e(2.71), astensesprincipaisficamdefinidasemfunoapenasdos invariantes( )1 2, , I J , como mostra a relao matricial dada por (2.73). ( )( )112 23 cos12 31 cos 1203 31cos 120IJ = + ` ` ` + ) ) ) (2.73) 2.3 Tensor das deformaes Noestudodosslidosdeformveis,avariaode comprimentoqueocorreumumafibraqualquerchamadade deformao linear especfica, e representada pelo smbolo . Javariaodosngulosretosiniciaisentreaslinhas imaginriasdoslidochamadadedeformaotangencialou cisalhante,erepresentadapor .Dessemodo,as componentesdotensordasdeformaespodemserexplicitadas como segue: { }xy xz yz Tx y z =

(2.74) sendoqueosndicesx,y,ezdasdeformaeslineares especficasrepresentamqueavariaoestocorrendona direo respectiva dos eixos cartesianos, e os ndices xy, xz, e yz das deformaes tangenciais representam as variaes dos ngulos nos planos xy, xz e yz, respectivamente. Anliseno-linearfsicadevigasdeconcretoarmadoutilizandooelemento finito prismtico regular linear associado ao de barra 44 2.4 Relaes cinemticas As deformaes de um slido elstico so relacionadas com os deslocamentos,eu v w , definidos no item 2.1, por meio de relaesdiferenciais.Nocasoemquesepresumequeh restriessuficientesparaimpedirodeslocamentodoslido comocorporgido,detalformaquenenhumdeslocamentodas suaspartculassejapossvelsemqueoslidosofrauma deformao,essasrelaescinemticasentredeformaese deslocamentos,quandosomentepequenasdeformaesso consideradas,podemsemexpressaspelasequaes(2.75)a (2.80). xux= (2.75) yvy= (2.76) zwz= (2.77) xyu vy x = + (2.78) xzu wz x = + (2.79) yzv wz y = + (2.80) 2.5 Equaes de equilbrio de um slido Considerando-seumpequenoblocoretangulardearestas conhecidas,submetidostensesnormaisetangenciais,e admitindo-seumavariaodetensesaolongodomaterial, pode-seefetuarosomatriodasforasnastrsdirees, Anliseno-linearfsicadevigasdeconcretoarmadoutilizandooelemento finito prismtico regular linear associado ao de barra 45 impondo-sequeasdimensesdasarestastendamazero, resultando as equaes de equilbrio como segue: 0xyx xzxVx y z + + + = (2.81) 0yx y yzyVx y z + + + = (2.82) 0zyxz zzVx y z + + + = (2.83) sendo,e x y zV V Vcomponentes das foras volumtricos, definidas no item 2.1.1, nas direes x, y e z, respectivamente. 2.6 Relaes constitutivas Asequaesqueinterligamastensesedeformaes, denominadas relaes constitutivas, so formuladas com base na observaodocomportamentoeexperimentaodosmateriais submetidossaesexternas.Admitindo-sequeomaterial tenha comportamento elstico linear, as relaes constitutivas so dadas pela Lei de Hooke generalizada: ( )1x x y zE (= + (2.84) ( )1y y x zE ( = + (2.85) ( )1z z x yE (= + (2.86) Anliseno-linearfsicadevigasdeconcretoarmadoutilizandooelemento finito prismtico regular linear associado ao de barra 46 ( ) 2 1xy xyE +=(2.87) ( ) 2 1xz xzE +=(2.88) ( ) 2 1yz yzE +=(2.89) em que E o mdulo de elasticidade longitudinal do material e o coeficiente de Poisson. 2.7 Condies de contorno Existem dois tipos de condies de contorno em problemas deanliseestrutural.Aprimeiracondiodecontornodo sistemaestruturaldadaemfunodavinculaodoslido com o meio externo, sendo, portanto, conhecidos os valores dos deslocamentos na superfcie uS , como segue. ( ) , , u u x y z = (2.90) ( ) , , v v x y z = (2.91) ( ) , , w w x y z = (2.92) Asegundacondiodecontornodadaemfunodo carregamento externo aplicado, uma vez que na superfcie S os valores das foras atuantes so conhecidos. Anliseno-linearfsicadevigasdeconcretoarmadoutilizandooelemento finito prismtico regular linear associado ao de barra 47 Quandoaplicadoaproblemasdeanliseestrutural,o conceitobsicodoMtododosElementosFinitos(MEF)tal queumcontnuo(osistemaestrutural)podesermodelado analiticamentepelasuasubdivisoempequenasregies(os elementos finitos). Esses elementos so interconectados entre si e com o meio externo por meio de pontos nodais situados em seu contorno. Os deslocamentosdessespontosnodaissoosparmetrosbsicos desconhecidos do problema. Paradefiniroestadodedeslocamentodecadaelemento deve-seescolherumconjuntodefunesrelacionadascomos deslocamentosnodaisdoelemento.Essasfunessochamadas de funes de forma do elemento. A partir dessas funes de forma pode-se, ento, definir o estadodedeformaodoelemento,que,juntamentecomas deformaesiniciaisecomaspropriedadesconstitutivasdo material,definirooestadodetensoemtodooelementoe tambm no seu contorno. Porserummtododediscretizao,asoluoobtida aproximadaeparaseobterumarespostasatisfatria, usualmente,deve-seescolherotipoadequadodeelemento finito, a quantidade e a disposio geomtrica do mesmo. A definio do tipo apropriado de elemento finito dada emfunodosistemaestruturalquesedesejaanalisar.Para isso,oselementosfinitossoclassificadosem:elementos lineares, elementos laminares e elementos slidos. CAPTULO 3 -MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS Anliseno-linearfsicadevigasdeconcretoarmadoutilizandooelemento finito prismtico regular linear associado ao de barra 48 Os elementos lineares, tambm conhecidos como elementos de barras, so elementos em que uma dimenso muito maior do que asoutrasduas.Estessosubdivididosemelementosde prticosplanoseespaciais,detreliasplanaseespaciais, de vigas e de grelhas. Joselementoslaminaressoelementosemqueuma dimensomuitomenordoqueasoutrasduaseso subdivididos em elementos de placa, de chapa e de casca. Oselementosslidossoelementosemqueastrs dimensestmamesmaordemdegrandezaepermitemobteruma distribuio qualquer de tenses na estrutura. ParaaformulaodoMEFnecessria,primeiramente,a formulaodaequaodeequilbriodosistemaestrutural. Para tanto, pode-se utilizar o Princpio da Energia Potencial Estacionria. 3.1 Formulao variacional Umsistemaestruturalditoserconservativoquandoo trabalhodasforasinternasedasforasexternasindepende docaminhopercorridopelaestrutura,quandodapassagemde sua configurao de equilbrio inicial para outra qualquer.Parasistemasestruturaisconservativos,emqueasua configuraofinalsatisfaaacompatibilidadeinternaeas condiesessenciaisdecontornodosistema,aenergia potencial total ppode ser expressa como: pU = + (3.1) em que U a energia de deformao, tambm chamada de energia potencial interna, e a energia potencial das foras externas atuantes. Anliseno-linearfsicadevigasdeconcretoarmadoutilizandooelemento finito prismtico regular linear associado ao de barra 49 Paraumsistemaestruturalquefoidiscretizadoemum nmerofinitodeelementos,aenergiapotencialtotaldo sistemaasomadaenergiapotencialdecadaelemento,ou seja: 1enp pee= = (3.2) sendo en onmerodeelementosfinitosquecompeosistema estrutural. A energia potencial de cada elemento pe dada por: pe e eU = +(3.3) onde eU a energia de deformao acumulada pelo elemento e eaenergiapotencialdasforasexternasnaconfigurao deformada do elemento.Admitindo-sequeocarregamento dosistemaseja aplicado nosnsestruturais,aenergiapotencialdasforasexternas de cada elemento dada por: Te Ef d = (3.4) em que Ef

o vetor das foras nodais equivalentes do elemento e d

o vetor das componentes dos deslocamentos genricos para cada n do elemento. A energia de deformao de cada elemento definida por: 0 dee eVU V = } (3.5) sendo 0a energia de deformao especfica dada pela equao (3.6) e na forma matricial pela equao (3.7). Anliseno-linearfsicadevigasdeconcretoarmadoutilizandooelemento finito prismtico regular linear associado ao de barra 50 { }012x x y y z z xy xy xz xz yz yz = + + + + +(3.6) 012T =

(3.7) 3.1.1 Princpio da Energia Potencial Estacionria Paraoequilbriodeumsistemaestrutural,afunoda energia potencial total pdeve ser estacionria, ou seja, a sua variao deve ser zero, como mostra a equao (3.8). 0p = (3.8) Emtermosdefunesordinrias,existeumacondioem queaderivadadeumafunoemrelaoaumavarivel independente nula e a funo em si tem um mximo, um mnimo ouumvalorconstante.Seacondiodeestacionaridade forneceumvalormnimo,ento,deacordocomoTeoremade Lagrange, o estado de equilbrio estvel. Aplicando-setalconceitoparaofuncionaldecada elementoeadmitindo-sequeaenergiadedeformaoseja obtidaemtermosdedeslocamentosnodaiscomoauxliode funes interpoladoras conhecidas, ento o funcional pepassa aserumafuno,tendocomovariveisindependentesos deslocamentosd

easuavariaotorna-seigualaoseu diferencial, ou seja,dpe pe = . Desse modo, como o funcional est escrito em funo das variveis independentes tem-se: 1 21 2.......pe pe pepe nnd d dd d d = + + + (3.9) Anliseno-linearfsicadevigasdeconcretoarmadoutilizandooelemento finito prismtico regular linear associado ao de barra 51 mas como 1 1 2 2d ; d ;....; dedn n pe ped d d d d d = = = = , obtm-se a relao dada pela equao (3.10). 1 21 2d d d ....... dpe pe pepe nnd d dd d d = + + + (3.10) Como os deslocamentos so simultaneamente no nulos, pode-seaplicaroPrincpiodaEnergiaPotencialEstacionria, resultando na equao (3.11). 0 para1,2,3,...,pejj nd= =(3.11) 3.2 Formulao do Mtodo dos Elementos Finitos O primeiro passo na aplicao do MEF dividir a estrutura emumnmeroadequadodeelementosemfunodaprecisodos mesmos. Os deslocamentos dos pontos nodais dos elementos so, ento,generalizadosemfunodascoordenadasdaestrutura. Dessemodo,osdeslocamentosu

doelementofinitopodemser expressosemfunodosdeslocamentosnodaisd

,pormeioda utilizaodefunesdeformaapropriadas.Essarelao definida pela equao (3.12), ~ ~~u d = (3.12) em que ~ a matriz que contm as funes de forma e relaciona os deslocamentos que ocorrem ao longo do eixo longitudinal com os deslocamentos nodais do elemento. Aenergiadedeformaodeumelemento,deacordocoma definiodaenergiadedeformaoespecficadadapela equao (3.7), pode ser escrita como mostra a equao (3.13). Anliseno-linearfsicadevigasdeconcretoarmadoutilizandooelemento finito prismtico regular linear associado ao de barra 52 1 d2eTe evU V =} (3.13) Asrelaesconstitutivas,dadaspelasequaes (2.84)a (2.89), podem ser organizadas na forma matricial, sendo ento, definidas por: E =

(3.14) emqueE

amatrizquecontmoscoeficienteselsticosdo material estrutural, representada pela equao (3.15). ( ) ( )( )( )1- 0 0 01- 0 0 01- 0 0 01-2 0 0 00 021 1 21-2 0 0 00 021- 0 0 00 0EE =+ ( ) 22 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (3.15) Reorganizandoasequaes(3.4),(3.13)e(3.14)na equao (3.3), a energia de deformao total do elemento pode ser reescrita de acordo com a equao (3.16). 1 d2eT Tpe e EVE V f d = }

(3.16) Asrelaesdiferenciaisentredeformaese deslocamentos,dadaspelasequaes(2.62)a(2.67), organizadasnaformamatricial,ficamdefinidaspelaequao (3.17), L u =

(3.17) Anliseno-linearfsicadevigasdeconcretoarmadoutilizandooelemento finito prismtico regular linear associado ao de barra 53 naqualamatrizL

contmosoperadoresdederivao,dada pela equao (3.18). 0 00 00 0000~xyzLy xz xz y ( ( ( ( ( ( ( ( =( ( ( ( ( ( ( ( ( (3.18) Substituindo a equao (3.12) na equao (3.17), obtm-se: L d =

(3.19) ou B d =

(3.20) em que B L = (3.21). Substituindo agora a equao (3.20) na equao (3.16), e sabendo que T T Td B =

, obtm-se: 1( )d2eT T Tpe e EVd B EBd V f d = }

(3.22) ou, simplesmente, Anliseno-linearfsicadevigasdeconcretoarmadoutilizandooelemento finito prismtico regular linear associado ao de barra 54 ( )pe e EU d f d =

(3.23). Aplicando-se,finalmenteaequao(3.11)naequao (3.23), encontra-se: ( )0eEjU dfd =

(3.24). Cadaumadasexpressesdotipo(3.24)forneceruma equaoalgbrica,queorganizadanaformamatricial resultar: s Ek d f =

(3.25) em que sk

a matriz de rigidez secante do elemento. Para todo o sistema estrutural, a partir das contribuies de todos os elementos, pode-se utilizar o processo de expanso eacumulao,encontrando-seosistemadeequaesfornecido pela relao (3.26). s EK D F =

(3.26) Comaobtenodosdeslocamentosnodaisdosistema estrutural,asfunesdeslocamentoficamdeterminadas, podendo-seentocalcularovalordadeformaodoelemento utilizando-se a equao (3.20) ou (3.21) e, com isso, calcula-seovalordatensodoelemento,utilizando-seaequao (3.14), finalizando o processo de clculo. Anliseno-linearfsicadevigasdeconcretoarmadoutilizandooelemento finito prismtico regular linear associado ao de barra 55 3.2.1 Vetor das foras nodais equivalentes 3.2.1.1 Foras distribudas no volume do elemento Para foras volumtricas, como descritas no item 2.1.1, a energiapotencialpodeserobtidapormeiodaintegraodo produtoentreodeslocamentoearespectivaforaatuante distribuda pelo volume, conforme mostra a equao (3.27). deeTe V eVu p V = }

(3.27) Analogamenteaotratamentodadoaosdeslocamentos,as funesdocarregamentoatuantenoelementofinitopodemser escritasemfunodosvaloresdoscarregamentosnodais,por meiodefunesdeformaapropriadas,comomostraaequao (3.28). e enV p Vp p =

(3.28) Assim, substituindo as equaes (3.12) e (3.28) na equao (3.27) obtm-se a equao (3.29). deeT T ne p V eVd p V = }

(3.29) Comoosdeslocamentoseocarregamentosoagora parmetrosnodaisindependentes,aequaoanteriorpodeser reescrita como: deeT T ne p e VVd V p = }

(3.30) ou, simplesmente, Anliseno-linearfsicadevigasdeconcretoarmadoutilizandooelemento finito prismtico regular linear associado ao de barra 56 Te Ed f = (3.31) em que deeT nE p e VVf V p = }

(3.32) ovetordasforasnodaisequivalentesdoelementopara foras volumtricas. 3.2.1.2 Foras distribudas na superfcie do elemento Para foras superficiais, como descritas no item 2.1.2, a energiapotencialpodeserobtidapormeiodaintegraodo produtoentreodeslocamentoearespectivaforaatuante distribuda pela superfcie, conforme indica a equao (3.33). deeTe s eSu p S = }

(3.33) Escrevendo as funes do carregamento atuante no elemento finitoemfunodosvaloresdoscarregamentosnodais,por meiodefunesdeformaapropriadas,obtm-seaequao (3.34). e enS p Sp p =

(3.34) Substituindo as equaes (3.12) e (3.34) na equao (3.33) esendoosdeslocamentoseocarregamentoparmetrosnodais independentes, obtm-se: deeT T ne p e SSd S p = }

(3.35) Anliseno-linearfsicadevigasdeconcretoarmadoutilizandooelemento finito prismtico regular linear associado ao de barra 57 ou, simplesmente, Te Ed f = (3.36) em que deeT nE p e SSf S p = }

(3.37) ovetordasforasnodaisequivalentesdoelementopara foras superficiais. 3.2.1.3 Forasconcentradasemqualquerpontodo elemento Para foras concentradas, como descritas no item 2.1.3, a energia potencial pode ser obtida por meio do produto entre o deslocamentoearespectivaforaconcentradaatuante, conforme mostra a equao (3.38). Te Cu p =

(3.38) Substituindo a equao (3.12) na equao (3.38) obtm-se: T Te Cd p =

(3.39) ou, simplesmente, Te Ed f = (3.40) em que Anliseno-linearfsicadevigasdeconcretoarmadoutilizandooelemento finito prismtico regular linear associado ao de barra 58 TE Cf p =

(3.41) ovetordasforasnodaisequivalentesdoelementopara foras concentrados. 3.2.2 Matriz de rigidez do elemento A matriz de rigidez de um elemento finito pode ser obtida trabalhando-se algebricamente a equao (3.22). Sabendo que a integralnovolumedoelementonodependedosdeslocamentos nodais,essespassamaserparmetrosindependentes,podendo serretiradosdaintegralcontidaem(3.22),resultandoa equao (3.41). ( )1d 2eT T Tpe e EVd B EB V d f d = }

(3.41) Na forma genrica, a equao anterior torna-se: 12T Tpe s Ed k d f d =

(3.42) em que sk

a matriz de rigidez secante do elemento, e dada pela equao (3.43). ( )deTs eVk B EB V = } (3.43) Aplicando o Princpio da Energia Potencial Estacionria na equao (3.42), tem-se: 1 102 2T T Tpe s s Ed k d d k d d f = + = (3.44) Anliseno-linearfsicadevigasdeconcretoarmadoutilizandooelemento finito prismtico regular linear associado ao de barra 59 sendo que, T Ts sd k d d k d = (3.45) obtm-se a equao (3.46). ( ) 0Ts Ed k d f = (3.46) Como a variao dos deslocamentos no-nula, encontra-se que: 0s Ek d f =

(3.47) sendoamatrizderigidez sk

,decadaelemento,obtida facilmente utilizando a equao (3.43). Paratodaaestrutura,viaprocessodeexpansoe acumulao,obtm-seamatrizderigidezglobaleovetor globaldeforasnodaisequivalentes,respeitando-sea correspondnciaentrecadatermomatricialcomorespectivo deslocamentonodalglobal,respectivamentepelasequaes (3.48) e (3.49). 1enes seK k== (3.48) 1eneE EeF f== (3.49) 3.3 Elemento finito de barra Parasimularoao,considerandoumaanlise unidimensional, foi adotado o elemento finito de barra simples comdoisns,decomprimentoL,mostradonafigura3.1,cuja funo aproximadora contm apenas dois monmios.Anliseno-linearfsicadevigasdeconcretoarmadoutilizandooelemento finito prismtico regular linear associado ao de barra 60 Figura 3.1 Elemento finito de barra simples com dois ns Considerando-seumsistemadecoordenadaslocais( ) , , x y zcomorigemnaextremidadeesquerdadoelemento,os deslocamentosv ew sonulos,ouseja,oelementopossui apenasumgraudeliberdadenadireodoseueixo(direo x ).Sendoassimafunointerpoladoradosdeslocamentos axiaisuque ocorrem ao longo da direox , se admitida uma variao linear, dada pela equao (3.51). 0 1( ) u x x = +(3.51) Substituindo-seosvaloresdascoordenadasnodaisna funointerpoladora,conformeoesquemamostradonafigura (3.1), obtm-se as condies de contorno do problema, conforme mostra a equao (3.52). ( )( )12p/0p/ x u x ux L u x u= = = = (3.52) Impondo-se essas condies na equao (3.51), chega-se a: 1 2( ) (1 )x xu x u uL L= +(3.53) L z,w x,u y,v 1 2 w , zu , xv , yAnliseno-linearfsicadevigasdeconcretoarmadoutilizandooelemento finito prismtico regular linear associado ao de barra 61 ou, na forma matricial, considerando tambm os deslocamentos ve wdos dois ns, 111~ ~~222100 00 0 00000 0 00000ux xvL Lwu duvw ( ( ( = = ` ( ( ( )(3.54) sendo

amatrizdasfunesdeformadoelementofinitode barra. 3.3.1 Matriz de rigidez Nadeduodamatrizderigidezdoelementofinitode barrasimplescomeixoorientadosegundooeixolocalx ,as seguintes simplificaes podem ser admitidas: a)0; 0; 0; 0y z xz yz ,poissuasmagnitudesso desprezveis quando comparadas com a magnitude de x ; b)0xy = , pois vale a Lei de Navier, em que a seo transversal plana permanece plana aps sua deformao. Comessassimplificaes,arelaodadapelaequao (3.14) reduz-se a: x xE =(3.55) eassim,paraoelementodebarrasimplescomdoisns,a matriz de rigidez que calculada por meio da equao (3.43), pode ser simplificada, conforme mostrado a seguir: Anliseno-linearfsicadevigasdeconcretoarmadoutilizandooelemento finito prismtico regular linear associado ao de barra 62 ( )0dLTsk EA B B x =}

(3.56) na qual A a rea da seo transversal da barra. Da definio dada pela equao (3.21) e sendo a matriz

do elemento finito de barra simples dada pela equao (3.54), obtm-seaequao(3.57),quedefineamatrizB

,paraesse elemento. 1 1 00 00 000000 000000 000000 000000 000000L LB ( ( ( ( (= ( ( ( ( (

(3.57) Dessaforma,substituindo-seaequao(3.57)naequao (3.56) e fazendo-se os clculos necessrios, obtm-se a matriz derigidezdoelementofinitodebarrasimplescomdoisns dada pela equao (3.58). 100 -100 000000 000000-100100 000000 000000sEAkL ( ( ( (= ( ( ( ( (

(3.58) 3.3.2 Matriz de rotao Antes de se aplicar o processo de expanso e acumulao em cadamatrizderigidezdoelementoparaaobtenodamatriz Anliseno-linearfsicadevigasdeconcretoarmadoutilizandooelemento finito prismtico regular linear associado ao de barra 63 derigidezdetodaabarra,necessriorotacionaras matrizes elementais, em funo da posio original do elemento na estrutura, por meio da utilizao da seguinte equao: * Ts sk r k r = (3.59) em que ~r a matriz que contm os co-senos diretores de cada elemento. Para trelias espaciais, tal matriz dada por: 2 22 2 2 22 2 2 2~2 22 2 2 22 2 2 20 0 00 0 00 0 0 00 0 00 0 00 0 0 0x y zx y y zx zx z x zz xx z x zx y zx y y zx zx z x zz xx z x zC C CC C C CC CC C C CC CC C C CrC C CC C C CC CC C C CC CC C C C ( ( ( ( + (+ + ( ( (+ + (= ( ( ( ( ( + + +( ( ( (+ + ( (3.60) ondeCx,CyeCzsoosco-senosdiretoresdecadaelemento entre os eixos locais, ex y ze os eixos globais x, y e z, respectivamente. Paraelementosdirecionadossegundooeixoglobaly, sendo ento, Cx = Cz = 0, a matriz de rotao expressa por: Anliseno-linearfsicadevigasdeconcretoarmadoutilizandooelemento finito prismtico regular linear associado ao de barra 64 ~0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0 1yyyyCCrCC ( ( ( (=( ( ( ( ( (3.61) 3.4 Elemento finito prismtico regular linear Para simular o concreto, considerando a viga como elemento slido,foiadotado,devidoasuasimplicidade,oelemento finitoprismticoregularlinearcomoitons,delados 2 , 2e 2 a b c,conformemostradonafigura3.2.Cadandesse elementopossuitrsgrausdeliberdade,ouseja, deslocamentos nas direes x, y e z. y, v 2a 2b 2c 5 1 23 4 67 8 z, w x, u Figura 3.2 Elemento finito prismtico regular linear com oito ns Asfunesaproximadorasdesseelementocontmoito monmiosextradosdopolinmioalgbricocbicocompletoem x,yez.Nessecaso,paragarantiracontinuidadecomos deslocamentosdoselementosadjacentes,afunodeslocamento devevariarlinearmenteaolongodoslados(ZIENKIEWICZe Anliseno-linearfsicadevigasdeconcretoarmadoutilizandooelemento finito prismtico regular linear associado ao de barra 65 CHEUNG,1967).Sendoassim,paraumsistemadecoordenadas adimensionais com origem no centride do elemento, ou seja: ;x y zea b c = = =(3.62) asfunesinterpoladorasparaosdeslocamentos,eu v w ,so dadas pelas equaes (3.63), (3.64) e(3.65), respectivamente. 7 6 5 4 3 2 1 0) , , ( + + + + + + + = u (3.63) 7 6 5 4 3 2 1 0) , , ( + + + + + + + = v(3.64) 7 6 5 4 3 2 1 0) , , ( + + + + + + + = w(3.65) Na forma matricial, essas equaes so dadas por: ~~~ = u(3.66) em que ~~{ };1000000000000000000000000100000000000000000000000Tu u v w ==0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 5 6 7~3 4;0 1{ }.T ( ( ( ( = Substituindo-seosvaloresdascoordenadasnodaisna matriz ~ , conforme o esquema mostrado na figura 3.2, tem-se: - N 11;1;1x a y b z ca a b b c c | |= = = = = = = = = |\ .: Anliseno-linearfsicadevigasdeconcretoarmadoutilizandooelemento finito prismtico regular linear associado ao de barra 66 ~1111111110000000000000000000000001111111100000000000000000000000011 =111111 ( ( ( ( - N 21;1;1x a y b z ca a b b c c | |= = = = = = = = = |\ .: ~211 -11 -11 -1 -100000000000000000000000011 -11 -11 -1 -100000000000000000000000011 - =11 -11 -1 -1 ( ( ( ( - N 31;1;1x a y b z ca a b b c c | |= = = = = = = = = |\ .: ~31 -1 -111 -1 -110000000000000000000000001 -1 -111 -1 -110000000000000000000000001 -1 - =111 -1 -11 ( ( ( ( - N 41;1;1x a y b z ca a b b c c | |= = = = = = = = = |\ .: ~41 -111 -1 -11 -10000000000000000000000001 -111 -1 -11 -10000000000000000000000001 -1 =11 -1 -11 -1 ( ( ( ( - N 51;1;1x a y b z ca a b b c c | |= = = = = = = = = |\ .: ~5111 -11 -1 -1 -1000000000000000000000000111 -11 -1 -1 -100000000000000000000000011 =1 -11 -1 -1 -1 ( ( ( ( - N 61;1;1x a y b z ca a b b c c | |= = = = = = = = = |\ .: ~611 -1 -1 -1 -11100000000000000000000000011 -1 -1 -1 -11100000000000000000000000011 - =1 -1 -1 -111 ( ( ( ( - N 71;1;1x a y b z ca a b b c c | |= = = = = = = = = |\ .: ~71 -1 -1 -1111 -10000000000000000000000001 -1 -1 -1111 -10000000000000000000000001 -1 - =1 -1111 -1 ( ( ( ( - N 81;1;1x a y b z ca a b b c c | |= = = = = = = = = |\ . Anliseno-linearfsicadevigasdeconcretoarmadoutilizandooelemento finito prismtico regular linear associado ao de barra 67 ~81 -11 -1 -11 -110000000000000000000000001 -11 -1 -11 -110000000000000000000000001 -1 =1 -1 -11 -11 ( ( ( ( Considerando-seconjuntamenteosoitonsdoelemento, obtm-se: d A =

(3.67) em que: { }1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 6 7 7 7 8 8 8;Td u v w u v w u v w u v w u v w u v w u v w =

1111111100000000000000000000000011111111000000000000000000000000111A =

1111111 -11 -11 -1 -100000000000000000000000011 -11 -11 -1 -100000000000000000000000011 -11 -11 -1 -11 -1 -111 -1 -110000000000000000000000001 -1 -111 -1 -110000000000000000000000001 -1 -111 -1 -111 -111 -1 -11 -10000000000000000000000001 -111 -1 -11 -10000000000000000000000001 -111 -1 -11 -1111 -11 -1 -1 -1000000000000000000000000111 -11 -1 -1 -1000000000000000000000000111 -11 -1 -1 -111 -1 -1 -1 -11100000000000000000000000011 -1 -1 -1 -11100000000000000000000000011 -1 -1 -1 -1111 -1 -1 -1111 -10000000000000000000000001 -1 -1 -1111 -10000000000000000000000001 -1 -1 -1111 -11 -11 -1 -11 -110000000000000000000000001 -11 -1 -11 -110000000000000000000000001 -11 -1 -11 -11 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( Daequao(3.67),obtm-seamatriz

,emfunoda matriz dos deslocamentos d

, como mostra a equao (3.68): Anliseno-linearfsicadevigasdeconcretoarmadoutilizandooelemento finito prismtico regular linear associado ao de barra 68 1A d =

(3.68) com 1A

dada pela equao (3.69). 1100100100100100100100100100100 -100 -100100100 -100 -100100 -100 -100100100 -100 18A=

-100100100100100100 -100 -100 -100 -100100 -100100 -100100 -100100 -100100100 -100 -100 -100 -100100100100 -100 -100100 -100100100 -100100 -100100 -100 -100100 -1001000100100100100100100100100100100 -100 -100100100 -100 -100100 -100 -100100100 -100 -100100100100100100 -100 -100 -100 -100100 -100100 -100100 -100100 -100100100 -100 -100 -100 -100100100100 -100 -100100 -100100100 -100100 -100100 -100 -100100 -1001000100100100100100100100100100100 -100 -100100100 -100 -100100 -100 -100100100 -100 -100100100100100100 -100 -100 -100 -100100 -100100 -100100 -100100 -100100100 -100 -100 -100 -100100100100 -100 -100100 -100100100 -100100 -100100 -100 -100100 -1001 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (3.69) Substituindo a equao (3.68) na (3.66), e comparando com aequao(3.12),obtm-sequeamatrizdasfunesdeforma

, para o elemento finito prismtico regular linear com oito ns, dada pela equao (3.70). 1A =

(3.70) Explicitamente, a matriz

dada pela equao a seguir: Anliseno-linearfsicadevigasdeconcretoarmadoutilizandooelemento finito prismtico regular linear associado ao de barra 69 ((((

=8 7 6 5 4 3 2 18 7 6 5 4 3 2 18 7 6 5 4 3 2 1~N 0 0 N0 0 N0 0 N0 0 N0 0 N0 0 N0 0 N 0 00 N 00 N0 0 N0 0 N0 0 N0 0 N 0 0 N0 0 N00 0 N 0 0 N0 0 N0 0 N0 0 N0 0 N0 0 N0 0 N81(3.71) com ) 1 )( 1 )( 1 ( 1 N1 + + + = + + + + + + + = ; ) 1 )( 1 )( 1 ( 1 N2 + + = + + + = ; ) 1 )( 1 )( 1 ( 1 N3 + = + + + = ; ) 1 )( 1 )( 1 ( 1 N4 + + = + + + = ; ) 1 )( 1 )( 1 ( 1 N5 + + = + + + = ; ) 1 )( 1 )( 1 ( 1 N6 + = + + + = ; ) 1 )( 1 )( 1 ( 1 N7 = + + + = ; ) 1 )( 1 )( 1 ( 1 N8 + = + + + = . 3.4.1 Matriz de rigidez Conformevistonoitem3.2.2,amatrizderigidezdeum elemento finito qualquer pode ser deduzida por meio da equao (3.43).Paraoelementofinitoprismticoregularlinear,em termosdascoordenadasadimensionaisdadaspelaequao (3.62), pode-se reescrever a equao (3.43) como segue. ( )1 1 11 1 1d d dTsk abc B EB (= } } } (3.72) Da definio dada pela equao (3.21) e sendo a matriz

do elemento finito prismtico regular linear dada pela equao (3.71), obtm-se a equao (3.73), que define a matriz B

, para esse elemento: Anliseno-linearfsicadevigasdeconcretoarmadoutilizandooelemento finito prismtico regular linear associado ao de barra 70 1 2 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 81 2 00 00 00 00 00 00 00 0 0 0 00 00 00 00 00 00 000 00 00 18N N N N N N N Nx x x x x x x xN N N N N N N Ny y y y y y x yN NzB =

3 4 5 6 7 81 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 81 1 2 2 3 00 00 00 00 00 00 00 0 00 0 0 0 0 00N N N N N Nz z z z z z zN N N N N N N N N N N N N N N Ny x y x y x y x y x y x y x y xN N N N Nz x z x z 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 81 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 N N N N N N N N N N Nx z x z x z x z x z xN N N N N N N N N N N N N N N Nz y z y z y z y z y z y z y z y ( ( ( ( ( ( (

((((((((((( (3.73) em que ( ) ( )1 11 1 N Nx x a + + = = ; ( ) ( )1 11 1 N Ny y b + + = = ; ( ) ( )1 11 1 N Nz x c + + = = ; ( ) ( )2 21 1 N Nx x a + = = ; ( ) ( )2 21 1 N Ny y b + + = = ; ( ) ( )2 21 1 N Nz x c + = = ; ( ) ( )3 31 1 N Nx x a + = = ; ( ) ( )3 31 1 N Ny y b + = = ; ( ) ( )3 31 1 N Nz x c = = ; ( ) ( )4 41 1 N Nx x a + + = = ; ( ) ( )4 41 1 N Ny y b + = = ; Anliseno-linearfsicadevigasdeconcretoarmadoutilizandooelemento finito prismtico regular linear associado ao de barra 71 ( ) ( )4 41 1 N Nz x c + = = ; ( ) ( )5 51 1 N Nx x a + = = ; ( ) ( )5 51 1 N Ny y b + = = ; ( ) ( )5 51 1 N Nz x c + + = = ; ( ) ( )6 61 1 N Nx x a = = ; ( ) ( )6 61 1 N Ny y b + = = ; ( ) ( )6 61 1 N Nz x c + = = ; ( ) ( )7 71 1 N Nx x a = = ; ( ) ( )7 71 1 N Ny y b = = ; ( ) ( )7 71 1 N Nz x c = = ; ( ) ( )8 81 1 N Nx x a + = = ; ( ) ( )8 81 1 N Ny y b = = ; ( ) ( )8 81 1 N Nz x c + = = . SendoamatrizE

definidapelaequao(3.15)ecoma matrizB

dadapelaequao(3.73),pode-se,pormeioda equao(3.72),obteramatrizderigidezdoelementofinito prismtico regular linear, que mostrada pela equao (3.74). Anliseno-linearfsicadevigasdeconcretoarmadoutilizandooelemento finito prismtico regular linear associado ao de barra 72 ( ) ( )11 12 13 1421 22 23 2431 32 33 3441 42 43 44

1 1 2

sk k k kk k k kEkk k k kk k k k ( ( (= ( + (

(3.74) Oscoeficientes ijk

damatriz(3.74)sodefinidospelas equaes a seguir: ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )112 1 1 1 1 1 2 9 12 12 9 6 241 2 1 1 1 1 -2-12 9 12 6 9 61 1 2 1 1 1212 12 9 24 6 91 1 1 2 1 12--9 6 24 9 12 12c b c bc a c ab a b akc b c + + ++ + + ++ + + = + + +

( ) ( )( ) ( )1 1 1 1 2 12 - -6 9 6 12 9 121 1 1 1 1 2 - 2-24 6 9 12 12 9bc a c ab a b a ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( + + + + ( ( (+ + + ( (3.75) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )211 1 1 1 1 12 2-2 - 18 12 12 9 6 61 1 1 1 1 1 - 2 22-12 18 12 6 9 241 1 1 1 1 1 - - 2 2 --212 12 18 6 24 91 1 129 6 6c b c bc a c ab a b akc b + + + + + += + +

( )( ) ( )( ) ( )1 1 12 2 18 12 121 1 1 1 1 1 -2 2 2-6 9 24 12 18 121 1 1 1 1 1 - 2 - 2 26 24 9 12 12 18c bc a c ab a b a ( ( ( ( ( ( ( ( ( +( ( ( + + ( ( ( + ( (3.76) Anliseno-linearfsicadevigasdeconcretoarmadoutilizandooelemento finito prismtico regular linear associado ao de barra 73 ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )311 1 1 1 1 12- 2 2 -9 24 6 18 12 121 1 1 1 1 12 --2 224 9 6 12 18 121 1 1 1 1 12 2 26 6 9 12 12 181 12 2 -18c b c bc a c ab a b ak + + + + + + =

( )( ) ( )( ) ( )1 1 1 1- 2- -12 12 9 24 61 1 1 1 1 1 2 2--212 18 12 24 9 61 1 1 1 1 1 -2 2 - 212 12 18 6 6 9c b c bc a c ab a b a ( ( ( ( ( ( ( ( (+ ( ( ( + + ( ( ( + + +

( (3.77) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) + + + + + + + += + 411 1 1 1 1 1 - -2 2 - -18 24 24 18 12 121 1 1 1 1 1 -- - 2 2 24 18 24 12 18 121 1 1 1 1 1 -- - --2 224 24 18 12 12 181 12 218 12

c b c bc a c ab a b akc ( )( ) ( )( ) ( ) ( ( ( ( ( ( ( ( (+ +( ( ( + + ( ( ( + + + ( 1 1 1 1 - --12 18 24 241 1 1 1 1 1 - 2 2 - - 12 18 12 24 18 241 1 1 1 1 1 -2 2- -12 12 18 24 24 18b c bc a c ab a b a (3.78) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )121 1 1 1 1 12 2- - 2 --18 12 12 9 6 61 1 1 1 1 1 - 2 2- 212 18 12 6 9 241 1 1 1 1 1 2 2 212 12 18 6 24 91 1 12 -9 6 6c b c bc a c ab a b akc b + + + + + += + +

( )( ) ( )( ) ( )1 1 1 2 2 -18 12 121 1 1 1 1 1 -2 - 2 2 6 9 24 12 18 121 1 1 1 1 1-2 - 2 26 24 9 12 12 18c bc a c ab a b a ( ( ( ( ( ( ( ( ( +( ( ( + + ( ( ( + ( (3.79) Anliseno-linearfsicadevigasdeconcretoarmadoutilizandooelemento finito prismtico regular linear associado ao de barra 74 ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )222 1 1 1 1 1 - 2-9 12 12 9 6 241 2 1 1 1 1--2 12 9 12 6 9 61 1 2 1 1 1 - ---212 12 9 24 6 91 1 1 2 1 12- ---9 6 24 9 12 1c b c bc a c ab a b akc b c + + ++ + + ++ + + = + + +

( ) ( )( ) ( )21 1 1 1 2 12- -6 9 6 12 9 121 1 1 1 1 2 - 2-24 6 9 12 12 9bc a c ab a b a ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( + + + + ( ( (+ + + ( (3.80) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )321 1 1 1 1 1 -2 2 -18 24 24 18 12 121 1 1 1 1 1 -- 2 2 -24 18 24 12 18 121 1 1 1 1 1-2 224 24 18 12 12 181 12 218 12c b c bc a c ab a b akc + + + + + + + += +

( )( ) ( )( ) ( )1 1 1 1 -12 18 24 241 1 1 1 1 1 - 2 2 - -12 18 12 24 18 241 1 1 1 1 1- 2 2- -12 12 18 24 24 18b c bc a c ab a b a ( ( ( ( ( ( ( ( (+ +( ( ( + + ( ( ( + + + ( (3.81) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )421 1 1 1 1 122 29 24 6 18 12 121 1 1 1 1 12-2 2 -24 9 6 12 18 121 1 1 1 1 1--2 - -2 26 6 9 12 12 1812 2 -18c b c bc a c ab a b ak + + + + + + =

( )( ) ( )( ) ( )1 1 1 1 12-12 12 9 24 61 1 1 1 1 1 2 2 -2-12 18 12 24 9 61 1 1 1 1 1- 2 2-212 12 18 6 6 9c b c bc a c ab a b a ( ( ( ( ( ( ( ( (+ ( ( ( + + (

+ + +

((( (3.82) Anliseno-linearfsicadevigasdeconcretoarmadoutilizandooelemento finito prismtico regular linear associado ao de barra 75 13 42k k = (3.83) 23 32k k = (3.84) 33 22k k = (3.85) 43 12k k = (3.86) 14 41k k = (3.87) 24 31k k = (3.88) 34 21k k = (3.89) 44 11k k = (3.90) sendo: ( ) 1bca = ; ( ) 1acb = ; ( ) 1abc = ; 12bca | |= |\ .; 12acb | |= |\ .; 12abc | |= |\ .; = 122.Anliseno-linearfsicadevigasdeconcretoarmadoutilizandooelemento finito prismtico regular linear associado ao de barra 76 As relaes constitutivas apresentadas no Captulo 2 pelas equaes (2.84) a (2.89) so vlidas apenas quando considerado queosmateriaisestruturaisapresentamumcomportamento elstico linear.Contudo,tantooconcretoquantooaoapresentam,para determinadosnveisdesolicitao,umcomportamentono-linear,caracterizadopelarelaono-linearentretensoe deformao. Esse tipo de comportamento manifestado por meio dacapacidadedeacomodargrandesdeformaesemrelaoao acrscimo de uma pequena parcela de carregamento, e tambm do surgimento de deformaes irreversveis ou plsticas. Dessa forma para a anlise da deformao e da ruptura do concretoarmadoconvenienteautilizaodemodelosque permitamrepresentaradiminuiodarigidez,bemcomoa considerao de deformaes irreversveis. Paraintroduzirano-linearidadefsicadoao,deve-se idealizarocomportamentodoaopormeiodautilizaode modelos matemticos que permitam a simulao da relao tenso xdeformaoreal.Entreosvriosmodelosdisponveispara essetipodeanlise,destaca-seomodeloelastoplsticocom endurecimento linear. Ocomportamentodoconcreto,porsuavez,podeser modeladopormeiodasimulaomatemticadasrelaesentre tensoedeformaoapartirdeumasriedeexperimentos simples,emqueseprocuradefiniraformadasuperfciede rupturadoconcreto,desconsiderando-seosmecanismos microscpicosintrnsecosdomaterial.Muitosmodelosou CAPTULO 4 -MODELOS FSICOS NO-LINEARES Anliseno-linearfsicadevigasdeconcretoarmadoutilizandooelemento finito prismtico regular linear associado ao de barra 77 critrios de ruptura podem ser encontrados na literatura, onde comumenteosmesmossodefinidosnoespaodastensespelo nmerodeconstantesmecnicasdomaterial.Nestetrabalho, seradotadoocritriodeMohr-Coulomb,quetemsidomuito utilizado para modelar o comportamento do concreto submetido a um estado qualquer de tenses. 4.1 Ao estrutural 4.1.1 Comportamento uniaxial O ao utilizado em estruturas de concreto armado, no seu processodeobteno,podepassarpordoistiposde tratamentosdiferentes:tratamentoaquente,queconsistena laminao,forjamentoouestiramentodoao,realizadoem temperaturasacimade720C;etratamentoafrio,realizado abaixo da zona de temperatura crtica. Nos aos tratados a quente, antigamente classificados como aosclasseA,devidosaltastemperaturasemqueso obtidos,humamodificaodaestruturainternadoao, ocorrendohomogeneizaoerecristalizaocomreduodo tamanho dos gros, melhorando as caractersticas mecnicas do material. Dessaforma,aosdessetipoapresentammelhor trabalhabilidade,aceitamsoldacomumeresistemaincndios moderados,perdendoresistnciaapenascomtemperaturasacima de 1150 C. Esto includos nesse grupo os aos CA-25 e CA-50 (barras). O diagrama tenso x deformao desse tipo de ao apresenta patamar de escoamento, sendo mostrado na figura 4.1. Anliseno-linearfsicadevigasdeconcretoarmadoutilizandooelemento finito prismtico regular linear associado ao de barra 78 Figura 4.1 Diagrama tenso x deformao de aos tratados a quente Este diagrama pode ser obtido submetendo-se uma barra de aodecomprimentoL eseotransversalA aumesforode trao crescente. Conforme se pode observar pelo diagrama mostrado na figura 4.1, at o nvel da tenso de escoamento y , a relao tenso xdeformaolinear,valendo,portanto,aLeideHooke ( ) E = . Alm disso, para tenses aplicadas at o valor de y , seretiradoocarregamento,abarravoltarapossuiro comprimentoinicialL ,noapresentandodeformaes permanentes.Essetrecho,portanto,caracterizaoregime elstico-linear do material. Quando a tenso de escoamento ultrapassada, o mdulo de deformaolongitudinaldoaocomeaamodificar-seecom issoainclinaodacurvatensoxdeformaocomeaa diminuir progressivamente, at ser atingida a tenso limite de resistncia st .Almdessamodificaonomdulode deformao, para valores de tenso superiores a y , se houver odescarregamentodabarra,abarranomaistero st y Patamar de escoamento Anliseno-linearfsicadevigasdeconcretoarmadoutilizandooelemento finito prismtico regular linear associado ao de barra 79 comprimento inicialL , apresentando, dessa forma, deformaes residuais. Osaostratadosafrio,classificadosantigamentecomo aosclasseB,soobtidosapartirdadeformaodosgros pormeiodetrao,compressooutoro.Porseremobtidos abaixodazonadetemperaturacrtica,osgrospermanecem deformados e diz-se que o ao est encruado. Devidoaoseuprocessodeobteno,osaosencruados apresentamcomocaractersticasumaumentodaresistncia mecnicaedadureza,eumadiminuiodaresistncia corroso e da ductilidade, ou seja, decrscimo do alongamento edaestrico.EstoincludosnessegrupoosaosCA-60 (fios). Odiagramatensoxdeformaodessetipodeao,no apresentaescoamentobemdefinido,sendomostradonafigura 4.2. Figura 4.2 Diagrama tenso x deformao de aos tratados a frio Nesse caso, conforme se pode observar pela figura 4.2, o aoapresentaumcomportamentoelstico-linearatser atingidaatensodeproporcionalidade p .Ultrapassadaessa st y p Anliseno-linearfsicadevigasdeconcretoarmadoutilizandooelemento finito prismtico regular linear associado ao de barra 80 tenso,oaojcomeaaapresentarumcomportamentono-linear,caracterizadopelosurgimentodedeformaes permanentes,epelarelaono-linearentretensoe deformao. Da mesma forma que ocorre com os aos tratados a quente, nocomportamentoplsticodomaterialhumamodificaono valordomdulodeelasticidadelongitudinaleumareduo progressiva na inclinao da curva tenso x deformao. Paraessetipodeao,atensodeescoamento y no bemdefinida,comonosaostratadosaquente.Dessaforma, admite-sequeoescoamentoocorracomtensoqueprovocauma deformao residual de 0,2%. Pelafigura4.2,pode-seobservarocaminhode descarregamentodabarra,quandoatingidaatensoadmitida como de escoamento y . Se houver o descarregamento completo, a barraapresentarumadeformaopermanentede0,2%, recuperando a deformao elstica, no caso mostrado, de 0,3%. 4.1.2 Modelo elastoplstico com endurecimento linear Um dos modelos que pode ser utilizado para caracterizar o comportamento no-linear do ao o modelo elastoplstico com endurecimento linear. A figura 4.3 ilustra a relao tenso x deformao do ao idealizada por esse modelo. Figura 4.3 Modelo elastoplstico com endurecimento linear y 0 A0 O0 ET 1 E 1 Anliseno-linearfsicadevigasdeconcretoarmadoutilizandooelemento finito prismtico regular linear associado ao de barra 81 Nesse modelo, uma vez ultrapassada a tenso de escoamento y ,omdulodedeformaolongitudinalEsubstitudopelo mdulo tangente TE , de forma que o elemento estrutural passe a ter maiores deformaes para um mesmo acrscimo de tenso. Uma vezqueainclinaodacurvatensoxdeformaodiminui depoisdeatingidaatensodeescoamento,conformevistono item4.1.1,omdulotangente TE menorqueomdulo longitudinal E. O modelo elastoplstico com endurecimento linear pode ser resumido pelas equaes (4.1) e (4.2). p/ yE < = (4.1) p/ y yyTE E = + (4.2) Essemodeloperfeitamentecompatvelcomarelao tensoxdeformaodosaostratadosaquente.Paraaos tratadosafrio,noentanto,necessriofazerumajusteno valor do mdulo tangente. 4.2 Concreto 4.2.1 Comportamento no-linear Aprincipalcausadosurgimentodedeformaes irreversveisnoconcretooprocessodemicrofissurao internadomaterial.Talprocessoocorreprincipalmentena zona de transio regio definida entre a pasta de cimento e o agregado grado, e responsvel pela diminuio da rigidez estrutural, conforme ilustrado na figura 4.4. Anliseno-linearfsicadevigasdeconcretoarmadoutilizandooelemento finito prismtico regular linear associado ao de barra 82 SegundoMacGregor(1997)apudBuchaim(2001)as microfissuras tm abertura inferior a 10 m e comprimento entre 3e13mm,antesmesmodaaplicaodocarregamento.Apsa aplicaodocarregamento,amicrofissuraoacontece gradativamentenointeriordoconcretocomoresultadoda alterao da distribuio de tenses entre a pasta de cimento eoagregadogrado,esedpelaausnciaouperda progressiva da aderncia na zona de transio. Figura 4.4 Comportamento tenso x deformao tpico do concreto Nacompressouniaxialdoconcretoataruptura,a microfissuraotransforma-seemmacrofissurao(fissuras visveis).Nesseprocessodistinguem-sequatrofases,que estorepresentadasnafigura4.4,mostrandoadiminuiode rigidez de cada etapa (reduo do mdulo de elasticidade) e o aparecimentodedeformaesirreversveis,enafigura4.5, queilustraquaissoasfaixasdevaloresdetenso correspondentesacadaetapa,emfunodaresistnciaa compresso do concreto. Diminuio de rigidez Deformaes irreversveis I II III IV 1 E Anliseno-linearfsicadevigasdeconcretoarmadoutilizandooelemento finito prismtico regular linear associado ao de barra 83 Figura 4.5 - Curva tpica tenso x deformao axial e tenso x deformao volumtrica do concreto para ensaio de compresso uniaxial Naprimeirafase,correspondenteatensesatcercade 30%dasuaresistnciacompresso,oconcretoapresenta comportamentoelstico,semapresentardeformaes permanentes, conforme mostrado na figura 4.4, e linear, sendo queasfissurasinstaladasnoelementoantesdocarregamento mantm-se praticamente inalteradas aps o incio do mesmo. Nasegundafase,paratensesaplicadasmaioresque0,3cf , o concreto comea a apresentar comportamento no-linear, j apresentando deformaes permanentes. Nessa fase, devido concentraodetensonasfissurasjexistentes,ocorre,o aparecimentodefissurasnainterfaceagregado-pastade cimento,chamadasfissurasdeaderncia.Essasfissurasso estveis e s se propagam se houver aumento de fora.Naterceirafase,paratensesaplicadasacimade0,5cf , ocorreoinciodafissuraonapastadecimento,comunio dasfissurasnazonadetransio(fissurasdeaderncia).A propagaodasfissurasaindaestvel,noaumentandopara valores de fora constantes. A fissurao d-se paralelamente carga,eesteestgiochamadolimitededescontinuidade (BUCHAIM, 2001). axial 0,30 0,50 0,75 1,00 I II III IV /fc volumtrica /fc Anliseno-linearfsicadevigasdeconcretoarmadoutilizandooelemento finito prismtico regular linear associado ao de barra 84 Na quarta fase, para tenses aplicadas na faixa de (0,75 a 0,8)cf ,asfissurasaumentamatolimitecrtico,podendo conduziroelementoataruptura.Nestafase,oconcreto apresentafraturasdependentesdotempo,dandoincioao processoreversodadeformaovolumtrica,quepassada contrao a expanso. 4.2.2 Critrio de ruptura de Mohr-Coulomb O critrio de Mohr-Coulomb uma generalizao da equao de ruptura de Coulomb definida por: tan c = (4.3) em que a tenso de cisalhamento, a tenso normal, c acoesoe ngulodeatritointernodomaterial.Essa equao indica que h ruptura do material, quando a tenso de cisalhamentonumdeterminadoplanovencearesistnciaa deslizamentooriginadadeduasparcelas:umaprovenienteda referidacoesodomaterial,outravindadeumafraoda tenso normal atuante nesse mesmo plano. Graficamente, a equao (4.3) representa uma reta tangente aomaiorcrculodetensesprincipais,comomostradona figura4.6.Quandoopardetenses( ) , atuantesemum ponto qualquer do material situarem-se sobre tal reta ocorrer a ruptura do material. Anliseno-linearfsicadevigasdeconcretoarmadoutilizandooelemento finito prismtico regular linear associado ao de barra 85 Figura 4.6 Critrio de Mohr-Coulomb Por meio da figura 4.6 e para 1 2 3 , a equao (4.3) podeserreescritaemfunodastensesprincipais.Sendoa distncia entre os pontos Oe Bdados por: 1 3 1 3sen2 2OB OE EB + = = (4.4) substituindo-se na equao (4.3) resulta: 1 3 1 3 1 3cos sen tan2 2 2c + | |= + |\ .(4.5) e aps algumas simplificaes obtm-se a equao (4.6). ( ) ( )1 31 sen 1 sen12 cos 2 cos c c + =(4.6) Ocritrioaindapodeserescritoemfunodos invariantes( )1 2, , I J ou( ) , , definidos no Captulo 2. Sendo assim,utilizandoasrelaesde 1 e 3 contidasnaequao (2.73) e substituindo-se na equao (4.6) obtm-se o critrio em funo de ( )1 2, , I J , como mostra a equao (4.7). ( ) ( )( )12 21 23sen sen 60 sen cos 60 cos 03 3, , 0IJ J cf I J + + + + ==(4.7) BOA D P(,-) c E 1 3 cos23 1 ____1 3____1 322EPOE = ++= sen23 1 Anliseno-linearfsicadevigasdeconcretoarmadoutilizandooelemento finito prismtico regular linear associado ao de barra 86 Comoauxliodasequaes(2.59),(2.61)e(2.62),a equaoanteriorpodeserreescritaemfunode( ) , , , conforme a equao (4.8). ( ) ( )( )2 sen 3 sen 60 sen cos 60 6 cos 0, , 0cf + + + + == (4.8) Noespaodastensesprincipais,ocritriodeMohr-Coulombrepresentadoporumapirmidehexagonalirregular, conformeilustraafigura4.7,cujocontornodefinea superfcie de ruptura do material. Figura 4.7 Representao geomtrica da superfcie de ruptura do critrio de Mohr-Coulomb no espao das tenses principais Por meio da equao (4.8) podem-se obter os comprimentos caractersticosdasuperfciederuptura,relativosao meridianodetraoedecompresso.Logo,atribuindo-seos valores( )00 , 0,T = = = e( )060 , 0,C = = = ,obtm-se, respectivamente,asequaes(4.9)e(4.10),definindoesses comprimentos. 02 6 cos3 senTc =+(4.9) 02 6 cos3 senCc = (4.10) 2 1 3 eixo hidrosttico 1= 2= 3 superfcie de ruptura plano desviador Anliseno-linearfsicadevigasdeconcretoarmadoutilizandooelemento finito prismtico regular linear associado ao de barra 87 Omdu