Dualidade em Teoria de Campos

Roberto Menezes da Silva

September 14, 2006

Resumo

Este trabalho de dissertacao tem como objetivo principal o assunto dedualidade em teorias topologicas. Discutiremos o metodo de imersao calibre

que sera usado para o mapeamento dual. Abordaremos dualidade com teoriasB ! F , em 3 + 1, livres, com a presenca de materia e de nao linearidade.

Finalizando, estudaremos as teorias de ordens derivativas superiores.

1

Agradecimentos

Agradeco a todos que direta ou indiretamente contribuıram para que eu podesseconcluir esse trabalho de dissertacao. Enfatizo aqui a importancia da minhafamılia, dos professores do departamento e dos colegas da pos-graduacao e dagraduacao.

2

Contents

1 Introducao 4

2 O metodo de Imersao de Calibre 92.1 O Oscilador Harmonico Simples Classico . . . . . . . . . . . . . . 102.2 Dualidade entre os Modelos Autodual e Maxwell-Chern-Simons . 11

2.2.1 Materia Fermionica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2.2 Materia Bosonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 Dualidade no modelo B ! F 143.1 O modelo B ! F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.2 A Teoria B ! F Invariante de Calibre . . . . . . . . . . . . . . . 163.3 O Acoplamento com Fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.3.1 Acoplamento Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.3.2 Acoplamento Duplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4 Modelos Nao Lineares 244.1 O Modelo de Born-Infeld-Chern-Simons . . . . . . . . . . . . . . 244.2 O Modelo B ! F Nao Linear (3+1) . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.2.1 Nao Linearidade em um dos Campos . . . . . . . . . . . . 274.2.2 Nao Linearidade em Ambos Campos . . . . . . . . . . . . 33

4.3 O Acoplamento Mınimo com a Materia Fermionica . . . . . . . . 36

5 Teorias de Ordens Derivativas Superiores 375.1 Dualidade no Modelo Proca-Chern-Simons . . . . . . . . . . . . . 385.2 Generalizacao para Ordens Derivativas Superiores . . . . . . . . 385.3 O Caso n"# . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.4 Adicionando Fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.5 Interacoes Nao Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

6 Conclusao 49

7 Trabalhos Publicados 50

A Relacoes Importantes 51

3

Chapter 1

Introducao

A diferenca entre o bem e o mal

e de que lado voce esta

A diferenca entre o ser e o estar

e quanto tempo voce vai ficar

Este trabalho de dissertacao tem como principal objetivo mostrar a equivalenciadual entre modelos massivos. Entender o que a dualidade restringe tanto emTeoria de Campos (classica e quantica), tanto em Teoria de Cordas e de sumaimportancia. Em uma definicao simplificada, dualidade significa a equivalenciaentre duas ou mais descricoes de um sistema fısico (ou de um modelo teorico),conectando descricoes em termo de diferentes campos. O mapeamento entreestas teorias na maioria das vezes nao e simples e obvio, como tambem nemsempre e garantido. Um dos motivos para o estudo das transformacoes dedualidade e que se tendo entendimento dos graus de liberdade e da dinamica deuma teoria tambem se conhece a de sua dual. Sendo assim podemos escreveras duas teorias em regimes diferentes de acoplamento. Quando se fala de teoriaquantica de campos, logo se pensa em uma teoria livre ou perturbativa, deixandotodas as outras possibilidades a serem tratadas apenas por poucos metodos naoperturbativos. Logo a investigacao nao completa a perguntas nao respondidascompletamente. E nesse ponto que a dualidade entra.

Basicamente, dualidade troca o acoplamento fraco por um acoplamento forte,e vice-versa, !" !D = 1/!1. Um calculo com acoplamento forte pode ser feitoem uma teoria dual que tenha o mesmo acoplamento reduzido a um nıvel quetorne possıvel a analise perturbativa. Portanto terıamos para as duas teoriasno mınimo dois extremos passivos de analise, com ! pequeno (!D grande) e!D tambem pequeno (! tambem grande). Este tipo de dualidade e chamadade dualidade S. Relatando a fısica em todos os extremos terıamos descricoesperturbativas diferentes para cada extremo. Um exemplo interessante pode ser

1Outras consequencias das transformacao de dualidade serao vistas na continuidade dadissertacao

4

visto em teorias de cordas onde cinco teorias (Tipo I, Tipo II, Tipo IIB, SO(32)Heterotico, E8 x E8 Heterotico) sao duais entre si e duais a Teoria M. Os seisextremos podem ser vistos na ilustracao abaixo,

SO(32) Heterotic

Teoria M

E x E Heterotic8 8

Tipo IIB

Tipo IIA

Tipo IIB

Na literatura ha muitos exemplos de dualidade, alguns antigos, outros maisutilizados num contexto mais recente. Com a finalidade de dar uma visao geraldo assunto, alguns desses casos serao relacionados a seguir:

• O conceito de dualidade mais antigo e o da dualidade eletromagnetica,que foi notado por Dirac em 1931 [1]. Ele percebeu inicialmente que asequacoes de movimento da teoria de Maxwell sem fontes tem a mesmaforma de suas indentidades de Bianchi,

"µFµ! = 0$" "µ!Fµ! = 0

onde !Fµ! = 12#

µ!"#F"# e o dual do Hodge do tensor intensidade eletro-magnetica2.Fazendo essa observacao, viu que ha uma simetria SO(2),E" B;B" %E. Dirac estendeu esta dualidade para a teoria com fontes,inserindo fontes eletricas e magneticas. Ele tambem mostrou que uma teo-ria quantica com os tipos de cargas somente e consistente se satisfazem acondicao qeqe = 2$n, com n inteiro3.

• A equivalencia em 1 + 1 dos modelos de sine-Gordon e de Thirring foiprimeiramente notada no inıcio dos anos sessenta com os trabalhos deSkyrme [2, 3], ele sugeriu que a teoria nao linear de campos bosonicos deviaestar relacionada com a autointeracao fermionica do Tipo Thirring. En-tretanto, apenas na metade dos anos setenta Coleman [4], usando metodosmais rigorosos do que sugestivos, estabeleceu esta equivalencia. Os dois

2para maiores detalhes vide o Apendice B3Essa condicao e encontrada impondo que um termo de interserccao entre as world-line

das cargas seja anulada na funcao de particao

5

modelos sao regidos pelas lagrangeanas4,

LsG =1

2"µ%"

µ%+ m20m2

!

!

cos

"&!

m%

#

% 1

$

(1.1)

LTh = i&'µ"µ& %mf && (1.2)

onde % e o campo bosonico, & o campo fermionico e jµ e corrente fermionica.As constantes ! e g sao as constantes de acoplamento, respectivamente domodelo de sine-Gordon e de Thirring. Atraves de metodo perturbativo foifeita a bosonozacao da teoria fermionica na de sine-Gordon, relacionandoas constantes de acoplamento

!

4$m2=

1

1 + g/$

e a corrente topologica dos bosons e mostrada ser proporcional a correntefermionica, (µ!"!% = C&'µ&. O interessante desta dualidade e que elaocorre entre campos de naturezas diferentes.

• Numa rede quadrada, o modelo de Ising tem tambem uma especie de du-alidade chamada dualidade de Kramers-Wannier[5]. Definindo uma con-stante K que depende da intensidade de interacao dos componentes darede, e K! o mesmo fator de um modelo dual ao primeiro, suas constantesde acoplamento estao relacionadas por,

sinh 2K =1

sinh 2K!

Da expressao acima, vemos que quanto mais forte for a interacao, maisfraca sera a interacao no modelo dual.

Alem destes tipos de dualidades, existem outras como por exemplo a du-alidade U e a dualidade T5; Dualidade de Montonen-Olive [6] (para a teoriaYang-Mills supersimetrica nao abeliana quadrimensional); dualidade na acaoefetiva para baixas energias; dualidade Ads/CFT; a dualidade escalar-tensor(ou mais geral tensor-tensor, como sera discutida ainda neste capıtulo). Du-alidade tambem vem sendo investigada em sistemas estatısticos [7, 8], o efeitoHall quantico [9], arranjos de juncoes de Josephson [10] e materias planares comalta Tc. Para complementar a introducao, vamos mostrar o que nos motivou aescolha do tema e as estrutura basicas de cada capıtulo.

Vamos aqui nos restringir ao estudo da dualidade de modelos topologicos quesao aparentemente distintos porem apresentam caracterısticas comuns que levama uma investigacao mais detalhada, observando a conservacao de propriedadesessenciais do sistema, como por exemplos os graus de liberdade. Um exemplo de

4o termo a lagrangena refere-se a densidade de lagrangeana. A palavra densidade delagrangena foi ocultada por elipse.

5Abreviacao de Target-Space

6

equivalencia entre esse tipo de teorias e a dualidade entre as teorias Autodual(AD) [11]

LAD =1

2m2fµfµ %

1

2mfµ(

µ!""!f" (1.3)

e Maxwell-Chern-Simons [12, 13, 14]

LMCS = %1

4Fµ!Fµ! +

1

2mAµ(

µ!""!A" (1.4)

A primeira e uma acao de primeira ordem, nao invariante de calibre. A segundae invariante de calibre e de segunda ordem. A dualidade entre elas se da pelotermo toplogico de Chern-Simons [15]. No Capıtulo 5, sera mostrado de formageral que o mapeamento dual entre uma teoria nao invariante de calibre e umainvariante de calibre se da duplicando a ordem derivativa.

O exemplo acima tem uma extensa literarura, iniciada pelo conceito de acaomestra ou mais recentemente denominada de acao primitiva, ou interpolante[16, 17]. A partir de uma acao inicial, chegamos a duas teorias que na camadade massa6 sao equivalentes. Tomemos como exemplo para ilustrar o metodo, adualidade escalar-tensor, em quatro dimensoes, a acao mestra e dada por7

Lmestra = aFµ!"Fµ!" + b%"µ

!Fµ (1.5)

onde Fµ!" e um autentico campo tensorial antissimetrico, % e um campo escalarsem massa eE !Fµ e o dual de Hodge do campo Fµ!". Variando a lagrangeanaem termos dos campo escalar %, encontramos o vınculo

"!µFµ = 0 " Fµ!" = "[µA!"] (1.6)

substituindo o resultado na propria acao encontramos agora

LA =1

3!Fµ!"F

µ!" (1.7)

note que agora F nao e mais um campo autentico. Agora se variarmos a acaomestra em termos do campo F , encontramos, apos a substituicao a teoria duala primeira

L$ =1

2"µ%"

µ% (1.8)

com a = 1/3! e b =&

2. Pelo menos classicamente, fica provada a equivalenciadual entre as duas teorias8. Tambem poderıamos elaborar uma lagrangeanamestra para mostrar a dualidade entre tensores em dimensoes n, desde que seusranques somem n% 2 para o caso sem massa e n% 1 para o caso massivo.

6conjunto de valores dos campos que satisfazem as equacoes de movimento classicamente.7todos os calculos dessa dissertacao serao feitos na acao e os termos de divergencias serao

descartados.8Para ser mais exato, indentificamos as equacoes de movimento da teoria tensorial com as

Identidades de Bianchi da teoria escalar, e vice-versa.

7

Apesar de ser um metodo ja consagrado o procedimento da acao mestradeixa de ser operacional, em alguns casos, como por exemplo no mapeamentodas teorias Autodual (AD) nao abeliana e Yang-Mills-Chern-Simons (YMCS),onde apenas a analise pertubativa foi investigada por esse metodo.

O nosso objetivo neste trabalho de dissertacao e estender o desenvolvimentodo metodo de imersao de calibre como alternativa aos metodos existentes naliteratura. A imersao de calibre e feita com a insercao de contra-termos quese anulem no espaco das solucoes (camada de massa). No capıtulo 2, desen-volveremos o metodo de imersao de calibre, dando alguns exemplos: o osciladorharmonico classico, mapeamento dual entre AD e MCS, em tres dimensoes.Deste ultimo tambem sera feita a extencao para o acoplamento com materiasfermionica e bosonica. Esse capıtulo e um trabalho de revisao, nao sendo assimmaterial novo.

No capıtulo 3, demonstraremos a equivalencia dual entre modelos que contemtermos B ! F , em quatro dimensoes. Serao investigadas as consequencia da in-clusao de materia fermionica, tanto no acoplamento simples (apenas em um doscampos), quanto no duplo (com os dois campos). No capıtulo 4, desenvolvere-mos o metodo de linearizacao para tratarmos a equivalencia entre modelos naolineares, com enfase para os modelos com termos B ! F ; sera tratada a naolinearidade em um dos campos como tambem nos dois campos, alguns exemplosserao dados para um melhor entendimento da teoria. No capıtulo 5, tomare-mos modelos em ordens derivativas superiores, em tres dimesoes. Inicialmente,trataremos o mapeamento dual Proca-Chern-Simons (PCS) na teoria Maxwell-Podolsky-Chern-Simons-estendido (MPCSE). Depois, faremos a generalizacaoda teoria de um campo para qualquer ordem derivativa, incluindo materia enao linearidade. Ainda estudaremos o caso de a ordem derivativa tender ao in-finito. A partir do capıtulo 3, a grande parte dos resultados sao originais sendopublicados em artigos cuja lista esta no capıtulo 6.

8

Chapter 2

O metodo de Imersao deCalibre

O ato de mergulhar e irreversıvel

O emergido nunca mais sera o que imergiu

Seria nascer sendo velho

Experiente do que ainda n~ao viu

Neste capıtulo, introduziremos o metodo de imersao de calibre, que consistebasicamente em transformar uma teoria nao invariante ou invariante por umasimetria global em outra teoria que e invariante por uma simetria local. Isso efeito com frequencia em teoria de campos, porem a aplicacao em dualidade euma ideia original proposta por A. Ilha e C. Wotsazek [18].

A vantagem do metodo e que ele segue uma receita, onde passos predefinidosdevem ser feitos ao contrario do metodo da acao mestra em que deve-se encontrara acao sem passos predefinidos. Alem disso, um outro ponto diferencia os doismetodos. O metodo de acoes mestras procura uma acao dual a primeira e comoconsequencia (e por coincidencia) esta teoria e invariante por alguma simetria.Em contrapartida, o metodo de imersao de calibre tem como objetivo principalencontrar a teoria inicial “calibrada” com alguma simetria, e como simetria, ecomo consequencia esta teoria encontrada e dual a primeira1. A dualidade egarantida pois as duas teorias apenas se diferem por uma funcao de tensores deEuler2, de modo que dinamicamente tenham uma equivalencia,

LD %L = F (tensores de Euler) (2.1)

quando os tensores de Euler se anulam, a funcao tambem deve se anular F (0) =0, de modo qeu haja a dualidade. Esta tecnica funciona pela sucessiva adicao

1Por isso que metodo tem uma boa eficiencia para modelos topologicos2No caso da teoria de campos escalares, teremos escalares de Euler; para campos vetoriais,

vetores de Euler, e assim...

9

de contra termos. Inserimos ao modelo simetrias atraves de um meio interativo.Os contra termos sao colocados atraves de campos auxiliares acoplados com ostensores de Euler da teoria original, gerando uma teoria intermediaria ate queao final da interacao tenhamos uma teoria invariante sob a simetria escolhida.Por ultimo, devemos eliminar os campos auxiliares, para esta teoria seja escritaapenas em termos dos campos originais. E importante lembrar que os camposauxiliares nao possuem dinamica propria pois nao tem termos cineticos.

E claro que o metodo escolhido para trabalhar e o menos importante, temosque ter em mente o significado fısico da transformacao de dualidade.

2.1 O Oscilador Harmonico Simples Classico

Tomemos um modelo bem estabelecido da mecanica classica: o oscilador harmonicosimples unidimensional,

L =1

2x2 %

k2

2x2 (2.2)

podemos linearizar a teoria, inserindo um campo auxiliar mantendo os seusgraus de liberdade, de forma

L = px%1

2p2 %

k2

2x2 (2.3)

fazendo a mudanca de varıaveis, com a finalidade de separar termos simetricosdes antissimetricos,

p = k[y1 % y2] (2.4)

x = y1 + y2 (2.5)

ao substituir os termos na lagrangeana

L = k(abyayb % k2y2a (2.6)

onde (12 = 1. Impomos uma variacao sobre as coordenadas do tipo )ya =*(x)(abyb, a variacao da lagrangeana sera, a menos de uma derivada total,

)L = ky2a*(x) (2.7)

definimos entao uma corrente J = ky2a. Inserimos um campo auxiliar de modo

queL1 = L0 %BJ (2.8)

e se impormos )B = *(x), a lagrangena tera variacao nula. Reescrevendo alagrangeana modificada,

L1 = k(abyayb % k2y2a % bky2

a (2.9)

que impoe o vınculo y2a = 0 ao sistema, pois o campo B faz o papel de multipli-

cador de Lagrangey21 + y2

2 = 0 (2.10)

que leva a y1 = y2 = 0. Logo, nao e possıvel inserir a simetria global )ya =*(x)(abyb.

10

2.2 Dualidade entre os Modelos Autodual e Maxwell-Chern-Simons

Utilizaremos o procedimento de imersao de calibre [18, 19] para mostrar aequivalencia entre duas teorias. O objetivo principal e transformar a sime-tria global escondida em uma teoria com uma simetria de calibre local )Aµ ="µ(, transformando o parametro global ( em uma forma local, i.e, ( " ((xµ).Tomemos como segundo exemplo do metodo, a equivalencia entre a teoria Au-todual (1.3) e Maxwell-Chern-Simons (1.4), onde e visto que as equacoes demovimento sao identicas.

Vamos impor uma variacao na lagrangeana Autodual, fazendo

)L = Kµ)Aµ (2.11)

ondeKµ = m2Aµ %m(µ!""

!A" (2.12)

e o vetor de Euler (quando for nulo, Aµ sera o campo que satisfaz a equacao demovimento) e corrente de Noether local. Para encontrar termos que compensemessa variacao, vamos transformar a lagrangeana original adicionando um termocom dependencia no vetor de Euler,

L (1) = LAD + G(Kµ) (2.13)

Tomemos como primeira aproximacao, uma funcao linear definido interacao comum campo vetorial auxiliar (essa funcao podera ser modificada com os passosseguintes do metodo),

L 1 = LAD + BµKµ (2.14)

Quando o vetor de Euler e zero (solucao na camada de massa), a lagrangeanafica intactam, i. e., o campo basico solucao nao se altera. Basicamente foi feitauma transformacao de Legendre, aproveitando-se do vınculo Kµ = 0 na camadade massa. Novamente aplicando uma variacao na lagrangeana, temos

)L (1) = ()Aµ % )Bµ)Kµ %Bµ)Kµ (2.15)

Faremos agora que Bµ se transforme do mesmo modo de que o campo basico,)Bµ = "µ(, deixando a variacao da lagrangena simplesmente como,

)L (1) = %Bµ)Kµ (2.16)

Esse imposicao sobre a variacao de Bµ e simples porque o campo basico temuma variacao simples, dependendo apenas de um parametro ao inves de autode-pendencia ou dependencia com outro campo. A equacao acima logo fica escritacomo

)L (1) = %Bµ

%m2)Bµ %m(µ!""!"!(

&(2.17)

= %)'

m2

2BµBµ

((2.18)

11

Finalmente para que a variacao da lagrangeana zere, devemos adicionar a L (1),um termo que tenha variacao oposta a encontrada acima,

L (2) = LAD %BµKµ +m2

2BµBµ (2.19)

essa teoria e invariante de calibre, o que nos faltar saber e se ela e dual aprimeira. Eliminamos o campo auxiliar Bµ,

Leff = LAD %1

2m2KµKµ (2.20)

Vemos aqui claramente que em Kµ = 0, as teorias sao duais na camada demassa. Explicitando o valor da teoria Autodual, chegamos finalmente a teoriade Maxwell-Chern-Simons,

Leff = LMCS = %1

4Fµ!Fµ! +

m

2Aµ(

µ!""!A" (2.21)

Para estender a aplicacao do metodo de imersao de calibre, vamos veri-ficar se e operacional para casos nao livres. Primeiramente, nos analizaremos oacoplamento com a materia fermionica e depois com a materia bosonica.

2.2.1 Materia Fermionica

Atraves de princıpios basicos, consideraremos o acoplamento mınimo do campode Dirac com campo vetorial especificado pelo modelo Autodual [20], de modoque o operador diferencial sobre o campo de Dirac seja definido como,

Dµ = "µ % ieAµ (2.22)

derivado da redefinicao do quadrimomento, pµ " pµ % eAµ. A lagrangeanatorna-se

L (0)min = LAD + Lint + LD (2.23)

ondeLint = %eAµJµ (2.24)

eLD = &(i'µ"µ %M)& (2.25)

com Jµ = &'µ& e M e a massa do fermion. Para obter a teoria dual, deve-se realizar os mesmos procedimentos feitos para o caso livre. A variacao dalagrangeana da o vetor de Euler e dele aplica-se o metodo de imersao de calibre,logo a lagrangeana efetiva e,

Leff = LMCS + LD %e

m(µ!""!A"Jµ %

e2

2m2JµJµ (2.26)

atraves de uma integracao por partes, e fazendo a definicao Gµ ' 1m(

µ!""!J",onde Gµ e uma corrente dual a corrente fermionica, temos

Leff = LMCS + LD % eA"Gµ %e2

2m2JµJµ (2.27)

12

O aparecimento do termo de Thirring deve-se naturalmente ao algoritmo e ainteracao mınima no lado MCS. Para ver sua importancia e necessario o ex-ame cuidadoso dos setores fermionicos das duas teorias. Ess exame foi feitoem [19] com sucesso e nao sera feito aqui. Entretanto esse procedimento seradesenvolvido com todos os detalhes para o caso B ! F com materia fermionica.

2.2.2 Materia Bosonica

O modelo Autodual minimamente acoplado com a materia bosonica carregadae dado pela seguinte lagrangeana,

L (0)min = LAD + Lint + LKG (2.28)

onde,

Lint = %eAµJµ + e2AµAµ%!% (2.29)

LKG = "µ%!"µ%%M2%!% (2.30)

a corrente de Noether global associada a uma transformacao de fase em U(1) edada por

Jµ = i(%!"µ%% %"µ%!) (2.31)

A grande dificuldade no estudo desta teoria e que a corrente de calibredepende explicitamente do campo vetorial, que e dada pela variacao do campo%,

J µ = Jµ % 2e%!%Aµ (2.32)

o parametro de massa µ dependente do campo e definido como µ2 = m2 +2e2%!%. Usando o procedimento de imersao de calibre, e calculado o vetor deEuler

Kµ = µ2Aµ %m(µ!""!A" % eJµ (2.33)

em continuacao, obtemos a lagrangeana efetiva que e dada por

Leff = LKG %m2

4µ2Fµ!Fµ! +

m

2Aµ(

µ!""!A" %e2

2µ2JµJµ %

em

µ2Jµ(

µ!""!A"

(2.34)definindo um parametro dependente do campo de Klein-Gordon

+ 'm2

µ2=

'1 + 2

e2

m2%!%

("1

(2.35)

reescreve-se,

Leff = LKG%+

4Fµ!Fµ! +

m

2Aµ(

µ!""!A"%e2

2µ2JµJµ%

e+

mJµ(

µ!""!A" (2.36)

13

Chapter 3

Dualidade no modelo B ! F

Sem voce meu mundo n~ao ficaria completo

Nando Reis

O estudo de teorias de calibre com o termo topologico, em (3+1) dimensoes,tem recebido atencao recentemente. Alem de outras possibilidades, o termo B!F e interessante por se tratar de um mecanismo invariante de calibre que produzmassa para os campos de calibre. Aqui Bµ e um potencial tensor antissimetrico(um potencial 2-forma) enquanto Aµ e o potencial vetorial 1-forma. O potencialtensorial antissimetrico foi provavelmente utilizado no contexto de teorias departıculas para descrever uma partıcula sem massa de helicidade nula [21, 22].Foi reinterpretado depois no contexto de cordas fundamentais [23, 24], tem sidousado no estudo de cordas cosmicas [25, 26, 27] e no estudo de carga topologicaem buracos negros [28, 29, 30]. A teoria livre de um tensor de ordem 2 tem sidaintensivamente estudada tanto classicamente [31] quanto quanticamente [32, 33].

Neste capıtulo, estudaremos a dualidade envolvida em teorias de campo como termo B!F . Para esse fim, primeiramente investigamos o modelo ADB#F naoinvariante de calibre. Definiremos uma nova operacao de dualidade (diferente dodual de Hodge) e mostraremos tambem a existencia da propriedade de autodu-alidade. Finalizando, aplicaremos o metodo de imersao dinamico para construiruma teoria invariante dual ao modelo ADB#F - o modelo B!F topologicamentemassivo (TMB#F ).

3.1 O modelo B ! F

Nesta secao formularemos e estudaremos um modelo nao invariante de calibre deprimeira ordem derivativa, fazendo uso de um termo topologico B!F e provare-mos a existencia da propriedade de autodualidade como uma consequencia dovınculo AD.

O modelo em questao mostra a interacao de um campo vetorial Aµ com o

14

potencial campo tensorial Bµ! [29] como

L (0)ADB!F

=m2

2AµAµ %

1

4Bµ!Bµ! %

,

2(µ!"#"µB!"A# (3.1)

O ındice superescrito na lagrangeana foi inserido para mostrar quantas vezes elae iterada. O paametro , assumira valores ±1 e sera mostrado que deferenciaraautodualidade da anti-autodualidade. A intensidade de campo dos potenciaisbasicos sao,

Fµ! = "µA! % "!Aµ (3.2)

Hµ!" = "µB!" + "!B"µ + ""Bµ! (3.3)

Os coeficientes dos termos massivos sao escolhidos com dimensao de massa ume dois, respectivamente, para os potenciais Aµ e Bµ! . Aqui os potenciais fazemum papel ativo nas transformacoes de dualidade. Isso faz o contraste como campo de materia dinamico que diferentemente dos potenciais sao campopassivos (espectadores) no mapeamento de dualidade. Esta teoria nao invariantede calibre apresenta dez vınculos primarios quatro secundarios [34], levando atres graus de liberdade.

As equacoes de movimento do modelo acima para os campos Aµ e Bµ! ,

Aµ = %,

2m2(µ!"#"!B"# (3.4)

Bµ! = ,(µ!"#""A# (3.5)

safisfazendo os vınculos de Lorentz,

"µAµ = 0 (3.6)

"µBµ! = 0 (3.7)

identicamente. As equacoes de movimento constituem um conjunto de equacoesacopladas de primeira ordem que podem ser recombinadas em duas equacoes deonda massivas de segunda ordem desacopladas como

(! + m2)F = 0 ; F = {Aµ; Bµ!} (3.8)

onde a constante de acoplamento faz crucialmente o papel de massa.Agora vamos discutir a autodualidade inerente da teoria. Para esse fim,

definimos uma nova operacao de dualidade dada por um conjunto de equacoes,

!Aµ = %1

2m2(µ!"#"!B"# (3.9)

!Bµ! = (µ!"#""A# (3.10)

Com esta definicao obtemos, para a operacao de dualidade dupla, as relacoes

!(!F ) = F ; F = {Aµ;Bµ!} (3.11)

15

apos o uso das equacoes de movimento. Isto e importante pois valida a nocaode auto(ou antiauto) dualidade

!F = ,F ; F = {Aµ;Bµ!} (3.12)

veja que o modelo e uma extensao direta do caso AD tridimensional. Contudoeste conceito de operacao de dualidade e novo em quatro dimensoes.

Antes de iniciarmos o procedimento iterativo para transformar esse modeloem um modelo B ! F topologico (TMB#F ), vamos nos desviar do assunto paraas consequencias da relacao de autodualidade.

Note primeiro que sob os transformacoes de calibre usuais dos potenciais

Aµ " Aµ + "µ! (3.13)

Bµ! " Bµ! + "µ!! % "!!µ (3.14)

as intensidades de campo Fµ! e Hµ!" permanecem invariantes. Portanto, emb-ora os ponteciais basicos sejam dependentes de calibre, seus duais nao sao. Estasituacao se coincide com o caso tridimensional envolvendo o termo de Chern-Simons. Neste caso ha uma simetria escondida de calibre no modelo AD [11],enquanto e explicita no modelo tridimensional massivo em [12, 13, 14]. Aquitambem o modelo ADB#F esconde a simetria de calibre que e explıcito no mod-elo TMB#F .

Na proxima seccao, discutiremos um procedimento de imersao de calibre queproduzira claramente um modelo invariante de calibre equivalente.

3.2 A Teoria B ! F Invariante de Calibre

No capıtulo anterior, usamos o formalismo de imersao de calibre dinamico paraestudar a equivalencia em (2+1) dimensoes em diversas situacoes com mod-elos envolvendo a presenca do termo topologico de Chern-Simons. Nesta seccao, aplicaremos a tecnica para abordar a dualidade em quatro dimensoes nosmodelos que tem o termo topologico B ! F .

Nossa meta e tentar transformar a lagrangeana que esconde as simetriasem uma uma teoria que e invariante sob essa variacao. O metodo trabalhaprocurando por uma descricao (fracamente) equivalente a teoria original, quedeve ser obtida adicionando uma funcao f(Kµ,Mµ!) na lagrangeana (3.1). AquiKµ e Mµ! sao os tensore de Euler definidos pela variacao

)LADB!F= Kµ)A

µ + Mµ!)Bµ! (3.15)

cujo nucleos dao as equacoes de movimento para os campos Aµ e Bµ! , respec-tivamente. O requisito mınimo para f(Kµ,Mµ!) e que deve ser escolhido demodo que zere no espaco das das solucoes de (3.1) para encontrar os tensoresde Euler como,

Kµ = m2Aµ +,

2(µ!"#"

!B#" (3.16)

Mµ! = %1

2Bµ! +

,

2(µ!"#"

#A" (3.17)

16

e definimos a lagrangeana uma vez iterada

L (0)ADB!F

= L (0)ADB!F

% aµKµ % bµ!Mµ! (3.18)

com os tensores de Euler sendo impostos como vınculos e os novos campos,aµ e bµ! , sao identificados como campos de calibre auxiliares, atuando comomultiplicadores de Legendre.

As propriedades de transformacoes dos campos auxiliares acompanham astransformacoes do campo basico,

)aµ = )Aµ (3.19)

)bµ! = )Bµ! (3.20)

a escolha e feita porque os campos basicos variam em termos de um parametroe nao em termos deles proprios ou mutualmente.

Uma algebra simples mostra

)L (1)ADB!F

= %aµ)Kµ % bµ!)M

µ! (3.21)

= )

'%

m2

2aµaµ +

1

4bµ!bµ!

((3.22)

definimos a lagrangeana iterada pela segunda vez

L (2)ADB!F

= L (1)ADB!F

+m2

2aµaµ %

1

4bµ!bµ! (3.23)

que e automaticamente invariante de calibre sob transformacao do conjuntooriginal dos campos (Aµ, Bµ!) e os campos auxiliares (aµ, bµ!).

Portanto tivemos sucesso em transformar a teoria ADB#F global em umateoria de calibre invariante localmente. Devemos agora nos aproveitar do caraterGaussiano mostrados pelos campos auxiliares para (3.23) como uma acao efe-tiva dependendo apenas das variaveis originais (Aµ,Bµ!). Com essa finalidade,usamos (3.23) para resolver os campos aµ e bµ!

Leff = L (0)ADB!F

%1

2m2KµKµ + Mµ!Mµ! (3.24)

de onde indentificamos a funcao f(Kµ,Mµ!). Esta acao dinamicamente modi-ficada pode ser reescrita, resultando na teoria TMB#F

LTMB!F=

1

12m2Hµ!"H

µ!" %1

4Fµ!Fµ! %

,

2(µ!"#"µB!"A# (3.25)

Note que existe claramente a inversao da constante de acoplamento m2 " 1/m2.E visto claramente pelo metodo que a diferenca entre os dois modelos e dadapela funcao dos tensores de Euler que se anulam no espaco das solucoes. Istoestabelece a equivalencia dinamica entre as teorias ADB#F e TMBF .

Esta teoria tem quatro vınculos primarios e quatro secundarios que sao con-tudo nao independentes, formando um sistema redutıvel de vınculos. Apos fixaro calibre, finalizamos com quatorze vınculos de segunda classe tal qual a teoriainicial. Fisicamente isso pode ser interpretado que ha um modo longitudionalsobrevivente. Este modo acopla com o campo Aµ produzindo o boson massivo[35].

17

3.3 O Acoplamento com Fermions

Uma vez que o mapeamento de dualidade entre as teorias livres foi estabelecido,vamos considerar os requerimentos para a existencia de dualidade quando oacoplamento com a materia dinamica e incluıdo. Nesta secao, consideraremosuma primeira situacao onde o campo vetorial, na representacao autodual, eminimamente acoplado a corrente fermionica. Isto parece apropriado visto queilustra o aspecto principal da dualidade via imersao de calibre. Os resultadospara o acoplamento completo serao apresentados na subsecao seguinte.

3.3.1 Acoplamento Simples

Novamente atraves do acoplamento mınimo (2.22), e inserida a materia fermionicaao modelo B ! F padrao (3.1). A lagrangeana com interacao e

L (0)min = LADBF + Lint + LD (3.26)

com os termos de interacao e de Dirac ja definidos anteriormente (2.24) e (2.25).O campo fermionico e tratado como um espectador da transformacao dual entreos campos de calibre dos setores de AD e TM. Porem para manter o campofermionico como espectador, o acoplamento com os campos de calibre e entreeles mesmos tem ser modificados no lado TM, como sera mostrado a seguir.

Como antes, nossa estrategia principal e transformar a simetria da lagrangeana(3.26) em uma simetria local de calibre. Aplicando o procedimento de imersaode calibre, temos os tensores de Euler

Kµ " KDµ = Kµ % eJµ (3.27)

Mµ! " MDµ! = Mµ! (3.28)

De agora em diante, nos seguimos os mesmos passos como no caso livre, fazendoapenas a transformacao Kµ " KD

µ e Mµ! "MDµ! , para obter uma acao efetiva

como

Leff = L (0) %1

2m2KD

µ KDµ + MDµ!MDµ! (3.29)

Uma rapida manipulacao mostra a presenca de um novo termo, comparado aocaso livre e do acoplamento nao mınimo

Leff = LTMBF + LD % ,e1

2m2(µ!"#"µB!"

) *+ ,Gµ!Bµ!

J# %e2

2m2JµJµ (3.30)

onde LTMBF e dada (3.25). Define-se Gµ! ' % 12m2 (µ!"#""J# como o tensor

dual da corrente fermionica. A presenca de dois termos envolvendo a correntede materia e o mais importante de nossa discursao visto que eles fazem o papelde preservar as estruturas dos setores fermionicos na aplicacao do mapeamentodual do setor dos campos de calibre. Eles sao a autointeracao tipo Thirringe a nao mınima interacao tipo magnetica do dual da corrente fermionica com

18

Bµ! . E interessante observar que o acoplamento mınimo envolvendo o campoAµ torna, atraves do processo de dualizacao, o acoplamento nao mınimo para

o campo Bµ! . Esta permuta de acoplamento e solidadamente uma surpresa. Ea manisfestacao, no setor latente de dualidade, da inversao de dualidade tradi-cional e, pelo que conhecemos, este fenomeno nao foi relatado antes. Note queambos termos aparecem naturalmente como uma consequencia do algoritmo deimersao. A presenca destes termos, como mostraremos na sequencia, e impor-tante para manter a estrutura da materia fermionica em ambas representacoesdo par de duais [20]. Para demonstrar totalmente a equivalencia entre as teo-rias, e necessario que as equacoes de movimento dos fermions sejam as mesmas(condicao necessaria para que os setores fermionicos fiquem intactos). Primeira-mente, toma-se o modelo ADB#F . Variando em termos do campo fermionico,

(i'µ"µ %M)& = eAµ'µ& (3.31)

Para deixar esta equacao apenas com campos fermionicos, deve-se encontrar ocampo Aµ como funcao da corrente Jµ e/ou do dual desta. A diferenca principaldo caso AD $" MCS e que naquele ha uma equacao que relaciona Aµ com Jµ,enquanto neste o Aµ vem acoplado com Bµ! em um sistema de duas equacoes,

m2A% +,

2(%µ!""µB!" % eJ% = 0 (3.32)

%1

2B!" +

,

2(µ!"#"µA# = 0 (3.33)

isolando nas equacoes o valor de Aµ e usando o vınculo de Lorentz, tem-se

(m2 + !)Aµ = eJµ (3.34)

defini-se um operador direferencial que e o inverso do operador de onda definidocomo

R"1 = m2 + ! (3.35)

entao encontrando uma expressao para o campo de calibre,

Aµ = eRJµ (3.36)

A equacao do fermion sera desacoplada

(i'µ"µ %M)& = eRJµ'µ& (3.37)

Duas coisas diferenciam R"1 do caso AD $" MCS. Primeira, R"1 e umoperador de segunda ordem integral, ao contrario do outro que e de primeiraordem. Segunda, R"1 e um operador funcional (ordem tensorial zero), enquantoo outro e de segundo ranque tensorial. Essa equacao e nao linear, integral ediferencial e esta escrita completamente em termos dos campos fermionicos.

O segundo passo e encontrar as equacoes de movimento da teoria TMB#F ,variando-a em relacao ao campo fermionico, chega-se a

(i'µ"µ %M)& = ,e!Aµ'µ +e2

m2Jµ'

µ& (3.38)

19

aqui obtemos o funcional bosonico !Aµ " !Aµ(&) em termos dos fermions dasequacoes de movimento dos campos de calibre no setor TMB#F . Novamentesurge a necessidade de eliminar a dependencia do campo vetorial, para issoobtemos as equacoes de movimento para os campos de calibre,

!Aµ = %,

2m2(µ!"#"!

!B"# (3.39)

!Bµ! = ,(µ!"#""!A# % 2eGµ! (3.40)

Isola-se no conjunto de equacoes acima o valor de !Aµ, chegando na equacao deProca,

(! + m2)!Aµ = %,e

m2!Jµ (3.41)

ou,

!Aµ = %,e

m2R!Jµ (3.42)

isso deixa a equacao (3.38), expressa apenas em termos de campos fermionicos,

(i'µ&µ %M)& = %e2

m2R!Jµ'

µ& +e2

m2Jµ'

µ& (3.43)

=

'%

e2

m2R! +

e2

m2

(Jµ'

µ& (3.44)

= e2RJµ'µ& (3.45)

onde foi usada a relacao ! = R"1 %m2. Entao e provada a equivalencia dualentre as teorias (3.26) e (3.30), tambem a nıvel de equecoes de movimento.

No caso livre foi examinada o mapeamento dual direto (Aµ " ,!Aµ, Bµ! ",!Bµ!). Porem quando e feito o acoplamento com fermions, isso nao pode serfeito. De (3.42) chega-se a

!Aµ = %,e

m2Jµ + ,eRJµ (3.46)

utilizando as equacoes de movimento encontra-se o mapeamento do campo ve-torial para a materia fermionica carregada,

Aµ " ,!Aµ +e

m2Jµ (3.47)

E facil ver que o mapeamento do campo vetorial o mesmo do caso SD "MCS.Se tomarmos Jµ (fato que comprova a passividade dos campos fermionicos).Como ha acoplamento de materia com o campo tensorial Bµ! , o mapeamentoe o mesmo do caso livre. E novamente e importante que a autointeracao tipoThirring para os fermions e a interacao nao mınima com o campo tensorial ecrucial para manter a dinamica dos setores fermionicos inalterada.

20

3.3.2 Acoplamento Duplo

Sera tomado o acoplamento mınimo completo do campo fermionico com os cam-pos bosonicos Aµ e Bµ! , de maneira que

Lint = %eAµJµ % eBµ!J µ! (3.48)

onde Jµ = &'µ& e J µ! e uma corrente tensorial de ranque dois J µ! =B&'µ'!&. A constante B significa a razao entre as constantes de acoplamentocampos com as correntes fermionicas e tambem algum fator complexo de nor-malizacao. Aplicando o metodo de imersao de calibre, os tensores de Eulerserao

Kµ " KDµ = Kµ % eJµ (3.49)

Mµ! " MDµ! = Mµ! % eJ µ! (3.50)

Novamente apos a inclusao de campos auxiliares, chega-se a,

Leff = L (0) %1

2m2KD

µ KDµ + MDµ!MDµ! (3.51)

Apos as substituicoes dos valores dos tensores de Euler e da lagrangeana original,

Leff = LTMBF + LD % ,e

GµAµ

+ ,) *(#µ!""µA#J!" (3.52)

%,e1

2m2(µ!"&"µB!"J&

) *+ ,Gµ!Bµ!

%e2

2m2JµJµ + e2J µ!Jµ! (3.53)

onde G µ ' (µ!"#"!J"# e Gµ! tem a mesma definicao do caso anterior. G e umvetor que difere da definicao do caso 2 + 1, por nao apresentar o parametro demassa e ser dual a uma corrente tensorial. Note que alem de existit o termode Thirring JµJµ de interacao corrente-corrente, tambem ha o termo dipolo-dipolo, tipo Thirring. Tambem e visto o acoplamento mınimo do campo Aµ

com a corrente dual G µ.Deve-se agora demonstrar a equivalencia das equacoes de movimento dos

setores ferimionicos como foi feito na subsecao anterior, variamos a lagrangeanaAutodual em termos do campo de Dirac,

(i'µ"µ %M)& = e'µ[Aµ + 'µBµ! ]& (3.54)

Para eliminar os termos com os campo de calibre, calculando as equacoes demovimento, variando-os,

m2A% +,

2(%µ!""µB!" = eJ% (3.55)

%1

2B!" +

,

2(µ!"#"µA# = eJ !" (3.56)

21

isolando os campos e usando os vınculos de Lorentz, chegamos a,

(! + m2)Aµ = e(Jµ + ,G µ) (3.57)

(! + m2)Bµ! = %2em2(J µ! + ,Gµ!) (3.58)

ou

Aµ = e(RJµ + ,RG µ) (3.59)

Bµ! = %2em2(RJ µ! + ,RGµ!) (3.60)

finalmente, substituımos o resultado acima (3.54), obtendo,

(i'µ"µ %M)& = e2'µR[Jµ + ,G µ % eBm2(J µ! + ,Gµ!)'! ]& (3.61)

Por apresentar acoplamento nos dois campos, a equacao fermionico tem umaforma mais complicada, alem do mais, ha dependencia das correntes duais, coisaque nao aconteceu para o caso do acoplamento simples.

Fazemos o mesmo a teoria dual. Resolvemos a equacao de Euler-Lagrangepara os campos fermionicos, preservando as definicoes dos duais dos campos.

(i'µ"µ%M)& = ,e(!A! +B!Bµ!'µ)µ! +e2

m2Jµ'µ&%2Be2J µ!'µ'!& (3.62)

Com a finalidade de eliminar os campos duais, encotramos os campos de calibreatraves do sistema de equacoes,

!Aµ = %,

2m2(µ%!""%

!B!" +e

m2G µ (3.63)

!Bµ! = ,(µ!"#""!A# % 2eGµ! (3.64)

levando a

!Aµ = %,

m2!RJµ + eRG µ (3.65)

!Bµ! = %2e(m2RGµ! % ,R!J µ!) (3.66)

Devemos entao substituir os valores encontrados acima em (3.62)

(i'µ"µ %M)& = ,e-%,e

m2R!J! + eRG ! % 2eB(m2RGµ! % ,R!J µ!)'µ

.'!&

+e2

m2Jµ'

µ& % 2Be2J µ!'µ'!& (3.67)

= e2'µ

/%

1

m2(R!% 1)Jµ + ,RG µ + 2B(R!% 1)J µ!'!

%2,m2BRGµ!'!

0& (3.68)

= e2'µR%Jµ + ,G µ % 2Bm2(J µ! + ,Gµ!)'!

&& (3.69)

ondo na ultima passagem foi usada a relacao R! % 1 = %Rm2. E mostradaentao a equivalencia dual entre as teorias, demonstrando que as equacoes demovimento de ambas sao as mesmas.

22

Para finalizar, e necessario determinar o mapeamento dual correto entre oscampos e seus duais (ou anti-autoduais) entre as as duas teorias. De (3.65),

!Aµ = ,Aµ %,e

m2Jµ (3.70)

e de (3.66)!Bµ! = ,Bµ! + 2,eJ µ! (3.71)

entao o mapeamento correto sera,

Aµ " ,!Aµ +e

m2Jµ (3.72)

Bµ! " ,!Bµ! % 2eJ µ! (3.73)

Como era de se esperar, tambem aparece um termo de corrente no ma-peamento do campo Bµ! , responsavel pelo termo de Thirring com a correntetensorial.

Neste capıtulo, estudamos a equivalencia dual em modelos topologicos quadri-mensionais entre o modelo autodual B!F (ADB#F ) e o topologocamente mas-sivo B!F (TMB#F ) usando o procedimento iterativo de imersao de calibre queproduz o mapeamento dual. Definimos um novo tipo derivativo de mapeamentodual, muito semelhante ao adotado no caso tridimensional e daıfoi provada apropriedade de auto e antiautodualidade do modelo ADB#F de acordo com osinal relativo do termo topologico. Trabalhando primeiramente no caso livre,onde os campos Aµ e Bµ! participam ativamente na transformacao dual, ob-servamos, como era esperado, a inversao tradicional na constante de acopla-mento. O acoplamento e com a materia fermionica dinamica, que age comoum campo espectador na transformacao dual. O aparecimento do termo de in-teracao tipo Thirring na teoria dualizada, que ja havia sido observado no caso(2+1). Tambem foi verificada a mudanca do acoplamento mınimo para o naomınimo. Contudo, neste caso observamos uma troca dos acoplamentos de umtensor para o outro. Este resultado e novo devido a presenca de tensores de ran-ques distintos participando ativamente na transformacao dual. Provamos quea presenca destes termos e suficiente para manter a dinamica equivalente dossetores fermionicos em qualquer reprensentacao de dualidade. Os casos que ostensores ativos aparecem em formas nao lineares serao apresentados no proximocapıtulo.

23

Chapter 4

Modelos Nao Lineares

Ninguem e assim so esquadro

Ninguem e assim so regra e compasso

Ninguem e assim t~ao linear

A vida e sempre mais complicada

E o sempre vamos-ver-no-que-e-que-da

Nos ultimos anos, com a ressurreicao da teoria de Born-Infeld, o interessepor teorias de calibre nao lineares vem crescendo. Ja temos a equivalencia entreos modelos ADB#F e TMB#F feita com detalhes no capıtulo anterior, entaosurge a pergunta: sera que e possıvel estender o conceito de teoria autodual,inserindo a nao linearidade? e ainda mais, sera possıvel encontrar uma teoriatopologocamente massiva que seja equivalente dual a esta? Para responder asduas perguntas acima sera construıda uma tecnica de linearizacao, atraves dainclusao de campos auxilares.

Antes, faremos com detalhes o estudo da teoria de Born-Infeld. Sera criadauma teoria AD nao linear tipo Born-Infled e sera mostrada ser equivalente duala teoria de Born-Infeld-Chern-Simons (BICS).

Em seguida, aplicaremos um metodo geral para mostrar a relacao entre ateoria Autodual nao linear B!F (ADNB#F ) e a teoria topologicamente massivanao linear B ! F (TMNB#F ), para a nao linearidade sobre um dos campos etambem sobre os dois campos. Para exemplificar serao feitas algumas aplicacoespara certas funcoes.

4.1 O Modelo de Born-Infeld-Chern-Simons

A teoria de Mar Born e Leopold Infeld [36, 37] e uma area da teoria de cam-pos nao linear que recentemente tem tido intensa atividade em varias areas dafısica, principalmente em materia condensada e na propria teoria da campos.A motivacao original dos criadores da teoria foi simular um efeito relativıstico

24

usando uma teoria classica, atraves de modificacoes nas equacoes de Maxwell.A ideia era definir as partıculas como singularidades do campo, relacionandodiretamente massa e carga eletrica. A teoria limitava a velocidade da partıcula,por analogia a relatividade especial. Uma constante - foi inserida para dar umvalor maximo ao campo eletromagnetico, limitando a energia a um valor finito.Born e Infeld esperavam que assim as partıculas fossem os solıtons do modelo.As partıculas apresentadas por eles sao chamadas de BIons. Porem apos o de-scobrimento do neutron, verificou-se que a massa nao estava intimamente ligadaa carga como se pensava. E as dificuldades encontradas na quantizacao da teoriajuntamente com o exito tido pela QED colocaram a TBI no esquecimento porquase 50 anos.

Dentro da fısica teorica, a TBI representa um papel importante no contextode teoria de cordas [38, 39]. Depois da descorberta das D-branas foi constatadoque a dinamica das excitacoes do campo de calibre no volume global de D-branas e descrito por essa teoria, ressucitando-a no comec co dos anos 80. Porexemplo, o modelo de Born-Infeld invariante de Poincare relativıstico e o gas deChaplygin invariante de Galileu nao relativıstico em (d,1) dimensao espaco tem-poral descendem de uma mesma acao D-brana de Nambu-Goto invariante porreparametrizacao em (d+1,1) [40, 41]. Por causa da importancia para a teoriade cordas abertas, foram estudadas varias invariancias de dualidade eletrica-magnetica em SO(2) no modelo de Maxwell, em quatro dimensos tambem sepreserva em BI. Ainda no contexto de cordas, foi visto [39, 43, 44] que a dinamicade Dp-Branas e descrita pela soma das acoes BI e Chern-Simons combinadasem p + 1 dimensoes. Em 2 + 1, a acao BICS descreve D2-Brana. Extensoessupersimetricas [45, 46, 47] e generalizacoes nao abeliana [48, 49] dessas teoriasnao lineares tambem tem sido construıdas. Mas recentemente este modelo decordas para eletrodinamicas nao lineares estao sendo usadas no contexto da cor-respondencia Ads/CFT [50], para obter solucoes que descrevem configuracoesbarionicas que sao consistentes com o confinante [51].

Outra moticao para se estudar varios aspectos da TBI e a aplicacao no estudoda bosonizacao 2+1 dimensoes. A estudo da equivalencia entre as teorias AD eMCS e o seu uso em bosonizacao [52, 53, 54] fez que se pensa numa extensaonao linear, especificamente, Born-Infeld.

A lagrangeana do modelo de Born-Infeld, em quatro dimensoes, e dada por

LBI = -2

"1%det(gµ!)%

2

%det

'gµ! +

1

-Fµ!

(#

(4.1)

no espaco plano, gµ! = (+,%,%,%) e dada por

LBI = -2

"

1%

2

%det

'gµ! +

1

-Fµ!

(#

(4.2)

25

o determinante dentro do radicando pode ser calculado usando a relacao,

det(g + F ) = exp(tr(g + F )) (4.3)

= %1%1

2Fµ!Fµ! +

1

16(Fµ!

!Fµ!)2 (4.4)

deixando a lagrangena expressa como

LBI = -2

'1%

31 +

1

2-2Fµ!Fµ! +

1

16-4(Fµ!

!Fµ!)2(

(4.5)

a menos de uma constante sem relevancia fısica, a lagrangena acima em primeiraordem em F 2 pode ser escrita como

LBI = -2

31%

1

2-2Fµ!Fµ! (4.6)

Essa expressao pode ser encontrada independentemente da dimensao.De modo geral, para fazer a extensao tipo Born-Infeld, para qualquer campo

tensorial faz-se

X " a

31 +

2X

a(4.7)

onde a e uma constante com a mesma dimensao de X.Dando sequencia, devemos procurar uma lagrangeana dual ao modelo de

Born-Infeld-Chern-Simons [55],

LBICS = -2

31%

1

2-2Fµ!Fµ! + ,

m

2Aµ(

µ!""!A" (4.8)

que espera-se que seja tambem nao linear. Vamos supor uma teoria generalizadade AD,

LADN = H(AµAµ)% ,m

2Aµ(

µ!""!A" (4.9)

inserindo um campo auxiliar ., linearizamos o modelo,

L ADN = f(.) + .AµAµ % ,m

2Aµ(

µ!""!A" (4.10)

Para encontrar H(AµAµ) devemos encontrar f(.). Para isso aplicamos nova-mente o metodo de imersao de calibre. O vetor de Euler tem a dependencia em.,

Kµ = .Aµ % ,m(µ!""!A# (4.11)

porem esse campo e inerte (passivo) no metodo pois em nenhum momento equestionada a sua natureza. Apos as duas iteracoes do metodo de imersao, umaversao invariante de calibre e encontrada,

Leff = LADN %1

2.KµKµ

= g(.) + ,m

2Aµ(

µ!""!A" %m2

.

1

4Fµ!Fµ! (4.12)

26

O proximo passo e eliminar o campo auxiliar, que sera uma funcao de F 2, demodo que ao substituir na lagrangeana efetiva, se torne BICS, i.e.,

g(.)%m2

.

1

4Fµ!Fµ! = %-2

31%

1

2-2Fµ!Fµ! (4.13)

Supondo uma solucao do tipo g(.) = a."1 + b., e impondo a condicao acima,temos os valores das constantes a = m2-2/2 e b = -2/2m2, com o valor docampo auxiliar,

. = m2

31%

1

2-2Fµ!Fµ! (4.14)

substituindo esta solucao em (4.12), encontramos (4.8).Por fim, substituımos a funcao g(.) em (4.10) com os valores de a e b ja

encontrados, para que assim a funcao H(AµAµ). Resolvemos a equacao demovimento para o campo auxiliar, temos a solucao exata,

. = m2 111 + m2

'2 AµAµ(4.15)

e como consequencia chega-se ao modelo AD generalizado,

LADN = -2

2

1 +m2

-2AµAµ % ,

m

2Aµ(

µ!""!A" (4.16)

que esta de acordo com a generalizacao (4.7). Fazendo a investigacao nasequacoes de movimento das duas teorias, vemos que sao equivalentes. Estaequivalencia foi feita recentemente em [55] usando o metido de imersao de cali-bre, tambem em [56, 57] usando outros metodos (imersao de hamiltoniana BFTe procedimento de Buscher).

4.2 O Modelo B ! F Nao Linear (3+1)

Primeiramente, trataremos a nao linearidade sobre um dos campo e depois oabordaremos o caso nao linear sobre os dois campos.

4.2.1 Nao Linearidade em um dos Campos

Seguindo o exemplo do exemplo anterior, tomamos uma funcao arbitraria sobreo termo AµAµ, de modo que assume a forma

LADNB!F= g(AµAµ)%

1

4Bµ!Bµ! %

,

2(µ!"#"µB!"A# (4.17)

As equacoes sobre o campo Aµ modificam-se por causa da nao linearidade

Aµ = %,

4g$(µ!"#"!B"# (4.18)

27

onde g$ e a derivada de g em relacao ao argumento. As equacoes do campotensorial nao se alteram por nao apresentar a nao linearidade. Tomando essesdois conjuntos de equacoes podemos encontrar as seguintes relacoes,

"µAµ = %,(µ!"#"µ

'1

4g$

("!B"# (4.19)

"µBµ! = 0 (4.20)

(! + 2g$)Aµ = "µ("!A!) (4.21)

(! + 2g$)Bµ! = %g$""

'1

2g$

(Hµ!" (4.22)

onde Hµ!" e definido em (3.2). Redefinimos o sistema de duais dos campo como

!Aµ = %4g$

2(µ!"#"!B"# (4.23)

!Bµ! = (µ!"#""A# (4.24)

usando as relacoes acima, sem dificuldade chegamos a

!(!Aµ) = Aµ (4.25)!(!Bµ!) = Bµ! (4.26)

Concluımos que os campos sao autoduais ou anti-auto-duais, dependendo dovalor de ,.

Para aplicar o metodo de imersao de calibre, temos que linearizar o termonao linear, atraves de um campo auxiliar,

g(A2) %"A2

!+ f(!) (4.27)

Reescrevendo a lagrangena ADN, com esse transformacao, temos

L# =AµAµ

!+ f(!)%

1

4Bµ!Bµ! %

,

2(µ!"#"µB!"A# (4.28)

Uma vez que a representacao linear e encontrada, usamos o metodo de imersaode calibre. Os tensores de Euler para os campo Aµ e Bµ! serao, respectivamente

K& =2A&

!%,

2(µ!"&"µB!" (4.29)

M!" = %1

2B!" +

,

2(µ!"#"µA# (4.30)

Em comparacao com os tensores do caso linear, apenas o campo que sofre anao linearidade tem o seu vetor de Euler alterado. Continuando, inserimosdois campos auxiliares, de mesmo modo que o caso linear, fazendo as mesmasimposicoes )aµ = )Aµ e )bµ! = )Bµ! e substituindo os tensores de Euler avariacao da nova lagrangeana e

)L# = )

'%

aµaµ

!+

1

4bµ!bµ!

((4.31)

28

Definimos uma nova lagrangeana

L (2) = L (1) +aµaµ

!%

1

4bµ!bµ! (4.32)

que e invariante sob variacao de calibre.Eliminamos entao os campos auxiliares

Leff = L# %1

4KµKµ + Mµ!Mµ! (4.33)

Finalmente, explicitando os valores dos tensores de Euler e de L#, chegamos alagrangeana equivalente

LTMB!F= f(!)%

1

4Fµ!Fµ! +

!

24Hµ!"H

µ!" %,

2(µ!"#"µB!"A# (4.34)

o mais interessante do resultado e que a nao linearidade e transportada docampo vetorial para o campo tensorial. Isso fica mais facil de verificar, quandoo campo auxiliar e eliminado deixando a teoria dual da seguinte forma

LTMB!F= %

1

4Fµ!Fµ! + H(Hµ!"H

µ!")%,

2(µ!"#"µB!"A# (4.35)

onde H e uma funcao nao linear.Obtemos uma teoria nao linear topologicamente massiva dual a AD nao

linear. E diretamente, atraves de inclusao de um campo auxiliar, fizemos o ma-peamento g(A2)" H(H2). Essas funcoes serao encontradas com detalhes paraalguns casos a seguir. Antes, e relevante enfatizarmos dois pontos. Primeiro, sea nao linearidade na lagrangeana inicial for sobre o campo tensorial ao inves docampo vetorial, a nao linearidade da teoria equivalente seria sobre o campo ve-torial, fazendo o mapemento h(B2)" G(F 2). Segundo, poderıamos fazer todoo procedimento inverso. Partindo de uma funcao G(F 2) ou H(H2), chegarıamosnuma funcao h(B2) ou g(A2), nessa ordem. Logo, ha um mapeamento completo

g(A2) $" H(H2) (4.36)

h(B2) $" G(F 2) (4.37)

Vamos fazer esse mapeamento na proxima secao, antes faremos alguns exemplos.

Exemplos

Nesta subsecao, aplicaremos a teoria desenvolvida acima para alguns casos: omodelo racional, o logarıtimo, o arccosseno e o BICS.

• O Modelo Racional

O modelo racional e relatado por modelos em gluondinamica nao pertur-bativa por Pagels e Tomboulis [59] que no setor abeliano, pode ser reduzidaa uma eletrodinamica fortemente nao linear. Isso tambem e interesse deestudo do modelo de Bardeen de buracos negros acoplados [60] com a

29

eletrodinamica nao linear, levando em conta uma metrica nao singular[61].

Um modelo que toma uma funcao racional generalizada pode ser tratadopor,

L =q

p-2

'1

-

2

AµAµ

( pq

%1

4Bµ!Bµ! %

,

2(µ!"#"µB!"A# (4.38)

p e q sao numeros inteiros mas p/q (= (1, 1/2). No caso p = q e retomadoo modelo autodual linear, equanto se q = 2p, ha problemas que nao seraodiscutidos aqui. Usando o metodo desenvolvido, escrevemos

f(!) = -2 q % p

p!

pq"p (4.39)

o termo nao linear da lagrangeana equivalente sera

2p% q

q(-2)

p"q2p"q

'%

Hµ!"Hµ!"

24

( p2p"q

(4.40)

Observamos que a forma racional e conservada. Para ilustrar ainda, fare-

mos o caso p = 3q. Temos g(A2) = 13-

2-

1'

2AµAµ

.3, f(!) = % 2

3-2!"

32 e

o termo nao linear e

5(-2)25

'%

Hµ!"Hµ!"

24

( 35

(4.41)

Notamos com esse exemplo, que apesar de preservar a forma racional, oexpoente e mudado. O unico caso em que o expoente e preservado e nomodelo usual.

Tambem podemos pegar a funcao g ) (1+A2/-2)pq como extensao, porem

! nao pode ser escrito em termos de funcoes elementares. Sera feito omodelo q = 2p, que e o BIBF.

• O Modelo Logaritmo

Um modelo interessante que tem as propriedades estudadas e o que anao linearidade logarıtmica. Uma teoria de calibre logarıtmica tem sidoestudada [62] como exemplo de teorias construıdas em [63] para discutirinflacao.

A lagrangeana nao linear logarıtmica e dada por

L = %-2 ln

'1

-

2

AµAµ

(%

1

4Bµ!Bµ! %

,

2(µ!"#"µB!"A# (4.42)

logo a acao efetiva em termos do campo auxiliar sera dada por

Leff = %1

4Fµ!Fµ! % -2 ln!+

!

24(4.43)

30

resolvendo o campo auxiliar !, encontramos

! =24-2

H2(4.44)

Substituindo na lagrangeana,

LTMNB#F = %1

4Fµ!Fµ! + -2 ln

'H2

24-2

(%,

2(µ!"#"µB!"A# (4.45)

desconsiderando um termo -2, por nao contribuir dinamicamente na la-grangeana.

Podemos fazer uma modificacao no logaritmando de modo que a lagrangeanaautodual fique

L = %-2 ln

'1 +

1

-

2

AµAµ

(%

1

4Bµ!Bµ! %

,

2(µ!"#"µB!"A# (4.46)

o principal motivo da modificacao e que em primeira aproximacao dologaritmo e retornado o caso padrao. Utilizando a tecnica de imersao decalibre, a lagrangeana equivalente sera dada entao por

LTMNB#F = %1

4Fµ!Fµ! + -2 ln

"

1 +

2

1 +H2

24-2

#

%,

2(µ!"#"µB!"A#

(4.47)

novamente expandindo o resultado, encontramos a lagrangeana equiva-lente do caso padrao. Apesar desta teoria nao apresentar relacao diretacom a teoria de branas, ela serve como um modelo de brinquedo1 ilus-trando que, com certeza, teorias de campos nao lineares podem produzirsolucoes tipo partıcula realizando a hipotese de limite de curvatura [62]tambem para campos de calibre.

• O Modelo Arccos

A lagrangeana autodual e

L = %-2 arccos

'1

-

2

AµAµ

(%

1

4Bµ!Bµ! %

,

2(µ!"#"µB!"A# (4.48)

a expansao de primeira ordem do termo nao linear da lagrangeana re-cai no caso padrao, o mesmo devemos verificar quando encontrarmos alagrangeana efeitiva.

Encontramos a funcao f(!)

f(!) = *-2

'1% !2

!+ arcsen(!)

((4.49)

1toy-model

31

substituindo na lagrangeana efetiva, encontramos dois valores reais parao campo auxiliar

! = ±212

"

1 +

2

1 +H2

144-2

#"12

(4.50)

substituindo os valores do campo auxiliar na lagrangeana efetiva,

LTMNB#F = %1

4Fµ!Fµ!±-2arcsen

"

1 +

2

1 +H2

144-2

#

%,

2(µ!"#"µB!"A#

(4.51)fazendo a expansao ate primeira ordem, vemos que o sinal correto e onegaivo, finalmente

LTMNB#F = %1

4Fµ!Fµ!%-2arcsen

"

1 +

2

1 +H2

144-2

#

%,

2(µ!"#"µB!"A#

(4.52)

• O Modelo BI-B!FTomemos como exemplo o modelo BI-B!F, cuja lagrangeana e dada por

L = -2

2

1 +m2

-2AµAµ %

1

4Bµ!Bµ! %

,

2(µ!"#"µB!"A# (4.53)

onde

g(AµAµ) = -2

2

1 +m2

-2AµAµ (4.54)

o metodo discutido anteriormente, temos que

AµAµ = -2

'1

4m2!2 %

1

m

2((4.55)

calculando entao f(!),

f(!) = -2

'1

4m2!+

1

m2!

((4.56)

logo podemos encontrar a lagrangeana efetiva,

LTMNB#F = %1

4Fµ!Fµ! % -2

45561 +

2

1 +H2

6-2m2%,

2(µ!"#"µB!"A#

(4.57)Vemos que a forma BI e preservada e a utilizacao inversa de (4.1), fazrecair no caso padrao, como era de se esperar. Isso, enfim, demonstra aequivalencia dual entre as teorias.

32

4.2.2 Nao Linearidade em Ambos Campos

Apos um estudo profundo na estrutura da transformacao de dualidade no casoonde a nao linearidade esta situada no setor A, no modelo ADNB#F . Vamosconsiderar o caso mais geral: a nao linearidade sobre os dois campos, fazendo

LADNB!F= F(AµAµ, Bµ!Bµ!)%

,

2(µ!"#"µB!"A# (4.58)

Faremos duas particularizacoes desta forma geral.

• Nao Linearidade sob a Combinacao Linear dos Campo

Tomemos a nao linearidade sob uma combinacao linear dos campos

LADNB!F= g(+AµAµ + -Bµ!Bµ!)%

,

2(µ!"#"µB!"A# (4.59)

com + e -, com unidades de inverso de massa, respectivamente iguais a 2e 4. Definimos S = +AµAµ + -Bµ!Bµ! . As equacoes de movimento saodadas por

Aµ = %,

4+g$(µ!"#"!B"# (4.60)

Bµ! = %,

4-g$(µ!"#""A# (4.61)

onde g$ e a derivada da funcao g em relacao a S. Deste conjunto deequacoes, encontramos as seguintes relacoes,

"µAµ = %,(µ!"#"µ

'1

4+g$

("!B"#

"µBµ! = %,(µ!"#"µ

'1

4-g$

(""A#

(!% 8-+g$)Aµ = g$"!

'1

g$

(Fµ! + "µ("!A!)

(!% 8-+g$)Bµ! = %g$""

'1

2g$

(Hµ!" % """

µB!" % """!Bµ"(4.62)

se definimos a relacao de dualidade,

!Aµ = %1

4+g$(µ!"#"!B"# (4.63)

!Bµ! = %1

4-g$(µ!"#""A# (4.64)

sao encontradas as relacao de autodualidade.

Agora vamos linearizar a teoria,

g(S) %"S

!+ f(!) (4.65)

33

como existe apenas uma nao linearidade, foi inserido apenas um campoauxiliar. Podemos entao reescrever a lagrangeana autodual em termos docampo auxiliar

LADNB!F=

S

!+ f(!)%

,

2(µ!"#"µB!"A# (4.66)

os tensores de Euler sao encontrados

K& =2+A&

!%,

2(µ!"&"µB!" (4.67)

M!" =2-A&

!+,

2(µ!"#"µA# (4.68)

apos usar o metodo de imersao de calibre, podemos escrever a lagrangeanaefetiva na seguinte forma,

L = f(!)+!

'1

24+Hµ!"H

µ!" +1

16-Fµ!Fµ!

(%,

2(µ!"#"µB!"A# (4.69)

quando se resolve o campo auxiliar, e recuperada a forma nao linear,

L = F'

1

24+Hµ!"H

µ!" +1

16-Fµ!Fµ!

(%,

2(µ!"#"µB!"A# (4.70)

Notamos que a nao linearidade agora se apresenta sobre a combinacaolinear de F 2 com H2.

Para exemplificar, tomaremos mais uma generalizacao de modelo Born-Infeld com o termo B ! F . Utilizando a extensao (4.1), escrevemos alagrangeana abaixo,

LADNB!F= -2

2

1 +m2

-2AµAµ %

1

2-2Bµ!Bµ!%

,

2(µ!"#"µB!"A# (4.71)

utilizando o metodo desenvolvido, encontramos

f(!) =-2

4!+

1

!(4.72)

Apos eliminarmos o campo auxiliar da lagrangeana efetiva, encontramosa forma na linear,

L = -2

31 +

1

6m2-2Hµ!"Hµ!" %

1

2-2Fµ!Fµ!%

,

2(µ!"#"µB!"A# (4.73)

• Nao Linearidade Distintas sob os Campos

Tomamos agora duas funcoes que nao criem interferencia entre os campos,de modo que

LADNB!F= g(AµAµ) + h(Bµ!Bµ!)%

,

2(µ!"#"µB!"A# (4.74)

34

Encontramos as equacoes de movimento para os dois campos,

Aµ = %,

4g$(µ!"#"!B"# (4.75)

Bµ! = %,

4h$(µ!"#""A# (4.76)

O sinal linha representa, as derivadas de g e h, respectivamente a AµAµ

e a Bµ!Bµ! . E importante perceber que se as funcoes nao assumirem asformas lineares, os campos nao terao apenas componentes transversais.Destes conjuntos de equacoes, sao encontradas as seguintes relacoes,

"µAµ = %,(µ!"#"µ

'1

4g$

("!B"#

"µBµ! = %,(µ!"#"µ

'1

4h$

(""A#

(!% 8g$h$)Aµ = h$"!

'1

h$

(Fµ! + "µ("!A!)

(!% 8-g$h$)Bµ! = %g$""

'1

2g$

(Hµ!" % """

µB!" % """!Bµ"

Atraves do metodo de linearizacao

g(A2) %"A2

!+ f(!) (4.77)

h(B2) %"B2

*+ l(*) (4.78)

a teoria dual e

LTMB!F= f(!) + l(*) +

*

16Fµ!Fµ! +

!

24Hµ!"H

µ!" +,

2(µ!"#"µB!"A#

novamente houve, como consequencia de metodo, uma dupla troca danao linearidade sob os campos. Resolvendo os dois campos auxiliares, erestaurada a nao linearidade inerente ao modelo,

LTMB!F= G(Fµ!Fµ!) + H(Hµ!"H

µ!") +,

2(µ!"#"µB!"A# (4.79)

onde G e H sao funcoes nao lineares.

Assim obtemos uma teoria topologicamente massiva nao linear nos doiscampos dual a uma teoria AD nao linear tambem nos dois campos. Atravesda inclusao de dois campos auxiliares, fizemos os mapeamentos g(A2) %"H(H2) e h(B2) %" G(F 2). Aqui poderıamos fazer todo procedimentoinverso linearizando H(H2) e G(F 2) dados em um problema especıfico.

35

4.3 O Acoplamento Mınimo com a Materia Fermionica

Para analisar o comportamento dos campos no modelo nao linear, quando amateria fermionica e incluıda. Introduzimos, o modelo com o acoplamento du-plo,

LADNB!F= g(AµAµ)+h(Bµ!Bµ!)%

,

2(µ!"#"µB!"A#+LD%eAµJµ%eBµ!Jµ!

onde as correntes fermionicas ja foram definidas no capıtulo anterior. A teoriadual sera

LTMB!F= G

'1

4Fµ!Fµ! %

1

4(!"µ#"µA#Jµ" %

1

4e2Jµ"J µ"

(+ LD

+H'

Hµ!"Hµ!" %

1

4(µ!"#"µB!"J# %

1

4e2JµJµ

(+,

2(µ!"#"µB!"A#

O iteressante e que o caso nao linear, do mesmo modo que no linear, para con-servar o mapeamento dual e manter intactos os setores fermionicos, transformaatraves do processo de dualizacao uma acoplamento mınimo em um acoplamentotipo magnetico nao mınimo que acopla a materia aos tensores espectadores noprocesso de dualizacao presente no modelo original.

Neste capıtulo, vimos a utilizacao do formalismo de imersao de Noether parateorias nao lineares. Utilizando o metodo de linearizacao dos termos nao linearesem A2 e/ou B2 por auxılio de campos auxiliares, que podem ser eliminados pararestaurar a nao linearidade dos modelos autodual e TM nao lineares.

36

Chapter 5

Teorias de OrdensDerivativas Superiores

Pensamentos entranhados em Pensamentos

Oceanos perdidos em Mares revoltos

Ninguem e assim t~ao linear

Almas penadas escondidas dentro de Outras

Como se procurassem a Cerne de Bonecas russas

O interesse pelo estudo das teorias de ordens superiores a tradicional segunda or-dem derivativa vem recentemente tomando importancia por varias motivacoes,em particular por assuntos relacionados a teoria de Cordas. Como se conhece,teorias de cordas tem a caracteıstica de ter interacoes que devem involver umnumero infinito de derivadas no espaco-tempo, e que deve ser levada a Teoriade Campos no limite de baixas energias. Baseado nessas possibilidades interes-santes, ha um interesse renovado em investigar modelos com ordens derivativassuperiores, incluindo o caso dos taquions [64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71]. Out-ras linhas de investigacoes podem ser encontradas por exemplo em [72, 73], etambem em gravitacao, onde ordens superiores na curvatura R sao consideradasnas tambens chamadas teorias de gravitacao nao linear [74, 75].

A presenca de derivadas de ordens derivativas superiores para controlaro comportamento de sistemas nao e peculiar de teorias de campos e cordas.Tambem aparece em materia condensada e pode ser importante para descr-ever transicoes de fase de ordens superiores [76], como por exemplo o caso detransicoes de quarta ordem em supercondutores Ba0.6K0.4BiO3 que e descritoem [77]. Alem disso, as vezes sao incluıdos termos de ordens derivativas superi-ores do parametro de ordem para melhor descrever a formacao da configuracaoem reacoes quımicas, e em outros ramos das ciencias nao lineares [78].

37

5.1 Dualidade no Modelo Proca-Chern-Simons

Ja foi visto nessa dissertacao a equivalencia entre as Teorias AD e MCS. A teoriaAD e uma teoria de primeira ordem, enquanto a MCS e de segunda ordem.

Para estender essa interpretacao, e tomada a lagrangeana dependente decalibre, Proca-Chern-Simons, em 2 + 1

L =m2

2AµAµ %

a

4Fµ!Fµ! %

m

2Aµ(

µ!""!A" (5.1)

onde m e um parametro de massa. O parametro a e colocado no termo deMaxwell para controlar a sua perticipacao na lagrangeana. Se ele for nulo, omodelo AD e retornado. Esta teoria e de segunda ordem e nos sugere pensarque a teora dual invariante de calibre a esta, seja de quarta ordem, algo queenvolva o termo de Podolsky [79]. A equacao de movimento e dada por

(m2)µ! + a!)µ

! % "!"µ)A! = m(µ!""!A" (5.2)

o termo de Chern-Simons contribui com uma corrente topologica. A condicaoLorentz e satisfeita ("µAµ = 0). A equacao acima e reescrita como,

(m2 + !)Aµ = m(µ!""!A" (5.3)

Aplica-se o metodo de imersao, para encontrar uma invariancia de calibre, teoriadual a esta. O vetor de Euler e encontrado acrescentando um termo de segundaordem ao da teoria AD,

Kµ = m2Aµ %m(µ!""!A" + a"#F#µ (5.4)

Do mesmo modo, e acrescentado um campo auxiliar. Sabendo que )Fµ! = 0, oresto e feito do mesmo modo que o modelo AD. A lagrangeana efetiva e

Leff =a% 1

4Fµ!Fµ! +

m

2Aµ(

µ!""!A"%a2

2m2"#F#µ""F"µ +

a

m(µ!""!A""

'F'µ

(5.5)A lagrangeana acima e a teoria de Maxwell-Podolsky com dois termos adicionaisde Chern-Simons, o primeiro usual e o segundo um termo CS estendido (ordemderivativa tres) [79, 80, 81]. Por outro lado, se a = 0, a contribuicao de Podol-sky desaparece retornando ao modelo MCS. Se a = 1, o termo de Maxwell,originando o modelo Podolsky-Chern-Simons.

5.2 Generalizacao para Ordens Derivativas Su-periores

Vamos estender o formalismo para modelos genericos que envolvem derivadasde ordens superiores. Por simplicidade, nos reescalamos os campos e as coor-denadas fazendo A " m

14 A e x " m"1x para trabalhar com quantidades sem

38

dimensao. Reecrevemos A e x de novo como A e x, de definimos o campo geral

A(n)µ atraves de uma equacao recursiva

A(n)µ ' (µ!""!A(n"1)

" (5.6)

Aqui usamos A(0) = Aµ para representar o campo basico. O subescrito n queindentifica o campo tambem mostra o numero de derivadas implıcitas que este

tem sobre o campo basico. Notamos que na relacao acima, o campo A(n)µ e

relacionado com o campo A(n"1)µ por uma derivada, que mantem o mecanismo

de campo dual em que o dual do campo e relacionado com ele atraves de umaderivada.

Para este campo, definimos o tensor intensidade eletromagnetica general-izado,

F (n)µ! ' "µA(n)

! % "!A(n)µ (5.7)

Com isto, o termo de Maxwell e proporcional a A(1)µ A(1)µ e pode ser generalizado

para A(n)µ A(n)µ.

Definimos o tensor antissimetrico G(n)µ! tal que G(0)

µ! = Fµ!

G(n)µ! = "[µ"

#G(n"1)#!] % "[!"

#G(n"1)#µ] (5.8)

que e importante para relacionar A(n)µ com A(0)

µ . Notamos que G(n)µ! contem

2n + 1 derivadas implıcitas em Aµ. O campo geral para i positivo e

A(n)µ =

789

8:

(%1)n2 "! G(n/2"1)

!µ para n par

12 (%1)

n"12 # !#

µ G(n/2"1/2)!# para n ımpar

(5.9)

Para incluir termos Chern-Simons na generalizacao proposta, primeiro notamos

que o termo CS pode ser escrito como (µ!"Aµ"!A" = A(0µ A(1)µ. Entao introduz-

imos a forma geral, A(i)µ A(j)µ, onde i e j sao inteiros negativos. Notamos que

se i = j, obtemos o termo de Maxwell generalizado. Entao, podemos modificaro modelo de Maxwell generalizado apropriadamente, para incluir contribuicoesCS estendidas. Alem disso, podemos provar a seguinte indentidade

A(i)µ A(j)µ = A(i"1)

µ A(j+1)µ + #µ!#"µ

-A(i"1)

! A(j)#

.(5.10)

O ultimo termo e uma derivada total, que pode ser descartada se o estudo dadualidade for feito na acao.

Vemos que para i + j, podemos escrever, a menos de uma derivada total

A(i)µ A(j)µ = A

( i+j2 )

µ A( i+j

2 )µ (5.11)

Desse resultado, na acao nao podemos separar os termos de Maxwell dos termos

de CS. For exemplo A(0µ A(1)µ e A(0

µ A(2)µ reproduzem o termo de Chern-Simons

39

e Maxwell usuais respectivamente. Usamos os resultados acima para introduziro modelo

L (n) =n;

i=0

riA(0)µ A(i)µ (5.12)

onde n e um numero inteiro e ri sao parametros reais e adimensionais, comr0 (= 0. A equacao de movimento e

n;

i=0

riA(i)µ = 0 (5.13)

Esta equacao permite escrever "µA(0)µ = 0, que mostra que so o modo transversal

se propaga na teoria. Tambem, podemos usar esta condicao para escrever (5.9)numa forma simplificada

A(n)µ =

789

8:

(%1)n2 !

n2 A(0)

µ para n par

(%1)n"1

2 !n"1

2 #µ!#"!A(0)# para n ımpar

(5.14)

Com o objetivo de construir um modelo de calibre abeliano, consideramos a

variacao )Aµ = )A(0)µ = "µ!; como antes, ! e um parametro infinitesimal local.

Usamos isto e a definicao de A(n)µ para obter

)A(i)µ = 0, i (= 0 (5.15)

Variamos a lagrangeana em (5.12) para obter

L (n) =n;

i=0

KµdeltaAµ (5.16)

onde a corrente de Noether local e definida como

Kµ ' 2n;

i=0

riA(i)µ (5.17)

Introduzimos um campo vetorial auxiliar aµ, e acoplamos ao vetor de Euler

L (n)1 = L (n) % aµKµ (5.18)

Escolhemos )aµ = "µ! = )Aµ, entao

)L (n)1 = %aµ)K

µ (5.19)

Nos consideramosL (n)

2 = L (n)1 + r0a

µaµ (5.20)

40

O procedimento termina com a eliminacao do campo auxiliar aµ. Encontramos

L (n)D = L (n) %

1

4r0KµKµ (5.21)

que e a lagrangeana do modelo dual. Usamos o vetor de Euler para obter

L (n)D =

n;

i=0

riA(0)µ A(i)µ %

1

r0

n;

i=0

n;

j=0

rirjA(i)µ A(j)µ. (5.22)

ou melhor

L (n)D = %

1

r0

n;

i=1

n;

j=0

rirjA(i)µ A(j)µ. (5.23)

que da o modelo dual. Notamos que essa acao e invariante de calibre. Esteresultado mostra que o modelo (5.9) tem uma invariancia escondida de calibre,de um modo similar ao modelo AD. Nos podemos reescrever este resultado naforma

LD =2n;

i=1

r$iA(0)µ A(i)µ (5.24)

onde usamos

r$i =

78888889

888888:

%1

r0

i;

l=1

rl ri"l para 1 " i " n

%1

r0

n;

l=i"n

rl ri"l para n < i " 2n

(5.25)

Antes de terminar a secao, comentaremos o assunto da investigacao da du-alidade acima. A equacao de movimento que segue do modelo dual (5.24) e

2n;

i=1

r$iA(i)µ = 0 (5.26)

Em (5.9), eliminamos A(0)µ e verificamos que essas equacoes coincidem com as

acima, logo confirmando a equivalencia entre as duas teorias.Um outro aspecto concerne em encontrar uma lagrangeana mestra. Para en-

contra-la, introduzimos um outro campo B(i)µ , de modo que B(0)

µ = Bµ. Usamos

B(i)µ e A(i)

µ para escrever

L (n)M = r0B

(0)µ B(0)µ + 2

n;

i=1

riB(0)µ A(i)µ %

n;

i=1

riA(0)µ A(i)µ (5.27)

Variamos a acao correspondente com respeito a B(0) para obter

B(0) = %1

r0

n;

i=1

riA(i)µ (5.28)

41

Usamos isto em (5.27) para obter

L (n)D = %

1

r0

n;

i=1

n;

j=0

rirjA(i)µ A(j)µ. (5.29)

que e (5.9). Se variamos a acao mestra com respeito a A(0)µ , temos

n;

i=1

riB(i)µ =

n;

i=1

riA(i)µ (5.30)

Este resultado permite escrever

L = r0B(0)µ B(0)µ +

n;

i=1

riB(0)µ B(i)µ =

n;

i=0

riB(0)µ B(i)µ (5.31)

que reproduz Eq.(5.12), confirmando que (5.27) e a teoria mestra ou primitiva.O modelo que introduzimos e definido por (5.12); e controlado pelo numero

inteiro n que nos escolhemos sendo n = 1, 2, 3.... O mais simples caso e n = 1,que reproduz o modelo AD. O caso seguinte e n = 2, que da o modelo MCS-Proca investigado na secao anterior. O caso n = 3 da

L (3) = r0A(0)µ A(0)µ + r1A

(0)µ A(1)µ + r2A

(0)µ A(2)µ + r3A

(0)µ A(3)µ

= r0AµAµ + r1#µ!#Aµ"!A# +

1

2r2Fµ!Fµ! + r3#

µ!#Aµ"!""F#"

e os outros casos seguem do mesmo modo. Para n = 3, o modelo dual e

L (3)D = %

1

r0

3;

i=1

3;

j=0

rirjA(i)µ A(j)µ (5.32)

ou

L (3)D = %

r1

2#µ!#AµF!# %

1

2

'r2 +

r21

r0

(Fµ!Fµ! +

1

2

'r3 + 2

r1r2

r0

(#µ!#Fµ!"

"F"# %

1

r0(r2

2 + 2r1r3)"µFµ!"#F#! % 2r2r3

r0#µ!#""F"µ"!"

%F%# % 2r23

r0"µ"!F!#"µ""F

"#

Neste, exemplo podemos escolher os parametros r0 (= 0, r1, r2, r3 para encontrara teoria dual para todo e qualquer modelo, ate a ordem n = 3. Por exemplo,se usamos r0 = 1/2, r1 = %1/2, r2 = %a/2, e r3 = 0, e se re-introduzimos asunidades dimensionais, obtemos de (5.32) and (5.33) as expressoes that foraminvestigadas na secao anterior.

Notamos que a presenca de termos CS e tipo CS impoe a restricao queo espaco de Minkowsky deve ser (2,1) dimensoes espaco-temporais. Logo, seescolhemos ri = 0 para i ımpar, eliminamos todos os termos de CS e tipo CS enosso resultado e valido para qualquer dimensao do espaco-tempo.

42

5.3 O Caso n"#A forma de L (n) em (5.9) sugere outras generalizacoes, em particular parao caso onde n " #. A generalizacao pode ser escrita atraves de uma funcaobem comportada, dependente dos valores especıficos dos parametros reais ri queintroduzimos para definir o modelo. Exploramos essa possibilidade introduzindoo modelo

L = Aµ[F (O)]µ!A! (5.33)

onde F e uma funcao bem comportada, e O e o operador

Oµ! ' %#µ!#"#. (5.34)

O modelo e definido em termos da expansao da funcao, na forma

L = Aµ

%;

n=0

Cn[On]µ!A! (5.35)

onde Cn sao dados por

Cn =1

n!

dnF (x)

dxn

<<<x=0

(5.36)

e [O0]µ! = )µ! , [O1]µ! = %#µ

!#"# e [O2]µ! = [O1]µ#[O1]#! , e assim por diante.

Requeremos que F (0) (= 0, que implica que C0 (= 0. Isto significa que o modeloacima se inicia com um termo de Proca AµAµ, para previnir a presenca deinvariancia de calibre. Entao, usamos o procedimento de imersao de calibrepara obter o modelo dual, que tera a seguinte forma

LD = Aµ

%;

n=0

Cn [On]µ! A! %1

C0Aµ

%;

n=0

%;

m=0

CnCm

%On+m

&µ!A! (5.37)

ou, formalmente,

LD = Aµ

=F (O)%

1

F (0)[F (O)]2

>µ

!

A! (5.38)

Nos ilustramos este resultado geral com um exemplo

L = Aµ

'1

1 + O

(µ

!

A! (5.39)

Neste caso a teoria dual e

LD = Aµ

'O

(1 + O)2

(µ

!

A! (5.40)

43

5.4 Adicionando Fermions

Adicionamos fermions com a modificacao

?L (n) = L (n) + LI + Lf (5.41)

ondeLf = &(i/" %M)& (5.42)

descreve fermions livre, com M sendo uma parametro de massa adimensional.

Para identificar como o campo fermionico interage com os campos A(n)µ , intro-

duzimos o acoplamento nao mınimo

"µ " Dµ = "µ + in;

i=0

eiA(i)µ (5.43)

odne ei sao constantes de acoplamento (adimensionais) – notamos que a condicaoei = 0, i (= 0 leva ao acoplamento mınimo com a materia fermionica. Com oacoplamento generico acima, os termos de interacoes em LI sao dados por

LI = %n;

i=0

eiA(0)µJ (i)

µ (5.44)

onde definimos a corrente geral

J (i)µ ' #µ!#"

!J (i"1)# (5.45)

comJ (0)

µ ' jµ = &'µ& (5.46)

Para escrever as expressoes acima, usamos a identidade

A(i)µ J (j)µ = A(i"1)

µ J (j+1)µ + #µ!#"µ

%A(i"1)

! J (j)#

&(5.47)

Agora, procuramos pela teoria dual. O procedimento segue como no caso formal.O vetor de Euler e modificado pela presenca de interacoes

@Kµ = Kµ %n;

i=0

eiJ(i)µ (5.48)

Introduzimos um campo auxiliar aµ e impomos que )aµ = )Aµ = "µ!. A la-

grangeana varia de modo que )L (1) = %aµKµ, desde que )J (n)µ = 0, que pode

ser verificado diretamente. Como no caso formal, o procedimento o procedi-mento requer outra iteracao. O resultado final e

?L (n)D = ?L (n) %

1

4r0

@Kµ @Kµ (5.49)

44

ou, explicitamente,

?L (n)D = %

2n;

i=1

-r$iA

(0)µ A(i)µ % s$iA

(0)µ J (i)µ

.%

1

4

2n;

i=0

e$iJ(0)µ J (i)µ + Lf (5.50)

onde foi feito

s$i =

78888889

888888:

%1

r0

i;

l=1

rl ei"l para 1 " i " n

%1

r0

n;

l=i"n

rl ei"l para n < i " 2n

(5.51)

e

e$i =

78888889

888888:

1

r0

i;

l=0

el ei"l para 0 " i " n

1

r0

n;

l=i"n

el ei"l para n < i " 2n

(5.52)

Neste resultado, notamos que a presenca das interacoes tipo Thirring [82],que sao fundamentais para manter a parte dos setores femionico [20] inalterada.Para ver isso examinamos a dinamica dos setores femionicos em ambas teorias.A equacao fermionica de movimento para a teoria e

(i/" %M)& =n;

i=0

eiA(i)µ 'µ& (5.53)

Para eliminar o campo de gauge, notamos que

n;

i=0

ri A(i)µ =

1

2

n;

i=0

ei J (i)µ (5.54)

Restringimos as constantes de acoplamento para obedecer ei = +ri

(i/" %M)& =1

2+

n;

i=0

ei J (i)µ 'µ& (5.55)

Do mesmo modo, a equacao fermionica para a teoria dual e

(i/" %M)& =2n;

i=1

s$iA(i)µ 'µ& +

1

2

2n;

i=1

e$iJ(i)µ 'µ& (5.56)

Encontramos a equacao de movimento para o campo de calibre no modelo dual

2n;

i=1

r$iA(i)µ =

1

2+

2n;

i=1

s$iJ(i)µ (5.57)

45

A restricao ei = +ri implica que s$i = +r$i, e tambem podemos escrever

(i/" %M)& =1

2+

n;

i=0

ei J (i)µ 'µ& (5.58)

que e (5.55). Este resultado mostra que os setores fermionicos nao se alteramquando fazemos a transformacao de dualidade.

Tambem podemos adicionar fermions no caso n " #. Para ilustrar essapossibilidade consideramos o modelo

?L = Aµ[F (O)]µ!A! %Aµ[G(O)]µ!J! + Lf (5.59)

onde G e uma funcao bem comportada similar a F . Usamos o procedimentode imersao de calibre para obter a teoria dual

?LD = Aµ

=F (O)%

1

F (0)F 2(O)

>µ

!

A! %Aµ

=G(O)%

1

F (0)F (O)G(O)

>µ

!

J!

%1

4Jµ

=1

F (0)G2(O)

>µ

!

J! + Lf

Notamos que a presenca do termo tipo Thirring generalizado na teoria dual.

5.5 Interacoes Nao Lineares

Vamos investigar a dualidade na presenca de interacoes nao lineares. Ha variaspossibilidades para a inclusao da nao linearidade no modelo introduzido nassecoes anteriores, mas aqui conseideraremos o caso

L (n)NL = g(A(0)

µ A(0)µ) +n;

i=1

riA(0)µ A(i)µ (5.60)

onde g(x) e nao linear em x = A(0)µ A(0)µ. Este caso nao inclue interacoes nao

lineares que envolvem derivadas no campo basico Aµ = A(0)µ . A equacao de

movimento e

A(0)µ = %

1

g$(x)

n;

i=1

riA(i)µ (5.61)

onde g$(x) = dg/dx. Esta equacao permite escrever

"µA(0)µ = %

n;

i=1

riA(i)µ "µ

'1

g$(x)

((5.62)

que mostra que ha modo de propagacao longitudinal, com a presenca da naolinearidade. Notamos que no caso linear [g(x) = x] temos g$ = 1, que leva a naopropagacao dos modo longitudinal.

46

Tratamos a presenca da naolinearidade usando o metodo usado no capıtuloanterior. O ponto chave aqui e remover a nonlinearidade com a inclusao de umacampo auxiliar %. Implementamos esta possibilidade com a mudanca

g(A(0)µ A(0)µ)" f(%) +

1

%A(0)

µ A(0)µ (5.63)

Seguindo, o metodo, mostramos

f(%) =

A $

d,1

,2g$"1

'1

,

((5.64)

O modelo e modificado para

L (n)$ = f(%) +

1

%A(0)

µ A(0)µ +n;

i=1

riA(0)µ A(i)µ (5.65)

Neste caso o vetor de Euler e dado por

Kµ =2

%A(0)

µ + 2n;

i=1

riA(i)µ (5.66)

O metodo de imersao de calibre permite escrever

L (n)D = L (n)

$ %1

4%KµKµ (5.67)

e entao

L (n)D = f(%)%

n;

i=1

riA(0)µ A(i)µ % %

2n;

i=2

riA(0)µ A(i)µ (5.68)

onde ri e dado por

ri =

78888889

888888:

i"1;

l=1

rl ri"l para 2 " i " n

n;

l=i"n

rl ri"l para n < i " 2n

(5.69)

Notamos que em (5.68) o comportamento nao linear envolve todos os termos,deixando a parte o termo de Chern-Simons. Este fato e clarificado quandoeliminamos o campo auxiliar % do modelo, que e formalmente dado por

% = f $"1

"2n;

i=2

riA(0)µ A(i)µ

#

(5.70)

Ilustramos a investigaticao acima com o modelo

L (n)BI = -2

31 +

2r0

-2A(0)

µ A(0)µ +n;

i=1

riA(0)µ A(i)µ (5.71)

47

onde a contribuicao nao linear e do tipo Born-Infeld. Notamos que o limite- " # restaura o modelo original. Neste caso, a funcao f(%) dada por (5.64)tem a forma

f(%) =1

2-2

'r0%+

1

r0%

((5.72)

Usamos (5.70) para obter

% =1

r0

B45561%2

r0-2

2n;

i=2

riA(0)µ A(i)µ (5.73)

A teoria dual e

L (n)BID = -2

45561%2

r0-2

2n;

i=2

riA(0)µ A(i)µ %

n;

i=1

riA(0)µ A(i)µ (5.74)

Vemos que no limite - "# o resultado acima leva ao modelo usual, como erade se esperar. Tambem notamos que no caso n = 1 o modelo (5.71) reproduz omodelo de Born-Infeld-Chern-Simons.

Neste capıtulo, investigamos a simetria dual com modelos com ordens deriva-tivas superiores. Generalizamos o modelo autodual para incluir varios termoscom ordens derivativas superiores e tambem obtemos a teoria dual. Tambempropomos um modelo mestre, que e a mestra da teoria proposta e seu parceirodual. Estes resultados sao obtidos para L (n), para n finito como tambem parao caso n"# que leva ao caso envolvendo funcoes nao polinomiais.

Tambem, adicionamos fermions ao sistema, e analisamos o modelo dual paran finito e n " #. Investigamos o caso mais geral, onde contribuicoes nao

lineares que involvem o campo basico A(0)µ estao presentes. Como foi mostrado

neste caso, primeiro eliminamos a nao linearidade, inserimos um campo auxiliare entao encontramos o modelo dual. Depois restauramos a nao linearidadeeliminando o campo auxiliar.

48

Chapter 6

Conclusao

Estudamos a equivalencia dual em modelos topologicos quadrimensionais entreo modelo autudual B ! F (ADB#F ) e modelo topologicamente massivo B ! F(TMB#F ) usando o procedimento iterativo de imersao de calibre que produzo mapeamento dual. Definimos um novo tipo derivativo de mapeamento dual,muito semelhante ao adotado no caso tridimensional e daıfoi provado a pro-priedade de auto e antiautodualidade do modelo ADB#F de acordo com o sinalrelativo do termo topologico. Trabalhando primeiramente no caso livre, ondeos campos Aµ e Bµ! participam ativamente na transformacao de dualidade, ob-servamos, como esperado, a inversao tradicional na constante de acoplamento.O acoplamento da materia fermionica dinamica, que age como um campo es-pectador na transformacao dual. O aparecimento do termo de auto-interacaotipo Thirring na teoria dualizada, que ja havia sido observada no caso (2+1).Tambem verificamos a mudanca do acoplamento mınimo para o nao mınimo.Contudo, nesse caso observamos uma troca dos acoplamentos de um tensor parao outro. Este e um resultado novo devido a presenca de tensores de ranquesdistintos participando ativamente na transformacao dual. Provamos que a pre-senca destes termos e suficiente para manter a dinamica equivalente dos setoresfermionicos em qualquer representacao da dualiade.

Vimos a utilizacao do formalismo de imersao de Moether para teorias naolineares. Utilizando o metodo de linearizacao dos termos nao lineares em A2

e/ou B2 por auxılio de campos auxiliares, que podem facilmente ser eliminadospara restaurar a nao linearidade dos modelos autodual e TM nao lineares.

Investigamos a simetria dual com modelos de ordens derivativas superiores.Generalizamos o modelo autodual para incluir varios termos com ordens deriva-tivas superiores e tambem obtemos a teoria dual. Propomos um modelo mestre,que e a primitiva da teoria proposta e o seu parceiro dual. Tambem adicionamosfermions para ao sistema, e fizemos o mapeamento dual para n finito e n"#.Investigamos o caso mais geral, onde contribuicoes nao lineares que involvem

o campo basico A(0)µ estao presentes. Como foi mostrado neste caso, primeiro

eliminamos a nao linearidade, inserimos um campo auxiliar e entao encontramoso modelo dual. Restauramos a nao linearidade eliminando o campo auxiliar.

49

Chapter 7

Trabalhos Publicados

Durante o curso do mestrado, dois trabalhos foram publicados:

• R. Menezes, J. R. S. Nascimento, R. F. Ribeiro and C. Wotzasek, “Onthe dual equivalence of the self-dual and topologically massive B wedge Fmodels coupled to dynamical fermionic matter,” Phys. Lett. B 537, 321(2002) [arXiv:hep-th/0204251].

• R. Menezes, J. R. S. Nascimento, R. F. Ribeiro and C. Wotzasek, “Du-ality in nonlinear B wedge F models: Equivalence between self-dual andtopologically massive Born-Infeld B wedge F models,” Phys. Lett. B 550,201 (2002) [arXiv:hep-th/0211036].

Um artigo esta submetido sujeito a publicacao:

• D. Bazeia, R. Menezes, J. R. Nascimento, R. F. Ribeiro and C. Wotzasek,“Dual equivalence in models with higher order derivatives,” [arXiv:hep-th/0210311].

50

Appendix A

Relacoes Importantes

A metrica de Minkowsky e dada por gµ! = (+1,%1, . . . ,%1). Definimos a regrade antisimetrizacao como

A[µB!] ' AµB! %A!Bµ (A.1)

A[µB!C"] ' AµB[!C"] %A!B[µC"] + A"B[µC!] (A.2)

= AµB!C" %AµB"C! %A!BµC"

+A!B"Cµ %A"B!Cµ + A"BµC! (A.3)

Se o tensor de Levi-Civita for somado com um tensor simetrico em pelo menosdois dos ındices, o resultado e nulo, i. e.,

(µ!Aµ! = 0 (A.4)

(µ!"Aµ!" = 0 (A.5)

(µ!"#Aµ!"# = 0 (A.6)

(µ1µ2...µN Aµ1µ2...µN= 0 (A.7)

O tensor de Levi-Civita obedece as seguintes relacoes,

• 1+1

(µ!(µ! = (%1)2+12! = %2! (A.8)

(µ!(µ" = (%1)2+11! )µ" = %)µ

" (A.9)

(µ!((" = (%1)2+10! )µ[()

!"] = %)µ

[()!"] (A.10)

• 2+1

(µ!"(µ!" = (%1)3+13! = 3! (A.11)

(µ!$(µ!" = (%1)3+12! )$" = 2)$

" (A.12)

(µ!$(µ(" = (%1)3+11! )![()

$"] = )!

[()$"] (A.13)

(µ!$(&(" = (%1)3+10! )µ[&)

!()

$"] = )µ

[&)!()

$"] (A.14)

51

• 3+1

(µ!"#(µ!"# = (%1)4+14! = %4! (A.15)

(µ!"#(µ!"& = (%1)4+13! )#& = %3! )#

& (A.16)

(µ!"#(µ!(& = (%1)4+12! )"[()

#&] = %2! )"

[()#&] (A.17)

(µ!"#(µ%(& = (%1)4+11! )![%)

"()

#&] = %)!

[%)"()

#&] (A.18)

(µ!"#('%(& = (%1)4+10! )µ[')

!%)

"()

#&] = %)µ

[')!%)

"()

#&] (A.19)

• N dimensoes

(%1...%pµp+1...µN ('1...'pµp+1...µN= (%1)N (N % p)!)'1

[%1)'2%2

. . . )%p

'p] (A.20)

Algumas propriedades resultam da regra de comutacao

• 1+1

(µ!AµB! =1

2!(µ!A[µB!] (A.21)

• 2+1

(µ!"AµB!C" =1

3!(µ!"A[µB!C"] (A.22)

• 3+1

(µ!"#AµB!C"D# =1

4!(µ!"#A[µB!C"D#] (A.23)

• N dimensoes

(µ1µ2...µN A1µ1

A2µ2

. . . ANµN

=1

N !(µ1µ2...µN A1

[µ1A2

µ2. . . AN

µN ] (A.24)

Definimos o tensor intensidade de um potencial tensorial

Fµ = "µA (A.25)

Fµ! = "[µA!] (A.26)

Fµ!" = "[µA!"] (A.27)

Fµ1µ2...µN = "[µ1Aµ2...µN ] (A.28)

Para os potenciais antissimetricos podemos fazer outra definicao,

Hµ!" = "µA!" + "!A"µ + ""Aµ! =1

2Fµ!" (A.29)

Hµ1µ2...µ3=

N termos+ ,) *"µ1

Aµ2...µN+ "µ2

Aµ3...µ1+ . . . + "µN

Aµ1...µN"1

=1

(N % 1)!Fµ1µ2...µ3

(A.30)

Definicao de dual de Hodge de um campo

52

• 2+1

!F (A) '1

3!(µ!"Fµ!" =

1

3(µ!"Hµ!" (A.31)

!Fµ(A) '1

2!(µ!"F!" (A.32)

!Fµ!(A) ' (µ!"F" (A.33)

• 3+1

!F (A) '1

4!(µ!"#Fµ!"# =

1

4(µ!"#Hµ!"# (A.34)

!Fµ(A) '1

3!(µ!"#F!"# =

1

3(µ!"#H!"# (A.35)

!Fµ!(A) '1

2!(µ!"#F"# (A.36)

!Fµ!"(A) ' (µ!"#F# (A.37)

• N dimensoes

!Fµ1µ2...µp(A) '1

(N % p)!(µ1µ2...µp%p+1...%N F%p+1...%N

(A.38)

=1

(N % p)(µ1µ2...µp%p+1...%N H%p+1...%N

(A.39)

Finalmente podemos encontrar as seguintes relacoes que podem ser utilizadasdentro acao

• 2+1

!F (A)f = %!Fµ!(f)Aµ! (A.40)!Fµ(A)fµ = !Fµ(f)Aµ (A.41)

• 3+1

!F (A)f = !Fµ!"(f)Aµ!" (A.42)!Fµ(A)fµ = !Fµ!(f)Aµ! (A.43)

• N dimensoes

!Fµ1...µp(A)fµ1...µp= (%1)(p+1)(N"p)!Fµp+1µN (f)Aµp+1...µN

(A.44)

53

Bibliography

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